GaAs-TABANLI LASERLERDE ELEKTROMANYETİKPROPAGASYON SABİTİNİN İNCELENMESİ

GaAs-TABANLI LASERLERDE ELEKTROMANYETİK PROPAGASYON SABİTİNİN İNCELENMESİ

Mustafa TEMİZ, Hakan ACER

Pamukkale Üniversitesi, Mühendislik Fakültesi, Elektrik ve Elektronik Mühendisliği Bölümü, Denizli

ÖZET

GaAs - bazlı yarıiletken laserlerin önemi son yıllarda gittikçe artmaktadır. Enjekte edilen akım, taşıyıcıların yeniden birleştiği merkezi bir bölgede, genişliği yüksekliğinden büyük bir yarıiletken ortam içinde tuzaklanmaktadır. GaAs malzemesinin içine katılan aliminyum ile yapılan AlxGa1-xAs formundaki yapılar, kafes sabitleri hemen hemen denk olan yapıları oluşturmakta, enerji-bant yapısında yasak bantı artırmakta, kırılma indisini azaltmaktadır. Bu özellikler, GaAs ve AlxGa1-xAs malzemelerle gerçekleştirilen heterojonksiyon yapıların elde edilmesine, yarıiletken laserlerde olduğu gibi, elektromanyetik enerjinin, özellikle, optik enerjinin kuvvetlendirilmesine, klavuzlanarak fiberoptik hatlarla nakledilmelerine imkan sağlamaktadır. GaAs - bazlı yarıiletken yapılar, özellikle, laserler, ince film katmanlarından (≈ 40-100 A^o), oluşur. Bu kuantum boyutları, kullanılan dalga boyu ile kıyaslanabilecek derecede küçüktür ve özel etkiler doğurmaktadır. Kuantum - çukurlu yapılar, bu tür etkilerin bir sonucudur. Bu çalışmada yarıiletken katmanlarda tuzaklanan elektromanyetik dalganın şekli ve propagasyon sabitinin davranışı incelenmiştir.

Anahtar Kelimeler : Galyum - Arsenit, Hapsedilen elektromanyetik alan, Propagasyon sabiti, Yarıiletken laser

THE STUDY OF ELECTROMAGNETIC PROPAGATION CONSTANT ON GaAs-BASED LASERS

ABSTRACT

In the recent years the important of GaAs - based lasers has gradually increased. Injected current are confined, in the central region where the recombination of the carriers takes places in a semiconductor medium whose with is larger than height. The structures in forms of AlxGa1-xAs obtained by inserting Al in GaAs materials give the structure, whose lattices are almost identical constant, and the increased band gap and decreased index of refraction. These features give the possibilities of obtaining heterojunction structures formed with GaAs and AlxGa1-xAs, such as in semiconductor lasers, amplifying the electromagnetic energy, especially optical energy, and transmiting it by guiding in fiberglass. GaAs - based structures, especially lasers, are made very thin layers, (≈ 40-100 A^o). These quantum sizes are so small, comparable to the used wavelength and give special effects.

Quantum - well structures result from these effects. In this work it is investigated the behaviour of electromagnetic wave guided in semiconductor layers and propagation constants.

Key Words : Gallium-Arsenide, Confined electromagnetic field, Propagation constant, Semiconductor laser

1. GİRİŞ

Kuantum çukurları o kadar kısadır ki, gerekli parçacık çarpışmalarının gecikmesi sebebiyle,

taşyıcıları, kuantum çukurlarında hapsetmek için, GaAs’li bölgelerden geçirmek mümkün olmaktadır (Temiz, 1996). Başka bir ifade ile söylemek gerekirse, AlAs katmanı arasında GaAs’li ince film

katmanlarının bulunması ile oluşturulan kuantum çukurlarında müsaade edilen enerji durumları arasındaki geçişler tarafından elektron-delik birleşmelerinin meydana geldiği merkez bölgesinde, dışardan enjekte edilen taşıyıcıların tuzaklanmasına yardımcı olmak için Al konsantrasyonu, büyük bir mesafe boyunca derece derece azaltılır. Keza kırılma indisi ve enerji-bant genişliği GaAs içindeki Al konsantrasyonuna bağlı olarak değişir (Temiz, 1996).

GaAs - tabanlı yarıiletken yapılarda bir elektromanyetik dalganın (dolayısı ile ışık dalgasının) propagasyonu önem kazanmaktadır.

2. IŞIĞIN ELEKTROMANYETİK DALGA BİLEŞENLERİ

Uzay koordinatlarına bağlı olan ve kompleks E ve H sinüs biçimli fazör büyüklükleri olarak değişen elektrik ve manyetik alanlar Maxwell denklemlerini sağlarlar:

∇Λ = + ∇Λ = −

∇ = ∇ =

H J D, E H

H D D = E+P,

P = (1+ )E = E = E, (1+ ) =

j j

r n

r

ω ω µ

ε

ε χ ε ε ε

χ ε

0 0 0

0

0 0 0

2

0 0

. , . ,

(1)

Burada χ,

ε

_o ve µ_o sırası ile, dalganın içinde yayıldığı ortamın süseptibilitesi, boşluğun dielektrik sabiti ve magnetik geçirgenliğidir. İzafi dielektrik sabiti,

ε

_r, ortamın süseptibilitesi ile

ε

_r= (1+χ) ilşkisine sahiptir ve ortamın kırılma indisinin, n, karesine eşittir. P polarizasyon vektörü, burada E vektörü ile aynı doğrultuda farzedildiği halde, ilgilenilen elektro-optik ortamlarda, çoğunlukla, farklı doğrultularda olur.

Maxwell denklemleri, uzay ve zaman koordinatlarını içeren fonksiyonlar küçük harflerle gösterilirse,

∇Λh = j +ε ∂ e + p

∂

∂ o ∂

t t ,∇Λe = -µ ∂ h

∂

o t veya

∇Λh j d

= +∂

∂t ,∇Λe= -µ ∂ h

∂

o t (2)

olur. Burada aşağıdaki tanımlar geçerlidir.

e (r,t)=Re[E(r)

e

^{j tω}], h (r,t)=Re[H(r)

e

^{j tω} ] j (r,t)=Re[J(r)

e

^{j tω}], d (r,t)=Re[D(r)

e

^{j tω} ]

r = ∑ ^x

ⁱ

a

_i (3)

Burada i = 1 için x1 = x, a1 = ax; i = 2için x2 = y, a2

= ay; i = 3için x3 = z, a3 = az’dir. Alan vektörleri, akım yoğunluğu vektörünün, (J), sıfır olduğu serbest uzayda dalga denklemini sağlar:

∇ −²e ₂

2

2 t

c 1

∂

∂ e= 0, ∇²h ₂

2

2 t

h c

1

∂

− ∂ =0 (4)

Burada c²= 1

µ ε_{o o} ışık hızının karesidir. Son ifade ile verilen dalga denkleminin çözümü f (t− a_n.r/c) formundadır. Burada a_n birim vektördür. Bu birim vektör boyunca olan yayılmada bir faz gecikmesi meydana gelir. (3) eşitliklerinde, mesela elektrik alan ifadesinde, t yerine gecikmiş zaman formu, (t - a_n. r/c), konursa k uzayında (Iga, 1994), e (r,t) = Re [E(ω, k_o)] e^jω^t−^{jk .or}

(5) veya

[ ]

e r,( t)=ReE( ,ω k_o)e^{j t jω − k .ro}

ko

c o

=ω = π λ

2 (6)

olur. Burada λ_o, dalga boyu ve k_oserbest uzaydaki dalga vektörüdür. Benzer şekilde manyetik alan bileşeni de,

[

^{H k k .r}

]

r

h( ,t)=Re (ω, _o)e^{jωt−j o} (7) olarak elde edilir.

Karteziyen koordinatlarda z ekseni doğrultusundaki alan bileşenleri Ez ve Hz olan bir elektromanyetik dalgasının Et ve Ht enine bileşenleri,

[ ]

[ ]

E_{t t z o z t z}

t o z t z t z

i i t z t

j j j

n c

j j

n c

j n j

x z x

=

−

−

=

−

+

∇ = ∇ ∇ + ∇ =

∑=

∑=

1

1

2 2

2 2

2

3 2

β ω β∇ ωµ

β ω ωε β∇

∂

∂

∂

∂

∂

∂ ( )

( )

E a H

H a E H

a a a

Λ∇

Λ∇

1 i , = , 1

(8)

Kayıpsız ortamlarda propagasyon sabiti γ = jβ olarak kullanılırsa, o zaman bu denklemler,

[ ]

[ ]

E E a H

H a E H

t t z o z t z

t o z t z t z

k j

k n

c

k j n

= − + −

=

= + −

1

1

2 2

2 2

γ γ∇ ωµ

ω

γ ωε γ∇

Λ∇

Λ∇

,

- ²

(9)

olur. Burada n malzemenin kırılma indisidir.

(1)’deki

∇Λ

H = J + j

ω

_oD,

∇Λ

E = - j

ω

_o

µ

_o H denklemlerinden bulunan,

0 ) (∇²+ ² E=

ω µε (10)

Helmholtz dalga denkleminde E=Et+Ezaz

kullanılarak (∇ +_t + )(E_t+ _za )_z =

z E

2 2

2

2 0

∂

∂ ω µε

veya,

E_z

∇ + +











 =

t

n

c z

2 2

2

2 0

(ω ) ∂

∂

elde edilir. Dalganın yayılma hızının c/n olduğu bilindiğine göre v² = (c/n)² = 1

µε olduğu açıktır.

Burada ε ve µ, sırası ile, malzemenin dielektrik sabiti ve magnetik geçirgenliğidir. Dalganın z doğrultusunda yayıldığı bilindiğinden vektör notasyonu kaldırılabilir:

( n c )

t z

2 2

2

∇ + + 2











 =

ω ∂

∂ E_z 0 (11)

Burada Ez→Ez e^{-j (ωt- βz}) alınırsa,

∇ + − z







 =

t

n

c E

2 2 2

0 (ω )

β (12)

ve Hz → Hz e^{-j (ωt- βz}) için de benzer olarak

∇ + − z







 =

t

n

c H

2 2 2

0 (ω )

β (13)

elde edilir. Bu son iki denklem skaler dalga denklemine uyan Ez ve Hz boyuna bileşenlerin sağladığı dalga denklemleridir. Bunlar yardımı ile, (8)’deki Et ve Ht enine bileşenler bulunabilir.

Burada, (ω )

n β c

2 2

− 〉 0 (14)

ise, denklem harmonik osilatöre benzer ve çözümler enine düzlemde duran dalga tipindedir veya trigonometrik olarak değişebilir. Eğer,

) (ω

n β c

2 2

− 〈 0 (15)

ise, buna uzaklaştıkça küçülen üstel çözümler gerekir (Verdeyen, 1989).

4. YARIİLETKEN GaAs LASER

AlxGa1-xAs kristalinde x’in çeşitli şekillerde seçimi ve çeşitli kalınlıklar için, elektromanyetik dalga ve enjekte edilen taşıyıcıların aynı anda tuzaklanmalarını gerçekleştirmek üzere, dörde kadar heterojonksiyon yapılar yapılabilir (Iga, 1994).

Dalganın kılavuzlanmasının hususi özelliklerinin bir çoğu, Şekil 1’de görüldüğü gibi, I, II, III ile numaralandırılan klavuz bölgelerinin analizi yapılarak gerçekleştirilebilir.

Propagasyonun ±z doğrultusunda yapıldığı farzedilirse, bu elektromanyetik dalga TE ve TM modlarını sağlar. Dalga denklemi ifadelerinde kırılma indisinin x, y koordinatlarına bağlı olduğu göz önüne alınmalıdır:

Enjekte Edilen Taş (Akım)

xo

I III II

Aktif Bölge

z y

x

Şekil 1. Laser geometrisi

[ ]

[ ]

+ E ,

+ H

= ,

z

∇ + =

∇ + =

t z

t

k k

k n x y

c

2 2 2

2 2 2

2

2 2 2

0 0 γ

γ

ω ( )

(16)

Her iki modu sağlayan dalga denklemi her üç bölgede çözülür. Bir an için y doğrultusundaki alan değişimi ihmal edilirse, F her iki alanı temsil etmek üzere, her iki mod denklemi aşağıdaki şekilde alınabilir:

0 x k

2 2 2

2 =











 +γ + F

∂

∂ (17)

Aktif bölgenin hemen yakınında bir enine elektrik darbesini ele alalım. x → ∞ yapılırsa, bu aktif bölge

β ω

〈 n c

II (18)

olması ile gerçekleşir. Bu bir duran dalga veya bir trigonometrik çözüme karşı düşmektedir.

Aktif bölgeyi çevreleyen diğer I, III bölgelerinde β ω

〉 n^, c

I III

(19) olur. Bu ise bu bölgelerde üstel bir değişime götürür.

Aktif bölgede faz sabiti ko = ω/c ile bölünürse, istenen tuzaklama bölgesini tanımlayan gereklilik elde edilir:

n_{I III} k n

o II , 〈β 〈

(20) Buna göre, β/k_o’ın nI veya nIII’den ya da her ikisinden daha küçük olduğu değerlerde x doğrultusunda radyasyonun veya propagasyonun olduğu görülmekte ve bu suretle bu bölgelerdeki dalgalar z doğrultusunda klavuzlanmamaktadır.

I, III bölgelerinde dalganın klavuzlanmaması ve II bölgede hapsedilmesi, laser’in gerçeklenmesinin gereğidir (Temiz, 1996).

5. YARIİLETKEN GaAs LASERLERİNDE

ELEKTROMANYETİK MODLAR

a) TE Modu

Şekil 1’e uygun bir koordinat sistemi Şekil 2’deki gibi kurulabilir.

x

z y xo/2

-xo/2

III II

I l

Şekil 2. Laserin üç tabakası

Şekilde y doğrultusundaki üniform alanlar için her üç bölgede

∂ +

∂ ² γ ω

2 2

2 2

2 0

x + c n I II III Ey I II III











 =

( , , ) ( , , ) ) (21)

ve z doğrultusundaki üniform alanlar için

∂ +

∂ ² γ ω

2 2

2 2

2 0

x c n I II III Ez

I II III

 +









 =

( , , ) ( , , ) )

(22)

olur. Bu üç bölgede nI = nIII ve nI < n_II ilişkileri GaAs içine katılan Al ile sağlanır. Bu suretle kırılma indisi x’e göre değişen bir heterojonksiyon yapı yani yarıiletken bir laser’in prensibi ortaya çıkar. Böyle bir yapıda elektromanyetik alan aktif bölge,

x -x_o/2 içinde kalmakta ve bu aralıkta oldukça büyük bir değere ulaşmaktadır.

Bu üç bölge için faz sabiti aynıdır. Modların kılavuzlanması için, şekil bakımından x boyunca orantılılığını koruyan alan aynı faz sabiti ile x’den bağımsız olarak yayılır. Mod genliği xo/2’den itibaren belli bir mesafede sıfır olur. Bunun için TE modu için elektromanyetik alan üstel çözüm olmalıdır:

H = A e

H = B e

h ( n

c )

z(I)

i i =1

2 h (x + x / 2 )

z (III)

i =1 i

2 h (x - x / 2 )

2 2 (I,III) 2

o

o

∑

∑

= −

−

β ω

(23)

Alanı x→ - ∞ iken sonlu tutmak için A₁ = 0 ; x → +

∞ iken B₁ = 0 olmalıdır. O zaman alanlar

H A e

H B e

z

I h x xo

z

III h x xo

( ( /

( ( /

) + )

) - )

=

=

2

2

2

− 2 (24)

olur.

Aktif bölgede (II) çözümün H C Cos k x C Sin k x

k n

c

z II

T T

T

II (

( ( )

)

)

= ₁ + ₂

2= ω 2− 2

β (25)

olması gerekir (Şekil 3).

kT

(β<ωn_(II)/c k=ωn(II)/c

β

Şekil 3. Faz sabitleri arasındaki ilişki

[ ][ ]

2 T

t T z t T z 2

k

k . k c )

( n

+

=

+ +

=

= 2

a a a a β

β ω β

k .

k (26)

Yukarıda (25) ifadesi TE modunda x’e göre simetriyi sağlaması için sinüslü terim vermelidir.

Kosinüslü terim antisimetriyi gösterir. Simetri sağlamak için C1 = 0 alınır. O zaman,

Hz C Sin k x

II

T

( ) = 2 (27)

elde edilir. Sonuç olarak simetrik TE modu için alan bileşenleri

H A e

H B e

z

I h x x o

z

III h x xo

( ) (

( ) (

=

=

+ / ) - / ) 2

2

2

− 2 (28)

H_z^{( )II} =C Sin k x_{2 T}

olarak elde edilir. Burada

k

_T²

= − h

²’dir. Bu alan ifadeleri x = ± x_o/2’de sürekli olmalıdır:

Hz(I)

(-xo/2) = Hz(II)

(-xo/2) Hz(II)

(xo/2) = Hz(III)

(xo/2) (29)

Kullanılan bu sınır şartları sonunda A2 = - C2Sin kT(xo/2)

B2 = C2Sin kT(xo/2)

bulunur (A2 = -B2). Bu manyetik alan ifadeleri (8) denkleminde yerine konarak elektrik alan bileşenleri elde edilir:

) 2 / x + x ( h 2 ) I (

z =A e ^o

H

için,

[ ]

E E a H

E

t t z o z t z

y

n c

j j

=

−

−

= 1

2 2

β ω β∇ ωµ

( )

Λ∇

veya

Et = Ey(I)

= − j

h₂^o hA e₂ ^{h(x+x 2o}

ωµ _{/ )}

ya da

Et = Ey(I)

= j

h^oB e^{h x xo} ωµ

2

2 ( + / )

olarak elde edilir. Benzer şekilde,

Ey (III)

= j

h^oB e^{h x xo} ωµ

2

2 - ( - / )

olur. Sonuç olarak TE modundaki elektrik alan bileşenleri,

Et = Ey(I)

= j

h^oB e^{h x xo} ωµ

2

2 ( + / )

Ey(III)

= j

h^oB e^{h x xo} ωµ

2

2 - ( - / )

E j

k C Cos k x

y

II o

T

T ( )= ωµ

2

olarak bulunur. Bu alanlar da x = ± xo/2’de sürekli olmalıdır :

Ey(I)

(-xo/2) = Ey (II)

(-xo/2) Ey(II)

(xo/2) = Ey (III)

(xo/2) (30)

Bu iki eşitliğin herhangi birinden

[ ]

[ ] [ ]

h k

Sin k x

Cos k x k x

T

T o

T o

T o

= /

/ = /

( )

( 2 tan ( )

2 2

[ ]

[ ]

[ ]

h x k x

Sin k x Cos k x k x

o

T o

T o

T o

T o

( )

( / )

( )

( )

tan ( )

/ /

/ = /

2 2

2 2 2

=

(31)

bulunur.

Denklem 25’te kosinüslü terim antisimetriyi gösterir. Antisimetriyi sağlamak için C2 = 0 alınır. O zaman

Hz = C Cos k x

(II)

1 T

elde edilir. Sonuç olarak antisimetrik TE modu için alan bileşenleri

H A e

H B e

z

I h x xo

z

III h x xo

( ( /

( ( /

) + )

) - )

=

=

2

2

2

− 2 (32)

H_z^{( )II} =C Cos k x_{1 T}

olarak elde edilir. Bu alan ifadeleri x = ± xo/2’de sürekli olmalıdır:

Hz(I)

(-xo/2) = Hz(II)

(-xo/2), Hz(II)

(xo/2) = Hz(III)

(xo/2) Bunun için

A2 = C1Cos kT(xo/2), B2 = C1 Cos kT(xo/2) bulunur .

Buradan A2=B2 olur. Sonuç olarak

H A e

H B e

z

I h x xo

z

III h x xo

( ( /

( ( /

) + )

) - )

=

=

2

2

2

− 2

H_z^{( )II} =C Cos k x_{1 T} elde edilir.

Bu manyetik alan ifadeleri (8) denkleminde yerine konarak elektrik alanı bileşenleri elde edilir :

[ ]

E E a H

E

t t z o z t z

y

n c

j j

=

−

−

= 1

2 2

β ω β∇ ωµ

( )

Λ∇

veya

Et = Ey(I)

= - j

h^oB e^{h x xo} ωµ

2

2 ( + / )

elde edilir. Benzer şekilde

Ey(III)

= j

h^oB e^{h x xo} ωµ

2

2 - ( - / )

E j

h x C Cos k x j

h C k Sin k x j

k C k Sink x j

k C Sin k x

y

II o

T

o

T T

o T

T T

o T

T

( )= − ωµ ∂ ( )

∂ ωµ ωµ

ωµ

2 1

2 1

2 1

1

=

=

=

olur. Sonuç olarak antisimetride, TE modundaki elektrik alan bileşenleri

Et = Ey(I)

=−j

h^oB e^{h x xo} ωµ

2

2 ( + / )

Ey(III)

= j

h^oB e^{h x xo} ωµ

2

2 - ( - / )

E j

k C Sin k x

y

II o

T

T

( )= - ωµ

1

olarak bulunur. Bu alanlar da x = ± x_o/2’de sürekli olmalıdır.

Ey(I)

(-xo/2) = Ey(II)

(-xo/2, Ey(II)

(xo/2) = Ey(III)

(xo/2), (33) Bu sınır şartlarının uygulanmasından,

k h

C

A Cos k x

T

T o

= ¹

2 ( 2) ,k

h C

B Sin k x

T

T

= − ¹ o

2 ( 2)

bulunur. Daha önce elde edilen B2 = C1 Cos kT(xo/2) ifadesi de kullanılarak

[ ]

[ ]

[ ]

h x k x

Cos k x Sin k x

k x

o

T o

T o

T o

T o

( )

( / )

( )

( )

cot ( )

/ /

/ = - /

2 2

2 2 2

= −

(34)

bulunur.

b) TM Modu

TM modu (Hz = 0) için de benzer yol izlenir. (28) ifadelerinde Hz → Ez konarak

E A e

E B e

z

I h x xo

z

III h x xo

( ( / )

( ) ( / )

) +

-

=

=

2

2

2

− 2

E_z^(II) = C Sin k x_{2 T} elde edilir. (8)’den

[ ]

H_t a E

2 2 o

2

z z

=

− 1

β ω ωε

( n) c

j n Λ∇_t

veya

H H E

t

2 2

o 2 2

1 z

( n c )

j n

h x

= =

−

y

β ω

ωε ∂

∂ (35)

ifadesinden bulunan manyetik alan bileşenleri

H = j n

h A e

H = j n

k C Cos(k x / 2)

H = j n

h B e

y

(I) (I)

2 2

h(x+x 2)

y

(II) (II)

2

T

2 T o

y

(III) (III)

2 2

-h(x-x 2)

o

o

ωε

ωε

ωε

o

o

o

/

/

(36)

olarak elde edilir.

Hy(I)

(-xo/2) = Hy(II)

(-xo/2) Hy(II)

(xo/2) = Hy(III)

(xo/2) sınır şartlarından

n A

h n

k C Cos k x

I II

T

T o

( ( )

( )

) /

2

2 2

2 2

=

n C

k Cos k x n B

h

II T

T o

III

( ) ( )

( )

2 2

2

2 2

/ = (37)

veya A n

n

n B

n

I II

III II 2

2 2

2 2 2 ( )

( )

( ) ( )

= (38)

olur. Simetri için A2 = B2 olmalıdır. Sonuç olarak simetrik TM modu için

E = A e

E = B e

z (I)

2 h(x+ xo 2) z

(III)

2 h(x-xo 2) /

− /

Ez = C Sin k x

(II)

2 T

H j n

h A e

H j n

k C Cos k x

H j n

h B e

o

o T

T o

o y

(I) (I)

2

h(x+x 2)

y

(II) (II)

2

y

(III) (III)

2

-h(x-x 2)

=

= ( / )

=

o

o

ωε

ωε

ωε

2

2

2

2

/

/

(39)

bulunur. B2=C2Sin kT(xo/2) ve (37)den,

[ ]

[ ]

[ ]

(n

n ) h

k

Sin k (x / 2) Cos k (x / 2) tan k (x / 2)

(II) (I)

2 T

T o

T o

T o

=

=

veya

hk (x / 2) k k (x / 2)

Sin(k (x / 2)) Cos(k (x / 2)) (n

n ) (n

n ) tan(k (x / 2))

T o

T T o

T o

T o

(I) (II)

2

(I) (II)

2

T o

=

=

.

(40)

olur.

Antisimetrik TM modunu elde etmek için elektrik alan bileşenleri

E = A e

E = B e

z (I)

2 h(x+ xo 2) z

(III)

2 h(x- xo 2) /

− /

E_z^(II) = C Cos k x_{1 T} (41) olarak alınır. Manyetik alan bileşenleri ise,

H j n

h A e

H j n

k C Sin k x

y

I o

y

o

T o

( ) (I)

2

h(x+ xo 2)

(II) (II)

2

T

=

= - ( / )

ωε

ωε

2

1 2

/

(42)

H = j n

h B e

y

(III) (III)

2 2

h(x-x 2)_o

ωε_{o − /}

olarak elde edilir (Tablo 1).

Sınır şartlarının uygulanmasından elde edilen

n A

h n

k C Sin(k x / 2)

(I) 2

2 (II)

2

T

1 T o

= (43)

−n C = k Sin(k x / 2) n

h B

(II) 2

1 T

T o

(III) 2

2 (44)

veya,

n k A

n hC

n k B

n hC

(I) 2

T 2

(II) 2

1

(III) 2

T 2

(II) 2

1

= −

veya,

A n

n = n B

n

2 (I) 2

(II) 2

(III) 2

2 (II)

− 2 (45)

ifadesine göre antisimetriyi sağlamak için A2 = -B2

alınmalıdır. (43) ve B2 = C1Cos(kTxo/2)’den h(k x / 2)

k (k x / 2) (n

n ) cot (k x / 2)

T o

T T o

(I) (II)

2

T o

= − (46)

bulunur.

Elde edilen sonuçlar Tablo 1 ve 2’de özetlenmiştir.

Tablo 1. TE ve TM Modlarına ait Elektrik ve Manyetik Alan Bileşenleri

Modlar Simetrik Alan Bileşenleri Antisimetrik Alan Bileşenleri

TE Modu

H = A e H = B e

z (I)

2 h(x+ xo 2) z

(III)

2 h(x-xo 2) /

− / (A2 = - B2) H_z^(II) = C Sin k x_{2 T}

Ey(I)

= j

h^o B e₂ ^{h(x+ xo 2}

ωµ _{/ )}

Ey(III)

= j

h^o B e₂ ^{-h(x-xo 2}

ωµ _{/ )}

E jwm

k C x

y

II o

T

T ( )= ₂Cos k

H = A e

H = B e

z (I)

2 h(x+ xo 2) z

(III)

2 h(x-xo 2) /

− / H_z^(II) = C Cos k x_{1 T} Ey(I)

=−j

h^o B e₂ ^{h(x+ xo 2}

ωµ _{/ )}

Ey(III)

= j

h ^o B e2 -h(x-x 2_o

ωµ _{/ )}

E = - j

k ^o C Sin k x

T

1 T

y II

( ) ωµ

(A2=B2)

TM Modu

E = A e

E = B e

z (I)

2 h(x+ xo 2) z

(III)

2 h(x-xo 2) /

− /

E_z^(II) = C Sin k x_{2 T}

H = j n

h A e

H = j n

k C Cos(k x / 2)

y

(I) (I)

2

2 h(x+ xo 2)

y

(II) (II)

2

T

2 T o

ωε

ωε

o

o

/

H = j n

h B e

y (III)

(III) 2

2 h(x-xo 2)

ωε_{o − /}

(A2 = B2)

E = A e

E = B e

z (I)

2 h(x+ xo 2) z

(III)

2 h(x-xo 2) /

− /

E_z^(II) = C Cos k x_{1 T}

H = j n

h A e

H = -j n

k C Sin(k x / 2)

y

(I) (I)

2

2 h(x+ xo 2)

y

(II) (II)

2

T

1 T o

ωε

ωε

o

o

/

H = j n

h B e

y

(III) (III)

2

2 h(x-xo 2)

ωε_{o − /}

A2 = -B2

Tablo 2. TE ve TM Modlarına ait Propagasyon Sabitleri

Alanın Modu Simetrik Antisimetrik

TE Modu _{k (x / 2)}^{h(x / 2)o}

[

^{k (x / 2)}

]

T o

T o

= tan _{k (x / 2)}^{h(x / 2)o} cot k (x / 2)

[ ]

T o

T o

= −

TM Modu _{k (x / 2)}^{h(x / 2)o (}_nⁿ ) tan k (x / 2)

[ ]

T o

(I) (II)

2

T o

= _{k (x / 2)}^{h(x / 2)o (}_nⁿ ) cot k (x / 2)

[ ]

T o

(I) (II)

2

T o

= −

Bulunan sonuçlar, literatürde (Iga,1994) verilen sonuçlarla uyuşmaktadır. Ortaya çıkan ufak

farklılıklar, tanım ve kabullerin farklılığından ileri gelmektedir.

7. SONUÇ

Yukarıdaki ifadelerde h(xo/2), alanın merkezden uzaklaştıkça uğrayacağı üstel zayıflamanın şiddetini belirler. Daha büyük bir h(xo/2) değeri alanın merkez bölgesine daha fazla hapsedilmesi anlamını taşır.

x>xo/2 olan bölgede laser uyarılması olmaz ve burası kayıplı bölgedir.

X = kT(xo/2) ve Y = h(xo/2) alarak R² = X² +Y^2’den,

[ ]

R x

C nII nI

=





 −

ω ₀/2 _{2 2}

bulunur.

[ ]

NA (Numerik Açıklık)= n_(II)² −n_(I)²

1 2

tanımı yapılırsa (Muncheryan, 1990),

R (2 x 2

o )NA

o

= π

λ /

elde edilir. Belli bir tabaka kalınlığı, N. A. değeri ve çalışma dalga boyu (frekansı) için R sabit olur.

En düşük mertebeli TE ve TM modu için R <

π/2’dir (Şekil 4 a). Bu bölgede sistemin çalışma noktası, belli bir frekansta R yarıçaplı dairenin eğrileri kestiği nokta olarak alınabilir. Ancak, R’nin belli bir büyüklüğünden sonra çalışma noktasının, aynı zamanda, simetrik modlardan başka Y = h (xo/2)’ nin negatif tarafında, antisimetrik modlara da kaydığını göz önünde bulundurmalıdır. Bu yüzden, simetrik bölgede kalabilmek için R, (0, π/2) aralığında, belli bir değerden fazla alınamaz.

Denklem (31) ve (32)’den TE modları için Y = X tan X, (Simetrik TE Modu) Y = - X cot X, (Antisimetrik TE Modu) Denklem (40) ve (46)’dan

Y n

n

I II

= 











( ) ( )

2

X tan X, (Simetrik TM Modu)

Y n

n

I II

= − 











( ) ( )

2

X cot X, (Antisimetrik TM Modu)

yazılabilir.

Şekil 1’de n(I) = n(III) =3.45, n(II) = 3.50 için. n(I) = n(III)

ve n(II) kırılma indisleri, sırası ile, aliminyum ve galyumun Al0.23Ga0.77As ve Al0.18Ga0.82As kompozisyonu ile elde edilir (Chiang et al., 1992).

Teoride ifade edilen denklemlerin grafik ortamına belirli bir frekans aralığında aktarılması sağlanmıştır. Burada h’ın grafikteki sınır değerleri hassasiyet bakımından önemlidir (Şekil 4. a, b, c, d, e).

Şekil 4. Çeşitli Propagasyon Sabitlerinin Eğrileri

8 10 12 14 16 18 20 22

-200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200

x h(xo/2)

Simetrik TE Modu Simetrik TM Modu

Antisimetrik TE Modu

Antisimetrik TM Modu

R

‘*’ Simetrik TM Modu, ‘..’ Antisimetrik TM Modunu , " " Simetrik ve Antisimetrik TE Modları

Şekil 4. (a) Propagasyon sabitlerinin değişimler

0 5 10 15 20 25 30

-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100

X Y=x tan x

Şekil 4. (b)Yalnız simetrik TE modundaki propagasyon sabitinin tabaka kalınlıgına göre değişimi

0 5 10 15 20 25 30

100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100

X Y=-x cot x

Şekil 4. (c) Yalnız antisimetrik TE modundaki propagasyon sabitinin tabaka kalınlığına göre değişimi

0 5 10 15 20 25 30

-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100

X Y=-(nI/nII) ²x cot x

Şekil 4. (d) Yalnız antisimetrik TM modundaki propagasyon sabitinin tabaka kalınlığına göre değişimi

0 5 10 15 20 25 30

-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100

Y=(nı/nII)² x tan x

X

Şekil 4. (e) Yalnız simetrik TM modunda propagasyon sabitinin tabaka kalınlığına göre değişimi

Sonuç olarak, eğrilerin değişimleri periyodik olarak değiştiği için, bunların (0, π) aralığına indirilerek değerlendirilmesi sonunda, simetrik propagasyon sabitlerinin (0, π/2) aralığındaki değişimleri karşılıklı olarak birbirlerine benzediği gibi, antsimetrik modların (0,π) aralığındaki değişimleri de karşılıklı olarak birbirlerine çok benzemektedir.

TE moduna ait değişimlerin, TM moduna ait değişimlerin sol

tarafında kalışını daha net olarak görebilmek için nII

kırılma indisinin daha da artırılması gerekir.

Buradan, belli bir R değeri için TE modunda Y parametresinin TM modundan daha büyük olduğu sonucu çıkar. Bu özellik yarıiletken laser’lerde önemli bir sonuca götürür. Y’nin nisbeten daha büyük olması, elektromanyetik enerjinin merkezi bölgesinde daha çok hapsedilmesine yol açacağından, burada TE modunun merkezi bölge için dominant bir mod olduğunu gösterir. Dolayısı ile, TM modunun I ve III bölgelerinde daha etkin olması, bu bölgelerin heterojonksiyon laser’leri için daha kayıplı olmalarına sebep olur. Bu yüzden, TE modunda çalışılması daha çok yaygındır.

7. REFERANSLAR

Chiang, H. K., Kenan, R. P. and Summers, C. J. 1992. The Analysis of a Phase- Delayed Optical Two-State Switch, IEEE Photonics Letters, 4, (4).

Iga, K. 1994. Fundamentals of Laser Optics, Plenum Press, 200-201, New York and London.

Muncheryan, H. M., 1990. Laser and Optoelectronic Engineering, Hemisphere Publishing Corperation, New York.

Temiz, M. 1996. The Quantum - Well Structure of Self Electro-Optic - Devices and Gallium - Arsenide, Pamukkale Engineering College, Journal of Engineering Sciences, 2 (2).

Verdeyen, J. T. 1989. Laser Electronics, Prentice- Hall International Limited, London.