Bileşik Önermeler. O halde ; 1 =0 ve 0 =1 diyebiliriz.

Önermelerin Denkliği

Doğruluk değerleri aynı olan önermelere denk (eş değer) önermeler denir. p ve q önermeleri denk ise “p ≡ q”

biçiminde gösterilir.

Örneğin;

“p: 7 nin karesi 49 dur” ve “q: Bir gün 24 saattir” önermelerinin doğruluk değerleri 1 olduğundan “p ≡ q” dur.

Bir Önermenin Olumsuzu (Değili)

Bir önermenin hükmünün değiştirilmesi ile elde edilen yeni önermeye önermenin olumsuzu (değili) denir.

p önermesinin olumsuzu (değili) p’ sembolü ile gösterilir.

Örneğin;

p

p’

Örnekteki, p önermesinin doğruluk değeri 1, p nin olumsuzu p’ önermesinin doğruluk değeri ise 0 dır

 O halde ; 1’=0 ve 0’=1 diyebiliriz.

Bileşik Önermeler

İki veya daha fazla önermenin "ve, veya,ya da, ise, ancak ve ancak" gibi bağlaçlarla birleştirilmesiyle elde

edilen yeni önermeye bileşik önerme denir.

Ve Bağlacı (∧)

Ve bağlacı “∧“ sembolü ile gösterilir. Ve bağlacı ile oluşturulmuş bileşik önermenin doğruluk değerinin doğru (1) olabilmesi için her iki önermeninde doğru olması gerekir.

Örneğin;

p: “Ezgi okul bahçesinde” , q: “Voleybol oynuyor” önermeleri verilsin, p∧q: “Ezgi okul bahçesinde ve voleybol oynuyor” bileşik önermesinde,

Örnek : (1 ∧ 0) ∧ (0 ∧ 0) =? Örnek: (𝟏 ∧ 𝟏) ∧ (𝟏 ∧ 𝟏) =?

0 ∧ 0 = 0 1 ∧ 1 = 1

Veya Bağlacı (∨)

Veya bağlacı “∨” sembolü ile gösterilir. Veya bağlacı ile oluşturulmuş bileşik önermenin doğruluk değerinin yanlış (0) olabilmesi için her iki önermeninde yanlış olması gerekir.

Örneğin;

p: “Ali ders çalıştı” , q: “Sinemaya gitti” önermeleri verilsin, p∨q: “Ali ders çalıştı veya sinemaya gitti” bileşik önermesinde

,

Örnek : (1 ∨ 0) ∨ (0 ∨ 0) =? Örnek: (𝟏 ∨ 𝟏) ∨ (𝟏 ∨ 𝟎) =?

1 ∨ 0 = 1 1 ∨ 1 = 1

VE BAĞLACININ ÖZELLİKLERİ VEYA BAĞLACININ ÖZELLİKLERİ

DAĞILMA ÖZELLİĞİ:

Bileşik önermelerde ∧ bağlacının ∨ bağlacı üzerine, ∨ bağlacının ∧ bağlacı üzerine dağılma özelliği vardır.

p∧(q∨r)≡(p∧q)∨(p∧r) p∨(q∧r)≡(p∨q)∧(p∨r)

Bu özelliği çarpmanın toplama işlemi üzerine dağılma özelliği yardımı ile daha rahat algılayabiliriz.

3.(x+y)=3x+3y veya 8(a+b)=8a+8b gibi.

Koşullu Önerme (İSE BAĞLACI =>)

İse (⇒) bağlacı ile bağlanmış p ile q önermelerinin oluşturduğu “p⇒q” bileşik önermesine koşullu önerme denir.

İse (⇒) bağlacının doğruluk tablosu;

Koşullu önermenin Karşıtı, Tersi ve Karşıt Tersi p⇒q koşullu önermesinin karşıtı q⇒p

p⇒q koşullu önermesinin tersi p’⇒q’

p⇒q koşullu önermesinin karşıt tersi q’⇒p’

İki Yönlü Koşullu Önerme (Ancak ve Ancak Bağlacı )

p ve q önermeleri için p⇒q ile q⇒p önermelerinin ve (∧) bağlacı ile bağlanması ile oluşan bileşik önermeye

iki yönlü koşullu önerme denir.

İki yönlü koşullu önerme p⇔q şeklinde yazılır ve "p ancak ve ancak q"

biçiminde okunur.

p⇔q iki yönlü koşullu önermesi bileşenlerinin her ikisininde doğru veya her ikisininde yanlış olması durumunda doğru, aksi durumlarda yanlıştır.

ANCAK VE ANCAK BAĞLACININ ÖZELLİKLERİ

HER VE BAZI NİCELEYİCİLERİ Açık Önerme

İçinde en az bir değişken bulunan ve bu değişkenlere verilen değerlere göre doğru veya yanlış olduğu belirlenen ifadelere açık önerme denir.

Açık önerme; değişkeni x ise p(x) ile, değişkeni x ve y ise p(x, y) ile gösterilir.

Açık önermeyi doğrulayan elemanların oluşturduğu kümeye çözüm veya doğruluk kümesi denir ve Ç veya D ile gösterilir.

Her ( ∀ ) ve Bazı ( ∃ ) Niceleyicileri

Her ve Bazı sözcüklerine niceleyiciler denir. "Her" sözcüğü bütün anlamını taşır ve önüne geldiği

elemanların tamamını anlattığı için evrensel niceleyici denir. ∀ sembolü ile gösterilir. "Bazı" sözcüğü en az bir tane anlamını taşır ve varlıksal niceleyici denir. ∃ sembolü ile gösterilir.



∀x, p(x) önermesinin doğru olması için bütün x değerleri için doğru olmalıdır.



∃x, p(x) önermesinin doğru olması için en az bir tane x değeri için doğru olması yeterlidir.

Her (∀) ve Bazı (∃) Niceleyicilerinin Olumsuzları (Değilleri) Her niceleyicisinin olumsuzu (değili) Bazı (∀)’ ≡ ∃

Bazı niceleyicisinin olumsuzu (değili) Her (∃)’ ≡ ∀ dir.

TANIM, AKSİYOM,TEOREM VE İSPAT KAVRAMLARI

Kümeler

Küme matematikteki tanımsız terimlerden biridir. Genel olarak küme için iyi tanımlanmış nesneler topluluğu

denebilir. Küme oluşturulabilmesi için verilen ifadenin net ve anlaşılır olması gerekir. Kümenin tanımı ile ilgili aşağıda verdiğimiz kavrama sorularını lütfen dikkatle inceleyiniz.

Kümeler büyük harflerle isimlendirilir. A, B, C, ... kümeleri gibi. Kümeyi oluşturan nesnelere kümenin elemanları denir ve her eleman küme içerisine bir kez yazılır. a elemanı K kümesinin elemanı ise a ∈ K biçiminde gösterilir. a elemanı K kümesinin elemanı değilse a ∉ K biçiminde gösterilir.



Kümelerin gösteriliş biçimleri vardır. Kümenin elemanlarının aralarına virgül konularak "{ }"

parantezi içerisine yazılmasına Liste yöntemi denir.



Herhangi bir A kümesini oluşturan nesnelerin sayısına kümenin eleman sayısı denir ve s(A) ile gösterilir

 Kümenin elemanlarının kapalı bir eğri içerisinde her birinin yanına nokta konularak gösterilmesine

Venn şeması yöntemi denir. Kapalı eğrinin daire olması şart değildir, herhangi bir kapalı şekil ile küme gösterilebilir.

Nesnelerin ortak özelliklerini belirterek kümenin elemanlarını belirlemeye ortak özellik yöntemi denir.

Örneğin; A={değişken ismi | değişkenin özelliği}

↓ öyleki işareti

Şunuda belirtelim ki bazen "|" işareti yerine ":" da kullanılabilir

 Elemanları sonlu sayıda olup sayılabilen kümelere sonlu kümeler, elemanları sonsuz sayıda olan kümelere sonsuz kümeler denir.

Örneğin; A={1, 2, 3, 4} kümesi sonlu kümedir ve s(A)=4 dir. B={1, 2, 3, 4, ...} kümesi sonsuz kümedir.

Doğal sayılar, Tam sayılar, Rasyonel sayılar kümeleri sonsuz kümelere birer örnektir. Hiç bir elemanı olmayan kümeye ise boş küme denir ve "{ }" veya ∅ sembolü ile gösterilir.

Alt Küme

ALT KÜME

A kümesine ait her eleman B kümesininde elemanı ise "A kümesi B kümesinin alt kümesidir" veya "B kümesi A kümesini kapsar" denir.

 B kümesi A kümesini kapsar ise A ⊂ B veya B ⊃ A biçiminde gösterilir.

 B kümesi A kümesini kapsamaz ise A ⊄ B veyaB A biçiminde gösterilir.

1-C 2-A 3-B 4-C 5-D 6-B 7-C 8-C

Alt Küme Özellikleri

Boş Küme her kümenin alt kümesidir. ∅ ⊂ A Her küme kendisinin bir alt kümesidir. A ⊂ A A ⊂ B ve B ⊂ C ise A ⊂ C dir.



Bir A kümesinin eleman sayısı s(A) ise A kümesinin alt küme sayısı 𝟐

tanedir.

 Bir kümenin kendisi dışındaki tüm alt kümelerine özalt kümeleri denir. Özalt kümelerinin sayısı alt küme sayısının 1 eksiğidir. Bir A kümesinin eleman sayısı n ise (s(A)=n), öz alt küme sayısı : 𝟐^𝐧− 𝟏 dir.

İki Kümenin Eşitliği

1-C 2-B 3-B 4-A 5-E 6-C 7-C 8-A