NLS Denkleminin Yüksek Dereceli B-spline Fonksiyonlar Yardımıyla Sayısal Çözümü Nurdan Köksal YÜKSEK LİSANS TEZİ Matematik Anabilim Dalı Haziran 2014

(1)

NLS Denkleminin Yüksek Dereceli B-spline Fonksiyonlar Yardımıyla Sayısal Çözümü Nurdan Köksal

YÜKSEK LİSANS TEZİ

Matematik Anabilim Dalı

Haziran 2014

(2)

Numerical Solution of the NLS Equation Using High Degree B-spline Functions Nurdan Köksal

MASTER OF SCIENCE THESIS Department of Mathematics

June 2014

(3)

NLS Denkleminin Yüksek Dereceli B-spline Fonksiyonlar Yardımıyla Sayısal Çözümü

Nurdan Köksal

Eskişehir Osmangazi Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Lisansüstü Yönetmeliği Uyarınca

Matematik Anabilim Dalı Uygulamalı Matematik Bilim Dalında

YÜKSEK LİSANS TEZİ Olarak Hazırlanmıştır

Danışman: Doç. Dr. Bülent Saka

Haziran 2014

(4)

Matematik Anabilim Dalı Yüksek Lisans öğrencisi Nurdan Köksal’ ın YÜKSEK LİSANS tezi olarak hazırladığı “NLS Denkleminin Yüksek Dereceli B-spline Fonksiyonlar Yardımıyla Sayısal Çözümü” başlıklı bu çalışma, jürimizce lisansüstü yönetmeliğin ilgili maddeleri uyarınca değerlendirilerek kabul edilmiştir.

Danışman : Doç. Dr. Bülent Saka

İkinci Danışman : -

Yüksek Lisans Tez Savunma Jürisi:

Üye : Doç. Dr. Bülent Saka

Üye : Prof. Dr. İdris Dağ

Üye : Doç. Dr. Dursun Irk

Üye : Doç. Dr. Yılmaz Dereli

Üye : Yrd. Doç. Dr. Ali Şahin

Fen Bilimleri Enstitüsü Yönetim Kurulu’nun ... tarih ve ...

sayılı kararıyla onaylanmıştır.

Prof. Dr. Nimetullah BURNAK

Enstitü Müdürü

(5)

ÖZET

Bu çalışma lineer olmayan Schrödinger (NLS) denkleminin yüksek dereceli B- spline kolokeyşin sonlu elemanlar yöntemi ile sayısal çözümleri hakkındadır.

İlk bölümde, daha sonraki bölümlerde kullanılacak bazı tanımlar verilmiştir. İlk olarak soliton hakkında bilgi verilerek, sonlu farklar ve kolokeyşin sonlu elemanlar yöntemi anlatılmıştır. Spline fonksiyon kavramı tanımlandıktan sonra kuintik B-spline, sektik B-spline ve septik B-spline fonksiyonlar hakkında bilgi verilmiştir. Son olarak sonraki bölümlerde sayısal olarak çözülecek olan NLS denklemi tanıtılmıştır.

İkinci bölümde NLS denkleminin sayısal çözümü kuintik B-spline kolokeyşin yöntemi ile araştırılmıştır. Tek soliton çözümü, iki solitonun çarpışması ve solitonların oluşumu test problemleri önerilen metodun incelenmesinde kullanılmıştır.

Üçüncü bölümde NLS denkleminin sayısal çözümü sektik B-spline kolokeyşin yöntemi ile araştırılmıştır. İkinci bölümde kullanılan test problemleri önerilen metodun incelenmesinde kullanılmıştır.

Dördüncü bölümde NLS denkleminin sayısal çözümü septik B-spline kolokeyşin yöntemi ile araştırılmıştır. İkinci bölümde kullanılan test problemleri önerilen metodun incelenmesinde kullanılmıştır.

Son bölümde ise önerilen metotlar hakkında öneriler yapılmıştır.

Anahtar Kelimeler: B-spline, sonlu elemanlar metodu, soliton, korunum kanunları

(6)

SUMMARY

This thesis is deal with numerical solution of the nonlinear schrödinger (NLS) equation by using high-degree B-spline collocation finite element method.

In the first chapter, some definitions will be used in later chapters are given. In the first, giving information about soliton, finite difference and collocation finite element methods have been described. After defining the concept of spline functions we have given information about quintic, sextic and septic B-spline functions. Finally the NLS equation which will be solved numerically in the next chapter has been introduced.

In the second chapter the numerical solution of the NLS equation is obtained by the quintic B-spline collocation method. Test problems such as a single soliton solution, the interaction of two solitons and birth of solitons was used to examine the proposed method.

In the third chapter the numerical solution of the NLS equation is obtained by the sextic B- spline collocation method. The test problems in the second chapter are used to examine proposed method.

In the fourth chapter the numerical solution of the NLS equation is obtained by the septic B-spline collocation method. The test problems in the second chapter are used to examine proposed method.

In the last chapter recommendations are made about the proposed methods.

Keywords: B-spline, finite element method, soliton, conserved quantities

(7)

TEŞEKKÜR

Yüksek lisans çalışmalarım boyunca benden yardımlarını esirgemeyen, değerli hocam ve tez danışmanım Sayın Doç. Dr. Bülent Saka ‘ya bana ayırdığı zaman ve sağladığı destek için teşekkürü borç bilirim. Ayrıca eşim İnan Köksal ‘a manevi desteği için gönülden teşekkürler.

(8)

İÇİNDEKİLER

Sayfa

ÖZET ... v

SUMMARY ... vi

TEŞEKKÜR ... vii

ŞEKİLLER DİZİNİ ... x

TABLOLAR DİZİNİ ... xii

KISALTMALAR DİZİNİ ... xiii

1. TEMEL KAVRAMLAR ... 1

1.1 Dalga teorisi ... 1

1.2 Lineer olmayan oluşum denklemleri ... 5

1.3 Korunum kanunları ... 7

1.4 Sonlu farklar-Sonlu elemanlar metotları ... 7

1.4.1 Sonlu farklar metodu ... 8

1.4.2 Sonlu elemanlar metodu ... 11

1.5 Spline fonksiyonlar ... 13

1.5.1 Kuintik B-spline interpolasyon polinomları ... 15

1.5.2 Sektik B-spline interpolasyon polinomları ... 18

1.5.3 Septik B-spline interpolasyon polinomları ... 20

1.6 Schrödinger Denklemi, Başlangıç ve Sınır Şartları ... 23

2. SCHRÖDİNGER DENKLEMİNİN KUİNTİK B-SPLINE KOLOKEYŞİN METODUYLA SAYISAL ÇÖZÜMÜ ... 27

2.1 Schrödinger denkleminin sayısal çözümü için kuintik B-spline kolokeyşin metodu ... 27

2.2 Başlangıç durumu ... 34

2.3 Test problemleri ... 36

2.3.1 Tek Soliton Çözümü ... 37

2.3.2 İki solitonun çarpışması ... 39

2.3.3 Solitonların oluşumu ... 41

2.4 Sonuç ... 44

(9)

İÇİNDEKİLER (Devam Ediyor)

Sayfa 3. SCHRÖDİNGER DENKLEMİNİN SEKTİK B-SPLINE KOLOKEYŞİN

METODUYLA SAYISAL ÇÖZÜMÜ ... 46

3.1 Schrödinger denkleminin sayısal çözümü için sektik B-spline kolokeyşin metodu ... 46

3.2 Başlangıç durumu ... 53

3.3 Test problemleri ... 54

3.3.1 Tek Soliton Çözümü ... 54

3.3.2 İki solitonun çarpışması ... 57

3.3.3 Solitonların oluşumu ... 59

3.4 Sonuç ... 61

4. SCHRÖDİNGER DENKLEMİNİN SEPTİK B-SPLINE KOLOKEYŞİN METODUYLA SAYISAL ÇÖZÜMÜ ... 63

4.1 Schrödinger denkleminin sayısal çözümü için septik B-spline kolokeyşin metodu ... 63

4.2 Başlangıç durumu ... 66

4.3 Test problemleri ... 67

4.3.1 Tek Soliton Çözümü ... 67

4.3.2 İki solitonun çarpışması ... 70

4.3.3 Solitonların oluşumu ... 72

4.4 Sonuç ... 74

SONUÇLAR VE ÖNERİLER ... 76

KAYNAKLAR DİZİNİ ... 78

(10)

ŞEKİLLER DİZİNİ

Şekil Sayfa

1.1 Basit bir dalga profili ... 1

1.2 Bir solitary dalgasının hareketi ... 3

1.3 Crank-Nicolson yaklaşımı ... 10

2.1 Tek soliton simülasyonu ... 37

2.2 t=2,5 zamanındaki hata ... 38

2.3 İki solitonun çarpışması ... 39

2.4 İki solitonun çarpışması ... 39

2.5 İki solitonun çarpışması ... 40

2.6 Zaman-Genlik grafiği ... 40

2.7 Duran soliton oluşumu ... 42

2.8 Duran soliton oluşumu ... 42

2.9 İlerleyen soliton oluşumu ... 44

2.10 İlerleyen soliton oluşumu ... 44

2.11 Başlangıç koşulu (2.29) ... 44

2.12 Başlangıç koşulu (2.30) ... 44

3.1 Tek soliton simülasyonu ... 55

3.2 t=2,5 zamanındaki hata ... 55

3.3 İki solitonun çarpışması ... 57

3.4 İki solitonun çarpışması ... 57

3.5 İki solitonun çarpışması ... 57

3.6 Zaman-Genlik grafiği ... 57

3.7 Duran soliton oluşumu ... 60

3.8 Duran soliton oluşumu ... 60

3.9 İlerleyen soliton oluşumu ... 61

3.10 İlerleyen soliton oluşumu ... 61

3.11 Başlangıç koşulu (2.29) ... 61

3.12 Başlangıç koşulu (2.30) ... 61

4.1 Tek soliton simülasyonu ... 68

(11)

ŞEKİLLER DİZİNİ (Devam Ediyor)

Şekil Sayfa

4.2 t=2,5 zamanındaki hata ... 68

4.3 İki solitonun çarpışması ... 70

4.4 İki solitonun çarpışması ... 70

4.5 İki solitonun çarpışması ... 70

4.6 Zaman-Genlik grafiği ... 70

4.7 Duran soliton oluşumu ... 73

4.8 Duran soliton oluşumu ... 73

4.9 İlerleyen soliton oluşumu ... 74

4.10 İlerleyen soliton oluşumu ... 74

4.11 Başlangıç koşulu (2.29) ... 74

4.12 Başlangıç koşulu (2.30) ... 74

(12)

TABLOLAR DİZİNİ

Tablo Sayfa

1.1 Bölünme noktalarındaki kuintik B-spline değerleri ... 17

1.2 Bölünme noktalarındaki sektik B-spline değerleri ... 19

1.3 Bölünme noktalarındaki septik B-spline değerleri ... 21

2.1 Korunum sabitleri ve hata normları ... 38

2.2 t=1 zamanında genlik=1 için sonuçların karşılaştırması ... 38

2.3 t=1 zamanında genlik=2 için sonuçların karşılaştırması ... 39

2.4 İki soliton problemi için korunum sabitleri ... 41

2.5 t=1 de genlik=1 için iki soliton simülasyonunun sonuçları ... 41

2.6 Duran solitonun korunum sabitleri, A=1,78 ... 42

2.7 İlerleyen solitonun korunum sabitleri, A=1,78 ... 43

3.1 Korunum sabitleri ve hata normları ... 56

3.2 t=1 zamanında genlik=1 için sonuçların karşılaştırması ... 56

3.3 t=1 zamanında genlik=2 için sonuçların karşılaştırması ... 57

3.4 İki soliton problemi için korunum sabitleri ... 58

3.5 t=1 de genlik=1 için iki soliton simülasyonunun sonuçları ... 59

3.6 Duran solitonun korunum sabitleri, A=1,78 ... 60

3.7 İlerleyen solitonun korunum sabitleri, A=1,78 ... 61

4.1 Korunum sabitleri ve hata normları ... 69

4.2 t=1 zamanında genlik=1 için sonuçların karşılaştırması ... 69

4.3 t=1 zamanında genlik=2 için sonuçların karşılaştırması ... 70

4.4 İki soliton problemi için korunum sabitleri ... 71

4.5 t=1 de genlik=1 için iki soliton simülasyonunun sonuçları ... 72

4.6 Duran solitonun korunum sabitleri, A=1,78 ... 73

4.7 İlerleyen solitonun korunum sabitleri, A=1,78 ... 74

(13)

KISALTMALAR DİZİNİ

Kısaltmalar Açıklama

NLS Nonlinear Schrödinger

KdV Korteweg-de Vries

(14)

BÖLÜM 1

TEMEL KAVRAMLAR

Bu bölümde, Irk’ ¬n (2007) tezinden de al¬nt¬lar yap¬larak, di¼ger bölümlerde kullan¬lacak olan baz¬ kavramlardan k¬saca bahsedilmi¸stir. Ilk olarak dalgalar,· lineer olmayan olu¸sum denklemleri ve korunum kanunlar¬hakk¬nda k¬sa bilgiler verilmi¸stir. Sonlu farklar ve sonlu elemanlar metotlar¬ özetlendiktan sonra, spline fonksiyonlar¬n tan¬m¬verilerek, tezde kullan¬lacak olan baz¬B-spline interpolasyon polinomlar¬ tan¬t¬lm¬¸st¬r. Son olarak, say¬sal çözümleri ara¸st¬r¬lacak olan, NLS denklemi ba¸slang¬ç ve s¬n¬r ¸sartlar¬ile birlikte tan¬t¬lm¬¸st¬r.

1.1 Dalga Teorisi

Dalga, bir ortamda veya bir bo¸slukta yay¬lan ve genellikle enerjinin ta¸s¬nmas¬na yol açan titre¸sime verilen isimdir. En bilindik olanlar¬, suda ilerleyen yüzey dalgalar¬d¬r. Bununla birlikte ses, ¬¸s¬k ve atomun içindeki taneciklerin hareketleri de dalga özelliklerini gösterirler. En basit dalgada bile titre¸simler, sabit bir frekans ve dalga boyu ile periyodik olarak sal¬n¬m yaparlar (bkz. ¸Sekil 1.1).

¸

Sekil 1.1: Basit bir dalga pro…li

Ses dalgalar¬ gibi mekaniksel dalgalar ilerleyebilecekleri bir ortama ihtiyaç du- yarlarken, elektromanyetik dalgalar bir ortama gereksinim duymazlar ve bo¸slukta bile yay¬labilirler. Bir ortamdaki bir dalgan¬n yay¬lmas¬ ortam¬n özelliklerine de ba¼gl¬d¬r (Crawford, F., 1968).

(15)

Dalgalar, duran ve ilerleyen dalgalar olarak s¬n¬‡and¬r¬labilir. Duran dalgalar, pozisyonu sabit olarak kalan dalgalard¬r. Bu tip dalgalar, dalgan¬n bulundu¼gu ortam dalgan¬n hareket etti¼gi yönün tersine hareket etti¼ginde veya dura¼gan bir ortamda birbirleri ile z¬t yönde ilerleyen dalgalar¬n giri¸smesi sonucunda olu¸surlar. ·Ilerleyen dalgalar ise, bir noktadan di¼ger bir noktaya madde ta¸s¬mas¬söz konusu olmaks¬z¬n enerjinin yay¬lmas¬ile olu¸san dalgalard¬r.

Solitonlar ise a¸sa¼g¬daki iki temel özelli¼gi sa¼glayan lineer olmayan dalgalar olarak tan¬mlanabilir (Wadati, M., 2001):

1. ¸Sekil, h¬z gibi özellikleri de¼gi¸smeksizin yay¬lan yerle¸sik dalgalard¬r.

2. Kar¸s¬l¬kl¬ çarp¬¸smaya kar¸s¬ kararl¬d¬rlar ve kendi özelliklerini çarp¬¸sma sonras¬nda koruyabilirler.

Ilk özellik, solitary dalga ¸· sart¬d¬r ve ilk kez ·Iskoçyal¬mühendis olan John Scott Russell (1808-1882) taraf¬ndan tan¬mlanm¬¸st¬r. Ikinci ¸· sart ise parçac¬k özelli¼gine sahip bir dalga anlam¬na gelmektedir.

Solitary dalgalar¬ soliton dalgalar¬na benzeyen dalgalar olarakta tan¬mlanmak- tad¬r, yani çarp¬¸sma sonras¬ özelliklerini korumaya çal¬¸san dalgalard¬r. Bu sebeple solitonumsu dalgalar olarakta adland¬r¬labilirler. Solitary dalgalar¬n¬ke¸sfeden Russel, laboratuvar¬nda su tanklar¬olu¸sturmu¸s ve su tanklar¬n¬n bir ucuna a¼g¬rl¬k b¬rakarak ötelenme dalgalar¬n¬(solitary dalgalar¬) elde edebilmek için deneyler yap- m¬¸s ve solitary dalgalar¬n¬n özellikleri hakk¬nda a¸sa¼g¬daki önemli bilgilere ula¸sm¬¸st¬r (Falkovich, 2007):

(i) Solitary dalgalar¬hsech²(k(x vt))¸sekline sahiptir.

(ii) Yeterince büyük miktardaki su kütlesi, iki veya daha fazla ba¼g¬ms¬z solitary dalgas¬üretir.

(iii) Normal dalgalar¬n aksine solitary dalgalar¬ asla birle¸smezler. Bu sebeple küçük genli¼ge sahip bir solitary dalgas¬ile büyük genli¼ge sahip bir solitary dalgas¬birbirleri ile çarp¬¸st¬ktan sonra, iki solitary dalgas¬birbirlerinden ayr¬larak

(16)

¸sekillerinde bir bozulma olmadan yollar¬na devam edebilirler. Normal dalgalar, ya düzle¸smeye ba¸slar yada dikle¸serek sönecek ¸sekilde hareket ederlerken, solitary dalgalar¬kararl¬d¬r ve uzun mesafelerde yolculuk yapabilirler.

(iv) g yerçekimi ivmesi olmak üzere, h yüksekli¼gine sahip olan ve d derinli¼gindeki bir kanalda hareket eden bir solitary dalgas¬

v =p

g(d + h) (1.1)

ile ifade edilen bir h¬za sahiptir. Di¼ger bir ifade ile dalgan¬n h¬z¬, yüksekli¼gine ve suyun derinli¼gine ba¼gl¬d¬r (bkz. ¸Sekil 1.2).

¸

Sekil 1.2: Bir solitary dalgas¬n¬n hareketi

Dolay¬s¬yla büyük genlikli bir solitary dalgas¬, küçük genlikli bir solitary dalgas¬na göre daha h¬zl¬ hareket eder. Bir solitary dalgas¬n¬n h¬z¬ genli¼gi ile orant¬l¬oldu¼gundan, bir solitary dalga normal dalgalardan farkl¬d¬r. Örne¼gin biri alçak biri yüksek iki ses ayn¬anda olu¸stu¼gunda, kula¼g¬m¬z her iki seside ayn¬ anda duyacakt¬r. Fakat bu iletim esnas¬nda solitary dalgalar¬ kullan¬l- sayd¬, yüksek sesi daha önce duymam¬z gerekirdi. ·Insan vücudundaki sinirler aras¬ndaki ileti¸sim ise normal dalgalar ile yap¬lmazlar. S¬cak bir çay bar- da¼g¬n¬elimize ald¬¼g¬m¬zda, s¬cakl¬¼g¬kademeli olarak hissederken, kor halindeki s¬cak bir kömür parças¬na veya s¬cak bir f¬r¬n¬n içine elimizi yakla¸st¬rd¬¼g¬m¬zda, s¬cakl¬¼g¬hemen hissederek elimizi çekeriz. Dolay¬s¬yla sinirlerimiz bir nevi solitary dalgas¬olu¸sturarak beynimize bilgiyi en k¬sa ¸sekilde normal dalgalara göre daha h¬zl¬olarak iletirler.

O y¬llarda Russell’¬n sonuçlar¬deneysel olarak kalm¬¸s ve bir denklemin çözümü olarak solitary dalgalar¬elde edilememi¸stir. Bununla birlikte, bir denklemin çözümünü

(17)

veren solitary dalga problemleri y¬llarca ara¸st¬rmalara konu olmu¸stur. 1895 y¬l¬nda ünlü Hollandal¬matematikçi Korteweg ve ö¼grencisi de Vries

@u(x; t)

@t + c@u(x; t)

@x + "@³u(x; t)

@x³ + u(x; t)@u(x; t)

@x = 0 (1.2)

formundan s¬¼g su dalgalar¬n¬n hareketi modelleyen denklem üzerine çal¬¸smaya ba¸slam¬¸slard¬r.

Denklemde

u(x; t); dalgan¬n genli¼gine, c = p

gd, küçük genlikli dalgan¬n h¬z¬na,

" = c (d²=6 T =2 g) ; da¼g¬lma parametresine, , lineer olmayan parametreye,

T, yüzey gerilimine;

, suyun yo¼gunlu¼guna;

kar¸s¬l¬k gelmektedir. Korteweg ve de Vries, (1.2) denkleminin

u(x; t) = ~u(x vt) (1.3)

formunda ve ¸sekli de¼gi¸smeyen bir hareketli dalga çözümüne sahip oldu¼gunu göster- mi¸slerdir. Buradaki ~u(x vt)terimi, Russell’¬n solitary dalga tan¬m¬na uymaktad¬r.

Böylece Korteweg ve de Vries, solitary dalgalar¬n varl¬¼g¬n¬kan¬tlam¬¸s olmu¸s ve çal¬¸s- malar¬n¬Korteweg’in dan¬¸smanl¬¼g¬nda, de Vries’in doktora tezinde yay¬nlam¬¸slard¬r (Korteweg and de Vries, 1895). Bununla birlikte, dalgalar¬n kararl¬olup olmad¬klar¬

ve iki solitary dalgas¬n¬n çarp¬¸sma sonras¬nda ¸sekillerinin de¼gi¸sip de¼gi¸smeyece¼gi gibi sorular tezde cevaplanamam¬¸st¬r. 1965 y¬l¬nda Kruskal ve Zabusky, KdV denkleminin sonlu farklar metodu ile çözümlerini ara¸st¬r¬rken, solitary dalgalar¬n¬n çarp¬¸sma sonras¬nda ¸sekillerini de¼gi¸stirmediklerini gözlemlemi¸sler ve bu özelli¼gin parçac¬k- lar¬n çarp¬¸smas¬na benzedi¼gini bularak bu tip dalgalara soliton ad¬n¬ vermi¸slerdir (Zabusky and Kruskal, 1965). Bu çal¬¸sma, soliton teorisi tarihinde önemli bir dönüm noktas¬olmu¸stur. 1967 y¬l¬nda Gardner, Greene, Kruskal ve Miura taraf¬ndan ters

(18)

saç¬lma dönü¸süm metodu geli¸stirilerek, KdV denkleminin soliton çözümlerini analitik olarakta verilmi¸stir (Gardner et.al., 1967).

Soliton çözümleri, hem analitik hemde say¬sal olarak elde edildikten sonra, soliton üzerindeki çal¬¸smalar daha da h¬zlanm¬¸st¬r. Günümüzde ilk kez bir su kanal¬nda gözlenen solitary dalgas¬art¬k soliton olarak; ak¬¸skanlar mekani¼gi, temel parçac¬klar

…zi¼gi, laser …zi¼gi, süperiletkenlik …zi¼gi, biyo…zik gibi bir çok …zik alanlar¬nda kullan¬lmaktad¬r (Chaohao, 1995). Solitonlar ayr¬ca uzun mesafelere yol alabildi¼ginden, teorik olarak bir …ber optikte normal dalga yerine kullan¬lacak olan solitonlar sayesinde, ta¸s¬nan sinyalde herhangi bir kay¬p olmaks¬z¬n, büyük miktardaki bilgi binlerce kilometre boyunca ta¸s¬nabilecektir. Bu sebeple, soliton elektronik ve telekominikasyon alanlar¬nda oldukça s¬k çal¬¸s¬lmaktad¬r. 2006 y¬l¬nda Harvard üniversitesi elektrik mühendisli¼ginde görevli olan Donhee Ham ve iki doktora ö¼grencisi David Ricketts ve Xiaofenh Li taraf¬ndan geli¸stilen elektronik bir ayg¬t sayesinde, soliton dalgalar¬ elde edilmi¸stir. Bu bulu¸s ile normal dalgalar yerine soliton dalgalar¬n¬n kullan¬lmas¬n¬n yolu aç¬lm¬¸st¬r ve yak¬n gelecekte radar, ileti¸sim sektörü gibi bir çok yerde solitonlar kullan¬lacakt¬r (Harvard Gazette archives, 2006).

1.2 Lineer Olmayan Olu¸sum Denklemleri

Ba¼g¬ms¬z de¼gi¸skenlerinden biri t zaman¬olan k¬sm¬türevli diferensiyel denklemlere olu¸sum denklemleri denilmektedir. Olu¸sum denklemleri, K[u]; u ve u’nun x de¼gi¸skenine göre türevlerinin tan¬ml¬fonksiyonu olmak üzere

u_t= K[u] (1.4)

formundad¬r. E¼ger K[u], u terimine göre lineer ise, bu tip denklemlere lineer olu¸sum denklemleri ve K[u], u terimine göre lineer de¼gil ise, bu tip denklemlere lineer olmayan olu¸sum denklemleri denilmektedir.

Lineer dalga denklemi veya bir teldeki titre¸simi, ¬s¬ iletimini tan¬mlayan denklemler lineer olu¸sum denklemlerine iki basit örnektir. Lineer olmayan olu¸sum denklemleri ise, mekanik, …zik, kimya, biyoloji gibi bir çok daldaki problemlerde gö- zlenmektedir. A¸sa¼g¬da bu tip denklemlere bir kaç örnek verilmi¸stir (Zheng, 2004):

(19)

(i)

@u

@t + u@u

@x = 0 (1.5)

formundaki birinci mertebeden lineer olmayan olu¸sum denklemi, bir boyutlu tra…k çal¬¸smalar¬ndan türetilmi¸stir. Bu durumda u(x; t); t zaman¬nda x konumundaki araçlar¬n yo¼gunlu¼gunu göstermektedir. (1.5) denklemi, korunum kanunlar¬na sahip olan gaz dinami¼gi çal¬¸smalar¬için bir model denklem olarakta kullan¬lmaktad¬r.

(ii) ·Ikinci mertebeden lineer olmayan olu¸sum denklemleri ile de kar¸s¬la¸s¬labilir.

Örne¼gin, anl¬k s¬cakl¬¼ga ba¼gl¬olarak birim zamanda ¬s¬üreten bir ¬s¬kayna¼g¬yla, bir cisimdeki ¬s¬transferini incelenirse

@u

@t = div(kru) + f(u) (1.6)

ile verilen lineer olmayan ¬s¬denklemine ula¸s¬l¬r.

Yer de¼gi¸stirmeye ba¼gl¬, lineer olmayan bir d¬¸s kuvvet nedeniyle zorlamal¬titre¸simi göz önüne al¬n¬rsa

@²u

@t² a²@²u

@x² = f (u) (1.7)

formundaki lineer olmayan dalga denklemine ula¸s¬labilir.

(iii) ·Ikinci mertebeden denklemlere ilave olarak, yüksek mertebeden lineer olmayan olu¸sum denklemleri ilede kar¸s¬la¸s¬labilir. Örne¼gin polimerler, camlar ve bun- lar gibi ikili ala¸s¬mlar¬n faz geçi¸sleri üzerinde yap¬lan çal¬¸smalarda, a¸sa¼g¬da verilen Cahn-Hilliard denklemine ula¸s¬l¬r:

u_t+ ²u = (u) (1.8)

(1.8) denklemde belirli bir küçük sabit ve genellikle (u) = u³ u olarak al¬n- maktad¬r. (1.8) denkleminin dördüncü merteden bir olu¸sum denklemi oldu¼gunu belirtelim. Yüksek mertebeden olu¸sum denklemlerine di¼ger bir örnek ise

u_t+ 6uu_x+ u_xxx = 0 (1.9)

formundaki me¸shur KdV denklemidir.

(20)

1.3 Korunum Kanunlar¬

(1.4) lineer olmayan olu¸sum denklemlerinin korunum kanunu

T^t+X^x = 0 (1.10)

formundad¬r. Burada T [u] ve X [u] s¬ras¬yla, u ve u fonksiyonunun x de¼gi¸skenine göre türevlerini içeren korunumlu yo¼gunluk ve ilgili ak¬d¬r. T^t ve X^x s¬ras¬yla t ve xde¼gi¸skenlerine göre tam türevi ifade ederler ve

T^t = @T

@uu_t+ @T

@u_xu_tx+ : : : ; X^x = @X

@uu_t+ @X

@ux

u_xx+ : : :

(1.11)

¸seklinde tan¬ml¬d¬rlar.

(1.10) denkleminin x de¼gi¸skenine göre, bir (A; B) aral¬¼g¬nda integrali al¬nd¬¼g¬nda ZB

A

@

@tT dx + X j^BA = @

@t ZB

A

T dx + X j^BA = 0 (1.12)

elde edilir. (B A)’n¬n periyodun tam kat¬ oldu¼gu veya u(x; t)’nin x ! 1 ve (A; B) = ( 1; 1) iken s¬f¬ra gitti¼gi uygun periyodik s¬n¬r ko¸sullar¬alt¬nda, (1.12) e¸sitli¼ginden

@

@t ZB

A

T dx = 0

ifadesi bulunur. Buradan t de¼gi¸skenine göre integral al¬nd¬¼g¬nda ZB

A

T dx = sabit

hareket sabiti elde edilir (Fordy, 1990; Irk, 2007).

1.4 Sonlu Farklar-Sonlu Elemanlar Metotlar¬

Mühendislik ve fen alanlar¬nda kar¸s¬la¸s¬lan ve …ziksel olaylar¬ modelleyen ço¼gu problemler adi diferensiyel denklemler, k¬smi türevli diferensiyel denklemler, adi diferensiyel denklem sistemleri veya k¬sm¬türevli diferensiyel denklem sistemleri ile ifade edilirler. Bu tip denklemlerin veya denklem sistemlerinin analitik çözümlerinin

(21)

olmad¬¼g¬ya da analitik çözümlerin çok karma¸s¬k oldu¼gu durumlarda, bu denklemleri çözebilmek için say¬sal yöntemler kullan¬lmaktad¬r. Sonlu farklar ve sonlu elemanlar metotlar¬bu yöntemlerden ikisidir.

1.4.1 Sonlu farklar metodu

Sonlu farklar metodunun temeli, bir diferensiyel denklemin tan¬m aral¬¼g¬, sonlu say¬da bölünme noktalar¬na ayr¬larak, her bir bölünme noktas¬ndaki türev de¼gerleri yerine, sonlu fark yakla¸s¬mlar¬n¬n yaz¬lmas¬olarak özetlenebilir. Böylece diferensiyel denklem bir cebirsel denkleme dönü¸sür.

Bir de¼gi¸sken içeren ifadeler için sonlu fark yakla¸s¬mlar¬, Taylor serisi yard¬m¬yla elde edilir.

[a; b]tan¬m aral¬¼g¬için, N bir pozitif tamsay¬, h = b a

N ve parçalanma noktalar¬

x_i = a + ih; i = 0; 1; : : : ; N

olsun. Bu durumda, U (x) fonksiyonu ve türevleri tan¬m aral¬¼g¬ üzerinde sürekli olmak üzere, U (xi+h)ve U (xi h)ifadelerinin xi noktas¬ndaki Taylor seri aç¬l¬mlar¬

U (x_i+ h) = U (x_i) + hU_x(x_i) + h²

2!U_xx(x_i) + h³

3!U_xxx(x_i) + : : : ; (1.13) U (x_i h) = U (x_i) hU_x(x_i) + h²

2!U_xx(x_i) h³

3!U_xxx(x_i) + : : : (1.14) olarak bulunabilir. S¬ras¬yla, (1.13-1.14) e¸sitlikleri

U_x(x_i) = U (x_i+ h) U (x_i) h

h

2!U_xx(x_i) h²

3!U_xxx(x_i) : : : ; (1.15) U_x(x_i) = U (x_i) U (x_i h)

h + h

2!U_xx(x_i) h²

3!U_xxx(x_i) + : : : (1.16) olarak yaz¬labilece¼ginden U ifadesinin xi noktas¬ndaki birinci türevi

U_x(x_i) = U (x_i+ h) U (x_i)

h +O(h) = U_i+1 U_i

h +O(h); (1.17)

U_x(x_i) = U (x_i) U (x_i h)

h +O(h) = U_i U_{i 1}

h +O(h) (1.18)

formunda yakla¸s¬k olarak bulunabilir. (1.17-1.18) ile bulunan yakla¸s¬mlar s¬ras¬yla ileri ve geri fark yakla¸s¬mlar¬olarak adland¬r¬l¬r. Her iki yakla¸s¬mda da görüldü¼gü

(22)

gibi, seri belli bir yerden kesilmi¸stir. Dolay¬s¬yla bu kesme i¸slemi sebebiyle bir hata olu¸sacakt¬r. Olu¸san hatalar, serinin kesildi¼gi yerden sonraki ilk terime göre de¼gerlendirilir ve O(:) ile gösterilir.

E¼ger (1.14) e¸sitli¼gi, (1.13) e¸sitli¼ginden ç¬kar¬l¬r ve düzenlenirse U_x(x_i) = U (xi+ h) U (xi h)

2h +O(h²);

U_x(x_i) = U_i+1 U_{i 1}

2h +O(h²) (1.19)

formunda birinci türev için merkezi fark yakla¸s¬m¬ da bulunabilir. Ayr¬ca, (1.13) ve (1.14) e¸sitlikleri taraf tarafa toplan¬rsa

U_xx(x_i) = U (xi+ h) 2U (xi) + U (xi h)

h² +O(h²);

U_xx(x_i) = U_i+1 2U_i+ U_{i 1}

h² +O(h²) (1.20)

formunda ikinci türev için sonlu fark yakla¸s¬m¬da bulunabilir.

Benzer ¸sekilde, iki de¼gi¸skenli fonksiyonlar için sonlu fark yakla¸s¬mlar¬da Taylor serisi kullan¬larak bulunabilir. N; M pozitif tamsay¬lar, a x b , a⁰ y b⁰, h = b a

N ; k = b⁰ a⁰

M ve parçalanma noktalar¬

x_i = a + ih; i = 0; 1; : : : ; N ve yj = a⁰+ jk; j = 0; 1; : : : ; M

olsun. Bu durumda, x ve y de¼gi¸skenlerine göre birinci türev için ileri, geri ve merkezi sonlu fark yakla¸s¬mlar¬s¬ras¬yla

U_x(x_i; y_j) = U_i+1;j U_i;j

h +O(h); (1.21)

U_x(x_i; y_j) = U_i;j U_{i 1;j}

h +O(h); (1.22)

U_x(x_i; y_j) = U_i+1;j U_{i 1;j}

2h +O(h²); (1.23)

U_y(x_i; y_j) = U_i;j+1 U_i;j

k +O(k); (1.24)

U_y(x_i; y_j) = U_i;j U_{i;j 1}

k +O(k); (1.25)

U_y(x_i; y_j) = U_i;j+1 U_{i;j 1}

2k +O(k²) (1.26)

(23)

olarak bulunabilir. Ikinci ve üçüncü türev için sonlu fark yakla¸· s¬mlar¬ da benzer

¸sekilde bulunabilir. Ayr¬nt¬l¬ bilgi için (Lapidus and Pinder, 1982; Smith, 1978;

Thomas, 1995) incelenebilir.

Crank-Nicolson Metodu

Say¬sal analizde Crank-Nicolson metodu bir sonlu farklar metodudur. Crank- Nicolson metodu, zamana göre ikinci dereceden ve kapal¬ bir metot olup John Crank ve Phyllis Nicolson taraf¬ndan bulunmu¸stur (Crank and Nicolson, 1947).

Crank ve Nicolson metotlar¬nda, diferensiyel denklemin sonlu fark metoduyla say¬sal çözümünü ara¸st¬rmak için

ut ' uⁿ⁺¹ uⁿ

t ; (1.27)

u = uⁿ⁺¹+ uⁿ

2 ;

u_x = (u_x)ⁿ⁺¹+ (u_x)ⁿ

2 ;

...

e¸sitliklerinin kullan¬lmas¬n¬önermi¸slerdir. Görüldü¼gü gibi, zamana göre türev için ileri sonlu fark yakla¸s¬m¬kullan¬l¬rken, kalan terimlerde ¸simdiki zaman ve bir sonraki zamandaki de¼gerlerin ortalamalar¬ al¬nm¬¸st¬r. Zamana göre türev için geri veya merkezi sonlu fark yakla¸s¬mlar¬da kullan¬labilir.

Bir boyutlu problemler için Crank-Nicolson yakla¸s¬m¬¸Sekil 1.3’de gösterilmi¸stir.

¸

Sekil 1.3: Crank-Nicolson yakla¸s¬m¬

(24)

Crank-Nicolson metodunun uygulanmas¬n¬basit bir örnek üzerinde incelersek, a reel bir sabit olmak üzere

u_t= au_xx

formundaki k¬sm¬türevli diferensiyel denklem, konum art¬m¬h ve zaman art¬m¬ t olmak üzere, ilgili türevler için sonlu fark yakla¸s¬mlar¬n¬n kullan¬lmas¬sonucunda

uⁿ⁺¹_m uⁿ_m

t = a(u_xx)ⁿ⁺¹_m + (u_xx)ⁿ_m 2

uⁿ⁺¹_m uⁿ_m

t = a

2

uⁿ_m+1 2uⁿ_m+ uⁿ_m

h² +uⁿ⁺¹_m+1 2uⁿ⁺¹_m + uⁿ⁺¹_m h²

e¸sitli¼gine dönecektir.

1.4.2 Sonlu elemanlar metodu

Sonlu farklar metodunda, üzerinde çal¬¸s¬lan tan¬m aral¬¼g¬ biribirlerinden farkl¬

olan noktalar kümesi ile yer de¼gi¸stirilirken, sonlu elemanlar metodunda, tan¬m böl- gesi sonlu elemanlar olarak adland¬r¬lan alt tan¬m bölgelerine ayr¬l¬r. Ayr¬ca sonlu elemanlar metodunda aranan çözüm fonksiyonu, her bir sonlu eleman üzerinde ken- disi ve belirli bir dereceye kadar türevleri sürekli olan interpolasyon polinomlar¬ile temsil edilir. Dolay¬s¬yla sonlu elemanlar ve sonlu farklar metotlar¬ aras¬nda bir tak¬m farkl¬l¬klar vard¬r. Bu farkl¬l¬klar a¸sa¼g¬da k¬saca özetlenmi¸stir:

Sonlu farklar metodunda, diferensiyel denklemdeki türev de¼gerleri için bir yakla¸s¬m yap¬l¬rken, sonlu elemanlar metodunda ise diferensiyel denklemin çözümü için bir yakla¸s¬m yap¬l¬r.

Ço¼gu …ziksel problem, türevler ve düzensiz s¬n¬rlar içeren s¬n¬r ko¸sullar¬na sahiptir. Bu tip problemlerin sonlu farklar metodu ile çözülmeleri zordur.

Ayr¬ca sonlu farklar metodu, problemin çözüm bölgesinin düzgün geometrik

¸sekiller olmas¬durumunda iyi sonuç vermesine kar¸s¬l¬k, sonlu elemanlar metodu hem düzgün, hemde düzgün olmayan karma¸s¬k geometrik bölgelerdeki çözüm- lerde iyi sonuçlar vermektedir.

Sonlu farklar metodunun en önemli özelli¼gi uygulanmas¬n¬n kolay olmas¬d¬r.

(25)

Bölünme noktalar¬aras¬ndaki bir de¼ger için, sonlu farklar metodu ile bir yakla¸s¬m yap¬lamazken, sonlu elemanlar metodunda her bir alt aral¬¼ga kar¸s¬l¬k interpolasyon polinomu tan¬mland¬¼g¬ndan, bölünme noktalar¬aras¬ndaki de¼ger- ler için de bir yakla¸s¬m yap¬labilir.

Sonlu elemanlar yakla¸s¬m¬, genelde sonlu farklar yakla¸s¬m¬ndan daha iyidir.

Fakat bu durum probleme ba¼gl¬d¬r ve aksi örnekler bulunabilir.

Sonlu farklar metotlar¬n¬elde etmek için Taylor serileri yeterli olurken, sonlu elemanlar metotlar¬n¬elde etmek daha zor i¸slemler ve daha fazla bilgi gerek- tirir.

Ayr¬nt¬ya girmeden sonlu elemanlar metodunun temeli say¬lan a¼g¬rl¬kl¬rezidüler metodunu ve kolokey¸sin metodunu inceleyelim.

A¼g¬rl¬kl¬Rezidüler Metodu

Lu(x) = f (x) (1.28)

¸seklinde ifade edilen bir diferensiyel denklemde; L bir lineer diferensiyel operatör, f (x)bilinen bir fonksiyon ve u(x) aranan çözüm olsun. (1.28) diferensiyel denkleminin say¬sal çözümü için a¼g¬rl¬kl¬rezidü metodu kullan¬ld¬¼g¬nda, aranan u(:) ifadesi yerine

u(x) u(x) =~ XN

j=1

a_j _j(x) (1.29)

formundaki ~u(:)sonlu yakla¸s¬m serisi kullan¬l¬r.

(1.29) e¸sitli¼ginde verilen _j(x); j = 1; : : : ; N fonksiyonu, diferensiyel denklemin tan¬m bölgesi üzerinde tan¬ml¬d¬r ve aj; j = 1; : : : ; N bilinmeyen katsay¬lard¬r.

Sonlu elemanlar metodunda, _j(:)fonksiyonlar¬problem için verilen tüm s¬n¬r ¸sartlar¬n¬sa¼glayacak ¸sekilde seçilirler ama genelde diferensiyel denklemi sa¼glamazlar.

A¼g¬rl¬kl¬rezidüler metodu, ~u(x)yakla¸s¬k çözümüyle orijinal denklem aras¬ndaki sapma miktar¬n¬minimuma indirmeyi amaçlar. Bu sapma ölçüsü rezidü ile tan¬m- lan¬r:

R(x) = L~u(x) f (x) = L~u(x) Lu(x) (1.30)

(26)

W_j a¼g¬rl¬k fonksiyonlar¬a¸sa¼g¬daki integrasyonu minimize edecek biçimde tan¬m- lanm¬¸s olan özel fonksiyonlar olmak üzere, (1.30) ile verilen rezidü ifadesi; Wj(x) a¼g¬rl¬k fonksiyonlar¬ile çarp¬larak tan¬m bölgesi üzerindeki integrali an¬l¬rsa

Z

W_j(x)R(x)dx = 0, j = 1; : : : ; N (1.31) formunda N bilinmeyen N denklemden olu¸san denklem sistemi elde edilir. Bu sistemden aj bilinmeyenleri bulunarak (1.29) e¸sitli¼ginde yerine yaz¬l¬rsa ~u(x)yakla¸s¬k çözümüne ula¸s¬l¬r.

Kolokey¸sin Metodu

Kolokey¸sin metodu, a¼g¬rl¬kl¬rezidü metodunun bir uygulamas¬d¬r. Bu metotta W_j a¼g¬rl¬k fonksiyonlar¬olarak

W_j = 8<

:

1; x = x_j

0; di¼ger durumlarda

(1.32)

fonksiyonlar¬seçilir. R(xj) = 0; j = 1; : : : ; N oldu¼gunda, (1.31) integralinin sonucu s¬f¬r olacakt¬r. Dolay¬s¬yla kolokey¸sin metodu için çözüm, (1.29) e¸sitli¼ginin say¬sal çözümü aranan denklemde yerine yaz¬lmas¬yla

L~u(x) f (x) = 0 L

XN j=1

a_j _j(x)

!

f (x) = 0 (1.33)

formunda elde edilir (Lapidus and Pinder, 1982).

1.5 Spline Fonksiyonlar

Çok say¬daki veri noktalar¬na bir tek e¼gri ile yakla¸smak büyük kolayl¬klar sa¼glasa da baz¬durumlarda büyük hatalara neden olabilir. Ayr¬ca bu amaç için kullan¬lan Newton ve Lagrange interpolasyon polinomlar¬n¬n dereceleri, nokta say¬s¬ço¼gald¬kça artaca¼g¬ndan bu tür polinomlarla yap¬lacak i¸slemler zorla¸s¬r. Bu gibi durumlarda

(27)

ard¬ard¬na gelen iki veri aras¬nda birinci, ikinci, üçüncü yada daha yüksek dereceden fonksiyonlarla yakla¸s¬m¬n yap¬ld¬¼g¬spline interpolasyon yöntemi önerilmektedir.

Spline interpolasyonu; tan¬mlanan aral¬k üzerinde, biribirlerini örtmeyen alt aral¬k- larda, daha küçük dereceden polinom bulma esas¬na dayanmaktad¬r.

Spline fonksiyonlar, a¸sa¼g¬daki özellikleri sa¼glayan parçal¬polinom fonksiyonlard¬r:

Spline fonksiyonlar, düzgün fonksiyonlard¬r (yeterince türeve sahip).

Spline fonksiyonlar, uygun baza sahip olan sonlu boyutlu lineer uzaylard¬r.

Spline fonksiyonlar¬n elle hesaplanmas¬ve bilgisayar programlar¬n¬n yap¬lmas¬

kolayd¬r.

Spline fonksiyonlar¬n türevleri ve integralleri de spline fonksiyonlard¬r.

Küçük dereceden spline fonksiyonlar çok esnektir ve polinomlardaki gibi sal¬n¬m sergilemezler.

Spline fonksiyonlar¬n bir özel hali B-spline fonksiyonlar¬d¬r. Farkl¬ dereceden B-spline fonksiyonlar¬vard¬r. Örne¼gin 0: dereceden B-spline fonksiyonu

B_i⁰ = 8<

:

1; x_i x < x_i+1 0; di¼ger durumlar

(1.34) formunda tan¬mlan¬r. Burada

: : : < x ₂ < x ₁ < x₀ < x₁ < x₂ < : : : ve lim

i!1x_i =1 = lim

i!1x_i (1.35) B-spline fonksiyonlar¬n olu¸sturulaca¼g¬noktalar¬n bir kümesidir. B_i⁰B-spline fonksiyonunun süreksiz oldu¼gu aç¬kt¬r. Di¼ger yandan s¬çraman¬n olu¸stu¼gu her noktada

lim

x!x⁺i

B_i⁰(x) = 1 = B_i⁰(x_i)

lim

x!x⁺i+1

B_i⁰(x) = 0 = B_i⁰(x_i+1) 9>

>>

=

>>

>;

her i ve xi için (1.36)

(28)

oldu¼gundan B_i⁰ B-spline fonksiyonu sa¼gdan süreklidir. Yukar¬daki verilen iki e¸sit- likten dolay¬da B_i⁰(x) B-spline fonksiyonunun

Her i ve xi için, B_i⁰(x) 0;

Her x için, X1 i= 1

B_i⁰(x) = 1 = B_i⁰(x_i+1) (1.37)

özelliklerini sa¼glad¬¼g¬ve sadece [xi; x_i+1) aral¬¼g¬nda de¼ger ald¬¼g¬aç¬kt¬r.

Yüksek dereceden B-spline fonksiyonlar¬ise

B_i^k = x x_i

x_i+k x_iB_i^{k 1}(x) + x_i+k+1 x

x_i+k+1 x_i+1B_i+1^{k 1}(x) (1.38) k = 1; 2; : : : i = 0; 1; 2; : : :

indirgeme ba¼g¬nt¬s¬yard¬m¬yla türetilebilir (Höllig, 2003). B_i^k B-spline fonksiyonu ayn¬nokta dizileri için tan¬ml¬ve derecesi k olan spline fonksiyonlar için taband¬r.

Ayr¬ca derecesi k olan B-spline fonksiyonu, 1 < i < 1 ve

(x x_m+i)^k₊= 8<

:

(x x_m+i)^k ; x_m+i x 0 x_m+i > x

(1.39)

olmak üzere

B_i^k(x) = 1 h^k

Xk+1 k=0

k + 1

m ( 1)^m(x x_m+i)^k₊ (1.40) formülü kullan¬larakta elde edilebilir. (1.40) ifadesi, x x_i ve x x_i+m+1 oldu¼gunda B_i^k(x) = 0durumunu sa¼glar ve derecesi k olan B-spline, k 1kez sürekli türeve sahip olur.

1.5.1 Kuintik B-spline interpolasyon polinomlar¬

[a; b] aral¬¼g¬

a = x₀ < x₁ < : : : < x_N = b (1.41) dü¼güm noktalar¬ kullan¬larak h = xi+1 x_i; i = 0; : : : ; N 1 e¸sit uzunluklu N sonlu eleman ile ayr¬¸st¬r¬ls¬n. _m kuintik B-spline fonksiyonlar¬, çözüm bölgesi [a; b]

(29)

aral¬¼g¬n¬n d¬¸s¬nda 10 ilave dü¼güm noktas¬ile birlikte tan¬mlan¬r. Bu ilave dü¼güm noktalar¬

x ₅ < x ₄ < x ₃ < x ₂ < x ₁ < x₀ ve xN < x_{N +1} < x_{N +2} < x_{N +3} < x_{N +4}< x_{N +5} dir. Kuintik B-spline fonksiyonlar¬n bir kümesi ₂; : : : ; _{N +2} ; [a; b] aral¬¼g¬ üz- erinde tan¬mlanm¬¸s fonksiyonlar için bir taband¬r (Prenter, 1975).

m kuintik B-spline fonksiyonlar¬, m = 2; 1; : : : ; N + 2 için a¸sa¼g¬daki gibi tan¬mlan¬r:

m(x) =

1 h⁵

8>

>>

<

>>

>:

(x x_{m 3})⁵; [x_{m 3}; x_{m 2}]

(x x_{m 3})⁵ 6(x x_{m 2})⁵; [x_{m 2}; x_{m 1}]

(x x_{m 3})⁵ 6(x x_{m 2})⁵ + 15(x x_{m 1})⁵; [x_{m 1}; x_m] (x x_{m 3})⁵ 6(x x_{m 2})⁵ + 15(x x_{m 1})⁵ 20(x x_m)⁵; [x_m; x_m+1] (x x_{m 3})⁵ 6(x x_{m 2})⁵ + 15(x x_{m 1})⁵ 20(x x_m)⁵+

15(x x_m+1)⁵; [x_m+1; x_m+2] (x x_{m 3})⁵ 6(x x_{m 2})⁵ + 15(x x_{m 1})⁵ 20(x x_m)⁵+

15(x x_m+1)⁵ 6(x x_m+2)⁵; [x_m+2; x_m+3]

(1.42)

m(x) kuintik B-spline fonksiyonu ve onun ilk üç türevi, [xm 3; x_m+3] aral¬¼g¬n¬n d¬¸s¬nda s¬f¬rd¬r. ⁰ ,⁰⁰ ve ⁰⁰⁰; x’ e göre birinci, ikinci ve üçüncü türevleri göster- mek üzere, [xm 3; x_m+3] aral¬¼g¬nda _m(x); ⁰_m(x); ⁰⁰_m(x) ve ⁰⁰⁰_m(x) fonksiyonlar¬n¬n bölünme noktalar¬ndaki de¼gerleri Tablo 1.1 de verilmi¸stir.

(30)

Tablo 1.1: Bölünme noktalar¬ndaki kuintik B-spline de¼gerleri

x x_{m 3} x_{m 2} x_{m 1} x_m x_m+1 x_m+2 x_m+3

m(x) 0 1 26 66 26 1 0

h ⁰_m(x) 0 5 50 0 50 5 0

h² ⁰⁰_m(x) 0 20 40 120 40 20 0

h³ ⁰⁰⁰_m(x) 0 60 120 0 120 60 0

Kuintik B-spline kolokey¸sin metodunda, kuintik B-spline fonksiyonlar¬ taban fonksiyonlar¬olarak kullan¬larak, U (x; t) analitik çözümü için yakla¸s¬k çözüm

U_N(x; t) =

N +2X

m= 2

m(t) _m(x) (1.43)

formunda aran¬r.

[xm; xm+1] aral¬¼g¬6 ard¬¸s¬k _{m 2}; _{m 1}; _m; _m+1; _m+2; _m+3 kuintik B-spline fonksiyonu taraf¬ndan örtülür. Ayr¬ca [xm; x_m+1] elaman¬üzerinde, 6 ard¬¸s¬k _{m 2};

m 1; _m; _m+1; _m+2; _m+3 kuintik B-spline fonksiyonlar¬ d¬¸s¬ndaki di¼ger tüm kuintik B-spline fonksiyonlar¬ s¬f¬r olaca¼g¬ndan, bu eleman üzerindeki UN yakla¸s¬k çözümü

U_N(x; t) =

m+3X

j=m 2

j(t) _j(x) (1.44)

e¸sitli¼gine indirgenecektir.

Tablo 1.1 ve (1.44) yakla¸s¬k çözümünün kullan¬lmas¬ile xm bölünme noktas¬nda U_N ve ilk üç türevi

(31)

U_N(x_m; t) =

m+3X

j=m 2

j(x) _j(t) = _{m 2}+ 26 _{m 1}+ 66 _m+ 26 _m+1+ _m+2;

U_N⁰ (x_m; t) =

m+3X

j=m 2

0j(x) _j(t) = 5

h( _m+2+ 10 _m+1 10 _{m 1} _{m 2}) ;

U_N⁰⁰(x_m; t) =

m+3X

j=m 2

00j(x) _j(t) = 20

h² ( _m+2+ 2 _m+1 6 _m+ 2 _{m 1}+ _{m 2}) ;

U_N⁰⁰⁰(x_m; t) =

m+3X

j=m 2 000

j (x) _j(t) = 60

h³ ( _m+2 2 _m+1+ 2 _{m 1} _{m 2})

(1.45) olarak hesaplanabilir.

1.5.2 Sektik B-spline interpolasyon polinomlar¬

[a; b] aral¬¼g¬

a = x₀ < x₁ < : : : < x_N = b (1.46) dü¼güm noktalar¬ kullan¬larak h = xi+1 x_i; i = 0; : : : ; N 1 e¸sit uzunluklu N sonlu eleman ile ayr¬¸st¬r¬ls¬n. _m sektik B-spline fonksiyonlar¬, çözüm bölgesi [a; b]

x ₆ < x ₅ < x ₄ < x ₃ < x ₂ < x ₁ < x₀ ve xN < xN +1 < xN +2 < xN +3< xN +4< xN +5< xN +6

dir. Sektik B-spline fonksiyonlar¬n bir kümesi ₃; : : : ; _{N +2} ; [a; b]aral¬¼g¬üzerinde tan¬mlanm¬¸s fonksiyonlar için bir taband¬r (Prenter, 1975).

m sektik B-spline fonksiyonlar¬, m = 3; 2; : : : ; N + 2 için a¸sa¼g¬daki gibi tan¬mlan¬r:

(32)

m(x) =

1 h⁶

8>

>>

><

>>

:

(x x_{m 3})⁶; [x_{m 3}; x_{m 2}]

(x x_{m 3})⁶ 7(x x_{m 2})⁶; [x_{m 2}; x_{m 1}]

(x x_{m 3})⁶ 7(x x_{m 2})⁶ + 21(x x_{m 1})⁶; [x_{m 1}; x_m] (x x_{m 3})⁶ 7(x x_{m 2})⁶ + 21(x x_{m 1})⁶ 35(x x_m)⁶; [x_m; x_m+1] (x x_m+4)⁶ 7(x x_m+3)⁶ + 21(x x_m+2)⁶; [x_m+1; x_m+2]

(x x_m+4)⁶ 7(x x_m+3)⁶; [x_m+2; x_m+3]

(x x_m+4)⁶; [x_m+3; x_m+4]

(1.47)

m(x) sektik B-spline fonksiyonu ve onun ilk üç türevi, [xm 3; xm+4] aral¬¼g¬n¬n d¬¸s¬nda s¬f¬rd¬r. ⁰ ,⁰⁰ ve ⁰⁰⁰; x’ e göre birinci, ikinci ve üçüncü türevleri göster- mek üzere, [xm 3; xm+4] aral¬¼g¬nda _m(x); ⁰_m(x); ⁰⁰_m(x) ve ⁰⁰⁰_m(x) fonksiyonlar¬n¬n bölünme noktalar¬ndaki de¼gerleri Tablo 1.2 de verilmi¸stir.

Tablo 1.2: Bölünme noktalar¬ndaki sektik B-spline de¼gerleri

x x_{m 3} x_{m 2} x_{m 1} x_m x_m+1 x_m+2 x_m+3 x_m+4

m(x) 0 1 57 302 302 57 1 0

h ⁰_m(x) 0 6 150 240 240 150 6 0

h² ⁰⁰_m(x) 0 30 270 300 300 270 30 0

h³ ⁰⁰⁰_m(x) 0 120 120 960 960 120 120 0

Sektik B-spline kolokey¸sin metodunda, sektik B-spline fonksiyonlar¬taban fonksiyonlar¬olarak kullan¬larak, U (x; t) analitik çözümü için yakla¸s¬k çözüm

U_N(x; t) =

N +2X

m= 3

m(t) _m(x) (1.48)

formunda aran¬r.

[x_m; x_m+1] aral¬¼g¬7 ard¬¸s¬k _{m 3}; _{m 2}; _{m 1}; _m; _m+1; _m+2; _m+3 sektik B- spline fonksiyonu taraf¬ndan örtülür. Ayr¬ca [xm; x_m+1] elaman¬üzerinde, 7 ard¬¸s¬k

m 3; _{m 2}; _{m 1}; _m; _m+1; _m+2; _m+3 sektik B-spline fonksiyonlar¬ d¬¸s¬ndaki

(33)

di¼ger tüm sektik B-spline fonksiyonlar¬s¬f¬r olaca¼g¬ndan, bu eleman üzerindeki UN

yakla¸s¬k çözümü

U_N(x; t) =

m+3X

j=m 3

j(t) _j(x) (1.49)

U_N(x_m; t) =

m+3X

j=m 3

j(x) _j(t) = _{m 3}+ 57 _{m 2}+ 302 _{m 1}+ 302 _m+ 57 _m+1+ _m+2;

U_N⁰ (x_m; t) =

m+3X

j=m 3

0j(x) _j(t) = 6

h( _m+2 + 25 _m+1+ 40 _m 40 _{m 1} 25 _{m 2} _{m 3}) ;

U_N⁰⁰(x_m; t) =

m+3X

j=m 3

00j(x) _j(t) = 30

h² ( _m+2+ 9 _m+1 10 _m 10 _{m 1}+ 9 _{m 2}+ _{m 3}) ;

U_N⁰⁰⁰(x_m; t) =

m+3X

j=m 3

000j (x) _j(t) = 120

h³ ( _m+2+ _m+1 8 _m+ 8 _{m 1} _{m 2} _{m 3}) (1.50) olarak hesaplanabilir.

1.5.3 Septik B-spline interpolasyon polinomlar¬

[a; b] aral¬¼g¬

a = x0 < x1 < : : : < xN = b (1.51) dü¼güm noktalar¬ kullan¬larak h = xi+1 x_i; i = 0; : : : ; N 1 e¸sit uzunluklu N sonlu eleman ile ayr¬¸st¬r¬ls¬n. _m septik B-spline fonksiyonlar¬, çözüm bölgesi [a; b]

x ₇ < x ₆ < x ₅ < x ₄ < x ₃ < x ₂ < x ₁ < x₀ ve x_N < x_{N +1} < x_{N +2} < x_{N +3}< x_{N +4}< x_{N +5}< x_{N +6}< x_{N +7}

(34)

dir. Septik B-spline fonksiyonlar¬n bir kümesi ₃; : : : ; _{N +3} ; [a; b] aral¬¼g¬ üz- erinde tan¬mlanm¬¸s fonksiyonlar için bir taband¬r (Prenter, 1975).

m septik B-spline fonksiyonlar¬, m = 3; 2; : : : ; N + 3 için a¸sa¼g¬daki gibi tan¬mlan¬r:

m(x) =

1 h⁷

8>

>>

<

>>

>:

(x x_{m 4})⁷; [x_{m 4}; x_{m 3}] ;

(x x_{m 4})⁷ 8(x x_{m 3})⁷; [x_{m 3}; x_{m 2}] ;

(x x_{m 4})⁷ 8(x x_{m 3})⁷ + 28(x x_{m 2})⁷; [x_{m 2}; x_{m 1}] ; (x x_{m 4})⁷ 8(x x_{m 3})⁷ + 28(x x_{m 2})⁷ 56(x x_{m 1})⁷; [x_{m 1}; x_m] ; (x_m+4 x)⁷ 8(x_m+3 x)⁷ + 28(x_m+2 x)⁷ 56(x_m+1 x)⁷; [x_m; x_m+1] ; (x_m+4 x)⁷ 8(x_m+3 x)⁷ + 28(x_m+2 x)⁷; [x_m+1; x_m+2] ;

(x_m+4 x)⁷ 8(x_m+3 x)⁷; [x_m+2; x_m+3] ;

(x_m+4 x)⁷; [x_m+3; x_m+4] ;

(1.52)

m(x) septik B-spline fonksiyonu ve onun ilk üç türevi, [xm 4; x_m+4] aral¬¼g¬n¬n d¬¸s¬nda s¬f¬rd¬r. ⁰ ,⁰⁰ ve ⁰⁰⁰; x’ e göre birinci, ikinci ve üçüncü türevleri göstermek üzere, [xm 4; x_m+4]aral¬¼g¬nda _m(x); ⁰_m(x); ⁰⁰_m(x)ve ⁰⁰⁰_m(x)fonksiyonlar¬n¬n bölünme noktalar¬ndaki de¼gerleri Tablo 1.3 de verilmi¸stir.

Tablo 1.3: Bölünme noktalar¬ndaki septik B-spline de¼gerleri

x x_{m 4} x_{m 3} x_{m 2} x_{m 1} x_m x_m+1 x_m+2 x_m+3 x_m+4

m(x) 0 1 120 1191 2416 1191 120 1 0

h ⁰_m(x) 0 7 392 1715 0 1715 392 7 0

h² ⁰⁰_m(x) 0 42 1008 630 3360 630 1008 42 0

h³ ⁰⁰⁰_m(x) 0 210 1680 3990 0 3990 1680 210 0

Septik B-spline kolokey¸sin metodunda, septik B-spline fonksiyonlar¬taban fonksiyonlar¬olarak kullan¬larak, U (x; t) analitik çözümü için yakla¸s¬k çözüm

(35)

U_N(x; t) =

N +3X

m= 3

m(t) _m(x) (1.53)

formunda aran¬r.

[x_m; x_m+1]aral¬¼g¬8 ard¬¸s¬k _{m 3}; _{m 2}; _{m 1}; _m; _m+1; _m+2; _m+3; _m+4 septik B-spline fonksiyonu taraf¬ndan örtülür. Ayr¬ca [xm; x_m+1] elaman¬ üzerinde, 8 ard¬¸s¬k _{m 3}; _{m 2}; _{m 1}; _m; _m+1; _m+2; _m+3; _m+4 septik B-spline fonksiyonu d¬¸s¬ndaki di¼ger tüm septik B-spline fonksiyonlar¬ s¬f¬r olaca¼g¬ndan, bu eleman üzerindeki UN yakla¸s¬k çözümü

U_N(x; t) =

m+4X

j=m 3

j(t) _j(x) (1.54)

U_N(x_m; t) =

m+3X

j=m 3

j(x) _j(t) = _{m 3}+ 120 _{m 2}+ 1191 _{m 1}+ 2416 _m+ 1191 _m+1+ 120 _m+2+ _m+3;

U_N⁰ (x_m; t) =

m+3X

j=m 3 0

j(x) _j(t) = 7

h( _{m 3} 56 _{m 2} 245 _{m 1}+ ; 245 _m+1+ 56 _m+2 + _m+3)

U_N⁰⁰(x_m; t) =

m+3X

j=m 3

00j(x) _j(t) = 42

h² ( _{m 3}+ 24 _{m 2}+ 15 _{m 1} 80 _m+ 15 _m+1+ 24 _m+2+ _m+3) ;

U_N⁰⁰⁰(xm; t) =

m+3X

j=m 3

000j (x) j(t) = 210

h³ ( m 3 8 m 2 + 19 m 1

19 _m+1+ 8 _m+2+ _m+3)

(1.55) olarak hesaplanabilir.

(36)

1.6 Schrödinger Denklemi, Ba¸slang¬ç ve S¬n¬r ¸Sartlar¬

Bölüm 2, 3 ve 4 de,

iU_t+ U_xx+ qjUj²U = 0 (1.56) formundaki Schrödinger denkleminin say¬sal çözümü üzerinde çal¬¸s¬lacakt¬r. Bu denklemde x ve t indisleri s¬ras¬yla konuma ve zamana göre k¬smi türevleri göster- mekte olup, i = p

1 ve q reel bir parametredir. Burada U kompleks de¼gerli bir fonksiyondur.

NLS denklemi, plazmalardaki dalgalar¬, su dalgalar¬n¬, görsel titre¸simlerin yay¬l- mas¬ gibi pek çok …ziksel olay¬ tan¬mlar. Bu denklem, yeterince büyük x ler için türevleri göz ard¬edilen bir U (x; t0) ba¸slang¬ç ko¸sulu kullan¬larak ters saç¬lma metodu ile analitik olarak çözülmü¸stür (Karpman et al., 1969; Zakharov et al., 1972;

Scott et al., 1973). Bu metot, sadece kompakt destekli ba¸slang¬ç verileri için uygu- lanabilir oldu¼gundan, NLS denkleminin analitik çözümü genel ba¸slang¬ç ¸sartlar¬için bilinmemektedir. tanh fonksiyonu, Adomian ayr¬¸st¬rma ve de¼gi¸sken iterasyon gibi metotlar ile NLS denkleminin yakla¸s¬k-analitik çözümleri verilmi¸stir (Khuri, 2004;

El-Sayed et al., 2006; Wazwaz, 2008). Bu yüzden, NLS denklemini çözmek için de¼gi¸sik say¬sal metotlar uygulanm¬¸st¬r. Bu amaçla, de¼gi¸sik dereceden spline fonksiyonlar, etkili ve do¼gru say¬sal yöntemler geli¸stirerek NLS denkleminin çözümlerini bulmak için de kullan¬lm¬¸st¬r (Gardner et al., 1993; Robinson, 1997; Da¼g, 1999;

Sheng et al., 2001; Saka, 2012).

Bölüm 2, 3 ve 4 de, (1.56) formundaki Schrödinger denkleminin say¬sal çözümü ara¸st¬r¬l¬rken

U (a; t) = 0; U (b; t) = 0;

U_x(a; t) = 0; U_x(b; t) = 0;

U_xx(a; t) = 0; U_xx(b; t) = 0; t 0

(1.57)

U (x; 0) = f (x); a x b (1.58)