en az ve en fazla ne kadar olabilir?

M A T E M A T ‹ K K U L E S ‹

E n g i n T o k t a fl m a t e m a t i k _ k u l e s i @ y a h o o . c o m

Say› Yerlefltirmece

fiekilde kenar uzunlu¤u 1 birim olan 9 adet eflkenar üçgen görüyorsunuz. 1’den 9’a kadar, 9 adet rakam› üçgenlerin içine öyle yerlefltirin ki kenar uzunlu¤u 2 birim olan tüm eflkenar üçgenlerin içerisindeki rakam- lar toplam› eflit olsun. Bu rakamlar toplam›

en az ve en fazla ne kadar olabilir?

Para Para Para

Elimizde 24 adet 1 YTL’lik madeni para var. Bu paralar› bir masan›n yüzeyine yatay biçimde öyle yerlefltirin ki her para sadece ve

sadece 3 paraya te¤et olsun. (Ayn› ifllemi bir de 25 adet madeni para için tekrarlay›n.)

Ard›fl›k Toplam

Hem 9 ard›fl›k pozitif say›n›n toplam› hem de 10 ard›fl›k pozitif say›n›n toplam› fleklinde yaz›labilen en küçük say›y› acaba bulabilir misiniz?

Küre Üstünde Küre

Dikdörtgenler prizmas› fleklindeki bir ku- tunun içerisine önce yar›çap› 2 birim olan bir küreyi, ard›ndan da 4 adet yar›çap› 1 birim olan küreleri flekildeki gibi birbirlerine te¤et olacak biçimde yerlefltiriyoruz. Küreler kutu- nun tüm yüzeylerinde te¤et oluflturdu¤una göre acaba kutunun yüksekli¤i kaçt›r?

Son yüzy›l›n en önemli kefliflerinden bi- rinin internet oldu¤u art›k bir gerçek. Haya- t›m›z›n ayr›lmaz bir parças› olmaya aday bu keflfin asl›nda s›rr›, herkes taraf›ndan farkl›

bir amaçla kullan›labilmesinde yat›yor. Kimi bu sanal dünyada iflini kuruyor, kimileriyse eflini buluyor. Kimisi için internet ucuz bir iletiflim arac›, kimisi içinse s›n›rlar› sonsuz- da bir bilgi hazinesi. Tabi sonsuz s›n›rlar- dan bahsedilen böyle bir ortamda kaybol- mak da son derece kolay olabiliyor. ‹flte tam da bu sebepten ötürü günümüzde interne- tin parlayan bir y›ld›z› var: ünlü arama mo- toru Google. fiimdi gelelim Google’›n bu sayfayla olan ba¤lant›s›na. “Google” kelime- sinin asl›nda matematiksel bir terim olan

“googol” kelimesinden türetildi¤ini biliyor muydunuz?

“Googol” kelimesi, 1 rakam›n› 100 tane s›f›r›n takip etti¤i 10 ¹⁰⁰ say›s›n› ifade etmek için kullan›lan matematiksel bir terimdir (ya- ni 1 googol = 10 ¹⁰⁰ ). 1920 y›l›ndan beri kul- lan›lan “Googol” kelimesinin isim babas› il- ginçtir ki Amerikal› matematikçi Edward Kasner’in 9 yafl›ndaki ye¤eni Milton Sirotta

olmufltur. Edward Kasner, “Mathematics and the Imagination” adl› kitab›nda bu te- rimden bahsederek googol kelimesinin ünlü olmas›n› sa¤lam›flt›r.

Peki 1 googol gerçekten sizce ne kadar büyük bir say›? 1 googol say›s›n›n, bilinen evrendeki tüm atomlar›n say›s›ndan daha büyük bir say› oldu¤unu söylememiz san›- r›m say›n›n büyüklü¤ünü anlatmak için ye- terli olacakt›r (yap›lan son hesaplamalarda evrende 10 ⁷⁹ ile 10 ⁸¹ aras›nda parçac›k ol- du¤u tahmin edilmekte).

Günümüzde süper bilgisayarlar›n ifllem kapasiteleri gibi çok büyük say›lar›n söz ko- nusu oldu¤u birçok alanda “googol” teri- minden faydalan›yoruz. Örne¤in 70! gibi de- vasa bir say›y› 1.2 googol olarak adland›r- mak mümkün. Googol’dan daha büyük say›

ihtiyac› için, kullan›m alan› bugün pek bu- lunmasa da, flimdiden bir isim bulunmufl du- rumda:

Googol ne kadar büyük bir say› olursa ol- sun, sonsuzlu¤un yan›nda küçücük bir nok- ta olmaktan kurtulam›yor. Carl Sagan’›n

“Cosmos” adl› kitab›nda söyledi¤i gibi “1 sa- y›s› sonsuza ne kadar yak›nsa 1 googol da sonsuza o kadar yak›nd›r.”

Geçen Ay›n Çözümleri

‹kiz Çemberler

Önce ilk durumu hesaplayal›m. Trigo- nometrideki yar›m aç› formülünü kullan›r- sak arctan (φ/2) = √[(1-cosφ) / (1+cosφ)]

= √[(1-0.8) / (1+0.8)] = 1 / 3 = r / x olur ki bu da x = 3r demektir. BC = 3r + x = 6r

= 4 oldu¤una göre ilk durumda r = 2/3 olur. Benzer flekilde ikinci durum için r = 3/5 ve üçüncü durum için r = 5/7 sonuç- lar› bulunur.

Anadolu’dan Görünüm

Sorudaki ilk flart, x ² + 100 = y ² + 1 eflit- li¤ini zorunlu k›lmaktad›r. Bu durumda y ² - x ² = (y-x).(y+x) = 99 olur. Eflitli¤i sa¤layan (x,y) ikilileri toplam üç tanedir: (1,10), (15,18), (49,50). Ne var ki sorudaki ikinci flart› da sadece (49,50) ikilisi sa¤lamakta- d›r. O halde flu anda köyün nüfusu 49 ² = 2401’dir. (Çözüme katk›s› için Sivas’tan Sercan Ç›nar’a teflekkür ediyoruz.)

Üç Eflit Parça

AECF paralel- kenar›n›n alan›

hem x.y’ye hem de toplam alan›n 1/3’ü oldu¤u için x ² /3’e eflittir. O halde xy = x ² /3

ve y = 1/3x olur. Öte yandan CFB üçge- ninde hipotenüs teoremini uygularsak x ² + (x-y) ² = x ² + (2/3x) ² = 13/9x ² = z ² bulu- nur. Yani z = [(√13)/3]x ‘tir. Son olarak AECF paralelkenar›na bir kez daha baka- l›m. Bu sefer yüksekli¤i 10 birim, taban kenar› CF=z’yi de [(√13)/3]x olarak ala- l›m. Paralelkenar›n alan› ayn› oldu¤una göre x ² /3 = [(√13)/3]x eflitli¤i sa¤lanmal›- d›r. Bu eflitlikten x =10√13 ve karenin ala- n› da x ² = 130 birim ² olarak bulunur.

Sevgililer Günü Haz›rl›¤›

Toplam 10 farkl› kutu oluflturmak mümkün. K›rm›z›y› K, maviyi M olarak ad- land›r›rsak 6 yüzü de k›rm›z› olan (6K) 1 adet kutu, 6M fleklinde 1 adet, (5K+M) fleklinde 1 adet, (5M+K) fleklinde 1 adet, (4K+2M) fleklinde 2 adet, (4M+2K) fleklin- de 2 adet, (3K+3M) fleklinde de 2 adet ya- ni toplamda 10 adet birbirlerinden farkl›

kutu oluflturulabilir.

Matemati¤in fiafl›rtan Yüzü

88 Mart 2007 B‹L‹M

TEKN‹K

MatKule 16/2/6 22:6 Page 11