13
İşçi Problemleri
Birlikte çalıştıkları süre: t
Beraber yaptıkları iş miktarı: x iken, A işçisi bir işi a günde
B işçisi aynı işi b günde
C işçisi ise aynı işi c günde yapabiliyor olsun. İşçi ve havuz problemleri:
1 1 1
a b c .t
= x veya 1 1 1 x
a b c t biçiminde ifade edilir.
Fakat havuz problemlerinde denklem kurulurken, havu- zu dolduran musluklar için pozitif (+), havuzu boşaltan musluklar için negatif () işaret kullanılır. x 1’dir. Çün- kü;
İşin tamamı yapılacak ise, x = 1 İşin yarısı yapılacak ise 1
x2
İşin 4’te 3’ü yapılacak ise, 3 x4 alınır.
i. A işin tamamını x günde yapıyorsa;
1 günde yaptığı iş miktarı: 1 x
ii. A işçisi bir işi x günde , B işçisi ise aynı işi y günde yapıyor olsun.
A’nın t zamanda yaptığı iş miktarı: t x B’nin t zamanda yaptığı iş miktarı: t y A ve B’nin birlikte t zamanda yaptığı iş miktarı: 1 1
t. x y
olur.
A işçisi bir işi 3 günde, B işçisi ise aynı işi 4 günde bitiri- yor. Buna göre,
a) A ve B işçileri birlikte 1 günde işin kaçta kaçını bitirir- ler?
b) A ve B işçileri birlikte bu işi kaç günde bitirirler?
c) İki işçi birlikte 1 gün çalıştıktan sonra A işçisi işi bırakırsa, geri kalan kısmı B işçisi kaç günde bitirir?
ÇÖZÜM
A işçi B işçi İkisi birlikte
3 gün 4 gün t gün (tamamını)
1
3 (1 günde) 1
4 (1 günde) 1
t (1 günde) a)
4 3
1 1 7
3 4 12 sini bitirirler.
b) A ve B işçileri birlikte
4 3
1 1 1 7 1 12
3 4 t 12 t t 7 günde bitirirler.
c) İki işçi 1 günde işin 7
12 sini yaptığına göre,
12 7 5
121212 i geriye kalan kısımdır.
Bu kısmı B işçisi yapacağından, t.1
4 5 12
3
t 5
3 günde bitirir.
Bir işçi belli bir işi 10 günde, başka bir işçi de aynı işi 20 günde bitirebilmektedir.
İki işçi birlikte bu işi kaç günde bitirirler?
ÇÖZÜM
1. işçi işin tamamını 10 günde tamamlarsa 1 günde 1 10 unu, 2. işçi tamamını 20 günde tamamlarsa, 1 günde
1
20 sini bitirir. İkisi birlikte x günde bitirirlerse 1 günde 1
x ini bitirirler. O halde, kısaca formül kullanılırsa,
2
1 1 1 1 1 3
x a b 102020 ise, 20 x 3 olur.
O halde; ikisi birlikte 20
3 günde bitirirler.
Bir işi Ali 18 saatte, Veli ise aynı işi 36 saatte bitiriyor.
İkisi birlikte 4 saat çalıştıktan sonra Ali işi bırakıyor.
İŞÇİ HAVUZ VE HIZ PROBLEMLERİ
MATEMATİK
ÖRNEK
ÖRNEK
ÖRNEK
Kalan işi Veli kaç saatte bitir?
ÇÖZÜM
Ali işin tamamını 18 saatte yaptığına göre, 1 saatte 1 18 ini, Veli işin tamamını 36 saatte yaptığına göre, 1 saatte
1
36 ini, ikisi beraber bir günde 1 1
1836 ini bitirirler.
4 saatte ise, 1 1 1
4. 18 36 3
ünü bitirirler.
Geriye işin 2
3 ü kalmıştır. Velinin kalan işi bitirme süre- sine t dersek, 1 2
t.363 olduğundan, t = 24 bulunur.
Buğra bir işi x günde, Can aynı işi x
3 günde bitirebil- mektedir.
Buğra ve Can aynı işi birlikte 6 günde bitirebiliyor- larsa, Can tek başına kaç günde bitirebilir?
ÇÖZÜM
Aynı işi, Buğra: x günde, Can: x 3 günde Birlikte: 6 günde tamamladıklarına göre,
1 1 1 1 3 1 4 1
x 24
x x 6 x x 6 x 6
3
tür.
Buna göre, bu işi Can x 24
3 3 8 günde bitirebilir.
Havuz Problemleri
Yandaki havuzu, A musluğu a saatte, B musluğu b saatte doldururken, C musluğu ise dolu havuzu c saatte boşal- tıyor.
A B
C
Buna göre, üç musluk birlikte açıldığında havuzun ta- mamının kaç saatte dolduğu bulunurken;
Tamamını 1 saatte
A musluğu havuzun
a saatte doldurursa 1
a sını doldurur B musluğu
havuzun
b saatte doldurursa 1
b sini doldurur C musluğu
havuzun
c saatte boşaltırsa 1
c sini boşaltır.
Birlikte havuzun
x saatte doldurur- larsa
1
x sini doldururlar.
Üçü birlikte açıldığında havuz x saatte doluyorsa,
1 1 1 1
a b c x olur.
Yandaki havuzu A musluğu 24 saatte, B musluğu 12 saatte dol- durmaktadır. Tabanındaki bir C musluğu ise dolu havuzu 36 saatte boşaltmaktadır.
A B
C
Buna göre, üç musluk birlikte açılırsa havuzun ta- mamı kaç saatte dolar?
ÇÖZÜM
3 6 2
1 1 1 1 1 1 1
x a b c 241236
1 3 6 2 7 7
x 72 72 x 72
olur.
O halde, üç musluk birlikte açılırsa havuzun tamamı 72 7 saatte dolar.
Bir havuza açılan iki musluktan, birinci havuzun tama- mını a saatte, ikincisi 3a
4 saatte doldurmaktadır.
Bu havuzun tamamını iki musluk birlikte 9 saatte doldurduklarına göre, birinci musluk tek başına kaç saatte doldurur?
ÇÖZÜM Boş havuzu, I. musluk a saatte II. musluk 3a
4 saatte,
Birlikte 9 saatte doldurmuş olduğundan,
3 1
1 1 1 1 4 1 7 1
, a 21
a 3a 9 a 3a 9 3a 9
4
olur.
O halde I. musluk havuzun tamamını, 21 saatte doldu- rur.
Bir işi A, B, C işçileri sırasıyla a, b, c günde yapıyorlar. Üçü birlikte t1 gün çalıştıktan sonra, C işçisi işi bırakıyor. Kalan işi A ve B işçileri birlikte t2 günde bitiriyorlar ise, ÖRNEK
ÖRNEK
ÖRNEK
Denklem: 1 1 1 1 2 1 1
t . t . 1
a b c a b
olur.
Bir işi Şevket 10 günde, Özgür 15 günde bitirebilmekte- dir. İkisi birlikte 4 gün çalıştıktan sonra Şevket işi bırakı- yor.
Kalan işi Özgür kaç günde bitirebilir?
ÇÖZÜM
Kalan işi Özgür t günde bitirsin.
1 1 1
4. t. 1
10 15 15
Buradan,
3 2
1 1 1 5 1
4. t. 1 4. t. 1
10 15 15 30 15
2 1 t 2
t. 1 1
3 15 15 3
t 1
3t 15 t 5 olur.
15 3
Bir işi İlker, Soner ve Yeter sırasıyla 6, 12 ve 18 günde yapabilmektedir. Üçü birlikte 3 gün beraber çalıştıktan sonra İlker işi bırakıyor.
Kalan işi Soner ve Yeter birlikte kaç günde bitirirler?
ÇÖZÜM
Kalan işin bitirilme süresi t olsun.
Buna göre,
6 3 2 3 2
1 1 1 1 1
3 t 1
6 12 18 12 18
11 5 5.t 33 3
3. t. 1 1
36 36 36 3636 5t = 3, 3
t5 olur.
O halde, kalan iş Soner ve Yeter tarafından birlikte 3 5 günde tamamlanır.
Yandaki şekilde, boş bir havuzu A ve B muslukları sırasıyla 24 ve 8 saatte doldurmaktadırlar. Taban- daki bir C musluğu ise, dolu havu- zu 12 saatte boşaltmaktadır. Üç
A B
C
musluk birlikte açıldıktan 3 saat sonra C musluğu kapatılıyor.
Havuzun geri kalan kısmı A ve B muslukları tarafın- dan kaç saatte doldurulur?
ÇÖZÜM
Verilenlere göre;
1 3 2 1 3
1 1 1 1 1
3. t. 1
24 8 12 24 8
3.2 4.t 4.t 6
1 1
2424 24 24 4.t = 18 t =18 9
4 2 olur.
O halde, havuzun geri kalan kısmı 9
2 saatte dolar.
Şekilde, havuz A musluğu tarafın- dan doldurulmakta B musluğu tarafından boşaltılmaktadır. İki musluk birlikte açıldıktan 2 saat sonra havuzun 1
10 i doluyor ve B A
B
musluğu kapatılıyor. Bu andan itibaren A musluğu 3 saat daha açık bırakılarak havuzun 3
10 ı dolduruluyor.
Buna göre, A musluğu havuzun tamamını kaç saatte doldurur?
ÇÖZÜM
A musluğu havuzu a saatte doldururken, B musluğu b saatte boşaltmış olsun. Buna göre,
1 1 1 3
2. 3.
a b a 10
eşitliği yazılabilir.
O halde,
1 saatte dolan kýsým 2 saatte dolan kýsým
1 1 3 3
2. a b a 10
1 3 3 3 3 1 3 2
10 a 10 a 1010 a 10 2a = 10.3 a = 15 olur.
A musluğu havuzun tamamını 15 saatte doldurur.
ÖRNEK
ÖRNEK
ÖRNEK
ÖRNEK
Bir havuzu A ve B muslukları birlikte 15 saatte, A ve C muslukları birlikte 20 saatte, B ve C muslukları birlikte 30 saatte doldurduklarına göre, üçü birlikte havuzu kaç saatte doldururlar?
ÇÖZÜM
A musluğu havuzu a saatte, B musluğu havuzu b saatte,
C musluğu havuzu c saatte doldurmuş olsunlar.
Verilenlere göre,
1 1 1 1 1 1 1 1 1
a b 15 a c 20 b c 30 Eşitlikler taraf tarafa toplanırsa,
4 3 2
1 1 1 1 1 1
2. a b c 15 20 30
1 1 1 1 9 1 1 1 3
a b c 2. 60 a b c 40
olur.
O halde üç birlikte tamamını 40
3 saatte doldururlar.
Hız (Hareket) Problemleri
Hız: Birim zamanda alınan yola hız (hareket) denir.
Hız: V Zaman: t
Alınan yol: X olsun.
Hız = Alýnan Yol X
Zaman V t
Alınan Yol = Hız x Zaman ( X = V.t)
Ay nı A nda Ay nı Y ön de Ka rş ılı kl ı Ha re ke t
a ) D o ğ r u s a l H a r e k e t
v1 v2
A
C
B
A ve B noktalarından aynı anda ve birbirlerine doğru v1
ve v2 hızları ile hareket eden iki araç C noktasında t saat sonra karşılaşsınlar. v1 hızıyla hareket eden AC yolu- nu, v2 hızıyla hareket eden BC yolunu alır.
Yol = Hız x Zaman olduğundan,
AC = v1.t BC = v2.t
yazılır ve bu eşitlikler taraf tarafa toplanırsa,
AC + BC = v1.t + v2.t
AB = (v1 + v2)t
(Karşılaşma Süresi) t =
1 2
| AB | v v olur.
Karşılaşma zamanı aradaki mesafenin, hızları toplamına bölümüdür. Bu kural doğ- rusal harekette olduğu gibi, dairesel hare- kette de geçerlidir.
v1 = 30 km/h
A
C
B v2 = 20 km/h
250 km
Aralarında 250 km mesafe bulunan iki hareketli, A ve B noktalarından karşılıklı olarak v1 = 30 km/h, v2 = 20 km/h hızlarla hareket ediyorlar.
Buna göre,
a) Karşılaşma zamanı, b) AC ve BC uzunlukları, c) | AC |
| BC | oranı kaçtır?
ÇÖZÜM a)
1 2
| AB | 250 km
t 5
v v 30 km/ h 20 km/ h
saat olur.
b) AC = v1.t = 30.5 = 150 km dir.
BC = v2.t = 20.5 = 100 km dir.
c) AC = v1.t BC = v2.t eşitlikleri taraf tarafa bölünürse,
1 2
v
| AC |
| BC |v olur.
O halde, alınan yollar hızlarla orantılıdır.
Buradan, | AC | 30 3
| BC |202 olur.
A ve B kentleri arası 600 km’dir. A’dan saatteki hızı 90 km olan bir otobüs ile, B’den saatteki hızı 60 km olan bir kamyon aynı anda birbirlerine doğru hareket ediyorlar.
Buna göre, kaç saat sonra karşılaşırlar?
ÇÖZÜM ÖRNEK
ÖRNEK
ÖRNEK
v1 = 90 km/h
A C B
v2 = 60 km/h Karşılaşma zamanı t olsun.
Alınan Yol = Hız x Zaman olduğundan, v1.t + v2.t = AB
t.(90 + 60) = 600 150.t = 600 t = 4 saat bulunur.
b ) D a ir e s e l H a r e k e t
Şekilde, çember üzerindeki bir A noktasından hızları v1
ve v2olan iki hareketli karşı- lıklı olarak hareket ediyorlar.
Hızları, eşit iken C noktasın- da, farklı iken (v1 > v2) D noktasında karşılaşırlar.
B
0
C D
A v1
v2
Karşılaşma zamanı t ise,
ABCD = v 1.t, AD= v2.t ve buradan,
1 2 1 2
ABCD AD 2 .r
t t
v v v v
Karşılaşma zamanını bulmak için çemberin çevre uzunluğu hızlar toplamına bölünür.
Yarıçapı 15 metre olan bir çember üzerinde, hızları dakikada 2 metre ve 3 metre olan iki hareketli kaç dakika sonra karşılaşır?
ÇÖZÜM
Karşılaşma zamanı t olsun.
2 .15
t 6
3 2
dk olur.
Bu zaman zarfında, v1 hızıyla hareket eden,
AB = v 1.t = 2.6 = 12 m B
0
C D
A v1 = 2m/dk
v2 = 3m/dk
v2 hızıyla hareket eden, ADCB = v2.t = 3.6 = 18 m yol alır.
F a r k l ı Z a ma n l a r d a K a r ş ıl ık l ı H a r e k e t v1
A D B
v2
C
Karþýlaþma noktasý
t t
t1
A ve B noktalarında bulunan ve hızları v1 ve v2 olan iki hareketliden önce v2 hızlı olan harekete başlamış olsun.
t1 zaman sonra D noktasına geldiğinde ise A noktasın- dan v1 hızlı hareketli yola çıkmış ve C noktasında karşı- laşmış olsunlar.
AB yolunun önce BD kısmı alınmış olduğundan, arala- rındaki mesafe,
AD = AB BD = AB v2.t1 olur.
A’daki hareketlinin hareketinden sonra karşılaşma za- manı t ise,
1 2
| AD | tv v
olacaktır.
Bu işlemler dairesel hareket için de geçerli- dir.
v1 = 100 km/h
A
C
B v2 = 80 km/h
520 km
Aralarında 520 km yol bulunan iki aracın hızları saatte 80 ve 100 km dir. Hızı az olan araç harekete başladık- tan 2 saat sonra hızı fazla olan araç yola çıkıyor.
Hızı fazla olan araç hareket ettikten kaç saat sonra diğeri ile karşılaşır?
ÇÖZÜM
100 km/h
A 360 km D B
t t 2 saat
80 km/h
160 km 520 km
Hızı v = 80 km/h olan araç B noktasından hareket ettik- ten sonra 2 saatlik sürede,
BD = v.t = 80.2 = 160 km yol alır. D noktasına geldi- ğinde, hızı v = 100 km olan araç harekete başladığına göre, karşılaşma zamanı,
1 2
| AD | 520 160 360
t 2
v v 100 80 180
saat bulunur.
O halde, 2 saat sonra karşılaşırlar.
A y n ı N o k t a d a n , A y n ı Y ö n d e , A y n ı A n d a H a r e k e t
ÖRNEK
ÖRNEK
v1
A C B
v2
t
t
Hızları v1 ve v2 olan (v1 > v2) iki araç A noktasından aynı anda B’ye doğru harekete başlamış olsunlar.
t kadar zaman sonra yavaş olan C’ye, hızlı olan B’ye varacaktır. Aralarındaki mesafe de CB olacaktır.
Buna göre,
AB = v1.t AC = v2.t eşitlikleri taraf tarafa çıkarılırsa,
CB = (v1 v2).t olur.
v1 = 100 km/h
A C B
v2 = 70 km/h
Hızları saatte 100 km ve 70 km olan iki araç A noktasın- dan, aynı anda B’ye doğru harekete başlıyor. Hızı fazla olan araç B’ye varıp durmadan geri döndüğünde hızı az olan araçla C’de karşılaşıyor.
CB = 90 km ise hızı az olan C noktasına kaç saatte varmıştır?
ÇÖZÜM
v1
A C B
v2 t t
Aynı t süresinde, v2 hızlı araç AC, v1 hızlı araç
ACBC yolunu alır.
2.CB = v1.t v2.t olduğundan
1 2
2. | CB | 2.90
t 6
v v 100 70
saat bulunur.
O halde, hızı az olan C’ye 6 saatte ulaşmıştır.
A şehrinden B şehrine gitmek için aynı anda hareket eden iki hareketliden biri saatte 70 km, diğeri saatte 80 km yol alıyor.
Bu hareketlilerden hızlı olanı B şehrine 10 saat önce vardığına göre, A ile B şehri arası kaç km’dir?
ÇÖZÜM
v1 = 70 km/h
A B
v2 = 80 km/h
A ile B arası x km olsun. v1 = 70 km/h hızına sahip hareketli x yolunu t saatte alırsa, v2 = 80 km/h hıza sahip araç x yolunu (t 10) saatte alır. Buna göre, x = 70.t
x = 80.(t 10)
Alınan yollar eşit olduğundan,
70.t = 80.(t 10) 10t = 800 t = 80 olur.
Buradan,
x = 70.80 = 5600 km olur.
Hız ile zamanın ters orantılı olduğuna dikkat ediniz.
A y n ı A n d a , A y n ı Y ö n d e , F a r k l ı N o k t a l a r d a n H a r e k e t v1
A B C
v2
Yetiþme noktasý v1 > v2 olmak üzere, A ve B noktalarından aynı anda aynı yönde iki araç harekete başlamışlarken, t saat sonra hızlı araç yavaş giden araca C noktasında yetiş- miş olsun.
AC = v1.t
BC = v2.t bulunur.
Bu iki eşitlik taraf tarafa çıkarılırsa,
AC BC = AB = (v1 v2).t Yetişme süresi:
1 2
| AB | tv v
olur.
Yetişme süresi, iki hareketlinin arasındaki mesafenin hızları farkına bölümüdür.
70 km/sa
A B C
50 km/sa
A ve B’den aynı anda ve aynı yönde hareket eden iki aracın saatteki hızları sırasıyla 70 km ve 50 km dir.
İki araç aynı anda C’ye vardıklarına göre, | AB |
| BC | oranı kaçtır?
ÖRNEK
ÖRNEK
ÖRNEK
ÇÖZÜM
Hareketliler harekete başladıktan t sonra C’ye ulaştıkla- rına göre,
(i) AC = 70.t, BC = 50.t (ii) AC = AB + BC
(i) ve (ii) den, 70.t = AB + 50.t (iii) AB = 20.t (i) ve (iii) ten
| AB | 20.t 2
| BC |50.t5 olur.
3v
A B C
v
x km 180 km
AB yolu x km ve BC yolu 180 km’dir. A’dan 3v hızıyla, B’den v hızıyla aynı anda, aynı yönde hareket eden iki araçtan hızlı olan yavaş olanı C’de yakalıyor.
Buna göre, x kaç km’dir?
ÇÖZÜM
3v
A
C B
v
x km
180 km t t
t saat sonra, hızı 3v olan araç, hızı v olan aracı C’de yakalamış olsun. Verilenlere göre,
x + 180 = 3v.t
180 = v.t taraf tarafa bölme yapılırsa,
x 180 3
180 1
x = 360 km olur.
A y n ı N o k t a d a n , A y n ı Y ö n d e F a r k l ı Z a m a n l a r d a H a r e k e t
A B C
v1
v2 v2
A’dan v2 hızıyla hareket eden taşıt, B’ye geldiğinde, A noktasından v1 hızıyla (v1 > v2) ikinci taşıt hareket edi- yor. İkinci taşıt, birinci taşıta C noktasında yetişiyorsa, Yetişme süresi:
1 2
| AB | tv v
olur.
A B C
v1 = 80 km/h
v2 = 50 km/h v2 = 50 km/h
Şekilde, hızı saatte 50 km olan araç 3 saat sonra B’ye vardığında, hızı saatte 80 km olan araç yola çıkıyor.
a) v1 hızlı araç, v2 hızlı araca kaç saat sonra yetişir?
b) BC kaç km’dir?
c) | BC |
| AC | oranı kaçtır?
ÇÖZÜM
a) AB = 3.50 = 150 km’dir.
Yetişme zamanı t ise,
1 2
| AB | 150
t 5
v v 80 50
saat olur.
b) BC = 5.50 = 250 km’dir.
c) 2
1
v
| BC | 50 5
| AC | v 808 dir.
Ortalama Hız
A B C
t1
v1 v2
t2
Bir araç AB yolunu v1 hızıyla t1 zamanda; BC yolu- nu ise v2 hızıyla t2 zamanda almış olsun. Bu hareketlinin
AC yolculuğu boyunca ortalama hızı,
ort
Toplam yol V Toplam zaman
ort
1 2
1 2
| AB | | BC | | AC |
V t t | AB | | BC |
v v
olur.
Bir hareketli, gideceği yolun 2
3’ünü v1, kalanını da v2 hızıyla alırsa, yol boyunca ortalama hızı ne olur?
ÇÖZÜM
Yolun tamamı x olsun.
ÖRNEK
ÖRNEK
ÖRNEK
1 2 ort
1 2
1 2
1 2
3v .v
x 1
V x.2 x.1 2 1 v 2v
3 3 3v 3v
v v
olur.
Bir araç A’dan B’ye giderken 30 km/sa, dönerken 70 km/sa hızla hareket etmiştir.
Ortalama hız kaç km’dir?
ÇÖZÜM
ort
2. | AB | 2.30.70
V 42
| AB | | AB | 30 70
30 70
km’dir.
1. Ali bir işi 2a saatte, Ayşe ise aynı işi a 4 saatte yapıyor.
Birlikte aynı işi 6 saatte yapıyorlarsa Ali bu işi tek başına kaç saatte yapar?
A) 27 B) 36 C) 45 D) 54 E) 63
2. Bir kamyonu Ali tek başına 10 saatte, Arda ise 12 saatte boşaltıyor. Birlikte 5 saat çalıştıktan sonra Ali işi bırakıyor.
Kalan işi Arda kaç saatte yapar?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
3. Bir işi 1 usta ile 2 çırak 5 günde bitirebilmektedir.
Aynı işi 3 usta ile 4 çırak 2 günde bitirdiğine göre usta bu işi tek başına kaç günde bitirir?
A) 4 B) 6 C) 8 D) 10 E) 12
4. Bir işçi bir işi x günde başka bir işçi ise aynı işi x+3 günde bitirebiliyor.
Birlikte aynı işi 2 günde bitirebiliyorlarsa, ya- vaş çalışan işçi bu işi kaç günde bitirebilir?
A) 3 B) 6 C) 9 D) 12 E) 15
5. Seher bir işin 1
3 ünü 4 günde, Osman aynı işin yarısını 3 günde bitirebiliyor.
İkisi birlikte aynı işin tamamını kaç günde biti- rebilir?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 6. Bir havuzun tamamını I. musluk 6 saatte, II. mus-
luk 9 saatte dolduruyor. Havuzun tabanında bulu- nan III. musluk ise 3 saatte boşaltıyor. Üç musluk aynı anda 3 saat açıldıktan sonra III. musluk kapa- tılıyor.
Buna göre havuz toplam kaç saatte dolar?
A) 5 B) 31
3 C) 33
4 D) 36
5 E) 37 5
7. Bir havuzun yarısını I. musluk V akış hızıyla 4x saatte doldurmaktadır.
II. musluk ise 2V akış hızına sahip olduğuna göre ikisi birlikte havuzu kaç saatte doldurur- lar?
A) 4x
3 B) 5x
3 C) 7x
3 D) 8x
3 E) 10x
3
8. Havuzun tabanında bulunan özdeş 5 musluk birer saat aralıklarla açılarak dolu havuz boşaltılmak is- teniyor.
Beşinci saatin sonunda havuz tamamen boşal- dığına göre; bu muslukların 2 tanesi havuzu kaç saatte boşaltabilir?
A) 3 B) 3,5 C) 5 D) 7,5 E) 15
Ç Ö Z Ü M L Ü T E S T
ÖRNEK
9. Bir havuzda bulunan musluklardan birincisi havuzu a saatte, ikincisi 4a
5 saatte dolduruyor.
İkisi birlikte 20 saatte doldurabildiğine göre ikinci musluk havuzu tek başına kaç saatte doldurur?
A) 16 B) 18 C) 36 D) 40 E) 45
10. Bir musluk boş bir havuzu 12 saatte doldurabil- mektedir.
Musluktan birim zamanda akan su miktarı % 40 oranında azaltılırsa, boş havuz kaç saatte do- lar?
A) 16 B) 18 C) 20 D) 24 E) 28 11. A şehrinde saatteki hızı 60 km olan bir araç, B
şehrinden saatteki hızı 70 km olan başka bir araç aynı ayda birbirlerine doğru hareket ediyorlar.
Araçlar hareket ettikten 5 saat sonra karşılaş- tıklarına göre, A ile B arasındaki uzaklık kaç km’dir?
A) 650 B) 720 C) 800
D) 900 E) 950
12. Hızı 90 km/sa olan bir araç A şehrinden, hızı 80 km/sa olan diğer bir araç B şehrinden aynı anda aynı yönde hareket ediyorlar.
Hızlı olan araç yavaş olan araca 5 saat sonra yetiştiğine göre A ile B şehirleri arasındaki uzaklık kaç km’dir?
A) 45 B) 50 C) 55 D) 60 E) 65
13. Çevresi 300 m olan şekil- deki dairesel pistte A nok- tasında aynı anda, zıt yönde koşmaya başlayan iki koşucunun hızları sıra- sıyla 15 m/da ve 25 m/da dır.
A
15 20
Buna göre koşucular ilk karşılaşmalarından sonra ikinci kez kaç dakika sonra karşılaşırlar?
A) 3 B) 4,5 C) 5 D) 7,5 E) 9
14. Bir hareketli gideceği yolun 2
5 ini 2V hızıyla, kala- nını da 3V hızıyla gidiyor.
Buna göre ortalama hızı aşağıdakilerden han- gisidir?
A) 2V B) 5V
2 C) 3V
D) 7V
2 E) 9V
2
15. Aralarında 1500 km olan iki araç birbirlerine doğru yola çıkıyorlar.
Araçların hızları saatte 40 km ve 60 km oldu- ğuna göre, bu araçlar kaç saat sonra karşılaşır- lar?
A) 5 B) 10 C) 15 D) 20 E) 25 16.
A B C
v2 v1
x
Yukarıdaki şekilde aynı yöne doğru yola çıkan iki aracın birbirine göre konumu ve hızları verilmiştir.
İki araç C noktasında yan yana geliyor.
Arkadaki aracın öndeki aracı yakalama süresi t ise t’nin v1, v2 ve x cinsinden eşiti nedir?
A)
1 2
x
v v B)
2 1
x v v C) v2 v2
2x
D)
1 2
2x v v E) v1 v2
x
17. Bir araç A kentinden B kentine doğru saatte 40 km hızla 2 saat gidip, bir mola yerinde yarım saat mo- la vermiştir. Mola sonunda 40 km hızla 2 saat da- ha gitmiş ve 1 saatlik 2. molasını vermiştir. 2. mola sonucunda hızını 60 km’ye çıkararak 1 saat daha giderek B kentine varmıştır.
Buna göre, A ve B kentleri arası kaç km’dir?
A) 100 B) 120 C) 150
D) 200 E) 220
18. Bir aracın hızı saatte V km’dir. Bu araç hızını 30 km artırırsa belli bir yolu 18 dakikada, 5 km artırır- sa aynı yolu 27 dakikada almaktadır.
Buna göre V kaçtır?
A) 65 B) 60 C) 55 D) 50 E) 45
19. Çembersel bir pistte v1 ve v2 sabit hızlarıyla bir A noktasından ters yönde ve aynı anda yola çıkan iki
hareketli, yine bu pist üzerindeki bir B noktasında t süre sonra karşılaşırlar.
Buna göre pistin çevresi v1, v2 ve t cinsinden nedir?
A) v1 v2 t
B) 2 v
1 v2
t
C) (v1 v2).t D) (v1 + v2).t E)
v1 v2
2t
20. Bir motorsikletli A km yolu saatte x km hızla y saatte almıştır.
Sürücü hızını saatte 3 km artırırsa aynı yolu kaç saatte alır?
A) xy
x3 B) x 3
xy
C) x 3
y
D) xy
x3 E) y
x3
1.
Ali Ayşe Birlikte
2a a
4
6
1 1 1 1 4 1
2a a 6 2a a 6
4
1 8 1 9 1 2a2a 6 2a6
2a = 54
Ali 2a = 54 bulunur.
Cevap D’dir.
2. 5. 1 1 x.1 1
10 12 12
55 5x
1 x 1
6060
Cevap A’dır.
3.
Usta Çırak
x y
1 2
5 1 5y 10x xy
x y
3 4
2 1 6y 8x xy
x y
8/10x + 5y = xy 80x + 40y = 8xy
10/8x + 6y = xy 80x 60y = 10xy
20y = 2xy 2x = 20 x = 10
Cevap D’dir.
4.
Yavaş Hızlı Birlikte
x + 3 x 2
1 1 1 x x 3 1
x 3 x 2 x. x 3 2
x. x2x 33 12
x2 + 3x = 4x + 6
x2 x
3 2
6 0
x = 3
Yavaş çalışan: x + 3 = 6 bulunur.
Cevap B’dir.
5. Seher 1
3 ünü 4 günde yaparsa Tamamını 3.4 = 12 günde Osman 1
2 sini 3 günde yaparsa Tamamını 2.3 = 6 günde
1 1 1 1 2 1
12 6 x 12 x
3 1
x 4
12 x
Cevap D’dir.
6. 1 1 1 3 t 1 1 1
6 9 3 6 9
t = 21 5
21 36
5 3 5 saatte dolar.
Cevap D’dir.
7. I. musluk tamamını V hızı ile 8x de doldurur.
II. musluk 2V hızı ile tamamını 4x de doldurur.
1 1 1 3 1 8x
4x8x y 8x y y 3
Cevap D’dir.
Ç Ö Z Ü M L E R
8. 1 tanesi 5x saatte boşaltılırsa,
1 2 3 4 5
5x5x5x5x5x1
15 1 5x 15
5x saat 1 tanesi 15 saatte boşaltırsa 2 tanesi 7,5 saatte boşaltır.
Cevap D’dir.
9. 1 5 1 a 45
a4a20
II. musluk 4. 45
9
5 36 saatte doldurur.
Cevap C’dir.
10. 5V hızıyla 12 saatte doluyor.
5V.4 0
10 0 2V azaltılıyor.
5V ile 12 saatte dolarsa 3V ile x
x 12
4
.5
3 20 saatte dolar.
Cevap C’dir.
11. Birbirlerine doğru hareket ettiklerinden;
x = (VA + VB).t = (60 + 70).5 = 130.5 = 650 km Cevap A’dır.
12. A B C
v1 = 90 km x
v2 = 80 km y
x = (90 80).5 = 50 km dir.
Cevap B’dir.
13. Koşucular ilk kez
300 = (15 +25).t t = 7,5 dakikada ilk kez karşı- larlar. İkinci kez de 7,5 dakika sonra karşılaşırlar.
Cevap D’dir.
14.
1 1
ort
2 2
2x x
2V.t t
5 5V V x
x x
3x x
3V.t t
5V 5V
5 5V
5V 5V
x.2x 2
Cevap B’dir.
15.
Zaman YolHýzlarýtoplamý
1500 1500
40 60 100 15
saat
Cevap C’dir.
16.
2 1 2 1
| AB | x
tV V V V
Cevap B’dir.
17.
A 2 saat D B
C
40 40 60
2 saat 1 saat Yol = Hız.Zaman
AC = 40.2 = 80
CD = 40.2 = 80
DB = 60.1 = 60
AC + CD + DB = AC = 80 + 80 + 60 = 220 Cevap E’dir.
18. Gidilen yol a olsun.
60 dk Vkm
1dk x
x V
60 V 30
60
V 5
.18 60
.27
(V + 30). 182 = (V + 5). 27
3
2(V + 30) = 3(V + 5)
2V + 60 = 3V + 15
V = 60 15
V = 45
Cevap E’dir.
19. Çevre = V1t + V2t
= (V1 + V2)t
A
B
v2 v1
Cevap D’dir.
20. A = x.y ise A = (x + 3).b xy x 3b
saatte alır.
Cevap D’dir.
1. Ali bir işi 9 günde, Ayşe aynı işi 12 günde bitiriyor.
İkisi birlikte aynı işi kaç günde bitirirler?
A) 1
17 B) 1
29 C) 1
39 D) 1
45 E) 1 57
2. Bir işi Ali ile Hasan beraber 3 günde bitirebilmek- tedir. Ali’nin iş yapma kapasitesi, Hasan’ın iş yap- ma kapasitesinin 3 katına eşittir.
Buna göre, Ali bu işi tek başına kaç günde bitirir?
A) 4 B) 6 C) 10 D) 11 E) 15
3. Bir işi, Murat a günde, aynı işi Ali ise 4a 3 günde bitirebilmektedir.
a, bir tamsayı olmak üzere, ikisi beraber bu işi en az kaç günde bitirebilirler?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
4. Cem ile Cemil bir işi birlikte çalışırlarsa 12 günde, Cem 2 gün ve Cemil 3 gün çalışırsa işin 1
5’ini biti- rebiliyorlar.
Cem işin tamamını yalnız çalışırsa kaç günde bitirebilir?
A) 12 B) 13 C) 15 D) 18 E) 20
5. Bir işi bir usta 12, bir kalfa 18, bir çırak 30 günde yapabiliyor.
Aynı kapasitedeki 5 çırak 3 kalfa 2 usta aynı işi birlikte kaç günde yapabilirler?
A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1 6. Ahmet bir işin 3
10 unu yaptıktan sonra 8 gün daha çalışırsa işin yarısını bitiriyor.
Ahmet işin tamamını kaç günde bitirir?
A) 40 B) 35 C) 30 D) 24 E) 13
7. Aynı kapasitede olan 4 işçi beraber başladıkları bir işi, her gün kendileriyle aynı kapasitede çalışan 2 işçi daha alarak 16 günde bitiriyorlar.
Buna göre, işe 4 işçi olarak devam etselerdi işin yarısını kaç günde bitirirlerdi?
A) 12 B) 28 C) 38 D) 42 E) 44
8. Bir işçi işi 4 günde, başka bir işçi aynı işi 6 günde yapabilmektedir. İkisi beraber 2 gün çalıştıktan sonra birinci işçi işi bırakıyor.
Buna göre, kalan işi ikinci işçi yalnız başına kaç günde yapabilir?
A) 7 B) 5 C) 3 D) 2 E) 1
K O N U T E K R A R T E S T İ
1
9. İki işçi bir işi, beraber 12 günde bitiriyorlar. Eğer, işin yarısını birinci işçi, diğer yarısını da ikinci işçi yaparsa, iş 25 günde bitiyor.
Buna göre, hızlı çalışan işçi işin tamamını tek başına kaç günde bitirir?
A) 15 B) 20 C) 25 D) 30 E) 35
10. Salih bir işi 8 günde, aynı işi Fatih 12 günde bitire- biliyor. İkisi beraberce aynı işte 4 gün çalıştıktan sonra Salih işten ayrılıyor.
Buna göre, kalan işi Fatih tek başına kaç gün- de bitirir?
A) 2 B) 4 C) 5 D) 6 E) 8 11. Bir araç hızını her saat başı 10 km artırarak gide-
ceği yere 5 saatte, 50 km artırarak 3 saatte varı- yor.
Buna göre, aracın alması gereken yol kaç km’dir?
A) 225 B) 250 C) 255 D) 265 E) 295
12. Hızları 60 km/s 100 km/s olan iki araç A noktasın- dan aynı anda harekete başlıyorlar. Hızlı olan araç C noktasına varıp hiç durmadan geri dönüyor ve geri döndükten 1 saat sonra B noktasında diğer araç ile karşılaşıyorlar.
Buna göre, AB kaç km’dir?
A) 250 B) 300 C) 350 D) 450 E) 900
13.
A B C D
40 km/sa 30 km/sa
A ve C noktalarında bulunan iki araç aynı anda karşılıklı hareket ettiklerinde B noktasında karşıla- şıyorlar. Aynı anda aynı yöne doğru hareket ettik- lerinde ise A’daki araç C’deki araca D noktasında yetişiyor.
Buna göre, | BC |
| CD | oranı kaçtır?
A) 1
3 B) 1
4 C) 1
5 D) 1
6 E) 1
7
14. Hızları saatte 80 km/s ve 40 km/s olan iki araç karşılıklı olarak sırasıyla A ve B kentlerinden hareket ederek bu iki araç bir C kentinde karşı- laştıklarına göre, C kentinin A kentine uzaklığı kaç km’dir?
A) 50 B) 40 C) 35 D) 30 E) 25
15. Bir araç bir yolun 1
3 ünü V hızıyla kalanını 3V hızıyla toplam 5 saatte alıyor.
Buna göre, aynı araç aynı yolun tamamını V 2 hızıyla kaç saatte alır?
A) 11 B) 12 C) 16 D) 18 E) 24
16. Bir tren 200 m’lik bir tüneli 10 sn’de, aynı hızla 500 m’lik bir tüneli 15 sn’de geçiyor.
Buna göre, trenin boyu kaç m’dir?
A) 200 B) 300 C) 400 D) 550 E) 750
17. A B C D
Hızları oranı 2
3 olan iki otomobil sırasıyla A ve D noktalarından aynı anda karşılıklı olarak yola çıkı- yorlar. A’dan hareket eden B’ye, D’den hareket eden C’ye aynı sürede geldiklerinde aralarındaki uzaklık BC = 50 km olmaktadır.
AD = 250 km olduğuna göre, D ile C arası kaç km’dir?
A) 80 B) 100 C) 120 D) 130 E) 140
18. Bir bisikletli a km’lik bir yolu t saatte alıyor.
Yolun 1 4 nü t
2 saatte alırsa, yolu zamanında tamamlaması için hızını kaç katına çıkarmalı- dır?
A) 3
2 B) 2 C) 3 D) 9
2 E) 5
19.
A O C
20 km/sa 30 km/sa
(O; AB’nin orta noktası)
1–E 2–A 3–D 4–E 5–D 6–A 7–C 8–E 9–B 10–A 11–A 12–B 13–E 14-D 15D 16C 17C 18–A 19–D 20–B
Şekildeki gibi O noktasından aynı anda zıt yönde harekete başlayan iki hareketli AB
arasında gidip gelirken 3. kez nerede karşılaşır- lar?
A) A noktasında B) O noktasında C) B noktasında D) O A arasında E) O B arasında
20. Çevresinin uzunluğu 1200 km olan dairesel bir yolda aynı noktadan harekete başlayan iki araç aynı yönde giderse 30 saatte bir, zıt yönde gider- lerse 12 saatte bir karşılaşıyorlar.
Buna göre, yavaş giden aracın hızı kaçtır?
A) 25 B) 30 C) 35 D) 60 E) 75
1. Ali bir işin 3
4’ünü 6 günde yaparken, aynı işin 1
3’ünü Yiğit 4 günde yapabiliyor.
Buna göre, ikisi beraberce aynı işin 5
8’ini kaç günde yapabilirler?
A) 2 B) 3 C) 5 D) 7 E) 8
2. Kaan, Basri’den % 25 daha az kapasite ile çalış- maktadır.
İkisi birlikte bir işi 8 günde yapabildiklerine göre, aynı işi Basri tek başına kaç günde ya- par?
A) 18 B) 17 C) 16 D) 15 E) 14
3. Ayla’nın 1 saatte bitirdiği işi, Hülya 15 dakikada bitirebilmektedir. Birlikte 6 dakika aynı işi yaptıktan sonra Hülya ayrılıyor.
Ayla’nın işi tamamlaması için kaç dakika daha yalnız çalışması gerekir?
A) 30 B) 25 C) 20 D) 15 E) 10
4. Ali bir işin1
3’ünü 10 günde yapabilirken, Ali ile Veli aynı işi beraber 12 günde yapabiliyorlar.
Buna göre, Veli aynı işin 1
4’ünü kaç günde yapabilir?
A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8
5. Soner ile İlker bir işi birlikte 5 günde yapabiliyorlar.
Soner çalışma hızını % 25 azaltıp İlker % 25 arttı- rınca aynı işi ikisi birlikte 6 günde yapabiliyorlar.
Buna göre, aynı işi Soner tek başına kaç günde yapabilir?
A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 10 6. Ahmet bir işi tek başına 12 günde Samet aynı işi
tek başına 4 günde bitirebiliyor. Ahmet bu işte 3 gün çalıştıktan sonra Samet yardımına geliyor.
Buna göre, bu iş toplam kaç günde biter?
A) 21
4 B) 11
2 C) 23
4 D) 6 E) 25 4
7. Bir işi birinci işçi tek başına 20 günde, ikinci işçi tek başına 40 günde bitirebiliyor.
Buna göre, ikisi beraber bu işin 3
5’ini kaç günde bitirebilirler?
A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9
8. İki musluk bir havuzu beraber 12 saatte doldur- maktadır. Birinci musluk havuzu tek başına ikinci musluktan 10 saat erken doldurabiliyor.
Buna göre, ikinci musluk boş havuzu tek başı- na kaç saatte doldurur?
A) 25 B) 30 C) 34 D) 36 E) 38
9. Üç musluk boş bir havuzu 5 saatte dolduruyor.
K O N U T E K R A R T E S T İ
2
Birinci musluk havuzu yalnız başına 10 saatte, ikinci musluk havuzu yalnız başına 15 saatte doldururken, üçüncü musluk aynı havuzu yal- nız başına kaç saatte doldurur?
A) 15 B) 20 C) 24 D) 28 E) 30
10. Boş bir havuzu, birinci musluk 8 saatte, ikinci musluk 6 saatte doldururken, havuzun ortasında bulunan üçüncü bir musluk ise boşaltabileceği kısmı 12 saatte boşaltabiliyor.
Buna göre, havuz boş iken 3 musluk birden açılırsa havuz toplam kaç saatte dolar?
A) 2 B) 3 C) 26
7 D) 27
5 E) 25 3 11. Bir araç iki kent arasını 8 saatte alıyor. Hızını
saatte 60 km daha artırsaydı araç iki kent arasını 5 saatte alacaktı.
Buna göre, bu iki kent arası kaç km’dir?
A) 850 B) 800 C) 700 D) 650 E) 500
12. Bir araç A kentinden B kentine saatte 60 km hızla gidiyor ve saatte 40 km ile geri dönüyor.
Toplam 15 saatte gidip geldiğine göre, bu yo- lun uzunluğu kaç km’dir?
A) 240 B) 360 C) 400 D) 440 E) 480
13. A şehrinden B şehrine aynı anda aynı yönde 50 km/sa ve 90 km/sa hızlarla gitmekte olan iki araç- tan 50 km/sa ile hareket eden 90 km/sa ile hareket edenden 4 saat sonra B şehrine ulaşıyor.
Buna göre, A şehri ile B şehri arası kaç km’dir?
A) 200 B) 3000 C) 400 D) 450 E) 500
14. Bir araç bir yolun 1
5’ini aldıktan sonra hızını 3 katına çıkararak yolun tamamını 14 saatte almıştır.
Buna göre, yolun ilk 1
5’ini kaç saatte almıştır?
A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2
15. Bir araç A kentinden B kentine giderken saatte 60 km dönerken saatte 100 km hız yapıyor.
Buna göre, bu aracın gidiş geliş hızı ortalama kaç km/sa olur?
A) 60 B) 65 C) 70 D) 75 E) 80
16. A ve B kentleri arası 200 km’dir. A kentinden saat- teki hızı 75 km ve B kentinden saatteki hızı 55 km olan sabit hızlı iki araç aynı anda ve aynı yönde hareket ediyor.
Buna göre, hızlı araç kaç saat sonra yavaş giden araca 100 km yaklaşır?
A) 3 B) 4 C) 5 D) 8 E) 16
17. Aralarında 50 km uzaklık bulunan A ve B kentle- rinden iki bisikletli aynı anda birbirlerine doğru ha- reket ediyorlar ve 5 saat sonra karşılaşıyorlar.
Karşılaşmalarından sonra, A’dan hareket eden bi- sikletli hızını 2 km/sa azaltıp, B’den hareket eden bisikletli ise hızını 2 km/sa artırıyor.
A’dan hareket eden bisikletli B’ye, diğeri de A’ya aynı anda vardığına göre, hızlı olan bisik- letinin ilk hızı kaç km/sa’tir?
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
18.
A B C
20 km/sa 50 km/sa
Hızları yukarıda verilen iki hareketli, aynı anda B noktasından hareket edip, biri A’ya, diğeri C’ye doğru gidiyor.
İkisi de aynı anda A ve C noktalarına vardığına göre, | AB |
| AC | oranı kaçtır?
A) 2
5 B) 3
4 C) 4
5 D) 5
6 E) 2
7
1–B 2–E 3–A 4–B 5–C 6–A 7–D 8–B 9–E 10–C 11–B 12–B 13–D 14–A 15–D 16–C 17–E 18–E 19–D 20–E
19. Bir yaya, belli bir yolun 3
7’sini gittikten sonra 100 metre daha gidince yolun 2
3’üne yürümüş oluyor.
Buna göre, bu yolun uzunluğu kaç metredir?
A) 180 B) 220 C) 350 D) 420 E) 475
20. İki hareketli aynı anda aynı yöne doğru yola çıkı- yorlar. Belli bir zaman sonra biri 320 km yol alırken diğeri 480 km yol alıyor.
Hızları toplamı 160 km olduğuna göre, hızları farkının mutlak değeri kaçtır?
A) 40 B) 38 C) 36 D) 34 E) 32