1. 1

ARİTMETİK VE GEOMETRİK DİZİLER

1. Aritmetik Diziler A. Tanım

Ardışık her iki terimi arasındaki fark eşit olan diziye aritmetik dizi denir.

Yani her n pozitif tamsayısı için,

d n ...

1 a an 3 ...

4 a 2 a 3 a 1 a 2 a

a           

olacak şekilde bir dR varsa ) an

( dizisine aritmetik dizi; d sayısına da aritmetik dizinin ortak farkı denir.

Örnek:

) 4 n 3 ( n) a

(   dizisinin aritmetik olup olmadığını araştıralım.

Çözüm:





an 1

an        olduğuna göre,

n) a

( aritmetik dizidir. Ortak farkı 3’tür.

Örnek:

5 ) 10 (n n) a

( 

 dizisinin aritmetik dizi olduğunu gösterelim.

Çözüm:

5 1 5

10 n 5

11 n n

1 a

an       olduğuna göre )

an (

aritmetik dizidir. Ortak farkı 5 1 tir.

Örnek:

) 2 n n ( n) a

(   dizisinin aritmetik olup olmadığını araştıralım.

Çözüm:





an 1

an          olup

2 n

2  sayısı sabit bir reel sayı göstermediğinden ) an ( aritmetik dizi değildir.

B. Genel Terim

İlk terimi

a1 ve ortak farkı d olan ) an

( aritmetik dizisinin genel terimini

a1 ve d cinsinden bulalım:

a1 a1 

1 d 2 a

a  

d 1 2 a 2 d 3 a

a    

d 1 3 a 3 d 4 a

a    

d 1 4 a 4 d 5 a

a    

...

d ).

1 n 1 ( n a

a    dir.

Demek ki, aritmetik dizinin genel terimi:

d ).

1 n 1 ( n a

a    dir.

Örnek:

İlk terimi -2 ve ortak farkı 2

3 olan aritmetik dizinin genel terimini bulalım.

Çözüm:

2 7 n 3 2 ).3 1 n ( 2 d ).

1 n 1 ( n a

a 















 dir.

Örnek:

İlk terimi 8 ve ortak farkı 2 olan aritmetik dizinin genel terimi nedir?

Çözüm:

6 n 2 2 ).

1 n ( 8 d ).

1 n 1 ( n a

a         dır.

Örnek:

İlk terimi 4 ve ortak farkı 3 olan aritmetik dizinin 18. terimi kaçtır?

Çözüm:

1 4

a  ve d3 olduğuna göre,

55 3 ).

1 18 ( 18 4 a d ).

1 n 1 ( n a

a         olur.

Örnek:

İlk terimi (3x1) , ikinci terimi (2x7) ve üçüncü terimi )

3 x 4

(  olan aritmetik dizide ortak fark kaçtır?

Çözüm:

1 x 1 3

a   , a2 2x7 , a3 4x3

olmak üzere, aritmetik dizide ardışık terimler arasındaki fark sabittir. Buna göre,

7 x 2 3 x 4 1 x 3 7 x 2 2 3 a 1 a 2 a

a           

x82x10x6 olur.

2 8 6 8 x 1 x 3 7 x 1 2 2 a a

d           olur.

C. Aritmetik Dizinin Özellikleri

Özellik:

n

p olmak üzere, bir aritmetik dizinin genel terimi,

d ).

p n p ( n a

a    ve ortak farkı

p n

ap an

d 



 dir.

0

d ise dizi artandır.

0

d ise dizi sabittir.

0

d ise dizi azalandır

Örnek:

Bir aritmetik dizide; 3. terim 23 ve 7. terim 47 dir. Buna göre, bu aritmetik dizinin ortak farkı kaçtır?

Çözüm:

4 6 24 4

23 47 3 7

a3 a7

d   

 

  dır.

Örnek:

Bir aritmetik dizide; 2. terim 35 ve 9. terim 21 dir. Buna göre, bu aritmetik dizinin ilk terimi kaçtır?

Çözüm:

7 2 14 7

35 21 2 9

a2 a9

d  

 

 



 dir. (Dizi azalan)

d ).

p n p ( n a

a   

1 37 a 1 2 a 35 ) 2 ).(

1 2 1 ( 2 a

a          olur.

Örnek:

Bir aritmetik dizide ilk terim 16 ve son terim 124 tür. Ortak fark 3 olduğuna göre, bu dizinin terim sayısını bulalım.

Çözüm:

Bu dizinin terim sayısı n olsun.

3 ).

1 n ( 16 124 d ).

1 n 1 ( n a

a       

37 3 1

16

n 124  



 dir.

Özellik:

x ile y gibi iki reel sayı arasına n tane terim yerleştirilerek oluşturulan n2 terimli aritmetik dizinin ortak fakı

1 n

x d y



  şeklindedir.

Örnek:

8 ile 32 arasına dokuz terim yerleştirilerek oluşturulan 11 terimli sonlu ve artan aritmetik bir dizinin baştan 6 terimi kaçtır?

Çözüm:

Verilenlere göre,

1 8

a  , a11 32 ,

5 12 10

8 32 1 11

a1 a11

d  

 





20 12 5 8

).12 1 6 1 ( 6 a a d ).

p n p ( n a

a          

Özellik:

Bir aritmetik dizide, her terim kendisinden eşit uzaklıktaki iki terimin aritmetik ortalamasına eşittir.

2 k ap k ap

ap     ( p > k )

Örnek:

Bir aritmetik dizide; 12. terim m, 20. terim n dir. Buna göre bu dizinin 16. terimini bulalım.

Çözüm:

16 20 12

16   olduğundan 16. terim, 12. terim ile 20.

terime eşit uzaklıktadır. Buna göre,

2 n m 2

a20 a12

a16 

 

 dir.

Örnek:

n) a

( bir aritmetik dizi olmak üzere, a7 a19

a13 . 7

 işleminin sonucunu bulalım.

Çözüm:

7 13 13

19   olduğundan 13. terim, 7. terim ile 19.

terime eşit uzaklıktadır. Buna göre,

a13 . 7 2 19 a 2 a

a7 a19

a13    

 tür.

Buna göre,

2 7 a13 . 2

a13 . 7 a7 a19

a13 .

7  

 dir.

Özellik:

Sonlu bir aritmetik dizide, baştan ve sondan eşit uzaklıkta bulunan terimlerin toplamı birbirine eşittir.

d ).

1 n 1 ( a . 2 1 ...

an a2 an

a1    

 





Bu eşitlikte (n 1).d a1

an    olduğundan

d ).

1 n 1 ( a . 1 2 a d ).

1 n 1 ( 1 a n a

a         yazıldı.

Örnek:

n) a

( bir aritmetik dizi olmak üzere, a12 12 ve a18 30 olduğuna göre

a23

a7  işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm:

En son verdiğimiz özelliğe göre,

a18 a12 a23

a7   

olur. Buna göre,

42 30 18 12

12 a 23 a 7 a

a       olur.

Özellik:

Bir aritmetik dizinin ilk n terim toplamı S_n olsun. Buna göre,





2. n n

S    veya Sn  ⁿ₂^.

 

Örnek:

İlk terimi -8 ve ortak farkı 5 olan aritmetik dizinin ilk 20 terim toplamı kaçtır?

Çözüm:

1 8

a  ve d5 olmak üzere,





2. n n

S   





2 . 20

S20       olur.

Örnek:

n) a

( sonlu bir aritmetik dizi olmak üzere bu dizide ilk terimi 9 ve son terim 85 tir. Terimleri toplamı 1128 olan bu dizinin terim sayısını bulalım.

Çözüm:

n) a

( dizisinin terim sayısı n olsun.

1 9

a  , an 85 ve Sn 1128 olmak üzere,

 

2. n n

S     

94 24 n 2256 

 olur.

Örnek:

n) a

( bir aritmetik dizidir. Bu dizinin ilk n terim toplamı

2 2 n n 3

Sn 

 olduğuna göre bu dizinin genel terimini bulunuz

Çözüm:

n) a

( dizinin ilk n terim toplamından (n-1) terimi toplamı çıkarılırsa sonuç n. terime eşit olacaktır. Buna göre,

2 ) 1 n 2 ( ) 1 n .(

3 2 2 n n 3 1 Sn Sn

an   

 

 





2 2 n 2 5 n . 3 2 2 n n

3  

 



1 n 2 3

2 n

6   

 olur.

Örnek:

n) a

( bir aritmetik dizidir. Bu dizinin ilk n terim toplamı S_n olmak üzere,

7 36 8 S

S   ve 60

S11

S12   olduğuna göre bu dizinin ortak farkı kaçtır?

Çözüm:

8 36 a 7 36

8 S

S     olur.

12 60 a 11 60

12 S

S     olur.

n

p olmak üzere

p n

ap an

d 



 dir.

4 6 24 4

36 60 8 12

a8 a12

d   

 



 olur.

Örnek:

,...) 5 n 3 ,..., 14 , 11 , 8 ( n) a

(  

,...) 11 n 4 ,..., 1 , 3 , 7 ( n) b

(     dizileri veriliyor. )

an

( dizisinin il n terim toplamı, )

bn

( dizisinin ilk n terim toplamına eşit olduğuna göre, n kaçtır?

Çözüm:

n) a

( dizisinde a1 8 ve d3 tür.

n) b

( dizisinde b1 7 ve d4 tür.

Bu iki dizinin ilk n terim toplamları eşit olduğuna göre,

ⁿ₂^.



 



  



2 3 n ).

1 n ( 8 . 2 2.

n      



4 n 4 14 3 n 3

16    



31 n

 olur.

Örnek:

9 ile bölündüğünde 4 kalanını veren üç basamaklı doğal sayıların toplamı kaçtır?

Çözüm:

9 ile bölündüğünde 4 kalanını veren üç basamaklı doğal sayılar,

103,112,121,130,139,148,…,994 tür.

Dikkat edilirse ardışık terimler arasındaki fark sabit olup 9 dur. Buna göre, bu sayıları; ilk terimi 103, son terimi 994 ve ortak farkı 9 olan n terimli sonlu bir aritmetik dizi şeklinde düşünebiliriz.

d ).

1 n 1 ( n a

a    olduğundan,

100 9 1

103 n 994

9 ).

1 n ( 103

994   









 olur.

Bu durumda 9 ile bölündüğünde 4 kalanını veren üç basamaklı doğal sayıların sayısı 100 dür.

Bunların toplamı da,

 

2. n n

S       dir.

Örnek:

n) a

( bir aritmetik dizidir. Bu dizinin ilk n terim toplamı S_n olmak üzere,

17 45 22 S

S   olduğuna göre

a20 kaçtır?

Çözüm:

a20 . 22 2 21 a 2 a

a19 a21

a20    



a20 . 18 2 22 a 2 a

a18 a22

a20    



22 45 21 a 20 a 19 a 18 a a 17 45

22 S

S        

20 9 a 20 45

a .

5   

 bulunur.

2. Geometrik Dizi

A. Tanım

Ardışık her iki terimi arasındaki oran eşit olan diziye geometrik dizi denir.

Yani her n pozitif tam sayısı için,

r ...

an 1 an ...

a3 a4 a2 a3 a1 a2



 







 ( 0

bn  )

olacak şekilde bir rR{0} varsa ) an

( dizisine geometrik dizi; r sayısına da geometrik dizinin ortak çarpanı denir.

Örnek:

1) 3n ( n) a

(   dizisinin geometrik dizi olup olmadığını araştıralım.

Çözüm:

1 3 3n

3n 1 3n

1 ) 1 n 3( an

1 an

 

 



 



olduğuna göre, ) an

( dizisi geometrik dizi olup dizinin ortak çarpanı 3 tür.

Örnek:

2)

! (n n) b

(  dizisinin geometrik dizi olup olmadığını araştıralım.

Çözüm:

1

! n n

! n ).

1 n (

2

! n 2

)!

1 n (

bn 1 bn



 





  olur.

1

n ifadesi sabit bir sayı belirtmediğinden, ) bn ( dizisi geometrik dizi değildir.

B. Genel Terim

İlk terimi

a1 ve ortak çarpanı r olan ) an

( geometrik dizisinin genel terimini

a1 ve r cinsinden bulalım:

a1 a1 

1r.

2 a

a 

r.2 a1 r ).

1r.

a ( 2r.

3 a

a   

r.3 a1 r 2).

1r.

a ( 3r.

4 a

a   

r.4 a1 r 3).

1r.

a ( 4 r.

5 a

a   

…

1 r.n a1

an  

Örnek:

İlk terimi 0,2 ve ortak çarpanı 5 olan geometrik dizinin genel terimini bulalım.

Çözüm:

5 2 1 , 1 0

a   ve r5 olduğuna göre,

2 5n 1 5n 5. 1 1 r.n a1

an       olur.

Örnek:

İlk terimi 4 ve ortak çarpanı 2 olan geometrik dizinin 25.

terimini bulalım.

Çözüm:

1 4

a  ve r2 olduğuna göre,

226 224 2. 1 2 225 . 25 4 1 a r.n a1

an        olur.

Örnek:

İlk terimi (x2) , ikinci terimi (2x1) ve üçüncü terimi )

2 x 4

(  olan geometrik dizinin ortak çarpanını bulalım.

Çözüm:

2 1 x

a   , 2x 1

a2   , 4x 2

a3   olmak üzere, geometrik dizide ardışık terimler arasındaki oran sabittir.

Buna göre,

1 x 2

2 x 4 2 x

1 x 2 a2 a3 a1 a2



 



 



1 x 2 x 2 2 x 4 4 x 2 x 2 8 x

4       



2 x 5

 olur.

3 4 2 2

5 2 1 .5 2 2 x

1 x 2 a1 a2

r 





 

 

 bulunur.

C. Geometrik Dizinin Özellikleri n

p olmak üzere, bir geometrik dizinin genel terimi,

p r.n ap

an   ve ortak farkı ^{n p} ap an

r  dir.

0

r ise dizi artandır.

0

r ise dizi sabittir.

0

r ise dizi azalandır

Örnek:

Bir geometrik dizide; 2.terim 4, 8.terim 32 dir. Buna göre, bu geometrik dizinin ortak çarpanı kaçtır?

Çözüm:

6 2 4 2 32

8 a2 a8 p r

n ap an

r       dir.

Örnek:

Bir geometrik dizide; 5.terim 6, 8.terim 24 tür. Buna göre, bu geometrik dizinin 11.terimini bulalım.

Çözüm:

3 4 3

6 r 24 5

8 a5 a8

r     tür.

8 r.11 a8 a11 p r.n ap

an 



 



3 24.4 96

) 3 4r.

.(

11 24

a   

 olur.

Örnek:

n) a

( pozitif terimli bir geometrik dizidir.

5 72 8 a

a   ve 9

a7

a10   olduğuna göre dizinin ortak çarpanını bulalım.

Çözüm:

5 72 8 a

a   ve 9

a7

a10   eşitliklerini taraf tarafa oranlayalım,

5 8 r.7 a5 5 r.10 a5

a5 5 r.8 a5 9

72 a7 a10

a5 a8

 

 

 



 



8

r.2 a5 r.5 a5

a5 r.3 a5





 

8

) 3 1 r 2.(

5r.

a

) 3 1 r 5.(

a 



 

4 r 2 8 2 1

r   

 olur.

II.Yol:

5 9 r.7 a5 8 r.10 a8 7 9

10 a

a       

) 9 72r.2 9

a5 a8 2.(

r    



4 r 2 8 2 1

r   



Özellik:

x ile y gibi iki reel sayı arasına n tane terim yerleştirilerek oluşturulan n2 terimli geometrik dizinin ortak çarpanı

1 n

x

r  y şeklindedir.

Örnek:

6 ile 24 arasına, dokuz terim yerleştirilerek oluşturulan 11 terimli sonlu ve artan bir geometrik dizinin baştan 3. terimini bulalım.

Çözüm:

1 6

a  ve a11 24 olduğuna göre,

5 2 10 4 10

6 1 24

11 a1 a11

r     olur.

5 4 . 2 6 5 2) .(

1 6 r.3 a1

a3     olur.

Özellik:

Bir geometrik dizide, her terim kendisinden eşit uzaklıktaki iki terimin geometrik ortalamasına eşittir.

Diğer bir deyişle, bir geometrik dizide, herhangi bir terimin karesi kendisinden eşit uzaklıktaki iki terimin çarpımına eşittir.

k ap k. ap )2 ap

(    dır. (p k)

Örnek:

Pozitif terimli bir geometrik dizide; 6.terim 3, 10. terim 12 dir.

Buna göre, bu dizinin 8. terimi kaçtır?

Çözüm:

6 8 8

10   olduğundan 8. terim 10. terim ile 6. terime eşit uzaklıktadır. Buna göre,

6 8 36

6 a a 10. 2 a 8) a

(     olur.

Örnek:

Pozitif terimli bir geometrik dizinin ardışık beş terimi sırasıyla

27 8 , c , b , a 2,

3 olduğuna göre a.b.c kaçtır?

Çözüm:

Bir geometrik dizide, herhangi bir terimin karesi kendisinden eşit uzaklıktaki iki terimin çarpımına eşit olacağına göre,

3 b 2 9 2 4 27 b .8 2 2 3

b      olur.

9 c 4 . a c . 2 a

b    olur.

27 8 9 .4 3 c 2 . b .

a   bulunur.

Örnek:

Bir geometrik dizide; 9.terim 8 dir. 3x 1 a6

12.

a  

olduğuna göre x kaçtır?

Çözüm:

6 9 9

12   olduğundan, 9. terim 12. terim ile 6. terime eşit uzaklıktadır.

Bir geometrik dizide, her terim kendisinden eşit uzaklıktaki iki terimin geometrik ortalamasına eşittir.

Buna göre,

21 x 64 1 x 6 3 a 12. 2 a 9) a

(       olur.

Özellik:

Sonlu bir geometrik dizide, baştan ve sondan eşit uzaklıkta bulunan terimlerin çarpımı birbirine eşittir.

3 ...

an 4. 2 a an 3. 1 a an 2. n a a 1.

a 

 

 

 

Örnek:

Bir geometrik dizinin ardışık altı terimi sırasıyla d

, c 3 , 8 , 6 , b ,

a olduğuna göre a.b.c.d kaçtır?

Çözüm:

Bu sayıları; ilk terim a, son terim d olan 6 terimli sonlu bir geometrik dizi şeklinde düşünebiliriz. En son verdiğimiz özelliğe göre,

3 16 .8 6 c . b d . 4 a a 3. 5 a a 2. 6 a a 1.

a      

a.b.c.d(a.d).(b.c) a.b.c.d16.16256 olur.

Özellik:

Bir geometrik dizide ilk n terim çarpımı,

)n an 1. a n ( a 4....

a 3. a 2. a 1. n a

P   dir.

Örnek:

n) a

( bir geometrik dizidir

,...) 8 ,3 4 ,3 2 ,3 3 , 6 , 12 ( n) a

(  olduğuna göre )

an

( dizisinin ilk 8 teriminin çarpımını bulalım.

Çözüm:

1 12 a  ve

2 1 12

6 a1 a2

r   dir.

32 3 128 . 1 7 12 1r.

8 a

a    dir.

)4 a8 1. a 8 ( 8) a 1. a 8 ( n P n) a 1. a n (

P    

212 38 )4 32 . 3 12 8 (

P  

 olur.

Örnek:

n) a

( pozitif terimli bir geometrik dizidir. Bu dizide ilk n terim çarpımı

Pn olmak üzere , 32

P7 P8

 ve 16 P5 P6

 olduğuna göre, bu dizinin ortak

çarpanı kaçtır?

Çözüm:

8 32 a 32 a1 ...

a6 7. a

a1 ...

a6 7. a 8. a 32 P7 P8









 olur.

6 16 a 16 a1 ...

a4 5. a

a1 ...

a4 5. a 6. a 16 P5 P6









 olur.

2 2 16 6 32

8 a6 a8 p r

n ap an

r        olur.

Özellik:

Bir geometrik dizinin ilk n teriminin toplamı

Sn olsun.

r 1

rn .1 a1 Sn



  dir.

Örnek:

İlk terimi 4 ve ortak çarpanı 2

1 olan geometrik dizinin ilk beş teriminin toplamı kaçtır?

Çözüm:

1 4 a  ve

2

r 1 olduğuna göre,

4 31 16 .31 4 2 1 1

)5 2 (1 1 . 5 4 r S 1

rn .1 a1

Sn  







 

  olur.

Örnek:

Artan bir geometrik dizide, ilk 8 terim toplamının ilk 4 terim toplamına oranı 17 olduğuna göre, bu dizinin ortak çarpanını bulalım.

Çözüm:

4 17 r 1

r8 17 1

r 1

r4 1 a1

r 1

r8 .1 a1 17 S4 S8





 















2 r 4 16

r 4 17

r 1

4) r 1 4).(

r 1

(     





  olur.

Örnek:

Ortak çarpanı 2 olan sonlu bir geometrik dizinin terimleri toplamı 765 tir.

Bu dizinin son terimi 384 olduğuna göre, ilk terimi kaçtır?

Çözüm:

Verilen koşulu sağlayan dizi ) an

( olsun. ) an

( dizisinde ilk terim

a1 , son terim

an ve terimler toplamı

Sn olsun.

1 r.n a1

an   dir.

r 1

1r.

r.n a1 a1 r 1

r.n a1 a1 r 1

rn .1 a1 Sn



 

 

 



 

1 r

nr.

1 a a



  dir.

2 1

2 . 1 384 a r 765

1 nr.

1 a a Sn



 

 

 

765 768 3

a1  

 olur.

Uyarı z , y ,

x sayıları hem aritmetik hem de geometrik dizi oluşturuyorsa xyz dir.

Hem aritmetik hem de geometrik olan dizi, sabit dizidir.

Sabit dizi farkı 0 (sıfır) olan aritmetik bir dizi ve ortak çarpanı 1 olan geometrik bir dizidir.

Örnek:

a ile b sıfırdan farklı birer reel sayıdır.

) b 2. a , b a , b . a . 4

(  dizisi hem aritmetik hem de geometrik dizi özelliğini sağladığına göre, b kaçtır?

Çözüm:

Hem aritmetik hem de geometrik olan dizi, sabit dizidir.

Sabit dizinin terimleri birbirine eşittir.

Buna göre, 4.a.baba2.b dir.

4 a b 2. a b . a .

4    tür.

4

a  ve 4.a.bab ise

15 b 4 b 4 b . 4 .

4     olur.

Örnek:

) 2 , 1 2- n , m

( dizisi geometrik dizi, (m, n, 12) dizisi aritmetik dizi belirttiğine göre mn kaçtır?

Çözüm:

) 12 , n , m

( dizisi aritmetik dizi olduğuna göre,

12 n 2 m 2 n

12

m    

dir.

) 2 , 1 2- n , m

( dizisi geometrik dizi olduğuna göre,

m 2 1 4 n n2 2m 2 1) 2-

(n     

n 1 2.(2n 12) 4

n2











n2 20n100 0

(n10)2 0n10 olur.

8 12 20 12 10 . 2 m 12 n 2

m        olur.

18 10 8 n

m    bulunur.

Çözümlü Sorular

1. Yaşları toplamı 80 olan beş kardeşin yaşları bir aritmetik dizinin ardışık beş terimidir. En büyük kardeş 20 yaşında olduğuna göre, en küçük kardeşin yaşı kaçtır?

Çözüm:

Bu kardeşlerin yaşları ortak farkı d olan bir aritmetik dizinin ardışık beş terimine karşılık gelsin. Buna göre, kardeşlerin yaşları en küçükten en büyüğe doğru;

d 4 x , d 3 x , d 2 x , d x ,

x     olur.

En büyük kardeşin yaşı 20 olduğuna göre, 20

d 4

x  dir.

Kardeşlerin yaşları toplamı 80 olduğuna göre, 80 ) d 4 x ( ) d 3 x ( ) d 2 x ( ) d x (

x        

16 d 2 x 80 d 10 x

5     



20 d 4

x  ve x2d16 eşitliklerinin çözümünden 12

x bulunur.

2. ) (2x 3, x 14, 4x 5,...) an

(     dizisi bir aritmetik

dizidir. Buna göre, bu dizinin 8. terimi kaçtır?

Çözüm:

3 x 1 2

a   , x 14

a2   , 4x 5

a3   olup bir aritmetik dizide, her terim kendisinden eşit uzaklıktaki iki terimin aritmetik ortalamasına eşittir.

2 5 x 4 3 x 14 2 2 x

a3 a1

a2   





 



2x286x8x5 tir.

Buna göre 13

a1  , 19

a2  , 25

a3  olup dizinin ortak

farkı, 19 13 6

a1 a2

d     dır.

55 6 . 7 8 13 a d ).

1 n 1 ( n a

a        olur

3. )

an

( dizisi bir aritmetik dizidir. 26 a4

a3   ve 7 15

10 a

a   olduğuna göre

a1 kaçtır?

Çözüm:

d ).

7 10 7 ( 10 a a d ).

p n p ( n a

a       

5 d 7 15 a d 7 3 a 7 15 10 a

a         olur.

26 d . 1 3 a d . 1 2 a 4 26

3 a

a       

26 25

a1 . 2 26 d . 1 5 a .

2     



2 1 a1 

 olur.

4. Pozitif terimli bir aritmetik dizide ilk beş terim toplamı 50 dir. 2. terim ile 4. terim çarpımı 64 olduğuna göre 5.

terim kaçtır?

Çözüm:

3. terime x dersek, ilk beş terim;

2d x d, x , x , d x , d 2

x    olur.

Bu terimlerin toplamı 50 ise,

10 x 50 2d x d x x d x d 2

x           olur.

2. terim ile 4. terim çarpımı 64 olduğuna göre,

2 64 2 d 10 2 64

2 d x 64 d) x ).(

d x

(         

6 d 2 36

d   

 olur.

22 6 . 2 10 d 2 5 x

a      bulunur.

5. ) (k 2m, 3k m, 2k 3m, 42,...) an

(     dizisi bir

aritmetik dizidir. Buna göre bu dizinin genel terimini bulunuz.

Çözüm:

m 2 1 k

a   , 3k m

a2   , 2k 3m

a3   olsun. Bu aritmetik dizide, her terim kendisinden eşit uzaklıktaki iki terimin aritmetik ortalamasına eşittir.

2

) m 3 k 2 ( ) m 2 k m ( k 2 3

a3 a1

a2   





 



6k2m3k5mkm dir.

Buna göre, dizinin ilk üç terimi, m

1 3

a  , 4m

a2  , 5m

a3  olur. Bu durumda ortak fark m olacağından, dördüncü terim 6m olacaktır?

7 m 42 m 4 6

a     olur.

Buna göre dizinin genel terimi,

7 ).

1 n ( 21 m ).

1 n ( m n 3 a d ).

1 n 1 ( n a

a          

17n14 tür.

6. Bir aritmetik dizide ilk terim –26 dır. İlk n terim toplamı

Sn olmak üzere 24

S8

S12   olduğuna göre, dizinin ortak farkı kaçtır?

Çözüm:

Dizinin ilk terimi 26

a1  ve ortak farkı d olsun.

Aritmetik dizinin ilk n terim toplamı,





2. n n

S    olup,

8 24 12 S

S   olduğuna göre,



 



2 .

12      

128 d . 38 24 ) d . 7 52 .(

4 d . 11 52 .(

6        

19 d64

 olur.

7. ilk terimi 3

5 , ikinci terimi 2

3 olan bir aritmetik dizinin baştan kaç terim toplamı 0 (sıfır) olur?

Çözüm:

ilk terimi 3

5 , ikinci terimi 2

3 olan aritmetik dizide ortak fark,

6 1 3 5 2 3 a1 a2

d     dır.





2. n n

S    olduğundan,

 

 

 

 

 6

n 1 3 . 10 2 0 n 6) ).( 1 1 n 3 ( .5 2 2. 0 n

6 n 1 3

0 10 







21 n

 olur.

8. x3 6x2 2xa0 denkleminin kökleri, bir aritmetik dizi oluşturan tam sayılardır. Buna göre, a kaçtır?

Çözüm:

0 d 2 cx 3 bx x .

a     denkleminin kökleri,

x3 2, x 1, x ise,

a b x3 x2

x1   ,

a d .x3 x2 1.

x  dır.

Kökler aritmetik dizi oluşturuyorsa,

2 x3 x1 x2



 dır

Buna göre, x3 6x2 2xa0 denkleminin kökleri x3

2, x 1,

x ise,

x2 . 3 2 1 x 2 x

x3 x1

x2   



 dir.

1 6 6 x3

x2

x1  







 dır.

2 2 x 2 6

2 x x . 2 3 6

2 x 1 x

x         olur.

Bir denklemin kökü denklemi daima sağlayacağına göre,

0 a 2 . 2 2 2 . 3 6 2 0 a x 2 2 x 3 6

x         

8244a0a12 dir.

9. )

an

( dizisi bir aritmetik dizidir.

14 240 11 a 8 a 5 a

a     olduğuna göre )

an ( dizisinin ilk 18 teriminin toplamı kaçtır?

Çözüm:

14 240 11 a 8 a 5 a

a     olduğuna göre,

240 d 1 13 a d 1 10 a d 1 7 a d 1 4

a        

120 d 1 17 a 2 240 d 1 34 a

4     

 olur.









2. n n

S      

9.120 1080

S18  

 olur.

10. ) an

( pozitif terimli bir geometrik dizidir. 3 a1  ve 16

a2 a4

 olduğuna göre, bu dizinin 5. terimi kaçtır?

Çözüm:

Bir geometrik dizide r.^{n p} ap

an 

 ise,

r.2 a2 a4 2 r.4 a2

a4     dir.

4 r 2 16

r 2 16

a r.2 a2 16 a2 a4













 tür.

4 768 4 . 5 3 1 a r.n a1

a5      olur.

11. ) an

( dizisinde ilk terim 243 olmak üzere, 1

an . n 3 a .

4   bağıntısı olduğuna göre, bu dizinin ilk 8 teriminin çarpımı kaçtır?

Çözüm:

3 4 an

1 an 1 an . n 3 a .

4   

  tür. Ardışık terimleri

arasındaki oran sabit olduğu için verilen dizi geometriktir. Bu dizide ortak oran

3

r 4 tür. Buna göre,

9 214 a8 )7 3 .(4 8 243 7 a

1r.

8 a

a      olur.

Geometrik dizide ilk n terim çarpımı

Pn olmak üzere,

312 56. 2 8 9 214 . 8 243 n P n) a 1. a n (

P   

 





 





12. ) an

( pozitif terimli bir geometrik dizidir.

40 n ...

a2 6 ...

4 a 2 a

a       ve

24 1 ...

n a2 7 ...

5 a 3 a

a  

 





 olduğuna

göre bu dizinin ortak çarpanı kaçtır?

Çözüm:

40 n ...

a2 6 ...

4 a 2 a

a      

24 1 ...

n a2 7 ...

5 a 3 a

a  

 







1 r.n a1

an   olduğuna göre,

40 1 ...

n r.2 a1 5 ...

1r.

3 a 1r.

a 1r.

a        ve

24 n ...

r.2 a1 6 ...

1r.

4 a 1r.

2 a 1r.

a      





.r       



5 r 3 5 3 40 r 24 24 40

.r      

 olur.

13. İlk terimi 2

1 ve son terimi 81

8 olan sonlu bir geometrik

dizinin terimleri toplamı 162

211 dir. Buna göre dizinin ortak çarpanı kaçtır?

Çözüm:

2 1 a1 ,

81 8 an  ve

162 211

Sn  olmak üzere,

81 1 16 rn 1 r.n 2 1 81 1 8 r.n a1

an        

81 r n 16 r 

 olur.

r 81 81

r 16 81 162 422 r

1 81

r 1 16 2. 1 162 211 r 1

rn .1 a1 Sn



 

 





 

 

3 r 2 r 1

r 16

211 81  



 

 olur.

14. ) an

( bir geometrik dizidir. ) an

( dizisinin 2. terimi 12, 8. terimi 324 tür. Buna göre, bu dizinin ilk altı terim toplamı kaçtır?

Çözüm:

3 12 r

6 324 6 r 2r.

8 a a ak ap k

rp        tür.

3 1 4 a 3 1. a 12 1r.

2 a 1 a r.n a1

an        

olur.

3 1

)6 3 ( .1 3 6 4 r S 1

rn .1 a1 Sn



 

 

 

3 1 . 26 3 6 4

S 

 



) 3 1 ).(

3 1 (

) 3 1 .(

. 26 3 6 4

S  



 



2 ) 3 1 .(

. 26 3 6 4

S 



 



156 52 3

S6  



15. ) (2.9n) an

(  geometrik dizisinin ilk n teriminin çarpımını bulunuz.

Çözüm:

1 18 9 . 1 2 n a 9 . n 2

a     dir.

)n 9n . 2 . 18 n ( n) a 1. a n ( a 3...

a 2. a 1. n a

P   

2 n 3n n. n 2 1) 9n 2. 2 n (

P     olur.

16. ) an

( pozitif terimli bir geometrik dizidir. 36 a3

a5  

ve 12

a4

a3   olduğuna göre, dizinin ilk terimi kaçtır?

Çözüm:

2 36 1r.

4 a 1r.

a 3 36 5 a a 3 36

5 a

a        

r.2.(r2 1) 36

a1  



12 ) r 1 2( 1r.

a 3 12

1r.

2 a 1r.

a 4 12

3 a

a        

Bu iki eşitlik taraf tarafa bölünürse,

4 r r 3

1 ) r 1 ).(

r 1 ( 12 36 ) r 1 2.(

1r.

a

) 2 1 r 2.(

1r.

a





 



 





 olur.

36 ) 2 1 4 2.(

4 1. a 36 ) 2 1 r 2.(

1r.

a     

20

3 a1 36 15 . 16 1.

a   

 olur.

17. (a , b , c) dizisi üç terimden oluşan azalan bir geometrik dizidir. a , b ve c pozitif tam sayılarının aritmetik ortalaması 7, geometrik ortalaması 6 olduğuna göre, c kaçtır?

Çözüm:

b ,

a ve c pozitif tam sayılarının aritmetik ortalaması 7 olduğuna göre,

21 c b a 3 7

c b

a      

olur.

b ,

a ve c pozitif tam sayılarının geometrik ortalaması 6 olduğuna göre,

216 c . b . a

3a.b.c6  olur.

Dizi geometrik olduğuna göre, b2 a.c olacağından,

6 b 3 216

b 216 c . b .

a      bulunur.

6

b ve abc21ac15 tir.

6

b ve a.b.c216a.c36 dır.

Bu durumda a ile c den biri 3, diğeri 12 dir. (a , b , c) dizisi azalan dizi olduğundan a12 ve c3 tür.

18. ) an

( pozitif terimli bir geometrik dizidir. 43 a6 a5

a8 a5

 

 olduğuna göre bu dizinin ortak çarpanı kaçtır?

Çözüm:

1 r.n a1

an   dir.

43 a6 a5

a8 a5

 

 ise,

43 ) r 1 4.(

1r.

a

3) r 1 4.(

1r.

a 5 43

1r.

4 a 1r.

a

r.7 a1 r.4 a1





 





 

r 43 1

2) r r 1 ).(

r 1 43 ( r 1

r3

1 







 

 

 

7 r 0 ) 6 r ).(

7 r ( 0 42 2 r

r          dir.

(Dizi pozitif terimli olduğundan r6 olamaz.)

19. ) an

( pozitif terimli bir geometrik dizidir.

3 a4 a2 a5

a3 



 dir. )

an

( dizisinin 6. terimi 81 olduğuna göre, ilk terimi kaçtır?

Çözüm:

3 r.3 a1 1r.

4 a 1r.

2 a 1r.

3 a a4 a2 a5 a3















3 r 1 3

r.3 a1 1r.

a 3) 1r.

a 1r.

a .(

r   





 olur.

n) a

( dizisinin 6. terimi 81 olduğuna göre,

)5 3 .(1 a1 5 81

1r.

6 a 1 a r.n a1

an      

81.35 34.35 3⁹

a1   

 olur.

Konu Bitimi.