Yıldızların Yapısı ve Evrimi

(1)

Yıldızların Yapısı ve Evrimi

(2)

Isı Enerjisi

Hidrostatik denge konusunda gördüğümüz en önemli olay M kütlesinde ve R yarıçapındaki bir yıldız eğer dengede ise iç bölgede belirli bir sıcaklığın olması gerekir.

Sıcaklık düşük olursa basınç çekim kuvvetini dengeleyemeyecektir. Eğer sıcaklık büyük

olsaydı bu kez yarıçap büyüyecekti.

Buradan hareketle sıcaklığın hidrostatik

(3)

Isı Enerjisi

Şimdi yıldızın içinde ısı ve çekim enerjisi arasındaki ilişkiye bakalım.

Bir gaz içindeki ısı enerjisi parçacık başına

kT

E

kin

2 3 =

Şeklindeki kinetik enerji ile bulunur.

Burada k Boltzmann sabiti k=1.38 10

-16

erg/der. Yine hareketli bir parçacığın

kinetik enerjisi

(4)

Isı Enerjisi

2 2 1 mv

E

kin =

Hareketin üç boyutlu olduğunu gözönüne

alırsak

kT mv 2 3 2 1 ₂ =

Burada m=µ m

_H

olup parçacığın ortalama

kütlesi, m

_H

ise hidrojen atomunun

kütlesidir. n=ρ/m cm

3

_{’deki parçacık sayısı}

olmak üzere cm

3

_{’deki ısısal kinetik enerji,}

<2>

(5)

Isı Enerjisi

kT n

E

ısı ₂ 3 = T k n dr r E_ısı 2 3 4π 2 = ∆

Merkezden r uzaklığında dV=4πr

2

_dr

hacmındaki her kütle kabuğu için ısısal

kinetik enerji,

Ve yıldızın tümü için toplam enerji,

(6)

Isı Enerjisi

Gaz basıncı için P_g = nKT bağıntısını kullanarak ısı enerjisini dr r P_g R ısı

E

2 0 4 2 3 _π

∫

=

(7)

Isı Enerjisi

dr r r GM dr r r GM dr r dr dP_g R _r R _r R 2 0 3 2 0 3 0 4 4 4π

∫

ρ π

∫

ρ π

∫

= − = −

[

P r

]

P r dr P r dr dr r dr dP R g R g R g R g

∫

= − = − 0 2 0 2 0 3 3 0 4 3 4 3 4 4π π π π

Sol tarafın parçalı integrali

Bu denklemin her iki tarafını (P

_g

4πr

3

_dr)

ile çarpıp r=0 dan r=R’ye integre edelim

(8)

Isı Enerjisi

Denklemin sol tarafı ısı enerjisinin iki

katı olduğunu görelim

dr r r GM E R r ısı 2 0 4 2 = −

∫

ρ π

Unutmayalım ki bu denklem P

_g

(r), M(r) ve

ρ

_{(r)’nin ne olduğu bilinmeden hidrostatik}

denge denkleminden çıkartılmıştır. Şimdi

denklemin sağ tarafını inceleyelim.

(9)

Çekim Enerjisi

∫

∞ = ∆ r çekim kuvvet ds E

Yıldız oluşurken ∆m=ρ4πr

2

_{dr’lik bir kütle}

elemanının r yarıçapındaki M

_r

üzerine

düşmesiyle ortaya çıkacak çekim enerjisi

Çekim ivmesi ise g(s)=GM

_r

/s

2

_dir.

(10)

Çekim Enerjisi

dr r r GM dr r s GM E r r r çekim 2 2 4 4π ρ π ρ = −    − = ∆ ∞ dr r r GM E R r çekim 2 0 4π ρ

∫

=

Yıldızı oluşturan tüm kütle elemanları

boyunca integre edersek

<15> <16> çekim ısı

E

2

1 −

=

Bu ifade ise

<12>

denkleminin sağ

tarafı ile aynıdır.

(11)

Virial Teoremi

Bu bağıntı herhangibir yaklaşım (E

_ısı

=E

_kin

dışında) yapmadığımız için bu bağıntı

eğer yıldız hidrostatik dengede ve ideal

gaz durumunda ise her P

_g

(r), T(r) ve

M(r) için geçerlidir. Bu bağıntıya

Virial

Teoremi

denir.

Bu bağıntının en önemli sonucu yıldız

gelişiminin ilk evreleridir. Yıldız

(12)

Virial Teoremi

Açığa çıkan çekim enerjisinin yarısı ısı

enerjisine dönüştüğünde yıldız hidrostatik dengeye ulaşır. Daha fazlası dönüşürse bu kez içyapıda sıcaklık artar, denge bozulur ve yıldız genişler. Denge kurulana kadar yıldız soğumak zorunda kalır. Yıldız ısısal

enerjisinin bir bölümünü ışınım olarak

(13)

Virial Teoremi

Yıldız anakol yıldızı olana kadar büzülmesi ne kadar zaman alır? İçerdeki fazla ısının yıldızı terketmesine izin verecek kadar uzun zaman alır. İçeriden dışarıya doğru ısı enerjisi

ışınımla taşınıyorsa , ışınım yolunu bulana kadar devam eder.

Örneğin Güneş’in saniyede enerji kaybı

(14)

Virial Teoremi

R GM R G dr r G E _çekim 2 5 2 2 4 2 2 5 3 15 16 3 16 − = − = =

∫

Θ ρ π ρ π

M

_r

=4/3 π r

3

_ρ

_{ile verilir. <16> denklemi}

Güneş’in kütlesi için M

_Θ

=2*10

33

_gr,

yarıçapı için R

Θ

=7*10

10

cm alırsak

erg G E _çekim ₁₀ 48 66 10 4 . 2 10 7 10 4 . 2 ∗ = ∗ ∗ = Θ

Güneş büzülürken bu enerjinin yarısını

ışınımla kaybetmiş olmalıdır. Onun şimdiki

ile aynı ışıdığını varsayarsak büzülme

(15)

Kelvin-Helmholtz Zamanı

s

t

₃₃ 14 48

10

3

10

4

10

2 .

1 ∗

=

∗

=

Yani 10

7

_{yıl buluruz. Yani Güneş’in}

büzülmesi 10 milyon yıl almış olmalıdır.

Yıldızlar için bu büzülme zamanına

Kelvin-Helmholtz zamanı denir.

(16)

Virial Teoremi

Hidrostatik denge ve kütle sürekliliği

denklemlerinden bir başka sonuca daha gitmek mümkündür. 2 r r G M dP dr r ρ = − 3

4 π

r dP

= −

4 π

rGM

ρ

dr

= −

(

GM r dM

/ )

( ) 0 3 / y y m P M P V dP = − GM r dM ∫ ∫ [ ] ( ) 0 0 3 3 / y y V M y m PV −

∫

P dV = −

∫

GM r dM 2 4 dM r dr = π ρ

Sol taraftaki parçalı integrali alırsak

(17)

Virial Teoremi

( ) 3 0 0 4 3 / y y M M y y P r P dM GM r dM π ρ − ∫ = − ∫ 2 4 dM r dr = π ρ [ ] ( ) 0 0 3 3 / y y V M y m PV − ∫ P dV = − ∫ GM r dM 3 2 4 4 3 V = πr ⇒ dV = πr dr ⇒ dM = ρ dV

dV yerine dM’li ifadeyi yazalım, V_m=0.

3 0 4 3 y M y y P r P dM π ρ = ∫ + Ω Sonuç

Eğer yıldız bir boşluk ile çevrili ise P_y=0 ve denklemin sol tarafı 0 olurdu. Yüzey basıncı sıfır değil ama merkez basıncı ile

karşılaştırıldığında çok küçüktür, boşlanabilir

Virial Teoremi

(18)

Yıldız Maddesinin Fiziksel Durumu

Sıcaklık yüksek katı olamaz.

Yoğunluk yüksek gaz halinde olamaz. Tartışmalar bitti ve yıldız ideal bir gaz. Bu iyonize olmuş bir gaz yani plazma.

En sıkı bağlı elektronlar hariç atomlarından ayrı. Çekirdek boyutu 10-18_{cm atom 10}-13_cm.

O zaman yüksek yoğunluk açıklanabilir. Çekirdek ve elektronlar arasındaki kuvvet.

Işınım şiddeti yıldız maddesi ile ısısal dengede Fotonlarda bir basınç uygular, gazlar gibi.

(19)

İdeal Gaz

Gazların kinetik teorisinden ideal gaz basıncı 23 1

1.38 10

gaz

P = nkT k = × − JK−

Işınım basıncı ise şu formül ile verilir.

4 16 3 4 1 7.55 10 3 ışınım P = a T a = × − Jm K− −

(20)

Bir Yıldızın Ortalama Sıcaklığı

Virial teoreminin sağ tarafı negatif çekimsel potansiyel enerjisi olduğunu biliyoruz

0 y M GM dm r −Ω = ∫

Bu integralde r yıldızın içindeki her yerde r_y’den küçüktür. O zaman 1/r de 1/r_y’den

büyüktür. 2 0 2 y M y y y GM GM dM r r −Ω >

∫

=

(21)

Bir Yıldızın Ortalama Sıcaklığı

Burada ρ=nm’dir ve m, yıldız maddesindeki parçacıkların ortalama kütlesidir ve T,

3 0 4 3 y M y y P r P dM π ρ = _∫ + Ω 0 0 3 3 3 y y M M y P kT k dM dM M T m m ρ = = ∫ ∫ 0 y M y M T =

∫

T dM

(22)

Bir Yıldızın Ortalama Sıcaklığı

2 2 0 3 3 2 2 y M y y y y y GM GM P k dM M T r m r ρ = − Ω > ⇒ >

∫

₂ y2 ₃ y y GM _m T r kM > 6 y y GM m T kr >

Bu ifadeye Güneş’in değerlerini yazarsak ve m’i hidrojenin kütlesi cinsinden yazarsak

(

)

6

4 10 / _H

T > × m m K

(23)

Bir Yıldızın Ortalama Sıcaklığı

6

2 10

T



> ×



K

O zaman Güneşin ortalama sıcaklığı

Bu sıcaklık çok yüksek, yorumla. Güneşin ortalama yoğunluğu ise,

3 3 3 3 1.4 10 4 M M kg m V r ρ π − =  =  ≅ ×   

(24)

Işınım ve Gaz Basıncı Karşılaştırması

Güneşin içinde örnek bir nokta için ışınım ve gaz basıncını karşılaştırabiliriz.

4

(1/ 3)

ışınım

P

=

a T

gaz

P

=

nkT

3 3 ışınım gaz P _aT P = nk Burada T=T=2x106_{K ve n=2ρ/m} H=2x1030 Değerleri yerleştirirsek, 4 10 ışınım gaz P P − =