k serbestlik dereceli 2 dağılımı 2 dağılımının şekli serbestlik derecesine bağlıdır

(1)

BÖLÜM 10

ÖRNEKLEME DAĞILIMLARI Ki-kare (²)^{Dağılımı:}

Tanım: Z Z Z₁, ₂, _k rastgele değişkenleri N(0,1) dağılımına sahiptir. Bu rastgele değişkenlerin kareler toplamı ki-kare rastgele değişkenlerini verir. Yani, ² Z₁²Z₂²...Z_k².

2 rastgele değişkenlerinin olasılık yoğunluk fonksiyonu:

( /2) 1 /2

2

( ) 1 , 0

2 ( )

2

k u

f u k u e u

k

   



2 dağılımının ortalaması ve varyansı

, 2 2

k k

  

k serbestlik dereceli ² dağılımı

2 dağılımının şekli serbestlik derecesine bağlıdır.

' 2 .

k da dağılımı normal dağılıma yaklaşır

Örnek:  0.05, k10 olsun. ² tablo değeri

2 2 2

: 0.05:10 18.31

tablo k

   

Örnek:  0.10, k15 olsun.

2 2 2

: 0.10:15 22.31

tablo k

   

t Dağılımı:

Tanım: Z N(0,1) ve Y k, serbestlik dereceli ² rastgele değişkeni olsun.

Z ve Yrastgele değişkenleri bağımsızdır.

T Z

 Y k

(2)

T rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu;

 

   ²  ^{ }^{1 /2}

1 / 2 1

( ) . ,

. / 2 / 1 ^k

f t k t

k k t k

 ^

  

     

   

olarak tanımlanır ve k serbestlik dereceli t dağılımı olarak bilinir.

0, 2 , 2

2 k k

  k 



k   ’a yaklaşırken t dağılımı limit durumunda normal dağılıma yaklaşır. Dağılım sıfır noktasına göre simetriktir.

0.05:10

0.05 10

1.812 k

t

 



(3)

Örnek:

0.02:18

0.02 18

2.214 k

t

 



F Dağılımı:

Tanım: W ve Y, u₁ ve u₂ serbestlik dereceli bağımsız ² rastgele değişkenleri olsun.

Bunların oranı;

1

2

/ / F W u

 Y u olarak hesaplanır.

F dağılımının olasılık yoğunluk fonksiyonu;

1 1

1 2

/2 1

1 2 1 2

2

( )/2

1 2 1

2

( ) 2 , 0

2 2 1

u u

u u u

u x

f x x

u u u

u x

  

 



 

  

   

   

  

   

          

Ortalaması

 2 ²  ²

, 2

2

u u

 u 

 Varyansı

 

2

2 2 1 2

2 2

1 2 2

2 ( 2)

, 4

2 ( 4)

u u u

u

u u u

  ^{ } 

 

Örnek: 0.05, u₁5, u₂10

1 2

2 1

0.05

1 ; ,

0.05: , 0.05:10,5

: 5,10 3.33

1 1 1

0.211 4, 74

u u

F

F^^ F F



   

(4)

Örnek:

1 2

0.05, u 9, u 12

  

1 2

2 1

0.05

1 ; ,

0.05: , 0.05:12,9

: 9,12 3.07

1 1 1

0.3257

u u 3.07

u u

F

F^^ F F



   

KAYNAKLAR

1. Uygulamalı İstatistik (1994)

Ayşen APAYDIN , Alaettin KUTSAL, Cemal ATAKAN 2. Olasılık ve İstatistik Problemler ve Çözümleri ile (2008) Prof. Dr. Semra ERBAŞ

3. Olasılık ve İstatistik (2006) Prof. Dr. Fikri Akdeniz

4. Olasılık ve İstatistiğe Giriş I-II (2011) Prof. Dr. Fikri Öztürk

5. Fikri Öztürk web sitesi

http://80.251.40.59/science.ankara.edu.tr/ozturk/index.html