Güçlü fi-h konveks fonksiyonlar için hermite-hadamard tipli integral eşitsizlikleri üzerine

T.C.

DÜZCE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

MATEMATİK ANABİLİM DALI

GÜÇLÜ



h



KONVEKS FONKSİYONLAR İÇİN

HERMITE-HADAMARD TİPLİ İNTEGRAL EŞİTSİZLİKLERİ ÜZERİNE

YÜKSEK LİSANS

KUBİLAY ÖZÇELİK

HAZİRAN 2013

KABUL VE ONAY BELGESİ

Kubilay ÖZÇELİK tarafından hazırlanan güçlü



_h konveks fonksiyonlar için hermite-hadamard tipli integral eşitsizlikler üzerine isimli lisansüstü tez çalışması, Düzce Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Yönetim Kurulu’nun 03/06/2013 tarih ve 2013/289 sayılı kararı ile oluşturulan jüri tarafından Matematik Anabilim Dalı’nda Yüksek Lisans olarak kabul edilmiştir.

Üye (Tez Danışmanı)

Doç. Dr. Mehmet Zeki SARIKAYA Düzce Üniversitesi

Üye

Yrd. Doç. Dr. Erhan SET Düzce Üniversitesi

Üye

Yrd. Doç. Dr. Mahmut AKYiĞiT Sakarya Üniversitesi

Tezin Savunulduğu Tarih : 13.06.2013

ONAY

Bu tez ile Düzce Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Yönetim Kurulu ’nun Matematik Anabilim Dalı’nda Yüksek Lisans derecesini almasını onamıştır.

Prof. Dr. Haldun MÜDERRİSOĞLU Fen Bilimleri Enstitüsü Müdürü

BEYAN

Bu tez çalışmasının kendi çalışmam olduğunu, tezin planlanmasından yazımına kadar bütün aşamalarda etik dışı davranışımın olmadığını, bu tezdeki bütün bilgileri akademik ve etik kurallar içinde elde ettiğimi, bu tez çalışmasıyla elde edilmeyen bütün bilgi ve yorumlara kaynak gösterdiğimi ve bu kaynakları da kaynaklar listesine aldığımı, yine bu tezin çalışılması ve yazımı sırasında patent ve telif haklarını ihlal edici bir davranışımın olmadığını beyan ederim.

13 Haziran 2013

i

TEŞEKKÜR

Yüksek lisans öğrenimim ve bu tezin hazırlanması süresince gösterdiği her türlü destek ve yardımdan dolayı çok değerli hocam Doç. Dr. Mehmet Zeki SARIKAYA’ ya en içten dileklerimle teşekkür ederim.

Bu çalışma boyunca yardımlarını ve desteklerini esirgemeyen sevgili aileme ve çalışma arkadaşlarıma sonsuz teşekkürlerimi sunarım.

ii

İÇİNDEKİLER

Sayfa

TEŞEKKÜR SAYFASI ………..………..….…..i

İÇİNDEKİLER ……….………….……..ii

SİMGELER VE KISALTMALAR LİSTESİ ………….………..…..iii

ÖZET ………...…...1

ABSTRACT ………...….……...2

EXTENDED ABSTRACT

……...………….………..……..…...3

1. GİRİŞ ………...4

2. KURAMSAL KAVRAMLAR

...6 2.1. GENEL KAVRAMLAR.………..………...6

3. MATERYAL VE YÖNTEM. ….………...……..……...17

3.1.



-KONVEKS FONKSİYONLAR İÇİN HERMİTE-HADAMARD TİPLİ EŞİTSİZLİKLERİ………..…...…….…17

3.2. GÜÇLÜ -KONVEKS FONKSİYONLAR...………....24

4. BULGULAR VE TARTIŞMA

...32

4.1. GÜÇLÜ



h-KONVEKS FONKSİYONLAR İÇİN HERMİTE-HADAMARD TİPLİ İNTEGRAL EŞİTSİZLİKLERİ.…….…………...…..…..….32

5. SONUÇLAR VE ÖNERİLER ...47

6. KAYNAKLAR

...48

7. EKLER

...52

iii

SİMGELER VE KISALTMALAR

 : Reel Sayılar Kümesi

n

 : n- boyutlu Euclidean Uzay  _{: Gama Fonksiyonu}

 : Beta Fonksiyonu

N : Doğal Sayılar Kümesi

I : Aralık

0

I _{: Aralığın İçi}

f _{: Birinci Mertebeden Türev} f  _{: İkinci Mertebeden Türev}

f : f nin mutlak değeri ) , (a  G : Geometrik Ortalama ) , (a  A : Aritmetik Ortalama ) , (a  L _{: Logaritmik Ortalama} ) (I

Q _{: Godunova - Levin Fonksiyonlar Sınıfı}

) (I

P _{: P- Fonksiyonlar Sınıfı}

Suppf : Fonksiyonun Kompakt Desteği Max : Maksimum Min : Minimum ) (I C : Konveks Fonksiyonlar Sınıfı H-H : Hermite-Hadamard Eşitsizliği

1

ÖZET

GÜÇLÜ



h-KONVEKS FONKSİYONLAR İÇİN HERMITE-HADAMARD TİPLİ İNTEGRAL EŞİTSİZLİKLERi ÜZERİNE

Kubilay ÖZÇELİK Düzce Üniversitesi

Fen Bilimleri Enstitüsü, Matematik Ana Bilim Dalı Yüksek Lisans Tezi

Danışman: Doç. Dr. M. ZEKİ SARIKAYA Haziran 2013, 60 sayfa

Bu tez çalışması dört bölümden oluşmaktadır. Birinci bölüm, giriş kısmına ayrılarak genel bir literatür bilgisi verilmiştir. İkinci bölümde, gerekli temel kavramlardan söz edilmiştir. Üçüncü bölümde farklı konvekslik türleri için elde edilen Hermite - Hadamard tipinde eşitsizlikler verilmiştir. konveks fonksiyon kavramı tanıtılmış, bu konvekslik türü için Hermite-Hadamard tipli eşitsizlikler verilmiştir. Reel normlu uzay ve Güçlü konveks fonksiyon kavramı tanıtılmış, bu konvekslik türü için Hermite-Hadamard tipinde integral eşitsizlikler verilmiştir. Dördüncü bölümde güçlü



h

 konveks fonksiyonlar için Hermite-Hadamard tipli integral eşitsizlikler elde edilmiştir. Güçlü _h konveks fonksiyonlar için Hermite-Hadamard tipli eşitsizliklerin genelleme olduğunu gösterdik. Son bölüm ise sonuç ve önerilere ayrılmıştır

2

ABSTRACT

ON HERMITE-HADAMARD TYPE INTEGRAL INEQUALITİES FOR STRONGLY



_h



CONVEX FUNCTIONS

Kubilay ÖZÇELİK Düzce University

Institute of Science and Technology, Department of Mathematics Master of Science Thesis

Supervisor: Assoc. Doç. Dr. M. Zeki SARIKAYA 2013, 60 pages

This thesis consists of four chapters. The first chapter is devoted to the introduction section and provide a generel knowledge of literature. In the second chapter, we have given about the basic concepts needed. İn the third chapter, nation of real norm space and strongly convex function were introduced Hermite-Hadamard type integral inequalities were given fort his type some convexty. İn the four chapter, we obtained some Hermite-Hadamard type inequalities for strongly _h convex functions. At the same time we denoted that Hermite-Hadamard type inequalities for strongly



h

 convex functions are more general notion. The last chapter is devoted into results and recommondatitons

3

EXTENDED ABSTRACT

ON HERMITE-HADAMARD TYPE INTEGRAL INEQUALITİES FOR STRONGLY



_h



CONVEX FUNCTIONS

Kubilay ÖZÇELİK Düzce University

Institute of Science and Technology, Department of Mathematics Master of Science Thesis

Supervisor: Assoc. Doç. Dr. M. Zeki Sarıkaya 2013, 60 pages

This thesis consists of four chapters. The first chapter is devoted to the introduction section and provide a general knowledge of literature. In the second chapter, we have given about the basic concepts needed. In the third chapter, Hermite-Hadamard-type inequalities were given for the different type of convexity. Notion of convex function was introduced,and Hermite-Hadamard type inequalities were for this type of convexty. Dragomir and Agarwal (1998) proved with respect to the right of Hermite-Hermite trapezoid inequalities for differentiable convex functions. On the other hand Kırmacı (2004) proved with respect to the left of Hermite-Hermite (midpoint) inequalities for differentiable convex functions. Yang (2004) established with respect to both of side of Hermite-Hermite inequalities for differantiable convex and concave functions. Cristescu gave some result of both of side of Hermite-Hermite inequalities for convex funcitons and Polyak firstly introduced notion of strongly convex function. Sarıkaya established some Hermite-Hadamard type inequalities for strongly



 convex functions which are defined in real norm space. In the four chapter, we obtained some Hermite-Hadamard type inequalities for strongly _h convex functions. At the same time we denoted that Hermite-Hadamard type inequalities for strongly _h convex functions are more general notion.

4

 

 



f x f y



y x f         2 1 2

1. GİRİŞ

1.1. AMAÇ VE KAPSAM

Konveks fonksiyonların ilk araştırması 19. yüzyılın sonlarında olmuştur. 20. yüzyılın ortalarında matematiğin önemli bir alanı olarak kabul edilmiştir. Konvekslik, geometri, analiz, lineer cebir ve topolojide kullanılır ve sayı teorisi, klasik ekstremum problemleri, lineer programlama, oyun teorisi ve eşitsizlikler teorisi (lineer, klasik ve matris) gibi çeşitli konularda önemli rol oynar. Günümüzde artan uygulamalarıyla matematiksel analizin merkezi alanlarından biri olarak yerini almıştır. Konveks terimine 1881 de Ch. Hermite(1822-1901) in Mathesis 3(1883, s.82) dergisine gönderdiği mektupta rastlanmıştır

Hermite-Hadamard Eşitsizliği, geometrik yorumu ve çoğu uygulaması konveks fonksiyonun ilk temel sonucudur. Çoğu matematikçi farklı konveks fonksiyon sınıfları(quasi-konveks fonksiyonlar, Godunova-Levin sınıfı, log-konveks , p-konveks fonksiyonlar, s-fonksiyonlar vb.) ve özel ortalamalar(p-logarithmic ortalamalar, identric ortalama, Stolarsky ortalamalar, vb.) için onu uygulamaya, genişletmeye, sadeleştirmeye ve genelleştirmeye çalışmaktadır.

O. Hölder(1889), f 

 

x 0 durumunda Jensen eşitsizliği olarak bilinen eşitsizliği f

nin sağladığını ispatladı. O. Stolz(1893), f , _nin

 

a,b _{de sürekliyse ve}

eşitsizliğini sağlaması durumunda ,

 

a,b nin her noktasında sağ ve sol türevlere sahip olduğunu gösterdi. J. Hadamard(1893),

 

a,b da türevleri artan olan

fonksiyonlar için temel integral eşitsizlikleri buldu. İlk olarak J. L. W. V. Jensen(1905,1906) konveks fonksiyonları sistematik olarak araştırdı. Jensen

konveksliği üsteki eşitsizlikten tanımladı. A.O-G.O eşitsizliği, Young Eşitsizliği, Hölder eşitsizliği ve Minkowski eşitsizlikleri konveks fonksiyonlar için Jensen

5

eşitsizliğinin sonuçlarıdır.Hardy, Littlewood ve Polyak 1934 yılında "Inequalities" adlı eserde konveks fonksiyonlarla ilgili klasik ve yeni eşitsizlikleri vermişlerdir. Beckenbach ve Bellman 1965 de "Inequalities" adlı eseri, Mitrinovic'in 1970 de "Analytic Inequalities" adlı eseri yayınlamıştır. A. W. Roberts ve D. E. Varberg tarafından "Convex Functions" adlı eser, Pearić tarafından 1987 yılında "Convex Functions: Inequalities" adlı eser yayınlanmıştır. S.S. Dragomir ve C.E.M Pearce tarafından "Selected Topics on Hermite Hadamard Inequalities and Applications" adlı eser yayınlanmıştır. Konveks fonksiyonların daha genel bir durumu olan h-konveks fonksiyonlar için M. Z. Sarikaya " On some Hadamard-type inequalities for h-convex

functions" (2008) adlı eserde Hermite-Hadamard tipi eşitsizlikleri tanıtmıştır.

Konvekslik matematik programlamada, mühendislikte ve optimizasyon teorisinde önemli bir role sahiptir. Konveksliğin genellemesi matematiksel programlama ve optimizasyon teorisinin en önemli unsurlarndan biridir

Son yılllarda klasik konvekslik tanımından daha genel konveks fonksiyon çeşitleri oluşturulmaktadır. Bu çalışmada güçlü h konveks fonksiyonlar için Hermite-Hadamard tipinde integral eşitsizlikler oluşturulmuştur.

6

2. KURAMSAL KAVRAMLAR

2.1. GENEL KAVRAMLAR

Bu bölümde çalışmamız için gerekli olan tanım, teorem, bazı eşitsizlikler ve temel özellikler verilecektir. Gerekli görülenler için ispatlar yapılacaktır.

Tanım 2.1.1. (Fonksiyonel): Lineer uzaydan reel(kompleks) uzaya olan dönüşümlere fonksiyonel denir.

Tanım 2.1.2. (Operatör): Fonksiyonlar cümlesini fonksiyonlar cümlesine dönüştüren dönüşüme operatör denir.

Tanım 2.1.3 (Gamma Fonksiyonu): Gamma fonksiyonu, n0 için

dx e x n n x 



  1 0 ) (

ile tanımlanır. Bu integral n0 için yakınsaktır. Gamma fonksiyonun bazı önemli özelliklerini şöyle sıralayabiliriz, [Abramowitz 1972].

i. (n1)n(n)n! ii. (₂1)  iii. ₁ ( ) (1 ) _sin , 0 1 0         _  p p p dx _p x xp   iv. 22 1 ( ) ( 1₂) (2 ) n n n n     

Tanım 2.1.4 (Beta fonksiyonu): Euler integralinin ilk türü olan Beta fonksiyonu

0



x ve y0 değerleri için

integrali ile tanımlanmıştır. Beta fonksiyonu Jacques Binet tarafından öğrencileri Euler ve Legendre' ye adandı. dt t t y x B x 1 y 1 1 0 ) 1 ( ) , (    

7







x y d y x y x 2 1 2 1 1 0 ) ( ) ( ) ( ) (cos ) (sin 2       _{ }

dir (Dragomir et al.2000).

Tanım 2.1.5. (Normlu Uzay): X , F üzerinde bir vektör uzay olsun. X üzerinde bir norm aşağıdaki özellikleri sağlayan bir

. : X R Fonksiyonudur (Reed 1980). X y x   , ve F için i. . 0

ii. x  0 ancak ve ancak x 0 iii. x  x

iv. xy  x  y

Tanım 2.1.6. (Sınırlı Fonksiyon): I R , f : I R bir fonksiyon ve xI için f

 

x K olacak şekilde bir K pozitif reel sayısı varsa f fonksiyonuna sınırlı fonksiyon denir.

Tanım 2.1.7: (Lipschitz Şart):

 

a,b kapalı aralığındaki her x ve y noktaları için,

   

x f y Kx y

f   

şartını sağlayan bir K sabiti varsa f ,

 

a,b aralığında Lipchitz şartını sağlıyor denir (Bayraktar 2010).

Tanım 2.1.8. (Mutlak Süreklilik):

 

a,b nin ayrık açık alt aralıklarının birikimi









n i i b a , ₁ için olduğunda,











i i n a b 1

 



 





i i n a f b f 1

8

olacak şekilde herhangi bir  0 sayısına karşılık, bir  0 bulunabiliyorsa, f ,

 

a,b de mutlak süreklidir denir (Carter and Brunt 2000). Tanım 2.1.9. (Konveks Küme): n

R

K  boştan farklı bir küme olsun. K kümesinin herhangi iki elemanın birleştiren doğru parçası K kümesine ait ise veya başka bir ifadeyle u,vK ve t

 

0,1 için

K v t tu(1 ) 

oluyorsa K kümesine konveks küme denir (Bayraktar 2000). Tanım 2.1.10. (Konveks Fonksiyon):  x,yI ve t

 

0,1 için, f(tx(1t)y)tf(x)(1t)f(y)

eşitsizliğini sağlayan f : I RR fonksiyonuna konveks fonksiyon denir(eşdeğer olarak t,

 

0,1 aralığında seçilebilir). Geometrik olarak bu eşitsizlik, f fonksiyonunun grafiği kirişlerinin altından geçtiği anlamına gelmektedir (Pećarić et al.1992).

Aşağıdaki kriterler konveks fonksiyon tanımına eşdeğerdir.

i. I aralığı üzerinde f fonksiyonunun konveks olması için gerek ve yeter şart herhangi bir cI noktası için,

c x c f x f   ( ) ) (

fonksiyonunun I aralığında artan olmasıdır (Pećarić et al.1992).

ii. f :

 

a,b R fonksiyonunun konveks olması için gerek ve yeter şart her c,x

 

a,b için,

olacak şekilde g :

 

a,b R artan fonksiyonun olmasıdır.

iii. f diferansiyellenebilir bir fonksiyon olmak üzere, f in konveks olması için gerek ve yeter şart f fonksiyonunun artan olmasıdır (Pećarić et al.1992).

iv. f ,

 

a,b de mevcut olsun. Bu durumda f in konveks olması için gerek ve yeter şart f 

 

x 0 olmasıdır (Mitrinović 1970).

v. f :

 

a,b R fonksiyonunun konveks olması için gerek ve yeter şart her

 

a b

x₀ , için f fonksiyonun en az bir support doğrusuna sahip olmasıdır. Yani

) , (a b x  için,

   

x f c g

 

t dt f x c



 

9

 

x f

  

x x x



x

 

a b f  ₀   ₀ ,   ,

eşitsizliğini sağlamasıdır. Burada  , x a bağlıdır ve eğer ₀ f varsa o zaman

 

x0 f



 ya da f_

 

x₀  f_

 

x₀ ise 



f_

   

x₀ ,f_ x₀



dir.

vi. f :

 

a,b R fonksiyonunun konveks olması için gerek ve yeter şart P,Q ve

R

noktaları f fonksiyonun grafiği üzerinde herhangi üç nokta olmak üzere,

imQR g e imPR g e imPQ g e     _{eşitsizliğinin sağlanmasıdır.}

Konveks Fonksiyonun Özellikleri

i. Kapalı aralıkta tanımlı konveks fonksiyon sınırlıdır (Azpeitia 1994). ii. f : I R konveks fonksiyon ise, 0

I ( I’ nın içi) inde herhangi bir

 

a,b kapalı aralığında Lipschitz şartını sağlar. Bu nedenle f fonksiyonu

 

a,b aralığında de mutlak sürekli ve I de süreklidir (Pećarić et al.1992). 0

iii. f : I R konveks fonksiyon ise, 0

I de f_

 

x ve f_

 

x vardır ve artandır (Pećarić et al.1992).

iv. f : I R fonksiyonu I açık aralığında konveks ise, sayılabilir bir E kümesi haricinde f mevcuttur ve süreklidir.

v. k tane fonksiyon Rn R ye konveks fonksiyonlar olsun. Bu takdirde;

 

x a f

 

x a



j k



f _{j j j} k j ..., , 2 , 1 ; 0 , 1   



 fonksiyonu da konvekstir.

vi. g :RR azalmayan ve konveks fonksiyon ayrıca h :Rn R konveks olsun. Bu takdirde; f :Rn R, f

  

x  gh

 

x olarak tanımlanan f bileşke fonksiyonu da konvekstir (Roberts and Varberg 1973).

vii. g :Rm R konveks ve h, h

 

x AxB formunda h :Rn R konveks olmak üzere,

 

x g

 

h

 

x

f 

10

Teorem 2.1.1. (Hermite Hadamard Eşitsizliği): f : I R konveks fonksiyon olmak üzere, a,bI ve ab için,

 

   

2 1 2 b f a f dx x f a b b a f b a           



eşitsizliğine Hermite-Hadamard eşitsizliği denir. Burada f fonksiyonunun konkav olması eşitsizliği tersine çevirir (Pećarić et al.1992).

İspat: f fonksiyonu sürekli ve sınırlı olsun. Bu durumda

 

a,b aralığında f

fonksiyonu integrallenebilirdir. Konvekslik tanımından,

) ( ) 1 ( ) ( ) ) 1 ( (ta t b tf a t f b f     

eşitsizliği sağlanır. f fonksiyonunun integrallenebilir olduğu gözönüne alınarak, bu eşitsizliğin her iki tarafının

 

0,1 aralığında t ye göre integrali alınırsa,





   

2 ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( 1 0 1 0 1 0 b f a f b f t a tf b t ta f   







  



elde edilip soldaki eşitsizlikte xta(1t)b,t

 

0,1 dönüşümü uygulanırsa

.

. H

H  eşitsizliğinin sağ tarafı elde edilir. Sol tarafını ispat etmek için,

 

 

 

_

























 

dx

x

f

dx

x

f

a

b

dx

x

f

a

b

b b a b a a b a 2 2

1

1

eşitliğinin sağındaki integrantlara sırasıyla xat



ba



/2 ve xbt



ba



/2 değişken değişimi uygulanırsa,

 









                    _         _   



2



2 2 2 1 1 1 0 b a f dt a b t b f a b t a f dx x f a b b a

elde edilip H.H. eşitsizliğinin sol tarafı ispatlanmış olur.

Tanım 2.1.11. (Logaritmik Konveks Fonksiyon): f : I 



0,



fonksiyonu, i.  x,yI ve t

 

0,1 için,

 





t



 



t y f x f y t tx f( (1 ) ) 1 ii. log f konveks

şartlarından birini sağlıyorsa f fonksiyonuna logaritmik konveks fonksiyon denir (Pećarić et al.1992).

11

Teorem 2.1.2. f : I 



0,



fonksiyonu logaritmik konveks ise konvekstir.

İspat: f fonksiyonu logaritmik konveks fonksiyon olduğundan, log f fonksiyonu I aralığında konvekstir ve

 

x

e x

g  fonksiyonu tüm reel sayılar kümesinde artan ve konveks bir fonksiyon olduğundan, özellik vi. _{den dolayı,}



f



f exp log

olup f fonksiyonu konveks olur. Diğer yoldan direk olarak konveksliğin ve logaritmik konveksliğin tanımı kullanılarak AO-GO eşitsizliğinden de benzer sonuç elde edilebilir.

Teorem 2.1.3. f : I R logaritmik konveks fonksiyon, a,bI ve ab olmak üzere,

 

  







 

   



f a f b



L dx x f a b dx x b a f x f G a b dx x f a b b a f b a b a b a , 1 , 1 ln 1 exp 2                    







eşitsizlikleri geçerlidir. Burada G ,

 

a b pozitif reel sayılar için geometrik ortalama ve

 

p q

L , ayrık pozitif reel saylar için logaritmik ortalama anlamındadır.

Tanım 2.1.12. (Quasi-Konveks Fonksiyon): Her x,yI ve t

 

0,1 için, f(tx(1t)y)max



f

   

x,f y



eşitsizliği sağlanıyorsa f : I R fonksiyonuna quasikonveksfonksiyon denir. Tanım 2.1.10. , 2.1.11. den ve AO-GO eşitsizliğinden,

 







 



   



f x f y



y f t x tf y f x f y t tx f t t , max ) ( ) 1 ( ) ( ) ) 1 ( ( 1        

eşitsizliklerine sahip olabiliriz. Yani quasi-konveks fonksiyon ailesi log-konveks fonksiyon ailesini, log-konveks fonksiyon ailesinde konveks fonksiyon ailesini kapsar (Dragomir and Pearce 1998).

12

Tanım 2.1.13. (Godunova-Levin Fonksiyon): f : I R negatif olmayan bir fonksiyon her x,yI, t(0,1) _{olmak üzere}

t y f t x f y t tx f      1 ) ( ) ( ) ) 1 ( (

Şartını sağlayan f fonksiyonuna Godunova-Levin fonksiyon ve Q(I) sınıfına aittir denir (Godunova and Levin 1985).

Tanım 2.1.14. (P-Fonksiyon): f : I Rnegatif olmayan bir fonksiyon olsun.

, ,y I

x 

 t

 

0,1 _{olmak üzere}

f(tx(1t)y) f(x) f(y)

şartını sağlayan f fonksiyonuna P–fonksiyonu veya P(I) sınıfına aittir denir

(Dragomir at al. 1995).

Tanım 2.1.15. (h-Konveks Fonksiyon): h : (0,1)(0,) _{pozitif bir fonksiyon ve} )

, 0 [

: I R 

f negatif olmayan bir fonksiyon olsun.  x,yI, t

 

0,1 için f(tx(1t)y)h(t)f(x)h(1t)f(y)

şartını sağlayan f fonksiyonuna h-konveks fonksiyon denir. Eşitsizliğin tersini doğrulayan f fonksiyonuna h-konkav fonksiyon denir (Varosanec 2007).

Tanm 2.1.16. (Güçlü Konveks Fonksiyon): Tüm x,yI , t(0,1) ve c0 ile ftx 1 tytfx1 tfyct1 tx y2

eşitsizliğini sağlayan f : I R fonksiyonuna güçlü konveks fonksiyon denir (Polyak).

Teorem 2.1.4. (Kompakt Destek ya da Support): Bir f fonksiyonunun kompakt desteği ya da supportu

Suppf 



x/ f(x)0



olarak tanımlanır.(Schwartz 1996).

13

Teorem 2.1.5. (Üçgen Eşitsizliğinin İntegral Versiyonu): f ,

 

a,

b

aralığında sürekli reel değerli bir fonksiyon olsun. Bu takdirde ab _{olmak üzere,}

f x dx f x dx a b b a b a  





( ) ( )

eşitsizlikleri geçerlidir (Mitrinovic et al. 1993).

Tanım 2.1.17. (Özel Ortalamalar): , reel sayılar ve   olmak üzere,

 

 

Logaritmik Ortalama L Ortalama Aritmetik A Ortalama Harmonik G 0 / R , ) , ( R , , ) , ( 0 / R , , ) , ( ln ln 2         



























     

Şeklindedir (Bullen et al. 1988; Bullen 2003).

Teorem 2.1.6. (Jensen Eşitsizliği): f fonksiyonu

 

a,b aralığında konveks ve

 

a b x_i , olsun. Bu durumda _i 0 ve ₁ i 1 n i  ise ) ( 1 1 i i n i i i n i x f x f







         

eşitsizliği geçerlidir (Jensen 1906).

İspat: Tümevarım yöntemiyle ispatı yapalım. i2 için f konveks olduğundan ) ( ) ( ) (a₁x₁ a₂x₂ a₁f x₁ a₂f x₂ f   

olduğu açıktır. Şimdi in için

) ( ... ) ( ) ( ) ... (a1x1 a2x2 anxn a1f x1 a2f x2 anf xn f       

doğru olduğunu kabul edelim. Şimdi in1 için doğru olduğunu gösterelim. _i 0 için f in konveksliğinden                          







      i i n i i i n i i i n i x a a f a x f a x a a a x a f x f 1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 ) 1 ( ) ( 1 ) 1 (  yazabiliriz. 1 1 1 1 2      a ai n

i olduğundan eşitsizlik in1 için doğrudur ve

) ( 1 1 i i n i i i n i x f x f







         

14

Teorem 2.1.7. (İntegraller için Jensen Eşitsizliği): f :

 

a,b R konveks fonksiyon, h : [a,b]

 

0, ve u : [a,b]R_ 



0,



integrallenebilir fonksiyonlar olmak üzere,

   

 

   

h

 

 

t dt dt t u f t h dt t h dt t u t h f _b a b a b a b a             

eşitsizliği geçerlidir (Jensen 1906).

İspat: f fonksiyonu konveks olduğundan dolayı, bir support doğruya sahiptir. Yani

0



 için

olacak şekilde bir  sabiti vardır. Burada tu

 

t seçilir ve eşitsizliğin her iki tarafı

 

t

h ile çarpılır ve

 

a,b aralığında t ye göre integral alınırsa,

   

t f

 

u t dt f

   

ht dt



h

   

t ut dt h

 

t dt



h b a b a b a b a









   

elde edilir. Son bulunan eşitsizlikte,

   

 

t dt h dt t u t h b a b a     yerine yazılırsa ispat tamamlanır.

Teorem 2.1.8. (AO-GO Eşitsizliği): Eğer  i1,2,...,n için x_i 0 , _i 0 ve 1 1   i n i  ise, i i n i i n i x xi







   1 1

eşitsizliği geçerlidir (Lin 2012).

İspat: En az bir i için x_i 0 ise ispat aşikârdır. x_i 0 durumunda y_i logx_i seçilirse,       





  i i n i i n i y xi  1 1 exp

olup f

 

t et fonksiyonu Rde konveks olduğundan Jensen eşitsizliğini uygularsak,

    

t  f  t



, t0

15

 

n _{i i} i i i n i i i n i i n i x y f y f xi















             1 1 1 1

elde edilip ispat tamamlanmış olur. Özel olarak n2 , 1,

1  p

 _q1

2 

 , x₁xp ve x₂  yq seçilirse Yooung eşitsizliği olarak bilinen,

eşitsizliği elde edilir.

Teorem 2.1.9. (Hölder Eşitsizliği): x₁,...,x_n,y₁,...,y_n 0 , p,q1 öyle ki 1 1 1

q p olmak üzere q p q i n i p i n i i i n i y x y x 1 1 1 1 1            







  

eşitsizliğine Hölder eşitsilizliği denir. Özel olarak, pq2 seçilirse yukarıdaki eşitsizlik Cauchy-Buniakowsky-Schwartz eşitsizliği elde edilir (Mitrinović 1970). İspat: Yukarıdaki eşitsizlikte x ve _i y ler den en az birinin sıfırdan farklı olduğunu _i

düşünebiliriz. O halde,



p



p i n i x u 1 1    ve



iq



q n i y v 1 1 

  her ikisi de pozitiftir, Young

eşitsizliğinde x x_i /u ve yy_i /v seçersek, q i p i i i v y q u x p v y u x                1 1

elde edilir, son eşitsizlik 1in için düzenlenir taraf tarafa toplanırsa,

1 1 1 1     q p uv y xi i n i

olur, bu da Hölder eşitsizliğini verir.

Teorem 2.1.10. (İntegraller İçin Hölder Eşitsizliği): p1 ve 1 1 1

q

p olsun. f

ve g ,

 

a,b aralığında tanımlı reel fonksiyonlar, f p ve g , q

 

a,b aralığında integrallenebilir fonksiyonlar ise

   

 

p b

 

_q q a p b a b a f x g x dx f x dx g x 1 1             







eşitsizliği geçerlidir (Mitrinović at al. 1970).

q p y q x p xy 1 1

16

Tanım 2.1.18. (Kuvvet Ortalama Eşitsizliği) q1 olsun. f ve g, [ ba, ] aralığında tanımlı reel fonksiyonlar, f ve gq, [ ba, ] aralığında integrallenebilir fonksiyonlar ise q b a q q b a b a dx x g x f dx x f dx x g x f 1 1 1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( _            







 eşitsizliği geçerlidir.

17

3. MATERYAL VE YÖNTEM

Bu bölümde farklı konvekslik türleri için elde edilen Hermite - Hadamard tipinde eşitsizlikler verilmiştir. konvekslik türü için Hermite-Hadamard tipinde eşitsizlik oluşturulmuş, 1998 de Dragomir ve Agarwal’ ın diferansiyellenebilir konveks fonksiyonlar için Hermite-Hadamard trapezoid eşitsizliğinin sağ tarafı ile ilgili eşitsizlikleri, 2004 yılında Kırmacı tarafından ispatlanan diferansiyellenebilen konveks fonksiyonlar için Hermit-Hadamard(midpoint) eşitsizliğinin sol tarafı ile ilgili sonuçları, 2004 yılında Yang’ın diferansiyellenebilir konveks ve konkav fonksiyonlar için Hermite-Hadamard eşitsizliğinin her iki tarafı ile ilgili sonuçları, 2004 yılında Crıstescu’ nun konveks fonksiyonlar için Hermite-Hadamard eşitsizliğinin her iki tarafı ile ilgili sonuçları, 2013 yılında Sarıkaya’ nın reel normlu uzay da tanımlı güçlü



 konveks fonksiyonlar için Hermite-Hadamard tipinde eşitsizlikleri verilmiştir.

3.1.



-KONVEKS FONKSİYONLAR İÇİN H-H TİPLİ İNTEGRAL EŞİTSİZLİKLER

1998 de Dragomir ve Agarwal diferansiyellenebilir konveks fonksiyonlar için Hermite- Hadamard trapezoid eşitsizliğinin sağ tarafı ile ilgili sonucu ispatlamak için aşağıdaki lemmayı vermişlerdir.

   

_{ }

_

_

_

_{ }

_

dt b t ta f t a b dx x f a b b f a f b a         





1 2 1 2 1 2 1 0 eşitliği sağlanır.

Böylece bu lemma kullanılarak aşağıdaki teorem ispatlandı.

Teorem 3.1.1. f : I RR fonksiyonu I da diferansiyellenebilir bir fonksiyon ve ab ( a,bI ) olmak üzere, eğer f fonksiyonu

 

a,b aralığında konveks ise

 

 

_{ }

_

_{ }

_{ }

_

b f a f a b dx x f a b b f a f b a        



₈ 1 2

18 eşitsizliği geçerlidir.

2000 yılında Pearce ve Pećarić Teorem 3.1.1 in genelleştirmesi olan aşağıdaki sonucu ispatladı.

Teorem 3.1.2. f : I RR fonksiyonu I de diferansiyellenebilir bir fonksiyon ve ab ( a,bI ) olmak üzere, eğer q1 için fq fonksiyonu

 

a,b aralığında konveks ise,

   

_{ }

 

q

 

q q b a b f a f a b dx x f a b b f a f 1 2 4 1 2 _      _{  }     



ve

 

 

q

 

q q b a b f a f a b dx x f a b b a f 1 2 4 1 2 __                   



eşitsizlikleri geçerlidir. Eğer q1 için fq fonksiyonu

 

a,b aralığında konkav ise bu takdirde

   

_{ }

            



_{4 2} 1 2 b a f a b dx x f a b b f a f b a ve

 

                  



_{4 2} 1 2 b a f a b dx x f a b b a f b a eşitsizlikleri geçerlidir.

Aşağıda 2004 yılında Kırmacı tarafından ispatlanan diferansiyellenebilen konveks fonksiyonlar için Hermite-Hadamard(midpoint) eşitsizliğinin sol tarafı ile ilgili sonuçlar verilmiştir.

Lemma 3.1.1. f : I RR fonksiyonu I de diferansiyellenebilir bir fonksiyon ve ab ( a,bI ) olmak üzere, eğer f fonksiyonu

 

a,b aralığında integrallenebilir ise

 

x dx



b a



K

 

t f



ta

 

t b



dt f a b b a f b a              





1 1 2 1 0

19 eşitsizliği geçerlidir. Burada

 

 

_{ }

       1 , , 1 , 0 , 2 1 2 1 t t t t t K

şeklinde verilir [Kırmacı 2004].

Bu lemmayı kullanarak Kırmacı aşağıdaki teoremi ispatladı.

Teorem 3.1.3. f : I RR fonksiyonu I de diferansiyellenebilir bir fonksiyon ve ab ( a,bI ) olmak üzere, eğer f fonksiyonu

 

a,b aralığında konveks ise

 

x dx f a b b a



f

 

a f

 

b



f a b b a              



2 8 1

eşitsizliği geçerlidir, [Kırmacı 2004].

2004 yılında Yang diferansiyellenebilir konveks ve konkav fonksiyonlar için Hermite- Hadamard eşitsizliğinin her iki taraf içinde bazı sonuçlar verdi.

Teorem 3.1.4. f : I RR fonksiyonu I de diferansiyellenebilir bir fonksiyon ve ab ( a,bI ) olmak üzere, eğer q1 için fq fonksiyonu

 

a,b aralığında konveks ise

   

_{ }

_{ }

_{ }

q q q q b a f b b a f a f a b dx x f a b b f a f 1 2 12 1 2 __                      



ve

 

 

 

q q q q b a f b b a f a f a b dx x f a b b a f 1 2 4 24 1 2 __                            



eğer fq konkav ise

   

_{ }

                           



₈ 5 _{6 6}5 1 2 b a f b a f a b dx x f a b b f a f b a ve

 

                                 



₈ 2 _{3 3}2 1 2 b a f b a f a b dx x f a b b a f b a

20

eşitsizlikleri geçerlidir. Şimdi aşağıdaki tanımı vererek konveks fonksiyonlar için H-H tipindeki eşitsizlikleri verelim.

Tanım 3.1.1. Her x,y[a,b] ve t

 

0,1 için f :[a,b]R fonksiyonu f(t(x)(1t)(y))tf((x))(1t)f((y))

eşitsizliğini sağlıyorsa [a,b] üzerinde konveks fonksiyondur. Eğer eşitsizliğin tersi geçerliyse bu durumda f fonksiyonuna konkav fonksiyon denir (Youness 1999).



-konveks fonksiyonlar için H-H tipli integral eşitsizliklerle ilgili lemma ve teoremleri verelim (Cristescu 2004).

Lemma 3.1.2. f :[a,b]R için aşağdaki ifadeler eşdeğerdir: i. f _, [a,b] üzerinde _{konveks fonksiyondur.}

ii. Her x,y[a,b] için g :[0,1]R, g(t) f(t(x)(1t)(y)) dönüşümü

] 1 , 0

[ üzerinde klasik anlamda konvekstir.

İspat: x,y[a,b] ve t₁,t₂[0,1] , [0,1] için )) ( ] ) 1 ( 1 [ ) ( ] ) 1 ( ([ ) ) 1 ( ( t₁ t₂ f t₁ t₂ x t₁ t₂ y g



 







 





 



 





 f(



[t1



(x)(1t1)



(y)](1



)[t2



(x)(1t2)



(y)]) 



f(t1



(x)(1t1)



(y))(1



)f(t2



(x)(1t2)



(y)) 



g(t1)(1



)g(t2)

olduğundan g fonksiyonu konvekstir. Tersine g fonksiyonunun dışbükey olduğunu varsayarak, x,y[a,b],[0,1] , t₁ 1 ve t₂ 0 _için )) ( ( ) 1 ( )) ( ( ) 0 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 0 ) 1 ( 1 ( )) ( ) 1 ( ) ( ( x y g g g f x f y f               

21

Teorem 3.1.6. :[a,b][a,b] _{sürekli fonksiyonu için} f :[a,b]R _, [a,b]

üzerinde konveks fonksiyon ise





(

)

( ( ))₂ (( ( ))

(

3

.

1

)

) ( ) ( ) ( ) ( 1 2 ) ( ) ( f a f b b a a b b a

dx

x

f

f

          

_

_



eşitsizliği sağlanır. İspat: f :[a,b]R _, [a,b] üzerinde konveks fonksiyon olduğundan



 

2



) ( ) ( ) 1 ( 2 ) ( ) 1 ( ) ( 2 ) ( ) (a b t a t b t a t b

f

f

 



   



   )) ( ) ( ) 1 (( )) ( ) 1 ( ) ( ( ₂1 2 1 _{f t}



_a  _t



_b  _f _t



_a _t



_b 

yazılır. Lemma 3.1.2. den ve önceki eşitsizligin

 

0,1 _{aralığında integrali alınırsa,}





f

t

a

t

b

dt

f

t

a

t

b

dt

f

a  b

















1 0 2 1 1 0 2 1 2 ) ( ) (

)

(

)

(

)

1

((

))

(

)

1

(

)

(

(









 

elde edilir. Buradan da

)) ( ) 1 ( ) (a t b t x     _ve x(1t)(a)t(b))

değişken değiştirme kullanılarak,











_





_

) ( ) ( )] ( ) ( [ 2 1 ) ( ) ( )] ( ) ( [ 2 1 2 ) ( ) (

)

(

)

(

b a a b a b b a b a

dx

x

f

dx

x

f

f

         







) ( ) / ) ( ) ( 1

)

(

b a a b

f

x

dx

   

elde edilir. Eşitsizliğin ikinci kısmını kanıtlamak için, f nin

,

, konveks fonksiyon olduğu kullanılarak

f(t(a)(1t)(b))tf ((a))(1t)f((b)) (t[0,1])

elde edilir. Lemma 3.1.2. den son eşitsizliğin her iki tarafının [0,1] _{aralığında}

22 dt t b f tdt a f dt b t a t f







    1  0 1 0 1 0 ) 1 ( )) ( ( )) ( ( )) ( ) 1 ( ) ( (   

yazılır. Dolayısıyla bu eşitsizlikte değişken değiştirilirse,

)) ( ( )) ( ( ) ( ₂1 2 1 ) ( ) ( ) ( ) ( 1 _{f x dx f a f b} a b b a





    



 

(3.1) eşitsizliğinin ikinci kısmı bulunur. Bu da ispatı tamamlar.

Teorem 3.1.7.  :[a,b][a,b]_, [a,b] üzerinde azalan olmayan fonksiyon için

R b a g

f , :[ , ] reel değerli negatif olmayan konveks fonksiyonlar olsun. Bu durumda

(

)

(

)

(

,

)

6

(

,

)

1 3 1 ) ( ) ( ) ( ) ( 1

_f

_x

_g

_x

_dx

_M

_a

_b

_N

_a

_b

b a a b 







    (3.2)



 



( ) ( ) ( , ) ( , ) (3.3) 2 ₃1 6 1 ) ( ) ( ) ( ) ( 1 2 ) ( ) ( 2 ) ( ) ( b a N b a M dx x g x f g f b a a b b a b a _{  }



          

eşitsizlikleri sağlanır. Burada

M(a,b) f((a))g((a)) f((b))g((b)) )) ( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ( ) , (a b f a g b f b g a N       dır.

İspat: (3.2) eşitsizliğini kanıtlamak için f ve g _nin [a,b] _üzerinde

konveks



 fonksiyon olduğunu varsayalım , t[0,1] _için

f(t(a)(1t)(b))tf((a))(1t)f((b)), (3.4) g(t(a)(1t)(b))tg((a))(1t)g((b)) (3.5) yazılır. Dolayısıyla (3.4) ve (3.5) eşitsizliklerinin çarpımından

f(t(a)(1t)(b))g(t(a)(1t)(b)) ( ( )) ( ( )) (1 ) ( ( )) ( ( )) (3.6) 2 2 b g b f t a g a f t        t(1t)[f((a))g((b)) f((b))g((a))] eşitsizliğini elde ederiz.

23 ve

 :

 

a,b R, (t)g(t(a)(1t)(b))

fonksiyonları ile birlikte Lemma 3.1.2. den [0,1] _{aralığında konvekstir. Sonuç olarak} bu fonksiyonlar [0,1] _{üzerinde integrallenebilirler. Ayrıca} f ve g _nin

 

a,b _üzerinde

konveks



 _{olması ve verilen özellikleri altında bu fonksiyonlar integrallenebilir ve}

bu yüzden fg _{integrallenebilirdir. Böylece (3.6) eşitsizliğinin iki tarafının}

 

0,1

üzerinde integralini almak mümkündür. Dolayısıyla

dt b t a t g b t a t f( ( ) (1 ) ( )) ( ( ) (1 ) ( )) 1 0        



dt t b g b f dt t a g a f 2 1 0 2 1 0 ) 1 ( )) ( ( )) ( ( )) ( ( )) ( (     



 





   1 0 ) 1 ( ))] ( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ( [f  a g  b f  b g  a t t dt

elde edilir. Burada değişken değiştirmeyle,

tφa1 tφbx  φa,φb tφaφbx φb,

)

,

(

)

,

(

)

(

)

(

1₆ 3 1 ) ( ) ( ) ( ) ( 1

_f

_x

_g

_x

_dx

_M

_a

_b

_N

_a

_b

a b b a 







   

(3.2) eşitsizliği elde edilir.

(3.3) eşitsizliği kanıtlamak için f ve g _nin [a,b] _üzerinde konveks

fonksiyon olduğunu varsayalım, t[0,1] için



 

2



) ( ) ( 2 ) ( ) (a b a b

g

f

            _           _    2 ) ( ) ( ) 1 ( 2 ) ( ) 1 ( ) ( 2 ) ( ) ( ) 1 ( 2 ) ( ) 1 ( ) ( t a t b t a t b g b t a t b t a t f         ))]. ( ) ( ) 1 (( )) ( ) 1 ( ) ( ( ))][ ( ) ( ) 1 (( )) ( ) 1 ( ) ( ( [ 4 1 _{f t} _a  _t _b  _f _t _a _t _{b g t} _a  _t _b _g _t _a _t _b 

24



 

2



) ( ) ( 2 ) ( ) (a b a b

g

f

    )) ( ) 1 ( ) ( ( )) ( ) 1 ( ) ( ( [ 4 1 _{f t} _a  _t  _{b g t} _a  _t  _b  ))] ( ) ( ) 1 (( )) ( ) ( ) 1 (( t a t b g t a t b f           1 42t1 tfφagφafφbgφb [ (1 ) ][ ( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ( ))]} 2 2 a g b f b g a f t t        

yazılır. Şimdi, [0, 1] aralığında bu eşitsizliğin her iki tarafının integrali alınırsa



 

2



) ( ) ( 2 ) ( ) (a b a b

g

f

    dt b t a t g b t a t f b t a t g b t a t f( ( ) (1 ) ( )) ( ( ) (1 ) ( )) ((1 ) ( ) ( )) ((1 ) ( ) ( ))] [ 1 0 4 1                  



) , ( ) , ( ₆1 12 1 _{M a b}  _{N a b}  ) , ( ) , ( )) ( ) 1 ( ) ( ( )) ( ) 1 ( ) ( ( ₆1 12 1 1 0 2 1 _{f t a}  _{t b g t a}  _{t b dt} _{M a b}  _{N a b} 



   

Elde edilir. Böylece ispat tamamlanır.

3.2. GÜÇLÜ



- KONVEKS FONKSİYONLAR İÇİN H-H TİPLİ İNTEGRAL EŞİTSİZLİKLER

Tanım 3.2.1. (Güçlü



-Konvex Fonksiyon) ( X, . ) reel normlu uzay olmak üzere Xin bir konveks alt kümesi olan D kümesi üzerinde :DD verilen fonksiyon için  x,yD ve t[0,1] _{olmak üzere} c0 ile

) 7 . 3 ( ) ( ) ( ) 1 ( )) ( ( ) 1 ( )) ( ( )) ( ) 1 ( ) ( (t x t y tf x t f y ct t x y 2 f             

eşitsizliğini sağlayan f :DR fonksiyonu güçlü konvekstir. Eğer _t  ₂1 _ve

D y x,  için



2



) ( ) (x y

f

 



f((x))₂f((y))



₄c



(

x

))





(

y

)

2

eşitsizliğini sağlayan f fonksiyonuna güçlü -midkonvex fonksiyon denir. c0 durumunda



- konveks özelliği sağlanır (Sarıkaya 2013).

25

Normlu uzayda tanımlı güçlü



- konveks fonksiyonlar için H-H tipli integral eşitsizlikler için lemma ve teoremleri verelim (Sarıkaya 2013).

Lemma 3.2.1. ( X, . ) gerçek bir iç çarpm uzayı, D , X in konveks bir alt kümesi olmak üzere ve c pozitif bir sabit,  : DD fonksiyon olsun. Bu durumda i. f : DR fonksiyonu güçlü  konveks fonksiyonudur ancak ve ancakg  f c . 2 fonksiyonu konveks fonksiyondur

ii. f : DR fonksiyonu güçlü midkonveks fonksiyonudur ancak ve ancak

2

. c f

g   fonksiyonu midkonveks fonksiyondur

İspat i. f fonksiyonunun güçlü  konveks fonksiyon olduğunu varsayalım. İç çarpm özelliklerini kullanarak,

)) ( ) 1 ( ) ( (t x t y g     2 ) ( ) 1 ( ) ( )) ( ) 1 ( ) ( (t x t y ct x t y f           2 2 ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( )) ( ( ) 1 ( )) ( ( x t f y ct t x y ct x t y tf                  tf((x)) (1 t)f((y))

c t1 t



x

2

2 



x|



y



y

2

 t

2





x

2

2t1 t



x



y1 t



y

2

2 2 ) ( ) 1 ( ) ( )) ( ( ) 1 ( )) ( ( x t f y ct x c t y tf           )) ( ( ) 1 ( )) ( ( x t g y tg     

elde edilir. Bu da g nin konveks fonksiyonu olduğunu verir. Tersine g nin 

 konveks fonksiyonu olduğunu kabul edelim, bu durumda

)) ( ) 1 ( ) ( (t x t y f     2 ) ( ) 1 ( ) ( )) ( ) 1 ( ) ( (t x t y ct x t y g           2 ) ( ) 1 ( ) ( )) ( ( ) 1 ( )) ( ( x t g y ct x t y tg          



2





2





2 2



) ( ) ( ) ( 2 ) ( ) 1 ( ) ( )) ( ( ) 1 ( ) ( )) ( ( x c x t g y c y ct t x x y y g t                 2 ) ( ) ( ) 1 ( )) ( ( ) 1 ( )) ( ( x t f y ct t x y tf         

26

elde edilir. Bu da f fonksiyonunun güçlü konveks fonksiyon olduğu anlamına gelir.

ii. f fonksiyonunun güçlü midkonveks fonksiyon olduğunu varsayalm. Dolayısıyla,



 



2 2 ) ( ) ( 2 ) ( ) ( 2 ) ( ) (x y x y x y

c

f

g

 



 



  2 ( ) ( ) 2 4 ) ( ) ( 4 2 )) ( ( )) ( ( y x c y x c y f x f    _{     }  (2 ( ) 2 2 ( ) 2 4 2 )) ( ( )) ( ( y x c y f x f    _{   }  2 )) ( ( )) ( ( x g y g    

bulunur. Buradan da gnin midkonveks fonksiyon olduğunu anlaşılır.Tersine g nin -konveks fonksiyonu olduğunu kabul edelim, o halde



 



2 2 ) ( ) ( 2 ) ( ) ( 2 ) ( ) (x y x y x y

c

g

f

 



 



  ( ) ( ) 2 4 2 )) ( ( )) ( ( y x c y g x g    _{  }     2 ) ( )) ( ( x x 2 g   2 ) ( )) ( ( y y 2 g    ( ( ) ( ) 2 ( ) 2 ( ) ) 4 2 2 2 y x y x c _{   }        2 )) ( ( )) ( ( x f y f   2 ) ( ) ( 4 x y c _{ } 

olur ve ispat tamamlanır.

Teorem 3.2.1. ( X, . ) reel normlu uzay olsun, D , X in bir konveks alt kümesi olmak üzere  : DD için aşağıdaki ifadeler eşdeğerdir

i. ( X, . ) reel iç çarpım uzayıdır.

ii. Her c 0 için D , X _{in bir konveks alt kümesi üzerinde tanımlanan} R

D

f :  bir fonksiyon olmak üzere g f c . 2 güçlü konveks fonksiyondur.