Yaklaşımlı kümeler ve bazı uygulamaları

YAKLAŞIMLI KÜMELER VE BAZI UYGULAMALARI Cahit GÜNEŞ

Yüksek Lisans Tezi Matematik Anabilim Dalı Doç. Dr. Naim ÇAĞMAN

2010

FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİMDALI

YÜKSEK LİSANS TEZİ

YAKLAŞIMLI KÜMELER VE BAZI UYGULAMALARI

Cahit GÜNEŞ

TOKAT 2010

i

Yüksek Lisans Tezi

YAKLAġIMLI KÜMELER VE BAZI UYGULAMALARI

Cahit GÜNEġ

GaziosmanpaĢa Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı DanıĢman: Doç. Dr. Naim ÇAĞMAN

YaklaĢımlı küme teorisi, sınıflandırma ve tahmin için matematiğe ait yararlı bir araçtır. Çoğu problemde, objeleri sınıflandırmanın yerine onları sıralamayla uğraĢılır. Aralık bilgi sistemleri, tek değerli bilgi sistemlerinin genelleĢtirilmiĢ modelleri olan veri tablolarının önemli bir tipidir. Aralık bilgi sistemlerine üstünlük bağıntısı uygulanır. Üstünlük bağıntısı temel alınarak, sıralı bilgi sistemlerinin bu tipinden yaklaĢımlı küme düĢüncesi kurulmuĢtur. Klasik yaklaĢımlı küme teorisinin geniĢlemelerinden biri, genellikle bir üstünlük bağıntısıyla ayırt edilemezlik bağıntısının yer değiĢtirmesinde temel alınan üstün-tabanlı yaklaĢımlı küme düĢüncesidir. YaklaĢımlı kümelerdeki ayırt edilemezlik bağıntısının yerine üstünlük bağıntısı kullanılarak yaklaĢımlı kümelere farklı bir bakıĢ açısı ortaya koyulmuĢ ve her bir objenin tüm üstünlük dereceleri kullanılarak bütün objeler için bir sıralama metodu verilmiĢtir. Bu çalıĢmada, Pawlak’ın yaklaĢımlı kümeler (rough sets) teorisi ile Qian ve ark. ’nın sıralı aralık bilgi sistemleri (interval ordered information systems) tanıtıtıldıktan sonra aralarındaki önemli iliĢkiler incelendi.

2010, 65 sayfa

ii Msc Thesis

ROUGH SETS AND ITS APPLICATIONS

Cahit GÜNEġ

Gaziosmanpasa University

Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Mathematics

Supervisor: Assoc. Prof. Dr. Naim ÇAĞMAN

Rough set theory has been proved to be a useful mathematical tool for classification and prediction. However, as many real-world problems deal with ordering objects instead of classifying objects, one of the extensions of the classical rough set approach is the dominance-based rough set approach, which is mainly based on substitution of the indiscernibility Relation by a dominance relation. Interval information systems are an important type of data tables, which are generalized models of single-valued information systems. In this work, we introduce Pawlak’s Rough Sets Theory with Qian, Liang and Dang’s Interval Ordered Information Systems. Finally, we compare them.

2010, 65 pages

iii

YaklaĢımlı küme teorisi veritabanı, model oluĢturma ve bilgi edinmeyi otomatikleĢtirme gibi yapay zeka alanlarındaki baĢarılı uygulamalarından dolayı son yıllarda yoğun bir Ģekilde araĢtırılmaktadır. Bu çalıĢmada, yaklaĢımlı küme teorisi ve sıralı aralık bilgi sistemleri üzerinde durulmuĢtur. YaklaĢımlı kümelerdeki ayırt edilemezlik bağıntısının yerine üstünlük bağıntısı kullanılarak yaklaĢımlı kümelere farklı bir bakıĢ açısı ortaya koyulmuĢtur.

Bu çalıĢma boyunca katkılarını, yönlendirici desteğini ve anlayıĢını hiçbir zaman esirgemeyen, değerli hocam Sayın Doç. Dr. Naim ÇAĞMAN’a; bu süreç boyunca göstermiĢ olduğu destek, yardım ve gayretlerinden dolayı AraĢ. Gör. Serdar ENGĠNOĞLU’na; yoğun çalıĢmalarım boyunca bana sabırla davranan, manevi desteği ile her zaman yanımda olan, beni teĢvik eden sevgili eĢim Selma GÜNEġ’e ve varlığımı borçlu olduğum aileme en içten teĢekkürlerimi sunuyorum.

Cahit GÜNEŞ Temmuz, 2010

iv Sayfa ÖZET.………...………...…... i ABSTRACT…………...……….………..………... ii ÖNSÖZ………...………...……….. iii İÇİNDEKİLER………...……...………...………. iv ÇİZELGELER DİZİNİ………….………. v 1. GİRİŞ………... 1 2. TEMEL KAVRAMLAR……..………..………...………. 4 2.1. Bilgi Sistemi………...………. 4 2.2. Ayırtedilemezlik Bağıntısı……….………...… 6 2.3. YaklaĢımlı Kümeler...………..………..……… 7 2.4. YaklaĢımların Kesinlik Ölçüsü………..…..………..……… 9 2.5. Ġndirgemeler………..………...……… 10

2.6. Karar Kuralı Sentezi……….………...……… 17

3. ARALIK BİLGİ SİSTEMLERİ………...……… 20

3.1. Aralık Bilgi Sistemlerinde Üstünlük Bağıntısı…....…….………....………….… 20

3.2. Sıralı Aralık Bilgi Sistemlerinde Tüm Objeler Ġçin Sıralama....……..…………..……. 26

3.3. Sıralı Aralık Bilgi Sistemlerinde Nitelik Ġndirgeme……… 31

4. YAKLAŞIMLI KÜMELERLE ARALIK BİLGİ SİSTEMLERİ ………..………… 36

5. SIRALI ARALIK KARAR TABLOLARI………..………… 40

5.1. Sıralı Aralık Karar Tablosu ve Üstünlük Kuralları ...………..………. 40

5.2. Sıralı Aralık Karar Tablolarında Nitelik Ġndirgeme………...…..……...……… 48

6. UYGULAMA……….………...……….. 53

7. TARTIŞMA ve SONUÇ………..……….. 58

KAYNAKLAR……….………..…….………... 59

v

Çizelge Sayfa

Çizelge 2.1. Eğitim Yöneticisi Seçimi Örneği ……… 5

Çizelge 2.2. Bir Karar Tablosu Örneği ……… 6

Çizelge 2.3. ĠndirgenmemiĢ sınavsız geçiĢ öğrenci seçimi karar tablosu örneği … 11

Çizelge 2.4. Sınavsız GeçiĢ Öğrenci Seçimi-yeniden sıralanmıĢ karar tablosu …. 16

Çizelge 2.5 ĠĢe Alma-Karara-Bağlı ayırt edici matris ………. 16

Çizelge 3.1. Bir aralık bilgi sistemi ………. 21

Çizelge 3.2. Çizelge 3.1’in ayırt edilebilirlik matrisi ……….. 33

Çizelge 5.1. Bir sıralı aralık karar tablosu ……… 46

Çizelge 5.2. Çizelge 5.1’in ayırt edilebilirlik matrisi ………... 50

Çizelge 6.1. Bir yatırım giriĢimi hakkında sıralı aralık karar tablosu ……….. 53

XX. yüzyılda matematik ve bilimde görülen çeşitli paradigma değişiklikleri arasında belirsizlik, belki de en dikkat çekici olanıdır. Belirsizliği istenilmeyen bir durum olarak gören ve mümkün bütün durumlarda kaçınılması gerektiğine inanan geleneksel anlayıştan, belirsizlikle uğraşan ve bilimde bundan kaçınılmasının mümkün olmadığını iddia eden alternatif bakış açısına doğru dereceli bir geçiş ortaya konulmaktadır. Matematikçiler, fizikçiler, mantıkçılar ve filozoflar uzun bir süredir belirsizlik problemleri ile uğraşmaktadırlar. Son zamanlarda bu tür problemler bilgisayar ve yapay zeka ile ilgilenen bilim adamları için çok önemli olmuştur (Aktaş ve Çağman, 2005).

Elektronik değişimin yaşandığı günümüzde tıp, sanayi, eğitim gibi pek çok alanda veri hacmi hızla artmaktadır. Bu veriler geniş veri havuzları oluşturmakta ve mevcut verilerden amaçlanan verilere ulaşmak oldukça zorlaşmaktadır. Yapılan bir tahmine göre yeryüzünde biriktirilen veri miktarı birkaç yılda bir ikiye katlanarak artmaktadır. Özellikle internet üzerinden yapılan her tür işlemlerde, iletişim, bankacılık ve sigortacılık sektörlerinde bir gün içerisinde sayılamayacak kadar veri depolanmaktadır. Bu veri toplulukları ise karar verme aşamasında çok büyük belirsizlikler doğurmaktadır.

Klasik mantığın tanımlayamadığı belirsiz kavramların matematiksel olarak ifade edilebilmesinin öneminden dolayı, araştırmacılar her geçen gün yeni teoriler sunmaktadır. Bilinen en önemli teorilerden bazıları; olasılık, istatistik, bulanık kümeler (fuzzy sets), yaklaşımlı kümeler (rough sets) ve esnek kümeler (soft sets) dir.

Bulanık kümeler (fuzzy sets) ve yaklaşımlı kümeler (rough sets) gibi araçlar; özellikle eksik, yetersiz ve belirsiz bilgileri düzenleyerek, veri analizi için yeterli hale getirmektedir. Yaklaşımlı kümeler ve Bulanık kümeler; bilginin kusurunu iki farklı bakış açısıyla yakalar. Bunlardan birisi ayırt edilemezlik ve diğeri belirsizliktir.

1930’larda ünlü filozof Max Black tarafından belirsizliği açıklayıcı öncü kavramlar geliştirilmiş olsa bile, bugün 1965’te Zadeh tarafından yayınlanan makale modern anlamda belirsizlik kavramının değerlendirilmesinde önemli bir nokta olarak kabul edilir. Zadeh, bu makalede, kesin olmayan sınırlara sahip nesnelerin oluşturduğu bulanık küme teorisini ortaya koymuştur.

Belirsizlik problemini çözmek için öne sürülen bir başka yaklaşım ise yaklaşımlı küme teorisidir. 1985’te Pawlak tarafından ortaya atılan yaklaşımlı küme teorisi, klasik küme teorisinin bir genişlemesidir. Belirsizliğe yeni bir matematiksel yaklaşım olan yaklaşımlı küme teorisi hem teoride hemde pek çok alandaki uygulamalarıyla büyük ilgi görmüştür. Yaklaşımlı küme teorisi veritabanı, model oluşturma ve bilgi edinmeyi otomatikleştirme gibi yapay zeka alanlarındaki başarılı uygulamalarından dolayı son birkaç yılda yoğun bir şekilde araştırılmaktadır (Dünstsch and Gediga, 1998, 2001; Pawlak, 1991). Teorik açıdan bakılırsa yaklaşımlı küme teorisi belirsizliğe yeni bir yaklaşım, uygulama açısından bakılırsa yaklaşımlı küme teorisi veri analiz etmede yeni bir metot olarak düşünülür.

Yaklaşımlı küme teorisi, gerçek yaşamda çeşitli alanlarda birçok uygulamalar bulmaktadır. Ayrıca yaklaşımlı küme teorisi gerçeğe dayanan verilerden oluşan sonuçların karşılaştırılmasında kullanılır.

Yaklaşımlı kümede bir evrensel kümenin alt kümesi, alt ve üst yaklaşımları olarak adlandırılan sıralı ikili kümeleri ile tanımlanır. Pawlak’ın yaklaşımlı küme modelinde (Pawlak, 1982) temel araç bir denklik bağıntısıdır. Alt ve üst yaklaşımlar denklik sınıfları ile inşa edilir.

Yaklaşımlı küme teorisinde veriler, koşul ve karar niteliklerinden oluşan bir tablo şeklinde sunulur. Yaklaşımlı küme teorisi, niteliklerin anlamını değerlendirmek, karar kurallarını oluşturmak ve nitelikler arasındaki bağımlılıkları tanımlamak için nitelik - değer gösterim modelinde kullanılır. Yaklaşımlı küme teorisi, gerçeklerin belirsizlik ve kararsızlığıyla uğraşmak ve onları sınıflandırmak için kavramsal bilimlerde ve zeka kararında önemli uygulamalara sahiptir (Yao, 2001). Yaklaşımlı küme tabanlı veri

analizi, bilgi sistemleri olarak adlandırılan veri tablolarından başlar. Bilgi sistemleri, niteliklerin sonlu bir kümesi ile tanımlanan ilgi çekici objeler hakkındaki bilgileri içerir.

Aralık bilgi sistemleri veri tablolarının önemli bir tipidir ve tek değerli bilgi sistemlerinin genelleştirilmiş bir modelidir. Son yıllarda bazı karar verme problemlerinde, aralık bilgi sistemleri kullanılmaktadır. Bu problemlerin çoğu, iki aralık sayısının arasında mümkün bir derecenin olması düşüncesinde temel alınır.

Yedi bölümden oluşan bu çalışmada ikinci bölümde temel kavramlar olarak tezde kullanacağımız yaklaşımlı kümeler teorisi verildi. Üçüncü bölümde, sıralı aralık bilgi sistemleri tanıtıldı. Dördüncü bölümde, sıralı aralık bilgi sistemlerinde yaklaşımlı küme düşüncesi oluşturuldu. Beşinci bölümde, sıralı aralık karar tablosu incelendi ve karar tablolarının bu tipinden nitelik indirgemeler yapıldı. Altıncı bölümde, aralık değerli bir yatırım girişiminde karar verme düşüncesi ile ilgili uygulama yapıldı. Sonuç ve Tartışma bölümünde ise konu başlıklarının genel bir değerlendirmesi verildi.

2. TEMEL KAVRAMLAR

Bu bölümde, tezin temel malzemesi olarak kullanacağımız Yaklaşımlı Kümeler Teorisi’ni tanıtacağız. Yaklaşımlı Kümeler Teorisi 1980’lerin başlarında Zdzislaw Pawlak tarafından geliştirildi. Bu teori veri tablolarının sınıflandırma analizi üzerine ortaya atılmıştır. Veri, ölçümlerden ya da insan tecrübelerinden elde edilebilir. Her ne kadar ikisi birbirinden ayrı da olsa, bugünkü uygulanan metotlar da birbirini tamamlayan iki kavram olmuşlardır. Yaklaşımlı küme analizinin temel hedefi; elde edilmiş veri kavramlarını sentezlemeye çalışmaktır.

Yaklaşımlı küme teorisinde veriler, koşul ve karar niteliklerinden oluşan bir tablo şeklinde saklanır. Yaklaşımlı küme teorisi verileri belli kriterler doğrultusunda sınıflandırmak için denklik bağıntısı kavramını benimsemiştir. Sınıflandırma işleminde, alt ve üst yaklaşım olmak üzere iki bölüm oluşturulur. Yaklaşımlı küme teorisinin temelini oluşturan bu kavramlardan alt yaklaşım yardımıyla kesin kurallar, üst yaklaşım yardımıyla da mümkün olabilecek, olası kurallar elde edilir.

2.1. Bilgi Sistemi

Bilgi sistemlerinde veri kümesi, bir tablo ile temsil edilir. Bu tabloda; satırlar, bir durumu, bir olayı veya basit anlamda bir objeyi, sütunlar ise her bir obje için bir niteliğin (bir değişken, bir gözlem, bir özellik v.b. ) ölçümünü temsil etmektedir. Bu değerler aynı zamanda bir insan ya da kullanıcıdan da elde edilebilir. Bu tablo bilgi tablosu olarak adlandırılır. Bilgi sistemleri çoğu zaman;

S ( , )U A (2.1)

ifadesi ile gösterilir. Burada, U boş olmayan sonlu objelerin kümesi, A ise nitelikler kümesidir. aA olmak üzere her nitelik ( a , A nitelik kümesine ait bir nitelik olmak

üzere) bir bilgi fonksiyonu tanımlar. fa:U Va ile tanımlanan bilgi fonksiyonunda, V a ifadesi a niteliğinin değer kümesi olarak isimlendirilir.

Örnek 2.1.

Çizelge 2.1’de çok basit bir bilgi sistemi gösterilmiştir. Burada yedi adet obje, dört adet de nitelik ( Eğitim, Sicil, Deneyim, Puan ) bulunmaktadır.



1, 2, 3, 4, 5, 6, 7



U x x x x x x x (2.2)

A{ eğitim, sicil, deneyim, puan } (2.3)

Çizelge 2.1. Eğitim Yöneticisi Seçimi Örneği Eğitim Sicil Deneyim Puan

1

x Lisans Orta Hayır C

2

x Lisans İyi Hayır A

3

x Yüksek Lisans İyi Evet B

4

x Yüksek Lisans İyi Hayır B

5

x Doktora Çok İyi Evet A

6

x Lisans Orta Hayır C

7

x Doktora Çok İyi Evet A

Burada x₁ ve x ile ₆ x ve ₅ x kişilerinin almış olduğu nitelik değerlerinin aynı olduğu ₇ görülmektedir. Mevcut nitelikler göz önünde bulundurulduğunda bu çiftler birbirinden ayırt edilemez.

Çoğu uygulamada bilinen bir sınıflandırma çıktısı vardır. Karar niteliği denilen bu ayırt edici nitelik, deney sonrası bir bilgi edinilmesini sağlar. Bu süreç gözleme-denetleme süreci olarak bilinir.

Örnek 2.2.

Çizelge 2.2’de karar tablosunun küçük bir örneği bulunmaktadır. Tabloda bulunan yedi objenin değerleri önceki tablonun değerleriyle aynıdır. Buraya sadece bir karar niteliği olan “Yönetici” eklenmiştir. Bu niteliğin mümkün olan iki çıktı değeri bulunmaktadır.

Çizelge 2.2. Bir Karar Tablosu Örneği

Eğitim Sicil Deneyim Puan Yönetici

1

x Lisans Orta Hayır C Hayır

2

x Lisans İyi Hayır A Evet

3

x Yüksek Lisans İyi Evet B Evet

4

x Yüksek Lisans İyi Hayır B Hayır

5

x Doktora Çok İyi Evet A Evet

6

x Lisans Orta Hayır C Hayır

7

x Doktora Çok İyi Evet A Evet

Dikkatlice bakıldığında x1 ve x ile 6 x ve 5 x kişilerinin nitelik değerlerinin yine aynı 7

değerler olduğu görülür. Karar tablosunun sentezlenmesi sonucunda şöyle bir kural tanımlanır: “ Yüksek Lisans mezunu, sicili iyi, deneyimli ve sınav puanı B olan kişinin yöneticiliği Evet”.

2.2. Ayırtedilemezlik Bağıntısı

Bir karar sistemi (örnekte bir karar tablosu) model hakkındaki bütün bilgiyi ifade eder. Bu tablo gereksiz genişlikte olabilir. Çizelge 2.2’de görüldüğü gibi son çift gereksiz yere tabloda satır işgal etmektedir. Şimdi bu konulara bakılacak olursa şunları söylemek mümkün olur:



,



S  U A bir bilgi sistemi olsun. IND_S

 

B denklik bağıntısı, herhangi bir B A için şu şekilde ifade edilir:

  





2

 

 



, S IND B  x x U  a B a x a x (2.4)

 

S

IND B , Bayırtedilemezlik bağıntı olarak adlandırılır. Eğer



x x,  



IND_S

 

B ise x ve x nesneleri B’nin nitelikleri ile birbirinden ayırt edilebilir denir. Bayırtedilemezlik bağıntısının denklik sınıfları

 

x _B olarak gösterilir. Ayırt edici bağıntıdaki alt karakter S eğer yazılmamışsa, çoğu zaman ihmal edilmiş demektir.

Örnek 2.3.

Ayırt edici bağıntının nasıl tanımlandığını görmek için Çizelge 2.2’deki karar tablosu ele alınsın. Koşullu niteliklerin boş olmayan {eğitim}, {puan}, {sicil, deneyim}, {eğitim, sicil, puan}, {eğitim, sicil, deneyim, puan} alt kümeleri için ayırt edici bağıntılar şöyle bulunur:













 

 

















 

 

















 

 





















 

























1 2 6 3 4 5 7 1 6 2 5 7 3 4 1 6 2 4 3 5 7 1 6 2 3 4 5 7 1 6 2 3 4 5 7 , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , IND eğitim x x x x x x x IND puan x x x x x x x

IND sicil deneyim x x x x x x x

IND eğitim sicil puan x x x x x x x

IND eğitim sicil deneyim puan x x x x x x x

     2.3. Yaklaşımlı Kümeler

Bir bağıntı ilişkisi evrensel kümenin parçalanmasına neden olur. Bu parçalar evrensel kümenin yeni alt kümelerini oluşturmada kullanılır. Alt kümeler çoğunlukla çıktı niteliklerinin aynı değerli olanlarıyla ilgilenir. Çoğunlukla bu çıktı nitelikler “Yönetici” gibi iki farklı değere sahip olmayabilir. Bu değerlerin sayısının fazla olması işi karmaşık

bir hale sokar. Zaten bu da bir sınıflandırmayı “yaklaşımlı” yapmak ile yakından ilgilidir. Bu kavramlardan aşağıda söz edilmektedir.



,



S  U A bir bilgi sistemi olsun. B A ve XU olarak tanımlansın. X ’e B

içerisindeki bilgiler yardımıyla Balttan ve Büstten yaklaşılabilir. BX ve BX

sırasıyla şöyle tanımlanır:

 





 





B B BX x x X BX x x X       (2.5)

BX ’in objeleri B’nin içindeki temel bilgilerden oluşan X ’in elemanları olarak

kesinlik arz edecek şekilde sınıflandırılabilir. BX ise yalnızca B’nin içindeki temel

bilgilerden X ’in mümkün olan elemanlarıyla sınıflandırılabilir.

 

B

Bn X BX BX olarak tanımlanan Bn_B

 

X kümesi X ’in Bsınır bölgesi olarak

isimlendirilir. Bu da B’nin içindeki temel bilgilerle X üzerinde bu objeleri kesinlikle

sınıflandırır. U BX kümesi; X ’in Bdış bölgesi olarak isimlendirilir. Buradaki

objelerde X ’in içerisinde olmayan ve kesinlikle sınıflandırılabilir objelerden meydana gelir. Eğer sınır bölgesi boş olmayan bir küme ise, bu küme için yaklaşımlı (rough) denir.

Teorem 2.1. Bir kümenin yaklaşımları aşağıdaki özellikleri sağlar:

1. BX X BX

2. B

 

 B

 

  , B U

 

B U

 

U 3. B X



Y



B X

 

B Y

 

4. B X



Y



B X

 

B Y

 

6. B X



Y



B X

 

B Y

 

7. B X



Y



B X

 

B Y

 

8. B

 

X  B X

 

9. B

 

X  B X

 

10. B B X



 



B B X



 



B X

 

11. B B X



 



B B X



 



B X

 

2.4. Yaklaşımların Kesinlik Ölçüsü

B A olmak üzere, X kümesinin kesinlik ölçüsünün değeri aşağıdaki katsayı ile bulunur: B

 

BX

X

BX





_(2.6)

Bir kümenin kesinlik durumu, X kümesinin alt ve üst yaklaşımında yer alan objelerin sayısı ile ifade edilir. Kesinlik ölçüsü, 0_B

 

X 1 aralığındadır.

X , U içerisinde tanımlanabilir ise _B

 

X 1 dir. X , U içerisinde tanımlanamaz ise

 

1

B X

  dir.

Örnek 2.4.

Örnek 2.4’ün alt yaklaşımında yer alan obje sayısı 3’e, üst yaklaşımında yer alan obje sayısı 5’e eşittir. Buna göre, X kümesinin kesinlik ölçüsü _B

 

X 3 5 olur.

Buradan çıkarılabilecek anlam, X kümesinin, U içerisinde yaklaşımlı olarak tanımlanabilir olduğudur.

2.5. İndirgemeler

İndirgenen verinin bir boyutu ile özdeşleşen denklik sınıfları incelendi. Objeler eldeki nitelikler yardımıyla ayırt edilebilmektedir. Tüm sınıfı göstermek için denklik sınıfının yalnızca tek bir elemanına ihtiyaç duyulduğundan tasarruflar yapılabilir. İndirgemenin diğer bir boyutu da ayırt edici bağıntıyı sonuç olarak yaklaşımları saptayan nitelikleri ortaya çıkarmaktır.

Çıkartılmalar sınıflandırmayı kötüleştirmediğinden kalan nitelikler gereksizdir. İndirgemeler (reducts) genellikle çok sayıda niteliğin azaltılmış alt kümelerinden oluşan niteliklerin bulunmasıdır.

Denklik sınıflarının hesaplanması tek çıkar yoldur. Örneğin en az sayıda indirgemenin bulunması zordur. “ m ” sayıda niteliğe sahip bir bilgi sisteminin indirgeme sayısı şöyle bulunur: 2 m m       (2.7)

Bunun anlamı; indirgenmenin hesap edilmesi yani, hesaplanabilir kaynakların indirgenmesi pek o kadar da basit değildir. Bu da gerçekte yaklaşımlı kümeler yönteminin bir darboğazıdır.

Neyse ki genetik algoritma temelli buluşsal yöntemlerle bu sorun öngörülenden daha kısa sürede çözülmektedir. Aksi halde niteliklerin sayısının çokluğu, problemi epeyce yokuşa sürecektir.

Örnek 2.5.

Çizelge 2.3. İndirgenmemiş sınavsız geçiş öğrenci seçimi karar tablosu örneği Mezuniyet Alanı Akademik Başarı Yabancı Dil Referans Karar

1

x TM İyi Evet Mükemmel Kabul

2

x TM Orta Evet Nötr Ret

3

x Sosyal Orta Evet İyi Ret

4

x Fen Pekiyi Evet Nötr Kabul

5

x Fen İyi Evet Nötr Ret

6

x Fen Pekiyi Evet Mükemmel Kabul

7

x TM Pekiyi Hayır İyi Kabul

8

x Sosyal Orta Hayır Mükemmel Ret



 





, , , ,



S  U Mezuniyet Başarı Dil Referans  Karar (2.8)

Burada yalnızca durum nitelikleri incelendiğinde, bilgi sistemi







, , , ,



S  U Mezuniyet Başarı Dil Referans (2.9)

Basit olarak her denklik sınıfı bir eleman içermektedir. Bu tabloda hesaba katılan tüm kümeler içerisinden bir karara varabilmek için indirgeme sonucunda bu kümenin bir alt kümesi olan niteliklerde kullanılabilir.



,



S  U A şeklinde bir bilgi sistemi verildiğinde, kavramlar aşağıdaki gibi olacaktır. S

nin indirgenmişi B A olacak şekilde IND B_S( )IND A_S( ) şartını sağlayan minimal sayıdaki nitelikler kümesidir. Diğer bir deyişle, indirgeme; A kümesinin tüm niteliklerinin yapmaya çalıştığı sınıflandırmayı minimal sayıdaki nitelikle yapmaya çalışır.

S, n elemanı olan bir bilgi sistemi olsun. S sisteminin Ayırt edici matrisi aşağıdaki gibi n n lik simetrik bir c_ij matrisidir. c_ij matrisi x ve _i x_j birbirinden farklı olmak üzere c_ij 



aA a x

 

_i a x

 

_j



,i j1,...,n nitelikler kümesinden meydana gelir. Örnek 2.6. Çizelge 2.3’ün ayırt edici matrisi aşağıdaki gibidir:

A

f ; S bilgi sisteminin, a₁,...,a_n gibi n tane mantıksal değişkeninin oluşturduğu bir mantıksal fonksiyondur. Fonksiyon c_ij {a ac_ij} olacak şekilde aşağıda tanımlanmıştır:

f_A



a₁,...,a_n



  



c_ij 1  j i n c, _ij  



(2.10) Örnek 2.7.

Çizelge 2.3’de verilenlere göre S bilgi sisteminin ayırt edici fonksiyonu:

1 x x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 1 x  b,r m,b,r m,b,r m,r m,b b,d,r m,b,d 2 x b,r  m,r m,b m,b m,b,r b,d,r m,d,r 3 x m,b,r m,r  m,b,r m,b,r m,b,r m,b,d d,r 4 x m,b,r m,b m,b,r  b r m,d,r m,b,d,r 5 x m,r m,b m,b,r b  b,r m,b,d,r m,b,d,r 6 x m,b m,b,r m,b,r r b,r  m,d,r m,b,d 7 x b,d,r b,d,r m,b,d m,d,r m,b,d,r m,d,r  m,b,r 8 x m,b,d m,d,r d,r m,b,d,r m,b,d,r m,b,d m,b,r 



 

 

 

 

 

 

 





 

 

 

 

 





 

 

 

 



    

 



, , , A f m b d r b r m b r m b r m r m b b d r m b d m r m b m b m b r b d r m d r m b r m b r m b r m b d d r b r m d r m b d r                                                         



 

 





 







b r m b d r m b d r m d r m b d m b r                  

olarak yazılır. Her bir parantezin içindeki değişkenler mantıksal ifadelerle bağlanmıştır. Buradaki harflerin karşılığı olan değerlerin neler olduğu açıktır. Sadeleştirme sonucunda



, , ,



A

f m b d r br elde edilir. br gösterimi br nin kısaltılmış halidir.

Yukarıdaki ayırt edici fonksiyonun her bir satırı aynı zamanda ayırt edici matriste bir sütuna karşılık gelir. Bu matriste köşegen boş olduğundan adeta bir simetri ekseni oluşturmaktadır. Örnek olarak bakılacak olursa; bu fonksiyonun üstten altıncı satırındaki ifade, altıncı objenin (yani kişinin) yedinci ve sekizinci objelerle farklılıkları parantez içerisinde sırasıyla belirtilmiştir ( (m d r), (m b d) ).

Eğer ayırt edici matrisin k. sütunu üzerinde bir mantıksal fonksiyon alarak sadeleştirmeye gidilirse, buradan kbağlı ayırt edici fonksiyon elde edilir. Buradaki

mantıksal işlemler sonucunda hesaplanan değer: kbağlı indirgeme kümesini verir. Bu

indirgemelerde x_kU nun diğer objelerden ayırt edilmesi için gerekli en az sayıdaki tüm bilgileri açığa çıkarır.

Yukarıda ortaya konan kavram kullanılarak, denetlenen öğrenme (supervised learning) problemi göz önüne alınabilir. Örneğin; sınıflandırma çıktısı bilinen yeni bir objeyi sisteme atarken, bunun koşul niteliklerini ve “d” karar değerini bulmak için kullanılabilir.

Bir objenin en az sayıdaki nitelikle tanıtılması sık sık ihtiyaç duyulan bir durumdur. Örnek olarak; Çizelge 2.3’de {Başarı, Referans} indirgeme kümesi herhangi bir objenin sınıflandırma analizi için gerekli en az sayıdaki nitelik kümesini oluşturur.

Ayırt edici fonksiyon karara bağlı olarak oluşturulabilir. Bunun için kavramlar şu şekilde biçimlendirilir. S



U A, 

 

d



verilsin. d U

 





k d x

 

k, xU



kümesinin görüntüsünün eleman sayısı d’nin derecesi olarak tanımlanır ve r d( ) ile gösterilir. d karar değerlerinin kümesini V olarak kabul edelim ve bu _d { ,...,v1_d v_dr d( )} ye eşit olsun.

Örnek 2.8.

Derece genelde iki değere sahip olmaktadır. Örnek olarak {Evet, Hayır} veya {Kabul, Ret} gibi. Bazen de bu değer gelişigüzel herhangi bir sayıda olabilir. Örnek olarak karar değerleri {Kabul, Bekleme, Ret} olarak değiştirildiğinde, derece üç değerini de alabilir.

d karar niteliği, U evrensel kümesini 1 ( )

( ) { ,..., r d }

A A A

SINIF d  X X olarak sınıflara

ayırır. Burada k { ( ) k}, 1 ( )

A d

X  x U d x v  k r d olarak tanımlıdır. SINIF_A

 

d ; “d

kararı ile S de tanımlanmış objelerin sınıfı” olarak adlandırılır. Xi_A; “ S’nin i. karar

sınıfı” olarak adlandırılır. X_A( )u ise; {x U d x ( )d u( )} olmak üzere  u U için karar sınıflarını gösterir.

Örnek 2.9.

Çizelge 2.2. ve Çizelge 2.3.’deki karar sistemlerinde iki karar sınıfı bulunmaktadır. Bunlar sırasıyla {Evet, Hayır} ve {Kabul, Ret} sınıflarıdır. Yönetici tablosu için evrensel kümenin bölüntüleri Evet Hayır

U X X olmak üzere XEvet 



x x x x₂, ₃, ₅, ₇



ve



1, 4, 6



Hayır

X  x x x .

Sınavsız Geçiş Öğrenci Seçim Tablosunda ise Kabul Ret

U X X olmak üzere,



1, 4, 6, 7



Kabul

Evet

X ve XHayır gösterimleri sırasıyla gösterimi kolay olsun diye X ve 1 X olarak 2 gösterilecektir.

Eğer S’nin karar sınıfları X1_A,...X_Ar d( ) ise, BX1 ... BXr d( ) kümesi; S’nin Bpozitif bölgesi olarak tanımlanır ve POS d_B( ) ile gösterilir.

Örnek 2.10.

Yönetici karar sisteminde S’nin pozitif bölgesi U evrensel kümesinin uygun bir alt kümesidir. Sınavsız geçiş öğrenci seçim karar sisteminde ise benzer bölge U evrensel kümesine eşittir. Birinci sistem tutarsız iken ikincisi tutarlıdır.

Yukarıda kbağlı ayırt edici fonksiyondan bahsedildi. Karar niteliği yeterli tutarlılığa

sahip ise, bu durum için özel bir tanımlama gerekecektir. S( ,U A

 

d ) tutarlı karar tablosu olsun. M A( )

 

c_ij ise bu sistemin ayırt edici matrisi olsun.

 

 

 

 

 

, , , diğer durumda d ij i j d d ij _d ij ij c d x d x M A c c c d         _{ }       (2.11)

olarak tanımlanan yeni Md

 

A matrisine, S’nin karara-bağlı ayırt edici matrisi denir.

Buradan karara-bağlı ayırt edici fonksiyon, tıpkı ayırt edici matristen ayırt edici fonksiyonun elde edilmesinde olduğu gibi elde edilir.

Örnek 2.11.

Çizelge 2.3’deki Sınavsız Geçiş Öğrenci Seçim Tablosu kullanılarak, karara-bağlı ayırt edici matris ve karara-bağlı ayırt edici fonksiyon yapılandırılır. Buna göre kabul edilen objeler üste gelecek şekilde satırlara sırasıyla konulur.

Çizelge 2.4. Sınavsız Geçiş Öğrenci Seçimi-yeniden sıralanmış karar tablosu Mezuniyet Alanı Akademik Başarı Yabancı Dil Referans Karar

1

x TM İyi Evet Mükemmel Kabul

4

x Fen Pekiyi Evet Nötr Kabul

6

x Fen Pekiyi Evet Mükemmel Kabul

7

x TM Pekiyi Hayır İyi Kabul

2

x TM Orta Evet Nötr Ret

3

x Sosyal Orta Evet İyi Ret

5

x Fen İyi Evet Nötr Ret

8

x Sosyal Orta Hayır Mükemmel Ret

Çizelge 2.4’den elde edilen veriler doğrultusunda sistem 8x8’lik simetrik bir ayırt edici matris olur. Söz konusu cij matrisi i ve j birbirinden farklı olmak üzere koşul nitelikleri kümesinden meydana gelir. Bu şekilde objeler kümesinin elemanlarını kendi aralarında karşılaştırarak farklı koşul nitelikleri ilgili hücrelere yazıldığında ayırt edici matris bulunmuş olur.

Çizelge 2.5. Sınavsız Geçiş Öğrenci Seçimi Karara-Bağlı ayırt edici matris

1 x x 4 x 6 x 7 x 2 x 3 x 5 x 8 1 x  4 x   6 x    7 x     2 x b,r m,b m,b,r b,d,r  3 x m,b,r m,b,r m,b,r m,b,d   5 x m,r b b,r m,b,d,r    8 x m,b,d m,b,d,r m,b,d m,b,r    

Karara-bağlı ayırt edici matrisin tanımlamalarından yola çıkarak, ayırt edici matristeki bir sütunu, örneğin x1 sütunu ele alındığında, altında kalan objelerin oluşturduğu küme x1 objesini karar sınıfı dışındaki sınıflardan ayırt eder. Örneğin; ilk sütundaki mantıksal fonksiyon (br m b)(  r m)( r m b)(  d) sadeleştikten sonra bmrm rb rd

elde edilir. Buradan yola çıkılarak, x1 durumu için, eğer Referans; Mükemmel ve Yabancı Dil; Evet ise Karar’ın Kabul olduğu söylenir. Bu ise, aynı şartlara sahip herhangi bir objeninde aynı sonuca tabi olduğunu gösterir (x6 içinde Kabul kararına varılabilir).

2.6. Karar Kuralı Sentezi

Farklı türdeki bütün indirgenen nitelikler, minimal karar kurallarının sentezi için kullanılabilmektedir. Bunun için öncelikle indirgemelerin hesaplanması, daha sonrada bunların üzerine karar tablolarının inşası ile kolaylıkla bu kararların okunması sağlanır.

Örnek 2.12.

Çizelge 2.5’deki verilere göre {Mezuniyet, Başarı} indirgemesi göz önüne alınsın. Buna göre, birinci obje için karar kuralı şu şekilde okunmaktadır: “ Eğer Mezuniyet TM ve Başarı İyi ise Karar Kabul” .

Bu çıkarımlar kesin olarak yapılabilmektedir. Kurallar bu şekilde olağan olarak tanımlanır.

 



,



S  U A d bir karar sistemi olsun ve V  {V_a aA}V_d olarak tanımlansın. { }

B A d ve V üzerindeki atomik formül, av formundaki ifadedir. Bu ifadelere ve _a

aB v V olmak üzere B ve V ’nin tanımlayıcıları denir. F B V kümesi



,



B ile

V ’nin bütün atomik formüllerini içeren en küçük kümedir ve

( ), ve (veya), (değil)

Anlamsal (semantik olarak) bakımdan bu formül özyinelemeli olarak tanımlanabilir. ( , )

F B V

 olsun,

A

 nın anlamı,  özelliğine sahip U evrensel kümesinde bulunan

S karar tablosundaki tüm objelerin kümesini ifade eder. Bu kümeler aşağıdaki gibi tanımlanmaktadır:

1. Eğer , av biçiminde ise;



 



A x U a x v

   

2.     _A_A;     _A_A;   U  _A

Bütün F B V kümelerinden oluşan küme



,



S’nin durum formülü olarak bilinir ve



,



C B V koşul formülü kümesini içerir.

d v

  biçimindeki S tablosunun herhangi bir anlatımı için karar kuralı ( , )

C B V

 , v V d ve _A  şartlarını sağlamaktadır. Gösterimde ki  ve d v koşul durumunu ve çıktısı olan karar ya da sonucu ifade eder.

Karar kuralı:

S içinde  d v doğrudur  _A d v_A (2.12)

Örnek 2.13.

Aşağıda verilen bazı kuralları Çizelge 2.4'e göre inceleyelim:

Mezuniyet = TM  Başarı = İyi  Karar = Kabul Başarı = Orta  Referans = İyi  Karar = Ret Mezuniyet = FEN  Başarı = İyi  Karar = Kabul

İlk iki kural Çizelge 2.4’de doğru olmasına karşın, üçüncü kural bu şekilde doğru gözükmemektedir.

Karar tablosunun tutarlı olduğu kabul edilirse; x U için ( , )k d bağıl indirgemelerinin

hesabıyla, S içinde bulunan karar kuralları ile eşitliğin sol tarafından mantıklı minimal açıklayıcı ifadeler elde edebilmenin mümkün olduğu gözlemlenir. Bu şekilde ortaya çıkan karar kurallarını soldan sağa oluşturabilmek çok kolay olacaktır.

3. ARALIK BİLGİ SİSTEMLERİ

Orijinal yaklaşımlı kümeler teorisi, tercih-sıralı değer alanlarına sahip nitelikleri içermez. Bu onun için ayırt edici bir özelliktir. Ancak gerçek durumların çoğunda, düşünülen niteliklerin özelliklerinin sıralaması problemiyle ilgilenilir. Böyle bir problem ise objelerin sıralamasıdır. Bundan dolayı Greco, Matarazzo ve Slowinski (1998) yaklaşımlı küme teorisine genişleme teklif etmiştir. Bu genişleme niteliklerin özelliklerinin sıralamasını göz önüne alan üstünlük esasına dayalı yaklaşımlı küme düşüncesi olarak adlandırılmaktadır. Bu yenilik çoğunlukla, üstünlük bağıntısı ile ayırt edilemezlik bağıntısının yer değiştirmesinde temel alınır. Üstün temelli yaklaşımlı kümelerde koşulların nitelikleri kriterlerdir ve sınıflar tercih sıralıdır. Yaklaşımlı bilgi, sınıfların aşağı ve yukarı doğru birleşimlerinin toplamıdır. Üstünlük sınıfları, üstünlük bağıntısını kullanarak tanımlanan objelerin kümesidir. Son yıllarda birçok çalışma üstün-temelli yaklaşımlı küme alanında yapılmıştır.

Aralık bilgi sistemleri veri tablolarının önemli bir tipidir ve tek değerli bilgi sistemlerinin genelleştirilmiş bir modelidir. Çoğu karar verme probleminde, aralık bilgi sistemleri kullanılmaktadır. Bu problemlerin çoğu, iki aralık sayısının arasında mümkün bir derecenin olması düşüncesinde temel alınır. Şimdiye kadar üstünlük bağıntısı ile karar verme, aralık bilgi sistemlerinde uygulanmamıştır. Yaklaşımlı kümelerdeki ayırt edilemezlik bağıntısının yerine üstünlük bağıntısı kullanılarak yaklaşımlı kümelere farklı bir bakış açısı ortaya koyulacaktır.

3.1. Aralık Bilgi Sistemlerinde Üstünlük Bağıntısı

Bir aralık bilgi sistemi S



U AT V f, , ,



ifadesi ile gösterilir. U kümesi boş olmayan sonlu objelerin kümesi, AT kümesi boş olmayan sonlu niteliklerin kümesidir.

a

V formu a niteliğinin değer alanını göstermek üzere

V





_{a AT}

V

_a dır. :

fonksiyonudur. Bilgi fonksiyonunda V değer alanı aralık sayılarından oluşan bir _a kümedir. a niteliği altında x ’in aralık sayısı aşağıdaki gibi tanımlanır:

 

, L

 

, U

 



L

 

U

 

ve L

 

, U

 



f x a _a x a x _ p a x  p a x a x a x R (3.1)

Özellikle, L

 

U

 

a x a x ise f x a ifadesi bir gerçel sayıya eşit olur. Bu düşünce

 

, altında, tek değerli bilgi sistemleri, aralık bilgi sistemlerinin özel bir durumu olarak düşünülebilir.

Çizelge 3.1. Bir aralık bilgi sistemi

1 a a ₂ a ₃ a ₄ a ₅ 1 x 1 [0,1] 2 1 [1,2] 2 x [0,1] 0 [1,2] 0 1 3 x [0,1] 0 [1,2] 1 1 4 x 0 0 1 0 1 5 x 2 [1,2] 3 [1,2] [2,3] 6 x [0,2] [1,2] [1,3] [1,2] [2,3] 7 x 1 1 2 1 2 8 x [1,2] [1,2] [2,3] 2 [2,3] 9 x [1,2] 2 [2,3] [0,2] 3 10 x 2 2 3 [0,1] 3 Örnek 3.1.

Bir aralık bilgi sistemi Çizelge 3.1’de sunulmuştur. Çizelgeye göre



1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10



U x x x x x x x x x x (3.2)



1, 2, 3, 4, 5



AT  a a a a a (3.3) Pratik karar verme analizinde, imkan dahilinde aralık bilgi sisteminde nitelikler kümesinin elemanlarının değerlerinde baskın olan objelerin arasında bir ikili üstünlük

bağıntısı düşünülür. Genelde, artan tercih ve azalan tercih bir karar verici tarafından düşünülür.

Tanım 3.1.

Tüm niteliklerin değer alanı artan ya da azalan tercihe göre sıralı ise aralık bilgi sistemi, sıralı aralık bilgi sistemi olarak adlandırılır. Herhangi bir aAT niteliğinin değer alanının a üstünlük bağıntısı tarafından tamamen öncel-sıralı olduğu varsayılsın.

a

x y ifadesi bir a niteliğine göre x objesi y den daha üstündür anlamına gelir. Niteliklerin bir alt kümesi A AT olmak üzere, x_A y  a A x, _a y. Diğer bir

ifadeyle A’daki tüm niteliklere göre x y, ’ye göre daha üstündür.

Aşağıda, üstünlük sınıflarını oluşturan sıralı aralık bilgi sistemlerinde üstünlük bağıntısı ortaya koyulacaktır. Verilen bir sıralı aralık bilgi sisteminde, x_A y ise A AT kümesine göre x y, ’ye göre üstündür denir ve x R y_A ile gösterilir. R_A üstünlük bağıntısı şöyle tanımlanır:

RA





y x,



U U y A x



 _{   }

(3.4)

Açık bir şekilde görülür ki

 

y x, R_A ise, o halde A ’ya göre y üstündür x denir. Diğer bir ifadeyle A’ya göre y, x ’den daha iyi bir özellik olabilir. R_A bağıntısı (üstünlük bağıntısı olarak adlandırılan) aşağıdaki gibi tanımlanır:

R

A



 

y x

,

U U x

A

y





_

_{ }

_

(3.5)

A

R ve R_A nın tanımından aşağıdaki özellikler kolaylıkla elde edilir:

A  a a A

R



R

 





_{ve A  a} a A

R



R

 





_(3.6)

Özellik 3.2. S 



U AT V f, , ,



sıralı aralık bilgi sistemi ve AAT olsun. O halde A R ve R_A yansımalı A R ve R_A ters simetrik A R ve R_A geçişken A

R üstünlük bağıntısı ile kullanılan üstünlük sınıfları, x ’e üstün olan objelerin kümesidir. Yani;

 



 

   

 





 





, , L L U U A A x y U a y a x a y a x a A y U y x R          

Ve x ile üstünlük sağlanan objelerin kümesi

 



 

   

 





 





, , L L U U A A x y U a y a x a y a x a A y U y x R          

Sıralı aralık bilgi sisteminde A’nın terimlerinde x ile üstünlük sağlanabilen objelerin

kümesi

 

x _A ile tanımlanır ve x ’e üstün olabilen objelerin kümesi ise

 

x _A ile tanımlanır.

Birçok pratik uygulamada, farklı bir yol olarak evrendeki aralık değerleriyle üstünlük bağıntısı tanımlanabilir. AAT ve AA₁A₂ verilsin. A artan tercihe göre ve ₁ A₂

ise azalan tercihe göre niteliklerin kümesi olsun. Bu durumda üstünlük bağıntısı aşağıdaki gibi farklı şekillerde de tanımlanabilir:

 



 

 

 

  

 





 



 

 

 

  

 





 



 

 

 



 

 





1 2 3 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 R , ; , 2 R , ; ve 3 R , ; . L U L U A L L L L A U U U U A y x U U a y a x a A a y a x a A y x U U a y a x a A a y a x a A y x U U a y a x a A a y a x a A                              

Bu üç üstünlük bağıntısının her biri pratik uygulamalarda kullanılabilir. Bundan dolayı evrendeki her bir objenin üstünlük sınıfı oluşturulabilir. Bu çalışmada, üstünlük bağıntıları arasındaki ilişkilerle uğraşılmaz. Bu üstünlük bağıntıları kullanılarak, bu çalışmanın geri kalan kısmında olduğu gibi benzer araştırma sonuçları elde edilebilir.

Bu çalışmada, genelleştirmede herhangi bir kayıp olmadan, sıralı aralık bilgi sistemlerinde R_A üstünlük bağıntısı ile artan tercihli nitelikler göz önüne alınacaktır.

Özellik 3.3. S 



U AT V f, , ,



sıralı aralık bilgi sistemi ve A B,  AT olsun. O halde 1) B A AT R_B R_A R_AT 2) B A AT 

     

x _B  x _A x _AT 3) _j

 

_{i A j}

 

_{i A} ve

 

_{i A}



_j : _j

 

_{i A}



A A x  x   _{ }x   x  x  



 _{ }x  x  x  4)

 

_{i A j}



_i,



 

_j,





A x   _{ }x   f x a  f x a  a A

İspat. B A AT olsun. 1 ve



2 açıkça görülmektedir.





3 x_j

 

x_{i A} olsun. R_A üstünlük bağıntısından dolayı keyfi bir aA için f x a



_j,



aralık sayısı f x a aralık sayısından daha büyüktür. Yani



_i,



aL

 

x_j aL

 

x_i ve

 

 

U U j i a x a x dir. Bu nedenle aL

 

x aL

 

xi ve

 

 



U U i a x a x  a A . Bu yüzden x

 

x_{i A} yazılır. Yani, _j

 

_{i A}

A x  x       dır. O halde

 

_i



_j : _j

 

_i



A A A x  



 _{ }x  x  x 



4

 

 :

 

xi _A xj _A



 _{ }

   olduğu zaman, 3 ten dolayı



_j

 

_{i A} A x  x       dır. Yani herhangi bir aA için L

 

L

 

j i a x a x ve U

 

U

 

j i

a x a x dir. Bu yüzden, herhangi bir

aA için aL

 

x_i aL

 

x_j ve aU

 

x_i aU

 

x_j dir. Böylece her aA için

 

 

L L

i j

a x a x ve aU

 

x_i aU

 

x_j elde edilir. Yani, f x a



_i,



 f x a

 

_j,



 a A



.

 

 : Eğer f x a



_i,



 f x a

 

_j,



 a A



ise herhangi bir aA için

 

 

L L

i j

a x a x ve aU

 

x_i aU

 

x_j dir. Bu yüzden x ile üstünlük sağlanılan objelerin kümesi tanımından kolaylıkla

 

_{i A j}

A

x     x  olduğu görülür. A

U R ile gösterilen evrendeki sınıfların kümesi



 

x _A x U



ifadesine eşittir. U R_A

nun herhangi bir elemanı, A’ya göre üstünlük sınıfı olarak adlandırılacaktır. U R_A daki üstünlük sınıfları genelde U ’nun bir bölümlemesini oluşturmaz. Onlar U’nun bir

kapsamasını oluşturur.

Yukarıda bahsedilen kavram ve özellikler aşağıdaki örnekte daha iyi anlaşılacaktır.

Örnek 3.2.

(Örnek 3.1’den devam edildiğinde) Çizelge 3.1’de R_A üstünlük bağıntısı tarafından elde edilen sınıflandırma şöyle bulunur:

 





 





 





 





 

 

 





 





 

 

1 1 5 7 8 2 1 2 3 5 6 7 8 9 10 3 1 3 5 6 7 8 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5 5 6 5 6 8 7 5 7 8 8 8

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

AT AT AT AT AT AT AT AT

x

x x x x

x

x x x x x x x x x

x

x x x x x x

x

x x x x x x x x x x

x

x

x

x x x

x

x x x

x

x

x

       

















 

₉

 

₉

,

 

₁₀

 

₁₀ AT

x

x

AT

x

 





ifadelerinden

   

 



1

,

2

,...,

10



AT _{AT AT AT}

U R





x



x



x

 _yazılır. Aynı şekilde

 





 





 





 

 

 





 





 





 





 





1 1 2 3 4 2 2 4 3 2 3 4 4 4 5 1 2 3 4 5 6 7 6 2 3 4 6 7 1 2 3 4 7 8 1 2 3 4 6 7 8 9 2 4 9

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

AT AT AT AT AT AT AT AT AT

x

x x x x

x

x x

x

x x x

x

x

x

x x x x x x x

x

x x x x

x

x x x x x

x

x x x x x x x

x

x x x

        



















 

x

10 _AT



x x x

2

,

4

,

10







ifadelerinden de

   

 



1

,

2

,...,

10



AT _{AT AT AT}

U R





x



x



x

 yazılır.

Bu örnekten kolaylıkla Özellik 3.3’ün doğruluğu gösterilebilir. Açıkça görülür ki U R_A

daki üstünlük sınıfları U’nun bir kapsamasını oluşturur.

3.2. Sıralı Aralık Bilgi Sistemlerinde Tüm Objeler İçin Sıralama

Akıllı karar-verme problemlerinde iki sınıf vardır: Birincisi, bilgi yığını ile sıralama boyunca doyurucu sonuçlar bulmaktır. Ve diğeri, ilişkiler boyunca üstünlük kurallarını bulmaktır. Bu bölümde, sıralı aralık bilgi sistemlerinde R_A üstünlük bağıntısını kullanarak tüm objelerin nasıl sıralanması konusunda yoğunlaşılacaktır.

Qiu ve Zhang (2005), klasik sıralı bilgi sistemlerinde tüm objeleri sıralamak için üstünlük derecesi düşüncesini tanımlamıştır. Aşağıda, iki obje arasındaki üstünlük derecesi tanımlanacak ve herhangi bir sıralı aralık bilgi sisteminde son sırada her bir objenin yerini kararlaştırmak için bir objenin tüm üstünlük dereceleri ve iki obje arasındaki üstünlük dereceleri göz önüne alınacaktır.

Tanım 3.2. S 



U AT V f, , ,



sıralı aralık bilgi sistemi ve A AT olsun. ,x x_{i j}U ve bir kümenin kardinalitesi . ile gösterilmek üzere, R_A üstünlük bağıntısına göre iki obje arasındaki üstünlük derecesi şöyle tanımlanır:





 

,

i A j _A A i j

x

x

D

x x

U

 

 

 







_(3.7)

Bu tanımdan aşağıdaki özellik elde edilir.

Özellik 3.4. D_A



x x_i, _j



aşağıdaki özellikleri sağlar:



































1 1 , 1 2 , , , 3 , , , A i j j k A A i j A i k j k A A j i A k i D x x U x x R D x x D x x x x R D x x D x x          

İspat. 1 in ispatı açıktır.



2



R_A üstünlük bağıntısının Özellik 3.2’de geçişmeli olmasından dolayı kolaylıkla sonuca ulaşılır. Açık şekilde



x x_j, _k



R_A ise, _j

 

_k

A A x  x       yazılır. Bundan dolayı











 

   



   

   





1 , , 1 =0 A i j A i k i _A j _A i _A k _A i A k A i A k A D x x D x x x x x x U x x x x U             _{ }           

3) 2



ye benzer şekilde, _j

 

_k A A

x  x    

  yazılır. Bundan dolayı

 

j _A k _A x  x         dır. Böylece











 

   



   

   





1 , , 1 =0 A j i A k i j _A i _A k _A i _A k _A i _A k _A i _A D x x D x x x x x x U x x x x U             _{ }           

olmak üzere D_A



x x_j, _i



D_A



x x_k, _i



elde edilir. Aslında, RA



üstünlük bağıntısına göre iki obje arasındaki üstünlük derecesi, aşağıdaki gibi farklı bir yaklaşım kullanılarak tanımlanabilir:





 

 

* , i A j A A i j i A x x D x x x          _(3.8)

Ancak sıralı aralık bilgi sistemlerinde herhangi iki obje arasında üstünlük derecesini karakterize etmek için yukarıdaki tanıma bazı sınırlamalar getirilmesi gerekmektedir. Mesela; a x

 

_i i den U



x x x x x x x x₁, ₂, ₃, ₄, ₅, ₆, ₇, ₈



ve AT 

 

a olsun. Üstünlük sınıflarının tanımından,

 

x1 _{ }a



x x x x x x x x1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8



  ,

 

x₅ _{ a} 



x x x x₅, ₆, ₇, ₈



,

 

x_{7  }_a 



x x₇, ₈



,

 

x8 _{ }a

 

x8  