GEOMETRİK
PROGRAMLAMANIN PAZARLAMA
PROBLEMİNE
UYGULANMASI
Tuncay CAN* Abstract
The survival and growth of many industries is determined not only by their relative production and fınancial capabilities but also by their marketing deci-sions. Firms must provide customers with new products exhibiting a marginal utility greater than that of rival products. However, the development of new products is costly and risky; money may be spent finding new product ideas that are technically infeasible or commercially unsuccessful. Therefore, management must decide which marketing variables most influence a customer's perceived utility and determine the optimal mix of these variables. Here a mathematical model that relates the marketing decision variables of a particular company is constructed. The problem of maximizing the associated profits is transformed into a geometric program and the technique of geometric programming is used to determine the optimal marketing mix (Hayes, 1975 : 309).
GİRİŞ
Endüstri işletmelerinde ortaya çıkan sorunların incelenerek çözülebilmesi ıçın niceliksel yaklaşımlara gerek vardır. Fakat bu tür sorunların incelenip çözülebilmesi için işletme ve yönetimin işbirliği gereklidir. Kişiler günlük hay-atta karar verme ve kararı uygulama durumu ile her zaman karşılaşmaktadırlar. Çoğu zaman kişisel kararların bile çok güç alındığı gözlenir.
Özellikle büyük işletmelerde ortaya çıkan sorunların çözümünde yöneti-ciler karar verme durumu ile karşı karşıya kalırlar ve bu tip işletmelerde karar verme çok daha zor ve önemlidir. Çünkü verilecek olan kararların yerinde ve geçerli olması işletme açısından büyük öneme sahiptir. Bu nedenle yönetim · Yrd.Doç.Dr. M.Ü. İ.İ.B.F. Ekonometri Bölümü
sorunlarına mantıksal bir yaklaşım ve bilimsel bir yöntemle çözüm bulmak ve karar vermek gerekir. İşletme önceden belirlenen amaçlara en iyi biçimde ulaş mak için işleve geçireceklerini planlamak ve planları uygulamak gerekir. Bu aşa
mada yöneticilerin işbirliği ve kararları sözkonusudur. Çünkü yöneticilerin vere
-ceği kararlar farklı yönlerde olabilir. Sorun belirlendikten sonra matematiksel modelin kurulması, Yöneylem Araştırması ekibinin görevidir. Çalışmamız yöneylem araştırması karar modellerinden biri olan Geometrik Programlamanın (G.P.) Pazarlama Karışım Problemi'nin modellenmesi ve çözümü üzerine
yapılmıştır.
G.P. modelinin uygulanmasından elde edilen sonuçların işletme yönünden
uygunluğu modelin gerçekçi olması ile orantılıdır. Amaç kazancı maksimum
(mak.) veya maliyeti minimum (min.) yapmak ise bu amacı gerçekleştirecek bir modelin kurulması zorunludur. Burada gerçekleştirilen model, optimal pazarla-ma karışım kombinasyonunu bulup, belirli bir zaman periyodunda gözönüne alı
nan firmanın satışlarını mak. yapmak için doğrusal olmayan programlama prob-leminin (non-linear programming) özel bir sınıfını oluşturan G.P. yönteminin
uygulanması ile ilgilidir.
Pazarlama, mevcut veya olası müşterilerin taleplerini tatmin etmek amacı
ile işletme amaçlarını başaracak pazarlama bileşenlerinin planlanması, uygulan-ması ve denetimi olarak tanımlanırsa bu tanıma uygun bir pazarlama faaliyetinin iç ve dış çevre faktörleri ile kısıtlandığı görülür. İç pazarlama çevresi, pazarlama
yöneticisinin kontrol edebileceği karar değişkenlerini kapsamaktadır. Bu iç değişkenler; mal, fiyat, tutundurma ve dağıtım bileşenlerinden oluşmaktadır. Dış pazarlama çevresi ise; pazarlama yöneticisinin kısa ve uzun dönemde kontrol
edemediği sosyal, kültürel, siyasi, hukuki, iktisadi ve teknolojik çevre ile mevcut
iş düzeni, işletmenin kaynakları ve amaçları olarak sınıflandırılabilir. Pazarlama politikasını, işletme ve pazarlama amaçlarının gerçekleştirilmesi için izlenmesi
gereken genel bir hareket şekli olarak tanımlarsak, böylesi bir genel hareket şek
linin sağlıklı olarak yürütülmesi ve başarılması onun bir pazarlama planlaması içinde ele alınmasını gerektirir (Crissy and Kaplan, 1972 : 96)
Pazarlama karar değişkenleri (fiyat, kalite, reklam vb.) tüketicilerin yarar-ları doğrultusunda belirlenir. Pazarlama yöneticisinin görevi, pazarlama karar değişkenlerinin optimal kombinasyonunu bulmaktır. Bu pazarlama stratejisinin
özüdür. Bu kombinasyon ise öncelikle iç pazarlama çevresini oluşturan ve
pazarlama yöneticisinin kontrol edebileceği değişkenlere dönüktür. Pazarlama
yöneticisi her zaman tek seviyeli pazarlama bileşenlerine sahip değildir. Çok
defa birden fazla pazarlama bileşenleri kombinasyonu ile ilgilidir. Fakat bu kombinasyonlar içinde sadece bir tanesi pazarlama yöneticisinin bulmak istediği
Prof Dr. Erol Zeytinoğlu 'na Armağan
optimum pazarlama bileşenlerini verecektir ve pazarlama yöneticisinin görevi;
işletmeye belli bir mali yük (bütçe ile sınırlanmış olabilir) getiren optimum pazarlama bileşenlerini tayin etmektir.
Pazarlama yöneticisi bu pazarlama karar değişkenlerinin bazı
kombinasy-onlarına para ayırmak durumundadır. Fakat optimum kombinasyon nedir?
Ürünün fiyatının düşmesi mi, kalitenin, reklamların veya elemanların ücret· !erinin arttırılması mı? Bu ve benzeri soruları yanıtlamak için satışlar; fiyat, reklam, ücretler vb. gibi değişkenlerin bir fonksiyonu olarak tanımlanmalı ve bu fonksiyonu optimum yapmak için uygun bir metod uygulanmalıdır.
Satış fonksiyonunun tahmininde kullanılan yöntemler genellikle tecrübe, rakip ürünlerin gözlenmesi, piyasa araştırma ve soru yöntemi, çoklu regrasyon
analizi (Jain and Pinson, 1982 : 211-243), deneysel yöntem, doğrusal pr.ogram-lama (Linear Programming) şeklinde verilebilir. Bu çalışmada pazarlama
karışımı karar değişkenleri dahilinde geleceğe yönelik planlardaki satışların veya
karın maksimum olması için bu doğrultuda optimal pazarlama !çarışım karar değişkenlerini bulmaktır. Pazarlama karışım değişkenlerinin gerç~kte doğrusal olmamasından dolayı bu problemin çözümünde G.P. tekniği kullanılabilir ( Kotler, 1971 : 68-69).
PAZARLAMA KARIŞIM DEGİŞKENLERİ
Philip Kotler, satış fonksiyonunu (g0), Xi (i '"' 1,2, ... .,n) !er bağımsız değişlqmler olmak üzere
go., go {xı, X2, •.... , Xn)
şeklinde tanımlanır ( Kotler, 1971 : 55). g0 satış fonksiyonu çok değişkenli bir fonksiyondur. Çok değişkenli bir fonksiyonun optirnal vektörünü bulmak çok zordur. Çünkü optimal vektörü bulmak için g0 fonksiyonunun x; (i
=
1,2,. .. .,n) bağımsızdeğişkenlerine göre birinci mertebeden kısmi türevlerini alıp sıfıra eş.itleınek ve elde edilen doğrusal olmayan denklem sisteminden (özel halde doğıusal denklem sistemi) x;
(i = 1,2,. ... ,n) değişkenlerini bulmak gerekir. Ayrıca bu koşullar gerek koşullar olup
yeter koşular değildir. Yeter koşullan bulmak için g0 çok değişkenli fonksiyonunun ikinci mertebeden kısmi türevlerini içeren Hessian matrisini bulup, belirlilik durumunu incelemek gerekir. Ayrıca bu koşu1lar çözümün global (mutlak) optimumunu garanti etmez. Bu yaklaşım ile bulunan çözümler, mümkün veya rasyonel değildir (Negatif reklam harcamaları gibi).
Talebi etkileyen değişkenler zorunlu olarak iki kısımda incelenmektedir. Bunlardan birincisi firmanın kontrol altında tutabildiği fiyat, reklam harcamaları, ücretler ve ürün kalitesi gibi pazarlama karar değişkenleıi, ikincisi ise; yaş grupları, milli gelir, nüfus
artışı gibi firmanın kontrol altında tutamadığı pazarlama karışım değişkenleridir. Evrensel olan on tane pazarlama karışım değişkenini (Balanchandran and Gensch,
working paper; 24-72-3) tanımlayarak G.P. modelinin kurulmasını gösterelim: i) İzafi Reklam Harcamaları (Aı) :
AF A __ _ _ ı
t.
-AI,
t = l ,2, ... ,nA1 : t zaman periyodunda firmanın izafi reklam harcamaları. AF1 : t zaman periyodunda firmanın reklam harcamaları.
AI, : t zaman periyodunda toplam sektördeki reklam harcamaları.
ii) İzafi Fiyat (P1)
t = 1,2, ... ,n P l:
=
[
)/
'
i~
·
.ı
/
~-1
j=Iv
PF
Pı : t zaman periyodunda firmanın izafi fiyatı.
PF1 : t zaman periyodunda i. firma (ilgilenilen firrna) nın perakende birim satış
fiyatı.
Pj.ı : t zaman periyodunda j. finnanın perakende birim satış fiyatı.
iii) İzafi Fiyat Değişimi ( C1)
. _
PF,
-PFı-ı Üı. - - - --i
(1J
.
ı
-
lj,
i-1
)
J=I j-:F.i t = 1,2, ... ,n0
1,
eger0
1>0
,PF1
-P1'~_1
<00
-1o
1 ,eger 1>0 ,PF
1-PF,
_
1>0
Cı= ,eger01 =O ,0
.0
01
,
eger0
1<O , PF
1 -PF
1•1>O
1 O , eger O 1 ~ I O veya O 1
<
O ve PF1 -P
F;
_
1<
OOı : Bir operatör.
PFı : t zaman periyodunda i. firmanın perakende birim satış fiyatı, Pf"t_ı : (t-1) zaman periyodunda i. finnanın perakende birim satış fiyatı, Pj.(ı-ı) : (t-1) zaman periyodundaj. finnanın perakende satış fiyatı.
Prof Dr. Erol Zeytinoğlıı 'na Armağan iv) Firmanın Elemanlarına Ödenen Ücretler (Sı,l
S
S
,
s
'·
.= -
n-I,ssi
t= 1,2, ... ,n
S, : t zaman periyodunda firmanın elemanlarına ödediği ücret.
SS, : t zaman periyodunda fım1anın elemanlarına ödediği ortalama ücret. SS; : t zaman periyodunda fumanın elemanlarına ödediği toplam ücret.
v) Dağıtım (DJ.
İlgilenilen firmanın tüm sektör içindeki pazar payı oranı.
vi) Firmanın Toptancı ve Perakendecilere sağladığı Özel İndirim CTı,l
; t = 1,2, ... ,n
T, : t zaman pcriyodunda toptancı ve perakendecilere sağlanan özel indirim. R1 : t zaman periyodunda perakendecilere sağlanan özel indirim.
W,.1 : (t-1) zaman periyodunda toptancılara sağlanan özel indirim. vii) İzafi Promosyon I-Iarcamalan (Iı}
IF J·= - '
t• lI
1
t =1,2,. .. ,n
11 : t zaman periyoduııda firmanın izafi promosyon harcamaları,
IF, : t zaman periyodunda firmanın promosyon harcamaları.
II, : l zaman periyodunda toplam sektördeki promosyon harcamaları. viii) izafi Müşteri Hizmeti (W1}
ix) izafi Ambalaj Çekiciliği (Bı}
x) İzafi Kalite (Qı}
Yukarıda tammlanan değişkenler bağımsız değişkenler olup bağımlı değişken
satışlardır.
İlgilenilen fimıa F 1 ve aynı sektördeki diğer firmalarda F2 , F3 ve F4 olsun ve bu dört finna içecek sektöründe hizmet veren ve şişe kola (250 mi.) üreten firmalar olsun. Fı
firmasının satışlarını optimize etmek için ilgili F1 firmasının yukarıda açıklanan
aynı sektördeki diğer firmaların da geçmiş verilerine ihtiyaç vardır. t ay bazında bir
zaman periyodu olarak alınırsa, F 1 firması ve diğer firmaların içinde bulunulan yıldan
geriye doğru dört yıl ay bazında verileri sağladığı düşünülüp, bu veriler pazarlama
karışım değişkenlerinin formülasyonu yardımı ile düzenlenip bir veri tablosu
oluştunılur.
Örneğin satışları optimize edilecek bir fimıanın (Fı) ve diğer firmaların (F2, f 3, F4) (ın,
ııı+4) yılları arasındaki aylık reklam harcamaları bilindiğinde ilgilenilen F ı firmasının,
örneğin (m+ 1) yılının ocak ayındaki izafi reklam harcaması:
A
=
F1 in (ın + l) yılının Ocak reklam harcamasıSektör (m + 1) yılının Ocak reklam harcaması
oranı ile belirlenir.
Veri tablosu düzenlendikten sonra modelin kurulması aşamasına geçilir. b1E IR'- , ~ = (xı, x2, ••. , x0) olmak üzere;
T
gu
=
guu) =LA~
G:
)
ı=ı
(*)
şeklinde tanımlanan fonksiyona "posynoınial fonksiyon" denir. P1
u)
fonksiyonuaınE IR olmak üzere; N
Pı (2i) =
J1
xna.. ; t = 1,2, ... ,T 11=1şeklinde tanımlanır ( Bcightler and Phillips, 1976: 51). b, katsayının pozitif olması ve
Xn 'nin kuvvetlerinin doğal sayı zorunluluğunun olmamasından dolayı (*)fonksiyonu bir polinom değildir. b1 katsayılarına "ekonomik katsayılar" ve aın kuvvetlerine de
"teknolojik katsayılar" adı verilmektedir. b1 katsayıları negatif değer alırsa (*)
fonksiyonu "signomial fonksiyon" adını alır.
MODELİN KURULMASI
Pazarlama karışım değişkenlerinin doğrusal olmamasından dolayı ilgilenilen F 1
firmasının satışlarını maksimize etmek amacıyla kurulacak olan modeldeki (satış
fonksiyonundaki) terimler "posynoınial" veya "signorrıial" fonksiyon yapısında
olmalıdır. Örneğin satış fonksiyonu (g0) 1 = ~· P/' D,b. şeklinde olabilir (k, Aı. P,, D1 >
O) (Hayes, 1975 : 31 O). Amaç b1, b2 ve b3 kuvvetlerini bulmak olduğuna göre satış
fonksiyonunun doğal logaritması alınarak;
Prof Dr. Erol Zeytinoğ/ıı 'na Armağan log (g0), = logk + bılogA, + bılogP, + b3logD,
elde edilir.
logk sanş fonksiyonunda önemli bir etkiye sahip olmadığı için ihmal edilebilir. bı, bı ve
b3 katsayıları elastikiyetleri gösterir. Model kurulabilmesi için aşağıdaki adımlar izlenir:
LOGARİTMİK REGRESYON
İlgilenilen Fı firmasının satışlarını maksimize etmek amacıyla kurulacak olan amaç
fonksiyonundakj anlamlı terimler tespit edilmeden önce pazarlama karışım değişkenlerinin ve satışların doğal logaritması alınır:
loggo = Y logA, = aı log P, = Pı log C1 = c, Jog Sı = Sı logD, =d,
Böylece satışlann ve bağımsız değişkenlerin logaritmalarının veri tablosu elde edilir. Logaritmik satış fonksiyonunun her bir bağımsız değişkene göre önce birli, daha sonra
ikili, üçlü, dörtlü ve beşli olmak üzere lineer regresyon yapılır. Bu durumda;
olmak üzere 31 parametre değeri tahmin edilmiştir. Elde edilen 31 terimin istatistiksel
anlamlılık sınamasının yapılması ve ekonomik olarak değerlendirilmesi gerekir. Bu
incelemeler sonucunda anlamlı terimlerin seçilmesi gerekir.
ANLAMLI TERİMLERİN SEÇİLMESİ
Yukarıda söz edilen 31 terimin çoğu istatistiksel ve ekonomik olarak anlamsız olabilir.
Örneğin; bağımsız değişkenlerin bağımlı değişkeni açıklama derecesini gösteren R2 nin
(R2E [ 0,1]) bire yakın olması gerekir. F testi dolayısı ile sign F, T testi dolayısıyla sign
T, standart hata, Durbin-Watson testi dikkate alınmalıdır (Draper and Smith, 1981).
İstatistiksel olarak anlamlı olmasına karşın ekonomik olarak anlamsız terimler de
olabilir. Negatif reklam harcamaları buna bir örnektir. Anlamlı olan terimler böylece
tespit edilir. Terimlerin posynomial veya signomial fonksiyon yapısında olması
gerektiğinden logaritmik fonksiyonun anti-logaritması alınarak terimler posynomial
veya signoınial fonksiyon haline getirilir. Son olarak aşağıdaki adıma geçilir:
AŞAMALI ÇOKLU REGRESYON
terimlerin birbirinden bağımsız olmaları gerekmektedir (Balachaııdran and Gensh, 1974 : 165-166). Böylece anlamlı terimler arasında aşamalı çoklu regresyon yapılarak
bağımlı değişken olan satışları en iyi açıklayan terimler tespit edilir.
Bu çalışmada önemli olan Pazarlama Karışım Probleminin,G.P. ile ınodeJin nasıl
kurulduğu ve çözümün nasıl gerçekleşeceği olduğuna göre adım tarzında çoklu regresyon sonucunda elde satış fonksiyonunun;
(go)ı = -34407485,35 + 1,83987.ı oı2
s,
ı.21 D,ı·47- 9,39856. l 011
c,
0•03s/
·
27D,ı.21
olduğunu kabul edelim.
İlgilenilen F1 firmasının kısıtları aşağıdaki şekilde olsun:
0,5 $ P1 $ 1 ,2 1 $ Cı $ 10
s,
$ 0,06 D, 50,8 Pı, Cı, Sı, Dı >O MODELİN G.P. İLE ÇÖZÜMÜYukarıdaki G.P. problemi çözülmeden önce bu problem G.P. problemi minimizasyon üzerine inşa edildiği için minimizasyon problemine çevrilir:
-(go)ı = Yo
Şu halde problem;
Min: Yo = 34407485,35 + 9,39856.1011
c1
°
·
03 S1ı·27 D,ı.27+
4,65424_10 ı ı p 1o,s84 c,0.03& S11,2ı4 D1ı,8so -1,83987.lOııs
/·
27 Dıı.47 Kısıtlar: 0,5 $ P1 ::; 1,2 1 $ C1 ::;10 Sı ::; 0,06 Dı $0,8 Pı, Cı, Sı, D1 >O şeklinde yazılabilir.Ya amaç fonksiyonundaki sabit terimin etkisi yok denecek kadar az olduğu için sabit
terim bu aşamada atılabilir. Sabit terimin atılması ile yukarıdaki model; 76
Prof Dr. Erol Zeytinoğlu 'na Armağan Min: Yo= 9,39856.IOıı C1
°
·
03 S1ı· 27 0 1ı.17 + 4 ,65424_ 10ı ı p 10,584 C10.038 81 ı.2ı4 D, ı,85o - 1,83987.1012 S,1•27 D1 ıA: Kısıtlar: 0,5 $ P1 $ 1,2 1 $ Cı $ 10s
,
$ 0,06 Dı $0,8 P,, Cı, Sı, D, >Omodeline indirgenmiş olur.
Problemin çözümüne geçmeden önce aşağıdaki adımlar izlenmelidir:
(i) Amaç fonksiyonundaki P1 değişkeni tek bir terimde geçmektedir. Bu
terim.in katsayısı pozitif olup P1 nin kuvveti de pozitiftir. Amaç fonksiyonu
min. yapılmak istendiğinden P1 değişkeni ne kadar küçük değer alırsa amaç
fonksiyonunun o kadar küçük değer aldığı görülür. P1 değişkeninin
alabileceği en küçük değeıin 0,5 olduğu görülür. Dolayısıyla P/=0,5
o.Iarak alınmalıdır.
(ii) Benzer şekilde C1 değişkenini içeren terimlerin katsayıları pozitif olup C1
değişkeninin her iki terimdeki kuvvetleri pozitiftir. Şu halde amaç
fonksiyonunu min. yapmak için C1 değişkeninin en küçük değeri olarak
c,·=1 alınmalıdır.
Şu halde bu adımların irdelenmesinden sonra G.P. problemi aşağıdaki şekilde
yazılabilir: Min: yo= 9,39856.1011 S11'27D11·27 +3,104898.1011 S,1·214D1 1 •850 - 1,83987.lOıı Sıı,210,ı,41 Kısıtlar: y1: 16,66666 S1$ 1 Bu problem; Yı : 1,25 01 $ l Sı, D, >O A Ol= 9,39856. 1011 Sı1'27 Dı1'27+3,104898.1011 Sı1'214 Dı1·850
A
02= 1,83987.1012 Sı1'27D
1 1 .47olarak alınırsa iki signomial fonksiyonun farkı şeklinde aşağıdaki biçimde yazılabilir:
Min : Yo =
A
oı -A
02Y2 ~ 1
Sı,Dı > O
Bu modeli çözebilmek için kısıtları signomial fonksiyon yapısına sahip signomial G.P.
problemleıinin posynomial G.P. problemleri içerisine dönüşümlerinin incelenmesi
gerekir. Şimdi ;
Min : go (?S.) = A oı (2i ) - A 02 (?S.) Kısıtlar: gm(?i) =
A mı (?i) -
A mı (IÇ);::: Og.j(~) = A il (~ ) - A jz (~) ~ ô :ıi>Ü
o=
O veyao
=
1 A ii (K) posynoınial fonksiyonlar. ,m=l,2, ... ,m , j = 1,2, ... ,jşeklinde verilen programlama problemini gözönüne alalım . Bütün geometrik
programlar yukarıdaki fommlasyon yapısında yazılabilir ( Duffin and Peterson, 1973 :
5).
Bu G.P. probleminin optimal çözümünün bir global min. noktasına sahip olması için
A 01 posynomial fonksiyonunun tek terime sahip olması ve bu terimin işaretinin pozitif
olması ve ayrıca A 02 posynomial fonksiyonların ise her birinin işaretinin negatif
olması zorunluluğu vardır. Yukarıdaki konveks olmayan programlama problemi
aşağıdaki biçimde konveks amaç fonksiyonu şekline dönüştürülebilir.
Optimalde amaç fonksiyonunun değeri pozitif ise;
~;:::go(2i) veya
formunda bir kısıt eklenir. Amaç µ0 ' ı minimize etmek olduğundan optimal değer g0 (K
) nin alt sınırından daha büyük olamaz (Beightler and Phillips, 1976 : 31 O). Optimalde
amaç fonksiyonunun değeri negatif ise burada negatif değişkenlere izin verilmeyeceği
için amaç fonksiyonu "-~"ve kısıtlar da ;
şeklinde yazılmalıdır. Her bir durum için kısıtlar iki posynomial kısıt olarak yazılabilir.
Optimalde amaç fonksiyonunun değeri pozitif ise posynomial kısıtlar;
~;::: A Ol (K) - A 02 (K) kısıtı;
şeklinde de yazılabilir veya bu son eşitsizlik;
(1)
Prof Dr. Erol Zeytinoğlıı 'na Armağan
µ·1 N+l J\. Ol (K ) ~ ) (2)
·eklinde iki kısıt olarak yazılabilir. Optimalde amaç fonksiyonunun değeri negatif ise
kısıtlar;
-il-O~ A Ol ~ ) - A 01 (K ) -il-O - Aoı(K)~-~ıN+ı~ Aoı<K)
yazılabilir ve bu son yazılan eşitsizlik ayn ayn. düşünülürse ;
veya
elde edilir. eşitsizliği ise;
µ-1N+ı Aoı(~)~l
şeklinde yazılabilir.
Bu halde amaç fonksiyonwıun değeri optimalde negatif ise posynoınial kısıtlar
aşağıdaki şekilde özetlenebilir:
(3) ve
(4)
(1), (2), (3) ve (4) posynoınial kısıtlar hakkında ayrıntılı bilgi için bakınız (Duffın and
Peterson, 1973: 6-7-8).
Yukarıdaki dönüşümler yapıldıktan sonra aşağıdaki G.P. problemi sonuçlan gösterir: Min : cr µo Kısıtlar : gm (~) = A mi (~) - A m2 (~);::: Ô gj(~) = Ajı(~) -Aj2(~) ~ô ~>O ô= O veya ô= t , m = 1,2,. .. ,(m+a) , j = 1,2,. . .,U+(l-a)) a=
{~
, optimalde amaç fonksiyonu negatif ise
, optimalde amaç fonksiyonu pozitif ise
a= {
1
-1
, optimalde amaç fonksiyonu pozitif ise
, optimalde amaç fonksiyonu negatif ise
(5) (6)
GEOMETRİK - HARMONİK ORTALAMA EŞİTSİZLİGİNİN ROL Ü
V1, V2, ... ,VN değişkenleri pozitif ve a1, a2, ... ,aN ağırlıkları negatif olmamak üzere;
eşitsizliği aritmetik, geometrik ve harmonik ortalama arasındaki ilişkiyi gösterir.
Şimdi u;
=
a;V;, ( i= 1,2, ... ,N) değişken dönüşümü uygulanırsa verilen eşitsizlik;şeklinde yazılır (Duffin and Peterson, 1972 : 536-537).
u1, u2, ••• ,uN değişkenleri de pozitif değişkenlerdir ve eşitlik ancak;
N
u; =
a
;
Lu.i
,
i = 1,2, ... ,Nj=I
olduğu zaman geçerlidir. Ayrıca burada;
(7)
(8)
eşitliği de geçerlidir. Signomial G.P. nin posynomial G.P. problemine
dönüştürülmesinde geometrik ve harmonik ortalama eşitsizliği kullanılabilinir
(Rijckaert and Martens, 1980:293). Kısıtları standart olmayan G.P.
gm (~) ;;:: 1 , m = 1,2,. .. , ın (9)
şeklinde bir veya daha fazla kısıt içerir. (9) kısıtı bilinen standart formda yazılırsa;
veya ( T
)
-
1
!u,
s
1 ı=l , m = 1,2,. . .,m (10)elde edilir. (l 0) eşitsizliğindeki u; , i
=
1,2, ... ,mProf Dr. Erol Zeytinoğlu 'na Armağan
N
b
I1
o.,.Uj = mi X,, , m = 1,2,. . .,m , i = 1,2, ... , T111 n=I
şeklindedir. (7), (9) ve (1 O) eşitsizlikleri kullanılarak aşağıdaki sonuçlar yazılabilir:
Geometrik ortalama kısıtı ;
G
ııı
(!f, !! )=tı:
[3__
)
-
a
.
~
i=I
ai
ve Hannonik ortalama kısıtı ;
Hm (!f, g )=
L
r.la
_ı_ ~.
2J
i=I U;
şeklindedir. Aynca ;
T.,
LPİ
=l i=lolduğu bilindiğine göre bu eşitlik kullanılarak a; ;
u
.
u. a· = - - ' - = - - ' - , i = 1,2,. . .,Tm ı ~ gm(~) .t..J U; i=l tanımlanabilir.Bu bilgilerin ışığı altında tekrar problemimize dönersek problemimizin optimal çözüm
vektörü;
P,• = 0,5
c
,
·
=
ısı· = 0,060000024
D,•
=
0,8şeklinde elde edilir.
Optimal çözümde izafi fiyat değişkeni olan P,· ın 0,5 ve izafi fiyat değişimi olan
c
1• ın1 olduğu görülmektedir. Şu halde fiıma bir sonraki ay ile bir önceki ay arasındaki fiyat
arasındaki fiyat artış oranı da aynı olmalıdır.
Firmanın elemanlarına ödediği ücretler S/ 0,060000024 oranında olmalıdır. D1• dağıtım
değişkeninin 0,8 olarak bulunması firmanın piyasanın %80 nine hakim olması anlamına
gelmektedir.
SONUÇ
Çalışmanın asıl amacı G.P. probleminin pazarlama karışım problemine uygulanabilir olduğunu göstermektedir. Gerçek verilerek elde edildiğinde bir firmanın pazarlama karışım değişkenleri dahilinde geleceğe yönelik planlardaki satışların ve karın
maksimum olması için bu doğrultuda optimal pazarlama karışım değişkenleri
bulunabilir.
Yapılan bu çalışmada sadece tek ürün ve tek bir fırına alınmıştır. Ancak bu çalışmak
ürün vem firmaya genişletilebilir.
KAYNAKÇA
1. Balachandran , V., and Gensh, Dennis H., "Solving the Marketing Mix
Problem" using geometric programming", Management Science, 1974, p .165-166.
2. Balachandran , V., and Gensch, Dennis H., "Solving the Marketing Mix
Problem" by Geometric Programming", Working Paper, Camegie-Mellon
University, yıl belirtilmemiş, 24-72-3.
3. Beighfler, Charles and S. Phillips, Donald T., "Applied Geometric Programming", John Wiley and Sons, ine., New York, 1976, p.51
4. Draper N.R., Smith, H., "Applied Regression Analysis" , John Wiley
and Sons, New York, 1981.
5. Duffin R.J. and Peterson, E.L., "Geometric Programming with
Signomials", Joumal of Optimization Theory and Applications, Vol.11, No. I,
1973, p.5.
6. Duffin R.J., and Peterson E.L., "Reversed Geometric Programs Treated by Harmonic Means", Indiana University Mathematics Joumal, Vol.22, No.6,
1972' p. 536-537.
7. Hayes Patrick, "Mathematical Methods in the Social and Managerial
82
Prof Dr. Erol Zeytinoğlıı 'na Armağan
ciences", John Wiley and Sons, New York, 1975, p.309.
8. Jain, Arun K., Pinson, Christian, Ratchford, Brian T., "Marketing
Re earch : Applications and Problems", John Wiley and Sons, New York, 1982,
p.211-243.
9. Kotler, Philip, "Marketing Decision Making : A Model Building
Approach", Holt, Rinehart and Winston, New York, 1971, p. 68-69.
10.Rijckaert M.J. and Martens X.M., "Comprasion of Generalized
Geometric Programming Algorithms, in : M. Avriel (ed.), Advances ın
Geometric Programming, Plenum Press, New York, 1980, p. 293.
11. William J.E. Crissy and Robert M. Kaplan, "Matrix Models for
Marketing Planning", Market Segmentation Concepts and Applications, Eds.:
James F. Engel, Henry F.Fiorillo and Murray A. Cayley, New York : Holt
