Çok dönemli planlama çevreninde modüler kapasiteli ana dağıtım üssü yer seçimi ve ana dağıtım üssü ağı tasarımı problemleri

ÇOK DÖNEML PLANLAMA ÇEVRENNDE MODÜLER KAPASTEL ANA DA‡ITIM ÜSSÜ YER SEǝM VE ANA

DA‡ITIM ÜSSÜ A‡I TASARIMI PROBLEMLER

YUSUF SEÇERDN

YÜKSEK LSANS TEZ

ENDÜSTR MÜHENDSL‡ ANA BLM DALI

TOBB EKONOM VE TEKNOLOJ ÜNVERSTES FEN BLMLER ENSTTÜSÜ

ARALIK 2013 ANKARA

Fen Bilimleri Enstitü onay

Prof. Dr. Necip CAMU“CU Müdür

Bu tezin Yüksek Lisans derecesinin tüm gereksinimlerini sa§lad§n onaylarm.

Prof. Dr. Tahir HANALO‡LU Anabilim Dal Ba³kan

YUSUF SEÇERDN tarafndan hazrlanan ÇOK DÖNEML PLANLAMA ÇEVRENNDE MODÜLER KAPASTEL ANA DA‡ITIM ÜSSÜ YER SEǝM VE ANA DA‡ITIM ÜSSÜ A‡I TASARIMI PROBLEMLER adl bu tezin Yüksek Lisans tezi olarak uygun oldu§unu onaylarm.

Yrd. Doç. Dr. Sibel ALUMUR ALEV Tez Dan³man

Tez Jüri Üyeleri

Ba³kan : Doç. Dr. Bülent TAVLI

Üye : Yrd. Doç. Dr. Ay³egül ALTIN KAYHAN

TEZ BLDRM

Tez içindeki bütün bilgilerin etik davran³ ve akademik kurallar çerçevesinde elde edilerek sunuldu§unu, ayrca tez yazm kurallarna uygun olarak hazrlanan bu çal³mada orijinal olmayan her türlü kayna§a eksiksiz atf yapld§n bildiririm.

Üniversitesi : TOBB Ekonomi ve Teknoloji Üniversitesi

Enstitüsü : Fen Bilimleri

Anabilim Dal : Endüstri Mühendisli§i

Tez Dan³man : Yrd. Doç. Dr. Sibel ALUMUR ALEV Tez Türü ve Tarihi : Yüksek Lisans  Aralk 2013

Yusuf SEÇERDN

ÇOK DÖNEML PLANLAMA ÇEVRENNDE MODÜLER KAPASTEL ANA DA‡ITIM ÜSSÜ YER SEǝM VE ANA

DA‡ITIM ÜSSÜ A‡I TASARIMI PROBLEMLER

ÖZET

Bu çal³mada, çok dönemli planlama çevreninde modüler kapasiteli ana da§tm üssü (ADÜ) yer seçimi ve ADÜ a§ tasarm problemleri ele alnmaktadr. Problemde, her dönemde, ADÜ'lerin yerleri ve kapasiteleri belirlenmekte, ADÜ a§ tasarm, atama ve ak³ gönderme kararlar verilmektedir. Tek ve çok atamal iki durum için kar³k tamsayl do§rusal programlama modelleri geli³tirilmi³tir. Ayrca, modeller için çe³itli geçerli e³itsizlikler önerilmektedir. Modellerin amaç fonksiyonunda, ADÜ kurmann sabit maliyeti, ADÜ ba§lants i³letme maliyeti, kapasite modülü kurma maliyeti, ADÜ'lerdeki operasyonel maliyet ve ula³m maliyetinden olu³an toplam maliyet enküçüklenmektedir. Her dönemde yeni bir ADÜ kurulabilmekte ve mevcut bir ADÜ'nün kapasitesi arttrlabilmektedir. ADÜ kapasitelerinin modüler oldu§u ve her dönemde her ADÜ'ye en fazla bir ka-pasite modülü kurulabilece§i varsaylmaktadr. Modeller, CAB veri kümesindeki 15 ve 25 dü§ümlü, 5 dönemli problemler üzerinde test edilmektedir. Bunun yan sra, önerilen geçerli e³itsizliklerin performanslar incelenmektedir. Çok dönemli planlama yakla³mnn avantaj, zayf de§er ve güçlü de§er ³eklinde önerilen iki de§er kavram aracl§yla ölçülmektedir.

University : TOBB University of Economics and Technology

Institute : Institute of Natural and Applied Sciences

Science Programme : Industrial Engineering

Supervisor : Asst. Prof. Sibel ALUMUR ALEV

Degree Awarded and Date : M.Sc.  December 2013

Yusuf SEÇERDN

MULTI-PERIOD HUB LOCATION AND HUB NETWORK DESIGN PROBLEMS WITH MODULAR HUB CAPACITIES

ABSTRACT

In this study, multi-period hub location and hub network design problems with modular hub capacities are considered. This problem decides on the locations and the capacities of hubs, the design of the hub network, the allocation of demand nodes to hubs and the routes of ow in each period. Mixed-integer linear programming formulations are developed for both the single and the multiple allocation versions of the problems. Furthermore, several sets of valid inequalities are proposed for enhancing the models. The objective of the models is to minimize total costs which consist of ow routing cost, hub operating cost, hub and hub link establishment costs, and capacity establishment cost. It is possible to establish a new hub and expand the capacity of an existing hub in each period during the planning horizon. It is assumed that capacities of the hubs are modular and at most one capacity module can be established for each hub in each period. Models are solved on test problems with 5-periods that are generated from the CAB data set with 15 and 25 nodes. In addition, computational performance of the proposed valid inequalities are analyzed. The value of the multi-period approach is determined using the proposed weak and strong value of the multi-period solution.

Keywords: Capacitated hub location, multi-period planning, hub network design.

TE“EKKÜR

Tezimi okuyarak de§erlendiren ve tavsiyelerde bulunarak katk sa§layan de§erli hocalarm Doç.Dr. Bülent TAVLI ve Yrd.Doç.Dr. Ay³egül ALTIN KAYHAN'a, Tez çal³masna ba³lad§mz ilk günden beri deste§ini hiç esirgemeyen, yurtiçinde ve yurtd³nda düzenlenen konferanslara katlma iste§ime destek olan, koordinas-yon kurulunda yer ald§ EWGLA grubunun üniversitemizde organize edilen 20. oturumunun hazrlk ve düzenleme a³amasnda görev vererek bana bir konferans yakndan gözlemleme frsat veren, toplantlar srasndaki önemsiz olumsuzluklar unutturacak ³ekilde osinden her zaman gülümseyerek u§urlayan tez dan³manm ve de§erli hocam Yrd.Doç.Dr. Sibel ALUMUR ALEV'e,

Yüksek lisans ö§renimim boyunca, maddi ve manevi destek olan, dersler kap-samndaki projeler için takm arkada³larmla geç saatlere kadar gerçekle³tirmek zorunda kald§mz çal³malarm Yine mi proje! diye kar³layan, üç yl boyunca evde neden oldu§um da§nkl§ ufak sitemler d³nda anlay³la kar³layan AN-NEME ve ailemin di§er fertlerine,

Ve dersler, konferanslar, seminerler gibi akademik etkinliklerin yan sra sosyal açdan da ö§renimimiz boyunca güzel vakit geçirdi§imiz arkada³larma te³ekkürü bir borç bilirim.

çindekiler

1 GR“ 1

2 LTERATÜR TARAMASI 5

3 PROBLEM TANIMI VE MATEMATKSEL MODEL 16

3.1 Problem Tanm . . . 16

3.2 Problem Parametreleri . . . 19

3.3 Tek Atamal Problem için Matematiksel Model . . . 21

3.4 Çok Atamal Problem için Matematiksel Model . . . 25

3.5 Geçerli E³itsizlikler . . . 30

4 DENEYSEL ÇALI“MA VE SONUÇLAR 33

5 ÇOK DÖNEML PLANLAMANIN AVANTAJI 50

6 SONUÇLAR VE DE‡ERLENDRME 56

“ekil Listesi

1.1 Hizmet verilen a§ çe³itleri. . . 2

2.1 Ak³ çe³itleri. . . 6

2.2 Atama kurallar. . . 7

4.1 CAB veri kümesi. . . 33

4.2 Tek atamal problem sonuçlar. . . 47

Tablo Listesi

2.1 Çok dönemli ADÜ yer seçimi çal³malarnn kar³la³trlmas. . . . 15

4.1 CAB veri kümesindeki dü§ümler ve temsil ettikleri ³ehirler. . . 34

4.2 CAB veri kümesi ve ilgili parametre de§erleri. . . 34

4.3 Geçerli e³itsizlikler ile çözüm sürelerinin kar³la³trmas. . . 37

4.4 Tek atamal problemde geçerli e³itsizliklerin etkileri. . . 40

4.5 Çok atamal problemde geçerli e³itsizliklerin etkileri. . . 41

4.6 Tek atamal problem sonuçlar. . . 43

4.7 Çok atamal problem sonuçlar. . . 43

4.8 25 dü§ümlü problemlerdeki kapasite kararlar. . . 46

1. GR“

Küreselle³me ile birlikte ülkeler ve ktalar aras ticaretin artmas yük ve yolcu ta³macl§na olan ihtiyacn da artmasna neden olmu³tur. Ta³macl§a olan ihtiyacn artmasyla ta³maclk giderleri de artm³, bu durum ta³maclk fa-aliyetlerinin daha etkin bir ³ekilde yönetilmesini gerekli klm³tr. Literatürde ana da§tm üssü (ADÜ) olarak adlandrlan tesis ya da yaplarn kullanlmas sayesinde ta³maclk faaliyetleri daha etkin bir ³ekilde gerçekle³tirilebilmektedir. Bulunduklar a§da bir ara durak noktas i³levi gören ADÜ'ler, ayn zamanda gelen ak³ birle³tirme, sralama ve ayr³trma gibi fonksiyonlara sahiptir. ADÜ'ler sayesinde farkl talep noktalarndan gelen ve birle³tirilen ak³ büyük miktarlar halinde ta³nmakta ve ölçek ekonomisinden yararlanlmaktadr. Böylece, a§daki tüm talep noktalar arasnda do§rudan ba§lant kullanmak yerine (“ekil 1.1(a)), ADÜ'lerden yararlanlmasyla daha az ba§lant kullanlarak talep kar³lanabil-mektedir (“ekil 1.1(b)). Daha az ba§lant kurulmas ve ak³n ADÜ'ler arasnda büyük miktarlar halinde ta³nmas sonucunda ortaya çkan ölçek ekonomisi karar vericiye maliyet avantaj sa§lamaktadr .

Kurulacak ADÜ'lerin yerlerinin belirlenmesi problemine literatürde ADÜ yer seçimi problemi ad verilmektedir. Bu problemde, ADÜ'lerin yer seçimi kararlar d³nda karar vericinin almas gereken iki önemli karar daha bulunmaktadr. Bunlardan ilki, a§da ADÜ olmayan dü§ümlerin, di§er deyi³le talep noktalarnn, hizmet alacaklar ADÜ'lerin belirlenmesidir. Literatürde, atama kararlar olarak adlandrlan bu karar sonucunda tüm talep noktalar en az bir ADÜ'ye atanr ve herhangi bir talep noktasna gelen ve giden ak³ bu ADÜ'ler aracl§yla gönderilir. Problemde verilmesi gereken di§er önemli bir karar ise yerleri belirlenen

(a) Do§rudan ba§lantlarla hizmet verilen a§. (b) ADÜ'ler ile hizmet verilen a§. “ekil 1.1: Hizmet verilen a§ çe³itleri.

ADÜ'ler kullanlarak a§daki tüm ak³n ba³langç ve biti³ noktalar arasnda ula³trlmasdr.

ADÜ'lerden hem ta³maclk hem de telekomünikasyon a§larnda yararlanlmak-tadr. Ta³maclk sektöründe ADÜ'ler, hava, deniz ve karayolu yük/yolcu ta³ma-cl§, posta da§tm ve ³ehir içi toplu ta³ma a§larnda sklkla kullanlmaktadr. Yük ve kargo ta³macl§nda transfer merkezleri, yolcu ta³macl§nda merkezi istasyonlar ve aktarma merkezleri ADÜ görevi görmektedir. Bu noktalarda yolcu-lar (veya yükler) nispeten daha büyük araçyolcu-lara aktarlmakta yani birle³tirilmekte ve/veya ayr³trlmakta dolays ile bu noktalar ADÜ görevi görmektedir. Ta³ma-clk a§larndaki kara ve demir yollar ilgili ADÜ ba§lantlarn olu³turmaktadr. Telekomünikasyon a§lar veri, ses ve görüntü iletimi için kullanlan bilgisa-yar, telefon ve internet a§larn içermektedir. Anahtar (switch), yo§unla³trc (concentrator), geçit (gate), yönlendirici (router) ve çoklayc (multiplexor) gibi elektronik cihazlar telekomünikasyon a§larnda kullanlan ADÜ'lere örnek olarak verilebilir. Bu cihazlar, ta³maclk a§nda oldu§u gibi a§daki ileti³im noktalar arasnda akan verinin birle³tirilmesi, toplu halde ta³nmas ve ayr³trlmas için kullanlmaktadr. Veri iletimine ili³kin talep, telefon ³ebekeleri, ber-optik a§lar gibi ziksel ba§lantlar veya uydu ve mikrodalgalar a§lar gibi kablosuz ba§lantlar aracl§yla kar³lanmaktadr [9, 12, 22].

Ta³maclk ve telekomünikasyon a§larnda kar³la³lan ADÜ yer seçimi problem-leri benzerlik gösterse de sektörler arasnda önemli farkllklar da bulunmaktadr.

Bu farkllklardan en önemlisi a§ üzerinde ta³nan nesnedir. Ta³maclkta ziksel bir ula³trma (yük veya yolcu) yaplrken, telekomünikasyon a§larnda soyut bir ula³trma yaplmaktadr. Bu nedenle, ula³m maliyetleri birbirinden oldukça farkldr. Ayrca, ta³ma yaplrken, a§lar üzerindeki birle³tirme ve ayr³trma fonksiyonlar ile ula³trma açsndan farkl prosedürler uygulanmaktadr. Bu durum, ADÜ yer seçimi probleminin uygulanaca§ sektöre göre, farkl kstlarla farkl ³ekilde modellenmesini gerektirmektedir. Ula³m yaplan nesnenin ve maliyetin farkl olmas çözülecek problemlerin amaçlarn da de§i³tirmektedir. Ta³maclk sektöründe ula³m maliyeti veya süresi önemli iken, telekomünikasyon sektöründe a§n kurulmas için gereken sabit maliyet, a§da ya³anabilecek olas gecikme ve yo§unluklar karar vericinin daha çok önem verdi§i ölçütlerdir [12]. Bu tez çal³mas kapsamnda ta³maclk sektöründeki problemler ele alnmaktadr. ADÜ yer seçimi problemleri, gerçek hayatta genellikle stratejik karar verme süreci kapsamnda ele alnmaktadr. Bu nedenle, üretim planlama, araç ro-talama gibi daha çok günlük veya haftalk ³ekilde, yani ksa vadede, ele alnan problemlerden farkl olarak sonuçlarndan daha uzun bir süre boyunca yararlanlmas beklenmektedir. Bir bölgede ADÜ kurulacak noktalara karar verilmesi, birçok örnekte ADÜ'lerin in³a edilmesi, bu tesislerin gerekli ekipman ve personelle donatlarak i³ler hale getirilmesi, karar verici için maliyetli ve zaman alc bir süreçtir. Bu nedenle, ADÜ yer seçimi probleminin sonuçlarnn karar verici tarafndan uzun vadede de§i³tirilmeden kullanlmas beklenmektedir. Fakat sonuçlarn de§i³tirilmeden kullanld§ bu uzun süre zarfnda problem parametrelerini olu³turan talep ve maliyet gibi verilerde de§i³iklikler ya³anmas kaçnlmazdr. Bu de§i³iklikler sonucunda sadece planlama çevreni ba³ndaki verilerle elde edilen sonuçlarn maliyet enküçüklenmesi veya kar enbüyüklenmesi gibi amaçlar için planlama çevreni sonunda optimal olmamas olasdr. Bu nedenle, bu tezde ADÜ yer seçimi kararlar içeren problemlerin, tek dönemli planlama yakla³m yerine verilerde beklenen olas de§i³iklikleri göz önünde bulunduran çok dönemli planlama yakla³m ile incelenmesi önerilmektedir. Ta³maclk sektöründe, ³ehrin yeni imara açlan ya da kentsel dönü³üm proje-leriyle nüfusu artan bölgelerine geni³letilmesi istenilen toplu ta³ma a§lar veya yeni bir pazara açlma hede olan bir rmann lojistik a§ için yaplacak planlama

bu tezde çal³lan çok dönemli ADÜ yer seçimi problemine verilebilecek en iyi örneklerdir.

Bu tez çal³mas alt ana bölümden olu³maktadr. kinci bölümde literatür tara-mas yer almaktadr. ADÜ yer seçimi literatürünün genel hatlaryla özetlendi§i bu bölümde, ayrca çok dönemli ADÜ yer seçimi çal³malar da incelenmektedir. Üçüncü bölümde, bu çal³mada ele alnan problem tanmlanmakta ve bu problem için geli³tirilen matematiksel modeller sunulmaktadr. Dördüncü bölümde, geli³-tirilen modellerin tasarlanan test problemleri üzerinde analiz edildi§i deneysel çal³ma ve sonuçlar anlatlmaktadr. Çok dönemli ADÜ yer seçimi problemi için önerilen planlama yönteminin avantaj be³inci bölümde incelenmektedir. Son olarak altnc bölümde, bu tez çal³mas için genel bir de§erlendirme yaplmakta ve gelecekte yaplabilecek olas çal³malardan bahsedilmektedir.

2. LTERATÜR TARAMASI

ADÜ yer seçimi problemleri, yolcu, yük veya veri ak³ talep eden noktalarn arasndaki talebin ADÜ'ler üzerinden gönderilebilmeleri için ADÜ kurulacak olan noktalarn belirlenmesi ile ilgilenmektedir. ADÜ'lerin yerleri belirlendikten sonra ADÜ olmayan noktalarn (talep dü§ümleri) hizmet alacaklar ADÜ'lere atanmas ve tasarlanan bu a§ üzerinde (ADÜ'ler arasnda), talep edilen ak³n tamamnn ba³langç noktalarndan biti³ noktalarna gönderilmesini ele almaktadr. Bunu gerçekle³tirirken de, talep dü§ümleri arasndaki mesafe, süre vs. gibi ba³langçta bilinen bir veri ile hesaplanacak toplam maliyeti enküçüklemeyi amaçlamaktadr. Bir ADÜ yer seçimi probleminin çözülmesiyle tasarlanan a§ iki bölümden olu³maktadr. ADÜ'ler ve ADÜ'ler arasndaki ADÜ ba§lantlarndan olu³an a§a ADÜ (alt) a§, ADÜ'ler ile talep dü§ümlerinin arasndaki ba§lantlar içeren a§a ise atama alt a§ ad verilmektedir. Bir ADÜ yer seçimi probleminin sonucunda tasarlanan a§ üzerinde gönderilen ak³n rotas üç bölüm halinde incelenmektedir. Ak³n ba³lad§ talep dü§ümünden, o talep dü§ümünün atand§ ADÜ'ye birle³tirme i³lemi için gönderilen ve “ekil 2.1'de mavi renkle gösterilen ak³a birle³tirme ak³ ad verilmektedir. Rotas üzerinde u§rad§ son ADÜ'den biti³ noktas olan talep dü§ümüne gönderilen ve “ekil 2.1'de sar renkle temsil edilen ak³ da§tm ak³dr. ADÜ'ler arasnda ADÜ ba§lantlar üzerinde gönderilen ve ölçek ekonomisine tabi olan ak³ ise transfer ak³ olarak isimlendirilmektedir (“ekil 2.1'de krmz renkle betimlenmektedir).

ADÜ yer seçimi literatüründe, sklkla kullanlan üç temel varsaym bulun-maktadr. Birinci varsayma göre, ADÜ a§nn tam serim bir a§ olmas, yani a§da kurulan her ADÜ çifti arasnda bir ADÜ ba§lantsnn da kurulmu³

“ekil 2.1: Ak³ çe³itleri.

olmas gerekmektedir. kinci varsaym ADÜ'lerin a§a kazandraca§ avantajlar ile ilgilidir. ADÜ a§nda, ADÜ ba§lantlar üzerinde ta³nan ak³ için ölçek ekonomisinden yararlanlmaldr. Son varsaym da, atama alt a§nda, iki talep dü§ümü arasnda ADÜ'ye u§ramayan do§rudan bir ba§lantnn bulunmamasdr. Talep dü§ümleri en az bir ADÜ'ye u§rayan rotalar üzerinden birbirlerine ak³ gönderebilirler. Literatürdeki ADÜ yer seçimi problemlerinde, aksi belirtilmedikçe bu üç varsaymn da sa§land§ kabul edilmektedir.

lk olarak yakla³k yirmi be³ yl önce O'Kelly [32] ile çal³lmaya ba³lanan ADÜ yer seçimi problemleri çe³itli snara ayrlmaktadr. Snandrmada kullanlan özellikler arasnda probleme ait çözüm kümesinin biçimi, talep dü§ümlerinin ADÜ'lere atanmas kural, kurulacak ADÜ says, ADÜ'lerle ilgili kapasite kstlar ve problemin amaç fonksiyonu bulunmaktadr.

Literatürdeki çal³malarda ADÜ yer seçimi problemi ayrk veya sürekli çözüm kümesi üzerinde ele alnabilmektedir. Ayrk ADÜ yer seçimi problemlerinde, ADÜ'lerin seçilebilece§i önceden belirlenmi³ ayrk bir küme bulunmaktadr. Sürekli ADÜ yer seçimi probleminde ise ADÜ'ler düzlemdeki herhangi bir noktaya kurulabilmektedir.

ADÜ yer seçimi problemleri, talep dü§ümlerinin hizmet alacaklar ADÜ'lere atanma esasna göre tek atamal ve çok atamal olmak üzere ikiye ayrlmaktadr.

Tek atamal ADÜ yer seçimi probleminde her talep dü§ümü yalnzca tek bir ADÜ'ye atanmakta, bu dü§ümde ba³layan ve biten ak³n tamam, dü§ümün atand§ ADÜ üzerinden gönderilmektedir (“ekil 2.2(a)). Çok atamal ADÜ yer seçimi probleminde ise, bir talep dü§ümüne birden fazla ADÜ hizmet verebilmektedir (“ekil 2.2(b)).

(a) Tek atama kural. (b) Çok atama kural. “ekil 2.2: Atama kurallar.

ADÜ yer seçimi problemlerinde kurulacak olan ADÜ says önceden belirlenmi³ olabilir. Önceden belirlenen bir sayda ADÜ kurulan problemlere literatürde p-ADÜ yer seçimi problemleri ad verilmektedir. Bu problemlerde, açlmas istenen ADÜ saysnn (p), karar verici tarafndan belirlenmesi gerekmektedir. Bunlarn d³nda, kurulacak ADÜ saysnn do§rudan matematiksel model tarafndan karar verildi§i problemler de bulunmaktadr. Bu problemlerde kurulacak ADÜ says çözümün bir parçasdr.

ADÜ yer seçimi problemleri, ADÜ'lerin kapasiteli veya kapasitesiz olma durumla-rna göre de ikiye ayrlmaktadr. Ele alnan problemlerde ADÜ'lerle ilgili herhangi bir kapasite kst bulunmayabilece§i gibi ADÜ'lere u§rayan ve/veya i³lem gören toplam ak³ için bir kapasite snr bulunabilir.

Ele alnan varsaymlar ve uygulama alanlarna göre literatürde farkl ADÜ yer seçimi problemleri üzerine farkl çal³malar bulunmaktadr. Sklkla çal³lan ADÜ yer seçimi problemleri arasnda, p-ADÜ ortanca problemi, sabit maliyetli ADÜ yer seçimi problemi, p-ADÜ merkez problemi, ADÜ kaplama problemi, ADÜ ayrt yer seçimi problemi ve ADÜ a§ tasarml ADÜ yer seçimi problemi bulunmaktadr.

p-ADÜ ortanca probleminde verilen n adet talep noktasndan p tanesi ADÜ olarak belirlenir ve tanmlanan atama kuralna göre talep noktalar belirlenen ADÜ'lere atanr. p-ADÜ ortanca probleminde amaç toplam ula³m maliyetini enküçüklemektir. Bu problem için ilk matematiksel model O'Kelly [32] tarafndan önerilmi³tir. Önerilen modelde amaç fonksiyonu karesel bir yapya sahiptir ve do§rusal de§ildir. p-ADÜ ortanca problemi için sunulan ilk do§rusal tamsayl model Campbell [8] tarafndan önerilmi³tir. Bu çal³mada hem tek atamal hem de çok atamal p-ADÜ ortanca problemleri için O(n4_{) mertebesinde karar}

de§i³keni ve kstlara sahip matematiksel modeller önerilmi³tir. Skorin-Kapov vd. [33], Campbell [8] tarafndan önerilen matematiksel modellerin do§rusal gev³etmelerinin ço§unlukla kesirli sonuçlar vermesi nedeniyle, do§rusal gev³et-mesi daha sk olan yeni modeller önermi³tir. Bu modellerdeki karar de§i³keni ve kst saylar da O(n4) mertebesindedir. CPLEX ile optimal sonuçlarn

bulundu§u bu çal³ma ADÜ yer seçimi problemleri için ilk optimal çözme giri³imi olarak kabul edilmektedir. Tek atamal p-ADÜ ortanca problemi için çözüm süresi açsndan en etkin matematiksel model Ernst ve Krishnamoorthy [20] tarafndan önerilmektedir. Çok atamal p-ADÜ ortanca problemi için ise en etkin formülasyon Boland vd. [6] tarafndan önerilmektedir. Bu tez çal³masnda ele alnan problem için önerilen matematiksel modeller, Ernst ve Krishnamoorthy [20] ve Boland vd. [6] tarafndan önerilen ve literatürdeki etkin formülasyonlar oldu§u bilinen modeller temel alnarak geli³tirilmi³tir.

Açlacak ADÜ saysnn da karar verme sürecine dâhil edildi§i sabit maliyetli ADÜ yer seçimi probleminde amaç toplam ula³m ve ADÜ açma maliyetlerini enküçük-lemektir. Sabit maliyetli ADÜ yer seçimi problemi için ilk do§rusal matematiksel modeller Campbell [8] tarafndan önerilmektedir. Bu problemler literatürde hem tek atamal hem çok atamal olarak hem de kapasiteli ve kapasitesiz olarak ayr ayr incelenmektedir. Sabit maliyetli kapasiteli ADÜ yer seçimi problemleri için ilk modeller yine Campbell [8] tarafndan önerilmektedir. Aykin [4] ve Ernst ve Krishnamoorthy [21] kapasiteli problemin tek atamal biçimini ele alan di§er çal³malardr. Correia vd. [17], Ernst ve Krishnamoorthy [21]'nin önerdi§i formülasyonun alternatif optimum çözümler oldu§u durumlarda olursuz sonuçlar verdi§ini fark ederek gerekli kstlar modellemi³tir. Ba³ka bir çal³mada, Correia

vd. [16] ADÜ kapasitelerinin matematiksel model tarafndan belirlendi§i tek atamal sabit maliyetli ADÜ yer seçimi problemini ele alm³tr. Bu problemde, ADÜ'lere kurulabilecek kapasitelerin farkl seviyede oldu§u ve her bir ADÜ'ye yalnzca bir kapasite seviyesinin kurulabildi§i varsaylm³tr. Correia vd. [18] ise bu problemde ADÜ'lere atanan talep dü§ümleri için alt ve üst snrlarn bulundu§u durumu incelemi³tir.

Ebery vd. [19] ile Boland vd. [6] sabit maliyetli kapasiteli ADÜ yer seçimi prob-leminin çok atamal biçimini Campbell [8]'dan sonra ele alan di§er çal³malardr. Marín [26] ayn problemin, iki talep dü§ümü arasnda talep edilen ak³n farkl rotalara bölünebildi§i durumunu incelemi³tir. Marín vd. [27] ise sabit maliyetli çok atamal kapasitesiz ADÜ yer seçimi probleminde mesafe/maliyet matrisinin üçgen e³itsizli§ini sa§lamayan durumu için geçerli bir matematiksel formülasyon geli³tirmi³tir.

Farkl bir problem olan p-ADÜ merkez probleminde ise, toplam maliyet yerine en uzun sürede veya en yüksek maliyetle hizmet verilen iki talep noktas arasndaki servis süresinin veya maliyetin enküçüklenmesine odaklanlmaktadr. ADÜ kaplama ve p-ADÜ merkez problemleri ilk defa Campbell [8] tarafndan önerilerek literatüre girmi³ ADÜ yer seçimi problemleridir.

Herhangi iki talep noktasna önceden belirlenen bir servis seviyesinde (süre, maliyet) hizmet verilmesini sa§layan ADÜ kaplama probleminde toplam ula³m maliyetleri ile birlikte ADÜ'lerin açlmasndan kaynaklanan toplam maliyet de enküçüklenmektedir.

Literatürdeki temel varsaymlardan, ADÜ a§nn tam serim olmas varsaymnn gev³etilmesiyle ortaya çkan problemler ADÜ yer seçimi ve ADÜ a§ tasarm problemleridir. Bu problemlerde, ADÜ a§nda açlacak veya i³letilecek olan ADÜ ba§lantlarna da karar verilmektedir. Bu problemler ilk olarak O'Kelly ve Miller [31] tarafndan çal³lm³tr. Nickel vd. [30], Gelareh ve Nickel [24] ile Yoon ve Current [36] çok atamal ADÜ a§ tasarml kapasitesiz ADÜ yer seçimi problemini ele almaktadr. p-ADÜ ortanca, sabit maliyetli ADÜ yer seçimi, p-ADÜ merkez ve p-ADÜ kaplama problemlerinin tek atamal biçimini ADÜ a§ tasarmyla birlikte inceleyen ve ilk defa modelleyen çal³ma Alumur

vd. [2]'dir. ADÜ a§ tasarm kararlar, yukarda tanmlanm³ di§er problemlere eklenerek literatüre çok farkl ADÜ yer seçimi ve ADÜ a§ tasarm problemleri tanmlanm³tr [10, 11, 14, 35].

Yukarda genel hatlaryla tanmlanan tüm ADÜ yer seçimi problemlerinin baz özel durumlar istisna olmak üzere NP-Zor olarak snandrld§ bilinmektedir [1]. Farkl ADÜ yer seçimi problemleri için literatürde önerilen matematiksel modeller, geli³tirilen kesin ve sezgisel çözüm yöntemleri, problemler kapsamnda ele alnan farkl varsaymlar gibi detayl bilgilere, Campbell vd. [9], Alumur ve Kara [1] ve Farahani vd. [22] yayn taramas makalelerinden ula³labilir. Ayrca ADÜ yer seçimi literatürünün geçmi³ yirmibe³ yln ele alan, bu alann ortaya çkmasndaki motivasyonu, ADÜ yer seçimi alannn gelece§ini ve eksikliklerini tart³an Campbell ve O'Kelly [12] çal³mas da okuyucular için yol gösterici bir kaynak olabilir.

Literatürde ADÜ yer seçimi problemleri ele alnrken sklkla kullanlan üç önemli veri kümesi bulunmaktadr. Literatürün en eski veri kümesi olan ve ksaca CAB olarak adlandrlan veri kümesi, ilk kez O'Kelly [32] tarafndan kullanlm³tr. ABD'deki 25 ³ehir arasnda 1970 ylnda Sivil Havaclk Kurulu (Civil Aeronatics Board) tarafndan olu³turulan, havayolu yolcu ta³macl§ verilerine dayanmaktadr. CAB'den sonra en fazla kullanlan ikinci veri kümesi Sidney'deki 200 bölgenin 1993 ylndaki Avustralya Posta Servisi verilerini içeren AP veri kümesidir. Bu veri kümesi Ernst ve Krishnamoorthy [20] tarafndan literatüre kazandrlm³tr. Son veri kümesi ise Tan ve Kara [34] tarafndan literatüre kazandrlan Türkiye veri kümesidir. Bu veri kümesinde kargo sektö-rüne ili³kin Türkiye'nin 81 ilindeki veriler bulunmaktadr. Bu üç veri kümesi arasnda dü§üm saylar haricinde ba³ka farkllklar da bulunmaktadr. AP ve TR veri kümelerinde dü§ümler arasndaki ak³lar simektrik de§ilken, CAB veri kümesindeki ak³lar simetriktir. çerdikleri maliyet parametreleri açsndan da veri kümeleri birbirlerinden farkllklar göstermektedir. Üç veri kümesine de OR Kütüphanesi [5]'nden ula³labilmektedir.

verme sürecinde ele alnmakta ve sonuçlarndan uzun bir süre boyunca yararlanl-mas dü³ünülmektedir. ADÜ yer seçimi probleminin sonuçlarnn geçerli oldu§u uzun süre boyunca verilerde meydana gelebilecek de§i³ikliklerin de göz önünde bulundurulabilmesi için, bu tezde problemin çok dönemli bir ³ekilde modellenmesi önerilmektedir. Bu noktadan hareketle, literatür taramas bölümünün kalan ksmnda problemi çok dönemli bir ³ekilde ele alan çal³malara odaklanlmaktadr. Literatürde çok dönemli ADÜ yer seçimi problemini ele alan yalnzca üç çal³ma bulunmaktadr. Bu çal³malar Campbell [7], Gelareh [23] ve Contreras vd. [13]'dir. Çok dönemli ADÜ yer seçimi problemi ilk kez Campbell [7] çal³masnda ele alnm³tr. Çal³mada, talebin yo§unlu§unun artt§ sabit bir bölgede hizmet veren bir nakliyeci için, terminal ekleme ve mevcut terminalleri yeniden yerle³tirme kararlarnn ele alnd§ sürekli bir yer seçimi modeli geli³tirilmi³tir. Modelde, ula³m, terminal ekleme ve yeniden yerle³tirme maliyetlerinin toplam enküçük-lenmektedir. Ele alnan problem, çal³mann yaynland§ dönemde dinamik tesis yer seçimi problemi ³eklinde adlandrlmasna ra§men, yer seçimi yaplan tesisler olan terminaller gönderilerin depoland§ ve birle³tirildi§i noktalar oldu§u için aslnda ADÜ'ler ile ayn fonksiyonlara sahiptir. Bu nedenle, Campbell [7] çok dönemli ADÜ yer seçimi literatürünün ilk çal³mas olarak kabul edilmektedir. Problemde çok atamal durum ele alnmaktadr.

Gönderilerin ba³langç ve biti³ noktalarnn servis alan üzerinde rassal ³ekilde belirlendi§i bu problemde, gelece§e yönelik talep öngörüsü yaplmamakta anlk (current) talep kullanlmaktadr. Buna kar³n, talebin servis alanndaki tüm noktalar için sabit fakat zamanla de§i³en bir oranda artt§ kabul edilmektedir. Çal³mada, talep öngörüsü yaplmad§ için mevcut talep verisi ve terminal yerlerine dayanan üç ksa vadeli (myopic) strateji geli³tirilmi³ ve test edilmi³tir. Çal³mada, ksa vadeli stratejilerin performans ve yeniden yer seçimi yapmann önemi incelenmi³; terminal ekleme kararlar için ksa vadeli stratejilerin optimale yakn sonuçlar elde edip edemeyece§i sorusuna odaklanlm³tr. Yaplan analizler sonucunda, yeniden yer seçimi maliyeti, sabit terminal maliyetinin %25'inden fazla oldu§u durumda, yeniden yer seçimi karar almayan ksa vadeli bir strateji-nin, yeniden yer seçimi yaplan di§er bir stratejiye tercih edilece§i belirtilmi³tir.

Literatürdeki çok dönemli ikinci çal³ma olan Gelareh [23], toplu ta³ma a§la-rnda ADÜ yer seçimi problemlerini konu alan bir doktora tezidir. Tezin bir bölümünde çok dönemli, çok atamal, kapasitesiz ADÜ yer seçimi ve ADÜ a§ tasarm problemi ele alnm³tr. Bu çok dönemli problemde dört önemli varsaym bulunmaktadr. Birinci varsayma göre, karar vericinin üzerinde çal³t§ planlama çevreninin ba³nda hali hazrda i³letilmekte olan bir sistem bulun-maktadr. kinci varsaym ADÜ'ler ve ADÜ ba§lantlar ile ilgilidir. Buna göre, bir ADÜ ve ADÜ ba§lantsnn durumu planlama çevreni boyunca en fazla bir kez de§i³tirilebilir. Yani, planlama çevreni içinde i³letilmeye ba³lanan bir ADÜ veya ADÜ ba§lants planlama çevreni sonuna kadar kapatlamamakta ve planlama çevreni içinde kapatlan bir ADÜ veya ADÜ ba§lants tekrar i³letilmeye ba³latlamamaktadr.Üçüncü ve dördüncü varsayma göre, bir ADÜ veya ADÜ ba§lantsn herhangi bir dönemde i³letebilmek için bakm ve onarm maliyetine katlanmak gerekmektedir. Ayrca bir ADÜ ve ADÜ ba§lantsn kaldrmak için de kapatma maliyeti söz konusudur. ADÜ'ler için çal³anlarn yeniden e§itilmesi veya i³ten çkarlmas, toplu ta³ma a§nda hzl hatlar temsil eden ADÜ ba§lantlar için hzl tren gibi belirli araç tiplerinin ve di§er sistemlerin bo³a çkmas gibi nedenlerle tesis veya ba§lantnn i³letilmesine son verilmesinin bir maliyete neden oldu§u belirtilmi³tir.

Bu çal³mada temel modellere ek olarak mevcut kaynaklarn snrl olmas dü³ünülerek iki ilave yakla³m daha geli³tirilmi³tir. Bunlardan birincisi, srasyla her dönemde kurulabilecek toplam ADÜ ve ADÜ ba§lants saysnn birer parametreyle snrlandrlmasdr. kincisi ise, kurulacak tesis saylarn do§rudan snrlandrmak yerine her dönemde tüm aktiviteler için kullanlabilecek bir bütçe belirlenmesi ve kullanlmayan bütçeden faiz geliri kazanlmasnn sa§lanmasyla problemin bir ekonomi problemi olarak modellenmesidir. Kurulacak tesis says için bir snrlama bulunmad§nda, tesislerin kullanmndan elde edilecek fayda-nn, tesise ili³kin bakm ve onarm maliyetlerine baskn olaca§, bu nedenle de bir çok ADÜ'nün planlama çevreni içinde daha erken dönemlerde kurulabilece§i yorumu yaplm³tr. Talebin nispeten daha monoton ve homojen bir ³ekilde artt§ problemlerin bu e§ilime daha duyarl olaca§ belirtilmi³tir.

³ekilde üretilmi³ ba³langç sistemleri üzerinde yaplan deneyler srasnda ticari çözücünün 10 dü§üm ve 3 dönemden daha büyük problemlere bir haftadan daha ksa sürede içerisinde çözüm bulamad§ gözlemlenmi³tir. Bu nedenle modellerle birlikte de§i³ken azaltma tekni§i kullanlarak çözücünün 15 dü§ümlü, 3 dönemli durumlar yarm gün içerisinde ele alabilmesi sa§lanm³tr. Matematiksel modellerin ticari çözücü ile küçük problemlerde bile uzun sürelere ihtiyaç duymas nedeniyle bir yerel arama sezgisel algoritmas geli³tirilmi³tir. Geli³tirilen modelin ve yerel arama sezgiselinin performansn ölçebilmek için yaplan deneylerde 10, 15, 20 ve 40 dü§ümlü, 3, 6 ve 9 dönemden olu³an planlama çevrenine sahip 144 problem analiz edilmi³tir. Matematiksel model ile en fazla 20 dü§ümlü ve 3 dönemli problemler için optimal çözümler bulunabilmi³tir. Optimal çözümü bilinen 84 problemden elde edilen ortalamalara göre yerel arama sezgiseli en kötü durumda 33 saniyede optimal çözüme %2,06 uzaklkta bir çözüme ula³abilmi³tir. Ayrca, yerel arama sezgiseli en büyük problem olan 40 dü§ümlü 9 dönemli problem için 2 saat civarnda iyi bir çözüm bulabilmi³tir.

Çok dönemli ADÜ yer seçimi problemini konu alan bir di§er çal³ma Cont-reras vd. [13]'dir. Çal³mada, çok dönemli, çok atamal, kapasitesiz ADÜ yer seçimi problemi ele alnm³tr. Problemde, ADÜ kurma, kaldrma, i³letme ve ula³m maliyetlerinin toplam enküçüklenmektedir. ADÜ'lerin ne zaman ve nerede açlaca§ ile ne zaman kapanaca§ kararlar verilmektedir. Tüm planlama çevreni için talep hakknda öngörü yapld§ varsaylm³tr. Problem için daha önce Hamacher vd. [25] tarafndan önerilen ve sk bir formülasyon olan rota bazl formülasyon kullanlarak bir model geli³tirilmi³tir. Kullanlan rota bazl formülasyonun çok dönemli probleme uyarlanmas srasnda, karesel (do§rusal olmayan) bir amaç fonksiyonuna sahip tamsayl bir matematiksel model ortaya çkm³tr. Lagrange gev³etmesi kullanlarak karesel formülasyon için sk alt ve üst snrlar bulunabilmi³tir. Önerilen Lagrange gev³etmesi, dal-snr algoritmasnn her dü§ümünde kullanlarak etkin bir kesin çözüm yöntemi geli³tirilmi³tir. Ayrca, dal-snr algoritmasnda incelenen dü§üm saysn azaltmak amacyla ksmi birerleme kullanlm³tr.

Yaplan analizlerde AP veri kümesinden alnan statik verilerin dinamik verilere dönü³türülmesiyle elde edilen problemler kullanlm³tr. Dört farkl problem

kümesi üzerinde yaplan analizler sonucunda geli³tirilen çözüm yönteminin 100 dü§üm ve 10 döneme sahip büyük boyutlu çok dönemli ADÜ yer seçimi problemleri için optimal sonuçlar bulabildi§i gösterilmi³tir.

Çok dönemli ADÜ yer seçimi problemini ele alan ve yukarda detayl ³ekilde incelenen çal³malarn çe³itli açlardan kar³la³trlmas Tablo 2.1'de özetlenmek-tedir. Buna göre, çok dönemli ADÜ yer seçimi problemi ³imdiye kadar sadece çok atamal ³ekilde ele alnm³, tek atamal durum daha önce hiç çal³lmam³tr. Di§er önemli bir nokta ise problemde yer alan ADÜ'ler için daha önce hiç kapasite tanmlanmam³ olmasdr. ADÜ a§ tasarm kararlar sadece Gelareh [23] tarafndan ele alnmaktadr. Problemlerin amaç fonksiyonlarnda enküçüklenen maliyet kalemleri birbirlerinden farkllklar göstermektedir. Çal³malarda ge-li³tirilen modeller, sfrdan tasarlanan sistemlerin yan sra mevcut sistemlere de uyarlanabilmektedir. Geli³tirilen modellere önerilen çözüm yöntemleri üç çal³mada da birbirinden farkldr.

Tablo 2.1'in son sütununda bu tez çal³masnda ele alnan çok dönemli ADÜ yer seçimi problemi di§er çal³malarla kar³la³trlarak özetlenmektedir. Bizim çal³-mamzda, tek atamal durum çok dönemli ADÜ yer seçimi problemi kapsamnda ilk defa ele alnmaktadr. Ayrca, bu çal³mann literatürdeki di§er çok dönemli ADÜ yer seçimi çal³malarndan en önemli fark, bizim çal³t§mz problemlerde ADÜ'ler için kapasite tanmlanm³ olmasdr. Maliyet parametreleri açsndan, ADÜ'ler için geçerli sabit bir i³letme maliyeti yerine ADÜ'lerde i³lem gören ak³ ba³na bir operasyon maliyeti kullanlmaktadr.

Bir sonraki bölümde, bu çal³mada ele alnan çok dönemli ADÜ yer seçimi prob-lemi detayl bir ³ekilde tanmlanmakta ve problem için geli³tirilen matematiksel modeller ayrntl bir biçimde incelenmektedir.

Tablo 2.1: Çok dönem li ADÜ yer seç imi çal³malarnn kar³la³trlmas. Problem Özellikleri Campb ell [7] Gelareh [23] Con treras vd. [13] T ez çal³mas Çözüm uza y Sürekli A yrk A yrk A yrk A tama ku ral  Çok Çok Çok Tek & Çok ADÜ kapasiteleri -+ ADÜ a§ tasarm -+ -+ Maliy et P arametrel eri ADÜ yer seçimi -+ -+ ADÜ ba§lan ts kurma -+ -+ Ula³m + -+ ³letme -+ Çözüm yön temi Sürekli Y erel arama Lagrange gev³etmesi kulla-Ticari çözücü yakla³m sezgiseli nan dal-snr algoritmas

3. PROBLEM TANIMI VE

MATEMATKSEL MODEL

Bu bölümde, bu yüksek lisans tezi çal³mas boyunca ele alnan ve tezin temelini olu³turan ADÜ yer seçimi problemi açklanmaktadr. Ele alnan problem detayl bir ³ekilde tanmlandktan sonra problemin modellenebilmesi için ihtiyaç duyulan parametre ve karar de§i³kenleri tanmlanmaktadr. Problemin iki farkl durumu için önerilen iki kar³k tamsayl do§rusal programlama modeli incelenmekte, sonrasnda ise modeller için önerilen geçerli e³itsizlikler anlatlmaktadr.

3.1 Problem Tanm

Çok Dönemli Planlama Çevreninde Modüler Kapasiteli ADÜ Yer Seçimi ve ADÜ A§ Tasarm Problemi ile verilen ayrk bir dü§üm kümesindeki dü§ümler arasnda talep edilen ak³n tamamnn en az maliyetle gönderilmesi amaçlanmak-tadr. Planlama çevreni boyunca katlanlacak toplam maliyet en küçüklenirken, talebin kar³lanabilmesi için ADÜ'lerin yerlerinin belirlenmesi ve ADÜ a§nn tasarlanmas gerekmektedir. Problem, adnda da belirtildi§i gibi çok dönemli bir problemdir ve çözümü snrl bir süreye sahip planlama çevrenini kapsamaktadr. Ele alnan problemde, planlama çevreni boyunca her dönem ba³nda veya sonunda a³a§daki kararlar verilmektedir:

• Kurulacak olan ADÜ'lerin kapasiteleri (kapasite kararlar), • Talep dü§ümlerinin hizmet alacaklar ADÜ'ler (atama kararlar),

• Kurulacak ADÜ'ler arasnda i³letilecek ADÜ ba§lantlar (ADÜ a§ tasa-rm),

• Tasarlanm³ a§ üzerinde, talep noktalar arasndaki ak³n rotalanmas.

Problemde yukarda belirtilen kararlar alnrken planlama çevreni boyunca karar vericinin katlanaca§ toplam maliyetin en küçüklenmesi amaçlanmaktadr. Toplam maliyete dahil olan maliyet kalemleri arasnda ADÜ kurmann sabit maliyeti, ADÜ ba§lants i³letme maliyeti, ADÜ'ler için kapasite modülü kurma maliyeti, kurulan ADÜ'lerde birim ak³ ba³na operasyonel maliyet ve ak³ rotalama maliyeti bulunmaktadr. Tasarlanan a§ üzerinde ak³ rotalama maliyeti birle³tirme ak³, transfer ak³ ve da§tm ak³ maliyeti olmak üzere üç bölümden olu³maktadr. Kurulmu³ ADÜ'ler arasnda gerçekle³en transfer ak³nda büyük miktarlarda ak³ gönderildi§i ve bu sayede ölçek ekonomisinden yararlanld§ daha önce de belirtilmi³ti. Bu ak³ için kullanlacak ölçek ekonomisi paramet-resinin planlama çevreni boyunca tüm dönemlerde e³it oldu§u ve planlama çevreninin ba³nda bilindi§i varsaylmaktadr. Ayrca, planlama çevreninde tüm dönemlerdeki talep hakknda bir öngörü yapld§ ve bu verinin de planlama çevreninin ba³nda bilindi§i kabul edilmektedir.

Bu çal³mada ele alnan problem için matematiksel model geli³tirilirken yaplan di§er varsaymlar birkaç bölüm halinde anlatlmaktadr. Bunlar, planlama çev-reni, ADÜ a§, atamalar, kapasite ve ak³ ile ilgili varsaymlardr.

Planlama çevreni için geçerli varsaymlar, literatürdeki birçok çok dönemli çal³maya benzer niteliktedir. Problemde, karar verici için ele alnan planlama çevreni dönemlere bölünmü³tür ve sonlu bir süreye sahiptir. Daha önce de belirtildi§i gibi planlama çevreni boyunca tüm kararlar ilgili dönemin ba³nda veya bir önceki dönemin sonunda alnmaktadr.

ADÜ a§ ile ilgili varsaymlar problemde ADÜ'ler ve ADÜ ba§lantlar için verilen kararlar içermektedir. Bu çal³madaki problemde, planlama çevreni boyunca

tasarlanan a§da, yeni bir ADÜ kurulabilmekte fakat önceki dönemlerde kurul-mu³ mevcut bir ADÜ'nün kapatlmasna izin verilmemektedir. Gerçek hayatta ta³maclk sektöründe kar³mza çkan ADÜ a§larnda, çal³anlarn i³lerine son verilmesi gereklili§i, kullanlan alan ve ekipmann bo³a çkmas gibi nedenlerle ADÜ'lerin kapatlmasnn tercih edilmedi§i gözlemlenmi³tir. Uygulamadaki bu gözleme dayanarak, kapatma kararlar bu çal³madaki problemin kapsamna dahil edilmemi³tir. Ayrca, ADÜ a§ tasarm yaplrken planlama çevreni boyunca her dönemde ADÜ'ler arasnda farkl ADÜ ba§lantlar i³letilebilir. Bu sayede, planlama çevreni boyunca tüm dönemlerde birbirinden farkl bir a§ tasarm yaplabilmektedir.

Tek atamal ve çok atamal durumlar bu tez kapsamnda ayr ayr ele alnmakta-dr. Her iki durumda da, planlama çevreni boyunca her dönemde atama kararlar de§i³ebilir. Talep dü§ümleri her dönemde farkl bir ADÜ'den ya da ADÜ'lerden hizmet alabilmektedir.

Bu çal³mada, kapasite ile ilgili dü³ünülen varsaymlar arasnda, ADÜ kapasitele-rinin modüler oldu§u ve her ADÜ için farkl boyutlarda kapasite modüllekapasitele-rinin kurulabilece§i bulunmaktadr. Ayrca, planlama çevreni boyunca mevcut bir ADÜ'nün kapasitesi arttrlabilmekteyken, kapasite azaltlmasna izin verilme-mektedir. ADÜ kapasitelerinin modüler olarak arttrlabilmesinin nedeni birçok uygulamada tesis kapasitelerinin (üretim tesisine yeni bir hat eklemek, depoya yeni kaplar eklemek gibi) a³amal ³ekilde artmasnn bir sonucudur. Kapasiteyi ilgilendiren di§er bir varsaym da planlama çevreni boyunca her dönemde bir ADÜ'ye en fazla bir kapasite modülü kurulabilmesidir.

Ele alnan problemde literatürden farkl olarak bir ADÜ'nün kapasitesi birle³tirme ak³nn yannda transfer ak³n da kapsamaktadr. Bu problemde, ADÜ a§ tasarm da yapld§ndan, ADÜ alt a§nn her zaman tam serim olmayaca§, bu nedenle de, herhangi iki talep noktas arasndaki ak³n ikiden fazla ADÜ üzerinden gönderilebilece§i bilinmektedir. Sonuç olarak, iki talep noktas arasnda gönderilen her birim ak³n rota üzerinde u§rad§ her ADÜ'de tekrar operasyona ihtiyaç duyabilmesi nedeniyle ADÜ kapasitesine birle³tirme ak³nn yannda transfer ak³ da dahil edilmektedir.

Son olarak, ak³ ile ilgili varsaymlar dahilinde potansiyel bir ADÜ'nün srasyla kendinde ba³layan ve biten ak³n tamamn birle³tirmesi ve da§tmas gerek-mektedir. Problem kapsamnda ele alnan bu ak³ bütünlü§ü varsaym, ADÜ'ler arasnda ölçek ekonomisi ile maliyet avantaj kazandrlan tek tip ak³n (transfer ak³) rotalanabilmesinin bir sonucudur.

3.2 Problem Parametreleri

Bu ksmda, ele alnan problem için önerilen matematiksel modeller için gereken parametre ve kümelerin tanm yaplmakta, problemlerdeki kullanm amaçlarna göre bölümler halinde anlatlmaktadr.

Kümeler:

N Dü§ümler kümesi.

T Dönemler kümesi.

Problem tanmnda da belirtildi§i gibi karar vericinin planlama çevreninin ba³nda sahip oldu§u bir veri olan dü§üm kümesi ayrk bir kümedir. Planlama çevreni de sonlu bir süreye sahiptir ve birden fazla dönemden olu³maktadr.

Ak³ ve Kapasite Parametreleri: wt

ij t ∈ T döneminde, ba³langç noktas i ∈ N dü§ümü, biti³

noktas j ∈ N dü§ümü olan ak³n miktar. Ot_i =P

j∈Nw t

ij t ∈ T döneminde ba³langç noktas i ∈ N dü§ümü olan

toplam ak³ miktar. Dt

i =

P

j∈Nwtji t ∈ T döneminde biti³ noktas i ∈ N dü§ümü olan toplam

ak³ miktar.

Qk k ∈ N dü§ümüne yerle³tirilecek bir ADÜ için geçerli

Γq_k k ∈ N dü§ümüne yerle³tirilecek bir ADÜ'ye kurulacak q ∈ Qk tipi modülün kapasite miktar.

Ele alnan problem modellenirken üç ak³ parametresi kullanlmaktadr. Bun-lardan birincisi, dü§üm kümesi N'de bulunan her talep dü§ümü çifti arasnda her dönem gönderilmesi gereken ak³ miktardr. Bunun yannda bir talep dü§ümünde ba³layan, di§er bir deyi³le bir talep dü§ümünden dü§üm kümesindeki di§er tüm dü§ümlere gönderilmesi gereken, toplam ak³ miktarn gösteren bir parametre daha bulunmaktadr. Bu ak³ ilgili talep dü§ümünün atand§ ADÜ ya da ADÜ'lere birle³tirme ak³ olarak gönderilmektedir. Problem parametreleri arasndaki son ak³ parametresi ise bir talep dü§ümünde biten, di§er bir deyi³le dü§üm kümesindeki di§er dü§ümlerden bir talep dü§ümüne gönderilmesi gereken, toplam ak³ miktarn göstermektedir. Bu ak³ ilgili talep dü§ümünün hizmet ald§ ADÜ'lerden bu talep dü§ümüne gönderilmekte ve bu ak³a da§tm ak³ ad verilmektedir.

Kapasite ile ilgili iki parametre bulunmaktadr. Birincisi, ADÜ'lere kurulacak farkl boyutlardaki kapasite modüllerini içeren ve sonlu bir eleman saysna sahip olan modül tipleri kümesidir. kinci parametre ise modül tipleri kümesinde bulunan farkl boyutlardaki modül tiplerinin kapasite miktarlarn belirtmektedir.

Maliyet Parametreleri: ft

k t ∈ T döneminde, k ∈ N dü§ümüne ADÜ kurmann sabit

maliyeti. gt

kl t ∈ T döneminde, k ∈ N ve l ∈ N dü§ümleri arasnda ADÜ

ba§lants i³letme maliyeti.

hqt_k t ∈ T döneminde, k ∈ N dü§ümündeki ADÜ'ye q ∈ Qk tipi

kapasite modülünü kurmann maliyeti. pt

k t ∈ T döneminde, k ∈ N dü§ümündeki ADÜ'de i³lem gören

birim ak³ ba³na operasyon maliyeti. ct

ij t ∈ T döneminde, i ∈ N dü§ümünden j ∈ N dü§ümüne bir

α ADÜ'ler arasndaki transfer ak³ için uygulanan ölçek ekonomisi parametresi.

Problemin amaç fonksiyonun olu³turan toplam maliyet hesaplanrken maliyet kalemlerine kar³lk gelen ve modelde kullanlan alt adet maliyet parametresi bulunmaktadr. Bunlar, ADÜ kurmann maliyeti, ADÜ ba§lants i³letme mali-yeti, kapasite modülü kurma malimali-yeti, i³lem gören birim ak³ ba³na operasyonel maliyet ve ak³ gönderme maliyetidir. Bunlarn d³nda, problem tanmnda belirtilen, ADÜ'ler arasnda birle³tirilerek gönderilen transfer ak³ için kullanlan ölçek ekonomisi parametresi bulunmaktadr.

3.3 Tek Atamal Problem için Matematiksel

Mo-del

Bu bölümde, her talep dü§ümünün yalnzca tek bir ADÜ'den hizmet ald§ tek atamal problem için geli³tirilen kar³k tamsayl matematiksel modelin tüm bile³enleri detayl bir ³ekilde incelenmektedir.

Tek atamal problemin kar³k tamsayl matematiksel modeline ait karar de§i³-kenleri a³a§da tanmlanmaktadr. Modelde üçü tamsayl, biri devaml olmak üzere dört farkl karar de§i³keni bulunmaktadr. Tamsayl (ikili) de§i³kenler yer seçimi ve atama, ADÜ ba§lants i³letme ve kapasite modülü kurma kararlarn temsil etmektedir. Devaml de§i³ken ise a§ üzerinde gönderilen transfer ak³ için kullanlmaktadr.

xt ik =

(

1, e§er t döneminde i dü§ümü ADÜ k'ye atanm³sa

0, di§er durumda (i, k ∈ N, t ∈ T )

(xt

kk = 1 t ∈ T döneminde k ∈ N dü§ümünde bir ADÜ i³letildi§ini

z_klt =       

1, e§er t döneminde k ve l dü§ümlerindeki ADÜ'ler arasnda bir ADÜ ba§lants i³letiliyorsa

0, di§er durumda (k, l ∈ N : k < l, t ∈ T ) uqt_k =       

1, e§er t döneminde ADÜ k'ye q tipinde bir kapasite modülü kurulduysa

0, di§er durumda

(k ∈ N, q ∈ Qk, t ∈ T )

yit_kl = t döneminde ba³langç noktas i dü§ümü olan ve ADÜ k'den ADÜ l'ye gönderilen transfer ak³ miktar (i, k, l ∈ N, t ∈ T ).

Tek atamal problem a³a§daki ³ekilde modellenmektedir:

(P1) M in X t∈T X i∈N X k∈N ct_ikOt_ixt_ik+X t∈T X i∈N X k∈N X l∈N αct_klyit_kl+X t∈T X i∈N X k∈N ct_kiD_itxt_ik +X t∈T X k∈N pt_k(X i∈N O_itxt_ik+X l∈N X i∈N y_lkit) +X t∈T X k∈N X q∈Qk hqt_kuqt_k +X t∈T X k∈N f_kt(xt_kk− xt−1 kk ) + X t∈T X k∈N X l∈N :k<l g_klt z_klt (3.1) s. t. X k∈N xt_ik = 1 ∀i ∈ N, t ∈ T (3.2) xt_ik ≤ xt kk ∀i, k ∈ N, t ∈ T (3.3) xt−1_kk ≤ xt_kk ∀k ∈ N, t ∈ T (3.4) X q∈Qk uqt_k ≤ xt kk ∀k ∈ N, t ∈ T (3.5) X i∈N Ot_ixt_ik+X l∈N X i∈N y_lkit ≤ t X τ =1 X q∈Qk Γq_kuqτ_k ∀k ∈ N, t ∈ T (3.6) X l∈N,l6=k y_klit − X l∈N,l6=k y_lkit = O_itxt_ik−X j∈N w_ijtxt_jk ∀i, k ∈ N, t ∈ T (3.7)

z_klt ≤ xt_kk ∀k, l ∈ N : k < l, t ∈ T (3.8) z_klt ≤ xt ll ∀k, l ∈ N : k < l, t ∈ T (3.9) yit_kl+ yit_lk≤ Ot iz t kl ∀i, k, l ∈ N : k < l, t ∈ T (3.10) xt_ik ∈ {0, 1} ∀i, k ∈ N, t ∈ T (3.11) x0_kk = 0 ∀k ∈ N (3.12) z_klt ∈ {0, 1} ∀k, l ∈ N : k < l, t ∈ T (3.13) uqt_k ∈ {0, 1} ∀k ∈ N, q ∈ Qk, t ∈ T (3.14) yit_kl≥ 0 ∀i, k, l ∈ N, t ∈ T (3.15)

Tek atamal model (P1)'in amaç fonksiyonunda (3.1) planlama çevreninin tüm

dönemlerinde kar³la³lan maliyet kalemlerinin toplam enküçüklenmektedir. Bu maliyet kalemleri srasyla, birle³tirme, transfer ve da§tm ak³nn toplam rotalama maliyeti, ADÜ'lerde i³lem gören toplam ak³ için operasyonel maliyet, ADÜ'lere kapasite modülü kurma maliyeti, ADÜ kurmann sabit maliyeti ve ADÜ ba§lants i³letme maliyetlerinden olu³maktadr.

E³itsizlik (3.2) sayesinde ba³langçta bize verilen dü§üm kümesindeki her dü§üm, hizmet almas için tek bir ADÜ'ye atanmaldr. ADÜ kurulan dü§ümdeki talebin o noktada kurulan ADÜ'ye atand§ kabul edilmektedir. E³itsizlik (3.3) ise her dönemde talep dü§ümlerinin hizmet alabilmek için yalnzca kurulmu³ olan ADÜ'lere atanmasn garanti etmektedir. (3.4) e³itsizli§i, bir dönemde kurulan bir ADÜ'nün planlama çevreninin ilerleyen dönemlerinde açk kalmasn sa§lamaktadr.

ADÜ kapasitesi ve kapasite modülleri ile ilgili e³itsizlikler olan (3.5) ve (3.6)'dan birincisi planlama çevreni boyunca kurulmu³ olan bir ADÜ'ye her dönemde en fazla bir tane kapasite modülü eklenebilece§ini söylemektedir. (3.6) ise ADÜ'lere gelen ak³ için kullanlan kapasite kstlardr. Ele alnan problemde, varsaymlarda da belirtildi§i gibi, bir ADÜ'ye giren birle³tirme ve transfer ak³nn toplam ilgili ADÜ'nün kapasitesini a³mamaldr. Bununla birlikte, bir ADÜ'nün herhangi bir dönemdeki kapasitesi, o ADÜ'ye planlama çevreninin ba³ndan ilgili döneme kadar kurulmu³ olan modüllerin kapasitelerinin toplanmasyla elde edilmektedir.

(3.7) e³itsizli§i gelen ve giden ak³larn dengelenmesi amacyla kullanlmaktadr. Tasarlanan a§da kurulmu³ her ADÜ için her dönemde ak³ dengesinin sa§lanm³ olmas gerekmektedir. E³itsizli§in sol tarafndaki terimler srasyla ilgili ADÜ'den di§er ADÜ'lere gönderilen ve di§er ADÜ'lerden ilgili ADÜ'ye gelen toplam transfer ak³n temsil etmektedir. E³itsizli§in sa§ tarafndaki terimler ise srasyla ilgili ADÜ'ye atanan talep noktalarndan gelen toplam birle³tirme ak³n ve ilgili ADÜ'den yine bu ADÜ'ye atanan talep noktalarna gönderilen toplam da§tm ak³n belirtmektedir.

E³itsizlikler (3.8) ve (3.9) ile ancak kurulmu³ olan ADÜ'ler arasnda bir ADÜ ba§lantsnn i³letilebilmesi sa§lanmaktadr. Sonraki e³itsizlik olan (3.10)'a göre ise ancak i³letilmekte olan ADÜ ba§lantlar üzerinde transfer ak³nn gönde-rilebilece§i söylenmektedir. Bir ADÜ ba§lantsnn i³letilip i³letilmedi§ini belir-leyebilmek için ba§lantnn tek yönlü ya da yönsüz ³ekilde yazlmas problemin modellenebilmesi için yeterlidir. Bu nedenle, bu üç kst da sadece k < l indisleri için yazlmaktadr. Fakat i³letilen bir ADÜ ba§lants üzerinde sadece tek yönde de§il iki yönde de transfer ak³ gönderilebilmektedir. Bu nedenle, (3.10)'un sol tarafnda, iki yöndeki ak³ temsil eden iki sürekli de§i³ken toplanmaktadr. Sa§ taraftaki Ot

i parametresi de Büyük-M görevi üstlenerek kstn istenilen ³ekilde

çal³masn sa§lamaktadr. Son olarak, (3.11)-(3.15) e³itsizlikleri i³aret ve tamsay kstlardr.

Tek atamal problem için geli³tirilmi³ olan bu model, i³letilmeye sfrdan ba³lat-lacak sistemlerin yan sra halihazrda i³letilmekte olan sistemlerin geni³letilmesi için de kullanlabilir. Bunun için, (P1)'de birtakm güncellemeler yapmak

ge-rekmektedir. Öncelikle, a§da mevcut durumda ADÜ olarak i³letilen dü§ümleri gösteren bir kümeye ve i³letilen mevcut ADÜ'lerin kapasitelerini belirten bir parametreye ihtiyaç duyulmaktadr.

N0 Planlama çevreninin ba³nda ADÜ olarak i³letilen dü§ümler kümesi.

u0

k Planlama çevreninin ba³nda k ∈ N0 dü§ümünde i³letilen mevcut

Yukarda tanmlanan yeni parametrelere, planlama çevreninin ba³nda i³letilen tüm ADÜ'leri gösteren x0

kk = 1 ∀k ∈ N0 kst eklenmeli ve (P1)'deki (3.6)

e³itsizli§i a³a§daki e³itsizlikler ile de§i³tirilmelidir:

X i∈N Ot_ixt_ik+X l∈N X i∈N yit_lk≤ t X τ =1 X q∈Qk Γq_kuqτ_k ∀k ∈ N \ N0_{, t ∈ T (3.16)} ve X i∈N Ot_ixt_ik+X l∈N X i∈N y_lkit ≤ u0 k+ t X τ =1 X q∈Qk Γq_kuqτ_k ∀k ∈ N0_{, t ∈ T (3.17)}

Bir sonraki ksmda, ele alnan problemin çok atamal durumu için geli³tirilen matematiksel model sunulmaktadr.

3.4 Çok Atamal Problem için Matematiksel

Mo-del

Bu bölümde, her talep dü§ümünün birden fazla ADÜ'den hizmet alabildi§i çok atamal problem için geli³tirilen kar³k tamsayl matematiksel model incelenmektedir.

Çok atamal problemin kar³k tamsayl matematiksel modeli için kullanlan de§i³kenler a³a§da tanmlanmaktadr. Modelde üçü tamsayl, üçü de devaml olmak üzere alt karar de§i³keni bulunmaktadr. Tamsayl (ikili) de§i³kenler sra-syla, yer seçimi, ADÜ ba§lants i³letme ve kapasite modülü kurma kararlarn, devaml de§i³kenler ise tasarlanan a§ üzerinde gönderilen birle³tirme, transfer ve da§tm ak³larn temsil etmektedir. Birle³tirme ve da§tm ak³ de§i³kenleri ayn zamanda çok atamal problemdeki atama kararlarn da göstermektedir.

ξ_kt = (

1, e§er t döneminde k dü§ümünde bir ADÜ i³letiliyorsa

z_klt =       

1, e§er t döneminde k ve l dü§ümlerindeki ADÜ'ler arasnda bir ADÜ ba§lants i³letiliyorsa

0, di§er durumda (k, l ∈ N : k < l, t ∈ T ) uqt_k =       

1, e§er t döneminde ADÜ k'ye q tipinde bir kapasite modülü kurulduysa

0, di§er durumda

(k ∈ N, q ∈ Qk, t ∈ T )

xt

ik = t döneminde ba³langç noktas i dü§ümü olan ve ADÜ k'ye gönderilen

birle³tirme ak³ miktar (i, k ∈ N, t ∈ T ).

vit

lj = t döneminde ba³langç noktas i dü§ümü olan ve ADÜ l aracl§yla j

dü§ümüne gönderilen da§tm ak³ miktar (i, l, j ∈ N, t ∈ T ).

yit

kl = t döneminde ba³langç noktas i dü§ümü olan ve ADÜ k'den ADÜ l'ye

gönderilen transfer ak³ miktar (i, k, l ∈ N, t ∈ T ).

Çok atamal problem a³a§daki ³ekilde modellenmektedir:

(P2) M in X t∈T X i∈N X k∈N ct_ikxt_ik+X t∈T X i∈N X k∈N X l∈N αct_kly_klit +X t∈T X l∈N X j∈N ct_ljvit_lj +X t∈T X k∈N pt_k(X i∈N xt_ik+X l∈N X i∈N yit_lk) +X t∈T X k∈N X q∈Qk hqt_kuqt_k +X t∈T X k∈N f_kt(ξ_kt − ξt−1 k ) + X t∈T X k∈N X l∈N :k<l gt_klz_klt (3.18) s. t. X k∈N xt_ik = Ot_i ∀i ∈ N, t ∈ T (3.19) X l∈N vit_lj = w_ijt ∀i, j ∈ N, t ∈ T (3.20) ξt−1≤ ξt k ∀k ∈ N, t ∈ T (3.21)

X q∈Qk uqt_k ≤ ξt_k ∀k ∈ N, t ∈ T (3.22) X i∈N xt_ik+X l∈N X i∈N y_lkit ≤ t X τ =1 X q∈Qk Γq_kuqτ_k ∀k ∈ N, t ∈ T (3.23) X l∈N,l6=k y_klit − X l∈N,l6=k y_lkit = xt_ik−X j∈N v_kjit ∀i, k ∈ N, t ∈ T (3.24) xt_ik ≤ Ot iξkt ∀i, k ∈ N, t ∈ T (3.25) xt_ik ≤ O_it(1 − ξ_it) ∀i, k ∈ N : i 6= k, t ∈ T (3.26) X i∈N vit_lj ≤ Dt jξ t l ∀j, l ∈ N, t ∈ T (3.27) vit_lj ≤ Dt j(1 − ξ t j) ∀i, j, l : l 6= j, t ∈ T (3.28) z_klt ≤ ξt k ∀k, l ∈ N : k < l, t ∈ T (3.29) z_klt ≤ ξt_l ∀k, l ∈ N : k < l, t ∈ T (3.30) yit_kl+ yit_lk≤ Ot iz t kl ∀i, k, l ∈ N : k < l, t ∈ T (3.31) ξ_kt ∈ {0, 1} ∀k ∈ N, t ∈ T (3.32) ξ_k0 = 0 ∀k ∈ N (3.33) uqt_k ∈ {0, 1} ∀k ∈ N, q ∈ Qk, t ∈ T (3.34) z_klt ∈ {0, 1} ∀k, l ∈ N : k < l, t ∈ T (3.35) xt_ik ≥ 0 ∀i, k ∈ N, t ∈ T (3.36) yit_kl≥ 0 ∀i, k, l ∈ N, t ∈ T (3.37) vit_lj ≥ 0 ∀i, l, j ∈ N, t ∈ T (3.38)

Çok atamal model (P2)'nin amaç fonksiyonunda (3.18), tek atamal problemde

oldu§u gibi, planlama çevreninin tüm dönemlerinde kar³la³lan maliyet kalem-lerinin toplam enküçüklenmektedir. Bu maliyet kalemleri srasyla birle³tirme, transfer ve da§tm ak³nn toplam rotalama maliyeti, ADÜ'lerde i³lem gören toplam ak³ için operasyonel maliyet, ADÜ'lere kapasite modülü kurma maliyeti, ADÜ kurmann sabit maliyeti ve ADÜ ba§lants i³letme maliyetlerinden olu³-maktadr.

göstermektedir. Talep dü§ümleri birden fazla ADÜ'den hizmet alabilecekle-rinden atamalar için ikili atama de§i³kenleri yerine sürekli ak³ de§i³kenleri kullanlmaktadr. (3.19) ve (3.20) e³itlikleri bu modeldeki atama kararlar ile ilgili olan e³itliklerdir. (3.19) planlama çevreninin her bir döneminde her bir talep dü§ümünde ba³layan ak³n tamamnn birle³tirme ak³ olarak ADÜ'lere gönderilmesini sa§lamaktadr. (3.20) ise planlama çevreninin her bir döneminde her talep dü§ümünde biten ak³n tamamnn da§tm ak³ olarak ADÜ'lerden ilgili talep dü§ümüne gönderilmesini garanti etmektedir.

E³itsizlik (3.21)'a göre, bir dönemde kurulan bir ADÜ'nün planlama çevreninin sonraki dönemlerinde de i³letilmeye devam etmesi gerekmektedir.

(3.22) ve (3.23) e³itsizlikleri ADÜ'lerin kapasitesi ve kapasite modülleri ile ilgili e³itsizliklerdir. (3.22)'ye göre planlama çevreni boyunca kurulmu³ olan bir ADÜ'ye her dönemde en fazla bir tane kapasite modülü eklenebilmektedir. (3.23) ise (P2) için kapasite kstdr. Bu ksta göre, bir ADÜ'ye giren birle³tirme ve

transfer ak³nn toplam ilgili ADÜ'nün kapasitesini geçmemelidir. Bir ADÜ'nün herhangi bir dönemdeki kapasitesi o ADÜ'ye planlama çevreninin ba³ndan ilgili döneme kadar kurulmu³ olan modüllerinin kapasitelerinin toplanmasyla bulunmaktadr.

(3.24) e³itsizli§i çok atamal problemin ak³ dengesi kstdr ve ADÜ'lere gelen ve giden ak³larn dengelenmesi için kullanlmaktadr. E³itsizli§in sol tarafndaki birinci terim ilgili ADÜ'den di§er ADÜ'lere giden, ikinci terim ise di§er ADÜ'lerden ilgili ADÜ'ye gelen toplam transfer ak³n temsil etmektedir. E³itsizli§in sa§ tarafndaki birinci terim, talep noktalarndan ilgili ADÜ'ye gelen toplam birle³tirme ak³n, di§er terim ise ilgili ADÜ'den talep noktalarna gönderilen toplam da§tm ak³n göstermektedir.

Ele alnan problemde ADÜ'ler arasnda sadece ölçek ekonomisinden faydalanan tek tip ak³n (transfer ak³) gönderilmesine izin verildi§inden daha önce de bahsedilmi³ti. Bunun yan sra, talep dü§ümleri arasnda herhangi bir ADÜ kul-lanlmadan (do§rudan) ak³ gönderilemedi§i belirtilmi³ti. Problem kapsamnda bulunan bu varsaymlarn, çok atamal problemde modellenebilmesi için (3.25)-(3.28) e³itsizliklerinden yararlanlmaktadr. lk iki e³itsizlik birle³tirme ak³n,

sonraki e³itsizlikler ise da§tm ak³n ele almaktadr. Buna göre her dönemde, (3.25)'de herhangi bir talep dü§ümünden ba³layan bir ak³n ancak kurulmu³ bir ADÜ'ye birle³tirme ak³ olarak gönderilmesine izin verilirken; (3.26)'de ise kurulmu³ bir ADÜ'de ba³layan bir ak³n birle³tirme ak³ olarak ba³ka bir ADÜ'ye gönderilmesi engellenmektedir. Her dönemde, (3.27) ile herhangi bir talep dü§ümünde biten ak³n ancak kurulmu³ bir ADÜ üzerinden da§tlmasna izin verilirken; (3.28) ile kurulmu³ bir ADÜ'de biten ak³n da§tm ak³ olarak ba³ka bir ADÜ üzerinden gönderilmesi engellenmektedir.

(3.29) ve (3.30) e³itsizlikleri ile ancak kurulmu³ olan ADÜ'ler arasnda bir ADÜ ba§lantsnn i³letilebilmesi, (3.31)'e göre ise ancak i³letilmekte olan ADÜ ba§lantlar üzerinde transfer ak³nn gönderilebilmesi sa§lanmaktadr. Bir ADÜ ba§lantsnn i³letildi§ini belirleyebilmek için ba§lantnn tek yönlü ya da yönsüz ³ekilde yazlmas yeterli olmaktadr. Bu nedenle, bahsedilen üç kstn da k < l indisleri için yazlmas problemin do§ru modellenebilmesini sa§lamaktadr. Fakat, i³letilen bir ADÜ ba§lants üzerinde iki yönlü transfer ak³ gönderilebilmektedir. Buna dayanarak, (3.31) e³itsizli§inin sol tarafnda, iki yönde de gönderilebilen transfer ak³n temsil eden sürekli de§i³kenler toplanmaktadr. E³itsizli§in sa§ tarafndaki Ot

i parametresi Büyük-M görevi görmekte ve kstn istenilen ³ekilde

çal³masn sa§lamaktadr. Son olarak, (3.32)-(3.38) e³itsizlikleri (P2) için i³aret

ve tamsay kstlardr.

Tek atamal problemde belirtildi§i gibi, çok atamal problem için geli³tirilmi³ olan bu model de mevcut bulunan sistemlerin geni³letilmesi için kullanlabilmektedir. Bunun için, mevcut sistemde ADÜ olarak i³letilen dü§ümleri içeren bir kümeye ve i³letilen mevcut ADÜ'lerin kapasitelerini temsil eden bir parametreye ihtiyaç duyulmaktadr.

N0 _{Planlama çevreninin ba³nda ADÜ olarak i³letilen dü§ümler}

kümesi.

u0_k Planlama çevreninin ba³nda k ∈ N0 dü§ümünde i³letilen mevcut ADÜ'nün kapasitesi.

gösteren ξ0

k = 1 ∀k ∈ N0 kst eklenerek (P2)'deki (3.23) e³itsizli§i ³u e³itsizlikler

ile de§i³tirilmelidir: X i∈N xt_ik+X l∈N X i∈N y_lkit ≤ t X τ =1 X q∈Qk Γq_kuqτ_k ∀k ∈ N \ N0_{, t ∈ T (3.39)} ve X i∈N xt_ik+X l∈N X i∈N yit_lk≤ u0 k+ t X τ =1 X q∈Qk Γq_kuqτ_k ∀k ∈ N0_{, t ∈ T (3.40)}

Bu bölümde bu noktaya kadar ele alnan problemin parametreleri, karar de§i³ken-leri ve problemin iki farkl durumu için geli³tirilen matematiksel modeller detayl bir ³ekilde incelenmi³tir. Bir sonraki ksmda, geli³tirilen matematiksel modellere önerilen geçerli e³itsizlikler anlatlmaktadr.

3.5 Geçerli E³itsizlikler

Bölüm 3.3 ve 3.4 'de geli³tirilen (P1) ve (P2) ile yaplan bir takm ön analizler

sonucunda, matematiksel modellerin özellikle büyük boyutlu problemler için çok fazla CPU zamanna ihtiyaç duyabilece§i gözlemlenmi³tir. Büyük boyutlu problemleri nispeten daha ksa sürelerde çözebilmek için, tek ve çok atamal problemlerin kar³k tamsayl do§rusal programlama modelleri için yeni geçerli e³itsizlikler geli³tirilmi³tir.

Önerilen ilk geçerli e³itsizlik kümesi ADÜ alt a§ ile ilgili yaplan bir gözleme dayanmaktadr. A³a§da sunulan e³itsizlik (3.41a) (P1) için modeli için, (3.41b)

ise (P2) için geçerlidir.

X k∈N xt_kk− 1 ≤X k∈N X l∈N : k<l z_klt ∀t ∈ T (3.41a) X k∈N ξ_kt− 1 ≤ X k∈N X l∈N : k<l zt_kl ∀t ∈ T (3.41b)

(3.41a) ve (3.41b) e³itsizliklerine göre ADÜ a§nda ADÜ saysndan en az bir eksik sayda ADÜ ba§lants i³letilmelidir. Yani, ADÜ alt a§nda e§er K tane ADÜ kurulmu³sa, kurulan ADÜ'ler arasnda en az K − 1 tane ADÜ ba§lants kurulmu³ olmaldr. Bu problemde, ADÜ'ler arasnda sadece transfer ak³ gönderilebildi§inden tasarlanm³ a§da kurulan ADÜ'ler birbirine ba§l olmaldr. E§er ADÜ'ler arasnda K − 2 tane ADÜ ba§lants i³letilirse, ADÜ'lerden en az biri di§erlerine ba§lanamam³ olur ve bu ADÜ birle³tirme ve da§tma operasyonu için kullanlamaz.

Kapasite ile ilgili olan (3.42) e³itsizli§i hem (P1) hem de (P2) için geçerlidir:

X i∈N Ot_i ≤ t X τ =1 X k∈N X q∈Qk Γq_kuqτ_k ∀t ∈ T (3.42) Bu geçerli e³itsizli§e göre tasarlanan a§da her dönemde o döneme kadar kurulmu³ modüllerin toplam kapasitesi ilgili dönemdeki toplam talebi kar³layacak seviyede olmaldr. Her dönemde, a§da kurulan her ADÜ için yazlan (P1)'deki (3.6)

ve (P2)'deki (3.23) kapasite e³itsizliklerinden her biri tüm ADÜ'ler üzerinden

topland§nda elde edilen yeni e³itsizlik (3.42)'i kapsamaktadr. Bu nedenle (3.42) modellerin do§rusal gev³etme de§erlerini iyile³tirmemesi beklenmekte ancak bu e³itsizlikten çözücünün performansn iyile³tirmek amacyla yararlanlmaktadr. Son geçerli e³itsizlik kümesi ise kurulan her ADÜ ile kapasite modülleri arasndaki ili³kiye dayanmaktadr. A³a§da belirtilen e³itsizlik (3.43a) (P1) için (3.43b) ise

(P2) için geçerlidir: xt_kk≤ t X τ =1 X q∈Qk uqτ_k ∀t ∈ T (3.43a) ξ_kt ≤ t X τ =1 X q∈Qk uqτ_k ∀t ∈ T (3.43b)

E§er planlama çevreni içindeki herhangi bir dönemde bir ADÜ i³letilmekteyse, planlama çevreninin ilk döneminden, geçerli e³itsizli§in yazld§ ilgili dönemin

sonuna kadar ilgili ADÜ'ye en az bir tane kapasite modülü kurulmu³ olmas gerekmektedir.

Bir sonraki bölümde, ele alnan problem için geli³tirilen matematiksel modellerin ve önerilen geçerli e³itsizliklerin test problemleri üzerinde analiz edildi§i deneysel çal³ma ve sonuçlar yer almaktadr.

4. DENEYSEL ÇALI“MA VE

SONUÇLAR

Bu bölümde, Bölüm 3'te geli³tirilen matematiksel modeller hazrlanan test problemleri üzerinde çözülmekte ve elde edilen sonuçlar detayl bir ³ekilde incelenmektedir. Bunun yannda, Bölüm 3.5'te önerilen geçerli e³itsizliklerin performanslar da ölçülmektedir.

Test problemleri, literatürde sklkla kullanlan CAB veri [5] kümesinden alnan verilerin çok dönemli problem verilerine dönü³türülmesiyle elde edilmektedir. CAB veri kümesinde bulunan 25 dü§ümün co§ra konumlar “ekil 4.1'de, dü§ümlerin temsil ettikleri ³ehirler ise Tablo 4.1'de liste halinde gösterilmektedir. Bu veri kümesinde 10, 15, 20 ve 25 dü§üm saysna sahip alt problemler bulunmaktadr.

Tablo 4.1: CAB veri kümesindeki dü§ümler ve temsil ettikleri ³ehirler.

Dü§üm “ehir Dü§üm “ehir Dü§üm “ehir

1 Atlanta 10 Houston 19 Phoenix

2 Baltimore 11 Kansas City 20 Pittsburgh

3 Boston 12 Los Angeles 21 St. Louis

4 Chicago 13 Memphis 22 San Francisco

5 Cincinnati 14 Miami 23 Seattle

6 Cleveland 15 Minneapolis 24 Tampa

7 Dallas-Fort Worth 16 New Orleans 25 Washington DC

8 Denver 17 New York

9 Detroit 18 Philadelphia

CAB veri kümesinde, dü§ümler aras mesafe ve ak³ parametreleri yer almaktadr [5]. Ancak, bu veri kümesinde kapasite, ADÜ kurmann sabit maliyeti, ADÜ ba§lants i³letme maliyeti ve kapasite modülü kurma maliyeti gibi veriler bulunmamaktadr. Bu veriler, çal³ma kapsamnda olu³turularak di§er verilere ek-lenmi³tir. Bu çal³mada kullanlan test problemlerine ait parametrelerin tamam Tablo 4.2'de özetlenmektedir.

Tablo 4.2: CAB veri kümesi ve ilgili parametre de§erleri.

Tanm Parametre De§er

Kümeler:

Dü§üm says |N | 15, 25

Dönem says |T | 5

Talep:

Birinci dönemdeki talep w_ij1 OR Kütüphanesi [5]

Senaryo I (artan) w_ijt %5 Sabit artan

Senaryo II (rassal) w_ijt ∼ U [0, 9w_ijt−1, 1, 2wt−1_ij ]

Kapasite Modülü:

Kapasite kümesi I (dar) Γq_k 0,4, 0,5, 0,6

Kapasite kümesi II (geni³) Γq_k 0,5, 0,75, 1

Maliyetler:

ADÜ kurmann sabit maliyeti f_k1 500

ADÜ ba§lants i³letme maliyeti g_kl1 Mesafenin %5'i

Kapasite modülü kurma maliyeti hq1_k 100 x Modül kapasitesi

Birim ak³ ba³na operasyon maliyeti p1

k 1

Birim ak³ ba³na ula³m maliyeti c1_ij OR Kütüphanesi [5]

Ölçek ekonomisi parametresi α 0,2, 0,4, 0,6, 0,8

Ele alnan problemlerin boyutunu belirleyen en önemli parametreler dü§üm ve dönem kümelerinin büyüklü§üdür. Bu çal³mada, CAB veri kümesinden

15 ve 25 dü§ümlü problemler üzerinde analiz yaplmaktadr. Her iki problem boyutu için de planlama çevreni 5 dönemden olu³maktadr ve i³letilmeye yeni ba³lanan sistemler için planlama yapld§ varsaylmaktadr. Yani, planlama çevreninin ba³nda halihazrda i³letilmekte olan ADÜ veya ADÜ ba§lantlar bulunmamaktadr.

Test problemlerindeki talep verisi için iki farkl senaryo ele alnm³tr. CAB veri kümesinin OR Kütüphanesi'nde [5] bulunan talep verisi, her iki senaryonun da ilk dönemdeki talep verisini olu³turmaktadr. Literatürde ADÜ yer seçimi problemlerinde CAB veri kümesini kullanan birçok çal³mada oldu§u gibi bu çal³mada da talep dü§ümleri arasndaki talep, ilk dönemdeki toplam talep 1 olacak ³ekilde ölçeklendirilmektedir. Kullanlan iki senaryodan birincisinde (Senaryo I), ikinci dönemden itibaren her dönemde talep %5 orannda sabit olarak artmaktadr. lk dönemdeki toplam talep 1 oldu§undan, Senaryo I'de, ikinci dönemdeki toplam talep 1,05, üçüncü dönemdeki ise 1,1025 olmaktadr. Dördüncü ve be³inci dönemlerdeki talep de benzer ³ekilde artmaktadr. Çal³madaki ikinci senaryoda (Senaryo II) ise, ikinci dönemden itibaren her talep dü§ümü çifti arasndaki talep, bir önceki dönemde gerçekle³en talebin [0,9 , 1,2] aral§ndan rassal bir sayyla çarplmasyla elde edilmektedir. Bu senaryoda, ikinci dönemdeki toplam talep [0,9 , 1,2] aral§nda bir de§er alrken, üçüncü dönemdeki toplam talep ise [0,81 , 1,44] arasnda bir de§er almaktadr.

Problemlerde, ADÜ'lere kurulan kapasite modülleri için dar ve geni³ olmak üzere iki farkl kapasite kümesi bulunmaktadr. ki kümede de birbirinden farkl kapasitelere sahip üç modül yer almaktadr. Problemlerde, kapasite kümeleri ve modüller planlama çevreninin tüm dönemlerinde kurulacak tüm olas ADÜ'ler için ayndr.

Problemdeki maliyet parametrelerinden sadece ak³ gönderme maliyeti lite-ratürdeki veri kümesinde bulunmaktadr. Veri kümesinde bulunan dü§ümler arasndaki mesafeler planlama çevreninin ilk dönemindeki ak³ gönderme maliyeti olarak kullanlmaktadr. Birim ak³ ba³na ula³m maliyetleri ilk dönemde 36,5 ile 2725,8 arasnda de§i³mektedir. Planlama çevreninin ilk dönemindeki di§er maliyetler Tablo 4.2'de gösterildi§i gibi belirlenmi³tir. kinci dönemden itibaren