BLMSEL ARATIRMA PROJELER KOMSYONU
SONUÇ RAPORU PROJE NO: 2007/11
ESNEK KÜMELER VE ESNEK KARAR VERME METOTLARI
Proje Yöneticisi: Yrd. Doç. Dr. Naim ÇAMAN Matematik Anabilim Dal
Ara³trmac: Ar³. Gör. Serdar ENGNOLU Matematik Anabilim Dal
Ara³trmac: Yrd. Doç. Dr. Hac AKTA Matematik Anabilim Dal
ESNEK KÜMELER VE ESNEK KARAR VERME METOTLARI*
Esnek küme teorisi, Molodtsov tarafndan, belirsizlikle ba³a çkmak için bir matematiksel araç olarak ortaya atld. Bu teori, karar verme problemleri, bilgi sistemleri, cebirsel yaplar, optimizasyon teorisi ve matematiksel analiz gibi belirsizlik içeren bir çok alana uyguland. Bu tez çal³masnda, esnek kümeler teorisi üzerine baz yeni sonuçlar geli³tirebilmek için, esnek kümelerin ve esnek küme i³lemlerinin daha i³levsel olan yeni tanmlar verildi. Ardndan, esnek çarpm, BK ve KB karar fonksiyonlarn tanmlanarak, esnek karar verme metotlar ortaya atld. Son olarak da bu metotlarn karar verme problemleri üzerine iki uygulamas yapld.
Anahtar kelimeler: Esnek Kümeler, Esnek Kümelerde ³lemler, Esnek Kümelerin Çarpm, BK Karar Fonksiyonu, KB Karar Fonksiyonu, Esnek Karar Verme
*Bu çal³ma Gaziosmanpa³a Üniversitesi Bilimsel ara³trma Projeleri Komisyonu tarafndan desteklenmi³tir. (Poroje No: 2007/11)
SOFT SETS AND SOFT DECISION MAKING METHODS
The soft set theory was produced by Molodtsov as a mathematical tool for dealing with uncertainties . This theory is applied to decision making problems, information systems, algebraic structures, optimization theory and basic mathematics analysis, etc. which are contain uncertainties. In this thesis, the de nitions of soft sets and operations of soft sets are modi ed to make them more functional and improve several new results on soft set theory. Afterwards, soft decision making methods are given by de ning products of soft sets and Uni-Int and Int-Uni decision functions. Finally, some applications of the methods are presented.
Key words: Soft Sets, Operations of Soft Sets, Products of Soft Sets, Uni-Int Decision Function, Int-Uni Decision Function, Soft Decision Makings.
payla³an saygde§er hocam Yrd. Doç. Dr. Naim ÇAMAN'a minnettarl§m sunarm. Ayrca, kymetli zamann ve kirlerini esirgemeyen Prof. Dr. Oktay MUHTAROLU'na, çal³mann tamamlanmasnda ve düzeltmelerinde eme§i geçen Yrd. Doç. Dr. Hakan Kasm AKMAZ'a, Ar³. Gör. Serkan DEMRZ'e, YL Ö§r. Hayati OLAR'a ve adn zikretmedi§im eme§i geçen di§er tüm hocalarma ve arkada³larma te³ekkür ederim. Zamanlarndan çalp mesle§imle geçirdi§im anlar, anlay³la kar³layan sevgili e³ime, canm kzm Yade'ye ve ba³ta annem ve babam olmak üzere tüm aile büyüklerime te³ekkürlerimi sunarm.
Bu tez, 2007/11 nolu Bilimsel Ara³trma Projesi olarak Gaziosmanpa³a Üniversitesi tarafndan nansal olarak desteklenmi³tir. Gaziosmanpa³a Üniversitesine verdi§i nansal destekten dolay te³ekkür ederim.
ÖZET . . . i
ABSTRACT . . . ii
TEEKKÜR . . . iii
1. GR . . . 1
2. TEMEL KAVRAMLAR . . . 4
2.1 Molodtsov'un Esnek Küme Yakla³m . . . 4
2.2 Maji ve ark.'nn Esnek Küme Yakla³m . . . 9
2.3 Pei ve ark.'nn Esnek Küme Yakla³m . . . 20
3. ESNEK KÜME LEMLERNN MODFKASYONU . . . 29
3.1 Esnek Kümeler . . . 29
3.2 Esnek Küme ³lemleri . . . 35
4. METOTLAR . . . 41
4.1 Esnek Çarpmlar . . . 41
4.2 Esnek Karar Verme Metotlar . . . 45
5. UYGULAMALAR . . . 48
5.1 BK-DEL-VE Karar Verme Metodunun Bir Uygulamas . . . 48
5.2 BK-VE Karar Verme Metodunun Bir Uygulamas . . . 50
6. SONUÇ . . . 52
KAYNAKLAR . . . 53
ÖZGEÇM . . . 57
Kar³la³lan problemlerle ba³a çkmak için ortaya atlan bir çok teori, güçsüz yanlarnn da etkisiyle zaman içinde önemini yitirerek, tercih edilmez hale geldi. Bu durum, yaknmalar, yaknmalar ise yeni teorilerin ortaya atlmas sonucunu do§urdu.
Ancak bu teorilerin içerisinde, sadece bulunduklar ça§ de§il, asrlar sonrasn bile etkileyenler bulunmaktadr. Cantor'un, bugün klasik olarak adlandrlan Kümeler Teorisi buna iyi bir örnektir. Ortaya atldktan sonra matemati§in kümelerle tekrar in³a edilebilmesi, Klein'in kümelerle olu³turulan Grup Teorisi yardmyla geometriyi ba³tan yazabilmesi ve uygulama alanlarnn çok olmas bu teoriyi güçlü klan özeliklerden sadece bir kaçdr. Ne varki, yetersiz yada belirsiz veriler için klasik küme yazlamamaktadr. Bu da teorinin belirsizlikle ba³a çkmak için yeterli olmad§ anlamna gelmektedir.
Belirsiz tipteki problemlerin çözümü için, aralk matemati§i, olaslk teorisi, bulank kümeler teorisi, yakla³ml kümeler teorisi, esnek kümeler teorisi gibi farkl teoriler geli³tirildi. Her bir teorinin güçlü oldu§u uygulamalar bulunmaktadr. Bu teoriler arasndan en göze çarpanlardan birisi, Zadeh (1965)'in bulank kümeler teorisidir. Bu teori hzla geli³mesine ra§men baz yapsal zorluklara sahiptir. Bir bulank küme onun üyelik fonksiyonu yoluyla tanmlanr. Molodtsov (1999)'a göre üyelik fonksiyonun do§asnn fazlasyla bireysel olmasndan dolay, her bir durum için bir üyelik fonksiyonu in³a etme zorlu§uyla kar³la³lr. Bu nedenle, üyelik fonksiyonu in³asndan ba§msz bir kümeler teorisine ihtiyaç vardr.
Esnek kümeler teorisi, Molodtsov (1999) tarafndan belirsizlikle ba³a çkmak için bir matematiksel araç olarak ortaya atld. Molodtsov (1999), sürekli diferansiyellenebilir fonksiyonlar, oyun teorisi, i³lem ara³trmalar, Riemann integrasyonu, Perron integrasyonu, olaslk, ölçüm teorisi vb. alanlarda esnek küme teorisini kullanarak, ba³arl çal³malar yapt. Ayrca, yazar yakla³k nesne tanm kavramn formüle etti (2001) ve esnek küme teorisi isimli bir kitap yaymlad (2004).
Maji ve ark. (2002,2003), Pawlak (1982)'n yakla³ml küme teorisi yardmyla, bir karar verme probleminde esnek kümelerin bir uygulamasn sundu ve esnek kümelerde baz i³lemleri tanmlad. Xiao ve ark. (2003) esnek küme temelli i³ rekabet kapasitesi için yapay bir hesaplama metodu üzerine bir çal³ma yapt. Yang ve ark. (2004), esnek kümeler ve yakla³ml kümelere dayal klinik te³hisin karar analizi ve indüksiyon ba³lkl bir çal³ma yapt. Chen ve ark. (2003,2005) ile Kong ve ark. (2008) esnek kümelerde parametre indirgemesi üzerine çal³malar yapt. Xiao ve ark. (2005) ile Pei ve Miao (2005), esnek tabanl bilgi sistemleri üzerine çal³malar sundular. Mushrif ve ark. (2006), esnek küme temelli sn andrmalar üzerine bir çal³ma yapt.
Esnek kümelerin cebirsel özelikleri baz yazarlar tarafndan çal³lmaktadr. Akta³ ve Ça§man (2007) esnek gruplarn yeni bir tanmn vererek, baz temel özellliklerini elde etti. Jun (2008a) esnek BCK/BCI-cebirleri ve esnek altcebir kavramlarn ortaya atarak, onlarn baz temel özeliklerini türetti. Jun ve Park (2008b) esnek kümeleri BCK/BCI- cebirlerine uygulayarak, BCK/BCI-cebirlerinde esnek kümelerin cebirsel özeliklerini tart³t. Park ve ark. (2008), esnek WS-cebirleri üzerine bir çal³ma yapt. Feng ve ark. (2008) esnek küme teorisini kullanarak esnek halkalar çal³masn sundu ve ilgili baz özeliklerini inceledi. Sun ve ark. (2008) esnek modüllerin tanmn verdi. Ayrca modülleri ve Molodtsov'un esnek küme tanmn kullanarak baz temel özelikleri in³a etti.
Zou ve Xiao (2008) eksik bilgi altnda esnek kümelerin veri analizi yakla³mn ortaya koydu. Bu yakla³mlar esnek kümelerde eksik verilerin mevcut durumlarn yanstmak için tercih edilebilir.
Maji ve ark. (2001), bulank esnek kümeleri tanmlad. Daha sonra pek çok ara³trmac bulank esnek kümeler üzerine çal³malar yapt. Akta³ ve Ça§man (2007) esnek kümeleri, bulank kümeler ve yakla³ml kümelerin ilgili kavramlaryla kar³la³trd. Roy ve Maji (2007) bir karar verme probleminde bulank esnek kümelerin bir uygulamas üzerinde baz sonuçlar ortaya koydu. Yang ve ark. (2007) bulank esnek kümelerde indirgemeyi tanmlayarak, bulank esnek kümeler yoluyla bir karar verme problemini analiz etti. Majumdar ve Samanta (2008) bulank esnek kümelerde benzerlik ölçümünü ortaya att. Kong ve ark.(2008) ile Xiao ve ark. (2009), bulank esnek küme üzerine dayal baz yakla³mlar konu alan bir çal³ma yapt.
Molodtsov ve ark. (2006) tarafndan, esnek küme teorisi üzerine dayal bir analiz geli³tirerek, esnek say, esnek türev, esnek integral gibi kavramlar formüle edildi. Bu analiz, Kovkov ve ark. (2007) tarafndan optimizasyon teorisi ile ilgili problemlere uyguland. u anda, esnek küme teorisi ve onun uygulamalar üzerine yaplan çal³malar hzla geli³mektedir.
Bu tez çal³masnda, ilk olarak Molodtsov (1999), Maji ve ark. (2002,2003) ve Pei ve Miao (2005)'nun esnek kümeler üzerine yapt§ teorik çal³malar tantld ve daha detayl teorik bir çal³ma yapabilmesi için, esnek küme i³lemlerinin daha i³levsel olan yeni tanmlarn verildi. Daha sonra esnek çarpm tanmlanarak, geli³tirilen esnek yakla³m metotlar sunuldu. Son olarak, bu metotlarn karar verme problemleri üzerine iki uygulamas verildi.
Bu bölümde, esnek küme teorisiyle ilgili temel kavramlar ve esnek i³lemler üzerine yaplan teorik çal³malar, sonraki bölümlerde verilen yeni tanmlarn daha iyi anla³lmas ve kar³la³trma yaplabilmesi için, Molodtsov (1999), Maji ve ark. (2002,2003) ile Pei ve Miao (2005)'nun çal³malarndan derlenerek verilecektir.
2.1 Molodtsov'un Esnek Küme Yakla³m
Molodtsov, çal³malarn esnek kümelerde i³lemler yada esnek kümeler arasndaki ili³kiler yerine, esnek analiz üzerine yo§unla³trm³tr. Molodtsov (1999), Esnek Küme Teorisi ve lk Sonuçlar ba³lkl çal³masnda özellikle limit gibi temel analiz konularn esnekle³tirerek, daha sonraki çal³malarna hazrlk yapm³tr. Yazarn Rusya'da yaygn olarak çal³lan Optimizasyon Teorisi üzerine çal³malar yapmas, çal³malarnda bu teoriye de yer vermesini sa§lam³tr. Yazarn esnek yakla³m, kendi ifadeleriyle a³a§daki gibidir.
Ekonomi, mühendislik ve çevre bilimindeki karma³k problemlerin çe³itli belirsizlik tiplerinin var olmasndan dolay, bu problemleri çözmek için, klasik metotlar ba³arl bir ³ekilde kullanamayz. Belirsizlikle ba³a çkmak için matematiksel bir araç olarak göz önüne alabilece§imiz, Olaslk Teorisi, Bulank Küme Teorisi ve Aralk Matemati§i ³eklinde üç teori vardr. Fakat bu teorilerin tamam, yaplarndan kaynaklanan bir takm zorluklara sahiptir.
Olaslk teorisi sadece uygun istatistiksel olaylarla u§ra³abilir. Matematiksel detaylara girmeksizin uygun bir matematiksel olayla kastetmek istedi§imiz ³ey, uzun bir deneme serisinde µn= 1 n n X i=1 xi
basit ortalamasnn mevcut olmasdr. Burada, denemelerde olaylar gerçekle³irse xi, 1
deneme yapmalyz. Bunu mühendislikte gerçekle³tirebiliriz fakat birçok ekonomik, çevrebilim ve sosyal problemlerde gerçekle³tiremeyiz.
Aralk matemati§i, bir problemin kesin çözümü için tahmini bir aralk in³a ederek, hesaplama hatalarn göz önünde bulunduran bir metot olarak ortaya çkar. Bu birçok durumda faydaldr ama aralk matemati§indeki metotlar farkl belirsizliklere sahip problemler için yeterince uygun de§ildir. Bu metotlar düzgün de§i³en, güvensiz, yetersiz ve ksmen amaçla çeli³en hatal bir bilgiyi, vb. durumlar yakla³k olarak tanmlayamaz.
Belirsizlikle ba³a çkmak için en yakn teori, Zadeh [1] tarafndan geli³tirilen bulank küme teorisidir. imdi bulank küme kavramnn tanmn hatrlayalm. Her A ⊂ X kümesi için onun µAkarakteristik fonksiyonu
µA(x) = 1, x ∈ A 0, x /∈ A ³eklinde tanmlanr.
Bir küme ile onun karakteristik fonksiyonu arasndaki bu e³leme açk olarak 1 − 1 bir e³lemedir. Bir F bulank cümlesi, onun µFüyelik fonksiyonu ile tanmlanr. Bu fonksiyon
her x ∈ X noktasna, [0, 1] kapal aral§nda bir µF(x)reel saysn kar³lk getirir. µF(x)
says, x'in F bulank kümesine ait olma derecesi olarak yorumlanr.
Bulank kümeler teorisi, bulank kümeler için ilk bak³ta do§al i³lemler sunar. F ve G bulank kümeler, µF ve µG de srasyla bu kümelerin üyelik fonksiyonlar olsun. Bu
taktirde, F nin CF ile gösterilen tümleyeni
µCF = 1 − µF(x)
üyelik fonksiyonu yoluyla tanmlanr. F ve G nin F ∩G ile gösterilen arakesiti a³a§daki üyelik fonksiyonlarndan biri ile tanmlanabilir.
µF ∩G(x) = µF(x).µG(x)
µF ∩G(x) = max{0, µF(x) + µG(x) − 1}
F ∪ Gile gösterilen birle³im için üyelik fonksiyonlarnn üç olas durumu vardr.
µF ∪G(x) = max{µF(x), µG(x)}
µF ∪G(x) = µF(x) + µG(x) − µF(x).µG(x)
µF ∪G(x) = min{1, µF(x), µG(x)}
Bu küme teorisi üzerine yaplan çal³malar, ³imdilerde hzl bir ³ekilde ilerliyor. Fakat bir zorluk mevcuttur: Özel her bir durumda üyelik fonksiyonu nasl kurulur?
Üyelik fonksiyonu kurmak için sadece bir yola yüklenmemeliyiz. Üyelik fonksiyonunun do§as son derece bireyseldir. µF(x) = 0, 7notasyonunu herkes kendi tarznda anlayabilir.
Bu yüzden, üyelik fonksiyonlar ile yaplan aritmetik i³lemlere dayanan bulank küme i³lemleri, do§al gözükmez. Görülebilir ki bu i³lemler, a§rlk ve uzunluklarn toplamna benzerdir.
Muhtemelen bu zorluklarn sebebi, teorinin parametrizasyon araçlarnn yetersizli§idir. Bir sonraki bölümde, belirsizliklerle u§ra³mak için yukarda bahsedilen zorluklardan ba§msz bir matematiksel araç önerece§iz.
Tanm 2.1.1. U evrensel küme ve E parametrelerin bir kümesi olsun. (F, E) sral ikilisi U üzerinde bir esnek küme olarak adlandrlr ancak ve ancak F , E'den U'nun tüm alt kümelerinin kümesine bir dönü³ümdür.
Ba³ka bir ifadeyle bir esnek küme U kümesinin alt kümelerinin parametrize edilmi³ bir ailesidir. ε ∈ E için bu aileden olan her F (ε) kümesi, (F, E) esnek kümesinin ε−elemanlarnn yada ε− yakla³ml elemanlarnn kümesi olarak göz önüne alnabilir.
A³a§daki örnekleri göz önüne alalm.
Örnek 2.1.2. Bir (F, E) esnek kümesi, Bay X'in satn alaca§ evlerin çekicili§i olarak tanmlansn. U, göz önüne alnan bütün evlerin kümesi ve E, parametrelerin bir kümesi
-ki bu parametreler bir kelime veya kümedir- olsun. E = {pahal , güzel, ah³ap, ucuz, etraf bahçeli, modern, iyi durumda, kötü durumda}. Bu durumda, bir esnek küme tanmlamak pahal evleri, güzel evleri, vb. vurgulamak anlamna gelir. Burada, F (ε) kümelerinin key olabilece§ine dikkat edilmelidir. Onlardan bazlar bo³, bazlarnn ise arakesitleri bo³tan farkl olabilir.
Örnek 2.1.3. Zadeh'in bulank kümesi, esnek kümenin bir özel hali olarak göz önüne alnabilir. A bir bulank küme ve µA'da A bulank kümesinin üyelik fonksiyonu yani
µA : U → [0, 1]³eklinde bir dönü³üm olsun. µAfonksiyonu için α− seviye kümelerinin
F (α) = {x ∈ U : µA(x) ≥ α}, α ∈ [0, 1]
ailesini göz önüne alalm. E§er F ailesini biliyorsak a³a§daki formülü kullanarak µA(x)
fonksiyonlarn bulabiliriz.
µA(x) = sup α∈[0,1], x∈F (α)
α
Böylece, Zadeh'in her A bulank kümesi (F, [0, 1]) esnek kümesi olarak göz önüne alnabilir.
Örnek 2.1.4. (X, τ) -bir topolojik uzay olsun. Burada, X bir küme ve T bir topolojidir. Di§er bir ifadeyle T , X'in açk küme olarak adlandrlan alt kümelerinin bir ailesidir. Bu taktirde
T (x) = {V ∈ T : x ∈ V }
olarak gösterilen x noktasnn T (x) açk kom³uluklarnn ailesi (x'i ihtiva eden T 'daki açklarn kümesi), (T (x), T ) esnek kümesi olarak göz önüne alnabilir.
Esnek küme teorisinde herhangi bir nesneyi tanmlamann yolu, klasik matematikte kulland§mz yollardan aslen fakldr. Klasik matematikte bir nesnenin matematiksel modelini in³a ediyoruz ve bu modelin tam çözümü kavramn tanmlyoruz. Genel olarak matematiksel model çok kar³ktr ve tam çözümü bulamayz. Bu nedenle, ikinci admda, yakla³k çözüm kavramn ortaya koyuyoruz ve bu kavramla çözümü hesaplyoruz.
Esnek küme teorisinde bu probleme zt bir yakla³ma sahibiz. Nesnenin ba³langç tanm do§al bir yakla³ma sahiptir. Bu yüzden tam çözüm kavramn ortaya koymaya ihtiyaç duymuyoruz.
Esnek küme teorisinde yakla³k tanmlamalar üzerinde herhangi bir kstlamann bulunmay³, bu teoriyi ikna edici ve pratikte kolayca uygulanabilir yapar. Kelimeler ve kümeler, reel saylar, fonksiyonlar, dönü³ümler vb. arasndan tercih etti§imiz herhangi bir parametrizasyonu kullanabiliriz.
Kastetti§imiz ³ey ³udur ki esnek küme teorisinde herhangi bir üyelik fonksiyonu kurma veya buna benzer herhangi bir problem ortaya çkmaz.
Tanm 2.1.5. Kabul edelim ki, U kümesinin alt kümeleri için, ∗ ile gösterilen, bir ikili i³lemimiz var olsun. (F, A) ve (G, B), U üzerinde iki esnek küme olsun. Bu taktirde esnek kümeler için ∗ i³lemi a³a§daki ³ekilde tanmlanr:
(F, A) ∗ (G, B) = (H, A × B)
Burada H(α, β) = F (α) ∗ G(β), α ∈ A, β ∈ B ve A × B, A ve B kümelerinin kartezyen çarpmdr. Bu tanm herhangi bir esnek kümenin kendine has bir özelik olarak göz önüne alnabilir.
E§er biz esnek kümelerle çok sayda i³lem üretirsek, sonuç, parametrelerin çok geni³ bir kümesine sahip bir esnek küme olacaktr. Bazen parametrelerin kümesinin böyle bir geni³lemesi faydal olabilir. Bu nedenle Örnek 2.1.2'de ki esnek kümenin kendisi ile arakesiti daha ayrntl tarife sahip bir esnek küme verir. Sonuç olarak elde edilen esnek küme pahal, güzel, ucuz vb. evleri vurgular.
Parametrelerin kümesinin bu tür bir geni³lemesinin kullan³l olmad§ durumlarda, kesme i³lemlerini çokça kullanabiliyoruz. Tabiî ki bu kesme i³lemlerinin kabulü özel duruma ve göz önüne alnan ³art altndaki probleme ba§ldr.
E§er genel bir matematiksel araç in³a etmek istiyorsak, parametrelerin kümesi için evrensel bir kesme i³lemi tantmayaca§z. Esnek küme teorisi bakmndan, bulank
kümelerle i³lemleri göz önüne alrsak, bulank kümelerdeki bütün ikili i³lemlerin evrensel kesme i³lemini içerdi§ini anlarz. Örne§in A ve B gibi iki bulank kümenin arakesitinin
µA∩B(x) = min{µA(x), µB(x)}
³eklindeki ilk versiyonu göz önüne alalm. A, B ve A ∩ B bulank kümelerine, srasyla, (FA, [0, 1]), (FB, [0, 1])ve (FA∩B, [0, 1])esnek kümelerini kar³lk getirelim. Burada
FA(α) = {x ∈ U : µA(x) ≥ α}, α ∈ [0, 1]
FB(α) = {x ∈ U : µB(x) ≥ α}, α ∈ [0, 1]
FA∩B(α) = {x ∈ U : µA(x) ≥ α, µB(x) ≥ α}, α ∈ [0, 1]
³eklindedir. (FA, [0, 1])ve (FB, [0, 1])esnek kümelerinin kesi³imi (H, [0, 1]) × [0, 1] ile
gösterilir. Buradan
H(α, β) = FA(α) ∩ FB(β) = {x ∈ U : µA(x) ≥ α, µB(x) ≥ β}
elde ederiz. H(α, β) ve FA∩B(α)'y kyaslarsak, görebiliriz ki, bu durumda kesme i³lemi,
[0, 1] × [0, 1]kartezyen çarpmnn, onun kö³egeni ile de§i³imi anlamna gelir.
Bir bulank kümenin kendine has yaps, evrensel kesme i³lemi ile çeli³ir. Bu da teorinin uygulama alanlarnda birçok zorlu§a yol açar ( Molodtsov, 1999).
2.2 Maji ve ark.'nn Esnek Küme Yakla³m
Maji ve ark. son zamanlarda hzla geli³en Yakla³ml Kümeler Teorisi üzerine çal³malar yapmalarndan dolay, esnek kümelerle benzer çal³malar yapabilmek için, esnek kümelerde i³lemleri tanmladlar ve karar verme problemleri üzerine baz metotlar sundular. Yazarlarn esnek yakla³m, kendi ifadeleriyle a³a§daki gibidir.
Formal modelleme, muhakeme ve hesaplama için bilinen yöntemlerimizin ço§u keskin, belirli ve kesin karakterlidir. Ancak, ekonomi, mühendislik, çevre, sosyal bilim, tp bilimi gibi her zaman keskin olmayan veriler içeren pek çok karma³k problem vardr. Bu problemlerde sunulan çe³itli belirsizlik türlerinden dolay, klasik metotlar kullanarak ba³arl olamayz. Belirsizliklerle ilgilenen matematik araçlar olarak göz önüne alnabilecek, olaslk teorisi, bulank kümeler teorisi [2, 3], sezgisel bulank kümeler teorisi, belirsiz kümeler teorisi, aralk matemati§i teorisi [3, 5] ve yakla³ml küme teorisi [6]gibi teoriler vardr. Fakat [7]'de dikkat çekildi§i gibi tüm bu teoriler do§alarndan bir takm zorluklara sahiptirler. Muhtemelen bu zorluklarn sebebi, teorilerin parametrizasyon araçlarnn yetersizli§idir. Bu nedenle Molodtsov [7], yukardaki zorluklardan ba§msz, belirsizliklerle ba³a çkmak için bir matematik arac olarak esnek teori kavramn ortaya att. ( Esnek Kümelerin, Pawlak [8] tarafndan farkl bir kavram olarak tanmland§n ve di§er baz tip problemleri çözmek için kullanld§n biliyoruz.) Esnek küme teorisi, Molodtsov'un öncü çal³masnda [7] bir kaçn gösterdi§i, farkl yönlerdeki uygulamalar için zengin bir potansiyele sahiptir.
Molodtsov [7], esnek küme teorisini a³a§daki ³ekilde tanmlad.
Tanm 2.2.6. U evrensel küme ve E parametrelerin bir kümesi olsun. P (U), U'nun kuvvet kümesi ve A ⊂ E olarak gösterilsin.
( Bkz [7].) Bir (F, A) sral ikilisi U üzerinde esnek küme olarak adlandrlr. Burada F, F : A → P (U) ile verilen bir dönü³ümdür. Di§er bir ifadeyle, U üzerinde bir esnek küme, U evreninin alt kümelerinin parametrize edilmi³ bir ailesidir. ε ∈ A için F (ε), (F, A)esnek kümesinin ε− yakla³ml elemanlarnn cümlesi olarak göz önüne alnabilir. Açkça bir esnek küme, küme de§ildir.
Örneklemek için Molodtsov'un [7] de göz önüne ald§ birkaç örnekten birisini a³a§da sunuyoruz.
Örnek 2.2.7. Kabul edelim ki, U, göz önüne alnan ³artlar altndaki evlerin kümesi ve E, parametrelerin kümesi olsun. Her bir parametre bir kelime yada cümledir. E = {pahal, güzel, ah³ap, ucuz, etraf bahçeli, modern, iyi durumda, kötü durumda } Bu durumda bir esnek küme tanmlamak, pahal evler, güzel evler ve di§erlerini belirtmek
anlamna gelir. (F, E) esnek kümesi, Mr. X'in satn alaca§ evlerin çekicili§i ni belirtiyor. Sonraki tart³malarmz için ayn örne§i daha detayl olarak a³a§da göz önüne alalm. Kabul edelim ki, U = {h1, h2, h3, h4, h5, h6} ile verilen U evreninde 6 ev
olsun ve e1 `pahal' parametresini, e2`güzel' parametresini, e3 `ah³ap' parametresini, e4
`ucuz' parametresini, e5`bahçeli' parametresini göstermek üzere, E = {e1, e2, e3, e4, e5}
³eklinde verilsin. Kabul edelim ki, F (e1) = {h2, h4}, F (e2) = {h1, h3}, F (e3) =
{h3, h4, h5}, F (e4) = {h1, h3, h5} ve F (e5) = {h1} olsun. (F, E) esnek kümesi U
kümesinin alt kümelerinin {F (ei), i = 1, 2, 3, ..., 8} parametrize edilmi³ bir ailesidir ve
bir nesnenin yakla³k tanmlarnn bir koleksiyonunu verir. Göz önüne alnan F dönü³ümü evler (.) ³eklindedir. Burada nokta (.), bir e ∈ E parametresi ile doldurulur. Bu yüzden F (e1), fonksiyonel de§eri {h2, h4}kümesi olan `evler pahal' anlamna gelir.
Bu nedenle, biz (F, E) esnek kümesini a³a§daki gibi yakla³mlarn bir koleksiyonu olarak gösterebiliriz: (F, E) = { pahal evler= {h2, h4}, güzel evler= {h1, h3}, tahta
evler= {h3, h4, h5}, ucuz evler= {h1, h3, h5}, bahçeli evler= {h1} }.
Burada her bir yakla³mn iki ksm vardr.
i. Bir tahmini p ; ve
ii. Bir v yakla³k de§er kümesi ( veya basitçe v de§er kümesi)
Örne§in pahal evler= {h2, h4}yakla³m için biz, a³a§daki özeliklere sahibiz.
i. Tahmini isim yakla³k evlerdir; ve
U `pahal' `güzel' `ah³ap' `ucuz' `bahçeli' h1 0 1 0 1 1 h2 1 0 0 0 0 h3 0 1 1 1 0 h4 1 0 1 0 0 h5 0 0 1 1 0 h6 0 0 0 0 0
Tablo 1. Esnek bir kümenin tablo gösterimi
Bu yüzden bir (F, E) esnek kümesi, a³a§daki gibi yakla³mlarn bir koleksiyonu olarak gösterilebilir.
(F, E) = {p1 = v1, p2 = v2, ..., pn= vn}
Bir esnek kümeyi bir bilgisayarda depolamak için, esnek kümeyi Tablo 1'deki gibi temsil edebiliriz. (yukardaki bir esnek kümenin yerini tutan)
Tanm 2.2.8. (F, E) esnek kümesinin tüm de§er kümelerinin snfna, esnek kümenin de§er snf denir ve C(F,E)ile gösterilir. Yukardaki örnek için, C(F,E) = {v1, v2, ..., vn}
³eklindedir. Açkça C(F,E) ⊆ P (U )kapsamas do§rudur.
Tanm 2.2.9. U üzerinde (F, A) ve (G, B) esnek kümeleri için, e§er
i. A ⊆ B ve
ii. ∀ε ∈ A için F (ε) ve G(ε) özde³ yakla³mlar
ise (F, A), (G, B)'nin esnek alt kümesidir diyebiliriz ve (F, A) ˜⊂(G, B) ile gösteririz.
E§er (G, B), (F, A)'nin esnek alt kümesi ise (F, A)'ya (G, B)'nin esnek üst kümesidir denir ve (F, A) ˜⊇(G, B) ile gösterilir.
Tanm 2.2.10. E§er (F, A), (G, B)'nin esnek alt kümesi ve (G, B) de (F, A)'nn esnek alt kümesi ise (F, A) ve (G, B) esnek kümelerine U üzerinde esnek e³ittir denir.
Örnek 2.2.11. A = {e1, e3, e5} ⊂ E ve B = {e1, e2, e3, e5} ⊂ E ³eklinde olsun.
Açkça A ⊂ B dir. (F, A) ve (G, B) ayn U = {h1, h2, h3, h4, h5, h6} evrensel kümesi
üzerinde G(e1) = {h2, h4}, G(e2) = {h1, h3}, G(e3) = {h3, h4, h5}, G(e5) = {h1},
F (e1) = {h2, h4}, F (e3) = {h3, h4, h5}ve F (e5) = {h1}olacak ³ekilde iki esnek küme
olsun. O halde (F, A) ˜⊂(G, B) dir.
Tanm 2.2.12. E = {e1, e2, e3, ..., en}parametrelerin bir kümesi olsun. qE ile gösterilen
DEL küme qE = {¬e1, ¬e2, ¬e3, ..., ¬en}ile tanmlanr. Burada, ¬ei = not ei, ∀i.
(Fark edilebilir ki q ile ¬ farkl operatörlerdir.) Önerme 2.2.13. A³a§daki sonuçlar açktr.
1. q(qA) = A
2. q(A ∪ B) =qA∪qB 3. q(A ∩ B) =qA∩qB
Önerme 2.2.14. Örnek 2.2.7'de sunulan örnek göz önüne alnrsa qE = {pahal de§il, güzel de§il, ah³ap de§il, ucuz de§il, bahçeli de§il} ³eklinde yazlr.
Tanm 2.2.15. Bir (F, A) esnek kümesinin (F, A)c ile gösterilen tümleyeni (F, A)c =
(Fc, qA) yoluyla tanmlanr. Burada, Fc :qA → P (U ), Fc(α) = U − F (¬α), ∀α ∈qA
ile verilen bir dönü³ümdür.
Fc'yi F 'nin esnek tümleyen fonksiyonu olarak isimlendirelim. Açkça, (Fc)c, F ile ayndr ve ((F, A)c)c = (F, A)³eklindedir.
Örnek 2.2.16. Örnek 2.2.7 göz önüne alnrsa, (F, E)c = { pahal olmayan evler=
{h1, h3, h5, h6}, güzel olmayan evler= {h2, h4, h5, h6}, ah³ap olmayan evler= {h1, h2, h6},
ucuz olmayan evler {h2, h4, h6}, bahçeli olmayan evler= {h2, h3, h4, h5, h6}} ³eklinde
yazlr.
Tanm 2.2.17. E§er ∀ε ∈ A, F (ε) = φ (bo³ küme) ise U üzerinde bir (F, A) esnek kümesi bo³ esnek küme olarak isimlendirilir ve Φ ile gösterilir.
Örnek 2.2.18. Kabul edelim ki U, göz önüne alnan ³artlar altndaki ah³ap evlerin kümesi ve A parametrelerin bir kümesi olsun. U = {h1, h2, h3, h4, h5}ile verilen U evreninde
be³ ev olsun ve A = {tu§la, çamur, çelik. ta³} ³eklinde verilsin. (F, A) esnek kümesi evlerin yapm olarak tanmlansn.
Tu§ladan yaplan evler anlamna gelen F (tu§la); çamurdan yaplan evler anlamna gelen F (çamur); çelikten yaplan evler anlamna gelen F (çelik); ta³tan yaplan evler anlamna gelen F (ta³) yoluyla tanmlanan (F, A), yakla³mlarn bir koleksiyonu olarak (F, A) = { tu§ladan yaplan evler = φ, çamurdan yaplan evler = φ, çelikten yaplan evler = φ, ta³tan yaplan evler = φ} ³eklinde yazlr. Burada, (F, A) bo³ esnek kümedir. Tanm 2.2.19. E§er ∀ε ∈ A, F (ε) = U ise U üzerinde bir (F, A) esnek kümesi mutlak esnek küme olarak isimlendirilir ve ˜Aile gösterilir. Açkça, ˜Ac = Φve Φc = ˜Adr. Örnek 2.2.20. Kabul edelim ki U, göz önüne alnan ³artlar altndaki ah³ap evlerin kümesi ve B parametrelerin bir kümesi olsun. U = {h1, h2, h3, h4, h5}ile verilen U evreninde
be³ ev olsun ve B = {tu§la de§il, çamur de§il, çelik de§il, ta³ de§il} ³eklinde verilsin. (G, B)esnek kümesi evlerin yapm olarak tanmlansn.
Tu§la olmayan evler anlamna gelen G(tu§la de§il); çamur olmayan evler anlamna gelen G(çamur de§il); çelik olmayan evler anlamna gelen G(çelik de§il ); ta³ olmayan evler anlamna gelen G(ta³ de§il) yoluyla tanmlanan (G, B) yakla³mlarn bir koleksiyonu olarak (G, B) = { tu§la olmayan evler = {h1, h2, h3, h4, h5}, çamur olmayan evler
= {h1, h2, h3, h4, h5}, çelik olmayan evler = {h1, h2, h3, h4, h5}, ta³ olmayan evler
= {h1, h2, h3, h4, h5}}³eklinde yazlr. Burada, (G, B) mutlak esnek kümedir.
Molodtsov tarafndan [7]'de verilen öneriler yardmyla, iki esnek küme üzerinde V E ve V EY Ai³lemi kavramlarn a³a§daki gibi sunuyoruz.
Tanm 2.2.21. E§er (F, A) ve (G, B) iki esnek küme ise, (F, A) ∧ (G, B) ile gösterilen (F, A) V E (G, B) i³lemi (F, A) ∧ (G, B) = (H, A × B) ile tanmlanr. Burada H(α, β) = F (α) ∩ G(β), ∀(α, β) ∈ A × B³eklindedir.
Örnek 2.2.22. evlerin pahas ile tanmlanan (F, A) ve evlerin çekicili§i olarak tanmlanan (G, B) esnek kümeleri göz önüne alnsn. Kabul edelim ki, U = {h1, h2, h3, h4,
h5, h6, h7, h8, h9, h10}, A = {çok pahal, pahal, ucuz} ve B = {güzel, bahçeli, ucuz}
F(çok pahal)= {h2, h4, h7, h8}, F (pahal)= {h1, h3, h5}, F (ucuz)= {h6, h9, h10},
G(güzel) = {h2, h3, h7}, G(bahçeli)= {h5, h6, h8}, G(ucuz)= {h6, h9, h10} olsun. O
halde (F, A)∧(G, B) = (H, A×B) dir. Burada H(çok pahal, güzel)= {h2, h7}, H(çok
pahal, bahçeli)= {h8}, H(çok pahal, ucuz)= φ, H(pahalı, g¨uzel) = {h3}, H(pahal,
bahçeli)= {h5}, H(pahal, ucuz)= φ, H(ucuz, güzel)= φ, H(ucuz, bahçeli)= {h6},
H(ucuz, ucuz)= {h6, h9, h10}³eklindedir.
Tanm 2.2.23. E§er (F, A) ve (G, B) iki esnek küme ise, (F, A) ∨ (G, B) ile gösterilen (F, A) V EY A (G, B) i³lemi (F, A) ∨ (G, B) = (O, A × B) ile tanmlanr. Burada O(α, β) = F (α) ∪ G(β), ∀(α, β) ∈ A × B ³eklindedir.
Örnek 2.2.24. Örnek 2.2.22 gözönüne alnsn. O halde (F, A) ∨ (G, B) = (O, A × B) dir. Burada O(çok pahal, güzel)= {h2, h3, h4, h7, h8}, O(çok pahal, bahçeli)=
{h2, h4, h5, h6, h7, h8}, O(çok pahal, ucuz)= {h2, h4, h6, h7, h8, h9, h10}, O(pahal,
güzel)= {h1, h2, h3, h5, h7}, O(pahal bahçeli)= {h1, h3, h5, h6, h8}, O(pahal, ucuz)=
{h1, h3, h5, h6, h9, h10}, O(ucuz, güzel) = {h2, h3, h6, h7, h9, h10}, O(ucuz,bahçeli)=
{h5, h6, h8, h9, h10}, O(ucuz,ucuz)= {h6, h9, h10}³eklindedir.
Önerme 2.2.25. A³a§da, i³lemlerin De'Morgan kurallarn sa§lad§n görüyoruz.
i. ((F, A) ∨ (G, B))c = (F, A)c∧ (G, B)c
ii. ((F, A) ∧ (G, B))c = (F, A)c∨ (G, B)c
spat .
i. Kabul edelim ki, (F, A)∨(G, B) = (O, A×B) olsun. O halde ((F, A)∨(G, B))c =
(O, A × B)c= (Oc, q(A × B)) ³eklindedir. Buradan
(F, A)c∧ (G, B)c = (Fc, qA) ∧ (Gc, qB)
= (J, qA×qB) burada J(x, y) = Fc(x) ∩ Gc(y)
elde edilir. imdi (¬α, ¬β) ∈q(A × B) alalm. Bu taktirde, Oc(¬α, ¬β) = U − O(α, β) = U − [F (α) ∪ G(β)] = [U − F (α)] ∩ [U − G(β)] = Fc(¬α) ∩ Gc(¬β) = J (¬α, ¬β) ⇒ Oc ve J ayndrlar. O halde ispat tamamlanr.
ii. Kabul edelim ki, (F, A)∧(G, B) = (H, A×B) olsun. O halde ((F, A)∧(G, B))c =
(H, A × B)c= (Hc, q(A × B)) ³eklindedir. Burada
(F, A)c∨ (G, B)c = (Fc, qA) ∨ (Gc, qB)
= (K, qA×qB) burada K(x, y) = Fc(x) ∪ Gc(y)
= (K, q(A × B))
elde edilir. imdi (¬α, ¬β) ∈q(A × B) alalm. Bu taktirde,
Hc(¬α, ¬β) = U − H(α, β)
= U − [F (α) ∩ G(β)] = [U − F (α)] ∪ [U − G(β)] = Fc(¬α) ∪ Gc(¬β)
= K(¬α, ¬β) ⇒ Hc ve K ayndrlar. O halde ispat tamamlanr.
Tanm 2.2.26. U üzerinde (F, A) ve (G, B) esnek kümelerinin birle³imi, (H, C) dir. Burada, C = A ∪ B and ∀e ∈ C için,
H(e) = F (e) e˘ger e ∈ A − B, = G(e) e˘ger e ∈ B − A,
= F (e) ∪ G(e) e˘ger e ∈ A ∩ B, ile tanmlanr. Bunu (F, A)˜∪(G, B) = (H, C) ³eklinde yazarz.
Yukardaki örnekte, (F, A)˜∪(G, B) = (H, C) dir. Burada, H(çok pahal)= {h2, h4, h7,h8},
H(pahal)= {h1, h3, h5}, H(ucuz)= {h6, h9, h10}, H(güzel)= {h2, h3, h7}, H(bahçeli)=
{h5, h6, h8}³eklindedir.
Tanm 2.2.27. U üzerinde (F, A) ve (G, B) esnek kümelerinin kesi³imi, (H, C) dir. Burada, C = A ∩ B ve ∀e ∈ C için, H(e) = F (e) veya G(e), (her ikiside ayn küme oldu§unda) ile tanmlanr. Bunu (F, A)˜∩(G, B) = (H, C) ³eklinde yazarz.
Yukardaki örnekte, (F, A) ve (G, B) esnek kümelerinin kesi³imi (H, C) dir. Burada, C = {ucuz }ve H(ucuz)= {h6, h9, h10}³eklindedir.
A³a§daki sonuçlar açktr. Önerme 2.2.28.
i. (F, A)˜∪(F, A) = (F, A) ii. (F, A)˜∩(F, A) = (F, A)
iii. (F, A)˜∪Φ = Φ, burada Φ bo³ esnek kümedir. iv. (F, A)˜∩Φ = Φ
v. (F, A)˜∪ ˜A = ˜A, burada ˜Amutlak esnek kümedir. vi. (F, A)˜∩ ˜A = (F, A)
Önerme 2.2.29.
i. ((F, A) ∪ (G, B))c = (F, A)c∪ (G, B)c
spat .
i. Kabul edelim ki (F, A)˜∪(G, B) = (H, C) olsun. Burada,
H(α) = F (α) e˘ger α ∈ A − B, = G(α) e˘ger α ∈ B − A,
= F (α) ∪ G(α) e˘ger α ∈ A ∩ B,
³eklindedir. Bu taktirde, ((F, A) ∪ (G, B))c = (H, A ∪ B)c = (Hc, qA∪qB)
³eklindedir. imdi, Hc(¬α) = U − H(α), ∀¬α ∈qA∪qB alalm. Bu taktirde,
Hc(¬α) = Fc(¬α) e˘ger ¬α ∈qA−qB,
= Gc(¬α) e˘ger ¬α ∈ ¬B−qA,
= Fc(¬α) ∪ Gc(¬α) e˘ger ¬α ∈qA∩qB,
³eklindedir. Tekrar, (F, A)c∪(G, B)˜ c = (Fc
, qA)˜∪(Gc
, qB) = (K, qA∪qB) dir. Burada,
Kc(¬α) = Fc(¬α) e˘ger ¬α ∈qA−qB,
= Gc(¬α) e˘ger ¬α ∈qB−qA,
= Fc(¬α) ∪ Gc(¬α) e˘ger ¬α ∈qA∩qB, ⇒ Hc ve K ayndrlar. O halde ispat tamamlanr.
ii. Kabul edelim ki (F, A)˜∩(G, B) = (H, A∩B) olsun. Bu taktirde, ((F, A)˜∩(G, B))c =
(Hc, qA∩qB) dir. imdi
(F, A)c∩(G, B)˜ c = (Fc
, qA)˜∩(Gc
, qB) = (K, qA∩qB) alalm. Burada, ∀¬α ∈ (qA∩qB) ³eklindedir.
Kc(¬α) = Fc(¬α) veya Gc(¬α)
= F (α) veya G(α), burada α ∈ A ∩ B = H(α)
= Hc(¬α)
Önerme 2.2.30. E§er (F, A), (G, B) ve (H, C), U üzerinde üç esnek küme ise o halde a³a§dakiler geçerlidir.
i. (F, A)˜∪((G, B)˜∪(H, C)) = ((F, A)˜∪(G, B))˜∪(H, C) ii. (F, A)˜∩((G, B)˜∩(H, C)) = ((F, A)˜∩(G, B))˜∩(H, C)
iii. (F, A)˜∩((G, B)˜∪(H, C)) = ((F, A)˜∩(G, B))˜∪((F, A)˜∩(H, C)) iv. (F, A)˜∪((G, B)˜∩(H, C)) = ((F, A)˜∪(G, B))˜∩((F, A)˜∪(H, C))
Önerme 2.2.31. E§er (F, A), (G, B) ve (H, C), U üzerinde üç esnek küme ise o halde a³a§daki e³itlikler sa§lanr.
i. (F, A) ∨ ((G, B) ∨ (H, C)) = ((F, A) ∨ (G, B)) ∨ (H, C) ii. (F, A) ∧ ((G, B) ∧ (H, C)) = ((F, A) ∧ (G, B)) ∧ (H, C)
iii. (F, A) ∨ ((G, B) ∧ (H, C)) = ((F, A) ∨ (G, B)) ∧ ((F, A) ∨ (H, C)) iv. (F, A) ∧ ((G, B) ∨ (H, C)) = ((F, A) ∧ (G, B)) ∨ ((F, A) ∧ (H, C))
(Maji ve ark., 2003).
Maji ve ark. (2003), yukarda yer verilen çal³ma ile e³ zamanl olarak Bir Karar Verme Probleminde Esnek Kümelerin Bir Uygulamas (2002) ba³lkl bir çal³ma yaymladlar ve bir esnek kümede en uygun seçim için bir karar kural (di§er bir deyi³le karar verme metodu) tanmladlar. Pawlak (1982)'n yakla³ml küme teorisinde kullanlan parametre indirgemesini kullanarak verdikleri bu kuraln, esnek kümelerde çal³mad§n gösteren Chen (2003), yeni bir indirgeme yöntemi tanmlad. Daha sonra Kong ve ark. (2008), Chen (2003)'in indirgeme yönteminin do§ru sonuçlar vermedi§ini belirterek, iki indirgeme yöntemi sundu. Bu tez çal³masnda, indirgeme yöntemi kullanlmadan bir esnek karar metodu tanmland ve çal³mann dördüncü bölümünde sunuldu.
2.3 Pei ve ark.'nn Esnek Küme Yakla³m
Pei ve ark. (2005), esnek kümeler ile bilgi sistemleri arasndaki ili³kileri tart³arak, esnek kümelerin bilgi sistemlerinin özel bir snf oldu§unu gösterdi. Daha sonra esnek kümeleri birkaç snfa geni³leterek, parçal tipten esnek kümeler ile bilgi sistemlerinin ayn formal yapya sahip oldu§unu kantlad. Son olarak bulank esnek kümeler ile bulank bilgi sistemlerinin birbirine denk oldu§unu ortaya koydu. Yazarlarn esnek yakla³m, kendi ifadeleriyle a³a§daki gibidir.
Ciddi gözlem yapan bir ki³i, esnek kümeler ile bilgi sistemleri arasnda sk bir ili³kinin mevcut oldu§unu görebilir. Bu iki bran³ arasndaki ili³kiyi açklayarak onlar birle³timeyi hede iyoruz. Sonuçlar, esnek kümelerin, ilgi sistemlerinin özel bir snf oldu§unu ve hem esnek kümeler hemde bilgi sistemlerindeki ara³trmalarn birle³tirilebilece§ini, dahas birkaç yeni sonuç ve metodun beklenebilece§ini gösteriyor.
Burada herhangi bir U kümesinin kuvvet kümesine kar³lk P(U) ve U'nun bütün bulank alt kümelerinin kümesine kar³lk F(U) notasyonlarn kullanaca§z.
Tanm 2.3.32. U evrensel küme olarak adlandrlan, nesnelerin bo³ olmayan sonlu bir kümesi olsun. Bir (F, E) sral ikilisine U üzerinde bir esnek küme denir. Burada F , E'den P(U)'ya bir dönü³ümdür. U üzerindeki bütün esnek kümelerin kümesi S(U) ile gösterilir.
Aslnda bir esnek küme U'nun alt kümelerinin parametrize edilmi³ bir ailesi olarak yorumlanabilir ve bu yüzden E'den parametrelerin bir kümesi olarak söz edebiliriz. [5]
Bazen sadece, U üzerinde parametre kümeleri ayn olan ve standart esnek kümeler olarak adlandrlan kümeleri dü³ünece§iz ve U üzerindeki bütün standart esnek kümelerin kümesini S0(U )ile gösterece§iz.
ki önemsiz esnek küme, bo³ esnek küme ve total esnek kümedir. (veya mutlak esnek kümedir [4]). Srasyla
i. ∀e ∈ E için Φ = (F, E) : F (e) = φ, ii. ∀e ∈ E için Ψ = (F, E) : F (e) = U
³eklinde tanmlanr.
Molodtsov [5], bulank kümelerin ve topolojik uzaylarn özel esnek kümeler olarak dü³ünülebilece§ini gösterdi.
Kabul edelim ki, A, U evreninde bir bulank küme olsun. Parametre kümesini E = [0, 1] olarak alalm ve F : E → P(U) dönü³ümünü a³a§daki gibi tanmlayalm.
F (α) = {x ∈ U : A(x) ≥ α}, α ∈ E Ba³ka bir ifadeyle, F (α), A kümesinin α− seviye kümesidir.
Bulank kümelerdeki ayr³m teoremini kullanarak [2], bir bulank kümenin bir esnek küme olarak, tek bir ³ekilde temsil edilebilece§ini görüyoruz [12].
Aslnda, X üzerindeki bir esnek küme, (F, X) sral ikilisi olarak da tanmlanabilir. Burada (X, T ) bir topolojik uzay ve F (x), X'deki bir x noktasnn bütün açk kom³uluklarnn bir ailesidir. Yani,
F (x) = {V ∈ T : x ∈ V }
³eklindedir. Benzer olarak, yakla³ml kümeleride, esnek kümelerin çats içine koyabiliriz.
Verilen herhangi U, R ⊆ U × U kümelerine U üzerinde bir ikili ba§nt denir. E§er, ∀x ∈ U için (x, x) ∈ R ise R'ye yansyandr denir. E§er, ∀x, y ∈ U için (x, y) ∈ R iken (y, x) ∈ Rise R'ye simetriktir denir. E§er ∀x, y, z ∈ U için (x, y) ∈ R ve (y, z) ∈ R iken (y, z) ∈ R ise geçi³melidir denir. E§er, U üzerindeki ba§nt, yansyan, simetrik ve geçi³meli ise bir denklik ba§nts olarak isimlendirilir.
Pawlak'a göre [7,8], (U, R) sral ikilisine bir yakla³m uzay yada bir ba§nt bilgi sistemi denir. Burada, U bir evrensel küme ve R de U üzerinde bir denklik ba§ntsdr. U'nun herbir A alt kümesi için, aprRyakla³m dönü³ümü, A kümesini, onun alt yakla³m kümesi olan aprR(A) kümesine ve aprR yakla³m dönü³ümü, A kümesini, onun üst yakla³m kümesi olan aprR(A)kümesine dönü³türür. Burada [x]R, R denklik ba§ntsna göre x'in
denklik snfn göstermek üzere,
apr
R(A) = {x ∈ U : [x]R⊆ A}
aprR(A) = {x ∈ U : [x]R∩ A 6= ∅}
³eklindedir. Bu nedenle, (U, R) yakla³ml küme modeli, U üzerindeki (aprR, P(U ))ve (aprR, P(U ))iki esnek kümesi gibi görülebilir.
Ba³langçta Pawlak [7,8], R ikili ba§ntsnn U evrensel kümesi üzerinde bir denklik ba§nts oldu§unu kabul etti. Bu tür yakla³m uzaylarna klasik yakla³m uzaylar veya Pawlak yakla³m uzaylar denir. Daha sonra bir çok bilim insan Pawlak yakla³m uzaylarn daha genel durumlara genelle³tirmek için çal³t. Örne§in, Yao [10] ( bkz. [14]), Pawlak yakla³m uzaylarn, genelle³tirilmi³ yakla³m uzaylar olarak adlandrlan, denklik ba§ntlarnn U üzerindeki key ikili ba§ntlarla de§i³tirildi§i durumlara geni³letti.
Bu çal³ma boyunca, U evrensel kümesi üzerindeki bütün Pawlak yakla³m uzaylarnn kümesine kar³lk P AS(U) notasyonunu kullanaca§z.
Molodtsov [5] ve Maji ve ark.[4] tarafndan esnek kümelerin kapsama ve e³itlik kavramlar ile baz i³lemleri tanmland. Ancak, S0(U )kümesinin cebirsel yapsn yeterince tart³mak
için, onlarn tanmlarn biz uygun bir ³ekilde a³a§daki gibi yeniden tanmlyoruz. Tanm 2.3.33. (F, A) ve (G, B) ∈ S(U) olsun.
i. E§er ∀a ∈ A için A ⊆ B ve F (a) ⊆ G(a) ise (F, A) ya (G, B)'nin alt kümesi denir ve (F, A) ⊆ (G, B) ile gösterilir.
ii. E§er (F, A) ⊆ (G, B) ve (G, B) ⊆ (F, A) ise (F, A), (G, B)'ye esnek e³ittir denir ve (F, A) = (G, B) ile gösterilir.
Tanm 2.3.34. (F, E) ∈ S(U) ve E = {e1, ..., en}, ¬ olumsuzluk i³lemi ile bir parametre
kümesi olsun. A ⊆ E için ¬A = {¬e|e ∈ A} ile gösterilir. (Fc, ¬A), (F, A) esnek
kümesinin tümleyeni olarak adlandrlr ve (F, A)c ile gösterilir. Burada Fc : ¬A →
P(U ),
Fc(e) =∼ F (e) = U \ F (¬e), e ∈ A
³eklindedir. Biz (F, A)c ile (F, A) esnek kümesinin tümleyenini kastediyoruz.
Tanm 2.3.35. (F, A) ve (G, B) ∈ S(U) olsun.
i. (F, A) ve (G, B) esnek kümelerinin temel kesi³imi, U × U üzerinde
(H, C) = (F, A) ∧ (G, B)
esnek kümesi olarak tanmlanr. Burada, C = A × B ve ∀(a, b) ∈ A × B için H(a, b) = F (a) ∩ G(b)³eklindedir.
ii. (F, A) ve (G, B) esnek kümelerinin temel birle³imi, U × U üzerinde
(H, C) = (F, A) ∨ (G, B)
esnek kümesi olarak tanmlanr. Burada, C = A × B ve ∀(a, b) ∈ A × B için H(a, b) = F (a) ∪ G(b)³eklindedir.
iii. (F, A) ve (G, B) esnek kümelerinin (H, C) birle³imi, C = A ∪ B ve ∀c ∈ C için
H(c) = F (c), c ∈ A \ B, G(c), c ∈ B \ A, F (c) ∪ G(c), c ∈ A ∩ B; ³eklindedir ve (F, A) ∪ (G, B) ile gösterilir.
iv. (F, A) ve (G, B) esnek kümelerinin (H, C) kesi³imi, C = A ∩ B ve ∀c ∈ C için H(c) = F (c) ∩ G(c)³eklindedir ve (F, A) ∩ (G, B) ile gösterilir.
Dikkat edilmelidir ki S(U)'daki (F, A) ve (G, B) için, (F, A)∧(G, B) ve (F, A)∨(G, B), S(U × U )'dadr. Ancak (F, A) ∪ (G, B) ve (F, A) ∩ (G, B), S(U)'dadr.
Yukardaki tanmda iv.'te, [4]'te verilen esnek kümelerin kesi³imi ile ilgili yanl³ düzelttik. Çünkü genellikle, ∀c ∈ C için H(c) and G(c)'nin e³it olmas ³art de§ildir.
Önerme 2.3.36. (F, A) ve (G, B) ∈ S(U) olsun. O halde
i. ∧ ve ∨ i³lemleri,c'ye göre De' Morgan kurallarn sa§lar.
((F, A) ∨ (G, B))c = (F, A)c∧ (G, B)c
((F, A) ∧ (G, B))c = (F, A)c∨ (G, B)c
ii. ∧ ve ∨ i³lemleri, birle³me ve da§lma özeliklerini sa§lar.
(F, A) ∨ ((G, B) ∨ (H, C)) = ((F, A) ∨ (G, B)) ∨ (H, C) (F, A) ∧ ((G, B) ∧ (H, C)) = ((F, A) ∧ (G, B)) ∧ (H, C)
(F, A) ∨ ((G, B) ∧ (H, C)) = ((F, A) ∨ (G, B)) ∧ ((F, A) ∨ (H, C)) (F, A) ∧ ((G, B) ∨ (H, C)) = ((F, A) ∧ (G, B)) ∨ ((F, A) ∧ (H, C)) iii. ∪ ve ∩ i³lemleri tek kuvvet, birle³im ve de§i³im özeliklerini sa§lar.
(F, A) ∪ (F, A) = (F, A) (F, A) ∩ (F, A) = (F, A) (F, A) ∪ ((G, B) ∪ (H, C)) = ((F, A) ∪ (G, B)) ∪ (H, C) (F, A) ∩ ((G, B) ∩ (H, C)) = ((F, A) ∩ (G, B)) ∩ (H, C) (F, A) ∪ ((G, B) ∩ (H, C)) = ((F, A) ∪ (G, B)) ∩ ((F, A) ∪ (H, C)) (F, A) ∩ ((G, B) ∪ (H, C)) = ((F, A) ∩ (G, B)) ∪ ((F, A) ∩ (H, C))
iv. Φ ∈ S0(U ) bo³ esnek kümesi, ∪ i³leminin birim eleman ve ∩ i³leminin bo³
elemandr. Yani, ∀(F, E) ∈ S0(U )için
(F, E) ∪ Φ = (F, E) (F, E) ∩ Φ = Φ e³itlikleri do§rudur.
v. Ψ ∈ S0(U ) total esnek kümesi, ∪ i³leminin bo³ eleman ve ∩ i³leminin birim
elemandr. Yani, ∀(F, E) ∈ S0(U )için
(F, E) ∪ Ψ = Ψ (F, E) ∩ Ψ = (F, E) e³itlikleri do§rudur.
Esnek küme i³lemlerinin özeliklerini özetleyen a³a§daki sonuçlar verebiliriz. Önerme 2.3.37. (S0(U ), Φ, Ψ, ∪, ∩)yaps snrl da§lml bir kafestir.
Ancak, (S0(U ), Φ, Ψ,c, ∧, ∨) yaps snrl da§lml bir kafes de§ildir. Çünkü, ∧ ve ∨
i³lemleri S0(U )'da kapal de§ildir. Fakat, Boolean cebirinin tümleyen kurallarna benzer
olarak a³a§daki özelikleri kolayca elde edebiliriz. Önerme 2.3.38. Her (F, E) ∈ S0(U )için
i. (F, E) ∧ (F, E)c = Φ
ii. (F, E) ∨ (F, E)c = Ψ
e³itlikleri do§rudur. Burada, Φ ve Ψ, U × U üzerinde srasyla bo³ ve total esnek kümelerdir.
imdi, herhangi bir ki³i tarafndan satn alnacak olan evlerin çekicili§ini tanmlada, Molodtsov [5] tarafndan verilen bir örne§e göz atalm.
Örnek 2.3.39. U; üzerinde dü³ünülen evlerin kümesi,
E = {pahal,ucuz,güzel,modern,bahçeli,ah³ap,iyi görünümlü,kötü görünümlü} ³eklinde parametrelerin bir kümesi ve F 'de E'den P(U)' ya bir dönü³üm olsun.
A³a§daki tabloyu [4]'den olu³turabiliriz. O E B W C G h1 0 1 0 1 0 h2 1 0 0 0 0 h3 0 1 1 1 0 h4 1 0 1 0 0 h5 0 0 1 1 0 h6 0 0 0 0 0
Yukardaki tabloda, O har nesnelere, E har pahal parametresine, B har güzel parametresine, W har ah³ap parametresine, C har ucuz parametresine ve G har de "bahçeli parametresine kar³lk gelmektedir.
Bu klasik örnekten, esnek kümelerin çok basit iki görüntüyle kar³mza çkt§n görebiliriz. lki, her parametre için nesneleri sadece iki basit snf içinde (evet yada hayr) sn ayan bir dönü³üm olmas, ikincisi ise, her parametrenin dönü³üm altnda görüntüsünün evrensel kümenin bir keskin alt kümesi olmasdr.
Ancak, esnek kümeleri teoriksel ve uygulamal olarak çal³an ara³trmaclar için bu durumlar genellikle daha da kar³ktr. Bu nedenle, esnek küme kavramn daha genel durumlara geni³letmek çok do§al bir problemdir.
lk olarak, klasik küme teorisi bak³ açs ile, verilen standart her parametrenin sadece iki derece de§il, çok dereceler içerdi§ini dü³ünelim. Örne§in, önceki örnekte evlerin pahal olma derecesi üçe ayrlabilir: a³r, orta ve dü³ük.
Bu durumlarda, her parametre evrensel kümenin bir parçalanmasn belirtir. Dolaysyla, biz klasik esnek küme kavramn, bir parametrenin dönü³üm altndaki görüntüsünün everensel kümenin bir parçalanmas olan daha genel durumlara geni³letebiliriz.
T ⊆ P(U )olsun. T 'ye e§er a³a§daki ³artlar sa§lanyor ise U evrensel kümesinin bir parçalanmas denir.
i. ∅ /∈ T ,
ii. ∀A, B ∈ T için A 6= B iken A ∩ B = ∅, iii. S T = U.
U evrensel kümesinin bütün parçalanmalarnn kümesi P ar(U) ile gösterilir.
Tanm 2.3.40. U bir evrensel küme olsun. E§er F , E'den P ar(U) kümesi içerisine bir dönü³üm ise bir (F, E) sral ikilisine, U üzerinde bir parçal tipten esnek küme denir
U üzerindeki bütün parçal tipten esnek kümelerin kümesi P S(U) ile gösterilir. U üzerindeki klasik bir (F, E) esnek kümesinin aslnda parçal tipten ( ˜F , E)esnek kümesinin özel bir durumu oldu§unu görebiliriz. Gerçekten, her e ∈ E parametresi için F (e) 6= ∅ ve F (e) 6= U oldu§u herzaman ˜F (e) görüntüsü, {F (e), U \ F (e)} kümesinin bir parçalanmas olarak tanmlanabilir. Böylece, kolayca bu parçalanmann U'nun parçalanmalarna kar³lk geldi§i görülür.
Herhangi bir evrensel kümenin bir parçalanmasnn evrensel kümenin bir örtüsü olmas gerekti§i gerçe§ini kullanarak, daha da genel olan durumlar (her parametrenin dönü³üm altndaki görüntüsünün evrensel kümenin bir örtüsü oldu§u durumlar gibi) dü³ünebiliriz.
C ⊆ P(U )olsun. E§er a³a§daki ³artlar sa§lanyor ise, C'ye U evrensel kümesinin bir örtüsü denir.
i. ∅ /∈ C, ii. S C = U.
U evrensel kümesinin bütün örtülerinin kümesi Cov(U) ile gösterilir.
Tanm 2.3.41. U bir evrensel küme olsun. E§er, F , E'den Cov(U) içine bir dönü³üm ise, (F, E) sral ikilisine U üzerinde örten tipten bir esnek küme denir. U üzerindeki bütün örten tipten bir esnek kümelerin kümesi CS(U) ile gösterilir.
kinci olarak, bulank küme bak³ açs ile yakla³lacak olunursa, klasik esnek küme kavram, her parametrenin dönü³üm altndaki görüntüsünün evrensel kümenin bir bulank alt kümesi oldu§u durumlara geni³letilebilir. Aslnda, bu geni³leme sn ar pratikte baklacak olunursa son derece do§aldr. Önceki örnekte, bir evin pahal", güzel yada ucuz olmas durumlar tamamen bulanktr. Genellikle, evin kalite derecesini ölçmek için ki³i [0, 1] birim aral§nda bir reel say verir.
U evrensel kümesinden [0, 1] birim aral§na tanml bir A dönü³ümüne U üzerinde bir bulank küme denir. U üzerindeki bütün bulank kümelerin kümesi F(U) ile gösterilir [12].
Tanm 2.3.42. U bir evrensel küme olsun. E§er F , E'den F(U) kümesine bir dönü³üm ise (F, E) sral ikilisine U kümesi üzerinde bir bulank esnek küme denir. U üzerindeki bütün bulank esnek kümelerin kümesi F S(U) ile gösterilir.
Bir U evrensel kümesi üzerindeki klasik bir (F, E) esnek kümesinin bir ( ˜F , E)bulank esnek kümesi olarak görülebilece§i açktr. Gerçekten, e ∈ E için e'nin ˜F altndaki görüntüsü F (e) kümesinin karakteristik fonksiyonu olarak
˜ F (e) = χF (e) = 1, a ∈ F (e) 0, a /∈ F (e) ³eklinde tanmlanabilir.
Genelle³tirilmi³ esnek kümelerin üç snf için de kapsama, e³itlik ve Tanm 2-4 de ki di§er i³lemler benzer olarak tanmlanabilir.
Önceki ksmda verilen esnek küme kavram ve esnek küme örne§inden de görülebilece§i gibi bir klasik esnek küme aslnda sadece 0 ve 1 de§erlerini alma özelli§ine sahip basit bir bilgi sistemidir ( Pei ve ark., 2005).
Bu bölümde ilk olarak, Maji ve ark. (2002, 2003)'nn esnek kümeler teorisi üzerine yaptklar baz tanmlar, daha i³levsel olmalar için modi ye edildi. Ayrca, bu yeni tanmlar kullanlarak esnek kümelerin temel özelikleri ve esnek küme i³lemleri verildi.
3.1 Esnek Kümeler
Esnek küme kavram, U evrensel kümesinin alt kümeler ailesinin parametrize edilmi³ bir ailesidir. Bir esnek kümede sral ikililer, esnek kümenin eleman veya üyesi olarak isimlendirilirler. Biz bu esnek kümeleri FA, FB, ..., GA, ... ³eklinde büyük har er ile
gösterece§iz.
Bir nesneler kümesi üzerinde esnek küme tanmlamak için, nesneleri karakterize eden özelikleri ifade etmek zorundayz. Bu özelikleri ifade etmek için kullanaca§mz parametrelerin kümesine parametre kümesi denir. Birinci bile³ende parametre, ikinci bile³ende özeli§i sa§layan nesnelerin kümesi olacak ³ekilde yazlan sral ikililerle bir esnek küme yazabiliriz. Di§er bir deyi³le bir esnek küme bu ³ekilde iyi tanml sral ikililerin bir koleksiyonudur.
Tanm 3.1.1. U bir ba³langç evreni; P (U), U'nun kuvvet kümesi; E ba³langç evreninin elemanlarn niteleyen tüm parametrelerin kümesi ve A ⊆ E olsun. U üzerinde bir (fA, E)
esnek kümesi, sral ikililerin bir kümesi ile a³a§daki ³ekilde tanmlanr.
(fA, E) = {(e, fA(e)) : e ∈ E, fA(e) ∈ P (U )}, (3.1)
burada, fA: E → P (U )ve e /∈ A için fA(e) = ∅³eklindedir.
Burada, fA yakla³m fonksiyonu olarak isimlendirilir. e ∈ E parametreleri ile ili³kili
nesneleri içeren fA(e)kümesi, e-yakla³m de§er kümesi veya e-yakla³m kümesi olarak
Esnek kümenin tanmna göre, bir (fA, E) esnek kümesi biçimsel olarak onun üyelik
fonksiyonu olan fA'ya e³ittir. Biz herhangi bir esnek kümeyi onun üyelik fonksiyonu ile
belirliyoruz ve bu iki kavram birbiri ile yer de§i³tirebilir olarak görüyoruz.
Ksalk için, bundan sonra (fA, E)notasyonu yerine FA notasyonunu kullanaca§z. fA
notasyonunda ki A alt indisi, fA'nn FAesnek kümesinin yakla³m fonksiyonu oldu§unu
gösterir.
E§er (e, fA(e)), FA esnek kümesine aitse (e, fA(e)) ∈ FA aksi taktirde (e, fA(e)) /∈ FA
³eklinde yazarz. Di§er bir ifadeyle, her bir (e, fA(e)) eleman için sadece bir olaslk
vardr. (e, fA(e)), ya FAesnek kümesine dahildir ya da de§ildir.
Esnek küme teorisindeki temel kavram yakla³mdr. e1, e2 ∈ E için fA(e1) ⊂ fA(e2)ise
e2parametresinin yakla³m de§eri e1parametresinin yakla³m de§erinden daha büyüktür.
Bunun anlam, e2, U'da e1 den daha fazla elemanla ili³kilidir.
Bir esnek kümeyi, onun elemanlarn listeleme yoluyla gösterebiliriz. Örne§in, U = {u1, u2, u3, u4, u5} nesnelerin kümesi, E = {e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7} parametrelerin
kümesi ve A = {e2, e3, e5, e6}, E'nin alt kümesi olsun. Kabul edelim ki fA(e2) =
{u2, u4}, fA(e3) = ∅, fA(e5) = {u1, u2}ve fA(e6) = {u2, u3, u5}³eklinde belirtilsin. O
halde FAesnek kümesi
FA= {(e2, {u2, u4}), (e5, {u1, u2}), (e6, {u2, u3, u5)}
³eklinde yazlr. Listelenmi³ olan elemanlarn sras önemli de§ildir. Yani,
{(e2, {u2, u4}), (e5, {u1, u2})} = {(e5, {u1, u2}), (e2, {u2, u4})}
e³itli§i do§rudur. Bunun yansra bir eleman sadece bir defa listelenir.
{(e2, {u2, u4}), (e5, {u1, u2}), (e2, {u2, u4})}yerine {(e2, {u2, u4}), (e5, {u1, u2})}
Ayrca, bir esnek kümeyi, onun elemanlar bir veya daha fazla ortak özeli§e sahip oldu§unda, bu özeli§i kullanarak da gösterebiliriz. Örne§in,
FA = {(e, fA(e)) : fA(e) = ∅, e ∈ E}
Yukardaki gösterimlerin yansra, i³lenen verilerin daha rahat görülebilmesi için tablo yöntemi kullanlabilir. U bir evrensel küme, E tüm parametrelerin kümesi ve A ⊆ E olsun. U üzerinde bir FA esnek kümesi için, onun bilgi tablosu, i = 1, 2, ..., m ve
j = 1, 2, ..., niçin ρfA : U × E → {0, 1} (hi, ej) → ρfA(hi, ej) = 1, hi ∈ fA(ej) 0, hi ∈ f/ A(ej)
yoluyla a³a§daki gibi elde edilir.
ρfA e1 e2 . . . ej h1 ρfA(h1, e1) ρfA(h1, e2) . . . ρfA(h1, ej) h2 ρfA(h2, e1) ρfA(h2, e2) . . . ρfA(h2, ej) . . . . . . . . . . . . hi ρfA(hi, e1) ρfA(hi, e2) . . . ρfA(hi, ej)
Örne§in, yukarda in³a etti§imiz FAesnek kümesi,
ρfA e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 u1 0 0 0 0 1 0 0 u2 0 1 0 0 1 1 0 u3 0 0 0 0 0 1 0 u4 0 1 0 0 0 0 0 u5 0 0 0 0 0 1 0 veya ρfA e2 e5 e6 u1 0 1 0 u2 1 1 1 u3 0 0 1 u4 1 0 0 u5 0 0 1 ³eklinde gösterilebilir.
Tanm 3.1.2. FA, U üzerinde bir esnek küme olsun. E§er e ∈ E için fA(e) = ∅ise fA(e)
e-yakla³m kümesine, fA'nn bo³-de§eri denir ve (e, fA(e)), FA'nn bo³-eleman olarak
adlandrlr.
fA(e) = ∅olmasnn anlam U da ki elemanlarn hiçbirinin e ∈ E parametresi ile ili³kili
olmad§dr. Bu yüzden bu tür parametrelerin göz önüne alnmas anlamsz oldu§u için, biz böyle elemanlar bir esnek kümede göstermeyece§iz.
Tanm 3.1.3. E§er bir esnek kümenin bütün elemanlar bo³ ise o halde, esnek küme bo³ esnek küme olarak adlandrlr ve FΦ ile gösterilir. Açktr ki her e ∈ E için fΦ(e) = ∅
³eklindedir.
Tanm 3.1.4. FA, U üzerinde bir esnek küme olsun.E§er e ∈ E için fA(e) = U
oluyorsa, o halde fA(e) e-yakla³m kümesine, fA'nn mutlak-de§eri ve (e, fA(e)), FA'nn
mutlak-eleman olarak adlandrlr.
fA(e) = U olmasnn anlam, U'nun bütün elemanlarnn e ∈ E parametresi ile ilgili
oldu§udur.
Tanm 3.1.5. E§er bir FA esnek kümesinin tüm elemanlar mutlak ise, o halde bu esnek
küme, mutlak esnek küme olarak adlandrlr ve FA˜ile gösterilir.
E§er A = E ise, mutlak esnek kümeye, evrensel esnek küme denir ve FE˜ ile gösterilir.
Örnek 3.1.6. U = {u1, u2, u3, u4, u5}evrensel küme, E = {e1, e2, e3, e4}ise parametreler
kümesi olsun.
E§er A = {e2, e3, e4} ve fA(e2) = {u2, u4}, fA(e3) = ∅, fA(e4) = U ise, o halde FA
esnek kümesi FA= {(e2, {u2, u4}), (e4, U )}³eklinde yazlr.
E§er B = {e1, e3} ve fB(e1) = ∅, fB(e3) = ∅ise, o halde FB esnek kümesi bo³ esnek
kümedir. Yani FB = FΦ ³eklindedir.
E§er C = {e1, e2} ve fC(e1) = U, fC(e2) = U ise, o halde FC esnek kümesi mutlak
E§er D = E ve her ei ∈ E i = 1, 2, 3, 4için fA(ei) = U ise, FDesnek kümesine evrensel
esnek küme denir. Yani FD = FE˜ ³eklindedir.
Tanm 3.1.7. FAve FB, U üzerinde iki esnek küme olsun. E§er her e ∈ E için
fA(e) ⊆ fB(e)
oluyorsa, FA'ya FB'nin esnek alt kümesidir denir ve FA⊆Fe Bile gösterilir.
Yorum 3.1.8. FA⊆Fe B olmas, FA'nn her elemannn FB'nin eleman olmas anlamna
gelmez. Bu yüzden, klasik alt küme tanm esnek alt küme tanm için geçerli de§ildir. Örne§in, U = {u1, u2, u3, u4} evrensel küme ve E = {e1, e2, e3} tüm parametrelerin
kümesi olsun. E§er A = {e1}, B = {e1, e3} ve FA = {(e1, {u2, u4})}, FB =
{(e1, {u2, u3, u4}), (e3, {u1, u5})}ise, o halde her e ∈ FAiçin fA(e) ⊆ fB(e)do§rudur.
Dolaysyla FA⊆Fe B. Açktr ki (e1, fA(e1)) ∈ FA fakat (e1, fA(e1)) /∈ FBdir.
Önerme 3.1.9. FAve FB, U üzerinde iki esnek küme olsun. O halde a³a§daki sonuçlar
geçerlidir.
i. FA⊆Fe E˜
ii. FΦ⊆Fe A
iii. FA⊆Fe A
iv. FA⊆Fe Bve FB⊆Fe C ⇒ FA⊆Fe C
spat . spatlar esnek kümelerin yakla³m fonksiyonlar kullanlarak yapalm. Her e ∈ E için,
i. fA(e) ⊆ U oldu§undan fA(e) ⊆ fE˜(e)
ii. ∅ ⊆ fA(e)oldu§undan fΦ(e) ⊆ fA(e)
iii. fA(e) = fA(e)oldu§undan fA(e) ⊆ fA(e)
Önerme 3.1.10. U üzerinde a³a§daki sonuçlar geçerlidir.
i. Bo³ esnek küme tektir. ii. Evrensel esnek küme tektir.
spat . Tanm 3.1.3 ve 3.1.5'ten açktr.
Tanm 3.1.11. E§er FA⊆Fe Biçin, FB'de FA'nn eleman olmayan en az bir eleman varsa,
FA'ya FB'nin öz esnek alt kümesi denir ve FA⊂Fe B ile gösterilir.
Tanm 3.1.12. FAve FB, U üzerinde iki esnek küme olsun. E§er her e ∈ E için
fA(e) = fB(e)
oluyorsa FAesnek kümesi FBesnek kümesine e³ittir denir ve FA= FB ile gösterilir.
Önerme 3.1.13. FA, FB ve FC, U üzerinde üç esnek küme olsun. O halde a³a§daki
sonuçlar geçerlidir.
i. FA = FBve FB = FC ⇔ FA= FC
ii. FA⊆Fe Bve FB⊆Fe A ⇔ FA= FC
spat . Her e ∈ E için, yakla³m fonksiyonlarn kullanarak ispatlayalm.
i. fA(e) = fB(e)ve fB(e) = fC(e) ⇔ fA(e) = fC(e)
ii. fA(e) ⊆ fB(e)ve fB(e) ⊆ fA(e) ⇔ fA(e) = fB(e)
Tanm 3.1.14. FAesnek kümesinin tüm alt kümelerinin kümesine, FAesnek kümesinin
kuvvet kümesi denir.
Tanm 3.1.15. FA, U üzerinde bir esnek küme olsun. O halde FA esnek kümesinin FA◦
ile gösterilen tümleyeni
fA◦(e) = fAc(e), her e ∈ E,
yakla³m fonksiyonu yoluyla elde edilir. Burada fc
Kar³kl§ önlemek için, “◦”³eklinde esnek tümleyen ve “c” ³eklinde klasik tümleyen
kullandk. Burada,A◦bir küme i³lemi de§ildir. Bu sadece f
A◦'nn FA◦ esnek kümesinin
yakla³m fonksiyonu oldu§unu göstermek için kullanlan bir notasyondur.
Önerme 3.1.16. FA, U üzerinde bir esnek küme olsun. O halde a³a§daki sonuçlar
geçerlidir. i. (F◦ A) ◦ = F A ii. F◦ Φ = FE˜
spat . e ∈ E için esnek kümelerin yakla³m fonksiyonlarn kullanarak ispat kolayca yapabiliriz.
i. (fc
A(e))c = fA(e)
ii. fc
Φ(e) = U − fΦ(e) = U − ∅ = U = fE˜(e)
3.2 Esnek Küme ³lemleri
Tanm 3.2.1. FAve FB, U üzerinde iki esnek küme olsun. FAve FBesnek kümelerinin
birle³imi,
fAe∪B(e) = fA(e) ∪ fB(e), her e ∈ E,
yakla³m fonksiyonu yoluyla tanmlanr ve FA∪Fe Bile gösterilir.
Kar³kl§ önlamek için, “e∪” ³eklinde esnek birle³im ve “∪00 ³eklinde klasik birle³im
kullandk. Burada, Ae∪B bir küme i³lemi de§ildir. Bu sadece fAe∪B'nin FAe∪B esnek kümesinin yakla³m fonksiyonu oldu§unu göstermek için kullanlan bir notasyondur.
Önerme 3.2.2. FA, FB ve FC, U üzerinde üç esnek küme olsun. O halde a³a§daki sonuçlar geçerlidir. i. FA∪Fe A= FA ii. FA∪Fe Φ = FA iii. FA∪Fe E˜ = FE˜ iv. FA∪Fe ◦ A= FE˜ v. FA∪Fe B = FB∪Fe A vi. (FA∪Fe B)∪Fe C = FA∪(Fe B∪Fe C)
spat . Her e ∈ E için, yakla³m fonksiyonlarn kullanarak ispatlayalm.
i. fAe∪A(e) = fA(e) ∪ fA(e) = fA(e)
ii. fAe∪Φ(e) = fA(e) ∪ fΦ(e) = fA(e)
iii. fAe∪ ˜E(e) = fA(e) ∪ fE˜(e) = fE˜(e)
iv. fA(e) ∪ fAc(e) = fE˜(e)
v. fAe∪B(e) = fA(e) ∪ fB(e) = fB(e) ∪ fA(e) = fBe∪A(e)
vi. f(Ae∪B)e∪C(e) = fAe∪B(e) ∪ fC(e)
= (fA(e) ∪ fB(e)) ∪ fC(e)
= fA(e) ∪ (fB(e) ∪ fC(e))
= fA(e) ∪ fBe∪C(e)
= fAe∪(Be∪C)(e)
Tanm 3.2.3. FAve FB, U üzerinde iki esnek küme olsun. FAve FBesnek kümelerinin
kesi³imi,
fAe∩B(e) = fA(e) ∩ fB(e), her e ∈ E,
Kar³kl§ önlemek için, “e∩”³eklinde esnek birle³im ve “ ∩ ” ³eklinde klasik birle³im kullandk. Burada, Ae∩B bir küme i³lemi de§ildir. Bu sadece fAe∩B'nin FAe∩B esnek kümesinin yakla³m fonksiyonu oldu§unu göstermek için kullanlan bir notasyondur. Önerme 3.2.4. FA, FB ve FC, U üzerinde üç esnek küme olsun. O halde a³a§daki
sonuçlar geçerlidir. i. FA∩Fe A= FA ii. FA∩Fe Φ = FΦ iii. FA∩Fe E˜ = FA iv. FA∩Fe ◦ A= FΦ v. FA∩Fe B = FB∩Fe A vi. (FA∩Fe B)∩Fe C = FA∩(Fe B∩Fe C) vii. FA⊆Fe B ⇒ FA∪Fe B = FBve FA∩Fe B = FA
spat . Her e ∈ E için, yakla³m fonksiyonlarn kullanarak ispatlayalm.
i. fAe∩A(e) = fA(e) ∩ fA(e) = fA(e)
ii. fAe∩Φ(e) = fA(e) ∩ fΦ(e) = fΦ(e)
iii. fAe∩ ˜E(e) = fA(e) ∩ fE˜(e) = fA(e)
iv. fA(e) ∩ fAc(e) = fΦ(e)
v. fAe∩B(e) = fA(e) ∩ fB(e) = fB(e) ∩ fA(e) = fBe∩A(e)
vi. f(Ae∩B)e∩C(e) = fAe∩B(e) ∩ fC(e)
= (fA(e) ∩ fB(e)) ∩ fC(e)
= fA(e) ∩ (fB(e) ∩ fC(e))
= fA(e) ∩ fBe∩C(e)
vii. fA(e) ⊆ fB(e) ⇒ fA(e) ∪ fB(e) = fB(e)ve fA(e) ∩ fB(e) = fA(e)
Önerme 3.2.5. U üzerindeki FAve FBesnek kümeleri için, De'Morgan kurallar geçerlidir.
i. (FA∪Fe B) ◦ = F◦ A∩Fe ◦ B ii. (FA∩Fe B) ◦ = F◦ A∪Fe ◦ B
spat . Her e ∈ E için,
i. f(Ae∪B)◦(e) = fAe∪Bc (e)
= (fA(e) ∪ fB(e))c
= (fA(e))c∩ (fB(e))c
ii. f(Ae∩B)◦(e) = fAe∩Bc (e)
= (fA(e) ∩ fB(e))c
= (fA(e))c∪ (fB(e))c
Önerme 3.2.6. FA, FB ve FC, U üzerinde üç esnek küme olsun. O halde, a³a§daki
sonuçlar geçerlidir.
i. FA∪(Fe B∩Fe C) = (FA∪Fe B)e∩(FA∪Fe C)
ii. FA∩(Fe B∪Fe C) = (FA∩Fe B)e∪(FA∩Fe C)
spat . Her e ∈ E için,
i. fAe∪(Be∩C)(e) = fA(e) ∪ fBe∩C(e)
= fA(e) ∪ (fB(e) ∩ fC(e))
= (fA(e) ∪ fB(e)) ∩ (fA(e) ∪ fC(e))
= fAe∪B(e) ∩ fAe∪C(e) = f(Ae∪B)e∩(Ae∪C)(e)
ii. fAe∩(Be∪C)(e) = fA(e) ∩ fBe∪C(e)
= fA(e) ∩ (fB(e) ∪ fC(e))
= (fA(e) ∩ fB(e)) ∪ (fA(e) ∩ fC(e))
= fAe∩B(e) ∪ fAe∩C(e) = f(Ae∩B)e∪(Ae∩C)(e)
Buradaki birle³im ve kesi³im
i³lemleri, ikili i³lem olarak adlandrlr.
Tanm 3.2.7. FAve FB, U üzerinde iki esnek küme olsun. FAve FBesnek kümelerinin
fark,
fAe\B(e) = fA(e) \ fB(e), her e ∈ E,
yakla³m fonksiyonu yoluyla tanmlanr ve FAe\FBile gösterilir.
Kar³kl§ önlemek için, “e\” ³eklinde esnek birle³im ve “ \ ” ³eklinde klasik birle³im kullandk. Burada, Ae\B bir küme i³lemi de§ildir. Bu sadece fAe\B'nin FAe\B esnek
kümesinin yakla³m fonksiyonu oldu§unu göstermek için kullanlan bir notasyondur. Önerme 3.2.8. FA, FB ve FC, U üzerinde üç esnek küme olsun. O halde a³a§daki
sonuçlar geçerlidir.
i. FAe\FB = FA∩Fe B◦
ii. FAe\FB = FΦ ⇔ FA⊆Fe B
iii. A ∩ B = ∅ ⇒ FAe\FB = FAve FBe\FA = FB spat . Her e ∈ E için,
i. fAe\B(e) = fA(e) \ fB(e) = fA(e) ∩ fB(e) c
ii. fA(e) \ fB(e) = fΦ(e) = ∅ ⇔ fA(e) ⊆ fB(e)
iii. A ∩ B = ∅ ⇒ fA(e) \ fB(e) = fA(e)ve fB(e) \ fA(e) = fB(e)
Tanm 3.2.9. FAve FB, U üzerinde iki esnek küme olsun. FAve FBesnek kümelerinin
FA∆Fe B ile gösterilen simetrik fark,
yakla³m fonksiyonu yoluyla tanmlanr.
Tanm 3.2.10. FAve FBesnek kümeleri ayrktr ancak ve ancak FA∩FB = FΦolmasdr.
imdi yukardaki tanm ve önermeleri örnekleyelim;
Örnek 3.2.11. U = {u1, u2, u3, u4, u5} evrensel küme ve E = {e1, e2, e3, e4} tüm
parametreler kümesi olsun. Kabul edelim ki A = {e1, e2} ve B = {e2, e3, e4}, gibi
E'nin iki alt kümesi için FA = {(e1, {u2, u4}), (e2, {u1, u3})}ve FB = {(e2, {u1, u2}),
(e3, {u1, u4}), (e4, U )} ³eklinde yazlsn. O halde biz bu esnek kümeleri a³a§daki gibi
yazabiliriz. FA◦ = {(e1, {u1, u3, u5}), (e2, {u2, u4, u5}), (e3, U ), (e4, U )} FA∪Fe B = {(e1, {u2, u4}), (e2, {u1, u2, u3}), (e3, {u1, u4}), (e4, U )} FA∩Fe B = {(e2, {u1})} (FA∪Fe B) ◦ = {(e 1, {u1, u3, u5}), (e2, {u4, u5}), (e3, {u2, u3, u5})} = FA◦∩Fe ◦ B (FA∩Fe B) ◦ = {(e 1, U ), (e2, {u2, u3, u4, u5}), (e3, U ), (e4, U )} = FA◦∪Fe ◦ B FAe\FB = {(e1, {u2, u4}), (e2, {u3})} = FA∩Fe B◦ FA∆Fe B = {(e1, {u2, u4}), (e2, {u2, u3}), (e3, {u1, u4}), (e4, U )}
Bu bölümde, esnek çarpmlar tanmlandktan sonra, bu çarpmlar kullanarak esnek karar verme metotlar verilecektir.
4.1 Esnek Çarpmlar
imdiye kadar, esnek kümeler üzerinde tek de§i³kenli yakla³m fonksiyonu yoluyla ikili i³lemler tanmland. imdi, iki de§i³kenli yakla³m fonksiyonu kullanarak, esnek kümeler üzerinde bir ikili i³lem olan esnek çarpmlar tanmlanarak, temel özelikleri incelenecektir.
Esnek küme teorisinde, VE çarpm, VEYA çarpm, DEL-VE çarpm, DEL-VEYA çarpm olmak üzere ba³lca dört tür çarpm vardr. Bunlardan ilk ikisi, srasyla, VE i³lemi ve VEYA i³lemi olarak Maji ve ark. (2003) tarafndan tanmlanm³t.
Tanm 4.1.1. FAve FB, U üzerinde fAve fByakla³m fonksiyonlar ile verilen iki esnek
küme olsun. FAve FBesnek kümeleri arasnda FA∧ FBile gösterilen esnek çarpm, her
(x, y) ∈ E × Eiçin
fA∧B : E × E → P (U ), fA∧B(x, y) = fA(x) ∩ fB(y),
yakla³m fonksiyonu yoluyla tanmlanr.
Tanm 4.1.2. FAve FB, U üzerinde fAve fByakla³m fonksiyonlar ile verilen iki esnek
küme olsun. FAve FBesnek kümeleri arasnda FA∨ FBile gösterilen esnek çarpm, her
(x, y) ∈ E × Eiçin
fA∨B : E × E → P (U ), fA∨B(x, y) = fA(x) ∪ fB(y),
yakla³m fonksiyonu yoluyla tanmlanr.
Tanm 4.1.3. FAve FB, U üzerinde fAve fByakla³m fonksiyonlar ile verilen iki esnek
(x, y) ∈ E × Eiçin
fAZB : E × E → P (U ), fAZB(x, y) = fA(x) \ fB(y),
yakla³m fonksiyonu yoluyla tanmlanr.
Tanm 4.1.4. FAve FB, U üzerinde fAve fByakla³m fonksiyonlar ile verilen iki esnek
küme olsun. FAve FBesnek kümeleri arasnda FAY FB ile gösterilen esnek çarpm, her
(x, y) ∈ E × Eiçin
fAYB : E × E → P (U ), fAYB(x, y) = fA(x) ∪ fBc(y),
yakla³m fonksiyonu yoluyla tanmlanr.
Yorum 4.1.5. Yakla³m fonksiyonlarnn alt indisi olarak kullanlan, ∧, ∨, Z, Y klasik küme i³lemi de§ildir. Onlar, fA∧B, fA∨B, fAZB ve fAYB'nin, srasyla, FA∧B, FA∨B,
FAZB ve FAYBesnek kümelerinin yakla³m fonksiyonlar oldu§unu gösterir.
imdi yukardaki tanmlar örnekleyelim.
Örnek 4.1.6. U = {u1, u2, u3, u4, u5} evrensel küme ve E = {e1, e2, e3, e4} tüm
parametrelerin bir kümesi olsun. Kabul edelim ki A = {e2, e3, e4} ve B = {e1, e3, e4},
E'nin iki alt kümesi için
FA = {(e2, {u2, u3, u4, u5}), (e3, {u1, u2, u3}), (e4, {u1, u2, u5})}
FB = {(e1, {u1, u2}), (e3, {u3, u4, u5}), (e4, U )}
³eklinde yazlsnlar. O halde FA∧ FB,
FA∧ FB =
((e2, e1), {u2}), ((e2, e3), {u3, u4, u5}), ((e2, e4), {u2, u3, u4, u5}),
((e3, e1), {u1, u2}), ((e3, e3), {u3}), ((e3, e4), {u1, u2, u3}),
((e4, e1), {u1, u2}), ((e4, e3), {u5}), ((e4, e4), {u1, u2, u5})
³eklindedir. Burada liste biçiminde yazmaktan daha kullan³l oldu§u için tablo yöntemi kullanlabilir.
FA∧ FB e1 e3 e4
e2 {u2} {u1, u2} {u1, u2}
e3 {u3, u4, u5} {u3} {u5}
e4 {u2, u3, u4, u5} {u1, u2, u3} {u1, u2, u5}
FA∨ FBve FAZ FB esnek çarpmlar benzer yolla elde edilebilir.
Burada ∨, ∧, Y ve Z i³lemlerinin de§i³meli olmad§ kolayca görülebilir.
Önerme 4.1.7. FA, FBve FC, U üzerinde üç esnek küme olsun.O halde, a³a§daki ³artlar
geçerlidir.
i. FA∨ (FB∨ FC) = (FA∨ FB) ∨ FC
ii. FA∧ (FB∧ FC) = (FA∧ FB) ∧ FC
Dikkat edilirse, fA∩(fB∩fCc)c 6= (fA∩fBc)∩fCc ve fA∪(fB∪fCc)c 6= (fA∪fBc)∪fCc oldu§u
için respectively, FAZ (FBZ FC) 6= (FAZ FB) Z FC ve FAY (FBY FC) 6= (FAY FB) Y FC
³eklindedir.
Önerme 4.1.8. FA ve FB, U üzerinde iki esnek küme olsun. O halde bu iki kümenin
esnek çarpmlar için De Morgan kurallar sa§lanr.
i. (FA∨ FB)◦ = FA◦ ∧ F ◦ B ii. (FA∧ FB)◦ = FA◦ ∨ F ◦ B iii. (FAY FB)◦ = FA◦ Z F ◦ B iv. (FAZ FB)◦ = FA◦ Y FB◦
spat . spatlar, yakla³m fonksiyonlar kullanlarak a³a§daki gibi yaplabilir. Her (x, y) ∈ A × Biçin,
