Elastik levhanın eğilmesi ile ilgili biharmonik denklemin çeşitli sınır koşullarında sayısal çözümü

KOCAELĐ ÜNĐVERSĐTESĐ * FEN BĐLĐMLERĐ ENSTĐTÜSÜ

ELASTĐK LEVHANIN EĞĐLMESĐ ĐLE ĐLGĐLĐ BĐHARMONĐK

DENKLEMĐN ÇEŞĐTLĐ SINIR KOŞULLARINDA SAYISAL

ÇÖZÜMÜ

YÜKSEK LĐSANS

Vildan YAZICI

Anabilim Dalı: Matematik

ÖNSÖZ ve TEŞEKKÜR

Esneklik doğadaki tüm cisimlerin özelliğidir. Malzemelerin mekanik özelliklerinin incelenmesinin tarihi çok eskilere dayanmaktadır. Geniş araştırmalar sonunda cisimlerin uymuş olduğu çok önemli kanunların matematiksel modelleri bilim adamları tarafından verildikten sonra bu problemler farklı yaklaşımlarla çözülmüştür. Fakat elde edilen modeller belli varsayımlar ile elde edildiğinden gerçek problemleri hiçbir zaman birebir olarak karşılamamıştır. Bu nedenle sert cisim mekaniğinin problemlerinin araştırılması, yeni modellerin ve çözüm yöntemlerinin geliştirilmesi günümüzde matematiğin ve mühendisliğin çok önemli problemi olarak güncelliğini korumaktadır.

Yapılan bu çalışmanın, elastisite teorisi ile ilgili çalışmalara katkısının olmasını dilerim.

Beni bu konuya yönlendiren ve bana her konuda yardımını esirgemeyen danışman hocam Sayın Prof. Dr. Zahir MURADOĞLU’ na teşekkürü bir borç bilirim.

Yine, üzerimde emeği olan Kocaeli Üniversitesi Fen-Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü hocalarından, Sayın Prof. Dr. Alemdar HASANOĞLU, Sayın Prof. Dr. Halis AYGÜN, Sayın Doç. Dr. Serdal PAMUK, Sayın Yrd. Doç. Dr. Hülya KODAL SEVĐNDĐR ve daha ismini sayamadığım Matematik Bölümünün bütün değerli hocalarına, aynı zamanda yüksek lisans tez çalışmalarım süresince beni maddi olarak destekleyen TUBĐTAK Araştırma Destek Programları Başkanlığı’na (Proje No: 108T332), ayrıca, hayat arkadaşım Cüneyt YAZICI’ ya, benim için hiçbir fedakârlıktan kaçınmadan beni bu yaşa getiren, başarımın temel taşı olan AĐLEME ve arkadaşım Vildan ÇETKĐN’ e teşekkürü bir borç bilirim.

ĐÇĐNDEKĐLER ÖNSÖZ ve TEŞEKKÜRLER ... i ĐÇĐNDEKĐLER ... ii ŞEKĐLLER DĐZĐNĐ ... iv TABLOLAR DĐZĐNĐ ... vi SĐMGELER DĐZĐNĐ... vii TÜRKÇE ÖZET ... ix ĐNGĐLĐZCE ÖZET ... x BÖLÜM 1. GĐRĐŞ ... 1

BÖLÜM 2. DEFORMASYON TEORĐSĐNĐN TARĐHĐ ... 4

2.1. Sert Cisimlerin Deformasyon Teorisinin Tarihçesi ve Gelişimi ... 4

2.2. Levhanın Deformasyon Probleminin Tarihi ... 7

BÖLÜM 3. SERT CĐSĐMLERĐN DEFORMASYON TEORĐSĐ ... 12

3.1. Sert Cisim Mekaniğinin Genel Kavramları... 12

3.2. Tensörler ... 16 3.3. Deformasyon Tensörü ... 16 3.4. Gerilim Tensörü ... 17 3.5. Denge Denklemi... 19 3.6. Hooke Kanunu ... 19 3.7. Düzlem deformasyon ... 23

BÖLÜM 4. ELASTĐK LEVHANIN EĞĐLMESĐ ĐLE ĐLGĐLĐ PROBLEM ... 26

4.1. Düzlem Deformasyon Denkleminden Levhanın Denge Denkleminin Elde Edilmesi ... 26

4.2. Klasik Levha Teorisi (Kirchhoff Teorisi) ... 30

4.3. Levhanın Eğilmesi Problemi Đçin Sınır Koşulları ... 35

4.4. Levhanın Denge Denklemi Đçin Sınır Koşullarının Fiziksel Yorumu ... 43

BÖLÜM 5. 4. MERTEBEDEN DENKLEMLER ĐÇĐN UYUM KOŞULLARI ... 50

5.1. Bir Boyutlu Halde 4. Mertebeden Diferansiyel Denklemler Đçin Uyum Koşulları ... 50

5.2. Biharmonik Denklemler Đçin Uyum Koşulları ... 60

BÖLÜM 6. SAYISAL DĐFERANSĐYELLEME ... 67

6.1. Sonlu Fark Operatörleri... 67

6.2. Lagrange Polinomunun Yardımıyla Yaklaşık Türev Formüllerinin Elde Edilmesi ... 70

BÖLÜM 7. BĐHARMONĐK DENKLEM ĐÇĐN SINIR DEĞER PROBLEMLERĐNĐN SONLU FARK YAKLAŞIMLARI ... 78

7.1. Türdeş Olmayan Ortotrop Levhanın Denge Denkleminin Sonlu Fark Yaklaşımı ... 79

7.2. Sınır Koşullarının Sonlu Fark Yaklaşımı ... 85

BÖLÜM 8. SAYISAL SONUÇLAR VE YORUMLAR ... 97

8.1. Biharmonik Denklem Đçin Sert Kenetlenme Koşulunun Sayısal Çözümünün Test Fonksiyonu ile Đncelenmesi... 97

8.2. Levhanın Denge Denkleminin Farklı Sınır Koşullarında Sayısal Çözümü ... 102

KAYNAKLAR ... 113 ÖZGEÇMĐŞ ... 116

ŞEKĐLLER DĐZĐNĐ

Şekil 3.1: Farklı malzemeler için gerilim deformasyon eğrileri ... 14

Şekil 3.2: Biçimlendirilebilir metaller için gerilim-deformasyon eğrisi ... 15

Şekil 3.3: Hacim elemanının yüzeylerinde gerilim tensörünün bileşenleri ... 18

Şekil 4.1: Kalınlığı h olan türdeş elastik levha ... 26

Şekil 4.2: Klasik Levha Teorisinin geometrisi ... 31

Şekil 5.1: Levhalar sistemi ... 60

Şekil 7.1: 13 noktalı şebeke ... 82

Şekil 7.2: G₁ sınırında sert kenetlenme koşulu için 4 noktalı kafes ... 86

Şekil 7.3: G1 sınırında menteşe koşulu için 9 noktalı kafes ... 86

Şekil 7.4: G₁ sınırında serbest uçlar koşulu için 9 noktalı kafes ... 87

Şekil 7.5: G2 sınırında sert kenetlenme koşulu için 4 noktalı kafes ... 87

Şekil 7.6: G₂ sınırında menteşe koşulu için 9 noktalı kafes ... 88

Şekil 7.7: G2 sınırında serbest uçlar koşulu için 9 noktalı kafes ... 89

Şekil 7.8: G sınırında sert kenetlenme koşulu için 4 noktalı kafes ... 89 ₃ Şekil 7.9: G sınırında menteşe koşulu için 9 noktalı kafes ... 90₃ Şekil 7.10: G sınırında serbest uçlar koşulu için 9 noktalı kafes ... 91 ₃ Şekil 7.11: G sınırında sert kenetlenme koşulu için 4 noktalı kafes ... 91₄ Şekil 7.12: G sınırında menteşe koşulu için 9 noktalı kafes ... 92₄ Şekil 7.13: G sınırında serbest uçlar koşulu için 9 noktalı kafes ... 92₄ Şekil 7.14: (x₁(1),x₂(1))=(0, 0) köşesi için 16 noktalı kafes ... 94

Şekil 7.15: (x₁( )n ,x₂(1))=( , 0)l_{1 köşesi için 16 noktalı kafes... 94}

Şekil 7.16: ( 1(1), 2( )) (0, 2) m x x = l _{köşesi için 16 noktalı kafes ... 95}

Şekil 7.17: (x₁( )n ,x( )₂m )=( ,l₁ l₂) _{köşesi için 16 noktalı kafes ... 95}

Şekil 8.1: u x x( ,_{1 2})=x₁2(x₁−l₁)2x₂2(x₂−l₂)2 fonksiyonunun grafiği ... 99

Şekil 8.2: Test probleminin çözümünün mutlak hatası ... 99

Şekil 8.3: Test probleminin farklı sonlu fark şeması ile elde edilen çözüm fonksiyonunun kesitleri (N_x × N_y = ×31 31) ... 101

Şekil 8.4: Test probleminin farklı sonlu fark şeması ile elde edilen çözüm fonksiyonunun kesitleri (N_x × N_y = ×51 51) ... 101

Şekil 8.5: Farklı sınır koşullarında değişik kuvvetlere karşılık gelen eğilmeler ... 103

Şekil 8.6: Sert kenetleme koşulunda levha kalınlığı ile eğilmeleri arasındaki ilişki 104 Şekil 8.7: Bir kenar serbest olmakla üç kenarda sert kenetlenme (a) ve menteşe koşulu (b) verildiği durumda levhanın eğilmesi ... 105

Şekil 8.8: Elastisite modülleri bir birinden farklı olan iki farklı levha için h_i ~ω_imax bağıntısı ... 106

Şekil 8.9: Farklı sınır koşulları için 2 1 10 [ / ] q = kN cm , 2 2 20 [ / ] q = kN cm ve 2 3 30 [ / ]

q = kN cm kuvvetlerinde levhaların eğilmesi ... 107

Şekil 8.10: Herhangi bir köşede ve bu köşeye komşu olan iki kenarın orta noktasında (a) sert kenetlenme, (b) menteşe koşulu verildiğinde levhaların eğilmeleri ... 108

Şekil 8.11: Karşılıklı iki kenarda serbest uçlar ve diğer iki kenarda da (a) sert kenetlenme (ω_imax =0.13[cm ), (b) menteşe (] ω_imax =0.40 [cm ) koşulu verildiği ] zaman problemin çözümü ... 108

Şekil 8.12: Karşılıklı iki kenarın tümünde, diğer kenarların ise, sadece orta noktalarında (a) sert kenetlenme (ω_imax =0.11[cm ), (b) menteşe ] ω_imax =0.21[cm ) ] koşulu verildiği durumda problemin çözümü ... 109

Şekil 8.13: Levhanın köşelerinde sert kenetlenme ve kenarların orta noktalarında (a) sert kenetlenme (ω_imax =0.14 [cm ), (b) menteşe (] ω_imax =0.22 [cm ) koşulu verildiği ] durumda levhanın eğilmesi ... 109

Şekil 8.14: Levhanın sadece kenarların orta noktalarında (a) sert kenetlenme (ωimax =0.15[cm ), (b) menteşe (]

max

0.22

i

ω = [cm ) koşulu verildiği zaman ] problemin çözümü ... 109

Şekil 8.15: G₂ ve G kenarlarında serbest uçlar,₃ G₁ ve G kenarlarında ise (a) sert ₄

kenetlenme (ω_imax =0.61[cm ), (b) menteşe (] ω_imax =3.58[cm ) koşulu verildiğinde ] eğilmeler ... 110

Şekil 8.16: Bütün kenarlarında (a) sert kenetlenme (ω_imax =0.09[cm ), (b) menteşe ]

( max

0.20

i

ω = [cm ) koşulu verildiği zaman problemin çözümü ... 110 ]

Şekil 8.17: Herhangi bir köşede sert kenetlenme koşulu ve bu köşeyle komşuluğu olmayan iki kenarın tümünde (a) sert kenetlenme (ωimax =0.17[cm ), (b) menteşe ] (ω_imax =0.40 [cm ) koşulu verildiği zaman problemin çözümü ... 110 ]

Şekil 8.18: Karşılıklı iki köşesinde sert kenetleneme (ω_imax =1.93[cm ) (a), karşılıklı ] iki kenarının orta noktalarında menteşe (ω_imax =0.59[cm ) koşulu verildiği zaman ] levhanın eğilmesi ... 111

Şekil 8.19: Levhanın herhangi üç köşesinde ( max

3.83

i

ω = [cm ) (a), dört köşesinde ] (ω_imax =0.71[cm ) (b) sert kenetlenme koşulu verildiği durumda eğilmeler ... 111 ]

TABLOLAR DĐZĐNĐ

Tablo 8.1: Test probleminin çözümünde farklı bölge ve kafeslerde oluşan mutlak hatalar ... 100 Tablo 8.2: Test probleminin çözümünde farklı bölge ve kafeslerde oluşan bağıl hatalar ... 100 Tablo 8.3: Farklı sınır koşullarında değişik kuvvetlere karşılık gelen eğilmeler ... 102 Tablo 8.4: Sert kenetleme koşulunda değişik kuvvetlerde farklı kalınlıklı levhaların eğilmeleri... 103 Tablo 8.5: Sertlikleri farklı olan iki levhanın dış kuvvetlerin etkisi ile eğilmesi ... 105

SĐMGELER DĐZĐNĐ

12

M : Burulma momenti

kp

D : Burulma sertlik katsayısı (levhanın)

C,C±,C : Burulma sertlik katsayıları (milin) _α

h

W : Deformasyon enerjisinin ayrık ifadesi

ε

: Deformasyon tensörü

ij

ε : Deformasyon tensörünün bileşenleri

q : Düzlemi etkileyen kuvvet

ω

: Eğilme fonksiyonu

ω

′′

−B : Eğilme momenti

i

M : Eğilme momentleri B,B±,B_α : Eğilme sertlik katsayıları

i

D : Eğilme sertlik katsayısı

αβ ij

c : Esneklik modül tensörü

T

ε

σ

T : Esneklik ve deformasyon limitleri

(

1, 2

)

n n n : G alanının dış normali i G ∂ : G bölgesinin sınırları

σ

: Gerilim tensörü ij

σ

: Gerilim tensörünün bileşenleri

F ,F_i : Hacim kuvvetleri Q,Q_i : Kayma kuvvetleri ∆ : Laplace operatörü

( )

n L x : Lagrange polinomu

( )

n

R x : Lagrange polinomunun hatası µ

λ, : Lame sabitleri

W,

o

W , W : Levhanın elastik deformasyon enerjisi ± h ,h : Levhanın kalınlığı _i

D : Levhanın silindirik sertlik katsayısı

( )

I

ω

: Levhanın tam potansiyel enerjisi

J : Milin kesitinin eylemsizlik momenti

l_,l_{α : Milin uzunluğu} n ∂ ∂ϑ : Normal türev G ,G_±,G : 0 xx1 2 düzleminde bölgeler

ν

,ν_i : Poisson katsayısı

i y

∆ : Sağ sonlu fark

( )

2

H G : Sobolev uzayı

i y

∇ : Sol sonlu fark τ ϑ ∂ ∂ : Teğetsel türev i

u : Yer değiştirme fonksiyonunun yaklaşık değerleri E ,E : Young modülü (esneklik modülü) _i

ELASTĐK LEVHANIN EĞĐLMESĐ ĐLE ĐLGĐLĐ BĐHARMONĐK DENKLEMĐN ÇEŞĐTLĐ SINIR KOŞULLARINDA SAYISAL ÇÖZÜMÜ

Vildan YAZICI

Anahtar Kelimeler: Elasto-Plastik Eğilme Problemi, Deformasyon, Biharmonik

denklem, Sonlu Fark Yöntemi.

Özet: Metaller ve alaşımlar genel olarak fiziksel, mekanik, kimyasal ve teknolojik

özellikleri ile karakterize edilmektedir. Mekanik özelliklere cismin sertlik, esneklik, plastiklik, kırılganlık, devamlılık, yorgunluk mukavemeti v.b. gibi özellikleri aittir. Malzemelerin ölçülebilir verilerinden yararlanarak elasto-plastik özelliklerinin bulunması mühendisliğin çok önemli bir problemi olarak ortaya çıkmaktadır. Bunun için farklı deformasyon problemlerinin çözümü bilim adamları tarafından incelenmektedir. Elastik levhanın eğilmesi ile ilgili problemin matematiksel modeli biharmonik denklem için sınır değer problemleri ile ifade edilmektedir. Bu tür problemlerin çözümü, literatürde genel olarak sonlu elemanlar yöntemi uygulanarak incelenmiştir.

Bu çalışmada biharmonik denklem için farklı sınır koşulları ile tanımlanan sınır-değer problemleri incelenmiş ve onların sonlu farklar yöntemi ile sayısal çözümü elde edilmiştir. Elde edilen sayısal sonuçların analizi yapılmış ve sonuçlar grafiklerle gösterilmiştir.

x

NUMERICAL SOLUTION OF THE BIHARMONIC EQUATION RELATED TO ELASTIC BENDING PLATE WITH VARIOUS BOUNDARY

CONDITIONS Vildan YAZICI

Keywords: Elasto-Plastic Bending Problem, Deformation, Biharmonic Equation,

Finite Difference Method.

Abstract: In general, metals and alloys are characterized by physical, mechanical,

chemical and technological properties. Mechanical properties are included in rigidity, elasticity, plasticity, fragility, continuity, fatigue strength properties of the object. Finding elasto-plastic properties of materials is encountered as a very important problem of engineering by using measurable data of materials. For this reason solutions of different deformation problems are investigated by scientist. The mathematical model of problem related to elastic bending plate is expressed by boundary value problems for biharmonic equation. Generally, in literature, solutions of this kind of problems are investigated by applying finite element method.

In this study, boundary value problems defined by the different boundary conditions are investigated for biharmonic equation and their numerical solutions by finite difference method have been obtained. The numerical results obtained is analyzed and shown in graphics.

BÖLÜM 1. GĐRĐŞ

Son yıllarda mühendisliğin ve fiziğin güncel problemlerinden biri, uygulama alanlarına bağlı olarak fiziksel ve mekanik özellikleri diğerleri ile kıyaslandığında daha kaliteli, dayanıklı, hafif ve uzun ömürlü yeni malzemelerin üretilmesidir. Fakat bu tür problemlerin çözümü tam donanımlı laboratuarlarda uzun çalışmalar ve çok da masraflı olan deneylerin yapılmasını gerektirmektedir.

Hızlı şekilde gelişen sayısal mekanik yöntemleri makine, inşaat, malzeme, uzay bilimleri, tıp, jeoloji ve jeofizik problemlerinin bilgisayar çözümlerini elde etme imkanı vermektedir. Bilgisayar deneylerinin, hayatın farklı alanlarında gereksinim duyulan farklı mekanik özellikleri olan yeni malzeme üretimine büyük katkısı bulunmaktadır.

Yeni malzemelere gereksinim duyulan bazı üretim alanları aşağıdaki şekilde özetlenebilir:

- Savunma sanayide askeri araçların, uçakların, makinelerin üretimi ve ya kaplanması, silahların daha kaliteli, hafif ve dayanıklı malzemelerden üretilmesi v.s. - Otomotiv sanayide daha kaliteli parçaların üretilmesi v.s.

- Karayollarında köprü ve viyadüklerin yapılması, yeni örtü malzemelerin üretilmesi v.s.

- Tıbbi ameliyat malzemeleri ve yapay organları (yapay kalp kapaklarının, lenslerin, kulak zarlarının üretilmesi veya ortopedik hastalarda kemik kırıklarının birleştirilmesi, omurga deformasyonlarının düzeltilmesi v.s. işlemlerde insan vücudunda uzun süre bozulmadan ve insana zarar vermeyen kaplama malzemeler ve levhalardan yararlanılır).

Bu nedenle yeni malzeme üretimi günümüzde çok önemli mühendislik problemi gibi ortaya çıkmaktadır. Fakat bu işlemler ve deneyler ekonomik olarak çok pahalı

malzeme üretimini sağlamak mümkündür. Yüksek fiziko-mekanik özelliklere sahip olan malzemeler için sürekli ve geniş araştırmalar yapmak, bilim ve teknolojinin en son başarılarından yararlanmak gerekmektedir. Böyle problemlerin çözümü için yeni matematiksel modeller geliştirilmektedir. Bu çalışmada, matematiksel modeli biharmonik denklemler için sınır değer problemi ile ifade edilen ve deformasyon teorisinin önemli problemlerinden biri olan esnek levhanın eğilmesi ile ilgili problemin sonlu farklar yöntemi ile çözümü incelenmiştir.

Bölüm 2’de deformasyon teorisinin tarihsel gelişimi ve literatür incelenmesi yapılmıştır. Daha sonra sert cisim mekaniğinin önemli problemlerinden biri olan esnek levhanın eğilmesi probleminin çözümünün matematiksel yaklaşımlarının tarihçesi araştırılmıştır.

Bölüm 3’de sert cisim mekaniğinin genel kavramları verildikten sonra, deformasyon teorisinin önemli kurallarından olan Genellemiş Hooke Kanunu verilmiştir. Bunun yardımıyla ifade edilen denge denklemlerinden yararlanılarak, düzlem deformasyon problemine karşılık gelen Lame denklemler sistemi verilmiştir.

Bölüm 4’de düzlem deformasyon denkleminden esnek levhanın denge denklemini elde etmek için, dış kuvvetlerin etkisi ile eğilmekte olan levhaların analizinde kullanılan teorilerden biri olan Klasik levha teorisinden (Kirchhoff Teorisi) yararlanılmıştır. Daha sonra varyasyonel yöntemden yararlanılarak, eğilmekte olan levhanın potansiyel enerjisini ifade eden fonksiyonelin yardımıyla esnek levhanın denge denklemi için sınır koşulları elde edilmiş ve bu koşullatın fiziksel anlamları yorumlanmıştır.

Bölüm 5’de ince elastik levhalar sisteminin eğilmesi probleminin matematiksel modelinde karşılaşılan biharmonik diferansiyel denklem için, sistemi oluşturan levhalar arasındaki uyum koşulları incelenmiştir. Burada önce biharmonik denklemlerin bir boyutlu durumuna karşılık gelen ince millerin oluşturduğu sistem için uyum koşullarının fiziksel durumları verilmiştir.

Bölüm 6’da biharmonik denklem için sınır değer problemlerinin yaklaşık yöntemlerle çözümünün bulunması için, probleme karşılık gelen lineer cebirsel denklem sisteminin elde edilmesinde gerek duyulan yüksek mertebeden sayısal diferansiyelleme formülleri elde edilmiştir.

Bölüm 7’de önce biharmonik denkleme karşılık gelen lineer cebirsel denklem sistemi fonksiyonelin yaklaşımı yöntemi (functional approximation method) ile elde edilmiştir. Daha sonra ise, Bölüm 6’da elde edilen sayısal diferansiyelleme formüllerinden yararlanılarak, biharmonik denklem için sınır değer problemlerinde en çok karşılaşılan sınır koşullarının sayısal yaklaşımı verilmiştir.

Bölüm 8’de biharmonik denklemler için sınır değer problemi farklı sınır koşullarında çözülmeden önce hazırlanmış olan bilgisayar programını test etmek amacıyla özel test fonksiyonu seçilerek sayısal çözümün analizi yapılmıştır. Daha sonra ise, farklı sınır koşullarında biharmonik denklem çözülmüş ve sonuçların geometrisi grafiklerle verilmiştir.

Son olarak Bölüm 9’da bu çalışmada elde edilen sonuçların genel hatları ve öneriler verilmiştir.

BÖLÜM 2. DEFORMASYON TEORĐSĐNĐN TARĐHĐ

2.1. Sert Cisimlerin Deformasyon Teorisinin Tarihçesi ve Gelişimi

Esneklik doğadaki tüm cisimlerin özelliğidir. Esnek cisimler tarihte yapılan tüm yapıtlarda, insanların kullandığı silah ve araç gereçlerde vs. kullanılmıştır. Đlkel insanlar Taş Devri’nde bile, kendi silahlarını hazırlarken taş veya kemik uçlarından yararlanırken elastik cisimlerden ve onların sertlik özelliklerinden yararlanmışlardır. Vikkers de ilk kez 150 tonluk havan topunu hazırlarken aynı özelliklerden yararlanmıştır. Fakat ilkel insanlar kendi oklarını veya silahlarını hazırlarken, çok sayıda çalışmalar sonucunda doğal seçimden yararlanmışlardır. Vikkers ise, kendi topunu kesin matematiksel hesaplamalara dayanarak hazırlamıştır. Böylece,

insanların cismin esneklik özelliğinden yüz yıllar önce körü körüne

yararlanmışlardır.

Sert cisimlerin deformasyon tarihi incelenirse [1, 2], bunlara bilimsel yaklaşım ilk kez G. Galilei tarafından 1638 yılında (Discorsi (Söyleşiler) kitabında) verilmiştir. Bundan 40 yıl sonra Hooke lineer elastik malzemelerin deformasyon teorisi için çok önemli bir kanunun matematiksel yaklaşımını vermiştir. Lineer olmayan elastisite kuralı ise, ilk defa 1690 yılında G. Leibnitz tarafından matematiksel olarak formüle edilmiştir. Yaklaşık 50 yıl sonra ise, Saint-Petersburg Bilimler Akademisi’nden D. Bernoulli ve Euler şuan bile pratik işlemlerin çoğunda kullanılan matematiksel denklemleri elde etmişlerdir. Mekanik sistemlerin hareket denklemlerinin elde edilme yöntemleri D’Alambert ve Lagrange zamanında genel şekilde incelenmiştir. 80 yıl sonra da (1800’lü yılların başında) Fransız mühendis H. Navier esnek cisimlerin dengesi ve hareketi ile ilgili yeni bir problemi genel diferansiyel denklemler ile formüle etmiştir. Bu teori daha sonra A. L. Cauchy ve S. D. Poisson tarafından geliştirilmiştir. Daha ışığın dalga teorisi kabul edilmediği bir zamanda, elastik ortamda ses dalgalarının yayılımı ve titreşimi ile ilgili teori geliştirilmiştir.

Navier teorisini geliştiren G. Lame ve P. E. Clapeyron inşaat çalışmalarında bu teorinin uygulamalarını vermişlerdir. 1852 yılında Lame ilk kez araştırmalarını esneklik teorisi ile ilgili bir kitapta kaleme almıştır (Leçons sur la Théorie Mathématique de L'élasticité des Corps Solides).

Sanayinin gelişimi, demir yollarının, köprülerin, yüksek binaların dikilmesi, gemilerin inşası vs. sert cisimlerin özelliklerinin incelenmesi ile uğraşan bilimsel laboratuarların kurulması ile sonuçlandı. Bu ise, deforme olan sert cisimlerin uygulama alanı yelpazesinin daha da genişlemesini sağladı. Bu alanda gelişim iki yönde devam etti: bir taraftan temeli Lame tarafından atılan ve H. Navier tarafından kurulan esneklik teorisinin matematiksel modelleri geliştirildi, diğer taraftan Bernoulli ve Euler tarafından geliştirilen yöntemlerden yola çıkılarak malzeme üretimi ve özellikleri ile ilgili basitleştirilmiş Sert Cisimlerin Mukavemeti teorisi geliştirildi. Her iki yönün gelişimine tüm kural ve normlara dayanarak matematiksel hesaplamalar sonucunda yapılan muhteşem demir yolu köprülerinin çökmesinin, büyük okyanus gemilerinde çatlakların oluşmasının veya küçük çarpmalarda ikiye bölünmesinin vs. nedenlerinin incelenmesinin de büyük etkisi olmuştur. Elastisite teorisinin temelleri ve kuralları bu gibi felaketlerin nedenlerinin incelenmesinde ve bir kısmının aradan kaldırılmasında etken oldu.

XX. yüzyılın başlarında demir-beton malzemelerin inşaat işlerinde geniş halde kullanımı, daha önemli uygulama problemlerinin çözümünü gerektirdi. Fakat ortaya çıkan yeni problemlerin çözümü için Bernoulli ve Euler’ in yöntemleri zayıf kaldığından, sert cisim mekaniğinde yeni uygulama alanlarının da ortaya çıkması ile yeni yöntemler geliştirilmeye başlandı.

Son yıllarda hesaplama makinelerinin ve bilgisayarların ortaya çıkması ve büyük hızla gelişmesi daha az masraflı bilgisayar deneylerinin yapılmasına büyük ivme kazandırdı. Gerçek olaylara karşılık gelen matematiksel modellerin çözümü için, bilgisayar deneylerinin yapılabilmesi gereksinimi, mühendis ve matematikçilerin ortak çalışmaları sonucu iyi matematiksel modellerin ve sayısal çözüm yöntemlerinin geliştirilmesi ile sonuçlandı.

Bilim ve tekniğin önemli problemlerinin matematiksel modelleri, diferansiyel veya kısmi türevli diferansiyel denklemler için sınır değer problemi ile tanımlanmaktadır. Isı transferi, sıvıların akışkanlığı, elektrostatik ve sert cisimler mekaniğinin problemleri bu tür problemlerdendir. Sert cisimler mekaniğinde her hangi bir cismin deformasyon problemi incelenir ise, o halde ele alınan diferansiyel denklem cismin denge denklemi olur. Sınır koşulları ise kuvvet, yer değişme, moment veya bunların lineer bileşimleri şeklinde verilir. Bazen probleme bağlı olarak sınır koşulları eşitliklerle değil, eşitsizliklerle verilir. Đstenilen sınır değer probleminde parametrelerin sadece bir kısmı verilir, kalanlar problemin çözümü bulunurken elde edilir.

Eğer deforme olan cisim homojen (yani noktadan noktaya özellikleri değişmiyor), denklemin tanımlandığı bölge ve onun sınırı basit ve matematiksel modelde tanımlanan diferansiyel denklem lineer ise, o halde problemin analitik çözümünü bazı durumlarda bulmak mümkündür. Çoğu durumlarda bu tür problemlerin sonsuz türdeş bölgelerde analitik çözümü bulunmuştur.

Đstenilen lineer türdeş düzlem deformasyon probleminde bölgenin her bir noktasında denge denklemi sağlandığından, esneklik teorisinin her bir problemi diğerinden sınır koşulları ile ayırt edilebilmektedir. Bu nedenle de fiziksel olaya bağlı olarak sınır koşullarının doğru şekilde formüle edilmesi gerekir.

Türdeş esnek yarım düzlemin her hangi bir noktasına dik olarak etkileyen noktasal kuvvet ile ilgili problem, literatürde Flamant problemi olarak tanımlanmıştır ve analitik çözümü bellidir [3]. Fakat kuvvet noktasal olduğundan bu noktada gerilim sonsuzdur (tekil çözüm).

Türdeş esnek yarım düzlemde dikdörtgen zımbanın (ıstampanın) etkisi ile deforme olan cisim için formüle edilen problemin analitik çözümleri kompleks değişkenli fonksiyonlardan yaralanılarak [3] ve integral dönüşümlerin de yardımı ile [4] bulunmuştur. Zımba köşeli olduğundan, onun cisim ile etkileşim (temas) bölgesinin sınırlarında tekillik ortaya çıkmaktadır. Sonsuz bölgede tanımlı problem reel problemlerden farklı olsa bile, bu tür model problemler gerçek problemlerin çözümü

için önemli rol oynamaktadır. Fakat “gerçek” problemlerde analitik çözümün bulunması imkansızdır. Hatta diferansiyel operatör lineer, cisim türdeş, bölge düzenli ve sınırı pürüzsüz olsa bile, probleme bağlı olan sınır koşulları eşitsizliklerle verildiğinden analitik çözüm bulunamamaktadır. Bu durumlarda problemin sayısal çözümünün bulunması gerekir.

1950 yıllarından başlayarak sayısal çözüm yöntemleri çok hızlı olarak gelişmektedir. Sert cismin uzay kinematiğinin matris yaklaşımı ile ilgili sayısal mekaniğin temelleri ilk kez 1955 yılında Denavit J. ve Hartenberg R.S. tarafından araştırılmıştır [5]. Bu yaklaşımı ise, ilk kez Uicker J.J. kendi araştırmalarında dinamiğe uygulamıştır [6]. Hızlı şekilde gelişen sayısal mekanik yöntemlerinin astronotiğe uygulamaları 1965 yılında [7], biyomekaniğe uygulamaları ise, 1970 yılında [8] verilmiştir.

Sınır değer problemlerinin sayısal çözüm yöntemleri uygulama şekline göre genel olarak: a) diferansiyel operatörün tüm bölgede ayrık yaklaşımından yararlanılan; b) diferansiyel operatörün sadece sınırında ayrık yaklaşımından yararlanılan yöntemler olarak iki sınıfa ayrılabilir. Birinci sınıfa Sonlu Farklar ve Sonlu Elemanlar Yöntemleri, ikinci sınıfa ise, Sınır Elemanları Yöntemi dahil edilir.

Biharmonik denklem için sınır değer probleminin çözümü, literatürde genel olarak Sonlu Elemanlar yöntemi uygulanarak incelenmiştir. Dikdörtgen bölgelerde dikdörtgen sonlu elemanlar daha kolay şekilde bu probleme uygulanabilir. Üçgen sonlu elemanların avantajı geometrik olarak daha karmaşık şekilli levhaların modellenmesine imkan yaratır. Bu tezde ise, bu tür matematiksel modellerden biri olan elastik levhanın eğilmesi ile ilgili problem ve onun Sonlu Farklar yöntemi ile sayısal çözümü incelenmektedir.

2.2. Levhanın Deformasyon Probleminin Tarihi

Dikdörtgen levhanın eğilmesi probleminin tarihi çok eskilere dayanmaktadır. Elastik levhanın eğilmesi probleminin teorik olarak incelenmesine ilk adım 1767 yılında L. Euler tarafından atılmıştır. Euler bu araştırmalarda levhayı karşılıklı dik miller

birbiri ile kesişen çubuklar sistemi gibi ele almış, çubuğun eğilmesi ile ilgili o zamana kadar belli olan çalışmaların sonuçlarına dayanarak incelemiş ve salınım (titreşim) denklemini elde etmiştir [9]. Fakat elde edilen denklemler hatalı idi. Levhanın eğilmesi problemini deneysel olarak ilk kez 1802 yılında E. Chladni incelemiştir. Kendi deneylerinde kenarları yaylar ile sabitlenmiş cam levha üzerine küçük kum tanelerini dökmüş, daha sonra ise yayın titreşimini sağlamıştır. Titreşim sonucunda kum taneleri cam üzerinde hareketsiz noktalarda toplanarak kum “doğruları” oluşturmuşlardır. Kum tanelerinin çizmiş olduğu resimler levhanın

şekline, yayların yerine ve titreşimin frekansına bağlı olmuştur. 1808 yılında Paris Bilimler Akademisi’nde kendi deneylerini sergilediğinde bu deneyler Fransız bilim adamlarına o kadar orijinal gelmiş ki, bu deneyleri Napoléon’un karşısında tekrarlanmasını istemişlerdir. Bu deneylerden etkilenen imparator bu deneylerin bilimsel temellerini veren kişiye bir kg ağırlığında altın madalyon verilmesini emretmiştir. Fransız matematikçi S. Germain, ilk defa levhanın eğilmesi için bir diferansiyel denklem elde etmiştir. Ara işlemler belli hatalar içerse bile, sonuçta eğilen levhanın titreşim denklemini doğru elde eden Sofi Germain 1815 yılında bu ödüle sahip olmuştur. Bu işin eleştirmenlerinden biri olan J. Lagrange, eksik olan terimi ekleyerek 1813 yılında Germain’ nin hatalarını düzeltmiştir. Böylece, tam anlamıyla genel bir levha denklemini ileri süren ilk bilim adamı olmuştur.

Dikdörtgen levhanın sınırlarında menteşe koşulu verildiği zaman eğilme problemi ilk kez 1820 yılında C. L. Navier tarafından çözülmüştür. Daha sonraki 20 yıl içinde A. Cauchy ve S. Poisson esneklik teorisinin genel denklemlerinden yararlanarak, üçüncü boyutu (levhanın kalınlığını) küçük parametre olarak ele almış ve levhanın eğilme problemini matematiksel olarak formüle etmişlerdir. Böylece onlar eğilme için düzenlenen ve iyi bilinen Germain-Lagrange denklemi ile tamamen çakışan diferansiyel denklem elde etmişlerdir. 1829 yılında Poisson statik yük altındaki bir levhanın eğilme problemi için Germain-Lagrange denklemini başarıyla geliştirmiştir. Bu problem her ne kadar levhanın D silindirik sertlik katsayısı sabit olduğu durum için kurulsa da, Poisson bir sınır üzerindeki herhangi bir nokta için üç sınır koşulu tanımlamayı önerdi. Poisson tarafından ileri sürülen sınır koşulları ve bu koşulların doğası hakkında birçok soru tartışma ve araştırma konusu oldu.

Levhanın eğilmesi ile ilgili ve yeteri kadar gerçekçi olan ( D sertlik fonksiyonu iken) genel levhanın denge denklemi levhanın kalınlığını da ele alan Navier tarafından verilmiştir. Navier, Fourier trigonometrik serisini kullanarak diferansiyel denklemi cebirsel ifadelere dönüştüren tam bir yöntem geliştirdi.

1850 yılında Kirchhoff ince levha teorisi üzerine önemli bir tez yayındı. Bu tezde Kirchhoff, bugün levhanın eğilme teorisinde yaygın olarak kabul edilen ve Kirchhoff hipotezleri olarak bilinen iki bağımsız temel ilke belirtti. Bunlardan birincisi levhanın kenarlarında yalnız iki sınır koşulunun verilmesi gerektiğini vurgulaması ve fiziksel anlamalarına bağlı olarak farklı sınır koşullarını elde etmesi idi. Kirchhoff’ un diğer önemli katkısı ise, levhanın frekans denklemini keşfetmesi ve levha problemlerinin çözümlerindeki gerçek yer değişmeleri tanımlamasıdır. Kirchhoff teorisi, levhanın eğilme teorisinin fiziksel belirginliğine katkıda bulundu ve uygulama problemlerinde doğru kullanımının temelini oluşturmuş oldu. Kirchhoff teorisine Saint-Venant tarafından çok sayıda değerli yorumlar eklendi.

1899 yılında M. Lewis iki paralel kenarında menteşe koşulu, diğer kenarlarında ise, her hangi koşul verilen levhalar için seri çözümü elde etmiştir [10].

19. yüzyılın sonlarında ve 20. yüzyılın başlarında gemi yapımında ahşap yerine yapısal çelik kullanılmaya başlandı. Yapısal malzemelerdeki bu değişiklik çeşitli levha teorilerinin geliştirilmesinde büyük katkı sağladı. Rus bilim adamları katı matematiksel teorilerle ilk olarak eski ticaret geleneklerini değiştirerek deniz mimarisine önemli bir katkı yaptılar. Özellikle, Krylov [11] ve onun öğrencisi Bubnov [12] bükülgenlik ve genişleme sertliği ile ince levha teorisine geniş ölçüde katkıda bulunmuştur. Bubnov levhanın bükülme teorisinin temelini oluşturdu ve modern levha sınıflandırmasını tanımlayan ilk kişi oldu. Bubnov elastikliğin diferansiyel denkleminin entegrasyonunun yeni bir metodunu önerdi ve çeşitli özelliklerdeki levhalar için maksimum eğilme ve maksimum bükülme momentlerinin tablolarını belirledi. Daha sonra Galerkin bu yöntemi geliştirdi ve levha bükülme analizine uyguladı. Galerkin bir monografisinde, keyfi şekilli levha için çeşitli bükülme problemlerini derledi [13].

Timoshenko teoriye ve levha bükülme analizinin uygulamalarına önemli bir katkı yaptı. Timoshenko’ nun çok önemli katkıları arasında büyük eğilmeleri ve elastik denge problemlerini dikkate alan dairesel levhaların çözümleri yer alır [14,15]. Timoshenko ve Woinowsky-Krieger çeşitli levha bükülme problemlerinin derin analizleri ile belirtilen elemanter bir monografi [16] yayınladı. Levhanın bükülme teorisi alanındaki kapsamlı çalışmalar ve çeşitli uygulamalar Hencky [17], Huber [18], Von Karman [19,20], Nadai [21] gibi seçkin bilim adamları tarafından tamamlandı. Hencky [17] büyük deformasyonların teorisine ve ince levhanın elastik dengesinin genel teorisine katkıda bulundu. Nadai, Kirchhoff levha teorisinin doğruluğunun incelenmesi ile ilgili geniş teorik ve deneysel araştırmalar yaptı. Yoğunlaştırılmış kuvvet uygulamalarından dolayı levhalardaki tekilliklerin farklı çeşitlerini ele aldı. Büyük eğilme teorisinin diferansiyel denkleminin son formu ancak Von Karman tarafından geliştirilmiştir. Anizotropik levhaların genel teorisinin temelleri Gehring [22] ve Boussinesq [23] tarafından geliştirildi. Lekhnitskii [24] teorinin geliştirilmesine ve anizotropik lineer ve lineer olmayan levha analizlerinin uygulamalarına önemli bir katkıda bulundu. Ayrıca anizotropik levhaların analizine uygulanan karmaşık değişkenler metodunu geliştirdi. Modern uçak sanayinin gelişmesi, levha problemlerinin daha geniş araştırılması yönünde güçlü bir ivme sağladı.

Levhaların eğilmesinin lineer olmayan problemlerinin çözümü Volmir [25] ve Panov [26] tarafından incelenmiştir.

Varyasyonel problemin sonsuz cebirsel denklemler sistemi elde edilerek, yaklaşık çözüm yöntemi 1904 yılında B. Ritz tarafından verilmiştir, daha sonra ise G. Genki ve I. G. Bubnov tarafından geliştirilmiştir. Sert kenetlenme durumunda daha genel yaklaşım ile çözüm yöntemleri S. P. Timoshenko tarafından 1938 yılında verilmiştir. Çeşitli kuvvetlerin etkisiyle farklı şekillerdeki ince levhalar için lineer ve lineer olmayan burulma problemlerinin kapsamlı analizleri, ek olarak kritik kuvvetler ve burulma hali için mühendislik dizaynında kullanılabilen oldukça kapsamlı mevcut sonuçların sunumu S.P. Timoshenko ve Gere [27], Gerard ve Becker [28], Volmir [29], Cox [30], vb tarafından sunulmuştur. Đnce levhanın hareketinin diferansiyel

denklemi ya D'Alambert ilkesi uygulanarak ya da enerji korunumuna dayalı formül kullanılarak elde edilebilir.

Đkinci Dünya Savaşı’ndan sonraki yıllarda esneklik teorisinin araştırmaları, mühendisliğin ilgilendiği özel problemler için analitik çözümlerin bulunması problemi haline geldi.

1970 yılından başlayarak levhanın deformasyon teorisinin problemlerinin bilgisayarların yardımıyla yaklaşık olarak çözülmesi yönünde geniş araştırmalar yapıldı. Sonlu farklar yönteminin yanı sıra sonlu elemanlar ve sınır elemanı teorisini kullanan nümerik yöntemler üzerinde önemli çalışmalar yapıldı [31,32].

Elasto plastik türdeş ve türdeş olmayan levhaların eğilmesi ile ilgili düz veya ters problemlerin farklı yaklaşımlarla elde edilen sayısal çözümleri, bilim adamları tarafından incelenmiş ve literatürde yayınlanmıştır [33–42].

BÖLÜM 3. SERT CĐSĐMLERĐN DEFORMASYON TEORĐSĐ

3.1. Sert Cisim Mekaniğinin Genel Kavramları

Deformasyon: Cisme uygulanan bir kuvvetten dolayı cismin şeklinde oluşan değişimdir.

Deformasyon, uygulanan kuvvet kaldırıldığında cisim orijinal uzunluğuna esnemiş gibi geri dönebilir şekilde geçici olabilir ya da bükülme veya kırılma şeklinde geri dönülemez şekilde kalıcı olabilir.

Elastiklik: Cisimlerin dış etki sonucunda değişmiş olduğu hacim ve boyutlarının etki aradan kaldırıldıktan sonra başlangıç duruma geri dönme özelliğidir.

Young modülü, gerilme esnekliği veya bir eksen boyunca zıt kuvvetlerin uygulanması sonucu o eksen boyunca deforme olmuş nesnenin gerilmesi olarak tanımlanır: n deformasyo lim geri Modülü Young = =

ε

σ

. (3.1)

Yani, bir nesnenin Young modülü elastik deformasyon bölgesindeki gerilim-deformasyon eğrisinin eğimidir (Şekil 3.1). Genellikle basit olarak esneklik modülü olarak da adlandırılır.

Elastik deformasyon,

ε

Hooke Kanunu ile geliştirilmiştir. Burada

σ

gerilim, E malzemenin Young modülü ve

ε

ise deformasyonu karakterize etmektedir.

Genel durumda ise,

( )

[

−ω ε

]

=E1

E_p (3.3)

şeklindedir. Burada

ω

plastiklik parametresidir ve ilk kez A.A. Il’ushin tarafından tanımlanmıştır [43].

Plastiklik: Eğer dış kuvvetlerin etkisi sonlandırıldığında deformasyon (ezilme, eğilme, yani cismin noktalarının geometrik yer değişmesi ) tümüyle aradan kalkmıyor (kalıcı deformasyon durumu) ise, bu tür deformasyonlar plastik deformasyonlardır.

Kalıcı deformasyonu ilk kez I. Hodkinson bulmuştur ve kalıcı deformasyonun artması ile esneklik modülünün azaldığını söylemiştir. Deformasyonun bu türü tamamen geri dönüşümlü değildir. Ancak, plastik deformasyon alanındaki bir cisim ilk olarak tamamen geri dönüşümlü olan elastik deformasyon geçirir. Bu nedenle cisim kısmen ilk haline dönüşecektir.

Bir malzemede herhangi bir noktada deformasyon belli bir değere ulaştığında esneklik sonlanır ve bu noktada plastik deformasyon başlar. Elastik bölgenin son durumuna karşılık gelen ε_T değerine esneklik limiti denir. σ_T, ε_T değerine karşılık gelen gerilimin değerini göstermektedir.

σ

<

σ

T (

ε

<

ε

T) ise, ω=0 dır. Eğer

T

σ

σ

≥ (

ε

≥

ε

T) ise, 0≤ω≤1 dir. Genel durumda,

(

)

(

) (

)

, 0 ; , . T m T T T E

ε

ε ε

σ

σ ε ε

ε ε

≤ ≤  = >  (3.4)

(

)

(

)

1

(

)

0 , 0 ; 1 , . T m T T

ε ε

ω

ε ε

−

ε ε

≤ ≤  = − ≥ 

şeklinde tanımlanır. Literatürde (3.4) ifadesi Ramberg-Osgood ifadesi olarak adlandırılır.

Bazı özel malzemeler için gerilim deformasyon grafikleri kısmi lineer fonksiyonlar ile gösterilmektedir (Şekil 3.1).

(a) (b) (c)

(d) (e)

Şekil 3.1: Farklı malzemeler için gerilim deformasyon eğrileri

Şekil 3.1 ideal plastik malzemeleri karakterize eden grafiktir. Mekanik özellikleri (b) grafiği ile karakterize edilen malzemeler ideal elasto-plastik malzemeler olarak adlandırılır. (c), (d) grafikleri lineer sert malzemeleri karakterize etmektedir. (e) sert plastik malzemeleri (esnekliği çok az olan malzemeler) karakterize etmektedir.

Genel olarak sert cisimler için gerilim deformasyon eğrisi Şekil 3.2 deki gibidir.

Şekil 3.2: Biçimlendirilebilir metaller için gerilim-deformasyon eğrisi

Dış kuvvetin etkisiyle malzeme plastik deformasyona geçtikten sonra son olarak plastik deformasyon ile artan kuvvet belli bir noktaya yığılır ve cisimde oluşan çatlaklar sonucunda kırılma gerçekleşir. Eğer yeterli kuvvet uygulanırsa, sonuçta tüm malzemeler kırılır.

Sertlik: Deneyler yardımı ile belirlenebilen elasto-plastik deformasyon veya kırılma etkisi zamanı metallerin mukavemetlerini karakterize etmektedir.

Dayanıklılık: Fiziksel, sıcaklık, manyetik, kimyasal v.s. etkilere karşı olarak metallerin dağılmadan (kırılmadan) uzun süre mukavemet göstermesini karakterize etmektedir.

Metaller ve alaşımlar genel olarak fiziksel, mekanik, kimyasal ve teknolojik özellikleri ile karakterize edilmektedir.

- Fiziksel özellikler yoğunluk, parlaklık, erime sıcaklığı, ısı ve elektrik geçirgenliği, manyetik özellikler v.b. ile karakterize edilmektedir.

- Mekanik özellikler olarak cismin sertlik, esneklik, plastiklik, kırılganlık, devamlılık, yorgunluk mukavemeti v.b. gibi özellikleri adlandırılır.

- Kimyasal özelliklere ise, kimyasal içerik, dış ortama karşı koruma özellikleri v.b. ait edilir.

- Teknolojik özellikler üretim koşulları ve yöntemleri v.b. ile karakterize edilmektedir.

Son zamanlarda üretilen biometaller de, farklı özelliklerle birlikte yukarıdaki özellikleri de sağlamaktadır.

3.2. Tensörler

Vektörler sayısal büyüklük ve doğrultuya sahiptir. Vektörler belli bir koordinat sistemine göre üç bileşeni verildiğinde bütünüyle belirlenirler. Bu iş için çeşitli koordinat sistemleri seçilebilir ve aynı vektör farklı koordinat sistemlerinde farklı bileşenlere sahip olacaktır. Çeşitli koordinat sistemlerindeki bileşenler arasındaki dönüşüm bağıntıları farklı eksen takımları arasındaki doğrultmanın kosinüslerine lineer olarak bağlıdır ve bu bağıntılar bütün vektörler için aynıdır. Bu dönüşüm özelliği vektör tanımı olarak kullanılabilir.

Đki vektörün çarpımı şeklinde dönüşen bütün büyüklükler tensör adını alır. Tensör, bir lineer vektör operatörü gibi görülebilir, fakat daha karmaşık özelliklere sahip sayısal ifadeleri tasvir etmek için kullanılır. Bir vektörü alır ve bunun sonucunda diğer bir vektörü üretir. Benzer şekilde üç veya daha fazla vektörün çarpımı şeklinde dönüşen daha yüksek dereceli tensörler de vardır. Tensörleri kullanarak vektörlerde olduğu gibi cebirsel ifadeler daha basit şekilde yazılabilir.

3.3. Deformasyon Tensörü

Cismin her hangi noktasında deformasyon durumu deformasyon tensörü ile verilmektedir. Deformasyon tensörü matrisi

33 32 31 23 22 21 13 12 11

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

= (3.5)

şeklindedir. Burada ε_ij

( )

x fonksiyonları deformasyon tensörü bileşenleridir ve bu bileşenler başlangıçta x koordinat eksenlerine paralel sonsuz küçük lineer i

elemanlar için deformasyonları göstermektedir. Bunlar, ele alınan noktaya göre

1 2 3

( , , )

i

u = u u u yer değişme vektörünün bileşenleri ile Stoks formülü olarak adlandırılan 1 , , 1, 2, 3 2 j i ij j i u u i j x x

ε

= _∂ +∂ _ = ∂ ∂   (3.6)

ifadeleri ile tanımlanır. Burada

ε ε ε

₁₁, ₂₂, ₃₃ normal deformasyon bileşenleridir ve sonsuz küçük lineer elemanların boyutlarının x koordinatlarına göre değişimini _i

karakterize etmektedir. Normal deformasyonun işareti çekme ve sıkıştırma durumuna bağlı olarak belirlenmektedir. Genel olarak, çekme durumunda deformasyonun pozitif olduğu varsayılmaktadır.

ε

₁₂ =

ε ε

₂₁, ₁₃ =

ε ε

₃₁, ₂₃ =

ε

₃₂ bileşenleri yer değiştirme deformasyonudur ve bunlar başlangıçta koordinat eksenlerine paralel iki sonsuz küçük lineer elemanlar arasındaki açı değişiminin yarısını karakterize etmektedir.

3.4. Gerilim Tensörü

Sert cismin içinde herhangi bir dikdörtgen prizma şeklinde ele alınan hacim elemanın yüzeyine, koordinat eksenlerine paralel veya dik olarak etkileyen kuvvetler gerilim tensörünün bileşenleri olarak tanımlanır (Şekil 3.3). (Örneğin

σ

23, x2 eksenine paralel yüzeye dik ve x eksenine paralel olarak etkileyen kuvvet bileşenidir.) ₃

11 σ σ12 13 σ 23 σ 22 σ 21 σ 31 σ 32 σ 33 σ 2 x 3 x 1 x

Şekil 3.3: Hacim elemanının yüzeylerinde gerilim tensörünün bileşenleri

Koordinat eksenlerine dik olarak bir yüzeye etkileyen gerilimin, biri normal ve ikisi teğet olmak üzere 3 bileşeni vardır. Kartezyen koordinat sisteminde gerilimin

11, 12, 13, 21, 22, 23, 31, 32, 33

σ σ σ σ σ σ

σ σ σ

gibi 9 bileşeni tanımlanır. Bu bileşenler

33 32 31 23 22 21 13 12 11

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

= (3.7)

Cauchy gerilim tensörünü oluşturmaktadır. Gerilim tensörünün bileşenleri cismin farklı noktalarında keyfi olarak verilemez. Momentlerin denge koşulundan, gerilim tensörünün simetrikliği elde edilir:

(

, =1,2,3

)

= _ji i j ij

σ

σ

. (3.8) (3.8) eşitliği 1822 yılında O. Cauchy tarafından ispatlanmıştır. Yani, gerilim tensörünün sadece 6 bileşeni bağımsızdır.

3.5. Denge Denklemi

Sert cismin denge durumunda olması için gerilim tensörünün bileşenlerinin belli koşulları sağlaması gerekmektedir. Gerilim tensörünün bileşenleri momentlerin denge koşulundan (3.8) ifadelerini, kuvvetlerin denge koşulundan ise,

0 0 0 3 3 33 2 32 1 31 2 3 23 2 22 1 21 1 3 13 2 12 1 11 = + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ F x x x F x x x F x x x

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

(3.9)

eşitliklerini sağlamalıdır. Burada F_i,i=1,2,3 hacim kuvvetleridir. (3.9) ifadelerine denge denklemi denir.

Denge denklemi gerilim tensörünün 6 bağımsız bileşenini kullanarak sadece 3 denklemle verilmektedir. Doğal olarak, bazı problemlerin çözümünde sadece (3.9) denklemi yeterli olmayacaktır, ek olarak 3 ifadenin de verilmesi gerekir.

3.6. Hooke Kanunu

Eğer gerilim tensörünün her bir bileşeni deformasyon tensörünün bileşenlerinin lineer bileşimi olarak tanımlanabilir ise, bu durumda cisme lineer esnek cisim denir.

Klasik esneklik teorisi genelleşmiş Hooke yasasına dayanmaktadır. Üç boyutlu lineer esnek cismin her bir noktasında gerilim tensörünün

σ

_ij =

σ

_ji altı bileşeni ile deformasyon tensörünün

ε

_ij =

ε

_ji altı bileşeni arasında lineer bir bağıntı vardır.

Gerilim ile deformasyon tensörlerinin bileşenleri arasındaki ilişki Genelleşmiş Hooke kanunu ile verilmektedir: gerilim tensörünün bileşenleri deformasyon tensörünün bileşenlerinin lineer fonksiyonudur. Yani,

∑

= = = 3 1 , 3 , 2 , 1 , , β α αβ

ε

αβ

σ

ij cij i j . (3.10)

Dört indisli cij_αβ tensörü esneklik modülü tensörü olarak adlandırılır ve her zaman

simetriklik özelliğini sağlamaktadır:

ij ij

ji

ij c c c

c _αβ = _αβ = _βα = _αβ . (3.11)

Yani, 81 parametreden sadece 21 tanesi birbirinden farklıdır. Literatürde genelleşmiş Hooke yasası aşağıdaki şekilde tanımlanır [3]:

. 3 , 2 , 1 , , , 2 3 , 2 , 1 , 2 3 1 = ≠ = = + =

∑

= j i j i i ij ij j ij ij ij

µε

σ

µε

ε

λ

σ

(3.12)

Burada λ ve µ Lame sabitleridir. Lame sabitlerinin yardımı ile tanımlanan

(3 2 ) , = 2 2( ) E µ λ µ ν λ λ µ λ µ + =

+ + sırasıyla Young modülü ve Poisson sabiti olarak

adlandırılır. (3.12) ifadeleri

ν

ve µ sabitlerinden yararlanılarak açık şekilde

(

)

(

)

11 11 22 33 2 1 1 2 µ σ ν ε ν ε ε ν = _ − + + _ − ,

(

)

(

)

22 22 11 33 2 1 1 2 µ σ ν ε ν ε ε ν = _ − + + _ − ,

(

)

(

)

33 33 11 22 2 1 1 2 µ σ ν ε ν ε ε ν = _ − + + _ − ,

12 2 12, 13 2 13, 23 2 23

σ = µε σ = µε σ = µε . (3.13)

gibi tanımlanır [3].

Genelleşmiş Hooke kanunu daha genel durumlarda farklı şekillerde ifade edilir. Sert cisimler farklı yönlerde göstermiş olduğu mekanik özelliklerine göre genel olarak ortotrop, transversal ortotrop ve homojen olarak farklı sınıflara ayrılmaktadır. Eğer cisimler moleküler yapısına göre her hangi bir simetriye sahip ise, o halde farklı yönlerde aynı olmayan esneklik özelliği gösterir. Bu farklılıklara göre genel olarak tanımlanan en önemli üç durum aşağıdaki şekilde verilebilir: [24]

1) Eğer cisim her bir noktasında birbirine karşılıklı dik yönlerde farklı esneklik özellikleri gösteriyor ise, bu tür cisimlere ortotrop cisimler denir.

Ortotrop cisimler için deformasyon tensörünün ε_ijbileşenleri ile gerilim tensörünün

ij

σ bileşenleri arasındaki bağıntı

31 21 11 11 22 33 1 2 3 32 12 22 11 22 33 1 2 3 1 , 1 , E E E E E E

ν

ν

ε

σ

σ

σ

ν

ν

ε

σ

σ

σ

= − − = − + − 13 23 33 11 22 33 1 2 3 1 , E E E

ν

ν

ε

= −

σ

−

σ

+

σ

23 23 13 13 12 12 23 13 12 1 1 1 , , G G G ε = σ ε = σ ε = σ (3.14)

şeklinde tanımlanır. Burada E E E sırası ile ₁, ₂, ₃ x x x eksenleri yönünde Young ₁, ₂, ₃ modülünün değerleri, ν_ij Poisson sabitleri, G ise kayma modülleridir. Simetri _ij

1 21 2 12, 2 32 3 23, 1 31 3 13

Eν =Eν Eν =Eν Eν =Eν (3.15)

koşulları sağlanır.

2) Eğer cisim her bir yöndeki paralel kesitlerinin tümünde aynı olmakla birlikte, cisim kesit düzleminin her noktasında birbirine dik iki yönde farklı özellikleri gösteriyor ise, bu tür cisimlere transversal ortotrop cisimler denir. Yani, eğer cismin

1 2

Ox x düzleminde Young modülü E , ₁ x ekseni yönünde ₃ E , Poisson sabitleri ise, ₂

sırasıyla ν ν₁, ₂ ise, bu durumda (3.14) ifadeleri aşağıdaki şekle dönüşür:

2 11 11 1 22 33 1 2 2 22 1 11 22 33 1 2 33 1 11 22 33 1 2 23 23 13 13 12 12 1 ( ) , 1 ( ) , 1 1 ( ) , 1 1 1 , , . E E E E E E G G G

ν

ε

σ

ν σ

σ

ν

ε

ν σ

σ

σ

ε

ν σ

σ

σ

ε

σ

ε

σ

ε

σ

= − − = − + − = − + + = = = ′ ′ (3.16)

Burada G=E₁/[2(1+ν₁)] Ox x düzleminde, G_{1 2} ′ ise, x ekseni yönünde kayma ₃

modülleridir.

3) Eğer cisim tüm yönlerde aynı esneklik özellikleri gösteriyor ise, bu tür cisimlere homojen cisimler denir.

11 11 22 33 22 22 11 33 33 33 11 22 23 23 13 13 12 12 1 [ ( )], 1 [ ( )], 1 [ ( )], 1 1 1 , , . E E E G G G

ε

σ

ν σ

σ

ε

σ

ν σ

σ

ε

σ

ν σ

σ

ε

σ

ε

σ

ε

σ

= − + = − + = − + = = = (3.17) 3.7. Düzlem Deformasyon

Eğer yer değiştirme vektörünün u bileşeni sıfıra eşitse, yani ₃ u₁ ve u₂ bileşenleri x ₃

koordinatına bağlı değil ise, o halde cisim düzlem deformasyon durumundadır denir. [4] Bu durumda deformasyon tensörünün ε₃₃,ε₁₃ =ε₃₁ ve ε₂₃ =ε₃₂ bileşenler sıfıra eşit olur ve diğer bileşenler x koordinatına bağlı olmaz. Bu durumda sıfırdan farklı 3

bileşenler       ∂ ∂ + ∂ ∂ = = ∂ ∂ = ∂ ∂ = 1 2 2 1 21 12 2 2 22 1 1 11 2 1 , , x u x u x u x u

ε

ε

ε

ε

(3.18)

ifadeleri ile belirlenir. (3.18) ifadelerinde deformasyon tensörünün 3. bileşeni u1 ve

2

u bileşenleri ile tanımlanır. (3.18) nın yardımı ile kolaylıkla

2 1 12 2 2 2 11 2 2 1 22 2 2 x x x x ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ ε ε ε (3.19)

uyum koşulu elde edilebilir. (3.19) koşulu, x1 ve x2 değişkenlerine bağlı olan

(

u1, u2

)

u = yer değişme vektörünün tek değerli olarak belirlenebilmesi için gerek ve

ortadan kaldırır. Bellidir ki eğer u₁ ve u₂, x₁ ve x₂ değişkenlerine göre diferansiyellenebilir fonksiyon ise, (3.19) koşulu kendiliğinden sağlanır.

Düzlem deformasyon durumunda (3.13) ifadeleri

(

)

(

)

(

)

11 11 11 22 22 22 11 22 33 11 22 12 12 13 23 2 , 1 2 2 , 1 2 2 , 1 2 2 , 0 ν σ µ ε ε ε ν ν σ µ ε ε ε ν ν σ µ ε ε ν σ µε σ σ   = _ + + _ −     = _ + + _ −   = + − = = = (3.20)

şeklini alır. (3.20) ifadelerinin indislerle yazılımı

      − + = ij kk ij ij ν ε δ ν ε µ σ 2 1 2 (3.21) şeklindedir.

Düzlem deformasyon durumunda

3 , 2 , 1 , 0 3 1 = = +                         ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ +         ∂ ∂ ∂ ∂

∑

= i F x u x u x x u x i j i j j i i j j i

µ

λ

(3.22)

denklemler sisteminde F₃ =0,u₃ =0 ve F₁,F₂,u₁,u₂ , x değişkenine bağlı ₃

(

)

(

)

(

)

(

)

2 2 2 1 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 0, 2 0 u u u F x x x x u u u F x x x x µ λ µ µ λ µ λ µ µ λ ∂ ∂ ∂ + + + + + = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + + + + + = ∂ ∂ ∂ ∂ (3.23) şeklinde tanımlanır [3].

BÖLÜM 4. ELASTĐK LEVHANIN EĞĐLMESĐ ĐLE ĐLGĐLĐ PROBLEM

Esneklik teorisinin düzlem deformasyon denklemi, “model” problem olmasına rağmen deformasyon teorisin farklı problemlerinin modellenmesinde geniş şekilde kullanılmaktadır.

4.1. Düzlem Deformasyon Denkleminden Levhanın Denge Denkleminin Elde Edilmesi

Kalınlığı h olan türdeş elastik levha ele alınsın. Koordinat sistemi öyle yerleştirilsin ki x1 ve x2 eksenleri levhanın orta yüzeyinde, x ise yukarıya doğru yönelmiş olsun 3 (Şekil 4.1). 1

x

0

x

₁ 2

x

0

0

0

3

x

Şekil 4.1: Kalınlığı h olan türdeş elastik levha

Levhanın üst kısmına uygulanmış ve 0 xx1 2 düzlemine dikey yönde yönelmiş q kuvveti ile levhanın eğilmekte olduğunu ve levhanın sınırlarını hiçbir kuvvetin

etkilemediği düşünülsün (yani, levhanın ağırlığı göz ardı edilsin). Hacim kuvvetlerinin olmadığı, yani F1 =F2 =F3 =0 durumunda levhanın alt yüzeyi serbest kaldığından dolayı yüzeysel kuvvet levhanın üst kısmına dikey yönde uygulandığı için

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

13 1 2 13 1 2 23 1 2 23 1 2 33 1 2 33 1 2 , , 2 , , 2 , , 2 , , 2 , , 2 0, , , 2 x x h x x h x x h x x h x x h x x h q

σ

σ

σ

σ

σ

σ

= − = = − = − = = (4.1)

olduğu kolayca tespit edilir.

(3.9) denge denklemler sisteminin ilk iki ifadesi x3 ile çarpılıp

[

−h 2 h, 2

]

aralığında x3 e göre integrallendiğinde, gerilim tensörünün simetrikliği ve kuvvet

fonksiyonunun levhanın düzlemine ortogonallik koşulu da göz önüne alınarak,

2 2 2 13 11 12 3 3 3 3 3 3 1 2 3 2 2 2 2 2 2 23 21 22 3 3 3 3 3 3 1 2 3 2 2 2 0, 0 h h h h h h h h h h h h x dx x dx x dx x x x x dx x dx x dx x x x

σ

σ

σ

σ

σ

σ

− − − − − − ∂ ∂ ₊ ∂ _{+ =} ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ₊ ∂ _{+ =} ∂ ∂ ∂

∫

∫

∫

∫

∫

∫

(4.2)

elde edilir. (4.2) denklemlerindeki son integrallerde, (4.1) eşitlikleri göz önüne alınarak, kısmi integralleme formülü uygulanırsa [44],

∫

∫

∫

− − − − − = + − = ∂ ∂ 2 2 3 13 2 2 2 1 13 2 2 3 13 2 2 3 3 3 13 ) , , ( h h h h h h h h dx x x dx dx x x

σ

σ

ξ

ξ

σ

σ

,

∫

∫

∫

− − − − − = + − = ∂ ∂ 2 2 3 23 2 2 2 1 23 2 2 3 23 2 2 3 3 3 23 ) , , ( h h h h h h h h dx x x dx dx x x

σ

σ

ξ

ξ

σ

σ

şeklinde olur. (4.2) sistemindeki diğer integraller ise, aşağıdaki şekilde yazılabilir:

(

)

. , , , 2 2 3 3 22 2 2 2 3 3 2 22 2 2 3 3 12 1 2 2 3 3 1 12 2 2 3 3 1 21 2 2 3 3 12 2 2 2 3 3 2 12 2 2 3 3 11 1 2 2 3 3 11 1 2 2 3 3 1 11

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

− − − − − − − − − − ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h dx x x dx x x dx x x dx x x dx x x dx x x dx x x dx x x dx x x dx x x

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

Yukarıdaki formüller (4.2) sisteminde göz önüne alındığında,

2 2 2 11 3 3 12 3 3 13 3 3 1 2 2 2 2 2 2 2 12 3 3 22 3 3 23 3 3 1 2 2 2 2 0, 0 h h h h h h h h h h h h x dx x dx x dx x x x dx x dx x dx x x

σ

σ

σ

σ

σ

σ

− − − − − − ∂ ₊ ∂ _{− =} ∂ ∂ ∂ ₊ ∂ _{− =} ∂ ∂

∫

∫

∫

∫

∫

∫

(4.3) elde edilir.

Denge denklemler sisteminin 3. denklemi

[

−h 2 h, 2

]

aralığında x değişkenine 3 göre integrallendiğinde, gerilim tensörünün simetrikliği ve kuvvetin levhanın üst düzlemine etkisi de göz önüne alınarak,

0 2 2 3 3 33 2 2 3 2 32 2 2 3 1 31 = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂

∫

∫

∫

− − − h h h h h h dx x dx x dx x

σ

σ

σ

0 2 , , 2 , , _{2 33 1 2} 1 33 2 2 3 32 2 2 2 3 31 1 =       − −       + ∂ ∂ + ∂ ∂

∫

∫

− − h x x h x x dx x dx x h h h h

σ

σ

σ

σ

ve son olarak 0 2 2 3 23 2 2 2 3 13 1 = + ∂ ∂ + ∂ ∂

∫

∫

− − q dx x dx x h h h h

σ

σ

(4.4) elde edilir.

(4.3) ve (4.4) denklemlerinde kullanılan integraller fiziksel anlamına göre momentleri göstermektedir.

(

)

. , , 2 , , , , , 2 2 3 23 2 2 2 3 13 1 2 1 33 2 2 3 3 12 12 2 2 3 3 22 2 2 2 3 3 11 1

∫

∫

∫

∫

∫

− − − − − = = = − = = = h h h h h h h h h h dx Q dx Q h x x q dx x M dx x M dx x M

σ

σ

σ

σ

σ

σ

(4.5)

Mekanikte M₁

(

x₁, x₂

)

ve M₂

(

x₁, x₂

)

eğilme momentleri, M₁₂

(

x₁, x₂

)

burulma momenti, Q₁

(

x₁, x₂

)

ve Q₂

(

x₁, x₂

)

ise kayma kuvvetleri alarak tanımlanır. Son tanımlamalarla birlikte (4.3) ve (4.4) denklemleri de kullanılarak denge denklemleri aşağıdaki şekilde yazılabilir:

. 0 0 0 2 2 1 1 2 2 2 1 12 1 2 12 1 1 = + ∂ ∂ + ∂ ∂ = − ∂ ∂ + ∂ ∂ − = − ∂ ∂ − ∂ ∂ q x Q x Q Q x M x M Q x M x M (4.6)

Buradan Q₁ ve Q₂ yok edilirse,

0 1 12 2 2 2 2 12 1 1 1 = +       ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ ∂ +       ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ ∂ q x M x M x x M x M x (4.7)

olur. Son olarak (4.7) ifadesinde türevler hesaplandığında üç bilinmeyenli

0 2 ₂ 2 2 2 2 1 12 2 2 1 1 2 = + ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ q x M x x M x M (4.8)

kısmi türevli diferansiyel denklemi elde edilir. Fakat M1, M2 ve M12 momentleri gerçekte bilinmeyen değildir. Momentlerin

ω

(

x1,x2

) (

=u3 x1,x2,0

)

eğilme fonksiyonu ile ifadeleri göz önüne alınırsa, levhanın

ω

(

x x1, 2

)

eğilme fonksiyonu ile ifade edilmiş denge denklemi elde edilir.

4.2. Klasik Levha Teorisi (Kirchhoff Teorisi)

Dış kuvvetlerin etkisi ile eğilmekte olan levhaların analizinde genel olarak iki teori kullanılır: Klasik levha teorisi (Kirchhoff Teorisi) ve kayma deformasyon levha teorisi (Reissner-Mindlin Teorisi). Klasik levha teorisinde levhanın orta yüzeyine normal yönünde çizilmiş doğrunun deformasyondan sonra orta düzleme dik yönde kalması varsayılmaktadır.

a)

x

b)

x

i

δ

Şekil 4.2: Klasik Levha Teorisinin geometrisi

Reissner-Mindlin teorisinde ise, normal yönünde çizilmiş doğrunun deformasyondan sonra normal yönünden kayabileceği kabul edilir (Şekil 4.2). Bu küçük ayrıntı levhanın eğilmesi probleminde iki farklı denklemin ortaya çıkmasına neden olur.

Bu çalışmada detaylı ayrıntılara girmeden Klasik levha teorisi incelenecektir. Bu teoride, levha noktalarının yer değişme vektörünün bileşenleri aşağıdaki formüllerle tanımlanır:

(

)

(

)

(

, ,

)

(

,

)

. , , , , 2 3 2 1 2 3 3 2 1 2 1 3 2 1 1 3 3 2 1 1 x x x x Q x x x x u x x x x Q x x x x u ∂ ∂ − = − = ∂ ∂ − = − =

ω

ω

(4.9)