SO (3,2) grubu ve integrallenebilir sistemler

I. BÖLÜM

1.1 GİRİŞ

Reel ve kompleks uzaylarda kuadratik formları invaryant bırakan

(

p q

)

SO

G≡ , , U

(

p,q

)

temsil gruplarının homojen uzaylarda Laplace-Beltrami operatörlerinin çözümleri ve bu homojen uzaylarla ilgili temsillerin harmonik analizi üzerine çeşitli çalışmalar yapılmıştır. [1,10,11,12,13] Laplace-Beltrami operatörünün çözümleri homojen uzaylarda hareket eden serbest parçacıkların düzlem dalgalarıdır. Jeodezik yol ile parçacığın serbest hareketinin kırılmış simetrisi , bir boyutlu n parçacıklı kuantum integrallenebilir sistemlerini verir. Laplace-Beltrami operatörünün radyal kısmı ile kuantum sisteminin H Hamiltoniyeni arasındaki ilişki, homojen uzaylarda invaryant hacmin radyal kısmı ile tanımlanan basit bir dönüşüm ile verilir ve çözümleri, düzlem dalgaların açılara göre ortalama değeri ile belirlenir. Kompakt durağan alt gruplu homojen uzaylar olması halinde bu ortalama değer , zonal küresel fonksiyonlar olarak adlandırılırlar. [1,3,14] Simetrik uzaylar ve küresel fonksiyonların teorisi Gelfand, Harish-Chandra, Berezin, Kampelevich, Gindikin ve Kostant tarafından geliştirilmiştir. [5,11]

Bir boyutlu kuantum integrallenebilir sistemlerin hareket integralleri, dalga fonksiyonları ve diğer özellikleri ile ilgili bir çok sonuç elde edilmiştir. M.A.Olshanetsky ve A.M.Perelemov’ın “Quantum İntegrable Systems Related to Lie Algebra” adlı çalışması bu konuda elde edilen sonuçların genel yorumunu

vermektedir. [1,2] Bu yoruma göre bir boyutlu kuantum integrallenebilir sistemler G grubunun bir simetri uzayında serbest parçacık hareketinin simetrisinin bozulması sonucu ortaya çıkmaktadır. [1,2] Serbest hareketler simetrik yüzeylerde tanımlanan düzlem dalgalarla ifade edilirler. Rankı p=1 olan simetrik uzayda düzlem dalgaların grup temsillerine dayanan ifadesi I.S. Shapiro, I.M. Gelfand tarafından verilmiştir. [4,5,6,15] Ayrıca rankı birden büyük

(

p q

)

SO

( )

p SO

( )

q

SO , × simetrik uzaylar üzerindeki düzlem dalgaların grup teorisi ile bağlantılı ifadesi üzerine çeşitli çalışmalar yapılmıştır. [7,8]

M.A.Olshanetsky ve A.M.Perelemov’un çalışmalarında kompakt durağan alt gruplu simetrik uzaylarla ilintili kuantum integrallenebilir sistemler incelenmiştir. [2,9] Bu yüzeylerde tüm geodezik eğriler kompakt kapanışlara sahip olduklarından ortaya çıkan kuantum sistemler, saçılma kuantum durumları olarak yalnız sürekli spektrumlara sahiptirler. İncelenen simetrik uzaylar için geodezik eğriler hem kompakt hem de kompakt değildir. Bu nedenle bu yüzeylerle bağlı kuantum sistemler saçılma ve bağlı durumlara uygun gelen hem sürekli hem de kesikli spektrumlara sahiptirler.

Açıklayıcı bir örnek olarak IR , n-boyutlu öklid uzayında, n n

n _{p IR}

IR

x∈ , ∈ ∗ olmak üzere eipx düzlem dalgalarının oluşumunun grup teorisi ile ifadesini göz önüne alalım. IR ’de parçacığın serbest hareketi n eipx düzlem dalgaları ile tanımlanır. Bu dalgalar, plank sabiti ve parçacığın kütlesi bir olarak

alınırsa özdeğerleri

∑

= = n i i p p 1 2 2 _{ve i n} x i p i , , 1 , ˆ = _K ∂ ∂ = olmak üzere

( )

∑

= − = ∆ n i i p 1 2

ˆ Laplace operatörünün öz fonksiyonlarıdır.

η , n-boyutlu birim vektörü olmak üzere _{p= p}2η _{momentumun tüm} yönleri boyunca, düzlem dalgaların ortalama değerinin ifadesi,

[ ]                    Γ = =       _      − − −

∫

2 2 2 2 2 2 2 2 , 2 0 ; 0 ,0 _{2 2} 2 2 2 x p J x p d e x g t _n n x p i p _η η η η (1.1.1) şeklinde verilir.Burada       − 2 2 2 2 p x J_n Bessel fonksiyonu, _      _      2_,0 0 ; 0 2 x g t p

ise küresel koordinatlarda

2 2 2 1 1 1 1 sin sin sinθ θ θ θ _{θ dϕ} d r d d d d r dr d r dr d r −n n− −n + −n      + = ∆ (1.1.2)

şeklinde yazılan Laplace operarötürünün, radyal kısmı olan 2 1 1 _{, r x} dr d r dr d r n n r = = ∆ − − (1.1.3) nın öz fonksiyonlarıdır ve       _      − =       _      ∆_rt_0;0p2 g x2 ,0 p2t_0;0p2 g x2 ,0 (1.1.4) denklemini sağlarlar.

g

(

x,k

)

∈E

( )

n , k∈SO

( )

n , x∈IRn olmak üzere Wigner teorisi ile ifadesi

verilen _      _      2 _,0 0 ; 0 2 x g

t p fonksiyonları E öklid grubunun temsillerinin zonal n

Diğer taraftan dx=rn 1− drdη invaryant hacim elemanı ifadesinden görüldüğü gibi f

( )

r r

( )

r n ψ 2 1 − −

= dönüşümü ile özdeğer denkleminden

( )

_{( )}

0 ] 4 / )) 1 )( 3 (( [ 2 ₂ 2 2 = − − − + r r n n p dr r d ψ _ψ (1.1.5)

Schrödinger denklemi elde edilir. Burada potansiyel,

( ) ( )(

14 ₂3

)(

1

)

r n n r V = − − (1.1.6) ve enerji 0 2 _> = p E (1.1.7) dır. Özdeğer denkleminin çözümü

( )

J

( )

pr p r n r _n n 2 2 2 2 2 2 − −             Γ = ψ (1.1.8)

şeklinde bulunur. Bu çözümün r →∞ için asimptotik değeri

( )

_{ }

(

−

)

_      ≅ − ∞ → 4 1 cos 2 1 2 1 π π ψ pr n p r n r (1.1.9)

dir. Diğer taraftan S-matrisinin

( )

( )

ipr

( )

ipr r e r B e r A r − ∞ → = + ψ (1.1.10)

den elde edilen ifadesi

( ) 2 1π − − = n i e B A S (1.1.11) olarak bulunur.

Euclide uzayında göz önüne alınan bu örnekte Riemann simetrik uzayları ele alınmaktadır. Simetrik uzayda düzlem dalgaların ifadesi SO

(

p,q

)

grup temsiller teorisine dayanılarak verilmiştir. Simetrik uzayın hacim elemanın ifadesi kullanılarak Laplace operatörünün radyal kısmı Schrödinger denklemine dönüştürülür. Bu ise bir boyutlu kuantum sistemlerine karşılık gelir. [1]

Bu konu ile ilgili diğer bir çalışma için SO

( )

3,2 grubunun 1

: ₁2+ ₂2 + ₃2 − ₄2 − ₅2 =

Χ₊ x x x x x , x=

(

x₁,x₂,x₃,x₄,x₅

)

∈Χ₊ hiperboloidi üzerinde düzlem dalgalarının oluşumunun grup teorisi ile ifadesini göz önüne alalım ve özdeğer denklemini verelim. Bunun için χ =

(

σ,ε

)

olmak üzere;

0 : y₁2 +y₂2 +y₃2 −y₄2 −y₅2 =

Y , y=

(

y₁,y₂,y₃,y₄,y₅

)

∈Y

konisi üzerinde ε değerli ve homojenlik derecesi σ olan sonsuz diferansiyellenebilir homojen Φ

(

y,χ

)

fonksiyonlarının, D uzayında _χ SO

( )

3,2 grubunun

( )

= Φ

(

;

) (

, =0,1

)

Φ ay a σ signεa y χ ε (1.1.12) şeklindeki maximal dejenere temsillerini göz önüne alalım.

( )

=

(

)

[

]

= + − − =− ∈Χ₋

=dp , p 1,η , η η₁,η₂,η₃,η₄ , η,η η₁2 η₂2 η₃2 η₄2 1, η y

olmak üzere y₁ =1 düzlemi ile Y konisinin arakesiti üzerinde

( )

p =Φ

(

y;

)

_y1=1

f χ sonsuz diferansiyellenebilir fonksiyonlar uzayında

( ) (

g y;

)

(

yg;

)

g SO

( )

3,2

temsili gerçekleştirilebilir. y′= yg denkleminden görülebileceği gibi

( )

pg ₁, d

dg =

( ) ( )

pg pg ₁

pg = olmak üzere (1.1.13) denkleminden

( ) ( ) ( )

g f p pg ₁ sign

( )

pg ₁f

( )

pg , g SO

( )

3,2

T_χ = σ ε ∈ (1.1.14)

bağıntısı bulunur.

( )

pg ifadesi ₁ x=

(

1,0,0,0,0

)

, Χ₊ hiperboloidi üzerinde sabit bir nokta olmak üzere

( )

pg ₁=[xo,pg] yazılır. Bu durumda x=xo g_x şeklinde tanımlanmak üzere , g ≡g_x−1 den

(

pg_x−1

)

₁ =

[

x,p

]

bağıntısı elde edilir. 4-boyutlu

+

Χ hiperboloidi üzerinde skaler fonksiyonların açılımı için tam taban fonksiyonları

( )

hg t

( )

g , h H , H SO

(

2,2

)

, g SO

( )

3,2

tχ = χ ∈ ≡ ∈ (1.1.15)

koşullarını sağlayan SO

( )

3,2 grubunun temsillerinin t( )χ

( )

g matris elemanlarıdır. 1, D temsil uzayının H, invaryant dual vektörü olsun. Bu _χ

durumda ηo =

(

0,0,0,1

)

, η=ηo g_η üç boyutlu Χ hiperboloidinin bir vektörü, ₋ d η bir invaryant eleman ; D( )χ

( )

g_η , Χ₋ üzerinde taban fonksiyonları olmak üzere

( )

_{( )}

{

( )

( )

_[

_{( )}

_]

}

[

]

[

]

( )

( )

_η η η χ ε σ χ ε σ χ χ d g D p x sign p x h D g T g t _{x x} H ′ Χ − − ′ − − − ′

∫

− = = , , , 1 3 1 , 3 ; 0 (1.1.16)

ifadesi elde edilir. Böylece 4-boyutlu Χ hiperboloidi üzerinde taban ₊ fonksiyonlarını hesaplamada 3-boyutlu Χ -hiperboloidi üzerinde D_χ

( )

g_η taban fonksiyonlarına ihtiyaç olduğu görülür. Bu nedenle karışık tabanda

K k H h A

a∈ , ∈ , ∈ olmak üzere g=hak parçalanışlı SO

( )

3,2 grubunun T_χ

( )

g temsilinin matris elemanlarını hesaplamak uygundur. Bunun için de Y konisinin

1 2 5 2 4 2 3 2 2 2 1 2 _{= y + y + y = y + y =}

r kompakt arakesiti üzerinde ϕ

( )

s =Φ

(

y;χ

)

_r=1 fonksiyonlar uzayında (1.1.13) eşitliğindeki temsilin realizasyonunu göz önüne alalım.Bu ise kısaca s=

(

ξ( ) ( )3 ,ξ 2

)

, ξ( )3 ∈S2, ξ( )2 ∈S1 s∈S2×S1 olmak üzere

0 , > =rs r

y demektir. Bu durumda ϕ

( ) ( ) ( )

−s = −1 εϕ s için

( ) ( )

ϕ

(

)

σϕ

( )

χ

(

σ ε

)

χ g s = r r sg , = ,

T _g (1.1.17) bağıntısı elde edilir.

( ) ( )

(

_cosh 3 _,sinh 2

)

_, ( )3 _S2 _, ( )2 _S1 x= αη αη η ∈ η ∈

[ ]

_{x,s =coshα}

[

_η( )3 _,ξ( )3

]

_−sinhα

[

_η( )2 _,ξ( )2

]

olduğundan

( )

( )

[

]

[ ]

ds d r d s x d r p x s d sign d r p f 3 , , , , _       = =         = ε ϕ η σ (1.1.18)

bağıntıları kullanılarak ve (1.1.16) denklemindeki S2×S1 üzerindeki

( )J

( )

_ξ imϕ

m e

D_0; 3 taban fonksiyonları yerine Χ hiperboloidi üzerindeki ₋ Dχ′

( )

g_η taban fonksiyonları alınarak

( )

_{( )}

_{[ ]}

_{[ ]}

( ) ( )

( )

_ξ ϕ _{ξ ϕ} µ σ χ _{g x s sign x s D e d d} t S S im J x m M J H 3 3 ; 0 3 ; ; ; 0 1 2 , ,

∫

× − − = (1.1.19) bulunur. t( )_{J M m}

( )

g_x H χ ; ; ;

0 matris elemanları biküresel koordinat sisteminde verilen 4-boyutlu Χ hiperboloidi üzerinde skaler fonksiyonların açılımı için taban ₊

fonksiyonlarıdır ve ∆ , _LB Χ üzerinde Laplace-Beltrami operatörü olmak üzere ₊ ( )

_{( )}

₍

₎

( )

_{( )}

x m M j x m M j B L t H g t H g χ χ _{σ σ} ; ; ; 0 ; ; ; 0 = +3 ∆ (1.1.20) denklemini sağlarlar. Bu nedenle

[ ]

x,s _εσ ≡

[ ]

x,s −3−σsignε

[ ]

x,s düzlem dalgaları için

[ ]

(

)

[ ]

σ ε σ ε σ σ x s s x B L , = +3 , ∆ (1.1.21) denklemi bulunur.

Χ üzerindeki skaler fonksiyonların açılım formülü, esas seriler üzerindeki ₊ integrallerden oluşur ve SO

( )

3,2 de-Sitter grubunun temsillerinin discreat seriler üzerinde bir toplamına eşittir.

Bu çalışmada simetrik yüzey olarak biküresel ve parabolik koordinat sistemlerinde verilmiş X₊ =

[

x,x

]

=x₁2 +x₂2 +x₃2−x₄2 −x₅2 =1 hiperboloidi üzerinde serbest hareketle bağlı bir boyutlu kuantum sistemler göz önüne alınmıştır. Ayrıca grup temsiller ile ilgili bazı genel bilgiler verildi. Parabolik ve biküresel koordinatlarda serbest parçacığın hareketleri incelendi.

[

,

]

= ₁2 + ₂2+ ₃2− ₄2− ₅2 =1 =

Χ₊ x x x x x x x de-Sitter uzayında skaler fonksiyonlar için açılım formülü verildi ve düzlem dalgalar tanımlandı. Düzlem dalgalar için tamlık şartları kullanılarak düzlem dalgaları boyunca Χ üzerinde bir serbest ₊ parçacığın hareketinin Green fonksiyonları için tam fonksiyonlar bulunarak , ikinci çeşit Legendre fonksiyonları ile ifade edilen açık temsiller elde edilmiştir.

Daha sonra, Schrödinger denklemi, özel fonksiyonlar ve Green fonksiyonları ile ilgili bilgiler verilmiştir.

1.2 GRUP TEMSİLLERİ

Grup temsili kavramı üstel fonksiyon kavramının kapsamlı bir genelleştirmesidir. _{e üstel fonksiyonu} ax _{f′ 0}

( )

_{=a başlangıç koşulunu sağlayan}

(

x y

)

f

( ) ( )

x f y

f + = (1.2.1) fonksiyonel denkleminin sürekli çözümü olarak tanımlanabilir. Bu denklemin herhangi bir G grubuna genelleştirilmesi G üzerinde

(

g1g2

)

f

( ) ( )

g1 f g2

f = (1.2.2) koşulunu sağlayan skaler fonksiyon göz önüne alınarak yapılabilir. Değişmesiz gruplar için fonksiyonlar (1.1.2) eşitliğinden dolayı

(

g1g2

)

f

( ) ( )

g1 f g2 f

( ) ( )

g2 f g1 f

(

g2g1

)

f = = =

bağıntısını gerçekleştirmeleri gerektiğinden bu tür fonksiyonlar az sayıdadır. Bu yüzden (1.2.2) denklemini sağlayan skaler fonksiyonlar G grubunda bir keyfi

( )

g

F fonksiyonuna genişletilmesi için yetersizdir. (1.2.2) Denkleminin tam olarak genelleştirmek için skaler fonksiyonlar yerine değerleri matris veya lineer dönüşüm olan fonksiyonlara dönüşmelidir. Kısaca g ve ₁ g verilen G grubunun ₂ elemanları ve T

( )

g , bu grupta herhangi bir L lineer uzayının lineer dönüşümler kümesinde değer alan bir fonksiyon olmak üzere

(

g1g2

)

T

( ) ( )

g1 T g2

fonksiyonel denkleminin çözümlerine G grubunun temsilleri denir. Burada g

g_n

nlim→∞ = limiti nlim→∞T

( )

gn =T

( )

g olan T

( )

g operatörüne ihtiyaç vardır.

Açıkça temsillerin sürekliliği T

( )

g operatörlerinin tanımına bağlıdır. Buradan tüm

( )

g

T operatörlerinin L uzayında sürekli olmasına ihtiyaç vardır. Yani x_n x

nlim→∞ =

limiti T

( )

g x_n T

( )

g x

nlim→∞ = olmasını gerektirir. Eğer singüler olmayan temsiller

göz önüne alınır ve G grubunun temsilleri ile bu grup üzerinde

(

g1g2

)

T

( ) ( )

g1 T g2

T = fonksiyonel denklemini gerçekleyen ve L lineer uzayının singüler olmayan sürekli lineer dönüşümlerinin grubunda değerler alan T

( )

g sürekli fonksiyonları göz önüne alınırsa e , G grubunun birim elemanı ve E de L de birim operatörler olmak üzere T

( )

g−1 ₌T−1

( )

g _{ve T}

( )

_{e = olduğu E} gösterilir. T

(

g1g2

)

=T

( ) ( )

g1 T g2 ve T

( )

g−1 =T−1

( )

g eşitlikleri T

( )

g ’nin L ’nin

singüler olmayan sürekli lineer dönüşümler grubu içine G ’nin bir homomorfik eşlemesi olduğunu gösterir. Eğer bu G ’nin her g elemanı için T

( )

g = ise E

( )

g

T temsiline aşikar temsil, G ’nin e birim elemanı için T

( )

e = ise E T

( )

g temsiline tam temsil denir. L lineer uzayına T

( )

g temsilinin uzayı denir. Eğer uzay sonlu boyutlu ise T

( )

g temsiline de sonlu boyutlu denir. Sonsuz boyutlu durumda Hilbert uzaylarındaki operatörler ile temsiller göz önüne alınır.

G grubunun bir T

( )

g temsili ;

(

g1g2

)

T

( ) ( )

g1 T g2

T = (1.2.3) fonksiyonel bağıntısını gerçekleyen bu grup üzerinde bir operatör fonksiyonu olarak tanımlanır. T

( )

g temsil uzayının sonlu boyutlu olduğu durum göz önüne

alınarak

{

e₁,e₂,_K,e_n

}

tabanı seçilsin. T

( )

g operatörü e elemanını _j T

( )

g e_j’ye dönüştürür. T

( )

g e_j taban elemanlarına ayrılarak

( )

_∑

= = n i j ij j t e e g T 1 (1.2.4)

elde edilir. Şöyle ki T

( )

g temsillerinin hem bir operatörü ile

( )

(

T g

)

≡

(

t_ij

( )

g

)

, 1≤i,j≤n (1.2.5) matrisini veya grup üzerinde _{n nümerik fonksiyonlar olan} 2 _t

( )

_g

ij ’lerin toplamı oluşturulur. T

( )

g ’nin sürekliliğinden t_ij

( )

g ’nin sürekliliği anlaşılır.

Operatörlerin çarpımı bunlara denk olan matrislerin çarpımı anlamına geldiği için (1.2.3) fonksiyonel bağıntısından t_ij

( )

g fonksiyonları için

( )

g t

( ) ( )

g T g i j n t n k kj ik ij =

∑

≤ ≤ = , 1 , 1 2 1 (1.2.6) 2

n eşitlik sistemi elde edilir. Bu yolla g∈G,det

(

t_ij

( )

g

)

≠0 için t_ij

( )

g n 2 sürekli nümerik fonksiyonlarının ailesi ile G grubunun n-boyutlu temsilleri tanımlanabilir. Bu sistem (1.2.4) denklemini gerçekler.

Eğer A singüler olmayan bir operatör ve L uzayından kendisi üzerine olan dönüşüm fi = Aei ise bu durumda

{ }

f tabanındaki i T

( )

g matris temsili

T(g)=

( )

A−1

(

T

( )

g

)( )

A (1.2.7) formuna sahiptir. Burada

( ) { }

A , e_k tabanındaki A operatörünün matrisini gösterir. Yani

∑

= = n i ij i j a e f 1 (1.2.8)

dir.

T

( )

g temsilinin matrisi

(

t_ij

( )

g

)

ise belli bir T

( )

g temsilinin matrisi de

( )

(

tij g

)

olur. Eğer T

( )

g temsilinin uzayı öklidiyen ise içindeki tabanda ortonormal olmalıdır. Yani

(

ei,ej

)

=δij (1.2.9) dır. Bu durumda matris elemanları

( )

(

( )

j i

)

ij g T g e e

t = , (1.2.10) ile hesaplanabilir.

T

( )

g sonsuz boyutlu temsili göz önüne alınsın ve bu uzayda i=_{1 K},2, ,n olmak üzere

{ }

e ortonormal tabanı seçilsin. Bu tabanda i

( )

_∑

∞

( )

= = 1 i i ij j t g e e g T (1.2.11)

eşitliği elde edilir. (1.2.11)’nin her iki yanı e ile skaler olarak çarpılırsa _i

( )

g =

(

T

( )

g e e

)

≤i j<∞

t_{ij j}, _i , 1 , (1.2.12) bulunur.

Operatörlerin çarpımı matrislerin genel çarpımı kuralına göre yapılır. Yani

( )

_∑

∞

( ) ( )

= = 1 2 1 k kj ik ij g t g t g t (1.2.13) dür.

T

( )

g L1 uzayında G grubunun bir temsili ve A, A-1 tersi sürekli olan

L1’den L2 uzayına bir lineer dönüşüm olsun. Bu durumda

( )

_{g = AT}

( )

_{g A}−1

eşitliği L2 uzayında G ’nin bir temsilini belirtir. Bu ifadeden

( ) ( )

g1 Q g2 Q

(

g1g2

)

Q =

elde edilir. Bu yolla verilen bir T

( )

g temsilinden hareketle aynı grubun yeni temsilleri oluşturulabilir ve bunlar T

( )

g ye denk olarak kabul edilebilirler. Eğer

( )

_{g = AT}

( )

_{g A}−1 Q

olacak şekilde L1 den L2 içine bir A lineer operatörü varsa L1 uzayında G grubunun T

( )

g temsili L2 uzayındaki G grubunun Q

( )

g temsiline denktir denir. Temsillerin denkliği kavramı yansıyan, simetrik ve geçişkendir. Ayrıca her bir temsil kendisine denktir. Eğer T

( )

g , Q

( )

g ’ye denk ise Q

( )

g de T

( )

g ’ye denktir ve eğer T

( )

g , Q

( )

g ’ye denk, Q

( )

g de R

( )

g ’ye denk ise bu durumda

( )

g

T temsili R

( )

g ’ye denktir. Bu, temsiller üzerinde bir denklik bağıntısıdır. Bundan dolayı G grubunun tüm temsilleri kümesi temsillerin denklik sınıfına ayrılabilir.

Eğer T

( )

g ve Q

( )

g temsilleri denk ise uygun bir taban seçimi ile bu temsiller özdeş matrislerle verilirler. Yani T

( )

g temsillerinin L1 uzayında bir

{ }

ek tabanı seçilirse, Q

( )

g ’nin L2 uzayında

{

Aek

}

tabanı seçilmelidir. Buradan

( )

g Ae_k AT

( )

g e_k

Q =

elde edilir. Bu nedenle eğer

( )

g e_k =

_∑

t_jk

( )

g e_j T

ise

( )

g Ae_k = A

_∑

t_jk

( )

g e_j =

_∑

t_jk

( )

g Ae_j Q

dir. Böylece

{ }

e_k tabanında T

( )

g temsili ile

{

Ae_k

}

tabanında Q

( )

g temsilinin aynı matrise sahip olduğu görülür.

T

( )

g L uzayında G grubunun temsili ve L′ , L uzayının adjoint uzayını göstersin.

( ) ( )

g f x f

(

T

( )

g x

)

f L x L

T′ = −1 _, ∈ ′_, ∈ _(1.2.15) ifadesi G grubunun bir temsilini belirler. Aslında

( ) ( ) ( )

g T g f x T

(

g g

) ( )

f x

T′ ₁ ′ ₂ = ′ _{1 2}

ve bu nedenle

( ) ( )

g1 T g2 T

(

g1g2

)

T′ ′ = ′

dir. T ′

( )

g temsiline T

( )

g temsilinin adjointi denir.

T

( )

g ’nin temsil uzayında

{ }

e tabanı seçilsin ve _i f_k

( )

e_i =δ_ki olan lineer fonksiyonel f ile gösterilsin. _k

{ }

f lineer fonksiyonellerin L′ uzayında bir _i taban oluşturur ve

{ }

e tabanına biortogonal denir. _i

Eğer

{ }

e tabanındaki _i T

( )

g temsilinin matrisi

(

t_ij

( )

g

)

’ye eşit ise biortogonal tabandaki adjoint temsilin matrisi

(

t_ji

( )

g−1

)

formuna sahiptir. Aslında

( ) ( )

(

( )

)

( )

( )

( )

( )

_∑

( )

( )

∑

∑

− − − − − = = =         = = ′ i k i ji jk i i j ik i i ik j k j k j e f g t g t e f g t e g t f e g T f e f g T 1 1 1 1 1 dır ve

( )

₌

_∑

( )

− ′ i i ji j t g f f g T 1 dir.

L uzayında

(

x,y

)

dejenere olmayan skaler çarpımı verilsin. Her hangi iki x ve y vektörü için

(

Ax,y

)

= ,

(

x A∗y

)

eşitliği elde ediliyorsa, A operatörüne bu skaler çarpıma göre A nın Hermitik-∗ Adjointi denir. Eğer T

( )

g L uzayında G grubunun bir temsili ise _T∗

( )

_g−1 _de

bu grubun bir temsilidir ve

( ) ( ) ( ) ( )

[

]

(

)

[

(

)

1

]

2 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 2 1 1 ∗ − − ∗ − ∗ − − − ∗ − ∗ _{g T g = T g T g =T g g =T g g} T

dir. T∗

( )

g−1 temsiline T

( )

g nin Hermitik-Adjointi denir ve T~

( )

g ile gösterilir. Diğer taraftan

( )

( )

1

~ _{g =t g}−

t_{ij ij}

dir. G grubunun L uzayındaki T

( )

g temsiline, eğer L nin x,y vektörü ve G nin her g elemanı için

( ) ( )

(

T g x,T g y

) (

= x,y

)

eşitliğine sahipse

(

x,y

)

skaler çarpımına göre üniterdir denir. Bu durumda

( ) ( )

g T g E

T∗ = ve T∗

( )

g =T−1

( )

g =T

( )

g−1

yazılır. Bundan dolayı T

( )

g temsili Hermitik-Adjoint temsili ile uyuşuyorsa üniterdir denir. Hermitik-Adjoint temsillerin matris formları ortonormal bir tabanda göz önüne alınırsa, üniter temsillerin matrisleri ortonormal bir tabanda üniterdir. denir. Yani

( )

(

tij g

)

−1=

(

tij

( )

g

)

(1.2.16) dir. Bundan dolayı bir matris için

( ) ( )

( ) ( )

ik j jk ji j kj ij g t g t g t g t =

∑

=δ

∑

(1.2.17) elde edilir. Eğer T

( )

g temsili üniter ve

{ }

e ortonotmal bir taban ise k T

( )

g de üniterdir.

Her g ∈ için G x∈ iken L₁ T

( )

g x⊂L₁ oluyorsa T

( )

g temsil uzayı L1 alt uzayına invaryanttır denir. Başka bir deyişle bu, T

( )

g temsillerinin her operatörü L1 alt uzayının vektörlerini aynı alt uzayın vektörlerine dönüştürür demektir. Sıfır uzayı ve L uzayı olmak üzere her T

( )

g temsili için en az iki invaryant alt uzay vardır. Bu invaryant alt uzaylara trivial denir. Eğer bir T

( )

g temsili sadece trivial alt uzaylara sahipse T

( )

g temsiline indirgenemez denir. Trivial olamayan invaryant alt uzaylı bir temsil indirgenebilirdir. G grubunun indirgenebilir her T

( )

g temsili ile bu grubun iki yeni temsili eşlenebilir. Bunların ilki T

( )

g temsilinin operatörleri sadece L1 alt uzayında göz önüne alınarak elde edilir. Bu temsile T

( )

g temsilinin L1 invaryant alt uzayına kısıtlaması denir. İkinci temsil

1

L

L _{bölüm uzayında oluşturulur. Eğer T}

( )

_g temsili indirgenebilir ise uygun seçilmiş bir tabanda bu temsillerin matrisi

( )

( )

( )

      g T g A g T 2 1 0 (1.2.18) formunda ifade edilir.

II. BÖLÜM

SO(2,3) GRUBU İLE BAĞLANTILI KUANTUM SİSTEMLER

2.1 PARABOLİK KOORDİNAT SİSTEMİ

) 3 , 2 (

SO grubunun simetrik yüzeyinde parabolik koordinat sistemini

alalım.Bunlara karşılık alınan kuantum sistemlerini ve grup temsillerini inceleyerek sistemin çözümünü araştıralım.

5 3 , 2

R Pseudo Euclidean uzayında Parabolik Koordinatlar 0< r<∞, ∞ < < ∞ − t , −∞<q₁,q₂,q₃ <∞ ve 2 3 2 2 2 1 2 _{q q q} q = − − (2.1.1) olmak üzere       − = ₂ 2 1 2 1 2 cosht e q r x t 2 1 2 t e rq x = 2 2 3 t e rq x = 2 3 4 t e rq x =       + = ₂ 2 5 2 1 2 sinh t e q r x t

şeklinde verilir.

( ) (

g_ab = x_{& ,a} x_&b

)

metrik matrisi a,b=1,2,3,4,5 olmak üzere

( )

(

t t t

)

ab diag r r e r e r e g _{= 1,−} 2 _4, 2 _{, −} 2 _,− 2 _(2.1.2) dir.

( )

( )

ab ab g g −1 =

( )

[

]

t ab e r g g 2 3 4 2 1 2 det = = (2.1.3)

( )

[

( )

]

g g Cof g t ab ab _{= (2.1.4)} kullanılarak

( )

_gab _=diag

(

_1,−4r2_{,1 r}2_et_{,−1 r}2_et_{,−1 r}2_et

)

_(2.1.5) olarak bulunur.     ∂ Φ ∂ ∂ ∂ = ∆Φ ab _b a g g _x x g 1 a,b=1,2,3,4,5 (2.1.6)

Laplace operatöründen yararlanarak Parabolik Koordinatlarda Laplace-Beltrami operatörünü yazalım. (2.1.6) dan

              ∂ Φ ∂ − ∂ Φ ∂ − ∂ Φ ∂ + ∂ Φ ∂ ∂ ∂ − + ∂ Φ ∂ ∂ ∂ = ∆Φ ₂ 3 2 2 2 2 2 1 2 2 3 2 4 4 1 4 1 1 2 3 q q q e t e t e r r r r r t t t (2.1.7)

ifadesini elde ederiz. (2.1.7) İfadesi

              ∂ Φ ∂ − ∂ Φ ∂ − ∂ Φ ∂ +       ∂ Φ ∂ ∂ ∂ − = Φ ∆ ₂ 2 2 2 2 2 2 1 2 2 3 2 3 1 4 q q q e t e t e t t t B L (2.1.8) olmak üzere Φ ∆ +         ∂ Φ ∂ ∂ ∂ = ∆Φ _LB t r t e t r 2 2 3 4 1 1 (2.1.9)

olarak yazılır. Bu yazılışta ∆Φ operatörünün ilk terimi Laplace operatörünün radyal kısmını, ∆_LBΦ terimi de

[

x,x

]

=1 yüzeyi üzerinde tanımlanmış olan Laplace Beltrami opretörünü oluşturur.

(2.1.8) Formunda bulduğumuz ∆ Laplace-Beltrami operatörünün özdeğer _LB problemini inceleyelim.

(

)

( )

1 1 2 2 3 3 3 2 1, , ,q q q T t ei q ei q ei q t = µ µ µ Φ (2.1.10) olmak üzere

(

t,q1,q2,q3

)

(

3

) (

t,q1,q2,q3

)

B L =Φ =− + Φ ∆ σ σ (2.1.11)

denklemini göz önüne alalım. (2.1.11) Denkleminde Φ

(

t,q₁,q₂,q₃

)

’ün (2.1.10) yazılışı kullanılarak

( )

(

) ( )

11 2 2 3 3 3 3 2 2 1 1 3 1 4 2 3 2 2 2 2 2 1 2 2 3 2 3 q i q i q i q i q i q i t t t e e e t T e e e t T q q q e t e t e µ µ µ µ µ µ σ σ + =               ∂ ∂ − ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ − (2.1.12)

ifadesi elde edilir.

2 2 3 2 2 2 1 µ µ µ µ − − = (2.1.13)

olduğu göz önüne alınırsa (2.1.12) denklemi

(

3

)

( ) ) ( ) ( 6 ) ( 4 2 ₂ 2T t T t e dt t dT dt t T d t = + + + µ σ σ (2.1.14)

şeklini alır. (2.1.14) Denkleminde

) ( ) ( 4 3 t e t T t ψ − = (2.1.15) dönüşümü yapılırsa

( )

0 4 2 3 4 ) ( 2 2 2 =                   + − + t e dt t d t ψ σ µ ψ (2.1.16)

şeklindeki Schrödinger denklemi bulunur. Schrödinger denkleminin potansiyeli

t e t V 4 ) ( 2 µ − = (2.1.17) Enerjisi 4 2 3 2       + − = σ E (2.1.18)

olarak bulunur. (2.1.16) Schrödinger denkleminde

2 t e z = − (2.1.19) dönüşümü yapalım. Bu durumda 0 ) ( 2 3 ) ( ) ( 2 2 2 2 2 2 ₌               + − + + z z dz z d z dz z d z ψ ψ µ σ ψ (2.1.20)

şeklindeki Bessel denklemine ulaşırız. (2.1.20) Denklemini _{µ ’nin durumlarına} 2 göre irdeleyelim. _µ2 _<0 _{halinde (2.1.20) denklemini} z z′=µ (2.1.21) dönüşümü ile 0 ) ( 2 3 ) ( ) ( 2 2 2 2 2 ₌               + + − + z z dz z d z dz z d z ψ ψ σ ψ (2.1.22)

Modified Bessel denklemini buluruz. Bu tip Modified Bessel denkleminin genel çözümü c ve ₁ c keyfi sabitler olmak üzere ₂

) ( ) ( ) (z c₁J_ν iz c₁Y_ν iz ψ = + ′ (2.1.23) bağıntısı ile verilir. Bu çözüm Modified Bessel denklemi için uygun çözüm değildir. Uygun çözümü elde etmek için I ve K çözümlerini kullanalım. (2.1.22) Denklemlerinin çözümleri ) ( ) (x i J ix I_ν = −ν _ν (2.1.24) bağıntısı kullanılarak µ z =x, σ + =ν 2 3 için

(

z

)

I µ σ 2 3 +

ve

Iσ

(

µz

)

2 3 + (2.1.25)

olarak bulunur. Bu çözümler

[

( ) ( )

]

sin 2 ) (x I x I x K_{ν ν ν} νπ π − = ₋ (2.1.26) bağıntısından yararlanılarak         −       + =       +       + −       + ( ) ( ) 2 3 sin 2 ) ( 2 3 2 3 2 3 z I z I z K µ µ π σ π µ σ σ σ (2.1.27)

şeklinde K-Mcdonald fonksiyonu ile ifade edilir.

Böylece (2.1.22) Modified Bessel denkleminin çözümünü

(

µ z

)

c K

( )

µ z ψ σ 2 3 1 ₊ = (2.1.28)

Böylece (2.1.14) denkleminin çözümü ρ σ =− +i 2 3 , 2 t e z= − , E = ρ (2.1.29) olmak üzere

( )

_      = −4 −2 3 4 t i t e K e t T _ρ µ (2.1.30) bulunur. Bu çözüm σ =− +iρ 2 3

nın sürekli değerlerine karşı gelen çözümdür ve (2.1.17) ile verilen V(t) potansiyeli pozitif işaretlidir. Dolayısı ile potansiyel kuyusu yoktur, sürekli zemin vardır. Çözüm ifadesindeki c normalizasyon ₁ katsayısını bulalım. Bunun için önce (2.1.30) şeklinde bulunan çözümün asimptodlarını araştıralım. 2

t

e

z= − değeri t→−∞ için z→∞ ve t→∞ için 0

→

z olur. Diğer taraftan

( )

(

₊

)

_ + − _ Γ = 4 , 1 1 2 ) ( 2 1 0 x F x x I ν ν ν ν (2.1.31) bağıntısında _      − + 4 , 1 2 1 0 x F ν terimi 1 4 , 1 lim_{0 1} 2 _=      − + ∞ → x F n ν (2.1.32)

dir. (2.1.31) denklemleri ve (2.1.32) limit özelliğinden

(

)

(

ρ

)

µ µ ρ ρ ρ _i e e I t i i z t i = _{Γ +}      − → − 1 2 2 0 2 _(2.1.33) olduğundan (2.1.26) kullanılarak _       ₋ 2 t i e K _ρ µ için

(

2

)

[

(

2

) (

2

)

]

sin 2 t i t i t i e _i I e I e K − = ₋ µ − − µ − ρπ π µ _{ρ ρ} ρ (2.1.34)

( ) ( )

=δ

(

ρ−ρ′

)

∫

∞ ∞ − dt t T t T (2.1.35)

ortogonallik koşulunu göz önüne alarak

(

)

(

)

(

)

∫

∞ ∞ − − − − _{µ =δ ρ−ρ′} µ _ρ ρ e c K e dt K c_{1 i} t 2 _{1 i} t 2 (2.1.36)

den (2.1.33) ve (2.1.34) bağıntılarını kullanarak

(

)

( )

(

)

( )

(

( )

)

(

)

( )

(

)

(

)

(

( )

ρ

)

δ

(

ρ ρ

)

µ ρ µ ρ µ ρ µ π π ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ′ − =         ′ − Γ − ′ + Γ         + Γ − − Γ ′ ′ − ′ − ′ − − ∞ ∞ −

∫

dt i e i e i e i e c i t i i t i i t i i t i 1 2 1 2 1 2 1 2 sinh 4 2 2 2 2 2 2 2 1 (2.1.37)

ifadesi elde edilir. Bu ifade de

( ) _{α δ}

₍

_{ρ ρ}

₎

π α ρ ρ _{= − ′}

∫

∞ ∞ − ′ − _d ei 2 1 (2.1.38)

(

)

( )

( )

( )

(

ρ

) (

ρ

)

(

ρ ρ

)

µ ρ ρ ρ ρ _{= ≠ ′} ′ − Γ − Γ

∫

∞ ∞ − ′ + ′ + − , 0 1 1 2 2 dt i i et i i (2.1.39)

(

) (

)

π π ρ ρ ρ g i i sinh 1 1+ Γ − = Γ (2.1.40) olduğundan c için ₁ 2 2 1 sinh π ρπ ρ = c (2.1.41) değeri bulunur. (2.1.34) bağıntısı, (2.1.33) ve ρπ ρπ sinh sini =i (2.1.42) eşitliği kullanılarak

(

)

(

)

( )

(

)

(

)

(

( )

)

_      + Γ − − Γ = − − − − − ρ µ ρ µ ρπ π µ ρ ρ ρ ρ ρ e _i e_i e_i K i t i i t i t i ₁ 2 1 2 sinh 2 2 2 2 _(2.1.43)

(

)

(

ρ

)

ρπ µ π ρ i i A i + Γ − = 1 sinh 2 2 (2.1.44) olmak üzere

(

)

[

(

)

ρ

(

)

ρ

]

ρ µ π _ρπ i t i t t t i A e A e i e K 2 2 2 sinh 2 − − − − ∞ → + = (2.1.45) dir. S-matrisi

(

)

(

₍

)

₎

ρ ρ µ ρ i i A A S i + Γ − Γ − = = 1 1 2 2 (2.1.46) olarak elde edilir.

_µ2 _>0 _{olması hali :} 0 ) ( 2 3 ) ( ) ( 2 2 2 2 2 2 ₌               + − + + z z dz z d z dz z d z ψ ψ µ σ ψ

denkleminde z′=µ z dönüşümü yapılırsa denklemi

0 ) ( 2 3 ) ( ) ( 2 2 2 2 2 ₌               + − + + z z dz z d z dz z d z ψ ψ σ ψ (2.1.47)

bir Bessel diferansiyel denklemine dönüşür. z=0 noktası bu denklemin bir düzgün tekil noktasıdır ve denklem Frobenius yöntemi ile çözülür. Denklem

( )

_∑

∞ = + = 0 r r n r z a z ψ (2.1.48)

şeklinde bir seri çözüm kabul eder.

( )

( )

( )

₂ 2 , , z d z d z d z d z ψ ψ

ψ değerleri (2.1.47) denkleminde yazılır ve

düzenlenirse 0 , 0 2 3 0 2 2 _{ = ≠}      + − a n σ (2.1.49) indis denklemi ve a₁ =a₃ =_K=a_2r−1 =0 olmak üzere

(

)

, 2 2 3 2 2 _≥       + − + − = − _r r n a a r r σ (2.1.50)

rekürans bağıntısı bulunur.

(2.1.49) İndis denkleminin kökleri,       + ± = 2 3 σ n dir.       + = 2 3 σ n (2.1.51) için

( )

₀ 2 2 2 5 ! 2 2 5 1 a r r a r r r       _{+ +} Γ       + Γ − = σ σ (2.1.52) dir. (2.1.52) Bağıntısında       + Γ = + 2 5 2 1 2 5 0 σ σ a

şeklinde seçilirse (2.1.47) denkleminin       + 2 3

σ basamaktan birinci çeşit Bessel

fonksiyonu olarak adlandırılan

( )

( )

     + + ∞ = + + + _           _{+ +} Γ − =

∑

2 3 2 0 2 3 2 2 3 2 2 5 ! 1 σ σ σ σ µ µ r r r r z r r z J (2.1.53) şeklindeki çözümü bulunur.

(2.1.47) Denkleminin ikinci çözümü ise indis denkleminin       + − = 2 3 σ n

değerine karşılık gelen çözümüdür ve bu çözüm,

( )

( )

     + − ∞ =       + −       + −            _{− −} Γ − =

∑

2 3 2 0 2 3 2 2 3 ₂ 2 5 ! 1 σ σ σ _σ µ µ r r r r z r r z J (2.1.54)

olarak bulunur. (2.1.47) Denkleminin çözümü c ve ₂ c′ keyfi sabitler olmak ₂ üzere

( )

z c J

( )

µz c Y

( )

µz ψ σ σ 2 3 2 2 3 2 ₊ + ′ ₊ = (2.1.55) olarak bulunur.

_∫

ψ

( )

z 2dz<∞ olduğundan J

( )

µz σ 2 3 + çözümü geçerli olan çözümdür.

( )

z Y µ σ 2 3

+ çözümü ise z=0 da regüler değildir.

Böylece (2.1.47) Bessel denkleminin σ =_l kesikli değerleri için çözümü

( )

( )

( )

     + + ∞ =       + + + _           _{+ +} Γ − = =

∑

2 3 2 0 2 3 2 2 2 3 2 2 2 5 ! 1 σ σ σ µ µ µ ψ r r r r z r r c z J c z l (2.1.56)

olarak bulunur ve (2.1.14) denklemi için z=e−t 2 olduğundan

( )

( )

_       = − + − 2 1 2 3 4 3 2 e J e c t T t µ l (2.1.57) dir. Bulunan bu çözüm kesikli değerlerine uygun gelen çözümdür. (2.1.57) potansiyeli negatif işaretlidir ve potansiyel kuyusu vardır.

(2.1.57) Çözümündeki c normalizasyon katsayısını bulalım. Bessel ₂ fonksiyonlarının ortogonallik koşulu ν >−1 olmak üzere

( )

( )

    = + + ≠ = ′ ′ ′ ′

∫

∞ + + + + 1 1 1 0 1 2 1 2 , 2 2 4 1 , 0 1 m m m m m z d z z J z J _{m m} ν ν ν (2.1.58)

bağıntısı ile verilir. Bu bağıntıda 2 1 = ν , m =m₁, 2m₁ =_l alınırsa

( )

( )

3 2 1 0 2 3 2 3 + = ′ ′ ′ ′

∫

∞ _{+ +} l l l z d z z J z J (2.1.59) olur.

∞

∫

( )

2 =1 ∞

−

dx t

T ifadesinde; parabolik koordinatlardaki invaryant hacim

elemanının

( )

2 1 2 3 3 4 2 1 dq dq dq dt e r g dx= t (2.1.60)

olduğu göz önüne alınarak

( )

( ) ( )

( )

1 2 1 3 2 _{= =}

∫

∫

∞ ∞ − ∞ ∞ − dt e t T t T dx t T t (2.1.61) veya

(

) (

2

)

1 2 3 2 2 3 2 2

∫

= ∞ ∞ − − + − + e J e dt J c µ t µ t l l (2.1.62) ifadesi elde edilir. Burada z′ µ= e−t 2 olmak üzere

( )

( )

1 2 3 2 3 2 2

∫

′ ′ = ∞ ∞ − + + dt z J z J c l l (2.1.63) bulunur. (2.1.59) ile (2.1.63) eşitlikleri karşılaştırılırsa c normalizasyon katsayısı ₂ için 3 2 2 2 = l+ c (2.1.64) bulunur.

2.2 SO( 2,3 ) GRUBUNDA PARABOLİK KOORDİNATLAR

Χ=

[

x,x

]

= x₁2+x₂2 −x₃2−x₄2 −x₅2 Hiperboloidi üzerinde parabolik koordinatlar; π θ α , , 0 2 , −∞< <∞ −∞< <∞ ≤ < ∞ < < ∞ − t b (2.2.1)

α sinh 1 b b = θ α sin cosh 2 b b = (2.2.2) θ α cos cosh 3 b b =

ve b2 =−b₁2 +b₂2 +b₃2 biküresel koordinatlar olmak üzere,

2 2 1 2 1 2 cosht e b x = + t 1 2 2 e b x = t 2 2 3 e b x = t (2.2.3) 3 2 4 e b x = t 2 2 5 sinh₂t ₂1e b x = − t ile verilir.

Χ hiperboloidi üzerindeki ∆ operatörü _LB

( ) ( )

g F x F

(

x g

)

x g SO

(

p q

)

T = , ∈Χ, ∈ , (2.2.4)

temsilinin Casimir operatörüdür. Bu nedenle SO

(

p,q

)

grubunun temsili için

{ }

( )

g =

∫

[

x h

]

(

i b′

)

dh t _x H µ σ χ µ , exp ; 0 (2.2.5) ile verilir ve burada

[

x,h

]

σ fonksiyonlarına bu hiperboloid üzerindeki düzlem dalgalar denir. Matris elemanları

{ }

(

x

)

(

)

{ }

(

x

)

B L t H g p q t H g χ µ χ µ σ σ 0 ; ; 0 = + + −2 ∆ (2.2.6)

denklemini sağlar. Böylece

[

]

σ _σ

(

_σ

)

[

]

σ h x q p h x B L , = + + −2 , ∆ (2.2.7)

dır. Bundan dolayı

[

x,h

]

σ düzlem dalgaları hiperboloid üzerideki ∆ operatörü _LB için özdeğer probleminin realizasyonunu verir.

SO

(

2,3

)

da parabolik koordinatlarda düzlem dalgayı ifade edelim. Bunun için (2.2.3) koordinatlarını t →∞ için yazalım;

      _{+ ′ ′ ′ ′}2 _{− ′}2 3 2 2 2 1 2 2 2 1 2 1 , , , , 2 1 2 1 b b b b b et (2.2.8)

şeklide ifade edelim.

∞ < ′ < ∞ − ′ + ′ + ′ − = ′ b b b b b 2 ₁2 ₂2 ₃2 , (2.2.9) olmak üzere, (2.2.8) ifadesinin parantez içini

(

)

(

)

      _{+ ′ ′ ′ ′ − ′} = 2 3 2 1 2 ₁ 2 1 , , , , 1 2 1 b b b b b h (2.2.10) ile gösterelim.

[

x,h

]

_σ,ε =

[

x,h

]

σ Signε

[

x,h

]

, ε =0,1 (2.2.11)

şeklinde ifade edildiğinden

[

x,h

]

için (2.2.3) ve (2.2.10) koordinatlarından, (2.2.9) denklemi kullanılarak

[

]

(

)

(

)

_   _{+ ′ ′ ′ ′ − ′}     _{+ −} = 2 2 3 2 2 2 1 2 2 2 3 2 2 2 1 2 2 2 1 2 1 , , , , 1 2 1 2 1 2 , , , , 2 1 2 , b b b b b b e t sh b e b e b e b e t ch h x t t t t t

[

]

2 2

[

2 ₂ 2

]

2 1 2 1 ,h e e b bb b x = −t + t ′ − ′+ (2.2.12) veya

[

]

2

[

(

)

2

]

2 1 ,h e e b b x = t −t + − ′ (2.2.13)

bulunur. Burada,

(

σ ,0

)

, µ

(

µ₁, µ₂,µ₃

)

χ = = , 2 3 2 2 2 1 2 _{µ µ µ} µ =− + + (2.2.14) 3 3 2 2 1 1h h h h µ µ µ µ =− + + ve g =hg_x ,h∈H olmak üzere b d dh= ′ (2.2.15) dir. (2.2.15) İfadesini α sinh 1 b b′ = ′ θ α sin cosh 2 b b′ = ′ (2.2.16) θ α cos cosh 3 b b′ = ′ olmak üzere θ α α db d d b b d ′= ′2 cosh ′ (2.2.17) şeklinde yazalım.

(2.2.13) Bağıntısı (2.2.5) de yerine yazılırsa SO( 2,3) grubunun parabolik koordinat sistemindeki { }

(

)

=

∫

_− _

[

− +

(

′−

)

]

′ E b i t t x e e b b e dh g t H µ σ χ µ 2 2 ; 0 ₂ 1 (2.2.18)

şeklindeki ifadesini elde ederiz. (2.2.18) de b′−b=b′′ dönüşümü yapılırsa b d dh= ′ den { }

(

)

= _ _

∫

[

− + ′′

]

′′ ′′ E b i t t b i x e e e b e db g t H µ σ σ µ χ µ 2 2 ; 0 ₂ 1 (2.2.19) olur. (2.2.19) da,

( )



_∫

[

+ ′′

]

′′      = − ′′ E b i t t _{e b e db} e t T 2 2 σ µ 2 1 (2.2.20)

şeklinde tanımlanırsa (2.2.19) denklemi

{ }

(

g

)

e T

( )

t t _x i b H µ χ µ = ; 0 (2.2.21) şeklinde yazılır.

(

µ₁,0,0

)

µ = (2.2.22) seçersek

(

b₁,b₂,b₃

)

b′′= ′′ ′′ ′′ (2.2.23) den α µ µ b′′= ₁ b₁′′ sinh

veya µ b′′=µ b′′sinhα olur. σ =− p+q− 2+iρ 2 2 dan ρ σ =− +i 2 3 ve _t e z2 = 1 (2.2.24) olmak üzere

( )

∞ ∞

_{∫ ∫ ∫}

[

]

∞ − ′′ _{′′ ′′} ′′ +         = 0 2 0 2 sinh 2 2 _cosh 2 π α µ σ σ π α θ α d d db b e b z z e t T i i b (2.2.25) olur. (2.2.25) de α sinh = x (2.2.26) dönüşümü yapılırsa

( )

_{∫ ∫ ∫}

[

]

      ′′ ′′ ′′ +       = ∞ ∞ − ∞ ′′ π µ σ π θ 2 0 0 2 2 2 2z z b e b dbdx d e t T i i bx veya

( )

_∫

[

]

∞

_∫

∞ − ′′ ∞ ′′ ′′ ′′ +         = z b b db e dx z e t T i σ iµbx π π 0 2 2 2 2 2 (2.2.27)

olur. Diğer taraftan,

(

b

)

dx ei bx = ′′

∫

∞ ∞ − ′′ _{δ µ} µ _(2.2.28)

olduğu göz önüne alınırsa (2.2.27) ifadesi

( )

_ ∞

_∫

[

+ ′′

]

′′

(

′′

)

′′       = 0 2 2 2 2 2 z b b b db z e t T π i σ δ µ σ π (2.2.29) şeklinde yazılır.

[

]

(

)

0 0 2 2 2_{+ ′′ ′′ ′′ ′′=}

∫

∞ b d b b b z σ δ µ (2.2.30)

Olduğundan (2.2.20) ile tanımlanan T

( )

t çözümü için 0

) (t =

T (2.2.31) bulunur.

b2 >0 olduğunda biküresel koordinatlar α ε cosh 1 b b = ′ θ α sin sinh 2 b b = (2.2.32) θ α cos sinh 3 b b = ve 2 3 2 2 2 1 2 _{b b b} b = − − (2.2.33) dir. (2.2.13) İçin yapılan işlemler tekrarlanırsa düzlem dalga için

[

]

2

[

(

)

2

]

2

1

,h e e b b

ifadesi elde edilir. Diğer taraftan (2.2.15) ifadesi α ε cosh 1 b b′ = ′ ′ θ α sin sinh 2 b b′ = ′ (2.2.35) θ α cos sinh 3 b b′ = ′ olmak üzere, θ α α db d d b b d ′= ′2sinh ′ (2.2.36) şeklinde yazılır. (2.2.22) ve (2.2.23) ’e benzer şekilde

α µ

ε

µ b′′= ′ ₁ b₁′′ cosh (2.2.37) yazılır. (2.2.36) ve (2.2.37) den (2.2.25) çözümündeki benzer işlemler yapılırsa

( )

_ ∞ ∞

_{∫ ∫ ∫}

[

_{+ ′′}

]

′ ′′ _{′′ ′′}      = 0 0 2 0 2 cosh 2 2 _sinh 2 1 σ π _{z b} σ_eεµ α_{b α dθ dα db} z t T i b (2.2.38)

bulunur. θ ’ya göre integral alınırsa (2.2.38) ifadesini

( )

_∞

_∫

[

_{+ ′′}

]

_{′′ ′′}∞

_∫

′ ′′      = 0 cosh 0 2 2 2 _sinh 2 1 2π z b σb db eεµ α αdα z t T i b (2.2.39)

şeklini alır. (2.2.39) İfadesindeki

∫

∞ ′′ ′ 0 coshα_{sinhα α} µ ε _d ei b (2.2.40) integralinde x = α cosh (2.2.41) dönüşümü yapılırsa

∫

∫

∞ ′ ′′ ∞ ′′ ′ ₌ 1 0 cosh _{sinh d e dx} eiεµb α α α iεµbx (2.2.42)

b i x b i _e b i dx e ′ ′′ ∞ ′′ ′ ′′ ′ =

∫

εµ εµ µ ε 1 1 (2.2.43) bulunur. (2.2.43) Kullanılırsa

[

]

∫

∞ ′′ ′ _{′′ ′′} ′′ +       ′ = 0 2 2 2 1 2 ) ( z b e b db z i t T σ iεµb σ µ ε π (2.2.44)

ifadesi elde edilir. (2.2.44) ifadesi ε′=±1 için

( )

[

]

[

]

        ′′ ′′ ′′ + − ′′ ′′ ′′ +       = ∞

_∫

′′ ∞

_∫

− ′′ 0 2 2 0 2 2 2 1 2 b d b e b z b d b e b z z i t T σ iµb σ iµb σ µ π _(2.2.45) veya

( )

 ∞

_∫

[

+ ′′

]

′′ ′′ − − ′′ ′′      = 0 2 2 2 2 1 4 b d e e b b z z i t T b i b iµ µ σ σ µ π _(2.2.46) şeklini alır. b i e eiµb′′ − −iµb′′ _{= µ ′′} sin 2 (2.2.47) Olduğundan (2.2.46) integrali

( )

 ∞

_∫

[

+ ′′

]

′′

( )

′′ ′′      = 0 2 2 _sin 2 1 4 b d b b b z z t T µ µ π σ σ (2.2.48)

olur. Diğer taraftan

z z z J₁₂( ) 2 sin π = (2.2.49) den ) ( 2 sinµb′′= πµb′′J₁₂ µb′′ (2.2.50)