DERS 6
Türev Hesabı ve Bazı Uygulamalar - I
Önceki dersin sonunda belirttiğimiz üzere, bu dersimizde türev hesabını kolaylaştıracak kural ve yöntemler göreceğiz. Türevin uygulaması olarak, hız kavramını, yaklaşık değer hesabını ve özel olarak, ekonomide marjinal analizi ele alacağız.
Her hangi bir f fonksiyonunun x teki türevinin
h x f h x f x f h ) ( ) ( lim ) ( ' 0 − + = →
olduğunu anımsayalım. y = f(x) denklemi ile tanımlanmış bir f fonksiyonu için f' x( ) yerine aşağıdaki gösterimler de kullanılır:
(
( ))
,(
( ))
, ) ( , , ' f x D f x dx d dx x df dx dy y x .6.1. Sabit Fonksiyonun Türevi. Önceki dersin sonunda bir örnekte görmüş olduğumuz gibi, herhangi bir c reel sayısı için f(x) = c denklemi ile tanımlanan sabit fonksiyonun türevi
0 lim ) ( ) ( lim ) ( ' 0 0 = − = − + = → → h c c h x f h x f x f h h
olarak elde edilir. Çünkü, f(x+h)= f(x)=c olup x deki değişim y = f(x) de herhangi bir değişime neden olmamaktadır. Bulunan ifade diğer gösterimle yazılırsa şu formül elde edilir: . 0 ) (c = dx d
Örnek 1. f(x) = 5 denklemi ile tanımlanan sabit fonksiyonun türevi f´(x) = 0 denklemi ile verilir. Diğer gösterimle,
0 ) 5 ( = dx d .
6.2. Kuvvet Fonksiyonunun Türevi. n sıfırdan farklı bir reel sayı olmak üzere f(x) = xn denklemi ile tanımlanan fonksiyona kuvvet fonksiyonu denir. Türev tanımından, kuvvet fonksiyonunun türevi f´(x) = nxn-1 olarak elde edilir. n doğal sayı olunca bu formülü kanıtlamak çok kolaydır:
1 1 2 3 2 1 0 1 2 3 2 1 0 0 ) ( ) ) ( ) ( lim ] ) ( ) ) ( ) [( ) ( lim ) ( ) ( lim − − − − − → − − − − → → = + + + + + + + = + + + + + + + = − + = − + n n n n n h n n n n n n h h nx x x h x x h x h x h x x h x x h x h x h h x h x h x f h x f L L
Kuvvet fonksiyonunun türevi ile ilgili formül diğer gösterimle yazılırsa şu biçimi alır: . ) ( n = n−1 nx x dx d Örnek 1. f(x) = x5 ⇒ f´(x) = 5 x4 ; ( −2)=−2 −2−1=−2 −3 x x x dx d .
Örnek 2. Karekök fonksiyonunun türevini önceki derste tanım kullanarak hesaplamıştık. Şimdi kuvvet fonksiyonu olarak
( )
x x x x dx d x dx d 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 = = = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = − . Örnek 3. x xf( )= denklemi de bir kuvvet fonksiyonu tanımlar: 1 ( )= 1 =x−1 x x f . Dola-yısıyla
( )
1 1 2 2 12 1 x x x x dx d x dx d − = − = − = = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − − . Örnek 4.( )
3 3 3 1 5 4 ,( )
3 5 3 1 5 2. x x x dx d x x x dx d = = − = − = − − − − −6.3. Bir Sabit ile bir Fonksiyonun Çarpımının Türevi. k bir sabit ve u bir fonksiyon olsun. Eğer u' x( ) tanımlı ise, y=k⋅u(x) çarpımı olarak tanımlanan fonksiyonun türevi
) ( ' ' k u x y= ⋅
ile verilir. Diğer gösterimle yazılırsa şu formül elde edilir: ) ( ' )) ( (k u x k u x dx d ⋅ = ⋅ Örnek 1. f(x) = 3x5 ⇒ f´(x) = 3.5 x4 = 15 x4 , f(x) = 3x-2 ⇒ f´(x) = 3.(-2 )x-3 = -6x-3. Örnek 2. x x x dx d x dx d 2 3 2 1 3 ) ( 3 ) 3 ( = = = .
6.4. Toplam ve Farkın Türevi. u ve v fonksiyonlarının türevleri mevcut ise, )
( ) (x v x u
y= + ve y=u(x)−v(x) denklemleri ile tanımlanan fonksiyonların da türevleri mevcuttur ve
(
( ))
(
( ))
)) ( ) ( ( v x dx d x u dx d x v x u dx d + = + , ( ( ) ( ))(
( ))
(
v(x))
dx d x u dx d x v x u dx d − = −dir. Sözel olarak ifade edilirse, iki fonksiyonun toplamının türevi türevlerinin toplamına, farkının türevi de türevlerinin farkına eşittir.
Örnek 1. f(x) = x5 + x-2 ⇒ f´(x) = 5 x4 + (-2 )x-3 . Diğer gösterimle,
(
5+ −2)
=( )
5 +( )
−2 =5 4+(−2) −3 =5 4 −2 −3 x x x x x dx d x dx d x x dx d .Örnek 2. f(x) = x5 - x-2 ⇒ f´(x) = 5 x4 - (-2 )x-3 = 5 x4 +2x-3 . Diğer gösterimle,
(
5− −2)
=( )
5 −( )
−2 =5 4 −(−2) −3 =5 4+2 −3 x x x x x dx d x dx d x x dx d .Toplam ve farkın türevi ile ilgili kuralların ikiden çok fonksiyonun toplam ve farkı için de geçerli olduğunu görmek kolaydır.
Örnek 3. ( ) 3 6 2 9 '( ) 3 2 6 2 0 3 2 12 . x x x x x f x x x f = − + ⇒ = − ⋅ + = + Diğer gösterimle,
(
3 6 2 9)
( )
3( )
6 2( )
9 3 2 6( )
2 0 3 2 12 . x x x dx d x dx d x dx d x dx d x x dx d − = + − = + − = + −Buraya kadar elde edilen sonuçlardan 2 1 0
2 )
(x a x a x ax a
f = n n +L+ + + polinom
fonksiyonunun türevi için aşağıdaki formülü elede ederiz:
(
)
2 1 1 0 1x a na x 2a x a a x a dx d n n n n + + + = + + + − L L .6.5. Türev ve Hız. Günlük yaşamda türev ile açıklanabilecek en önemli kavramlaradan biri hız kavramıdır. Bir koordinat ekseni üzerinde hareket eden bir nesnenin x anındaki yeri y = f(x) denklemi ile verilmişse, bu nesnenin x = a anından x = a +h anına kadar ortalama hızı h a f h a f( ) ( ) zaman yol alılına + − = ve x = a anındaki anlık hızı h a f h a f a f h ) ( ) ( lim ) ( ' 0 − + = → dır.
Örnek 1. y - ekseni üzerinde hareket eden bir nesnenin x anındaki yeri y = x3 - 6x2 + 9 olarak veriliyor. Aşağıdakileri bulunuz
a) x = 2 den x = 5 e kadar ortalama hız, b) Anlık hız fonksiyonu, c) x = 2 ve x = 5 te (anlık) hız, ç) Hızın sıfır olduğu zamanlar. Çözüm. a) 3 3 ) 7 ( 16 2 5 ) 2 ( ) 5 ( = − − − =− − − f f b) f'(x)=3x2−12x c) f'(2)=−12 , f'(5)=15. ç) '( )=0⇒3 2−12 =0⇒ =0veya =4 x x x x x f . Hız, x = 0 ve x = 4 anında sıfır olur.
6.6. Çarpımın Türevi. u ve v fonksiyonlarının türevleri mevcut ise, y = f(x) = u(x) · v(x) denklemi ile tanımlanan fonksiyonun türevi
x v x u x v x u x f'( )= '( )⋅ ( )+ ( )⋅ '( formülü ile bulunur.
Sözel ifade ile, iki fonksiyonun çarpımının türevi, birinci çarpanın türevi ile ikinci çarpanın çarpımının ikinci çarpanın türevi ile birinci çarpanın çarpımına toplanması ile elde edilir. Çarpımın türevi ile ilgili formülün diğer gösterimlerle yazılışları şöyledir:
(
)
⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ + ⋅ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⋅ ⋅ + ⋅ = ' ' , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' v x dx d x u x v x u dx d x v x u dx d v u v u y . Örnek 1. ( )=(
2 −9)
⋅(
2 +6 −5)
x x x x f(
)
(
)
(
)
(
)
⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − ⋅ − + − + ⋅ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = ⇒ '( ) 2 9 2 6 5 2 9 2 6 5 x x dx d x x x x dx d x f ⇒ '( )=2⋅(
2+6 −5)
+(
2 −9) (
⋅ 2 +6)
x x x x x f ⇒ '( )=6 2+6 −64 x x x f . Örnek 2.(
(
1)
(
3 4 5)
)
(
1)
(
3 4 5)
(
1)
(
3 4 5)
⎟. ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⋅ − + − ⋅ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = − ⋅ − x dx d x x x dx d x x dx d =15 4 +12 3 −5 x x . Örnek 3. ( )=(
5 +4)
⋅(
2 2+4 +7)
x x x x f(
)
(
)
(
)
(
)
⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + ⋅ + + + + ⋅ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = ⇒ '( ) 5 4 2 2 4 7 5 4 2 2 4 7 x x dx d x x x x dx d x f ⇒ 5⋅(2 2+4 +7)+(5 +4)⋅(4 +4) x x x x ⇒ '( )=30 2+56 +51 x x x f Örnek 4. f(x)=(
5x+4)
⋅(
x21+4x3+7x)
(
)
⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + ⋅ + + + + ⋅ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = ⇒ '( ) 5 4 ( 21 4 3 7 ) (5 4) ( 21 4 3 7 ) x x x dx d x x x x x dx d x f ⇒ '( )=110 21+84 20+80 3+48 2+70 +28. x x x x x x f Örnek 5.(
(
2 1) (
4 5 2)
)
2(
4 5 2) (
2 1) ( )
20 4 28 6 20 4 4 . x x x x x x x x x dx d − ⋅ − = ⋅ − + − ⋅ = − −6.7. Bölümün Türevi. u ve v fonksiyonlarının türevleri mevcut ise, ) ( ) ( ) ( x v x u x f = denklemi
ile tanımlanan fonksiyonun türevi
(
)
2 ) ( ) ( ' ) ( ) ( ) ( ' ) ( ' x v x v x u x v x u x f = ⋅ − ⋅formülü ile bulunur.
Sözel olarak ifade edersek, bir kesirin türevi, o kesirin payının türevi ile paydasının çarpımından paydasının türevi ile payının çarpımı çıkarılınca elde edilen farkın pay; kesrin paydasının karesinin de payda olarak yazıldığı kesirdir.
İki fonksiyonun belirlediği bölümün ya da kesirin türevi ile ilgili formülün değişik gösterimlerde yazılışları şöyledir:
. ) ( ) ( , ' ' ' 2 2 v dx dv u dx du v x v x u dx d v v u v u y − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⋅ − ⋅ = Örnek 1.
(
) (
) (
)
(
)
(
3)
2 3 2 3 2 3 2 1 ) 1 ( 1 ) ( ' 1 ) ( + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⋅ − − + ⋅ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = ⇒ + − = x x dx d x x x x x dx d x f x x x x f 3 2 2 2 3 ) 1 ( ) 3 )( ( ) 1 )( 1 2 ( ) ( ' + − − + − = ⇒ x x x x x x x f(
1)
. 1 2 2 2 3 3 4 + − + + − = ⇒ x x x x Örnek 2.(
) (
) (
)
(
)
(
1)
. 1 2 4 1 2 1 1 2 3 1 2 2 2 4 2 2 2 3 2 2 2 2 3 + − + + = + ⋅ − + − + ⋅ − + = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + − + x x x x x x x x x x x x x x x x dx d Örnek 3.(
)
(
)
(
5 2)
2 4 2 5 2 5 3 ) 2 5 ( 1 3 1 3 1 + − − ⋅ + − + − ⋅ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − + x x x x x x x x x x dx d 5 2 2 2 4 5 ) 3 ( 3 2 5 4 + − + + + − − = x x x x x x .Örnek 4. Parçalı tanımlanmış bir fonksiyonun türevine bir örnek verelim.
⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − < > < − > = ⇒ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − < − ≤ ≤ − + > = 1 , 2 1 1 , 2 1 , 2 ) ( ' 1 , 2 2 1 1 , 1 1 , 2 ) ( 2 x x x x x f x x x x x x x f .
Bu fonksiyon için f'(−1) ve f'(1) türevleri hesaplanmak istenirse, tanım kullanılır. Örneğin, 2 2 ) 1 ( 2 lim ) 1 ( ) 1 ( lim ) 1 ( ' 0 0 = − + = − + = → → h h h f h f f h h
dir. Benzer şekilde tanım kullanılarak f'(−1) hesaplanmağa çalışılırsa, f'(−1) in mevcut olmadığı görülür.
6.8. Yaklaşık Değerler. x=aiçin türeve sahip bir f fonksiyonunun (a , f (a)) noktasın-daki teğetinin eğiminin f' a( ) ve o noktadaki teğetin denkleminin de
) ( ) )( ( ' a x a f a f y = − + olduğunu biliyoruz.
a ya yakın bir a+h değeri için f (a+h) değerini düşünelim(Şekilden izleyiniz). a, a+h ye,
yani h sıfıra yaklaştıkça f nin grafiği üzerindeki (a+h , f (a+h)) noktası teğet üzerindeki (a+h , f’ (a)h)+f(a)) noktasına yaklaşacaktır. Bu nedenle, h nin sıfıra yakın değerleri için teğet üzerinde apsisi a+h olan noktanın ordinatı olan f´(a) h + f(a) değeri f(a+h) için yaklaşık değer olarak alınabilir. İki değerin birbirine yaklaşık değerler olduğunu göstermek için ≈ işaretini kullanacağız. Böylece,
) ( ) ( ' ) (a h f a h f a f + ≈ + . y x (a , f(a)) a (a+h , f(a+h)) a+h f(a) f(a+h)
Geometrik olarak gözlemlediğimiz bu husus, cebirsel olarak şöyle görülebilir. Yaklaşık oldukları kabul edilen iki değer arasındaki farkı
⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − − = − − + ) '( ) ( ( ) ( ) '( ) ( f a h a f h a f h a f h a f h a f
biçiminde ifade edip
h a f h a f a f h ) ( ) ( lim ) ( ' 0 − + =
→ olduğunu anımsayalım. h nin sıfıra yakın değerleri için
h a f h a f( + )− ( )
oranı f' a( ) ya yakın olacağından bu tür h değerleri
için ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − − = − − + ) '( ) ( ( ) ( ) '( ) ( f a h a f h a f h a f h a f h a
f değerleri de sıfıra yakın
olacaktır. Dolayısıyla, ) ( ) ( ' ) (a h f a h f a f + ≈ + .
Örnek 1. Yukarıdaki fikri kullanarak 101 için bir yaklaşık değer bulalım. Bunun için
alınırsa, , 10 ) 100 ( ) ( , 101 ) 101 ( ) (a+h = f = f a = f = f 20 1 100 2 1 ) 100 ( ' , 2 1 ) ( ' = f = = x x f olur ve formülden 05 . 10 10 20 1 101≈ + = elde edilir.
Örnek 2.
(
1.98)
3 sayısına bir yaklaşık değer bulalım. Bunun için alınırsa,(
1.98)
, ( ) 2 8 , '( ) 3 , '(2) 3 2 12 ) 98 . 1 ( ) ( + = = 3 = 3 = = 2 = ⋅ 2 = f x x f a f f h a f olur ve formülden(
1.98)
3 ≈12.(−0.02)+8=7.76 elde edilir. 1 , 100 , ) (x = x a= h= f 02 . 0 , 2 , ) ( = 3 = =− h a x x f6.9. Marjinal Değerler. Ekonomide ortaya çıkan fonksiyonlar için yaklaşık değer ve türev kavramlarının ayrı bir önemi vardır. Gider fonksiyonu Gi yi ele alalım. x ürün için toplam giderin Gi(x) ile gösterildiğini anımsarsak, x ürünü ürettikten sonra bir sonrakini, yani x+1 inci ürünü üretmek için yapılan giderin
Gi(x+1) – Gi(x) olduğunu görürüz.
Diğer yandan, yukarıdaki yaklaşık değer formülünü gider fonksiyonu Gi için yazalım: ) ( ) ( ' ) (a h Gi a h Gi a Gi + ≈ + . Bu formülde a = x , h = 1 alınırsa, ) ( ) ( ' ) 1 (x Gi x Gi x Gi + ≈ + ya da Gi(x+1)−Gi(x)≈Gi'(x)
elde edilir. Buradan görüyoruz ki, x tane üründen sonra x+1 inci ürünü üretmek için yapılan gider yaklaşık olarak Gi´(x) tir. Bu nedenle, gider fonksiyonunun türevi olan Gi' fonksiyonuna marjinal gider fonksiyonu denir.
) ( ' x
Gi , x adet ürün üretmek için marjinal giderdir ve bu değer, x ürün üretildikten sonra bir sonraki yani, x+1 inci ürünü üretmek için yapılan giderin yaklaşık değerini verir.
Örnek 1. Çelik kapı üreten bir firmanın aylık toplam gideri x kapı için
2 5 . 0 500 25000 ) (x x x Gi = + −
YTL olarak veriliyor.
a) Marjinal gider fonksiyonunu bulunuz.
b) Ayda 30 kapı üretilirse toplam gider ne olur?
c) 31 inci kapının üretilmesi için yapılması gereken gideri yaklaşık olarak belirleyiniz ve gerçek değeri ile karşılaştırınız.
Çözüm. a) Gi'(x)= 500−x
b) Gi(30) = 25 000 +500 . 30 -0.5 . 302 = 39 550 YTL.
c) Gi'(30)= 500 – .30 =470 bin YTL. Gi(31) = 25 000–300 . 31–0.5 . 312 =40 019.50 YTL. Gerçek gider, Gi(31) – Gi(30) = 40 019.50 – 39 550 =469.50 YTL. Gerçek gider olan 469.50 YTL yerine yaklaşık olarak 470 YTL alınmakla 0.50 YTL hata yapılmıştır.
Örnek 2. Bir firma küçük çiftçiler için çapa makinesi üretiyor. x adet makine üretmek için toplam gider 2 25 . 0 800 000 30 ) (x x x Gi = + −
YTL olarak veriliyor.
a) Marjinal gider fonksiyonunu bulunuz. b) Gi'(50) değerini bulunuz ve yorumlayınız.
c) 51 inci makinenin üretilebilmesi için yapılacak gerçek gideri bulunuz ve marjinal gider ile karşılaştırınız.
Çözüm. a) Gi'(x)=800−0.5x.
b) Gi'(50)=800−
( )
0.550=775. Bu değer, 51 inci makinenin üretilebilmesi için yapılacak yaklaşık giderin 775 YTL olduğunu gösterir.
c) 51 inci depo için yapılacak gerçek gider
(
)
(
)
(
)
96 . 795 900 69 96 . 695 70 50 25 . 0 50 800 000 30 51 25 . 0 51 800 000 30 ) 50 ( ) 51 ( 2 2 = − = ⋅ − ⋅ + − ⋅ − ⋅ + = − Gi GiYTL olur. 50 ürün için marjinal gider olan 775 YTL ile 51 inci ürün için gerçek gider olan 795.96 YTL arasında 20.96 YTL fark vardır.
Marjinal gelir fonksiyonu ve marjinal kâr fonksiyonu yukarıdakine benzer biçimde tanımlanır. x ürün üretilince toplam gelir Ge(x) ve toplam kâr K(x) ile gösterilmek üzere, marjinal gelir Ge´(x) ve marjinal kâr K´(x) olur.
x + 1 inci ürünü üretince, sadece x + 1 inci üründen elde edilen gelir
Ge(x+1) - Ge(x) olup bunun yaklaşık değeri
Ge´(x) ≈ Ge(x+1) – Ge(x)
formülü ile verilir. Benzer biçimde, x + 1 inci üründen sağlanan kâr K(x+1) – K(x)
dir ve bunun yaklaşık değeri
K´(x) ≈ K(x+1) - K(x) formülü ile verilir.
Örnek 3. Özel olarak tasarlanmış bir MP-3 çalar p YTL den satılması durumunda ayda x adet talep görüyor ve x ile p arasında aşağıdaki bağıntı tespit ediliyor:
p x=12500−60 .
a) Fiyatı gösteren p yi talep, yani x in fonksiyonu olarak ifade ediniz ve bu fonksiyonun tanım kümesini belirleyiniz.
b) Gelir fonksiyonunu ifade ediniz ve bu fonksiyonun tanım kümesini belirleyiniz. c) 100 cihaz satıması durumunda marjinal geliri belirleyiniz ve bu değeri yorumlayınız.
ç) 250 cihaz satılması durumunda marjinal geliri belirleyiniz ve bu değeri yorumlayınız. Çözüm. a) 60 500 12 500 12 60 60 5000 12 p p x p x x= − ⇒ = − ⇒ = − Dolayısıyla,
fiyat fonksiyonu ve onun tanım kümesi şöyledir:
. 500 12 0 , 60 500 12 ) (x = −x < x< p
b) Toplam gelir, satılan ürün sayısı ile satış fiyatının çarpımıdır. Dolayısıyla, gelir fonksiyonu 000 5 0 , 60 500 12 ) ( ) ( 2 < < − = = xp x x x x x Ge
biçiminde elde edilir.
c) Marjinal gelir fonksiyonu
60 2 500 12 ) ( ' x x
Ge = − olur. Dolayısıyla, 100 cihaz
satılması durumunda marjinal gelir 205
60 200 500 12 ) 00 1 ( ' = − =
Ge YTL olur. O halde, 101
inci saattan sağlanacak gelir yaklaşık olarak 205 YTL dir.
ç) Daha önce elde edilen ifadeden, 250 saat satılması durumunda marjinal gelir 200 60 500 500 12 ) 50 2 ( ' = − = Ge
YTL olur. O halde, 251 inci saattan sağlanacak gelir yaklaşık olarak 200 YTL dir.
Örnek 4. x adet radyolu alarm saatının satışından elde edilen kâr 000 5 0 , ) 02 . 0 ( 80 500 2 ) ( =− + − 2 < < x x x x K olarak veriliyor.
b) Marjinal kârı kullanarak 1 501 inci saatın satışından sağlanacak kârı yaklaşık olarak belirleyiniz.
c) 2 001 inci saatın satışından elde edilecek gerçek kârı bulunuz.
ç) Marjinal kârı kullanarak 2 001 inci saatın satışından sağlanacak kârı yaklaşık olarak belirleyiniz
Çözüm. a) 1 501 inci saatın satışından elde edilecek gerçek kâr
98 . 29 02 . 50 80 ) 501 2 )( 02 . 0 ( 80 ) 500 1 501 1 ( 02 . 0 ( 80 ) ) 500 1 )( 02 . 0 ( 1500 80 500 2 ( ) 501 1 )( 02 . 0 ( 1501 80 500 2 ) 500 1 ( ) 501 1 ( 2 2 2 2 = − = − = − − = − ⋅ + − − ⋅ + − = − K K YTL olur. b) Marjinal kâr fonksiyonu x x K'( )=80−(0.04)
ve 1 501 inci saatın satışından sağlanacak kârın yaklaşık değeri 20 500 1 ) 04 . 0 ( 80 ) 500 1 ( ' = − ⋅ = K YTL olur.
c) 2 001 inci saatın satışından elde edilecek gerçek kâr
02 . 0 02 . 80 80 ) 001 4 )( 02 . 0 ( 80 ) 000 2 001 2 ( 02 . 0 ( 80 ) ) 000 2 )( 02 . 0 ( 000 2 80 500 2 ( ) 001 2 )( 02 . 0 ( 001 2 80 500 2 ) 000 2 ( ) 001 2 ( 2 2 2 2 − = − = − = − − = − ⋅ + − − ⋅ + − = − K K
YTL olur. 2 001 inci saatın satışından zarar ediliyor, ancak bu zarar çok küçüktür. ç) 2 001 inci saatın satışından sağlanacak kârın yaklaşık değeri
0 000 2 ) 04 . 0 ( 80 ) 000 2 ( ' = − ⋅ = K YTL olur.
Örnek 5. Bilgisayar masası üreten bir firmanın bir ayda tanesi p YTL den x tane masa satılabileceğini varsayarak üretim yapması durumunda fiyat talep fonksiyonu x=750−0.5p bağıntısı ile ve x tane masanın üretimi için toplam gider Gi(x)=12500+400x YTL olarak veriliyor.
a) Fiyatı gösteren p yi x in fonksiyonu olarak ifade ediniz ve bu fonksiyonun tanım kümesini belirleyiniz.
b) x tane masa satılması durumunda elde edilecek gelir Ge(x) i hesaplayınız. Gelir fonksiyonu Ge nin tanım kümesi nedir?
c) x tane masa satılması durumunda elde edilecek kâr K(x) i hesaplayınız. Kâr fonksiyonu K nın tanım kümesi nedir?
ç) Marjinal gider, marjinal gelir ve marjinal kâr fonksiyonlarını bulunuz. d) Gi'(200),Ge'(200),K'(200) değerlerini bulunuz ve yorumlayınız.
Çözüm. a) x=750−0.5p ⇒ 0.5p=750−x ⇒ p=1500−2x. Dolayısıyla, fiyat fonksi-yonu ve onun tanım kümesi şöyledir:
750 0 , 2 500 1 ) (x = − x <x< p .
p nin tanım kümesi (0,750) aralığıdır. Burada problemin doğası gereği x ve p ancak tamsayı değerler alabilir.
b) x tane masa satılması durumunda elde edilecek gelir (YTL olarak) 2 2 500 1 ) 2 500 1 ( ) (x x x x x Ge = − = −
dir ve Ge nin tanım kümesi de (0,750) aralığıdır.
c) x tane masa satılması durumunda elde edilecek kâr 2 2 100 1 500 12 ) ( ) ( ) (x Ge x Gi x x x K = − =− + −
dir. K nin de tanım kümesi (0,750) aralığıdır.
ç) Marjinal gider, marjinal gelir ve marjinal kâr fonksiyonları
Gi'(x)=400, Ge'(x)=1500−4x, K'(x)=1100−4x denklemleri ile verilir.
d) Gi'(200)= 400, 201 inci masa için yapılacak yaklaşık gideri gösterir. Burada, gider fonksiyonunun ifadesinden, her bir masa için sabit gider dışında 400 YTL gider olduğu görülmektedir. Dolayısıyla, 200 masa üretildikten sonra, 201 inci masa için yapılacak gerçek gider, 400 YTL dir ve bu, ilk cümlede ifade edilen yaklaşık değer ile çakışmaktadır.
700 800 500 1 ) 200 ( ' = − =
Ge , 201 inci masadan elde edilen yaklaşık geliri gösterir. 300 800 100 1 ) 00 2 ( ' = − =
Örnek 6. Fiyat - Talep Denklemi x =800 – 100p ile, gider fonksiyonu Gi(x) = 500 +2x ile ve para birimi birim para(bp) olarak verildiğine göre
a) Fiyat p yi talep x in fonksiyonu olarak ifade ediniz ve p nin tanım kümesini belirleyiniz.
b) Marjinal gider fonksiyonunu bulunuz.
c) Gelir ve marjinal gelir fonksiyonlarını bulunuz, gelir fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
ç) Kâr ve marjinal kâr fonksiyonlarını belirleyiniz, kâr fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
d) Maksimum gelir, maksimum kâr hangi üretim seviyelerinde ortaya çıkar? e) 401 inci üründen sağlanacak kârın yaklaşık değerini bulunuz .
Çözüm. a) p =8−
(
0.01)
x , 0≤ x≤800 b) Gi'(x)=2 c) Gelir fonksiyonu e( ) 8(
0.01)
2 x x xG = − denklemi ile, marjinal gelir fonk-siyonu Ge'(x)=8−
(
0.02)
x denklemi ile verilir. Ge(x)=8x−(
0.01)
x2 ifadesinden gelir fonksiyonunun karesel fonksiyon olduğunu görüyoruz. Gelir fonksiyonunun grafiği için, 400 02 . 0 8 2 =−− = − = a b h 1600 04 . 0 64 0 4 2 = − − = − = a b c k
den köşe noktası (400,1 600) olarak elde edilir; x-kesişimleri ( )=0 ⇒ 8 −(0.01) 2 =0 x x x Ge ⇒ x =0 , x=800 den (0,0) ve (800,0) olarak elde edilir. Böylece gelir fonksiyonunun grafiği yanda gösterildiği gibidir.
1600
x y
(0,0) 400 800
ç) Kâr fonksiyonu
(
)
(
)
(
)
(
0.01)(
300)
400 ) 01 . 0 ( 6 500 2 500 01 . 0 8 ) ( ) ( 2 2 2 + − − = − + − = + − − = − = x x x x x x x Gi x Ge K(x)ifadesi ile tanımlanmaktadır. Marjinal kâr fonksiyonu
x (x)
K' =6−0.02
denklemi ile verilir. Kâr fonksiyonunun grafiği aşağıdaki gibidir.
Kâr ve zarar edilen üretim seviyelerini bu grafikten görebiliyor musunuz?
d) Yukarıdaki iki grafikten kolayca görülebileceği üzere, maksimum gelir, 400 ürün üretilince, 1600 birim para olarak gerçekleşir. Maksimum kâr, 300 ürün üretilince, 400 birim para olarak gerçekleşir.
e) 401 inci üründen sağlanacak kâr, yaklaşık olarak
(
0.02)
400 6 2. ) 400 ( ' =− ⋅ + =− KYTL olacaktır. Demek ki, 401 inci üründen zarar ediliyor, ancak bu üretim seviyesinde toplamda henüz zarara geçilmemiş olduğuna dikkât ediniz. Maksimum kâr gerçekleştikten sonra üretilen her ürün toplam kârda düşüşe neden olmakta, bu nedenle marjinal kâr negatif olmaktadır. x y (0,0) 300 (300,400) (800,-2900) (0,-500) 100 500
Yaklaşık değer ve marjinal değer uygulamasına bir örnek daha veriyoruz.
Örnek 7. Yeni basılan bir kitap t ayda
30 500 ) ( + = t t t S bin adet satıyor.
a) S' t( ) yi bulunuz.
b) S(10) ve S'(10) değerlerini bulunuz ve yorumlayınız.
c) S'(10) u kullanarak 11 inci ayın sonunda yapılacak satışı tahmin ediniz.
Çözüm. a)
(
)
(
)
2(
)
2 30 1500 30 500 30 500 ) ( ' + = + − + = t t t t t t S b) 125 40 5000 ) 10 ( = =S . Bu değer, 10 ayda 125 000 adet kitap satıldığını gösterir. 375 . 9 00 6 1 000 15 (10)
S' = = değeri de 11 inci ay boyunca yaklaşık 9 375 kitap satıldığını gösterir.
c) 10 ayda satılan kitap sayısı 125 000 adet ve 11 inci ay boyunca satılan oyun sayısı yaklaşık 9 375 adet olduğundan, 11 inci ayın sonunda, yaklaşık
375 . 134 375 . 9 125 ) 10 ( ' ) 10 ( + S ≈ + = S
bin, yani 134 375 adet kitap satılır. Gerçek değer S(11) = 136.585 bin dir.
Problemler 6
1. Aşağıdaki türevleri hesaplayınız.
a) f(x) = 12 için f´(x) b) y = π için y´ c) y = x5 için dx dy ç) (5x6) dx d d) (2 3 17) x x dx d + e) ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 3 2 10 x dx d f) ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − 13 3 2 5 3x x dx d g) ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 15 5 x dx d h) ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − − 6 7 2 3 2 3 x x dx d
2. Aşağıdaki türevleri hesaplayınız.
a) f(x) = (x2 – 3x + 4 x)(x-2) için f´(x) b) ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + 2 3 5 4 2 x x x x dx d c) f(x) = 2x3(x2 –2) için f´(x) ç) 3 2 ) ( 2 − + = x x x f için f´(x)
3. f(x)=x3+2x−3 olduğuna göre f nin grafiğine (1,0) noktasında teğet olan doğrunun denklemini yazınız.
4. f(x)=(x3+3x−3)(x2+x+1) olduğuna göre f nin grafiğine (1,3) noktasında teğet olan doğrunun denklemini yazınız.
5. y=f(x) in grafiğine x = 2 de teğet olan doğrunun denklemini yazınız.
a) f(x)=(1+3x)(5−2x) b) 4 3 8 ) ( − − = x x x f c) 3 2 ) ( 2 − + = x x x f
6. Aşağıda verilen fonksiyonların grafikleri üzerindeki hangi noktalarda teğet doğruları yataydır?
a) f(x)= x(2 −1)3 b) f(x)=(x+3)(x2−45) c) f(x) =x2(2x−15)3 7. Y-ekseni üzerinde hareket eden bir nesnenin x anında (zaman saniye ile ve uzaklık santimetre ile ölçülsün) bulunduğu noktanın ordinatı f(x)=2x4 −8x3+7 olarak veriliyor.
a) Anlık hız fonksiyonunu bulunuz.
b) x=2 ve x = 5 anında hızı bulunuz. c) Hızın sıfır olduğu an(lar)ı bulunuz.
8. f(a+h)≈ f'(a)(x−a)+ f(a) yaklaşık değer formülünü kullanarak aşağıdakiler için yaklaşık değerler bulunuz a) 125 b) 3 730 c) 3 4 ) 998 . 7 ( ç) 4 1 ) 17 (
9. Bir firma otomobiller için otomatik vites kutusu üretmektedir. Ayda x adet vites kutusu üretildiği takdirde toplam gider Gi(x) = 50 000 + 600x – 0.75 x2 YTL olarak veriliyor. Buna göre
a) Marjinal gider fonksiyonunu bulunuz.
b) Gi´ (200) ü bulunuz ve bulduğunuz sonucu yorumlayınız.
c) 201 inci vites kutusunu üretmek için gerçek gideri hesaplayınız ve bulduğunuz sonucu bundan önceki şıkta bulduğunuz marjinal gider ile karşılaştırınız.
10. x tane radyo satılırsa elde edilen gelir Ge(x) = 100x – 0.025x2
YTL olarak veriliyor.
a) Marjinal gelir fonksiyonunu bulunuz.
b) Ge'(1600) ve Ge'(2500) değerlerini bulunuz ve bu değerleri yorumlayınız.
11. x tane fotograf makinesi satılırsa elde edilen kâr K(x) = -800 + 10x – 0.025x2
YTL olarak
veriliyor.
a) Marjinal kâr fonksiyonunu bulunuz.
b) K'(150) ve K'(250) değerlerini bulunuz ve bu değerleri yorumlayınız.
12. Dizüstü bilgisayar üreten bir firmanın bir ayda tanesi p YTL den x tane bilgisayar satılabileceğini varsayarak üretim yapması durumunda fiyat talep fonksiyonu x=300−0.2p
bağıntısı ile ve x tane bilgisayarın üretimi için toplam gider Gi(x)=15000+1000x YTL olarak veriliyor.
a) Fiyatı gösteren p yi x in fonksiyonu olarak ifade ediniz ve bu fonksiyonun tanım kümesini belirleyiniz.
b) x tane bilgisayar satılması durumunda elde edilecek gelir Ge(x) i hesaplayınız. Gelir
fonksiyonu Ge nin tanım kümesi nedir?
c) x tane bilgisayar satılması durumunda elde edilecek kâr K(x) i hesaplayınız. Kâr
fonksiyonu K nin tanım kümesi nedir?
ç) Marjinal gider, marjinal gelir ve marjinal kâr fonksiyonlarını bulunuz.
d) Gi'(50),Ge'(50),K'(50) değerlerini bulunuz ve yorumlayınız.
13. Bir ürün üzerinde çalışan bir firma, x adet ürün üretip bu ürünlerin tamamını satacağını
varsayarsa fiyat talep fonksiyonunun p=2000−10x ve gider fonksiyonunun
2 5 200 1 000 24 x x
Gi= + − olacağını tespit ediyor.
a) Marjinal gider fonksiyonunu bulunuz.
b) Gelir ve marjinal gelir fonksiyonlarını bulunuz, gelir fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
c) Kâr ve marjinal kâr fonksiyonlarını bulunuz, kâr fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
ç) Maksimum gelir, maksimum kâr hangi üretim seviyelerinde ortaya çıkar?
d) 101 inci üründen sağlanacak gelirin ve kârın yaklaşık değerlerini bulunuz .
14. Bir firmanın bir ayda tanesi p YTL den x tane ürün satılabileceğini varsayarak üretim yapması durumunda fiyat talep fonksiyonu p=1000−5x , 0<x<200 ve x tane ürünün üretimi için toplam gider Gi(x)=30000+50x YTL olarak veriliyor.
a) Marjinal gider fonksiyonunu bulunuz.
b) Gelir ve marjinal gelir fonksiyonlarını bulunuz, gelir fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
c) Kâr ve marjinal kâr fonksiyonlarını bulunuz, kâr fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
ç) Maksimum gelir, maksimum kâr hangi üretim seviyelerinde ortaya çıkar?
