• Sonuç bulunamadı

İŞLEM VE MODÜLER ARİTMETİK 1

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "İŞLEM VE MODÜLER ARİTMETİK 1"

Copied!
20
0
0

Yükleniyor.... (view fulltext now)

Tam metin

(1)
(2)

İŞLEM ve MODÜLER ARİTMETİK

5 + 3 = 8 olduğunu biliyoruz. Eşitliğin solunda iki sayı olduğu halde,eşitliğin sağında bir sayı vardır. Eşitliğin solundaki iki sayıyı (5,3) ikilisi biçiminde yazalım.

Şimdi bu ikiliyi 8’e eşleyen bir f fonksiyonu düşünebilirsiniz. f(5,3) = 5+3 olur. Reel sayılar kümesinde yaptığımız, toplama, çıkarma, çarpma ve bölme

işlemleri reel sayılar kümesinin kartezyen çarpımının bir alt kümesinden reel sayılar kümesine birer fonksiyondur.

Tanım : Boş olmayan A,B,C kümeleri verilmiş olsun AxB nin bir alt kümesinden C ye tanımlı her fonksiyona işlem denir.

AxA nın bir alt kümesinden A’ya tanımlı her fonksiyona A kümesinde bir işlem

(3)

Örnek : A={ -1,0, 1}

AxA={ (-1,-1), (-1,0), (-1,1), (0,-1), (0,0), (0,1), (1,-1), (1,1) } f:AxA A fonksiyonu;

f(x,y)= x.y olsun.

Bu fonksiyon A kümesinde tanımlı bir işlemdir. Bu işlemi  ile gösterirsek,

x y =x.y dir.

Tablodan -1-1 = 1, 0 1= 0,

(4)

Örnek :

Reel sayılar kümesinde , x #y =2x-2y+xy olmak üzere, # işlemi tanımlanıyor.

a. (2 #3) #4 işleminin sonucu nedir?

b. (2 #x) #2=16 eşitliğini sağlayan x değeri nedir? Çözüm : a. 2#3= 4-3.3 +2.3 =1 olduğundan; ( 2 #3 ) #4= 1 #4= 2-12+4= -6 b. 2 #x=4-3x+2x=4-x olduğundan; (2 #x) #2= (4-x) #2 =2(4-x)-6+( 4-x) #2 =8-2x-6+8-2x

(5)

İŞLEMİN ÖZELLİKLERİ :

A boş olmayan bir küme ve , A’ da tanımlı bir işlem olsun;

 x, y  A için x y A ise A kümesi  işlemine göre kapalıdır.

x,y  A için x  y= y  x ise işlemin değişme özelliği vardır.

x,y,z  A için (x  y)  z=x (y  z) ise işlemin birleşme özelliği

vardır.

x  A için x  e= e  x=x olacak şekilde bir e  A varsa e’ ye etkisiz

eleman denir.

A kümesinin  işlemine göre etkisiz elemanı e olsun. x  A için

x  x-1= x-1 x=e olacak şekilde bir x-1A varsa x-1 ‘e x’in  işlemine göre

tersi denir.

* A da tanımlı bir işlem olsun.

x,y,z  A için, x (y*z)= (x y)*(z x) eşitlikleri sağlanıyorsa  işlemini

(6)

Örnek :

Z ‘ de  işlemi x,y,z  A için ;

x y=(x+y) / 2 şeklinde tanımlanıyor.  işlemine göre Z kümesi

kapalımıdır.

Çözüm :

x,y,z  A için, x x,y,z  A için y Z dir. Çünkü toplamı çift olan sayıların

ikiye bölümü tam sayıya karşılık gelirken, toplamı tek olan sayıların ikiye bölümü tam sayı değildir. Mesela;

(7)

Örnek :  a b c d e a d e a b c b e a b c d c a b c d e d b c d e a e c d e a b KÖŞEGEN

A= { a,b,c,d,e} kümesinde  işlemi yukarıdaki tablo ile tanımlanıyor. A kümesi  işlemine göre kapalı mıdır?

 işlemi değişme özelliğine sahip midir?

 işlemine göre etkisiz eleman nedir?

(8)

Çözüm :

  işlemine göre A kümesinin herhangi iki elemanının sonucu yine A

kümesinin bir elemanı olduğu için A kümesi kapalıdır.

 x,y A için x y=y x olduğundan  işlemi değişmelidir.

 x A için x c=c x=x olduğu için c etkisiz elemandır. Gerçekten

a c=a, b c=b, c c=c, d c=d, e c=e dir.

b’nin tersi olsun.

b x=c olmalıdır.

(9)

Örnek:

x,yR için x y=x+y+2xy işlemi tanımlanıyor.

1.  işlemi değişmeli midir?

2.  işlemine göre etkisiz eleman nedir?

3.  işlemine göre aR olmak şartıyla a’nın tersi nedir?

Çözüm:

x y= x + y+ 2xy = y + x + 2yx = y x

O halde  değişmelidir.

Etkisiz eleman e olsun. x e = x olmalıdır. x+e+2xe = x

e+2xe =0 e(1+2x) =0

(10)

a’nın tersi a-1 olsun. a a-1=0 olmalıdır. a+a-1 + 2a.a-1=0 a-1(1+2a)=-a a-1 =-a/(1+2a) bulunur. Örnek :

 işlemi R+ da tanımlı bir işlem olmak üzere, 1/m  n2 = m.n ise

4 9 neye eşittir?

Çözüm :

(11)

Örnek :

R2 de tanımlanan (a,b) (c,d) =( a+c,b+d) işleminin etkisiz elemanı nedir?

Çözüm :

Etkisiz eleman (x. Y) olsun. İşlem değişme özelliğine sahip olduğu için; (a,b) (x,y)=(a,b) olmalıdır.

(a+x,b+y)= (a,b) ise a+x=a ve b+x= b x=0 , y=0 bulunur.

(12)

MODÜLER ARİTMETİK

:

Z ‘ de  ={ x,y} : m(x-y)}, m1 ve m Z+ bağıntısı denklik bağıntısıdır. O halde (x ,y)  için x y (mod m)

Örnek :

Z de ={ x,y : 5 (x-y)} denklik bağıntısını inceleyelim. Çözüm :

, farklı 5’e bölünen tamsayı ikililerinden oluşmaktadır. Yani (1,6),

(74, 69) ...

 denklik bağıntısı olduğu için x(x,y)   için xy (mod 5)

Mesela;

(13)

Z’ de m=5 modülüne göre  ‘nın denklik sınıflarını ( kalan sınıfları) oluşturalım. 0={..., -10 , -5, 0, 5,10,...} 1={..., -9 , -4, 1, 6, 11,...} 2={..., -8 , -3 , 2, 7,12...} 3={..., -7, -2 , 3, 8, 13,...} 4={..., -6 , -1, 4, 9, 14,...}

5 modülüne göre kalan sınıflarıdır. Z/m={ 0,1 ,2, 3... (m-1)} dir.

ÖZELLİKLER :

xy ( mod m) ve u= v olsun.

x ve y nin ( u ve y in ) m’ ye bölümünden kalan eşittir.

(14)

x+ u  y+v (mod m)

x-u y-v (mod m)

x.u y. v ( mod m)

c.x c.y (mod m) , c Z xn y-n ( mod m ) , n Z+ Z/m ‘ de Toplama ve Çıkarma :  x ,y Z/m için 1. x +y = x+y 2. x . y = x.y

(15)

Örnek :

Z/5 de 4. ( 2+ 4) +3 işleminin sonucu nedir?

Çözüm : 4. ( 2+ 4) +3 =4. ( 2+ 4)+ 3 =4. 6+ 3 =4. 1+ 3 =4+3 =7 = 2

(16)

Örnek :

71962 x ( mod 11) ise x nedir? Çözüm :

710= 1 dir. Buna göre ,

71964 (710)196 . 72  11196 . 72  5 (mod 11)

MATEMATİK SİSTEMLER : Tanım:

A boş olmayan bir küme olmak şartıyla  A ‘ da tanımlı bir işlem olsun . ( A, ) ikilisine bir matematik sistem denir. * ‘ da A ‘ da

(17)

Tanım :

G, boş olmayan bir küme olmak şartıyla  A da tanımlı bir işlem olsun.

(G, ) sistemi aşağıdaki özellikleri sağlıyorsa grup adını alır.

Kapalılık özelliği;

Birleşme özelliği;

Etkisiz eleman özelliği ;

Ters eleman özelliği ;

Tanım :

(G, ) grubu değişme özelliği sağlıyorsa değişmeli grup adını alır. Örneğin

(Z, +), (R, .), (Z/5, +) sistemleri birer değişmeli gruptur fakat ( N, +), (Z, .) (Z/4, .) sistemleri birer değişmeli grup değildir.

(18)

Tanım :

(H, , &) matematik sistemi aşağıdaki şartları sağlıyorsa halka

adını alır.

1. (H, ) değişmeli gruptur.

2. H kümesi & işlemine göre kapalıdır. 3. & işlemine göre birleşme özelliği vardır.

4. & işleminin  işlemi üzerine dağılma özelliği vardır. Tanım :

(H, ,&) halka olmak şartıyla;

1. & işlemi değişme özelliğine sahipse, (H, ,&) değişmeli halka adını alır.

(19)

Örnek :

(Z, +, .) değişmeli ve birimli halkadır. Tanım :

(C, ,&) matematik sistemi aşağıdaki şartları sağlıyorsa, bir cisim adını

alır.

1. (C, ) sistemi değişmeli grup ve birim elemanı e’ dir. 2. (C-{e}, &) sistemi değişmeli gruptur.

3. & işleminin  işlemi üzerine dağılma özelliği vardır. Tanım :

( C, ,&) bir cisim olsun. & işleminin değişme özelliği varsa ( C, ,&) Sistemi değişmeli cisim adını alır.

(20)

Referanslar

Benzer Belgeler

Furthermore, she emphasizes the impact of consumption studies and cultural history on Ottoman studies, and postulates that the recent interest in food and drink might be related

(IONIA) bölgesi kentleri tarihî kalın- tılarını özet bilgiler ve fotoğraflarla bir araya toplayan, dilimizde başka bir eser bulunmamaktadır. Kitapta ayrıca İngilizce bir

[r]

olabilcce~ini ileri sünnIIşlerdir. felUs ,'c C jejuni AGE antijenleriilin kros reaksiyon vnm.di~ini ve diagnOSlik ,ampylobacter semlojisinin birden çok suş için

'*+,-./01230405,6577879 : ;?@ABCD?>D@BEFGGHIJBKLKT@O@B@TBLMQ?U?@?BD@MDA>VW T@O@B]\TMMO^MTZO@QT@B[OZOKO@OB_KD[OAMOPB

[r]

Açık Ders Malzemeleri Sistemine eklenmek üzere hazırlanmış yukarıda bilgisi verilen ders içeriği, düzen ve kapsam açısından uygundur. Onay

3rd Interdisciplinary Conference on English Studies, Yakın Doğu Üniversitesi, K.K.T.C, (Haziran)..  Sengul, H., &