İŞLEM ve MODÜLER ARİTMETİK
5 + 3 = 8 olduğunu biliyoruz. Eşitliğin solunda iki sayı olduğu halde,eşitliğin sağında bir sayı vardır. Eşitliğin solundaki iki sayıyı (5,3) ikilisi biçiminde yazalım.
Şimdi bu ikiliyi 8’e eşleyen bir f fonksiyonu düşünebilirsiniz. f(5,3) = 5+3 olur. Reel sayılar kümesinde yaptığımız, toplama, çıkarma, çarpma ve bölme
işlemleri reel sayılar kümesinin kartezyen çarpımının bir alt kümesinden reel sayılar kümesine birer fonksiyondur.
Tanım : Boş olmayan A,B,C kümeleri verilmiş olsun AxB nin bir alt kümesinden C ye tanımlı her fonksiyona işlem denir.
AxA nın bir alt kümesinden A’ya tanımlı her fonksiyona A kümesinde bir işlem
Örnek : A={ -1,0, 1}
AxA={ (-1,-1), (-1,0), (-1,1), (0,-1), (0,0), (0,1), (1,-1), (1,1) } f:AxA A fonksiyonu;
f(x,y)= x.y olsun.
Bu fonksiyon A kümesinde tanımlı bir işlemdir. Bu işlemi ile gösterirsek,
x y =x.y dir.
Tablodan -1-1 = 1, 0 1= 0,
Örnek :
Reel sayılar kümesinde , x #y =2x-2y+xy olmak üzere, # işlemi tanımlanıyor.
a. (2 #3) #4 işleminin sonucu nedir?
b. (2 #x) #2=16 eşitliğini sağlayan x değeri nedir? Çözüm : a. 2#3= 4-3.3 +2.3 =1 olduğundan; ( 2 #3 ) #4= 1 #4= 2-12+4= -6 b. 2 #x=4-3x+2x=4-x olduğundan; (2 #x) #2= (4-x) #2 =2(4-x)-6+( 4-x) #2 =8-2x-6+8-2x
İŞLEMİN ÖZELLİKLERİ :
A boş olmayan bir küme ve , A’ da tanımlı bir işlem olsun;
x, y A için x y A ise A kümesi işlemine göre kapalıdır.
x,y A için x y= y x ise işlemin değişme özelliği vardır.
x,y,z A için (x y) z=x (y z) ise işlemin birleşme özelliği
vardır.
x A için x e= e x=x olacak şekilde bir e A varsa e’ ye etkisiz
eleman denir.
A kümesinin işlemine göre etkisiz elemanı e olsun. x A için
x x-1= x-1 x=e olacak şekilde bir x-1A varsa x-1 ‘e x’in işlemine göre
tersi denir.
* A da tanımlı bir işlem olsun.
x,y,z A için, x (y*z)= (x y)*(z x) eşitlikleri sağlanıyorsa işlemini
Örnek :
Z ‘ de işlemi x,y,z A için ;
x y=(x+y) / 2 şeklinde tanımlanıyor. işlemine göre Z kümesi
kapalımıdır.
Çözüm :
x,y,z A için, x x,y,z A için y Z dir. Çünkü toplamı çift olan sayıların
ikiye bölümü tam sayıya karşılık gelirken, toplamı tek olan sayıların ikiye bölümü tam sayı değildir. Mesela;
Örnek : a b c d e a d e a b c b e a b c d c a b c d e d b c d e a e c d e a b KÖŞEGEN
A= { a,b,c,d,e} kümesinde işlemi yukarıdaki tablo ile tanımlanıyor. A kümesi işlemine göre kapalı mıdır?
işlemi değişme özelliğine sahip midir?
işlemine göre etkisiz eleman nedir?
Çözüm :
işlemine göre A kümesinin herhangi iki elemanının sonucu yine A
kümesinin bir elemanı olduğu için A kümesi kapalıdır.
x,y A için x y=y x olduğundan işlemi değişmelidir.
x A için x c=c x=x olduğu için c etkisiz elemandır. Gerçekten
a c=a, b c=b, c c=c, d c=d, e c=e dir.
b’nin tersi olsun.
b x=c olmalıdır.
Örnek:
x,yR için x y=x+y+2xy işlemi tanımlanıyor.
1. işlemi değişmeli midir?
2. işlemine göre etkisiz eleman nedir?
3. işlemine göre aR olmak şartıyla a’nın tersi nedir?
Çözüm:
x y= x + y+ 2xy = y + x + 2yx = y x
O halde değişmelidir.
Etkisiz eleman e olsun. x e = x olmalıdır. x+e+2xe = x
e+2xe =0 e(1+2x) =0
a’nın tersi a-1 olsun. a a-1=0 olmalıdır. a+a-1 + 2a.a-1=0 a-1(1+2a)=-a a-1 =-a/(1+2a) bulunur. Örnek :
işlemi R+ da tanımlı bir işlem olmak üzere, 1/m n2 = m.n ise
4 9 neye eşittir?
Çözüm :
Örnek :
R2 de tanımlanan (a,b) (c,d) =( a+c,b+d) işleminin etkisiz elemanı nedir?
Çözüm :
Etkisiz eleman (x. Y) olsun. İşlem değişme özelliğine sahip olduğu için; (a,b) (x,y)=(a,b) olmalıdır.
(a+x,b+y)= (a,b) ise a+x=a ve b+x= b x=0 , y=0 bulunur.
MODÜLER ARİTMETİK
:Z ‘ de ={ x,y} : m(x-y)}, m1 ve m Z+ bağıntısı denklik bağıntısıdır. O halde (x ,y) için x y (mod m)
Örnek :
Z de ={ x,y : 5 (x-y)} denklik bağıntısını inceleyelim. Çözüm :
, farklı 5’e bölünen tamsayı ikililerinden oluşmaktadır. Yani (1,6),
(74, 69) ...
denklik bağıntısı olduğu için x(x,y) için xy (mod 5)
Mesela;
Z’ de m=5 modülüne göre ‘nın denklik sınıflarını ( kalan sınıfları) oluşturalım. 0={..., -10 , -5, 0, 5,10,...} 1={..., -9 , -4, 1, 6, 11,...} 2={..., -8 , -3 , 2, 7,12...} 3={..., -7, -2 , 3, 8, 13,...} 4={..., -6 , -1, 4, 9, 14,...}
5 modülüne göre kalan sınıflarıdır. Z/m={ 0,1 ,2, 3... (m-1)} dir.
ÖZELLİKLER :
xy ( mod m) ve u= v olsun.
x ve y nin ( u ve y in ) m’ ye bölümünden kalan eşittir.
x+ u y+v (mod m)
x-u y-v (mod m)
x.u y. v ( mod m)
c.x c.y (mod m) , c Z xn y-n ( mod m ) , n Z+ Z/m ‘ de Toplama ve Çıkarma : x ,y Z/m için 1. x +y = x+y 2. x . y = x.y
Örnek :
Z/5 de 4. ( 2+ 4) +3 işleminin sonucu nedir?
Çözüm : 4. ( 2+ 4) +3 =4. ( 2+ 4)+ 3 =4. 6+ 3 =4. 1+ 3 =4+3 =7 = 2
Örnek :
71962 x ( mod 11) ise x nedir? Çözüm :
710= 1 dir. Buna göre ,
71964 (710)196 . 72 11196 . 72 5 (mod 11)
MATEMATİK SİSTEMLER : Tanım:
A boş olmayan bir küme olmak şartıyla A ‘ da tanımlı bir işlem olsun . ( A, ) ikilisine bir matematik sistem denir. * ‘ da A ‘ da
Tanım :
G, boş olmayan bir küme olmak şartıyla A da tanımlı bir işlem olsun.
(G, ) sistemi aşağıdaki özellikleri sağlıyorsa grup adını alır.
•
Kapalılık özelliği;
• Birleşme özelliği;
• Etkisiz eleman özelliği ;
• Ters eleman özelliği ;
Tanım :
(G, ) grubu değişme özelliği sağlıyorsa değişmeli grup adını alır. Örneğin
(Z, +), (R, .), (Z/5, +) sistemleri birer değişmeli gruptur fakat ( N, +), (Z, .) (Z/4, .) sistemleri birer değişmeli grup değildir.
Tanım :
(H, , &) matematik sistemi aşağıdaki şartları sağlıyorsa halka
adını alır.
1. (H, ) değişmeli gruptur.
2. H kümesi & işlemine göre kapalıdır. 3. & işlemine göre birleşme özelliği vardır.
4. & işleminin işlemi üzerine dağılma özelliği vardır. Tanım :
(H, ,&) halka olmak şartıyla;
1. & işlemi değişme özelliğine sahipse, (H, ,&) değişmeli halka adını alır.
Örnek :
(Z, +, .) değişmeli ve birimli halkadır. Tanım :
(C, ,&) matematik sistemi aşağıdaki şartları sağlıyorsa, bir cisim adını
alır.
1. (C, ) sistemi değişmeli grup ve birim elemanı e’ dir. 2. (C-{e}, &) sistemi değişmeli gruptur.
3. & işleminin işlemi üzerine dağılma özelliği vardır. Tanım :
( C, ,&) bir cisim olsun. & işleminin değişme özelliği varsa ( C, ,&) Sistemi değişmeli cisim adını alır.