T.C.
SELÇUK ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ
SOFT BAĞLANTILI UZAYLAR Zehra ER
YÜKSEK LĠSANS TEZĠ Matematik Anabilim Dalı
Eylül-2015 KONYA Her Hakkı Saklıdır
iv
ÖZET
YÜKSEK LĠSANS TEZĠ SOFT BAĞLANTILI UZAYLAR
Zehra ER
Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı
DanıĢman: Prof. Dr. ġaziye YÜKSEL 2015, 32 Sayfa
Jüri
Prof. Dr. ġaziye YÜKSEL Prof. Dr. EĢref HATIR Yrd. Doç. Dr. Yusuf BECEREN
Bu çalışma sekiz bölümden oluşmaktadır.
Birinci bölümde tezde kullanılan kavramların literatür bilgileri kısaca verildi.
İkinci bölümde soft küme teori ve 2011 yılında Sabir ve Naz tarafından verilen soft topolojik uzaylarla ilgili temel kavramlar ve bazı özellikler hatırlatıldı.
Üçüncü bölümde soft bağlantısız kümeler, soft bağlantılı kümeler, bazı yeni kavramlar ve temel teoremler verildi.
Dördüncü bölümde soft bağlantılı uzay kavramı ve temel teoremler verildi.
Beşinci bölümde soft bağlantılı alt uzay, soft kapanış noktası, soft yoğun küme kavramları ve bunlarla ilgili örnekler verilip bazı yeni teoremler verildi.
Altıncı bölümde soft bileşen kavramı ve özellikleri incelenip bazı yeni teoremler verildi. Yedinci bölümde soft tamamen bağlantısız uzay kavramı verilip özellikleri incelendi. Son bölümde soft lokal bağlantılı uzay kavramı verildi ve temel özellikleri incelendi.
Anahtar Kelimeler: Soft bağlantılı küme, soft bağlantısız küme, soft bağlantılı uzay, soft
v
ABSTRACT
MS THESIS
SOFT CONNECTED SPACES Zehra ER
THE GRADUATE SCHOOL OF NATURAL AND APPLIED SCIENCE OF SELÇUK UNIVERSITY
THE DEGREE OF MASTER OF SCIENCE IN MATHEMATICS DEPARTMAN
Advisor: Prof. Dr. ġaziye YÜKSEL
2015, 32 Pages
Jury
Prof. Dr. ġaziye YÜKSEL Prof. Dr. EĢref HATIR Yrd. Doç. Dr. Yusuf BECEREN
This study consists of eight sections.
In the first section; the introduction which has been summarized briefly literatüre knowledge of concepts used in thesis was given.
In the second section; the basic concepts and some properties about soft set theory and soft topological spaces was proposed Shabir and Naz in 2011 were reminded.
In the third section; the definition soft disconnected sets, soft connected sets, some new concepts and basic theorems in the soft topological spaces were given.
In the fourth section; the definition of soft disconnected spaces, soft connected spaces, some new concepts and basic theorems in the soft topological spaces were given.
In the fifth section; the definition of soft connected subspaces, soft cluster point, dense of set, some new concepts and basic theorems in the soft topological spaces were given.
In the sixth section; the definition of soft components, some new concepts and basic theorems in the soft topological spaces were given.
In the seventh section; the definition of soft totally disconnected spaces, some new concepts in the soft topological spaces were given.
In the last section section, the definition soft local connected spaces, some new concepts basics in the soft topological spaces were given.
Keywords: Soft connected set, soft disconnected set, soft connected space, soft connected
vi
ÖNSÖZ
Bu çalışma Selçuk Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü Öğretim Üyesi Prof. Dr. Şaziye YÜKSEL yönetiminde yapılarak, Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü’ne Yüksek Lisans Tezi olarak sunulmuştur.
Tez çalışmamı büyük bir titizlikle ve dikkatle takip ederek bana her açıdan destek olan ve yol gösteren değerli hocam Prof. Dr. Şaziye YÜKSEL’ e sonsuz teşekkürlerimi ve sevgilerimi sunarım. Ayrıca, çalışmalarımda bana yardımını esirgemeyen Arş. Gör. Dr. Zehra GÜZEL ERGÜL’ e ve her zaman yanımda olan sevgili aileme teşekkür etmeyi bir borç bilirim.
Zehra ER KONYA-2015
vii ĠÇĠNDEKĠLER ÖZET ... iv ABSTRACT ... v ÖNSÖZ ... vi ĠÇĠNDEKĠLER ... vii SĠMGELER ... viii 1. GĠRĠġ ... 1 2. ÖN BĠLGĠLER ... 3 2.1. Soft Kümeler ... 3
2.2. Soft Topolojik Uzaylar ... 6
3. SOFT BAĞLANTILI KÜMELER ... 11
4. SOFT BAĞLANTILI UZAYLAR ... 15
5. SOFT BAĞLANTILI ALT UZAYLAR ... 18
6. SOFT BĠLEġENLER ... 24
7. SOFT TAMAMEN BAĞLANTISIZ UZAYLAR ... 27
8. SOFT LOKAL BAĞLANTILI UZAYLAR ... 29
9. SONUÇLAR VE ÖNERĠLER ... 31
KAYNAKLAR ... 32
viii SĠMGELER : Her : Vardır : Eşit değildir : Ait : Ait değil : Gerek şart : Yeter şart : Başlangıç evreni : Parametreler kümesi : Boş küme
: soft kümesinin yaklaşık fonksiyonu : Soft küme
: soft kümesinin relatif tümleyeni : Boş soft küme
: üzerinde tanımlı tüm soft kümelerin ailesi : Soft kesişim
: Soft birleşim : Soft alt küme : Soft fark
: kümesinin güç kümesi ̃ : - tam soft küme
̃ : Tam soft küme , ̃ : Soft topolojik uzay
̅̅̅ : soft kümesinin kapanışı : soft kümesinin içi
: soft kümesinin sınırı
̃( : noktasının ̃ soft topolojisine göre soft komşuluklar tabanı ̃( ) : noktasının ̃ soft topolojisine göre soft komşuluklar ailesi
1. GĠRĠġ
Belirsizlik problemleri için matematikçiler, mantıkçılar ve filozoflar uzun bir süredir uğraşmaktadırlar. Son zamanlarda bu tür problemler bilgisayar ve yapay zeka ile ilgilenen bilim adamları için çok önemli olmuştur. Klasik mantığın tanımlayamadığı belirsiz kavramların matematiksel olarak ifade edilebilmesinin öneminden dolayı araştırmacılar her geçen gün yeni teoriler sunmaktadırlar. Bilinen en önemli teoriler fuzzy küme (Zadeh, 1965), soft küme (Molodtsov, 1999) ve rough küme (Pawlak, 1982) teorileridir.
Kesinlik konusundaki en başarılı teorik yaklaşım şüphesiz ki Zadeh (1965) tarafından tanımlanan fuzzy teorisidir. Bu teorinin temel fikri üyelik fonksiyonudur ve bu fonksiyon elemanları kısmi üyeliklerine göre derecelendirir.
Pawlak (1982) tarafından sunulan rough küme teori, bilgiyi kesinliğe, eşitlik ilkesine dayandıran farklı bir yaklaşımdır. Rough küme metodunun avantajı veri hakkında fuzzy kümedeki üyelik fonksiyonu gibi herhangi bir ek bilgiye ihtiyaç duymamasıdır.
Molodtsov (1999) kesinliği model alan yeni bir teori olarak soft küme teoriyi ve temel özelliklerini tanımladı. Soft kümeler evrenin parametrelenmiş alt kümeleri olduğundan geniş bir alanda birçok uygulamaya sahiptir. 2011 yılından itibaren de bazı yazarlar soft kümelerin topolojik özelliklerini incelemektedir. İlk olarak Shabir ve Naz (2011) soft topolojik uzayı, soft açık, soft iç nokta ve bir noktanın soft komşuluğunu tanımladı.
Çağman ve arkadaşları (2011) soft topolojiye farklı bir yaklaşımda bulunarak, soft açık, soft iç, soft kapanış, soft limit noktası, soft Hausdorff uzayı tanımladılar.
Aygünoğlu ve Aygün (2011) soft dönüşümlerin sürekliliğini, soft çarpım topolojisini, soft kompaktlık ve genelleştirilmiş Tychonoff teoremini soft topolojik uzayda çalıştılar.
Zorlutuna ve arkadaşları (2012) soft iç nokta, soft komşuluklar ve soft süreklilik ve özelliklerini çalıştılar ve soft topoloji ile fuzzy topoloji arasındaki ilişkiyi incelediler.
Hussain ve Ahmad (2011) soft iç, soft kapanış ve soft sınırlılığın birçok özelliğini araştırdılar.
Bu tezde ilk olarak araştırmacılar tarafından daha önce tanımlanan soft küme ve soft topolojinin özellikleri verilmiş sonra soft bağlantılı kümeler, soft bağlantılı uzaylar,
soft bağlantılı alt uzaylar, soft bileşen, soft tamamen bağlantısız uzaylar, soft lokal bağlantılı uzaylar tanımlanıp özellikleriyle beraber incelenmiştir.
2. ÖN BĠLGĠLER 2.1. Soft Kümeler
Bu bölümde soft kümeler ile ilgili bazı temel kavramlar verilecektir. Bu çalışma boyunca , bir başlangıç evreni ve , tüm parametrelerin kümesi olsun. Genellikle parametreler; özellikler, karakteristikler ya da evrenindeki nesnelerin özellikleridir. ailesi, kümesinin güç kümesini göstermek üzere soft küme kavramı aşağıdaki şekilde tanımlanır.
2.1.1.Tanım. (Molodtsov, 1999) evren kümesi, parametre kümesi ve
olsun. küme değerli bir dönüşüm olmak üzere (yada ) ikilisine evreni üzerinde soft küme denir. Başka bir deyişle evreni üzerinde bir soft küme evren kümesinin alt kümelerinin parametrelendirilmiş bir ailesidir.
2.1.2.Tanım. (Çağman ve Enginoğlu, 2010) evren kümesi, parametre ve
kümesi olsun. dönüşümü için eğer ise ve ise olmak üzere üzerinde bir soft küme sıralı çiftler şeklinde aşağıdaki şekilde tanımlanır.
)): ,
Burada fonksiyonuna soft kümesinin yaklaşık fonksiyonu denir. nin değeri keyfidir.
Bu bölümden itibaren üzerindeki tüm soft kümelerin ailesi sembolü ile gösterilecektir.
2.1.3.Tanım.(Çağman ve Enginoğlu, 2010) olsun. Her için ise soft kümesine boş soft küme denir ve ya da şeklinde gösterilir.
2.1.4.Tanım.(Çağman ve Enginoğlu, 2010) olsun. Her için ise soft kümesine -tam soft küme denir ve ̃ ̃ şeklinde gösterilir. Eğer ise -tam soft kümeye tam soft küme denir ve ̃ ̃ şeklinde gösterilir.
2.1.5.Tanım. (Çağman ve Enginoğlu, 2010) , evreninin boş kümeden farklı bir alt kümesi olsun. Eğer her için ise ̃ sembolü, üzerindeki soft kümesini gösterir. Benzer şekilde, soft kümesi de ̃ şeklinde gösterilir.
2.1.6.Tanım. (Çağman ve Enginoğlu, 2010) , olmak üzere her için ise soft kümesine soft kümesinin soft alt kümesi denir ve şeklinde gösterilir.
2.1.7.Tanım. (Çağman ve Enginoğlu, 2010) , olsun. Eğer ve ise ve soft kümelerine soft eşit kümeler denir ve şeklinde gösterilir.
2.1.8.Tanım. (Çağman ve Enginoğlu, 2010) , olsun. Bu iki soft kümenin soft birleşimi, soft kümesidir. Burada ve
şeklindedir.
2.1.9.Tanım. (Feng ve ark., 2008) , olsun. Bu iki soft kümenin soft kesişimi, soft kümesidir. Burada ve
şeklindedir.
2.1.10.Tanım. (Shabir ve Naz, 2011) , olsun. Bu iki soft kümenin soft farkı soft kümesidir. Burada
şeklindedir.
2.1.11.Tanım. (Shabir ve Naz, 2011) , evreni üzerinde bir soft küme olsun. soft kümesinin relative tümleyeni olmak üzere,
şeklinde tanımlanır, şeklinde gösterilir.
2.1.1.Önerme. (Maji ve ark., 2003; Çağman ve Enginoğlu, 2010) indeks kümesi ve , ve her olmak üzere aşağıdakiler
vardır.
,
,
, ,
, ( ( ), ( ( ( ( ), ̃ ̃, , , , ise dir, ̃, .
2.1.12.Tanım. (Shabir ve Naz, 2011) ve olsun. Her için ise noktası, soft kümesine aittir denir ve ̃ şeklinde gösterilir. Eğer bazı için ise noktasına, soft kümesine ait değildir denir ve ̃ şeklinde gösterilir.
2.1.13.Tanım. (Shabir ve Naz, 2011) olsun. sembolü, üzerinde bir soft küme gösterir öyle ki her için şeklindedir.
2.1.14.Tanım. (Kharal ve Ahmad, 2010) ve sırasıyla ve üzerindeki tüm soft kümelerin ailesi olsun. ve iki dönüşüm olmak üzere dönüşümüne den ye soft dönüşüm denir.
olsun. soft kümesinin soft dönüşümü altındaki görüntüsü üzerinde ( ) şeklinde gösterilir ve aşağıdaki gibi tanımlanır.
{⋃
olsun. soft kümesinin soft dönüşümü altındaki ters görüntüsü üzerinde ( ) şeklinde gösterilir ve aşağıdaki gibi tanımlanır.
{
Eğer ve bire-bir ise soft dönüşümü bire-bir dönüşümdür, eğer ve örten ise soft dönüşümü örtendir.
2.1.1.Teorem. (Kharal ve Ahmad, 2010; Zorlutuna ve Akdağ, 2012) ve kesin küme ve indeks kümesi olmak üzere,
ve olsun. Aşağıdaki özellikler sağlanır.
ise ( ,
ise ( ), ( ( )), bire-bir ise eşitlik sağlanır, ( ( , örten ise eşitlik sağlanır,
( ,
( , birebir ise eşitlik sağlanır, ( ) ( ,
( ) ( ,
( ̃ ̃ ( , örten ise ( ̃ ̃ ,
(
2.2. Soft Topolojik Uzaylar
2.2.1.Tanım. (Shabir ve Naz, 2011) ̃ ailesi aşağıdaki özellikleri sağlarsa ̃ ailesine kümesi üzerinde soft topoloji denir.
̃ ̃,
̃ ̃,
̃ ̃.
̃ ikilisine soft topolojik uzay, ̃ ailesinin elemanlarına da soft açık küme denir. Eğer ̃ ise kümesine soft kapalı küme denir.
Yalnızca ve ̃ soft kümelerinden oluşan soft topolojiye en kaba soft topoloji denir ve ̃ şeklinde gösterilir. üzerindeki tüm soft kümelerden oluşan soft topolojiye en ince soft topoloji denir ve ̃ şeklinde gösterilir.
2.2.2.Tanım. (Aygünoğlu ve Aygün, 2011) ̃ ) ve ̃ soft topolojik uzaylar olmak üzere, eğer ̃ soft topolojisine göre soft açık olan her küme ̃ soft topolojisine göre de soft açık ise ̃ soft topolojisi ̃ soft topolojisinden soft kaba ya da ̃ soft topolojisine ̃ soft topolojisinden soft ince denir. ̃ ̃ şeklinde gösterilir.
Eğer ̃ ̃ ve ̃ ̃ ise ̃ soft topolojisine, ̃ soft topolojisinden kesinlikle soft kaba ya da ̃ soft topolojisine ̃ soft topolojisinden kesinlikle soft ince topoloji denir.
Eğer ̃ soft topolojisi ̃ soft topolojisinden daha soft kaba ya da ̃ soft topolojisi ̃ soft topolojisinden daha soft ince ise ̃ ve ̃ soft topolojilerine karşılaştırılabilir iki soft topolojik yapı denir.
2.2.1.Teorem. (Shabir ve Naz, 2011) ̃ bir soft topolojik uzay olsun. ̃ ailesi soft kapalı kümelerin bir koleksiyonu olmak üzere aşağıdaki şartlar sağlanır.
, ̃ ̃ ,
{ : 1 i , n } ̃ ̃,
{ : i I } ̃ ̃ .
2.2.3.Tanım. (Shabir ve Naz, 2011) ̃ soft topolojik uzayı ve olsun. soft kümesinin soft içi şeklinde gösterilir ve kümesinin kapsadığı tüm soft açık kümelerin birleşimine eşittir.
2.2.2.Teorem. (Zorlutuna ve Akdağ, 2012) ̃ soft topolojik uzayı ve olsun. kümesinin bir soft açık küme olması için gerek ve yeter koşul olmasıdır.
2.2.3.Teorem. (Zorlutuna ve Akdağ, 2012) ̃ soft topolojik uzayı ve olsun. Bu takdirde aşağıdaki özellikler sağlanır.
2.2.4.Tanım. (Shabir ve Naz, 2011) ̃ soft topolojik uzayı ve olsun. soft kümesinin soft kapanışı ̅̅̅ şeklinde gösterilir ve kümesini kapsayan tüm soft kapalı kümelerin kesişimine eşittir.
2.2.4.Teorem.(Shabir ve Naz, 2011) ̃ soft topolojik uzayı ve ) olsun. kümesinin bir soft kapalı küme olması için gerek ve yeter koşul ̅̅̅ olmasıdır.
2.2.5.Teorem.(Shabir ve Naz, 2011) ̃ soft topolojik uzayı ve olsun. Bu takdirde ̅̅̅ dır.
2.2.6.Teorem. (Shabir ve Naz, 2011) ̃ soft topolojik uzayı ve ) olsun. Bu takdirde aşağıdaki özellikler sağlanır.
̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅ ̅̅̅ ( ̅̅̅ ̅̅̅ ̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅ ̅̅̅ ̅̅̅ ̅̅̅ ( ̅̅̅̅̅̅̅̅)
2.2.5.Tanım. (Hussain ve Ahmad, 2011) ̃ bir soft topolojik uzayı ve
olsun. kümesinin ne içine ne de dışına ait olmayan noktaların oluşturduğu kümeye, kümesinin soft sınırı denir. ̅̅̅ ̅̅̅̅ şeklinde gösterilir.
2.2.6.Tanım. (Shabir ve Naz, 2011) ̃ soft topolojik uzayı ve ve olsun. Eğer ̃ olacak şekilde bir soft açık kümesi varsa noktasına, soft kümesinin soft iç noktası ve soft kümesine de, noktasının bir soft komşuluğu denir.
noktasının bütün soft komşuluklarından oluşan aile ̃( ) şeklinde gösterilir.
2.2.1.Önerme. (Shabir ve Naz, 2011) ̃ soft topolojik uzayı verilsin ve
̃ ise ̃
̃( ise ̃
̃ ve ise ̃
2.2.7.Tanım. (Shabir ve Naz, 2011) ve , evreninin boş kümeden farklı bir alt kümesi olsun. kümesi üzerindeki soft kümesi,
şeklinde tanımlanır ve ̃ ile gösterilir.
2.2.8.Tanım. (Shabir ve Naz, 2011) ̃ soft topolojik uzay ve , evreninin boş kümeden farklı bir alt kümesi olsun. ̃ { ̃} ailesine, üzerindeki soft relative topoloji denir ve ̃ ikilisine de ̃ soft topolojik uzayının soft alt uzayı denir.
2.2.7.Teorem. (Shabir ve Naz, 2011) ̃ , ̃ soft topolojik uzayının soft alt uzayı ve olsun. Bu durumda aşağıdakiler sağlanır:
soft kümesinin kümesi üzerinde soft açık küme olması için gerek ve yeter koşul ̃ olacak şekilde bir ̃ kümesinin varlığıdır.
soft kümesinin kümesi üzerinde soft kapalı küme olması için gerek ve yeter koşul ̃ olacak şekilde bir ̃ kümesinin varlığıdır.
2.2.9.Tanım. ̃ soft topolojik uzayı ve bir noktası verilsin. Eğer her ̃( soft komşuluğu için, olacak şekilde bir ̃( kümesi varsa,
̃( ailesine, ̃ soft topolojisine göre, noktasının bir soft komşuluklar tabanı denir.
2.2.10.Tanım. (Aygünoğlu ve Aygün, 2011) ̃ ve ̃ iki soft topolojik uzay, : ̃ ̃ bir soft dönüşüm olmak üzere ̃ için, ̃ oluyorsa bu soft dönüşüme soft süreklidir denir.
̃ ̃ ve ̃ ̃ ), dönüşümleri soft sürekli ise ( ( nin de soft sürekli olduğu açıktır. ̃ ̃ dönüşümü için ̃ ̃ ise bu dönüşüme soft açık dönüşüm denir.
2.2.11.Tanım. (Aygünoğlu ve Aygün, 2011) ̃ ve ̃ iki soft topolojik uzay olsun. Eğer ̃ ̃ soft dönüşümü birebir, soft açık ve soft sürekli ise dönüşümüne soft homeomorfizma denir.
2.2.12.Tanım. (Aygünoğlu ve Aygün, 2011) ̃ bir soft topolojik uzay olsun.
kümesinin soft açık alt kümelerinden oluşan ailesi
verilsin. Eğer ̃ ise ailesine kümesinin bir soft açık örtüsü denir. ailesi kümesinin sonlu soft açık alt kümelerinden oluşan bir aile ise ailesine kümesinin sonlu soft örtüsü denir.
kümesinin her soft açık örtüsünün sonlu bir alt örtüsü varsa, ̃ soft topolojik uzayına soft kompakt uzay denir.
2.2.13.Tanım. (Shabir ve Naz, 2011) ̃ bir soft topolojik uzayı verisin ve olsun. Eğer ̃ , ̃ ve ̃ , ̃ olacak şekilde ve soft açık kümeleri varsa ̃ uzayına soft uzayı denir. Ayrıca her için soft kapalı bir küme ise, ̃ uzayı soft uzayıdır.
2.2.14.Tanım. (Babitha ve Sunil, 2010) ve olsun. ve soft kümelerinin kartezyen çarpımı;
, şeklinde tanımlanır. şeklinde gösterilir.
Bu tanıma göre soft kümesi üzerinde parametre kümesi olan bir soft kümedir.
2.2.8.Teorem. (Aygünoğlu ve Aygün, 2011) kümesi ve bir her için ̃ soft topolojik uzaylar ailesi verilsin.
̃ ̃
bir soft dönüşüm olmak üzere her dönüşümünü soft sürekli kılan üzerindeki en kaba soft topolojiye soft başlangıç topolojisi denir.
2.2.15.Tanım. (Aygünoğlu ve Aygün, 2011) ̃ soft topolojik uzaylar ailesi ve ∏ soft çarpım kümesi verilsin.
̃ ̃
dönüşümünü soft sürekli kılan üzerindeki en kaba soft topolojiye soft çarpım topolojisi denir.
3. SOFT BAĞLANTILI KÜMELER
3.1.Tanım. ̃ soft topolojik uzayı ve , olsun. Eğer ̅̅̅ ya da ̅̅̅
ise, ve kümelerine soft bağlantılı kümeler denir. Eğer ̅̅̅ ve ̅̅̅ ise ve kümelerine soft bağlantısız kümeler denir.
3.2.Tanım. ̃ soft topolojik uzayı ve , verilsin. Eğer ise ve kümelerine soft ayrık kümeler denir.
3.1.Uyarı. Bir soft topolojik uzayda soft bağlantılı olmayan iki küme soft
ayrıktır.
3.1.Örnek. Başlangıç evreni ve parametreler kümesi { , } olmak üzere, ̃ ̃ kümesi üzerinde bir soft topolojidir. Burada
{( ,{ }),( ,{ , , })}, {( ,{ }),( ,{ , , })},
{( ,{ , ,}),( ,{ , , })} dir.
{( ,{ })} ve {( ,{ }),( ,{ , , })}
şeklinde iki soft küme alacak olursak bu kümelerin soft ayrık fakat soft bağlantılı olduğu görülür.
3.1.Teorem. ̃ soft topolojik uzayı ve , verilsin.
ve kümelerinin her ikisi de soft açık, soft ayrık kümeler ise soft bağlantılı değillerdir.
ve kümelerinin her ikisi de soft kapalı, soft ayrık kümeler ise soft bağlantılı değillerdir.
Ġspat. ve soft ayrık kümeler olsun. Eğer ve kümeleri soft açık ise ̃ ve ̃ kümeleri soft kapalıdır. oldu undan
̃ ̅̅̅ ̃̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅ ̃ ̃ … ve oldu undan
̃ ̅̅̅ ̃̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅ ̃ ̃ … olur.
ve ifadelerinin son gerektirmeleri sırasıyla ve kümeleri ile soft kesişimi alınırsa;
̅̅̅ ̃ ve ̅̅̅ ̃
elde edilir. Sonu olarak ̅̅̅ ya da ̅̅̅ olup 3.1.Tanım gere ince ve soft bağlantısız kümelerdir.
olsun. ve kümeleri soft kapalı kümeler olduğundan ̅̅̅ ̅̅̅
olur. Böylece 3.1.Tanım gere ince ve soft bağlantısız kümelerdir.
3.2.Teorem. ̃ soft topolojik uzayı ve , olsun. Eğer ve soft kümelerinin her ikisi de soft açık ya da her ikisi de soft kapalı ise ve kümeleri soft bağlantısız kümelerdir.
Ġspat. ve soft açık kümeler olsun.
̃ ve ( ̅̅̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅ ̅̅̅ olduğu için; ( ̅̅̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ̃ ̃ )
̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅ ̃ ̃ ) ̅̅̅ ̃ ̅̅̅̅̅̅̅ ̃
̅̅̅ ̃ ̃ ) … elde edilir. soft açık küme olduğundan olup, böylece
( ̅̅̅̅̅̅̅̅ elde edilir. Benzer şekilde;
( ̅̅̅̅̅̅̅̅ ̃ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅) ̃ ̃ ̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅ ̃
̅̅̅̅̅̅̅ ̃ ̅̅̅ ( ̃ )
̃ ̅̅̅ ( ̃ )… elde edilir. soft açık küme olduğundan olup, böylece
( ) ( ̅̅̅̅̅̅̅̅) olur.
ve soft kapalı kümeler olduğundan ̅̅̅ ve ̅̅̅ olur. Sonuç olarak ve den ve soft bağlantısız kümeler olur.
3.3.Teorem. ̃ soft topolojik uzayı ve , ) verilsin. Eğer ̅̅̅ ve kümesi soft kapalı ise kümesi soft kapalı bir kümedir.
Ġspat. kümesi soft kapalı olduğundan,
( ̅̅̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅ ̅̅̅
olup, buradan ̅̅̅ olur. Hipotez gere i, ̅̅̅ oldu undan ̅̅̅ dir. Ayrıca ̅̅̅ olup ̅̅̅ elde edilir. Sonu olarak soft kapalı bir kümedir.
3.4.Teorem. ̃ soft topolojik uzayı ve , verilsin. Eğer ̅̅̅ ve kümesi soft kapalı ise kümesi soft kapalı bir kümedir.
Ġspat. kümesi soft kapalı olduğundan,
( ̅̅̅̅̅̅̅̅) ̅̅̅ ̅̅̅
olup, buradan ̅̅̅ olur. Hipotez gere i, ̅̅̅ oldu undan ̅̅̅ olur. Ayrıca ̅̅̅ olup ̅̅̅ elde edilir. Sonu olarak soft kapalı bir kümedir.
3.1.Sonuç. ̃ soft topolojik uzay ve soft bağlantılı olmayan , verilsin. Eğer soft kapalı bir küme ise ve soft kapalı kümelerdir.
Ġspat. 3.3.Teorem ve 3.4.Teoremlerinin direkt sonucudur.
3.5.Teorem. ̃ soft topolojik uzayı ve , verilsin. Eğer ̅̅̅ ve kümesi soft açık ise kümesi soft açıktır.
Ġspat. Hipotezden ̅̅̅ , ̃ ̅̅̅) olup, soft açık bir küme olduğundan
( ) ( ̃ ̅̅̅̅ ( ̃ ̅̅̅ )) ( ̃ ̅̅̅ )) elde edilir. Eşitliğin sol tarafı soft açık bir kümedir. Dolayısıyla
( ̃ ̅̅̅ )) ( ̃ ̅̅̅) kümesi soft açık bir küme olur.
3.6.Teorem. ̃ soft topolojik uzayı ve , verilsin. Eğer ̅̅̅ ve kümesi soft açık ise kümesi soft açıktır.
Ġspat. Hipotezden ̅̅̅ , ̃ ̅̅̅) olup, soft açık bir küme olduğundan
elde edilir. Eşitliğin sol tarafı soft açık bir küme olduğundan ( ( ̃ ̅̅̅̅)) ( ̃ ̅̅̅)) kümesi soft açık bir küme olur.
3.2.Sonuç. ̃ soft topolojik uzay ve soft bağlantılı olmayan , soft alt kümeleri verilsin. Eğer soft açık bir küme ise ve soft açık kümelerdir.
4. SOFT BAĞLANTILI UZAYLAR
4.1. Tanım. ̃ soft topolojik uzayı verilsin. Eğer ̃ kümesi boştan farklı, soft
bağlantılı olmayan iki soft alt kümenin birleşimine eşitse, ̃ uzayına soft bağlantılı olmayan uzay ya da soft bağlantısız uzay denir. Eğer ̃ kümesi boştan farklı, soft bağlantılı iki kümenin birleşimine eşitse, ̃ uzayına soft bağlantılı uzay denir.
4.1.Örnek. En kaba soft topolojik uzay soft bağlantılı bir uzaydır.
4.2.Örnek. En ince soft topolojik uzay soft bağlantısız bir uzaydır. Gerçekten olsun. için { }, kümesi üzerinde bir soft küme olup şeklinde gösterilsin. ̃ ) ̃, ve 3.1.Teorem gereğince ̃ soft bağlantısız bir küme olduğundan soft bağlantısız bir uzaydır.
4.1.Teorem. ̃ soft topolojik uzayı verisin. Bu takdirde aşağıdaki özellikler eş değerdir:
̃ uzayı soft bağlantılı değildir,
̃ kümesi soft bağlantılı olmayan ve boş olmayan iki soft alt kümenin birleşimine eşittir,
̃ kümesi, boş olmayan soft ayrık, soft açık iki soft alt kümenin birleşimine eşittir,
̃ kümesi, boş olmayan soft ayrık, soft kapalı iki soft alt kümenin birleşimine eşittir,
̃ uzayının boş olmayan hem soft açık hem soft kapalı olan has bir alt kümesi vardır.
Ġspat. 4.1.Tanımın direkt sonucudur.
̃ olacak şekilde boştan farklı, soft bağlantılı olmayan ve soft kümeleri verilsin. ̃ ̃ olup 3.2.Sonuç gereğince ve kümeleri soft açıktır. O halde ̃ kümesi boştan farklı ayrık, soft açık iki alt kümenin birleşimine eşittir.
̃ kümesi, boştan farklı, soft ayrık, soft açık gibi iki alt kümenin birleşimine eşit olsun. ̃ ve olduğundan ̃ ve ̃ olur. Dolayısıyla ve kümeleri, aynı zamanda soft kapalı kümelerdir.
Böylece ̃ kümesi, boştan farklı, soft ayrık, soft kapalı iki soft kümenin birleşimine eşittir.
̃ kümesi, boştan farklı, soft ayrık, soft kapalı ve kümelerinin birleşimine eşit olsun. ̃ ve olduğundan ̃ olup kümesi hem soft açık hem soft kapalıdır ve boştan farklı bir has soft alt kümedir.
kümesi, ̃ kümesinin boş olmayan hem soft açık hem soft kapalı bir alt kümesi olsun. Bu durumda ̃ kümesi hem soft açık hem soft kapalı bir has alt küme olup, ̃ olur 3.1.Teorem’den ̅̅̅ ̅̅̅ elde edilir. O halde 4.1.Tanım gereğince ̃ soft bağlantısız bir uzay olur.
4.3.Örnek. { , , } ve { , } olsun. ={( ,{ }),( ,{ })},
={( ,{ })},
={( ,{ },( ,{ })} ve ={( ,{ }), ( ,{ , })} olmak üzere ̃={ , ̃, , , , }; üzerinde bir soft topoloji oluşturur. Açıktır ki ̃ uzayı soft bağlantısızdır.
4.1.Sonuç. ̃ soft topolojik uzayı verisin. Bu takdirde aşağıdaki özellikler eş değerdir:
̃ uzayı soft bağlantılıdır,
̃ kümesi, boştan farklı, soft bağlantılı iki soft alt kümenin birleşimine eşittir, ̃ kümesi, boştan farklı, soft ayrık olmayan iki soft açık alt kümenin birleşimine eşittir,
̃ kümesi, boştan farklı, soft ayrık olmayan iki soft kapalı kümenin birleşimine eşittir,
̃ uzayının hem soft açık hem soft kapalı alt kümeleri, yalnızca ̃ ve kümeleridir.
Ġspat. 4.1.Teoremin direkt sonucudur.
4.4.Örnek. reel sayılar kümesi ve sonlu bir küme olsun. kümesi üzerinde ={ :⋃ ailesi bir soft topoloji oluşturur. ( ) uzayı soft bağlantılıdır.
4.2.Teorem. ̃ soft topolojik uzayının soft bağlantılı olması için gerek ve yeter şart boştan farklı her has soft alt kümesinin sınırının boş olmamasıdır.
Ġspat. : ̃ uzayı soft bağlantılı olsun. Bir ) alt kümesi alalım. Varsayalım ki olsun. Soft sınırlılık tanımından
̅̅̅
olup ̅̅̅ elde edilir. Ayrıca, ̅̅̅ olduğundan, ̅̅̅ olup.4.1.Teorem gereğince, ̃ uzayı soft bağlantılı değildir. Bu ise bir çelişkidir. O halde ’ dir.
: ̃ kümesinin boştan faklı bir has soft alt kümesinin sınırı boş olmasın. Bu durumda, ̅̅̅ olup, ̅̅̅ olur. Dolayısıyla kümesi, hem soft açık hem soft kapalı olamaz. 4.1.Sonuç gereği ̃ soft bağlantılı bir uzaydır.
4.3.Teorem. ( ̃ ) ve ( ̃ ) soft bağlantılı uzaylar ise, ( , ̃ ̃ ) uzayı da soft bağlantılıdır.
Ġspat. ( ̃ ) ve ( ̃ ) soft bağlantılı uzaylar olsun. ( ̃ ) soft bağlantılı olduğundan,
̃ ve olacak şekilde ̃ vardır. ̃ ) da soft bağlantılı uzay olduğundan
̃ ve olacak şekilde ̃ vardır. Buradan
( ) ( ) olup,
) ( ), ̃ ̃ ) ( ) ( )
ve ) ( )’ den ( ) ̃ ve ( ) ̃ soft açık kümelerdir. Böylece ( , ̃ ̃ ) uzayı da soft bağlantılıdır.
4.4.Teorem. ( ̃ ) uzayı soft bağlantılı bir uzay olmak üzere ̃ ̃ ise ( ̃ ) uzayı da soft bağlantılıdır.
Ġspat. Varsayalım ki ( ̃ ) uzayı soft bağlantılı olmasın. 4.1.Teoremden ̃ ve olacak şekilde ̃ soft kümeleri vardır. ̃ ̃ olduğundan ̃ olup buradan ( ̃ ) uzayı soft bağlantısız olur. Bu ise bir çelişkidir. O halde ( ̃ ) soft bağlantılı bir uzay olur.
5. SOFT BAĞLANTILI ALT UZAYLAR
Bu bölümde soft topolojik uzaylar ile ilgili Shabir ve Naz (2011) tarafından yapılmış olan çalışmadan, soft alt uzay kavramının yorumlanması açısından ayrılmaktayız. Shabir ve Naz (2011) tarafından verilmiş olan tanıma benzer olarak soft alt uzay tanımını aşağıdaki gibi düzenledik. Ayrıca bu bölümden itibaren soft alt uzay tanımı için 5.1.Tanımdaki soft alt uzay tanımı kullandık.
5.1.Tanım. ̃ bir soft topolojik uzayı ve verilsin. soft kümesi üzerindeki
̃ ̃
soft topolojisine kümesi üzerinde soft alt uzay topolojisi, ( ̃ soft topolojik uzayına da ̃ uzayının soft alt uzayı denir.
5.2.Tanım. ̃ soft topolojik uzayının bir soft alt kümesi verilsin. Eğer ( ̃ alt uzayı, soft bağlantılı ise kümesine ̃ soft topolojik uzayı içerisinde soft bağlantılı küme denir.
5.1.Teorem. ̃ soft topolojik uzayı ve verilsin. soft kümesinin soft bağlantılı olması için gerek ve yeter koşul
, ,
şeklindeki her ̃ soft açık kümeleri için olmasıdır.
Ġspat. soft bağlantılı bir küme olsun. Buradan
, ve
şeklindeki herhangi ̃ soft açık kümelerini alalım. Varsayalım ki olsun. Soft kesişim işleminin dağılma özelliğinden
( ) olup, ̃ ve ̃ olduğundan, sonuç olarak
) )
elde edilir. 4.1.Teorem gereğince ̃ soft alt uzayı soft bağlantılı değildir. Bu ise, ̃ alt uzayının soft bağlantılı olmasıyla çelişir. O halde olur.
: , ve olacak şekilde her ̃ soft açık kümeleri için olsun.
olduğundan ̃ , ̃ olur. 4.1.Sonuç gereğince ̃ soft bağlantılı olup 5.2.Tanımdan soft bağlantılı bir kümedir.
5.2.Teorem. ̃ soft topolojik uzayı, boş olmayan soft ayrık, soft açık
ve alt kümelerinin birleşimine eşit olsun. kümesi ̃ uzayının soft bağlantılı bir alt kümesi ise ya da ’ dir.
Ġspat. Varsayalım ki ve olsun. ve soft kümeleri ̃ uzayında soft açık olduklarından ̃ ve ̃ olup
olduğundan
bulunur. ̃ olduğundan,
( )
elde edilir. 4.1.Teoremden ̃ alt uzayı soft bağlantılı değildir. Bu ise kümesinin soft bağlantılı olmasıyla çelişir. O halde ve buradan olur ya da ve buradan olur.
5.3.Teorem. Boştan farklı soft bağlantılı kümelerden oluşan bir ailenin arakesiti
boş değilse, bu ailenin birleşimi de soft bağlantılıdır.
Ġspat. ̃ uzayı verilsin. ̃ kümesi her için soft bağlantılı alt kümelerinin birleşimi şeklinde olsun. Varsayalım ki,
̃=
uzayı soft bağlantılı olmasın. Bu takdirde 4.1.Teorem gereğince ̃ kümesi boş olmayan, ayrık, soft açık herhangi ve alt kümelerinin birleşimi şeklindedir. 5.2.Teorem gereğince her i için, ya ya da olur. Eğer
olduğundan ̃ ve olur, Bu ise, olmasıyla çelişir. Eğer
olduğundan ̃ ve elde edilir ki bu da olmasıyla çelişir . O halde ̃ uzayı, soft bağlantılı bir uzaydır.
5.3.Tanım. ̃ soft topolojik uzayı ve alt kümesi ve kümesinde bir noktası verilsin. noktasının her komşuluğunda, kümesinin en az bir elemanı varsa, noktasına kümesinin soft kapanış noktası denir.
, kümesinin soft kapanış noktasıdır. ̃ ,
, kümesinin soft kapanış noktası değildir. ̃
5.4.Tanım. ̃ soft topolojik uzayı ve verilsin. Eğer ̅̅̅ ̃ ise kümesine ̃ uzayı içinde her yerde yoğun soft küme denir.
5.1.Lemma. ̃ soft topolojik uzayı ve verilsin. kümesi ̃ uzayında her yerde yoğun olması için gerek ve yeter koşul her boş olmayan her
soft açık kümesi için, olmasıdır.
Ġspat. ̅̅̅ ̃ olsun ve boş olmayan bir soft açık kümesi verilsin. Buradan ̃ ̃ noktası vardır Ayrıca ̃ ̃ ̅̅̅ olduğundan 5.3.Tanım gereği
elde edilir.
: Herhangi bir ̃ ̃ noktasını içeren her ̃ soft açık alt kümesi için olsun. Soft kapanış noktası tanımından, ̃ ̅̅̅ olur. Buradan
̃ ̅̅̅…….(1) olur. ̃ olduğundan,
̅̅̅ ̃ ̃̅…… elde edilir. O halde ve ifadelerinden,
̅̅̅ ̃
olup, 5.3.Tanımdan kümesi ̃ uzayında yoğun bir soft kümedir.
5.4.Teorem. Soft bağlantılı ve soft yoğun bir alt kümeye sahip olan her soft
topolojik uzay, soft bağlantılıdır.
Ġspat. ̃ soft topolojik uzayının soft bağlantılı ve yoğun bir soft alt kümesi
olsun. Varsayalım ki ̃ uzayı soft bağlantılı olmasın. Buradan 4.1.Teorem gereği ̃ ve …(1)
olacak şekilde herhangi soft açık ve soft alt kümeleri vardır. kümesi yoğun bir soft küme olduğundan ̅̅̅ ̃olup, 5.1.Lemmadanher ̃ için,
elde edilir. (1) den ̃ ve olur. Buradan
ve
elde edilir öyle ki ̃ ve ̃ dir. Böylece 4.1.Teorem den ̃ uzayı soft bağlantılı değildir. Bu ise kümesinin soft bağlantılı olmasıyla çelişir. Sonuç olarak ̃ uzayı soft bağlantılı bir uzaydır.
5.5.Teorem. ̃ bir soft topolojik uzay olsun. soft bağlantılı bir küme olmak üzere , ̃ verilsin. Eğer ve ̃ ise
dır.
Ġspat. Varsayalım ki olsun.
̃ ̃ olup, ̃ bulunur. Buradan
ve ̃
olur. Diğer taraftan ̃ olduğundan 5.1.Teorem den kümesi soft bağlantılı değildir. Bu ise kümesinin soft bağlantılı olmasıyla çelişir. Sonuç olarak
olur.
5.1.Sonuç. ̃ uzayının şeklinde iki soft alt kümesi verilsin. Bu takdirde kümesinin ̃ soft topolojisine göre soft bağlantılı olması için gerek ve yeter koşul ̃ soft topolojisine göre bağlantılı olmasıdır.
5.6.Teorem. ̃ soft topolojik uzayının soft bağlantılı bir alt kümesi verilsin. Eğer ̅̅̅ şeklindeki her soft kümesi soft bağlantılıdır.
Ġspat. Varsayalım ki soft kümesi soft bağlantılı olmasın. Bu durum da 4.1.Teorem gereği olacak şekilde boş olmayan soft ayrık, soft açık ve
soft alt kümeleri vardır. 5.2.Teorem gereğince, ya ya da olur. olsun. Buradan ̅̅̅ ̅̅̅̅ elde edilir. ̅̅̅ ̅̅̅̅ olduğundan, ̅̅̅̅ olur. 4.1.Teorem gereğince ve soft bağlantılı iki küme değildir. Yani ̅̅̅̅ ve ̅̅̅̅ dır. Böylece
, ̅̅̅̅ ve ̅̅̅̅ olduğundan olur. Bu ise olmasıyla çelişir.
olsun. Buradan ̅̅̅ ̅̅̅̅ elde edilir. ̅̅̅ ̅̅̅̅ olduğundan ̅̅̅̅ olur. 4.1.Teorem gereğince ve soft bağlantılı iki küme değildir. Yani ̅̅̅̅ ve ̅̅̅̅ dır. Böylece
, ̅̅̅̅ ve ̅̅̅̅
olduğundan olur. Bu ise olmasıyla çelişir. O halde soft kümesi soft bağlantılı bir kümedir.
5.2.Sonuç. ̃ soft topolojik uzayının soft bağlantılı bir alt kümesi verilsin. Bu takdirde ̅̅̅ kümesi de soft bağlantılıdır.
Ġspat. 5.6.Teoremden ̅̅̅ şeklindeki her kümesi, soft bağlantılıdır. ve ̅̅̅ ̅̅̅ olduğundan ̅̅̅ ̅̅̅ olup, ̅̅̅ kümesi soft bağlantılı olur.
5.7.Teorem. ̃ soft topolojik uzayının soft bağlantılı olması için gerek ve yeter koşul her , nokta çiftini içeren soft bağlantılı bir kümenin varlığıdır.
Ġspat. : ̃ soft bağlantılı uzay olduğundan, her , nokta çiftini içeren soft bağlantılı küme, kümesinin kendisidir.
: Sabit bir noktasını seçelim. Hipotezden, her noktası için, ve noktalarını içeren bir her için soft bağlantılı kümeler ailesi vardır.
̃ ve ̃ olduğundan 5.3.Teorem gereğince ̃ uzayı soft bağlantılıdır.
5.8.Teorem. Soft bağlantılı bir uzayın soft sürekli bir dönüşüm altındaki
görüntüsü de soft bağlantılıdır.
Ġspat. ̃ , ̃ soft bağlantılı uzaylar, ( ̃ ̃ soft sürekli, örten bir dönüşüm ve ̃ soft bağlantılı uzayı verilsin. Varsayalım ki ̃ soft bağlantılı bir uzay olmasın. Bu takdirde, ̃ olacak şekilde boştan farklı, soft ayrık, soft açık herhangi ve soft alt kümeleri vardır. ( dönüşümü soft sürekli olduğundan ) ̃ ve ) ̃ olur. (
dönüşümü soft örten olduğundan , ) olur. Sonuç
olarak;
Böylece ̃ ) uzayı soft bağlantılı değildir. Bu ise ̃ uzayının soft bağlantılı olmasıyla çelişir. O halde ̃ uzayı soft bağlantılı bir uzaydır.
5.5.Tanım. ̃ bir soft topolojik uzay, ̃ soft kompakt uzay ve soft kümesi ̃ uzayının soft yoğun alt kümesi olsun. Eğer ̃ uzayından ̃ soft alt uzayına bir soft homeomorfizm varsa ̃ uzayına, ̃ uzayının bir soft kompaktlaştırılması denir.
5.9.Teorem. Soft bağlantılı uzayın soft kompaktlaştırılması da soft bağlantılıdır.
Ġspat. Soft bağlantılı bir ̃ uzayının bir soft kompaktlaştırılması, ̃ uzayı olsun. Soft kompaktlaştırma tanımından ̃ uzayı, ̃ uzayının soft yoğun bir alt kümesine homeomorftur. ̃ uzayı soft bağlantılı olduğundan ̃ uzayı da soft bağlantılıdır. ̅̅̅̅ ̃ olduğundan 5.4.Teorem den ̃ de soft bağlantılı bir uzaydır.
5.10.Teorem. ̃ soft bağlantılı bir uzay olsun. Eğer ̃ ̃ ise ̃ uzayı soft bağlantılıdır.
Ġspat. Varsayalım ki ̃ uzayı soft bağlantılı olmasın. 4.1.Teorem gereği, ̃ ve
olacak şekilde herhangi , ̃ soft alt kümeleri vardır. Hipotez gereği ̃ ̃ olduğundan , ̃ olur. Buradan ̃ soft bağlantısız bit uzay olur bu ise bir çelişkidir. O halde ̃ uzayı soft bağlantılıdır.
6. SOFT BĠLEġENLER
Bir soft topolojik uzay soft bağlantılı olmadığı halde, bu uzayın bazı soft alt kümeleri soft bağlantılı olabilir. Böyle bir uzayın en büyük soft bağlantılı alt kümelerinden faydalanarak, uzayın yapısı ve özellikleri incelenebilir.
6.1.Tanım. ̃ soft topolojik uzayı ve soft bağlantılı bir soft alt kümesi verilsin. Eğer ̃ alt uzayını kapsayan ̃ uzayında daha büyük soft bağlantılı bir soft alt uzay yoksa ̃ uzayına ̃ uzayının bir soft bileşeni denir. Diğer bir ifade ile ̃ uzayının en büyük soft bağlantılı soft alt uzayına, ̃ uzayının soft bileşeni denir.
̃ soft topolojik uzayının bir soft noktasını içeren soft bileşenine noktasının soft bileşeni denir ve sembolü ile gösterilir.
6.1.Teorem. ̃ soft topoojik uzayının her bir noktasını içeren bir ve yalnız bir bileşeni vardır.
Ġspat. Varsayalım ki ve kümeleri noktasının iki soft bileşenleri olsun. kümesi noktasının soft bileşeni olduğundan ̃ ve kümesi noktasının soft bileşeni olduğundan ̃ olur. Buradan elde edilir.
6.2.Teorem. ̃ soft topolojik uzayı ve soft alt kümesi verilsin. Her ̃ için, “ aynı soft bağlantılı soft alt kümeye ait olma” bağıntısı, bir denklik bağıntısıdır.
Ġspat.
ğ ı ı ü
Şeklinde tanımlanan bağıntısının yansıma ve simetri özelliğin sağladığı açıktır. Şimdi geçişme özelliğini sağladığını gösterelim. Herhangi ̃ noktaları için, ve olsun. Bu durumda ̃ olacak şekilde bir (X,E) soft bağlantılı kümesi ve ̃ olacak şekilde bir (X,E) soft alt kümesi vardır. ̃ olduğundan 5.3.Teorem den kümesi de soft bağlantılıdır. Ayrıca ̃ olur. O halde olur. Böylece bağıntısı, bir denklik bağıntısı olur.
6.1.Sonuç. Bir soft topolojik uzayın 6.1.Teoremdeki denklik bağıntısına göre,
6.3.Teorem. Bir soft topolojik uzayın tüm soft bileşenleri, uzayın bir ayrışımını
oluşturur. Ayrıca uzayın herhangi bir soft bağlantılı alt kümesi, uzayın soft bileşenlerinden yalnızca biri tarafından kapsanır.
Ġspat. Bir ̃ soft topolojik uzayının soft bileşenleri, uzayın denklik sınıfları
olduğundan, herhangi iki denklik sınıfı ya aynıdır ya da ayrık iki soft kümedir ve bu denklik sınıflarının bileşiminin ̃ kümesine eşit olduğu açıktır. Dolayısıyla ̃ uzayının tüm soft bileşenleri, uzayın bir ayrışımını oluşturur.
̃ uzayın herhangi bir soft bağlantılı soft alt kümesini alalım. Önce, bu soft alt kümesinin ̃ uzayının soft bileşenlerinden yalnızca biri ile kesiştiğini gösterelim. Varsayalım ki kümesi, ̃ uzayının ve gibi iki soft bileşeniyle kesişsin. ̃ ve ̃ olsun. olduğundan, olur ve bu noktalar aynı soft bağlantılı kümesine ait olduğundan 6.2.Teoremden olur. Şimdi soft bağlantılı alt kümesinin ̃ uzayının soft bileşenlerinden yalnızca biri tarafından kapsandığını gösterelim. ̃ noktasını alalım. ̃ soft uzayının soft bileşenleri, uzayın bir soft ayrışımını oluşturduğundan, noktası bu soft bileşenlerden yalnızca birine aittir. Bu soft bileşeni ile gösterelim. kümesinin diğer noktaları da aynı soft bileşenine aittir, aksi takdirde kümesi yalnızca bir soft bileşenle kesişmemiş olurdu. Sonuç olarak elde edilir.
6.4.Teorem. Bir soft topolojik uzayın soft bileşenleri soft kapalıdır.
Ġspat. ̃ uzayının bir soft bileşeni kümesi ise 6.1.Tanımdan, kümesi soft bağlantılı bir kümedir. 5.2.Sonuçdan ̅̅̅ kümesi de soft bağlantılı bir kümedir. kümesi, ̃ uzayının en büyük soft bağlantılı alt kümesi olduğundan ̅̅̅ bulunur. Diğer taraftan ̅̅̅ olduğundan ̅̅̅ elde edilir. Böylece kümsi soft kapalı bir kümedir.
6.2.Sonuç. ̃ uzayının herhangi iki soft bileşeni, soft bağlantılı olmayan iki
kümedir.
Ġspat. ̃ uzayının herhangi , soft bileşenleri verilsin. Bu soft bileşenler 6.3.Teoremden soft ayrık iki kümedir. 6.4.Teoremden soft kapalı kümelerdir. 4.1.Teorem dan,
bulunur. O halde ve kümeleri, soft bağlantılı olmayan iki kümedir.
6.5.Teorem. ̃ soft topolojik uzayının hem soft açık hem soft kapalı olan soft bağlantılı alt kümeleri, bu uzayın soft bileşenleridir.
Ġspat. kümesi ̃ uzayının hem soft açık hem soft kapalı bir soft alt kümesi olsun. Soft bağlantılı her alt küme, uzayın bir soft bileşeni tarafından kapsanacağından, 6.3.Teorem gereğince olacak şekilde bir soft bileşeni vardır. Buradan,
( ) (( ̃ ) ) ( ) (( ̃ ) ) olduğundan 4.1.Teorem gereğince kümesi soft bağlantılı değildir. Bu ise kümesinin soft bileşen olasıyla çelişir. O halde elde edilir.
7. SOFT TAMAMEN BAĞLANTISIZ UZAYLAR
7.1.Tanım. ̃ bir soft topolojik uzay olmak üzere her noktaları için,
̃ ̃ ve ̃ ̃ olacak şekilde soft bağlantısızlığı varsa, ̃ uzayına soft tamamen bağlantısız uzay denir.
7.1.Örnek. En ince soft topolojik uzay ̃ soft tamamen bağlantısızdır. Soft tamamen bağlantısız uzay soft bağlantısızdır fakat tersi doğru değildir.
7.2.Örnek. 4.3.Örnek, soft bağlantısız bir uzaydır fakat soft tamamen bağlantısız
bir uzay değildir.
7.1.Teorem. Bir soft topolojik uzayın soft tamamen bağlantısız olması için
gerek ve yeter koşul bu uzayın soft bileşenlerinin tek elemanlı kümeler olmasıdır.
Ġspat. ̃ uzayı soft tamamen bağlantısız uzay olsun. Varsayalım ki
̃ uzayının bir soft bileşeni birden çok noktayı içersin. Bu durumda herhangi ̃ noktalarını alalım. ̃ uzayı soft tamamen bağlantısız olduğundan hipotez gereğince ̃ ̃ ve ̃ ̃ olacak şekilde soft bağlantısızlığı vardır. Ayrıca
, , ve
olduğundan 5.1.Teorem gereğince, kümesi soft bağlantılı değildir. Bu ise kümesinin soft bileşen olmasıyla çelişir. O halde soft bileşeni yalnızca tek nokta içerir.
̃ uzayının soft bileşenleri tek elemanlı alt kümeler olsun. ̃ uzayının soft bileşenleri, ̃ uzayının en büyük soft bağlantılı kümeleri olduğundan, her noktaları için ̃ ̃ ve ̃ ̃ olacak şekilde soft bağlantısızlığı vardır. O halde 7.1.Tanım gereğince ̃ uzayı soft tamamen bağlantısızdır.
7.1.Sonuç. Bir soft topolojik uzayın soft tamamen bağlantısız olması için gerek
ve yeter koşul boş olmayan, soft bağlantılı kümelerin tek elemanlı alt kümelerden oluşmasıdır.
7.2.Teorem. Soft tamamen bağlantısız her uzay, soft uzayıdır.
Ġspat. Soft tamamen bağlantısız bir ̃ uzayının soft bileşenleri, yalnızca tek
elemanlı alt kümelerden oluştuğundan, 6.4.Teorem gereğince ̃ uzayının soft bileşenleri sotf kapalı kümelerdir. Böylece tek bir noktadan oluşan soft kapalı bir küme olur. 2.2.13.Tanım gereğince ̃ uzayı soft uzayıdır.
7.2.Tanım. ̃ soft topolojik uzayı ve bir soft alt kümesi verilsin. Eğer ̃ soft alt uzayı soft tamamen bağlantısız ise kümesine soft bağlantısız küme denir.
7.3.Tanım. ̃ soft topolojik uzayının sahip olduğu bir özellik, bu uzayın tüm
soft alt uzaylarında da varsa, bu özelliğe soft kalıtsallık özelliği denir.
7.2.Sonuç. Soft tamamen bağlantısız uzay özelliği soft kalıtsal bir özelliktir. 7.3.Teorem. Herhangi sayıda soft tamamen bağlantısız uzayların çarpım uzayı
da soft tamamen bağlantısızdır.
Ġspat. ̃ soft tamamen bağlantısız uzayların bir ailesi verilsin.
̃=∏
üzerindeki çarpım topolojisi ̃ olsun. ̃ ̃ soft dönüşümü
için
olup soft izdüşümler soft süreklidir. kümesi ̃=∏ kümesinde soft bağlantılı olduğundan, soft bağlantılıdır. ̃ çarpan uzaylarından
her biri soft tamamen bağlantısız olduğundan, kümeleri tek elemanlı soft kümelerdir. O halde soft bağlantılı kümesi ̃ çarpım uzayının tek elemanlı soft bağlantılı kümesidir. Sonuç ̃ uzayı soft tamamen bağlantısızdır.
8. SOFT LOKAL BAĞLANTILI UZAYLAR
8.1.Tanım. ̃ soft topolojik uzayı verilsin. Her noktasının, ̃ uzayında soft bağlantılı kümelerden oluşan bir komşuluk tabanı varsa, ̃ uzayına soft lokal bağlantılı uzay denir.
8.1.Uyarı. ̃ uzayının soft lokal bağlantılı olması için gerek ve yeter koşul
her noktasının ve her ̃ komşuluğu için, ̃ olacak şekilde soft bağlantılı soft açık bir komşuluğunun varlığıdır.
8.1.Örnek. En ince soft topolojik uzay ̃ , soft lokal bağlantılıdır.
8.1.Teorem. ̃ uzayının soft lokal bağlantılı olması için gerek ve yeter koşul ̃ uzayının her soft açık alt uzayındaki her bir soft bileşeninin, ̃ uzayında soft açık olmasıdır.
Ġspat. : ̃ uzayı soft lokal bağlantılı, ̃ soft açık bir alt küme ve kümesi, ̃ alt uzayında bir soft bileşen olsun.
̃ noktasını ele alalım. ̃ uzayı soft lokal bağlantılı olduğundan, 8.1.Uyarı. gereği, olacak şekilde soft bağlantılı bir ̃ soft açık komşuluğu vardır. Böylece kümesi, ̃ soft alt uzayında, noktasını içeren soft bağlantılı bir kümedir. Diğer taraftan, kümesi ̃ soft alt uzayında soft bileşen olduğundan, olur. Soft iç nokta tanımı gereğince, ̃ elde edilir. Böylece elde edilir. olduğundan, bulunur. Sonuç olarak soft bileşeni, soft açıktır.
̃ uzayında soft açık bir ̃ soft alt uzayının her soft bileşeni soft açık iken, ̃ uzayının soft lokal bağlantılı olduğunu göstereceğiz. ̃ soft açık alt uzayına göre, noktasını içeren bileşeni soft açıktır. bileşeni soft bağlantılı olup, 8.1.Uyarı gereği ̃ uzayı soft lokal bağlantılıdır.
8.1.Sonuç. Soft lokal bağlantılı bir uzayın soft bileşenleri, hem soft açık hem
soft kapalıdır.
Ġspat. ̃ uzayı, soft lokal bağlantılı olsun. Eğer kümesi, ̃ uzayının bir soft bileşeni ise 8.1.Teorem gereği, soft bileşeni, soft açıktır. Diğer taraftan, 6.4.Teorem gereği soft kapalıdır.
8.2.Sonuç. ̃ uzayı, soft kompakt ve soft lokal bağlantılı ise bu uzayın soft
bileşenlerinin sayısı sonludur.
Ġspat. Soft kompakt ve soft lokal bağlantılı bir ̃ uzayının tüm soft
bileşenleri, bu uzayın bir ayrışımını oluşturduğundan ve soft bileşenler soft açık olduğundan, ̃ uzayının bir soft açık örtüsü elde edilir. ̃ uzayı 2.2.11.Tanım gereği soft kompakt uzay olduğundan, bu soft ayrık, soft açık örtünün sonlu bir alt örtüsü vardır. O halde ̃ uzayının soft bileşenlerinin sayısı sonludur.
8.2.Uyarı. Soft lokal bağlantılılık kavramı, soft sürekli dönüşümle korunmaz,
9. SONUÇLAR VE ÖNERĠLER
Soft topolojik uzaylar oldukça geniş bir çalışma alanına sahip olup, şüphesiz bu tez çalışması bundan sonraki araştırmalara bir fikir oluşturacaktır. Çalışma boyunca soft bağlantılı kümeler, soft bağlantısız kümeler, soft bağlantılı uzaylar, soft bağlantısız uzaylar, soft bağlantılı alt uzaylar, soft bileşenler, soft tamamen bağlantısız uzaylar, soft lokal bağlantılı uzaylar ve bunların özellikleri sabit parametreli soft kümeler üzerinde incelenmiş olup, parametreler sabit tutulmayarak ta özelliklerin sağlanıp sağlanmayacağı incelenebilir.
KAYNAKLAR
Aktaş, H. and Çağman, N., 2007, Soft sets and soft groups, Information Sciences, 177, 2726-2735.
Aygünoğlu, A. and Aygün, H., 2012, Some notes on soft topological spaces, Neural Computing and Applications, 21 (1), 113-119.
Babitha, K. V. and Sunil, J.J. 2010, Soft set relations and functions, Comput.Math.,Appl., 60, 1840-1849.
Çağman, N., Karataş, S. and Enginoğlu, S., 2011, Soft topology, Computers and Mathematics with Applications, 62, 351-358.
Çağman, N. and Enginoğlu S., 2010, Soft set theory and uni-int decion making, Europen J. Oper. Res., 207, 848-855.
Feng, F., Jun, Y. B. and Zhao, X., 2008, Soft semirings, Computers and Mathematics with Applications, 56, 2621-2628.
Hussain, S. and Ahmad, B., 2011, Some properties of soft topological spaces, Computers and Mathematics with Applications, 62, 4058-4067.
Kharal, A. and Ahmad, B., 2011, Mapping on soft classes, New Math. and Nat. Computation 7 (3), 471-481.
Maji P. K., Biswas, R. and Roy A. R., 2003, Soft set theory, Computers and Mathematics with Applications, 45, 555-562.
Majumdar, P. and Samanta, S. K., 2008, Similarity measure of soft set, New Math. Nat. Comput., 4 (1), 1-12.
Molodtsov, D., 1999, Soft set theory-first results, Computers and Mathematics with Applications, 37, 19-31.
Pawlak, Z., 1982, Rough sets, International Journal of Computer and Information Sciences, 11 (5), 341-356.
Shabir, M. and Naz, M., 2011, On soft topological spaces, Computers and Mathematics with Applications, 61, 1786-1799..
Zadeh, L. A., 1965, Fuzzy sets, Information Control, 8, 338-353.
Zorlutuna, İ., Akdag, M., Min, W. K. and Atmaca, S., 2012, Remarks on soft topological spaces, Annals of Fuzzy Mathematics and Informatics, 3 (2), 171-185. .
ÖZGEÇMĠġ KĠġĠSEL BĠLGĠLER AdıSoyadı : Zehra ER Uyruğu : T.C DoğumYeriveTarihi : Konya 02.10.1990 Telefon : 0507 136 33 48 e-mail : Matematik39@hotmail.com EĞĠTĠM
Derece Adı, Ġlçe, Ġl BitirmeYılı
Lise : ÖzelElmasLisesi, Selçuklu-Konya 2007
Üniversite : SelçukÜniversitesi, Fen Fakültesi, Selçuklu-Konya 2012 YüksekLisans : SelçukÜniversitesi , Fen BilimleriEnstitüsü 2015
UZMANLIK ALANI Topoloji
YABANCI DĠLLER: İngilizce YAYINLAR
1. Yüksel, Ş., Güzel Ergül, Z. and Güven, Z., 2014, Soft connected spaces, International Journal of Pure & Engineering Mathematics, 2 (3), 121-134. (Yüksek Lisans tezinden yapılmıĢtır)
ULUSLARARASI BĠLĠMSEL TOPLANTILARDA SUNULAN BĠLDĠRĠLER 1. Güzel Ergül, Z., Yüksel, Ş. and Güven, Z., Soft connected spaces, 2nd International
Eurasian Conference on Mathematical Sciences and Applications (IECMSA-2013), BOSNIA. (Yüksek Lisans tezinden yapılmıĢtır)
