Aynı dağılımlı olmayan sürekli tesadüfi değişkenlerin sıralı istatistiklerinin bileşik dağılımları / Joint distributions of order statistics of nonidentically distributed continuous random variables

T.C.

FIRAT ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ

AYNI DAĞILIMLI OLMAYAN SÜREKLĠ TESADÜFĠ DEĞĠġKENLERĠN SIRALI ĠSTATĠSTĠKLERĠNĠN

BĠLEġĠK DAĞILIMLARI YÜKSEK LĠSANS TEZĠ

Necmettin DĠRĠ Anabilim Dalı: Matematik

Programı: Uygulamalı Matematik TEMMUZ–2010

T.C.

FIRAT ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ

AYNI DAĞILIMLI OLMAYAN SÜREKLĠ TESADÜFĠ

DEĞĠġKENLERĠN SIRALI ĠSTATĠSTĠKLERĠNĠN

BĠLEġĠK DAĞILIMLARI

YÜKSEK LĠSANS TEZĠ Necmettin DĠRĠ

(07221102)

Anabilim Dalı: Matematik

Programı: Uygulamalı Matematik

Tez DanıĢmanı: Doç. Dr. Mehmet GÜNGÖR

Tezin Enstitüye Verildiği Tarih: 8 Haziran 2010

II T.C.

FIRAT ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ

AYNI DAĞILIMLI OLMAYAN SÜREKLĠ TESADÜFĠ

DEĞĠġKENLERĠN SIRALI ĠSTATĠSTĠKLERĠNĠN

BĠLEġĠK DAĞILIMLARI

YÜKSEK LĠSANS TEZĠ Necmettin DĠRĠ

(07221102)

Tezin Enstitüye Verildiği Tarih: 08 Haziran 2010 Tezin Savunulduğu Tarih: 07 Temmuz 2010

Tez DanıĢman : Doç. Dr. Mehmet GÜNGÖR (F.Ü) Diğer Jüri Üyeleri : Prof. Dr. Necdet ÇATALBAġ (F.Ü)

Yrd. Doç. Dr. Mahmut IġIK (F.Ü)

II

ÖNSÖZ

Bu çalışmanın planlanmasında ve yürütülmesinde çalışmalarım süresince benden destek ve ilgilerini esirgemeyen bilgi ve hoşgörülerinden yararlandığım değerli hocam sayın Doç. Dr. Mehmet GÜNGÖR’ e en içten teşekkür ve saygılarımı sunarım.

Necmettin DĠRĠ ELAZIĞ–2010

III ĠÇĠNDEKĠLER Sayfa No ÖNSÖZ ... II ĠÇĠNDEKĠLER ... III ÖZET ... IV SUMMARY ... V SEMBOLLER LĠSTESĠ ... VI 1. GĠRĠġ ... 1

1.1 Temel Tanım ve Teoremler ... 2

2. SÜREKLĠ TESADÜFĠ DEĞĠġKENLERĠN SIRALI ĠSTATĠSTĠKLERĠNĠN BĠLEġĠK DAĞILIMLARI ... 7

2.1 Bağımsız ve Aynı Dağılımlı Sürekli Tesadüfi DeğiĢkenlerin Sıralı Ġstatistiklerinin BileĢik Dağılımları ... 7

2.2 Bağımsız fakat Aynı Dağılımlı Olmayan Sürekli Tesadüfi DeğiĢkenlerin Sıralı Ġstatistiklerinin BileĢik Dağılımları ... 8

3. SONUÇLAR ... 13

KAYNAKLAR ... 17

IV ÖZET

Bu tez, üç bölümden oluşmaktadır.

Birinci bölümde, bazı temel tanım ve teoremler verilmiştir.

İkinci bölüm, iki kısımdan oluşmaktadır. Birinci kısımda, bağımsız ve aynı dağılımlı sürekli tesadüfi değişkenlerin sıralı istatistiklerinin bileşik dağılımları incelenmiştir. Bu bölümün son kısmında, bağımsız fakat aynı dağılımlı olmayan sürekli tesadüfi değişkenlerin sıralı istatistiklerinin bileşik dağılımları elde edilmiştir.

Son bölümde, bağımsız fakat aynı dağılımlı olmayan sürekli tesadüfi değişkenlerin sıralı istatistiklerinin dağılım ve olasılık yoğunluk fonksiyonları ile ilgili bazı sonuçlar verilmiştir.

Anahtar Kelimeler: Sıralı İstatistikler, Bağımsız Tesadüfi Değişkenler, Sürekli Tesadüfi Değişkenler, Bağımsız ve Aynı Dağılımlı Tesadüfi Değişkenler, Bağımsız fakat Aynı Dağılımlı Olmayan Tesadüfi Değişkenler, Dağılım Fonksiyonu, Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu, Permanent.

V SUMMARY

Joint Distributions of Order Statistics of Nonidentically Distributed Continuous Random Variables

This thesis consists of three chapters.

In the first chapter, the fundamental definitions and theorems are given.

The second chapter consists of two sections. In the first section, the joint distributions of order statistics of independent and identically distributed continuous random variables are examined. In the last section of this chapter, the distributions of order statistics of independent but not necessarily identically distributed continuous random variables are obtained.

In the last chapter, the some results related to the distribution and probability density functions of order statistics of independent but not necessarily identically distributed continuous random variables are given.

Key Words: Order Statistics, Independent Random Variables, Continuous Random Variables, Independent and Identically Distributed Random Variables, Independent but not Necessarily Identically Distributed Random Variables, Distribution Function, Probability Density Function, Permanent.

VI

SEMBOLLER LĠSTESĠ

F : Dağılım fonksiyonu

f : Olasılık yoğunluk fonksiyonu



3 2 1 2 , ,..., , ,..., m m n m m m_d :

  

   n r m m r m m r m d d 3 2 2 2 1 1 ...



3 2 1 2 , ,..., , ,..., m m n t t t_d :

  

   n m t m m t m m t d d 3 2 2 2 1 1 ...



1, 1 ,..., , ,..., 2 3 1 2 r r n t t t_d :

  

     n r t r r t r r t d d 1 1 3 2 2 2 1 1 .. . ] ... a a [ 2 1 2 1 i i

: a₁,a₂,... kolon vektörleri olmak üzere, a ’in ₁ i defa, ₁ a ’nin ₂ i defa … ₂

alınması ile oluşturulan matris

) [ ] A

[ s/ : sN olmak üzere, indisleri s’de olan satırların alınması ile A’dan oluşturulan matris

s

1. GĠRĠġ

Sıralı istatistikler, istatistik teorisinde oldukça önemli bir yere sahiptir. Çünkü; sıralı istatistiklerin dağılımları, örneklemin alındığı dağılımdan bağımsızdır.

Bağımsız ve aynı dağılımlı sürekli bir anakütleden gelen sıralı istatistikler için sağlanan bazı bağıntılar, Arnold vd. [1], David [2] ve Reiss [3] tarafından elde edilmiştir. Arnold vd. [1], bağımsız fakat aynı dağılımlı olmayan sürekli tesadüfi değişkenlerin sıralı istatistiklerinin bileşik olasılık yoğunluk ve dağılım fonksiyonlarını elde etmişlerdir. Cao ve West [4], bağımsız fakat aynı dağılımlı olmayan sürekli bir anakütleden gelen sıralı istatistiklerin dağılımları için bağıntılar vermişlerdir. Corley [5], sürekli çok değişkenli tesadüfi değişkenlerin farklı anlamlarda sıralı istatistiklerini tanımlamıştır. Vaughan ve Venables [6], permanent yardımıyla bağımsız fakat aynı dağılımlı olmayan sürekli tesadüfi değişkenlerin sıralı istatistiklerinin olasılık yoğunluk fonksiyonlarını ifade etmişlerdir. Balakrishnan [7] ve Bapat ve Beg [8], permanent yardımıyla bağımsız fakat aynı dağılımlı olmayan sürekli tesadüfi değişkenlerin sıralı istatistiklerinin olasılık yoğunluk ve dağılım fonksiyonlarını elde etmişlerdir.

Bu çalışmada; bağımsız fakat aynı dağılımlı olmayan sürekli tesadüfi değişkenlerin sıralı istatistiklerinin bileşik dağılımları, permanent yardımıyla farklı şekillerde ifade edilmiştir.

2 1.1 Temel Tanım ve Teoremler

Tanım 1.1.1 X tesadüfi değişkeni, bir aralıkta ya da birden çok aralıkta her değeri alabiliyorsa X ’e sürekli tesadüfi değişken denir [9].

Tanım 1.1.2 X, (,) aralığında tanımlanan sürekli bir tesadüfi değişken olsun. Aşağıdaki koşulları sağlayan f fonksiyonuna, X tesadüfi değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu denir. 1. f(x)0, 2.



   1 ) (x dx f .

X tesadüfi değişkeninin a ve b arasında bulunma olasılığı,



    b a R b a dx x f b X a P{ } ( ) , , ab

eşitliği ile ifade edilir. Sürekli X tesadüfi değişkeninin belli bir x değerini alması olasılığı, sıfırdır. Yani, P(X  x)0’dır [9].

Tanım 1.1.3 X, olasılık yoğunluk fonksiyonu f olan sürekli bir tesadüfi değişken olsun.

Herhangi bir x reel değeri için X ’in dağılım fonksiyonu,



     x dt t f x X P x F( ) { } ( )

eşitliği ile ifade edilir [9].

Tanım 1.1.4 X₁,X₂,...,X_n, n tane tesadüfi değişken olsun. Eğer X₁,X₂,...,X_n’ lerin

meydana gelme sırası değil, büyüklüklerinin sırası gözönüne alınırsa n birimli bir örneğin sıralı istatistikleri; n n n n X X X_1:  _2: ... _:

3

n r

X _: ’ye, r. sıralı istatistik (r =1,2,…, n) ve (X_1:n,X_2:n,...,X_n:n) tesadüfi vektörüne de sıralı istatistikler denilir. X1:n, örneğin minimumu ve Xn:n, örneğin maksimumudur.

Bundan dolayı, ) min( 1 2 1:n X ,X ,...,Xn X  ve ) max( _{1 2 n} n : n X ,X ,...,X X  yazılabilir [3].

Teorem 1.1.1 x₁x₂ ...x_n  olmak üzere bağımsız ve aynı dağılımlı sürekli

bir anakütleden gelen X1:n,X2:n ,... ,Xn:n’nin bileşik olasılık yoğunluk fonksiyonu,



  n i i n n n x x x n f x f 1 2 1 : ,..., 2 , 1 ( , ,..., ) ! ( ) şeklinde verilir [10].

Teorem 1.1.2 Bağımsız ve aynı dağılımlı sürekli bir anakütleden gelen X_r:n’nin olasılık

yoğunluk fonksiyonu, 1rn ve x olmak üzere

) ( )] ( 1 [ )] ( [ )! ( )! 1 ( ! ) ( 1 : F x F x f x r n r n x f_rn r  nr    şeklinde verilir [2].

Teorem 1.1.3 Bağımsız ve aynı dağılımlı sürekli bir anakütleden gelen X_r:n ve X_s:n’nin

4 )] ( ) ( [ )] ( [ )! ( )! 1 ( )! 1 ( ! ) , ( 1 1 : ,    _      r s r n s r F x F y F x s n r s r n y x f .[1F(y)]ns f(x)f(y) şeklinde verilir [2].

Teorem 1.1.4 1d n _ve 0r₀r₁r₂ ...r_d r_d1n1 _{olsun. Bağımsız ve}

aynı dağılımlı sürekli bir anakütleden gelen _{rn r n r n} d X ,..., X , X _{: : :} 2

1 ’nin bileşik olasılık

yoğunluk fonksiyonu,





           1  1 1 1 1 1 2 1 : 1)! ( )] ( ) ( [ ) ( ! ) ,..., , ( 1 2 1 d i i i r r i i d i i d n r ,..., r , r r r x F x F x f n x x x f i i d , d x x x1  2 ...

şeklinde verilir. Burada, F(x₀)0 ve F(xd1)1’dir [3].

Teorem 1.1.5 Bağımsız ve aynı dağılımlı sürekli bir anakütleden gelen Xr:n’nin

dağılım fonksiyonu, x olmak üzere

} { ) ( _: : x P X x F_rn  _rn  m n m n r m x F x F m n _         



( )[1 ( )] şeklinde verilir.

Özel olarak; X_1:n ve X_n:n’nin dağılım fonksiyonları, sırasıyla

n n x F x F1: ( )1[1 ( )] ve ) ( ) ( : x F x Fnn  n

5

Tanım 1.1.5 Permanent; açılımındaki bütün terimlerin işaretlerinin pozitif olması hariç, determinantla aynıdır.

Mesela; mertebesi 2 olan bir A karesel matrisinin permanenti,

perA = per _      d c b a = a.d+b.c

şeklinde ifade edilir [6].

Teorem 1.1.6 Bağımsız fakat aynı dağılımlı olmayan sürekli bir anakütleden gelen

n r

X _: ’nin olasılık yoğunluk fonksiyonu, x olmak üzere

] ) ( F 1 ) ( f ) ( F [ )! ( )! 1 ( 1 ) ( 1 1 : r n r-n r per x x x r n r x f      (1.1)

şeklinde verilir [6]. Burada; F(x)(F₁(x),...,F_n(x)), 1-F(x)(1F₁(x),...,1F_n(x)) ve

) ) ( ..., ), ( ( ) (

f x  f1 x fn x  kolon vektörleridir. Ayrıca; (1.1)’deki permanent açılırsa,







       P r a n r b i i i n r F x f x F x r n r x f b r a 1 1 1 : ( ) ( ) [1 ( )] )! ( 1)! ( 1 ) (

ifadesi elde edilir. Burada;



P

, (1,2,…,n)’nin bütün (i₁,i₂,...,i_n) permütasyonları

üzerinden toplamı göstermektedir [11].

Teorem 1.1.7 Bağımsız fakat aynı dağılımlı olmayan sürekli bir anakütleden gelen Xr:n

ve X_s:n’nin bileşik olasılık yoğunluk fonksiyonu, 1rsn ve x y olmak üzere ] ) ( F 1 ) ( f ) ( F ) ( F ) ( f ) ( F [ ! ) , ( 1 1 1 1 : , : , s n r s r-n s r n s r per x x y x y y n C y x f      (1.2)

6 şeklinde verilir. Burada;

)! ( )! 1 ( )! 1 ( ! : , s n r s r n Crsn      ve F x( ), f x( ), F(y)F(x), ), (

f y 1F(y) kolon vektörleridir [12]. Ayrıca; (1.2)’deki permanent açılırsa,



       P r a i i n s r F x f x s n r s r y , x f r a 1 1 : , ( ) ( ) )! ( 1)! ( 1)! ( 1 ) ( .





       n s c i i s r b i i y F x f y F y F c s b b 1 1 1 )] ( [1 ) ( )] ( ) ( [

ifadesi elde edilir [11].

Teorem 1.1.8 Bağımsız fakat aynı dağılımlı olmayan sürekli bir anakütleden gelen

n r

X _: ’ nin dağılım fonksiyonu, x olmak üzere

] ) ( F 1 ) ( F [ )! ( ! 1 ) ( : m n m n r m n r per x x m n m x F     



7

2. SÜREKLĠ TESADÜFĠ DEĞĠġKENLERĠN SIRALI ĠSTATĠSTĠKLERĠNĠN BĠLEġĠK DAĞILIMLARI

Bu bölümde önce, bağımsız ve aynı dağılımlı sürekli tesadüfi değişkenlerin sıralı istatistiklerinin bileşik dağılım ve olasılık yoğunluk fonksiyonları verilecektir. Daha sonra, bağımsız fakat aynı dağılımlı olmayan sürekli tesadüfi değişkenlerin sıralı istatistiklerinin bileşik dağılım ve olasılık yoğunluk fonksiyonları ile ilgili teoremler verilecektir.

2.1 Bağımsız ve Aynı Dağılımlı Sürekli Tesadüfi DeğiĢkenlerin Sıralı Ġstatistiklerinin BileĢik Dağılımları

n

X X

X₁, ₂,..., , dağılım fonksiyonu F ve olasılık yoğunluk fonksiyonu f ’ye sahip bağımsız ve aynı dağılımlı sürekli tesadüfi değişkenler olsun.

n r r r    _d   ... 1 _{1 2} , d =1, 2,…, n olmak üzere _{r n r n r n} d X X X _: , _: ,..., _: 2

1 ’nin bileşik dağılım

fonksiyonu, x F x F C n x ,..., x , x F d w m m w w m , m ,..., n m , m ,..., m d n r ,..., r , r w w d d





       1 1 1 2 1 : 1 2 3 1 2 2 1 ( ) ! [ ( ) ( )] , x1x2...xd

olarak ifade edilir. Burada; 1

1 1 1)!] ( [    



  d w w w m m C , F(x0)0, F(xd1)1, m0 0, n m_d1 ve x_wR’dir. n r n r n r X X d X _: , _: ,..., _: 2

1 ’nin bileşik olasılık yoğunluk fonksiyonu,

x F x F x f D n x ,..., x , x f d w r r w w d w w d n r ,..., r , r w w d





         1 1 1 1 1 2 1 : 1 2 1 ( ) ! ( ) [ ( ) ( )]

olarak ifade edilir. Burada; 1

1 1 1 1)!] ( [    



   d w w w r r D , r0 0 ve rd1 n1’dir.

8

2.2. Bağımsız fakat Aynı Dağılımlı Olmayan Sürekli Tesadüfi DeğiĢkenlerin Sıralı Ġstatistiklerinin BileĢik Dağılımları

n

X X

X₁, ₂,..., ,bağımsız fakat aynı dağılımlı olmayan sürekli tesadüfi değişkenler olsun.

i

X (i=1,2,…,n) tesadüfi değişkeninin dağılım fonksiyonu F_i ve olasılık yoğunluk

fonksiyonu f olsun. _i n r r r    d   ...

1 1 2 , d =1, 2,…, n olmak üzere Xr₁:n,Xr₂:n,...,Xr_d:n’nin bileşik dağılım

fonksiyonu, aşağıdaki şekilde verilebilir.

Teorem 2.2.1







                d w w w w w t m m m n t t t m m n m m m d n r r r m t m m C x x x F d w w w d d d 1 1 ) ( , ,..., , ,..., , ,..., , ,..., 2 1 : ,..., , 1 1 2 3 1 2 2 3 1 2 2 1 ( , ,..., ) ( 1) , .) / ][ ) ( F [ )! ( . 1 ,..., , _{2 1} 1 1 1 1







   _       d d s n t m s s sd w w w w n d w w t t m m w n n n d d m per x s t x₁x₂...x_d. (2.2.1)

Burada; F(xw)(F1(xw),F2(xw),...,Fn(xw))(w=1,2,…,d+1) kolon vektörleri,



1 2 1,s,...,sd s n n n ,  

 _için s_

_

s_  olmak üzere



1 1   d w w

s üzerinden toplamı ifade etmektedir. Ayrıca,



d w w s s 1   , ns_w mw1mw1tw tw1 ve t0 m1’dir. Ġspat. } ,..., , { ) ,..., , ( 1 2 : 1 : 2 : : ,..., ,_{2 1 2} 1r r n d rn rn r n d r x x x P X x X x X x F d d     (2.2.2) eşitliği yazılabilir. (2.2.2),



 3 2 1 2 2 1 : ( 1 2 ) A m , m ,..., n m , m ,..., m d n r ,..., r , r d d x,x ,...,x C per F (2.2.3)

9

olarak ifade edilebilir. Burada, A [F( ) F( ) F( )...1 F( )]

1 2 1 1 2 1 d m n d m m m x x x x    

 karesel bir matristir.

Ayrıca, F(x_w)F(x_w1)(F₁(x_w)F₁(x_w1),F₂(x_w)F₂(x_w1),...,F_n(x_w)F_n(x_w1)) kolon vektörleri, F_i(x₀)0 ve F_i(x_d1)1’dir. Permanentin özelliklerinden, ] ) ( F 1 ) ( F ) ( F ... ) ( F ) ( F ) ( F ) ( F ) ( F [ A 1 2 3 1 2 1 1 2 3 1 2 1 d d d n m d m m d d m m m m m x x x x x x x x per per           







                                     2 1 1 1 1 2 2 3 2 2 2 3 0 1 1 2 0 2 2 3 0 ) 1 ( ) 1 ( ... ) 1 ( m m t t m m m m t t m m m n t d d t m n t m m t m m t m n d d d d . 1 1 2 2 3 1 2 )] ( F ... 1 ) ( F ) ( F [ _{1 2}         d _{n md td td} d t t t m m t m x x x per

  







                      d d s d d w w m n t m m t m m t n n t d d w w w w t m n t t m m 0 0 0 1 1 2 3 2 1 2 1 1 1 ! ) 1 ( ... . [F( ) F( ) ... F( ) ][ /.) 1 1 2 2 3 1 2 2 1 x x s x per d d d t t m n d t t m m t m       





  

                                d w n m t t d t t m m m t m m t n n d d w w w w n m t m m t m m t t m s x x x per m t m t m m d d d d d s d d d w w w 1 2 1 1 ) ( .) / ][ ) ( F ... ) ( F ) ( F [ )! ( ) 1 ( ... 1 1 2 1 3 1 1 2 3 2 2 2 1 1 1 1







  

                        d w n n t m n n n d d w w w w n m t m m t m m t t m d d s s s sd d d d w w w m t m t m m 1 , ,..., 1 ) ( 1 2 1 3 2 2 2 1 1 1 1 )! ( ) 1 ( ... . [ F( ) ][ /.) [ F( ) ][ /.) ... [ F( ) ][ /.) 1 1 1 2 1 3 1 1 2 2 2 1 1 d t t m n d t t m m m t m s x per s x per s x per d d d        



 





                            d d s s s sd w w w w d w w w d n nt m n n n d w w t t m m w d d d w w w w w t m m m n t t t s x per m t m t m m 1 2 1 1 1 1 1 1 2 3 1 2 1 , ,..., 1 1 ) ( , ,..., , ,..., .) / ][ ) ( F [ )! ( ) 1 ( (2.2.4)

yazılabilir. Burada, 1(1,1,...,1) kolon vektörüdür. (2.2.4), (2.2.3)’de yerine yazılırsa (2.2.1) elde edilmiş olur.

10

Yukarıdaki teoremde; bağımsız fakat aynı dağılımlı olmayan sürekli tesadüfi değişkenlerin sıralı istatistiklerinin bileşik dağılım fonksiyonu, permanent kullanılarak verilmiştir. n r n r n r X X d X _: , _: ,..., _: 2

1 ’nin bileşik olasılık yoğunluk fonksiyonu, aşağıdaki şekilde

verilebilir. Teorem 2.2.2



 



                   1 , 1 ,..., , ,..., 1 1 ) ( 2 1 : ,..., , 2 3 1 2 1 1 2 1 1 ) 1 ( ) ,..., , ( r r n t t t d w w w w w t r d d n r r r d w d w w d _{t r} r r D x x x f .



 

             d d t d w w w w w r n n n n n d w n w w w t t r r w d d r per x per x t s s1, s2,...,s 1 1 1 1 1 1 1 .) / ][ ) ( f [ .) / [ ] ) ( F [ )! (    . (2.2.5)

Burada, F(xw)(F1(xw),F2(xw),...,Fn(xw)), f(xw)(f1(xw),f2(xw),...,fn(xw)) kolon vektörleri,



d w w 1   s s , sN,  için s_



s_ , _w  _w _w, n r_w1r_w1t_wt_w1 w s s 

_

 , 1 1 0 r  t , n_w rw_1rw_1 1twtw_1 ve n_w 1’dir. Ġspat. } {x1 Xr₁:n x1 δx1 ,x2 Xr₂:n x2 δx2 ,... ,xd Xr:n xd δxd P d          (2.2.6)

ifadesini gözönüne alalım.

(2.2.6), 1 d w w x  



bölünür ve  x₁, x₂,...,x_d’ler sıfıra götürülürse, aşağıdaki eşitlik elde

edilir. B ) ( 1 2 : 2 1 x ,x ,...,x Dper fr,r,...,r_dn d  . (2.2.7)

11 Burada, B [F( ) f( ) F( ) F( ) f( )...f( ) 1 F( )] 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 n rd d d r r r x x x x x x x       

karesel bir matristir.

Permanentin özelliklerinden, ] ) ( F 1 ) ( f ... ) ( f ) ( F ) ( F ) ( f ) ( F [ B 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 n rd d d r r r x x x x x x x per per       







                                           1 0 1 1 2 1 1 0 2 2 3 1 0 1 2 1 1 1 2 2 3 2 2 2 3 1 _{( 1)} 1 ) 1 ( ... ) 1 ( r r t t r r r r t t r r r n t d d t r n t r r t r r t r n d d d d . [F( ) f( ) F( ) f( ) ... f( ) 1 F( ) ] 1 1 2 2 3 1 2 1 1 2 1 2 1 1 2 1           d n rd td td d t d t t r r t r x x x x x x per



  

                         d w w w w t d r n r n t r r t r r t t r r d w w d d 1 1 1 0 1 0 1 0 1 ) 1 ( ... 1 1 2 3 2 1 2 1 . ! [F( ) F( ) ... F( ) f( ) f( )...f( )][ /.) 1 1 2 1 1 1 2 2 1 1 1 2 2 3 1 2 s s d t t r n d t t r r t r t n n d per x x x x x x t d d d d           



 



                        n r t r r t r r t d w w w w w t r d d d w d w w r t r r 1 1 1 1 ) ( 3 2 2 2 1 1 1 1 1 ) 1 ( ... . ( )! [ F( ) F( ) ... F( ) f( ) f( )...f( )][ /.) 1 1 2 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 1 3 1 1 2 s s d t t r n d t t r r t r r t r n n d d r per x x x x x x t d d d d d            



 )! ( 1 ) 1 ( ... 1 1 1 1 ) ( 3 2 2 2 1 1 1 1 d d t r n n n r t r r t r r t d w w w w w t r d r t r t r r d d d d w d w w             

  





               s



1            2 1, ,..., 2 1 1 3 1 2 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 1) f( )][ /.) [ F( ) f( )][ /.)... [ F( ) f( )][ /.) ( F [ . d d d d n n n d d t t r n d t t r r t r r x x per x x per x x per s s s s s s

12



 



                            d d d d w d w w t r n n d d n r t r r t r r t d w w w w w t r d r t r t r r s )! ( 1 ) 1 ( ... 1 1 1 1 ) ( 3 2 2 2 1 1 1 1

 

1      2 1, ,..., 1 1 1 1 1 1 .) / ][ ) ( f ) ( F [ . d w w w w n n n d w w w t t r r w x x per s s s s

  





                            d d d d w d w w t r n n d d n r t r r t r r t d w w w w w t r d r t r t r r s )! ( 1 ) 1 ( ... 1 1 1 1 ) ( 3 2 2 2 1 1 1 1 .

 

        1 2 1, ,..., 1 1 1 1 1 1 ) . / ][ ) ( f [ .) / [ ] ) ( F [ d w w w w w n n n d w n w w w t t r r w per x x per s s s    (2.2.8)

yazılabilir. (2.2.8), (2.2.7)’de yerine yazılırsa (2.2.5) elde edilmiş olur.

Yukarıdaki teoremde; bağımsız fakat aynı dağılımlı olmayan sürekli tesadüfi değişkenlerin sıralı istatistiklerinin bileşik olasılık yoğunluk fonksiyonu, permanent kullanılarak verilmiştir.

13 3. SONUÇLAR

Bu bölümde, bağımsız fakat aynı dağılımlı olmayan sürekli bir anakütleden gelen

n r n r n r X X d X _: , _: ,..., _: 2

1 ’nin dağılım ve olasılık yoğunluk fonksiyonları ile ilgili bazı sonuçlar

verilecektir.

Aşağıdaki sonuçta, bağımsız fakat aynı dağılımlı olmayan sürekli tesadüfi değişkenlerin

r. sıralı istatistiğinin dağılım fonksiyonu verilecektir.

Sonuç 3.1







       _            m t n n n t m n r m n m t t n n r s s x per m t m t m n m n m x F ( 1) ( )! [F( )][ /.) )! ( ! 1 ) ( : . (3.1)

Ġspat. (2.2.1)’de d 1 alınırsa, (3.1) elde edilir.

Sonuç 3.1’den bağımsız ve aynı dağılımlı sürekli tesadüfi değişkenlerin r. sıralı istatistiğinin dağılım fonksiyonu,





                    n r m n m t t n t n m n r F x m t m n x F m n x F: ( ) [ ( )] ( 1) [ ( )]

olarak elde edilir.

Sonuç 3.2 ve Sonuç 3.3’de; bağımsız fakat aynı dağılımlı olmayan sürekli tesadüfi değişkenlerin sırasıyla, minimum ve maksimumunun dağılım fonksiyonları verilecektir. Sonuç 3.2 .) / ][ ) ( F [ ! ) 1 ( ! 1 1 ) ( 0 : 1 t per x s t n n x F t n t n n n t t n n s    





 _ _   . (3.2)

14 Ġspat. (3.1)’de r1 alınırsa, (3.2) elde edilir.

Sonuç 3.3 ] ) ( F [ ! 1 ) ( : n n n per x n x F  . (3.3)

Ġspat. (3.1)’de rn alınırsa, (3.3) elde edilir.

Sonuç 3.2 ve Sonuç 3.3’den bağımsız ve aynı dağılımlı sürekli tesadüfi değişkenlerin minimum ve maksimumunun dağılım fonksiyonları sırasıyla,



            n t t n t n n F x t n x F 0 : 1 ( ) 1 ( 1) [ ( )] ve n n n x F x F_: ( )[ ( )]

olarak elde edilir.

Aşağıdaki sonuçta, bağımsız fakat aynı dağılımlı olmayan sürekli tesadüfi değişkenlerin

r. sıralı istatistiğinin olasılık yoğunluk fonksiyonu verilecektir.

Sonuç 3.4 ) ( : x frn







          _{ }             t r n n n n r t n r t n r t t n /. x per / x per r t r t r n r n r _s 1 1 1 ) [ ] ) ( f [ .) [ ] ) ( F [ )! ( ) 1 ( )! ( )! 1 ( 1    . (3.4)

15

Sonuç 3.4’den bağımsız ve aynı dağılımlı sürekli tesadüfi değişkenlerin r. sıralı istatistiğinin olasılık yoğunluk fonksiyonu,

) ( )] ( [ 1) ( )] ( [ )! ( 1)! ( ! ) ( 1 : F x f x r t r n x F n-r r-n x f n r t t n t n r n r



    _         

olarak elde edilir.

Sonuç 3.5 ve Sonuç 3.6’da; bağımsız fakat aynı dağılımlı olmayan sürekli tesadüfi değişkenlerin sırasıyla, minimum ve maksimumunun olasılık yoğunluk fonksiyonları verilecektir. Sonuç 3.5 ) ( : 1 x f n







        _{ }            t n n n n t n t n t t n /. x per x per t t n n 1 1 1 ) [ ] ) ( f [ .) / [ ] ) ( F [ )! 1 ( 1 1 ) 1 ( )! 1 ( 1 s    . (3.5)

Ġspat. (3.4)’de r1 alınırsa, (3.5) elde edilir.

Sonuç 3.6 ) ( : x f_nn [F( )][ /.) [f( )][ ) )! 1 ( 1 1 1 1 /. x per x per n _{n n} n         



. (3.6) Ġspat. (3.4)’de rn alınırsa, (3.6) elde edilir.

Sonuç 3.5 ve Sonuç 3.6’dan bağımsız ve aynı dağılımlı sürekli tesadüfi değişkenlerin minimum ve maksimumunun olasılık yoğunluk fonksiyonları sırasıyla,

16 ) ( )] ( [ 1) ( 1 1 ) ( 1 : 1 F x f x t n n x f n t t n t n n



             ve ) ( )] ( [ ) ( 1 : x n F x f x f_nn  n

KAYNAKLAR

[1] Arnold, B. C., Balakrishnan, N. and Nagaraja, H. N., 1992. A first course in order statistics, John Wiley and Sons Inc., New York.

[2] David, H. A., 1981. Order statistics, John Wiley and Sons Inc., New York.

[3] Reiss, R. D., 1989. Approximate distributions of order statistics, Springer, Verlag, New York Inc., USA.

[4] Cao, G. and West, M., 1997. Computing distributions of order statistics,

Communications in Statistics Theory and Methods, 26, 755-764.

[5] Corley, H. W., 1984. Multivariate order statistics, Commun. Statist.- Theor. Meth., 13, 1299-1304.

[6] Vaughan, R. J. and Venables, W. N., 1972. Permanent expressions for order statistics densities, Journal of the Royal Statistical Society, Ser. B, 34, 308-310.

[7] Balakrishnan, N., 2007. Permanents, order statistics, outliers and robustness, Rev.

Mat. Complut., 20,7-107.

[8] Bapat, R. B. and Beg, M. I., 1989. Order statistics for nonidentically distributed variables and permanents, Sankhyā, Ser. A, 51, 79-93.

[9] Akdeniz, Fikri, 2002. Olasılık ve istatistik, Baki Kitabevi, Adana.

[10] Balakrishnan, N. and Cohen, A. C., 1991. Order statistics and inference, Academic Press, Inc., San Diego.

[11] Balakrishnan, N., 1994. On order statistics from non-identical right truncated exponential random variables and some applications, Commun.

Statist.-Theory Meth., 23, 3373-3393.

[12] Beg, M. I., 1991. Recurrence relations and identities from product moments of order statistics corresponding to nonidentically distributed variables,

Sankhyâ, Ser.A, 53, 365-374.

[13] Barakat, H. M. and Abdelkader, Y. H., 2004. Computing the moments of order statistics from nonidentical random variables, Statistical Methods and

II ÖZGEÇMĠġ

1978 yılında Diyarbakır’da doğdum. İlk, orta ve lise öğrenimimi Diyarbakır’da tamamladıktan sonra 1997 yılında Dicle Üniversitesi Fen-Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümünü kazandım. 2001 yılında bu bölümden mezun oldum. 2001 yılında MEB’de Matematik Öğretmeni olarak göreve başladım. Halen aynı görevi sürdürmekteyim. 2008 yılında Fırat Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsünün açmış olduğu Matematik Anabilim Dalının Uygulamalı Matematik Programında tezli yüksek lisansa başladım.