Kesirli integralleri içeren hardy tipli eşitsizlikler

T.C.

DÜZCE ÜNİVERSİTESİ

FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

KESİRLİ İNTEGRALLERİ İÇEREN HARDY TİPLİ

EŞİTSİZLİKLER

Candan CAN BİLİŞİK

YÜKSEK LİSANS TEZİ

MATEMATİK ANABİLİM DALI

DANIŞMAN

PROF. DR. MEHMET ZEKİ SARIKAYA

T.C.

DÜZCE ÜNİVERSİTESİ

FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

KESİRLİ İNTEGRALLERİ İÇEREN HARDY TİPLİ

EŞİTSİZLİKLER

Candan CAN BİLİŞİK tarafından hazırlanan tez çalışması aşağıdaki jüri tarafından Düzce Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı’nda YÜKSEK

LİSANSTEZİ olarak kabul edilmiştir. Tez Danışmanı

Prof. Dr. Mehmet Zeki SARIKAYA Düzce Üniversitesi

Jüri Üyeleri

Prof. Dr. Mehmet Zeki SARIKAYA

Düzce Üniversitesi _____________________ Yrd. Doç. Dr. Uğur ULUSU

Afyon Kocatepe Üniversitesi _____________________

Yrd. Doç. Dr. Fuat USTA

Düzce Üniversitesi _____________________

BEYAN

Bu tez çalışmasının kendi çalışmam olduğunu, tezin planlanmasından yazımına kadar bütün aşamalarda etik dışı davranışımın olmadığını, bu tezdeki bütün bilgileri akademik ve etik kurallar içinde elde ettiğimi, bu tez çalışmasıyla elde edilmeyen bütün bilgi ve yorumlara kaynak gösterdiğimi ve bu kaynakları da kaynaklar listesine aldığımı, yine bu tezin çalışılması ve yazımı sırasında patent ve telif haklarını ihlal edici bir davranışımın olmadığını beyan ederim.

08 Ocak 2018

TEŞEKKÜR

Yüksek lisans öğrenimimde ve bu tezin hazırlanmasında gösterdiği her türlü destek ve yardımdan dolayı çok değerli hocam Prof. Dr. Mehmet Zeki SARIKAYA’ ya en içten dileklerimle teşekkür ederim.

Bu çalışma boyunca yardımlarını ve desteklerini esirgemeyen sevgili aileme ve çalışma arkadaşlarıma sonsuz teşekkürlerimi sunarım.

Bu tez çalışması, Düzce Üniversitesi BAP-2017.05.04.533 numaralı Bilimsel Araştırma Projesiyle desteklenmiştir.

08 Ocak 2018 Candan CAN BİLİŞİK

İÇİNDEKİLER

Sayfa No

İÇİNDEKİLER... V

KISALTMALAR VE SİMGELER ... Vİ

ÖZET ... Vİİ

ABSTRACT ... Vİİİ

1.

GİRİŞ ... 1

1.1. AMAÇ VE KAPSAM ... 1 1.2. GENEL KAVRAMLAR ... 4

2.

KESİRLİ

İNTEGRALLERİ

İÇEREN

HARDY

TİPLİ

EŞİTSİZLİKLER ... 22

2.1. OPİAL EŞİTSİZLİKLERİ YARDIMIYLA KESİRLİ İNTEGRALLER İÇEREN YENİ HARDY TİPLİ EŞİTSİZLİKLER ... 22

2.2. k-KESİRLİ İNTEGRALLER YARDIMIYLA HARDY TİPLİ EŞİTSİZLİKLER ... 28

3. SONUÇLAR VE ÖNERİLER ... 33

4. KAYNAKLAR ... 34

KISALTMALAR VE SİMGELER

a={a } _n Reel Terimli Dizi

h Kesikli Hardy Operatörü

H Sürekli Hardy Operatörü

I Reel Sayılarda Bir Aralık

R Reel Sayılar  Gamma Fonksiyonu  Beta Fonksiyonu k  k- Gamma fonksiyonu k  k- Beta Fonksiyonu '

F F Fonksiyonunun Birinci Mertebe Türevi

p

p L

l , Ölçülebilir f fonksiyonlarından oluşan

Lebesque Uzayları

 

ab

L₁ , [a, b] Aralığında İntegrallenebilir

Fonksiyonların Kümesi )

(x

f J_a



Riemann-Liouville Sağ Taraflı Kesirli

İntegral ) (x f J b  



Riemann-Liouville Sol Taraflı Kesirli

İntegral ) ( , x f

J_ak  mertebeli k-Riemann-Liouville Kesirli

ÖZET

KESİRLİ İNTEGRALLERİ İÇEREN HARDY TİPLİ

EŞİTSİZLİKLER

Candan CAN BİLİŞİK Düzce Üniversitesi

Fen Bilimleri Enstitüsü, Matematik Anabilim Dalı Yüksek Lisans Tezi

Danışman: Prof. Dr. Mehmet Zeki SARIKAYA Ocak 2018, 36 sayfa

Kesirli türev ve kesirli integral kavramları ilk olarak Liouville tarafından ortaya atılan “türev ve integraller sadece tamsayılar için mi vardır?” sorusuna aranan yanıtla ortaya çıkmıştır. Kesirli türev tanımıyla ilk olarak Euler ilgilenmiştir. Daha sonra sırasıyla Leibniz, Lagrange, Abel, Liouville ve diğer birçok matematikçinin kesirli türev ve integrallerin genelleştirmesine dayalı çalışmaları sayesinde gelişmeye devam etmektedir. Hilbert eşitsizliğinin farklı ve daha kolay bir ispatını yapmak üzere yola çıkan G. H. Hardy, 1920 yılında adıyla bilinen eşitsizliğin integral formunu bulmuştur.1925 yılında da yayınlamış olduğu ünlü makalesinde bu eşitsizliğin diziler için olan formunu ispatlarıyla birlikte sunmuştur. Hardy eşitsizliğinin birçok bilim adamı tarafından farklı koşullar altında çalışılmış olmasının sebebi ise bu eşitsizliğin matematiğin birçok alanında uygulamasının olmasıdır. Hardy eşitsizliği ve genelleştirmesi; adi ve kısmi diferansiyel denklem teorisi, operatör teorisi, fonksiyonel analiz, harmonik analiz, sınır değer problemleri ve matematiksel modelleme vb. matematiğin birçok alanında uygulamalarda önemli bir rol oynar. Ayrıca fizik alanında elektroreolojik akışkanların davranışlarının matematiksel modellemesi gibi farklı bilim dallarında da uygulama imkânı bulmaktadır. Benzer şekilde kesirli türev ve kesirli integrallerin uygulamaları da fizik, kimya, elektrodinamik, aerodinamik ve matematiksel modelleme gibi birçok bilim dalında ortaya çıkmaktadır. İlk bölümde tezimizde kullanacağımız temel kavramlardan, kesirli türev ve integraller ile ilgili genel bilgilerden bahsedilecektir. İkinci bölümde ise tüm bu bilgilerden yararlanarak kesirli integraller içeren Hardy Tipli Eşitsizlikler elde edilecektir.

Anahtar sözcükler: Hardy eşitsizliği, k-kesirli integral, Opial eşitsizliği,

ABSTRACT

ON HARDY TYPE INEQUALITIES INVOLVING FRACTIONAL INTEGRALS

Candan CAN BİLİŞİK Düzce University

Graduate School of Natural and Applied Sciences, Department of Mathematics Master Thesis

Supervisor: Prof. Dr. Mehmet Zeki SARIKAYA January 2018, 36 pages

The notions fractional derivative and fractional integral are emerged with responses which are being looking for question “Do derivatives and integrals are only exist for integer numbers?” which are firstly proposed by Liouville. The definition of fractional derivative and firstly interested by Euler. After, respectively, Leibniz, Lagrange, Abel, Liouville and other many mathematicians’ fractional derivatives and integrals generalization based on their work, it continues to grow up thanks to them. G. H. Hardy, who takes on the road in order to Hilbert inequalities’ different and easier proof, found out the form of the inequality that known in 1920 name. Also he presented this inequalities’ series’ form with their proofs in his famous article in 1925. The main reason why Hardy inequalities’ was being studied by many scientists in different conditions is that this inequality have many application of mathematics Hardy inequality and generalization takes important role of mathematics such as ordinary and partial theory of differential equations, theory of operator, functional analysis, harmonic analysis, boundary value problems, mathematical modelling. Besides, in the field of physics, it finds opportunity to apply different field of science such as electrorheological fluids of mathematical modelling’s behavior. Similarly, the applications of fractional derivative and fractional integral emerges many science branch such as physics, chemistry, electrodynamic, aero dynamical, mathematical modelling. In the first part, fractional derivative and integrals which we will use in our dissertation will be mentioned about general information. Latter, Hardy Type Inequalities which contains fractional integral will be acquired by benefiting from all of that information’s.

Keywords: Hardy Inequality, k- Fractional Integral, Opial Inequality, Riemann

1. GİRİŞ

1.1 AMAÇ VE KAPSAM

Kesirli türev ve kesirli integral kavramları ilk olarak Liouville tarafından ortaya atılan “türev ve integraller sadece tamsayılar için mi vardır?” sorusuna aranan yanıtla ortaya çıkmıştır. Kesirli türev tanımıyla ilk olarak Euler ilgilenmiştir. Daha sonra sırasıyla Leibniz, Lagrange, Abel, Liouville ve diğer birçok matematikçinin kesirli türev ve integrallerin genelleştirmesine dayalı çalışmaları sayesinde gelişmeye devam etmektedir. Kesirli türev ve integraller ile bunların genelleştirmeleri fark denklemleri gibi adi ve kısmi diferansiyel denklemler için başlangıç ve sınır değer problemlerinin varlığını ve tekliğini saptamakta önemli bir rol oynamaktadır. İlk bölümde tezimizde kullanacağımız temel kavramlardan, kesirli türev ve integraller ile ilgili genel bilgilerden bahsedilecektir. İkinci bölümde Opial ve çeşitli eşitsizlikler yardımıyla k-kesirli integraller içeren Hardy tipli eşitsizlikler elde edilecektir. Son bölümde ise elde ettiğimiz sonuçlardan bahsedilecektir. Bu tezdeki amacımız, farklı tipte eşitsizliklerden yararlanarak kesirli integraller içeren Hardy tipli integral eşitsizlikleri elde etmektir.Bu yüzden, ilk olarak aşağıda Hardy eşitsizliği ile ilgili olarak kısa bir bilgi sunalım.

Modern matematiğin en bilinen eşitsizliklerinden biri olan Hardy eşitsizliği(sürekli ve kesikli formu) [9], [26], 1906-1928 yılları arasında geliştirilmeye başlanmıştır. Eşitsizliğe ismi verilen G.H. Hardy’ nin yanı sıra E. Landau, G. Polya, I. Schur, M. Riesz gibi önemli matematikçiler bu eşitsizliğin geliştirilmesi konusunda önemli katkılar sağlamışlardır. Hardy eşitsizliği kesikli ve sürekli olmak üzere iki farklı şekilde incelenmiş, bu eşitsizliğin hangi koşullar altında sağlandığı araştırma konusu olmuştur. Eşitsizliğin kesikli formu: p1 ve

 

a_{k 1} negatif olmayan gerçel terimli bir dizi olsun, bu durumda (1.1)



 

                  1 1 1 1 1 n p n p p n n k k a p p a n

şeklinde Hardy eşitsizliğinin kesikli formu verilmiştir.

Eşitsizliğin sürekli formu: p1 ve f negatif olmayan

 

0, aralığı üzerinde p-integrallenebilir fonksiyon ise f fonksiyonu her bir x ,

 

0 için

 

0,x aralığında

integrallenebilir olmak üzere

(1.2)

şeklinde sürekli Hardy eşitsizliği verilmiştir. Dikkat:

(i) Hardy eşitsizliğinin sürekli ve kesikli formunda ortaya çıkan



p



p1





p sabiti değişmezdir. Yani, daha küçük bir sayı için sürekli ve kesikli formdaki eşitsizliğe uygun olan dizi ve fonksiyonlar için sağlanmaz.

(ii) Eşitsizliğin kesikli formu ve eşitsizliğin zayıf formu:



  1 n p n a , a_n 0 olmak üzere       

 

   p n n k k a n 1 1 1 ve



 

  dx x f p 0 , f

 

x 0 olmak üzere

 

_      





 dx dt t f x p x 0 0 1 şeklindedir.

(iii) Sürekli ve kesikli formlar ile birlikte (ii) ifadesinden kesikli Hardy operatörü

h ve sürekli Hardy operatörü H , p1 ve

1 '   p p

p olmak üzere sırasıyla “l _p

den l ” ye ve “_p L den _p L ”, _p

 

 

      



 n k k n a n a h 1 1 ,

 

f

 

t dt x x Hf x



 0 1 şeklinde

tanımlanır. Burada l ve _p L _p sırasıyla,  

     



  p n p n l a a p 1 1 : ,

 

f

 

x dx p p dx dt t f x p p p x







                        0 0 0 1 1

 

_       



 p p L f x dx f p 1 0

: olacak şekilde sırasıyla a 

 

a_n reel terimli

dizilerden ve

 

0, aralığında ölçülebilir f fonksiyonlarından oluşan Lebesque uzaylarıdır.

Eşitsizliğin sürekli formu klasik Hardy Eşitsizliği olarak kabul edilir. Bu eşitsizlik daha sonra çok geniş bir şekilde araştırılmış, incelenmiş ve daha genel eşitsizliklerin elde edilmesinde kullanılmıştır. G. H. Hardy’ nin eşitsizliğin sürekli formunu 1925 yılında ispatlamış bundan çok kısa bir süre sonra bu eşitsizlik değiştirilerek ilk ağırlıklı Hardy Eşitsizliği, p1,



 p1 ve f negatif olmayan ölçülebilir fonksiyon olmak üzere,

 

_

 

 

                 0 0 0 1 1 dx x x f p p dx x dt t f x p p p x    (1.3)

şeklinde verilmiştir. Bu eşitsizliğin dual formu, p1,



 p1 ve f negatif olmayan ölçülebilir fonksiyon olmak üzere,

 

_

 

 

                  0 0 1 1 dx x x f p p dx x dt t f x p p p x    (1.4)

şeklindedir. Bu eşitsizlik bir önceki eşitsizlikten kolayca elde edilebilir. Hardy eşitsizliğinin gelişimindeki önemli çalışmalar ağırlık fonksiyonlarının eşitsizlik

içinde kullanılmasıyla elde edilmiştir. Hangi özelliklere sahip ağırlık fonksiyonlarıyla eşitsizlik gerçeklenir? sorusundan hareketle araştırmalar derinleştirilmiş ve yeni sonuçlar elde edilmiştir. Bunlardan bazıları aşağıda verelim:

1) N. Levinson, eşitsizliği aşağıda belirtildiği gibi tanımlamıştır [36]:

0 

f fonksiyonu

   

a,b  ,0 aralığı üzerinde pozitif fonksiyon, p1 ve



 x f t dt x F 0 ) ( ) ( olsun. O halde,



_ _ _ _ _



b a b a p p p dt t f p p dx x x F ) ( 1 ) ( (1.5)

eşitsizliği vardır.

2) W. T. Sulaiman, ise Hardy Eşitsizliğinin bir benzerini aşağıdaki şekilde ifade etmiştir [43]:











                      b a b a b a p p p p p dx x f x a dx x x f a b dx x x F p ( ) ( ) 1 ( ) . (1.6)

3) Son olarak, B. Sroysang, yukarıdaki sonuçların en genel aşağıdaki şekilde vermiştir [42].











b  







 a b a b a p q p q p p q p dx x f x a x dx x x f a b dx x x F p ( ) ( ) ( ) . (1.7)

bu tezde amacımız ilk olarak yukarıdaki 1, 2 ve 3 Hardy tipindeki eşitsizlikleri genelleştirmektir.

1.2 GENEL KAVRAMLAR

Bu tezde kullanacağımız bazı temel kavramları aşağıdaki şekilde verelim.

Tanım 1. f L₁[a,b]. olsun. Riemann-Liouville integralleri J_a_f ve J_b_f mertebeleri  0 ile a0 sırasıyla



x t



f t dt x a x f J x a a  _    



( ) , ) ( 1 ) (  1   (1.8) ve



t x



f t dt x b x f J b x b  _    



( ) , ) ( 1 ) (  1   (1.9)

tanımlıdır. Burada, () gama fonksiyonudur ve J_a0_f(x)J_b0_f(x) f(x).

Diaz and Pariguan tarafından tanımlanan k -gamma fonksiyon  , k -beta fonksiyon _k

k

B ve Pochhammer k -sembol (x)_n,k yani klasik anlamda gama, beta ve Pochhammer sembolünün genelleştirmesidir [30].  aşağıdaki formül ile verilir. _k

 

, 0. ) ( ) ( ! lim , 1       _x k nk k n x k n n n k k x (1.10)

k k t

e üstel fonksiyonunun Mellin Dönüşümü altında k-gamma fonksiyonu açıkça aşağıdaki gibidir.

 

e kt dt k t k 1 0 :



    _  (1.11) şeklinde tanımlanmıştır. Bu fonksiyona ait bazı özellikler



x k



x k

 

x, k     1 lim ) (    k x k

 

x ve

 

1    k x k x k (k) x  şeklinde elde edilmiştir. Daha sonra, Mubeen and Habibullah tarafından Riemann-

Liouville tipli k -kesirli integrali





( ) , 0, 0, 0. ) ( 1 ) ( 1 0 ,       



x t f t dt x k k x f J k x k k     (1.12)

şeklinde tanımlamışlardır [38]. Buna ek olarak, Romero ve arkadaşları tarafından aşağıdaki tanım verilmiştir [39].

Tanım 2.



negatif olmayan reel sayı olsun. f , I

 

0, aralığı üzerinde parçalı sürekli fonksiyon ve integrallenebilir, ayrıca I  ,

 

0 alt aralığında sınırlı olsun. O zaman, f fonksiyonunun



mertebeli k-Riemann Liouville kesirli integrali





( ) , , 0. ) ( 1 ) ( 1 ,      



x t f t dt x a k k x f J k x a k k a    (1.13)

şeklindedir. k1 için yukarıdaki integral, klasik anlamda Riemann-Liouville kesirli integralini verir. Ayrıca, f

 

x (xa), fonksiyonu seçilirse:









x a x

 

a b k k k k a x J k k k k a ( ) ( ) , , ,                (1.14)

bulunur. Son yıllarda, k -gamma fonksiyonu, k -beta fonksiyonu ve k -kesirli integral

eşitsizlikleri ile ilgili olarak verilen sonuçlar kaynaklarımızda mevcuttur [30], [31], [35], [38], [39], [41]. Son zamanlarda verilen bazı sonuçlarla bağlantılı kesirli integral eşitsizlikleri için incelenebilir [30]-[34].

İntegraller İçin Hölder Eşitsizliği: p1, 1 1 1

q

p olsun. f ve g ,

 

a,b aralığında

tanımlı gerçel fonksiyonlar p

f ve g , q

 

a,b aralığında integrallenebilir fonksiyonlar ise q b a q p b a p b a dx x g dx x f dx x g x f 1 1 ) ( ) ( ) ( ) ( _            







(1.15) eşitsizliği geçerlidir [10].

Reel Sayılarda Eşitsizlik Özellikleri: x,y,z,tRolmak üzere aşağıdaki özellikleri

sağlar.

1. zRvexyxz yz

2. z 0vexyxz yz

3. z 0vexyxz yz

4. xyveztxzyt

Opial Eşitsizliği: x fonksiyonu

 

0,h aralığı üzerinde mutlak sürekli fonksiyon ve 0 ) ( ) 0 (  hx  x olsun. O halde,





h x t x t dth h x t dt 0 2 0 ) ( ' 4 ) ( ' ) ( (1.16) dir. İspat. İlk olarak y t 



t x s ds 0 '( ) ) ( ve 



h t x s ds t

z( ) '( ) olarak tanımlayalım. Dolayısıyla

) ( ' ) ( ' ) ( ' t x t z t y   ve x(t) y(t), x(t) z(t), t

 

0,h

olarak yazılır. Yukarıdaki ifadelerden faydalanarak





       2 0 2 2 0 2 2 1 ) ( ' ) ( ) ( ' ) ( h h h y dt t y t y dt t x t x (1.17) ve





         h h h h h z dt t z t z dt t x t x 2 2 2 2 2 1 ) ( ' ) ( ) ( ' ) ( (1.18)

                   



₂1 _{2 2} ) ( ' ) ( 2 2 0 h z h y dt t x t x h

elde edilir. Diğer yandan, Cauchy- Schwarz eşitsizliğinden faydalanarak,









                  2 0 2 2 2 0 2 _{'( )} 2 ) ( ' 2 h h dt t x h dt t x h y ve









                  h h h h dt t x h dt t x h z 2 2 2 2 2 ) ( ' 2 ) ( ' 2

elde edilir. Dolayısıyla,









           2 0 2 2 2 0 ) ( ' 2 ) ( ' h h dt t x h dt t x ve











          _h h h h dt t x h dt t x 2 2 2 2 ) ( ' 2 ) ( '

elde edilir. Bu ifadelerden ve Cauchy-Schwarz eşitsizliğinden yararlanarak,





h x t x t dth h x t dt 0 2 0 ) ( ' 4 ) ( ' ) (

ispat tamamlanır. Burada h/4 en iyi sabittir. Bununla beraber Opial eşitsizliğinin daha basit hali Olech, Beesack, Levinson, Mallows ve Pederson tarafından da ispatlanmıştır [24], [4], [37], [22], [23].

y fonksiyonu

 

a,b aralığı üzerinde mutlak sürekli bir fonksiyon , y(a)0 olsun. O halde





dx x y a b dx x y x y b a b a 2 ' ) ( 2 ) ( ' ) (





  (1.19) eşitsizliği geçerlidir.

Opial eşitsizliği ve genelleştirmeleri, fark denklemleri gibi adi ve kısmi diferansiyel denklemlerin başlangıç sınır değer problemlerinin varlık ve tekliğinde önemli rol oynar.

Son yirmi yıldır literatürdeki pek çok çalışma temel ispatları ve çeşitli genelleştirmeleri için Opial Eşitsizlikleri ile genişlemelerinden faydalanılmıştır [1], [12], [13], [16], [17], [20]-[22].

Beesack eşitsizliği: y fonksiyonu

 

a,b aralığı üzerinde mutlak sürekli bir fonksiyon,



( ) 0



0 )

(a  y b 

y ile r(t)pozitif-sürekli fonksiyon ve





b ar t dt ) ( sınırlı olmak üzere, dt t y t r dt t r dt t y t y b a b a b a 2 ) ( ' ) ( ) ( 1 2 1 ) ( ' ) (







 (1.20) eşitsizliği vardır.

Maroni Eşitsizliği : y fonksiyonu

 

a,b aralığı üzerinde mutlak sürekli bir fonksiyon ve



( ) 0



0 ) (a  y b  y ile p1 ve 1 1 1 q p olmak üzere _     



 b a p dt t r 1 ) ( 1 sınırlı olsun. O halde, (1.21) dir.

Teorem 1.1. r, , s

 

a,b aralığı üzerinde pozitif ve sürekli fonksiyonlar olsun.

 



_

b

xr x dx

b x

R , ( ) olmak üzere, tüm f 0fonksiyonları için

 

_

 

_

 

_{ }

_

   







_  _ _            b a b a x a b a dx x f x s dx x s b x R dx dt t f x r 2 2 2 , (1.22) dir. İspat. 



x af t dt x

F( ) ( ) olsun.F(a)0 ve F'(x) f(x) olduğu açıktır. Bu ifadeler bize aşağıdaki eşitliği verir.

. ) ( ) ( ) ( ) (x f t dt dx r x F x dx r b a b a x a







_      

Eşitliğin sağ tarafının integrali hesaplayalım. O halde,

q b a q p b a p b a dt t y t r dt t r dt t y t y 2 2 1 ) ( ' ) ( ) ( 1 2 1 ) ( ' ) ( _                    









. ) ( ) , ( | ) ( ) , ( ) ( ) (x f t dt dx R x b F x R x b F' xdx r b a b a b a x a







_       

olur ve buradan da,R(b,b)0ve F(a)0 varsayımlarını kullanarak,

dx x F x s x s b x R dx x F b x R dx dt t f x r b a b a b a x a ) ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ' '









        2   q

p için Hölder Eşitsizliğini uygulayalım.





2 1 2 ' 2 1 2 ) ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) ( _                  









b a b a b a x a dx x F x s dx x s b x R dx dt t f x r .

Böylece teorem ifadesine ulaşılarak ispat tamamlandı. Teorem 1.1’ in ispatında olduğu gibi benzer olarak 



b

x f t dt

x

F( ) ( ) seçilerek Teorem 1.2’ yi ispatlayalım.

Teorem 1.2. r, , s

 

a,b aralığı üzerinde pozitif ve sürekli fonksiyonlar olsun.

 



_

x

ar x dx

x a

R , ( ) olmak üzere, tüm f 0fonksiyonları için

 

_

 

_

 

_{ }

_

   







_  _ _            b a b a b x b a dx x f x s dx x s x a R dx dt t f x r 2 2 2 , (1.23) dir. İspat. 



b x f t dt x

F( ) ( ) olsun. F(b)0 ve F'(x) f(x) olduğu açıktır. Bu ifadeler bize aşağıdaki eşitliği verir.

. ) ( ) ( ) ( ) (x f t dt dx r x F x dx r b a b a b x







_      

Eşitliğin sağ tarafına kısmi integrasyon uygularsak,

. ) ( ) , ( | ) ( ) , ( ) ( ) (x f t dt dx R a x F x R a x F' xdx r b a b a b a b x







_       

dx x F x a R dx dt t f x r b a b a b x







_       ) ( ) , ( ) ( ) ( '

olur. Elde ettiğimiz ifadenin sağ tarafını s(x)ifadesi ile çarpıp bölersek,

dx x F x s x s x a R dx dt t f x r b a b a b x







_       ) ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) ( '

yazılır. Yukarıdaki ifadeye, p q2için Hölder Eşitsizliğini uygularsak,



( )



. ) ( ) ( ) , ( ) ( ) ( 2 1 2 2 1 2                   









b a b a b a b x dx x f x s dx x s x a R dx dt t f x r

şeklinde elde edilir.

Teorem 1.3. r fonksiyonu

 

a,b aralığı üzerinde pozitif ve sürekli bir fonksiyon olduğunu varsayalım. O halde, tüm f 0fonksiyonları için

dx x f dx x r a b dx dt t f x r b a b x b x a b a x a







_



_     _ _ 2 2 )) ( ( ) ( sup ) ( ) ( ) ( (1.24) dir.

İspat. Teorem 1.1’ in kanıtında olduğu gibi ilerleyelim. Yani,







_       b a b a x a dx x F x r dx dt t f x r( ) ( ) ( ) 2( ) . 2

integralinin sağ tarafına kısmi integrasyon uygularsak,

. ) ( ) ( ) , ( 2 | ) ( ) , ( ) ( ) ( 2 ' 2 dx x F x F b x R x F b x R dx dt t f x r b a b a b a x a







_       

olur ve R(b,b)0ve F(a)0 varsayımlarını kullanarak,









          b a b x a b a b a x a dx x F x F b x R dx x F x F b x R dx dt t f x r ) ( ) ( ) , ( sup 2 ) ( ) ( ) , ( 2 ) ( ) ( ' ' 2

eşitsizliği elde edilir. Buradan da Opial eşitsizliğini uygulayalım ve F(a)0 ifadesinden faydalanarak, . )) ( ( ) , ( sup ) ( )) ( ( ) , ( sup ) ( ) ( ) ( 2 2 ' 2                









    dx x f b x R a b dx x F b x R a b dx dt t f x r b a b x a b a b x a b a x a

istenilen sonuç elde edilir.

Teorem 1.4. r fonksiyonu

 

a,b aralığı üzerinde pozitif ve sürekli bir fonksiyon olduğunu kabul edelim. O halde tüm f 0fonksiyonları için

dx x f dx x r a b dx dt t f x r b a x a b x a b a b x







_



_     _ _ 2 2 )) ( ( ) ( sup ) ( ) ( ) ( (1.25) dir. İspat. 



b x f t dt x F( ) ( ) olsun. O halde, dx x F x r dx dt t f x r b a b a b x ) ( ) ( ) ( ) ( 2 2







_       .

Eşitliğin sağ tarafına kısmi integrasyon uygularsak,

dx x F x F x a R x F x a R dx x F x r b a b a b a ) ( ) ( ) , ( 2 | ) ( ) , ( ) ( ) ( 2 2



'



 

yazılır ve burada R(a,a)0ve F(b)0 olduğu kullanılırsa,

dx x F x F x a R dx x F x r b a b a ) ( ) ( ) , ( 2 ) ( ) ( 2



'





. )) ( ( ) ( sup ) ( )) ( ( ) , ( sup ) ( )) ( ( 2 ) ( ) , ( sup 2 ) ( ) ( 2 2 2 ' 2 dx x f dx x r a b dx x f x a R a b dx x F a b x a R dx x F x r b a x a b x a b a b x a b a b x a b a











                 

elde edilir. Bu da ispatı tamamlar.

Teorem 1. 5. r,s

 

a,b aralığı üzerinde pozitif ve sürekli fonksiyonlar olsun. O halde tüm f 0fonksiyonları için dx x f x s x s dx b x R dx dt t f x r b a b a b x a b a x a







_



_    _ _ 2 2 )) ( )( ( ) ( ) , ( sup ) ( ) ( (1.26) eşitsizliği geçerlidir.

İspat. Önceki teoremlerde olduğu gibi kısmi integrasyondan faydalanalım.

dx x F x F b x R dx x F x r b a b a ) ( ) ( ) , ( 2 ) ( ) ( 2



'





olup buradan da,

dx x F x F b x R dx x F x F b x R b a b x a b a ) ( ) ( ) , ( sup 2 ) ( ) ( ) , ( 2



'



'   

yazılır. Beesack eşitsizliğinden yararlanırsak,

. )) ( )( ( ) ( 1 ) , ( sup )) ( )( ( ) ( 1 2 1 ) , ( sup 2 ) ( ) ( ) , ( sup 2 2 2 ' dx x f x s dx x s b x R dx x f x s dx x s b x R dx x F x F b x R b a b a b x a b a b a b x a b a b x a











       

eşitsizliği elde edilir.

Teorem 1.6. r,s

 

a,b aralığı üzerinde pozitif ve sürekli fonksiyonlar olsun. O halde tüm f 0fonksiyonları için

dx x f x s x s dx x a R dx dt t f x r b a b a b x a b a b x







_



_    _ _ 2 2 )) ( )( ( ) ( ) , ( sup ) ( ) ( (1.27) eşitsizliği geçerlidir.

İspat. Önceki teoremlerde olduğu gibi kısmi integrasyondan faydalanalım.

dx x F x F x a R dx x F x r b a b a ) ( ) ( ) , ( 2 ) ( ) ( 2



'





olup buradan da,

dx x F x F x a R dx x F x F x a R b a b x a b a ) ( ) ( ) , ( sup 2 ) ( ) ( ) , ( 2



'  



'

bulunur. Beesack eşitsizliğinden yararlanırsak,

. )) ( )( ( ) ( 1 ) , ( sup )) ( )( ( ) ( 1 2 1 ) , ( sup 2 ) ( ) ( ) , ( sup 2 2 2 ' dx x f x s dx x s x a R dx x f x s dx x s x a R dx x F x F x a R b a b a b x a b a b a b x a b a b x a











       

eşitsizliği elde edilir.

Teorem 1.7. r,s

 

a,b aralığı üzerinde pozitif ve sürekli fonksiyonlar ve p1 öyle ki 1

1

1 _{ }

q

p olsun. O halde tüm f 0 fonksiyonları için

q b a q p p b a b x a b a x a dx x f x s dx x s b x R dx dt t f x r 2 2 1 2 )) ( )( ( ) ( 1 ) , ( sup ) ( ) ( _                          









   (1.28) eşitsizliği vardır.

İspat. Kısmi integrasyon yardımıyla

dx x F x F b x R x F b x R dx dt t f x r b a b a b a b x







_        ) ( ) ( ) , ( 2 | ) ( ) , ( ) ( ) ( 2 ' 2

olup ve buradan da R(b,b)0ve F(a)0 varsayımlarını kullanarak,

dx x F x F b x R dx dt t f x r b b b







_       ) ( ) ( ) , ( 2 ) ( ) ( ' 2



   b a b x a R(x,b) F(x)F (x)dx sup 2 '

yazılır. F(a)0 faydalanalım. Opial ispatının farklı bir formunu veren Maroni

eşitsizliği ile integraller için Hölder Eşitsizliğinden,



( )



. ) ( ) ( 1 ) , ( sup ) )) ( )( ( ( ) ( 1 ) , ( 2 2 1 2 q b a q p p b a b x a q b a q b a b x a dx x f x s dx x s b x R dx x f x s dx x s b x R Sup                      









     ispat tamamlanır.

Teorem 1.8. r fonksiyonu ( ba, )aralığı üzerinde pozitif bir fonksiyon ve p1, 1 1 1 _{ } q p öyle ki _      



dx x a R p b a 1 ) , ( 1

ifadesinin sınırlı olduğunu kabul edelim. Öyleyse tüm f 0 fonksiyonları için

q b a q p p b a b x a b a b x dx x f x s dx x s x a R dx dt t f x r 2 2 1 2 )) ( )( ( ) ( 1 ) , ( sup ) ( ) ( _                          









   (1.29) eşitsizliği sağlanır.

İspat. Kısmi integrasyon yardımıyla,







_        b a b a b a b x dx x F x F x a R x F x a R dx dt t f x r( ) ( ) ( , ) 2( )| 2 ( , ) ( ) '( ) 2

olup buradan da, R(a,a)0 ve F(b)0 ifadelerinden yararlanırsak,







_       b a b a b x dx x F x F x a R dx dt t f x r( ) ( ) 2 ( , ) ( ) '( ) 2





 _{ } b a b x a b a dx x F x F x a R dx x F x F x a R( , ) ( ) ( ) 2sup ( , ) ( ) ( ) 2 ' '

yazılır. Elde ettiğimiz eşitsizlik ve F(b)0 ifadesi ile Maroni Eşitsizliğinden faydalanırsak,













        b a b a b x a b a b x dx x F x s dx x s x a R dx dt t f x r 2 2 ) ( ' ) ( ) ( 1 ) , ( sup 2 2 1 ) ( ) (









   b a b a b x a R a x s x dx s x f x dx Sup ( , ) ( ) ( ) ( ) 2

yazabiliriz. Hölder Eşitsizliğinden yararlanarak,





q b a q p p b a b x a q b a q b a b x a dx x f x s dx x s x a R dx x f x s dx x s x a R Sup 2 2 1 2 ) ( ) ( ) ( 1 ) , ( sup ) )) ( )( ( ( ) ( 1 ) , (                      









     q b a q p p b a b x a b a b x dx x f x s dx x s x a R dx dt t f x r 2 2 1 2 )) ( )( ( ) ( 1 ) , ( sup ) ( ) ( _                          









  

şeklinde elde edilir.

Teorem 1.9.  negatif olmayan bir reel sayı ve f 0 ve g0 fonksiyonları

   

a,b  ,0 aralığı üzerinde pozitif fonksiyonlar olsun. Eğer

_{ }

x g

a x 

artmayan fonksiyon ise, o halde tüm p1,



0 için aşağıdaki kesirli eşitsizlik geçerlidir.

 

 

 

_

_

. ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 1 1 1 1 1 ) ( ) ( ) 1 ( 1 1 1 1 1 1 1                        _{ }                         _{ }         _{ }        _{  }       _                 



p p p a p p a p p p b a p p p a a b a b b g b f J a b a b b g b f J a b p p p p p dx x g x f J          (1.30) İspat. İlk olarak dx dt a t a t t f t x x g dx x g x f J p x a p p p p b a b a p p a                   







  2 2 1 1 1 ) ( ) )( ( ) ( ) ( 1 ) ( ) ( ) (   





( )( )





( ) . ) ( ) ( 1 ) ( ) ( 1 1 1 1 1 1 1 1 2 dx dt a t t x dt a t t f t x x g dx x g x f J p x a p x a p p p p p p p p b a p p b a p a                                         









                      

yazılır. Buradan hareketle,



x t



f t t a dt



x t



t a dt dx x g dx x g x f J p x a p x a p p p b a p p b a p a 1 1 1 1 1 ) ( ) )( ( ) ( ) ( 1 ) ( ) (                                   









   





( )( ) ( ) . ) ( ) ( 1 1 1 1 1 dx a x J dt a t t f t x x g p p a b a x a p p p p                          





  

eşitliği yazılır. Gerekli düzeltmeler yapılırsa,

 





()( ) . ) ( ) ( ) 1 1 ( ) ( 1 1 ) ( ) ( 1 1 1 1 1 1 dx dt a t t f t x a x x g p p dx x g x f J x a p p p p p b a p p p b a p a







_                    _                  _        

olur. Buradan da,

 



x t



f t t a dt dx a x x g a x p p x a p p p p p p b a p p p





_                            _           1 1 1 1 1 1 1 ) )( ( ) ( ) ( ) 1 1 ( ) ( 1 1      olur. ) (x g a x 

fonksiyonunun artmayan olması ile integrasyon sırasının değişiminden faydalanırsak,  



x a



dx dt a t t f t b t g a t p p dx x g x f J b t p p p p p p p b a p p p p b a a                             _        







        1 1 ) 1 ( 1 1 1 1 ) )( ( ) ( ) ( ) 1 1 ( ) ( 1 1 ) ( ) (    _  





( ) . ) )( ( ) ( ) ( 1 ) 1 ( ) 1 1 ( ) ( 1 1 ) ( ) ( 1 ) 1 ( 1 ) 1 ( 1 1 1 1 1 dt a t a b a t t f t b t g a t p p p p p dx x g x f J p p p p p p p p p b a p p p p p b a a                              _{  }           _                   





       

yazılır. Buradan da integralleri ayırırsak,

















( )( ) . ) ( ) ( ) ( 1 ) 1 ( ) 1 1 ( ) ( 1 1 ) ( ) ( 1 ) 1 ( 1 1 1 1 ) 1 ( 1 1                                      _{  }           _        







           b a b a p p p p p p p p p p p p p p b a a a t t f t b t g a t a t t f t b t g a t a b p p p p p dx x g x f J          

bulunur. Son olarak,









( ) ( ) . ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 ) 1 ( ) 1 1 ( 1 1 ) ( ) ( ) 1 ( 1 1 1 ) 1 ( 1 1                        _{ }                 _{ }                                      



p p a p a p p p a p p p p p p b a a a b a b b g b f J a b a b b g b f J a b p p p p p dx x g x f J        

şeklinde elde edilir.

Dikkat 1.9.1. Yukarıdaki teoremde



1 için, Sroysang[42,Theorem 3.1] elde ederiz.

Sonuç 1.9.1.1. a0ve 0a olmak üzere f fonksiyonu

 

a,b aralığı üzerinde negatif olmayan bir fonksiyon olsun. Tüm p1,



0 için aşağıdaki eşitsizlik vardır.









 

_{ }

. ) ) )( ( ( ) ( 1 1 1 1 1 1 ) ( ) ( ) 1 ( 1 1 1 1 1 1 1                            _{ }        _{  }       _                   



p p p a p p a p p p b a p p p a a b b f J a b b f J a b p p p p p dx a x x f J         (1.31)

Dikkat 1.9.2. Sonuç ifadesinde



1 için aşağıdaki eşitsizlik geçerlidir. . ) ( 1 ) ( ) ( 1 ) ( 1 ) ( ) ( 1 1 1 1









                                                  b a p p p p b a p p p b a x a p dt t f p p dt a b a t t f p p dx dt t f a x  Üstelik 0a için dx a x x f J dx x x f J p b a b a a p a







_ _{ }_   ) ( ) ) ( (

dır. Bundan dolayı Dikkat 9.2 de eşitsizlik Levinson eşitsizliğini sağlar.

Teorem 1.10. f  g0, 0 fonksiyonları

   

a,b  ,0  aralığı üzerinde pozitif fonksiyonlar ve g fonksiyonu azalmayan olsun. O halde tüm p1,q0,



0için aşağıdaki eşitsizlik geçerlidir.

 

( ) . ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) 1 ( 1 ) ( )) ( ( 1 1 1                                



          q p p a q p a p p b a q p a _{b a} b g b f J b g b f J a b p dx x g x f J (1.32) İspat. İlk olarak,







  _ _   _ b a p x a q b a q p a _{dx g x x t f t dt dx} x g x f J ) ( ) ( ) ( 1 ) ( ) ( )) ( (  1   dx J x f J x g dx x g x f J p b a p a p p a q b a q p a





_          1 1 1 ) 1 ( )) ( ( ) ( ) ( )) ( (   

şeklinde yazalım. Buradan da Hölder eşitsizliğini kullanırsak,

dx dt t x dt t f t x x g dx x g x f J b a p x a x a p q b a q p a









_                            1 1 1 ) ( ) ( 1 ) ( ) ( ) ( 1 ) ( ) ( )) ( (     





. ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( 1 ) ( )) ( ( 1 ( 1) 1 g x x t f t dt x a dx dx x g x f J p b a x a p q p b a q p a                







    

gfonksiyonunun azalmayanlığından ve integrasyon sınırlarının değişiminden

faydalanırsak,





_





    _      b t p b a p q p b a q p a _{dx g t b t f t dt x a dx} x g x f J . ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( 1 ) ( )) ( ( 1 ( 1) 1      olup böylece,



b t



f t



b a t a



dt t g p dx x g x f J b a p p p q p b a q p a





       _           1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ) 1 ( ) ( ) 1 ( 1 ) ( )) ( (           ya da





( ) . ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) 1 ( 1 ) ( )) ( ( 1 1 1             _                   



          q p p a q p a p p b a q p a _{b a} b g b f J b g b f J a b p dx x g x f J

eşitsizliği elde edilir.

Dikkat 1.10.1. Teoremde



1 için, Sroysang[42, Theorem3.5] in ilk kısmını elde ederiz.

Dikkat 1.10.2. Teoremde



1 ve g(x)xiçin Sroysang[42], (1.7) eşitsizliğini elde

ederiz.

Dikkat 1.10.3. Teoremde



1 ve g(x)xve p q için Sulaiman[43], (1.6) eşitsizliği elde ederiz.

Teorem 1.11. f  g0, 0 fonksiyonları

   

a,b  ,0  aralığı üzerinde pozitif fonksiyonlar ve g fonksiyonu azalmayan olsun. O halde tüm 0 p1,q0,



0

için aşağıdaki eşitsizlik geçerlidir.

. ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) ( ) ( )) ( ( 1 1 1 1       _{   }               



a f J a b a f J p p b g dx x g x f J p b p p p b p p q b a q p a             (1.33)



x t



dt dx dt t f t x x g dx x g x f J p b a p x a p x a p q p b a q p a









                              1 1 1 1 1 ) ( ) ( ) ( ) ( 1 ) ( )) ( (    

 

1 . ) ( ) ( ) ( ) ( 1 ₁ 1 dx J dt t f t x x g p b a p a x a p q





_                    

elde edilir. Buradan da,

. ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( 1 ) ( )) ( ( ( 1) 1 1 g x x a x t f t dt dx dx x g x f J x a p p b a q p b a q p a            







        

olur. g fonksiyonunun azalmayanlığı sayesinde ve integrasyon sınırlarının değişimi ile,

. ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( 1 ) ( )) ( ( ( 1) 1 1 g b x a x t f t dt dx dx x g x f J x a p p b a q p b a q p a            







        

olup buradan da,



x a



dx dt t f t a b g dx x g x f J t b p p a b q p b a q p a            







    ) 1 ( 1 1 ( )( ) ( ) ) 1 ( ) ( 1 ) ( )) ( (     





( )( ) ( )













. 1 ) 1 ( ) ( 1 1 1 1 1 g b a t f t t a b a dt p p p p a b q p        _{  }       



        

elde edilir. Buradan,





_                 







         b a b a p p q p q p p b a q p a dt a t t f b g t a dt t f b g t a a b p dx x g x f J 1 1 1 1 1 ) )( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 )( 1 ( ) ( 1 ) ( )) ( (           

. ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) 1 )( 1 ( ) ( ) ( )) ( ( 1 1 1 1       _{   }              



a f J a b a f J p p b g dx x g x f J p a b p p p b p p q b a q p a           