p-Adik Hurwitz-Lerch L-fonksiyonu

T.C.

AKDEN˙IZ ÜN˙IVERS˙ITES˙I FEN B˙IL˙IMLER˙I ENST˙ITÜSÜ

p-AD˙IK HURWITZ-LERCH L-FONKS˙IYONU

Selin Selen ÖZBEK

DOKTORA TEZ˙I

MATEMAT˙IK ANAB˙IL˙IM DALI

T.C.

AKDENZ ÜNVERSTES FEN BLMLER ENSTTÜSÜ

p-ADK HURWITZ-LERCH L-FONKSYONU

Selin Selen ÖZBEK

DOKTORA TEZ

MATEMATK ANABLM DALI

T.C.

AKDENZ ÜNVERSTES FEN BLMLER ENSTTÜSÜ

p-ADK HURWITZ-LERCH L-FONKSYONU

Selin Selen ÖZBEK

DOKTORA TEZ

MATEMATK ANABLM DALI

Bu tez .../.../2015 tarihinde a³a§daki jüri tarafndan oy birli§i/oy çoklu§u ile kabul/red edilmi³tir.

Doç. Dr. Mehmet CENKC Prof. Dr. Veli KURT Prof. Dr. Nuri ÜNAL Prof. Dr. lham ALYEV Yrd. Doç. Dr. Kür³at AKER

ÖZET

p-AD˙IK HURWITZ-LERCH L-FONKS˙IYONU Selin Selen ÖZBEK

Doktora Tezi, Matematik Anabilim Dalı Danı¸sman : Doç. Dr. Mehmet CENKC˙I

¸Subat 2015, 61 sayfa

Bu tez iki temel ksmdan olu³maktadr. lk bölüm, Morita tarafndan kurulan p-adik Hurwitz-Lerch L-fonksiyonunun Washington'un yöntemiyle kurulmasn ve bu srada tanmlanan genelle³tirilmi³ Apostol-Bernoulli polinomlarnn bölünebilme özelliklerini ve bu polinomlarn sa§lad§ Kummer tipli kongrüanslar içerir.

kinci bölümde ise katl Barnes Hurwitz-Lerch zeta fonksiyonu tanmlanm³ ve Rezidü Teoremi ve kontur integral teknikleri yardmyla bu fonksiyonun negatif tam saylardaki de§erleri ile ili³kili olan N. mertebeden Apostol-Bernoulli polinomlarnn tanm ve özellikleri verilmi³tir. Daha sonra bu polinomlar yardmyla katl Barnes-Hurwitz-Lerch zeta fonksiyonunun p-adik benzeri olu³turulmu³tur.

ANAHTAR KELMELER: p-adik Fonksiyonu, p-adik Hurwitz-Lerch L-Fonksiyonu, Apostol-Bernoulli Saylar, Genelle³ti-rilmi³ Apostol-Bernoulli Saylar, Kummer

Kongrüanslar

JÜR: Doç. Dr. Mehmet CENKC Prof. Dr. Veli KURT Prof. Dr. Nuri ÜNAL Prof. Dr. lham ALYEV Yrd. Doç. Dr. Kür³at AKER

ABSTRACT

p-ADIC HURWITZ-LERCH L-FUNCTION Selin Selen ÖZBEK

PhD Thesis, in Mathematics

Supervisor : Assoc. Prof. Dr. Mehmet CENKC˙I February 2015, 61 pages

This work consists of two parts. We rst, reconstruct the p-adic Hurwitz-Lerch L-function by employing partial zeta functions. This construction is dierent from that of Morita's. Using this function, we investigate divisibility properties and Kummer type congruences for generalized Apostol-Bernoulli polynomials, which occur as the values of Hurwitz-Lerch L-function at negative integers.

In the second part we dene Barnes' type Hurwitz-Lerch zeta function by employing the residue theorem and complex integration. We consider the values of this function at negative integers, which are called multiple Apostol-Bernoulli polynomials of order N, and discuss some of their properties. Using these polynomials we construct a p-adic analogue of Barnes' type Hurwitz-Lerch zeta function.

KEYWORDS: p-adic L-Function, p-adic Hurwitz-Lerch L-Function, Apostol-Bernoulli Numbers, Generalized Apostol-Apostol-Bernoulli Numbers, Kummer Congruences

COMMITTEE: Assoc. Prof. Dr. Mehmet CENKC Prof. Dr. Veli KURT

Prof. Dr. Nuri ÜNAL Prof. Dr. lham ALYEV Asst. Prof. Dr. Kür³at AKER

ÖNSÖZ

Riemann zeta fonksiyonu ve bu fonksiyonun negatif tam saylarda ald§ de§erlerle ili³kili olan Bernoulli saylar analitik saylar teorisinde önemli bir yere sahiptir. Bernoulli saylar ilk olarak Jacob Bernoulli'nin 1700'lü yllarda yaynlanan Ars Conjectandi isimli çal³masnda, ard³k tam saylarn kuvvetlerinin sonlu toplamlar için tanmlad§ özel bir rasyonel say dizisidir. Bu saylar, Riemann zeta fonksiyonunun negatif tam saylarda ald§ de§erlerle yakndan ili³kilidir. Bugün Riemann zeta fonksiyonu olarak bilinen bu fonksiyon, ilk kez onsekizinci yüzyln ilk yarsnda karma³k analiz kullanmadan Euler tarafndan tanmlanm³tr. Daha sonra 1859 ylnda Riemann tarafndan karma³k de§i³kene geni³letilmi³tir.

Ça§da³ matemati§in en me³hur teoremlerinden biri olan Fermat'nn Son Teoremine ilk ciddi yakla³m 1847 ylnda Kummer tarafndan yaplm³tr. Bu çal³ma srasnda Kummer, Bernoulli saylar için Kummer Kongrüanslar olarak ifade edilen kongrüanslar elde etmi³tir. Kummer'in çal³malarndan esinlenerek Hensel, 1900'lü yllarn ba³larnda p-adik saylar cismini sistematik olarak olu³turmu³tur. Bu cisimler üzerindeki analiz ile ortaya çkan ve p-adik analiz olarak adlandrlan çal³ma alannda Kummer Kongrüanslarnn yorumu 1964 ylnda Kubota ve Leopoldt tarafndan yaplm³tr. Kubota ve Leopoldt, Riemann zeta fonksiyonunun pozitif olmayan tam saylarda ald§ de§erler ile Kummer Kongrüanslarn gözlemleyerek tek türlü belirli bir p-adik analitik ζp(s)

fonksiyonunun varl§n göstermi³lerdir.

Günümüzde Dirichlet serileri yardmyla tanmlanan zeta fonksiyonlarnn p-adik benzerini olu³turmak için Kubota ve Leopoldt'un kulland§ yöntem d³nda birçok yöntem vardr. Bu çal³mada bu yöntemlerden iki tanesi kullanlarak Hurwitz-Lerch L-fonksiyonunun ve katl Barnes-Hurwitz-Lerch zeta fonksiyonunun p-adik benzerleri olu³turulmu³ ve bu srada Apostol-Bernoulli saylar ile ilgili Kummer tipli kongrüanslar elde edilmi³tir.

Akademik hayatmn ilk basamaklarnda sa§lam bir altyap olu³turmam sa§layan, bu çal³mann ortaya çkmasnda ve sonrasnda yardmlarn esirgemeyen, ö§rencisi olmaktan büyük onur duydu§um de§erli dan³manm Doç. Dr. Mehmet CENKC'ye her zaman beni aydnlatt§ ve ufkumu geni³letti§i için en içten te³ekkürlerimi sunarm.

Bugünlere ula³mamda büyük eme§i olan, her kararm destekleyen, maddi manevi yanmda duran, büyük bir anlay³ ve sabrla beni dinleyen sevgili aileme çok te³ekkür ederim.

˙IÇ˙INDEK˙ILER ÖZET . . . i ABSTRACT . . . ii ÖNSÖZ . . . iii ÇNDEKLER . . . iv SMGELER ve KISALTMALAR DZN . . . vi 1. GR“ . . . 1

2. KURAMSAL BLGLER VE KAYNAK TARAMALARI . . . 9

2.1. p-adik Saylar Cismi ve Baz Elementer Fonksiyonlar . . . 9

2.2. Dirichlet Karakteri . . . 14

2.3. Teichmüller Karakteri ve Baz Geni³lemeleri . . . 15

2.4. p-adik L-Fonksiyonu. . . 17

2.5. Kummer Tipli Kongrüanslar . . . 19

2.6. Volkenborn ntegrali ve Barnes Katl Zeta Fonksiyonunun p-adik Benzeri 23 3. BULGULAR . . . 27

3.1. Lp(s, qτ , α, χ)Fonksiyonunun Kurulumu . . . 27

3.2. Genelle³tirilmi³ Apostol-Bernoulli Polinomlar çin Kummer Tipli Kongrüanslar . . . 33

3.3. Katl Barnes-Hurwitz-Lerch Zeta Fonksiyonu . . . 38

3.4. Katl Barnes-Hurwitz-Lerch Zeta Fonksiyonunun p-adik Benzeri . . . 46

4. SONUÇ . . . 50

5. KAYNAKLAR . . . 51 ÖZGEÇM“

S˙IMGELER ve KISALTMALAR D˙IZ˙IN˙I

Simgeler

Z Tam Saylar Halkas

Q Rasyonel saylar cismi

Q Rasyonel saylar cisminin cebirsel kapan³

R Reel saylar

C Karma³k saylar cismi

χ Dirichlet karakteri

fχ Dirichlet karakterinin kondüktörü

νp p-adik de§erleme

|.|_p p-adik mutlak de§er

Zp p-adik tam saylar halkas

Qp p-adik saylar cismi

Qp p-adik saylar cisminin cebirsel kapan³

K p-adik saylar cisminin bir geni³lemesi

Cp p-adik saylar cisminin cebirsel kapan³nn tamlan³

ωx Teicmüller karakteri

∧

x Teichmüller Karakterinin Bir Geni³lemesi

Bn n. Bernoulli says

Bn(x) n. Bernoulli polinomu

Bn,χ n. genelle³tirilmi³ Bernoulli says

Bn,χ(x) n. genelle³tirilmi³ Bernoulli polinomu

β_n(α) n. Apostol-Bernoulli says β_n(x, α) n. Apostol-Bernoulli polinomu

β_n,χ(τ , α) Genelle³tirilmi³ Apostol-Bernoulli Polinomu β_n,χ(α) Genelle³tirilmi³ Apostol-Bernoulli Says s (n, m) Birinci Tip Stirling Says

S (n, m) kinci Tip Stirling Says

∆c Do§rusal Fark Operatörü

Γ(s) Euler Gamma Fonksiyonu

ζ (s) Riemann zeta fonksiyonu

ζ (s, τ ) Hurwitz zeta fonksiyonu L (s, χ) Dirichlet L-fonksiyon

Φ (s, a, λ) Hurwitz-Lerch zeta fonksiyonu L (s; τ , α, χ) Hurwitz-Lerch L-fonksiyonunu φ (s, a, x) Lipschitz-Lerch Zeta Fonksiyonu

ζ_p(s) p-adik Riemann zeta fonksiyonu Lp(s, χ) p-adik L-fonksiyonu

Lp(s; τ , α, χ) p-adik Hurwitz-Lerch L-fonksiyonu

ζ_N(s, x; ω1, ω2, ..., ωN) Katl Barnes-Hurwitz zeta fonksiyonu

ζ_p,N(s, x; ω1, ω2, ..., ωN) Katl Barnes-Hurwitz zeta fonksiyonunun p-adik benzeri

φ_N(s, x, α; ω1, ω2, ..., ωN) Katl Barnes-Hurwitz-Lerch zeta fonksiyonu

1. G˙IR˙I ¸S

Kondüktörü fχolan bir ilkel χ Dirichlet karakteri için Dirichlet L-fonksiyonu, s ∈ C,

Re (s) > 1 olmak üzere L (s, χ) = ∞ X n=1 χ (n) ns

ile tanmlanr. χ = 1 temel karakter için L (s, 1), ζ (s) ile gösterilen Riemann zeta fonksiyonudur. Dirichlet L-fonksiyonu, Dirichlet tarafndan kantlanan ve günümüzde Dirichlet Teoremi olarak bilinen n = 0, 1, 2, . . . için kn + h ³eklindeki bir aritmetik dizide sonsuz çoklukta asal saynn olmas için gerekli ve yeterli ko³ulun (h, k) = 1 olmas ifadesinde kullanlm³tr. Dirichlet L-fonksiyonu ayrca Asal Say Teoreminin analitik olarak adlandrlan kant yönteminde önemli rol oynar.

Me³hur Ars Conjectandi isimli çal³mas ile Jacob Bernoulli verilen ard³k tam saylarn kuvvetlerinin sonlu toplamlar çal³malarnda rasyonel saylarn özel bir dizisi ile ilgilenen ilk ki³idir. Bu çal³mada bu rasyonel say dizilerinin üretecini veren bir tanmlayc ba§nt bulunmu³tur. O zamandan beri söz konusu say dizisi Bernoulli saylar olarak adlandrlr ve n ∈ Z, n > 0 olmak üzere Bn ile gösterilir.

Bn Bernoulli saylar t et_{− 1} = ∞ X n=0 Bn tn n!, (|t| < 2π) üreteç fonksiyonu ile verilir. n > 0 için Bernoulli polinomlar

Bn(τ ) = n X m=0  n m  Bn−mτm

ile tanmlanr. Kondüktörü fχ olan ilkel χ Dirichlet karakteri ile genelle³tirilmi³

Bernoulli saylar n ∈ Z, n > 0 için Bn,χ ile gösterilir ve ∞ X n=0 Bn,χ tn n! = fx X a=1 χ (a) teat efχt_{− 1}

ile tanmlanr. χ = 1 temel karakter için Bn,1= Bn ve B1,1 = −B1 dir. BnBernoulli

saylar ile ζ (s) Riemann zeta fonksiyonu arasndaki n ∈ Z, n > 1 için

ζ (1 − n) = −Bn n

ba§ntsna benzer olarak Bn,χ ile L (s, χ) arasnda n ∈ Z, n > 1 için

L (1 − n, χ) = −Bn,χ n

ba§nts vardr. χ karakteri ile genelle³tirilmi³ Bernoulli polinomlar Bn,χ(τ ) = n X m=0  n m  Bn−m,χτm ile tanmlanr.

Ça§da³ matemati§in en me³hur teoremlerinden biri olan Fermat'nn Son Teoremi tek p asal saylar için xp _{+ y}p _{= z}p _{denkleminin a³ikâr olmayan tam}

say çözümlerinin olmad§n ifade eder. 1994 ylnda Wiles tarafndan kantlanan bu teorem için ilk ciddi yakla³m 1847 ylnda Kummer tarafndan yaplan ve devirli cisimlerle ilgili olan çal³malarda ele alnm³tr. Kummer, Fermat'nn Son Teoreminin Q ζp

devirli cismin snf says ile aralarnda asal olan tüm saylar için do§ru oldu§unu göstermi³tir. Bir asal saynn söz konusu snf saysn bölüp bölmedi§ini belirlemek için oldukça kullan³l bir kriter elde etmi³tir. Bir p asalnn söz konusu snf saysn bölmesi için gerekli ve yeterli ko³ul p asalnn k = 2, 4, 6, . . . , p − 3için BkBernoulli saylarnn paydasn bölmesidir. Snf saylar

ile aralarnda asal olan asal saylara düzgün (regüler) asal saylar denir. Kummer, bir asal saynn düzgünlü§ü için yukardaki kriteri günümüzde Bernoulli saylar için Kummer Kongrüanslar olarak adlandrlan a³a§daki ifadeyi kantlayarak elde etmi³tir:

p bir tek asal say, m ile n çift tam saylar, n ≡ 0 (mod p − 1) ve m ≡ n (mod p − 1)ise 1 − pm−1
Bm m ≡ 1 − p n−1
Bn n (mod p) dir.

Kummer'in çal³malarndan esinlenerek Hensel, 1900'lü yllarn ba³larnda p-adik saylar cismini sistematik olarak olu³turmu³tur. Rasyonel saylar cismi üzerinde p-adik norm tanmlam³ ve bu norma göre bu cismin tamlan³n olu³turmu³tur. Rasyonel saylardan reel ve karma³k saylarn olu³turulmas yöntemine benzer olarak Qp p-adik rasyonel saylar cismi ve Qp cisminin cebirsel

kapan³nn tamlan³ olan Cp cismini tanmlam³tr.

Bu cisimler üzerindeki analiz ile ortaya çkan ve p-adik analiz olarak adlandrlan çal³ma alannda Kummer Kongrüanslarnn yorumu 1964 ylnda Kubota ve Leopoldt tarafndan yaplm³tr. Kubota ve Leopoldt, Riemann zeta fonksiyonunun pozitif olmayan tam saylarda ald§ de§erler ile Kummer Kongrüanslarn gözlemleyerek k > 1 tam saylar için

ζ_p(1 − k) = 1 − pk−1
ζ (1 − k)

e³itli§ini sa§layan tek türlü belirli bir p-adik analitik ζp(s) fonksiyonunun

p-adik benzerlerinin olu³turulmasna geni³letmi³lerdir. 1960'larda Iwasawa, p-adik L-fonksiyonlar kullanlarak devirli cisimlerin etkili bir ³ekilde çal³labilece§ini göstermi³tir. Ayn yllarda Leopoldt Lp(1, χ) için snf says formülünü elde ederek

eliptik e§riler ve modüler formlara eklenmi³ L-fonksiyonlarnn özel de§erleri gibi di§er genelle³tirmelere olanak sa§lam³tr. Bu genelle³tirmeler Fermat'nn Son Teoreminin kantnda Wiles tarafndan kullanlm³tr.

Hurwitz-Lerch zeta fonksiyonu Φ (s, a, λ) ile gösterilir ve |λ| < 1 oldu§unda s ∈ C için, |λ| = 1 oldu§unda Re (s) > 1 için

Φ (s, a, λ) = ∞ X k=0 λk (k + a)s

ile tanmlanr. Burada, a ∈ Z ve a > 0'dr. Bu fonksiyonun özel durumlar birçok fonksiyon vermektedir:

Lipschitz-Lerch zeta fonksiyonu (x ∈ R) (Srivastava ve Choi 2001)

φ (s, a, x) = ∞ X k=0 e2πikx (k + a)s = Φ s, a, e 2πix
_,

periyodik zeta fonksiyonu (Lerch zeta fonksiyonu) (Apostol 1951)

F (x, s) = ∞ X k=1 e2πikx ks = e 2πix Φ s, 1, e2πix
, Hurwitz zeta fonksiyonu

ζ (s, a) = ∞ X k=0 1 (k + a)s = Φ (s, a, 1) , Riemann zeta fonksiyonu

ζ (s) = ∞ X k=1 1 ks = Φ (s, 1, 1) .

Karma³k kontur integral tekni§i ve Rezidü Teoremi kullanarak Lipschitz-Lerch zeta fonksiyonunun pozitif olmayan tam say de§erleri için

φ (−n, a, x) = −βn+1 a, e

2πix
n + 1

e³itli§ini göstermek mümkündür. Burada n ∈ Z, n > 0 için βn(a, α)

teat αet_{− 1} = ∞ X n=0 β_n(a, α)t n n! (1.1)

üreteç fonksiyonu ile tanmlanr. βn(0, α) yerine βn(α) yazlrsa üreteç fonksiyonu tanmndan β_n(a, α) = n X m=0  n m  β_m(α) an−m (1.2)

elde edilir. Dolaysyla βn(a, α), a de§i³kenine göre derecesi n olan bir polinomdur.

Yine üreteç fonksiyonu tanmndan βn(α) fonksiyonlarnn α de§i³kenine göre bir

rasyonel fonksiyon oldu§u görülür. Özel olarak, Apostol (1951)

β_n(α) = n n−1 X m=0 (−1)mm! α m (α − 1)m+1S (n − 1, m)

oldu§unu göstermi³tir. Burada S (n, m) ikinci tip Stirling saysdr. Günümüzde β_n(α) ile β_n(a, α), srasyla Apostol-Bernoulli saylar ve polinomlar olarak adlandrlr.

1976 ylnda Morita bir ilkel χ Dirichlet karakteri ile genelle³tirilmi³ Hurwitz-Lerch L-fonksiyonunu L (s; a, λ, χ) = ∞ X n=0 χ (n) λn (n + a)s

ile tanmlanm³tr. Karma³k kontur integrali ve Rezidü Teoremi ile negatif olmayan her n tam says için

L (−n; a, λ, χ) = ψ_n,χ(a, λ) oldu§unu göstermi³tir. Burada ψn,χ(a, λ), λ

f _{6= 1 için} ∞ X n=0 ψ_n,χ(a, λ)t n n! = f X b=1 χ (b) λbe(a+b)t λbef t_{− 1}

ile tanmlanr. Morita, ψn,χ(a, λ) fonksiyonunu p-adik olarak ifade ederek p-adik

say cisminde tanml fonksiyoneller ile p-adik Hurwitz-Lerch L-fonksiyonunu olu³turmu³tur.

Dirichlet L-fonksiyonunun p-adik benzerinin tanmlanma yöntemleri genel olarak üç grupta toplanabilir. Bunlar, kuvvet serisi yöntemi (Iwasawa 1972, Washington 1997), fonksiyoneller (Kubota ve Leopoldt 1964, Morita 1976) ve p-adik integrasyondur (Koblitz 1979, Young 2003). Bu tez çal³masnda p-adik Hurwitz-Lerch L-fonksiyonu Washington tarafndan ele alnan kuvvet serisi yöntemi ile olu³turulmu³tur. Bunun için ilk olarak genelle³tirilmi³ Apostol-Bernoulli polinomlar ve saylar tanmlanm³tr:

Tanm 1.1 Kondüktörü f olan bir ilkel χ Dirichlet karakteri ve αf _{6= 1 için} f X a=1 χ(a)αa_te(τ +a)t αf_ef t_{− 1} = ∞ X m=0 β_m,χ(τ , α)t m m!

ile tanmlanan βm,x(τ , α) fonksiyonlarna (χ karakteri ile) genelle³tirilmi³

Apostol-Bernoulli polinomlar denir.

q says, p = 2 için 4, p > 2 asal says için p olarak tanmlansn. p-adik Hurwitz-Lerch L-fonksiyonu Apostol-Bernoulli polinomlar yardmyla a³a§daki teorem ile olu³turulmu³tur:

Teorem 1.2 χ, kondüktörü f olan bir ilkel Dirichlet karakteri, F says q ile f saylarnn bir kat ve αF _{− 1}

 p > 1 olsun. Bu durumda n s ∈ Cp : |s|_p < qp− 1 p−1 o

kümesinde p-adik analitik olup a³a§daki özelliklere sahip bir Lp(s; qτ , α; χ)

fonksiyonu vardr:

Her n > 1 tam says için

Lp(1 − n; qτ , α, χ) = − 1 nβn,χn(qτ , α) + 1 nχn(p)p n−1_β n,χn  qτ p , α p  dir. Lp(s; qτ , α, χ) fonksiyonu Lp(s; qτ , α, χ) = 1 s − 1 1 f f X a=1 p-a χ (a) αaha + qτ i1−s ∞ X n=0 1 − s n  β_n αf
 f a + qτ n

³eklinde ifade edilir.

p bir asal say c ≡ 0 (mod p − 1) olacak ³ekildeki pozitif c tam says ve n 6≡ 0 (mod p − 1) olan pozitif çift n tam says için Kummer Kongrüanslar

p−k∆k_c1

nBn ∈ Zp

³eklinde de ifade edilebilir (Washington 1997). Burada ∆cxn = xn+c − xn

ile tanmlanan ∆c do§rusal fark operatörü süreklidir. Bu operatörün k defa

uygulanmas sonucu ∆k_cxn = k X m=0  k m  (−1)k−mxn+mc

ba§nts elde edilir.

Kummer Kongrüanslarnn genelle³tirilmi³ Bernoulli saylarna uygulanmas ilk kez Carlitz (1959) tarafndan incelenmi³tir. c ≡ 0 (mod p − 1) özelli§inde olan

pozitif c tam says, n > k > 1 olacak ³ekilde n ile k pozitif tam saylar ve µ > 0 tam says için fχ6= pµ olan bir χ Dirichlet karakteri

p−k∆k_c1

nBn,χ ∈ Zp[χ] ifadesini sa§lar. n > k kstlamas kaldrlrsa ∆k

c operatörü ∼ Bn,χ = − 1 n 1 − χn(p)p n−1
_B n,χ_n

saysna uyguland§nda kongrüansn gerçekle³ti§i görülür (Shiratani 1985). Burada, kondüktörü fχ olan bir ilkel χ Dirichlet karakteri için χn = χω

−n _{dir. Ayrca µ > 0}

tam say olmak üzere fχ 6= pµ olacak ³ekilde bir χ Dirichlet karakteri ve n, k, c

pozitif tam saylar için

q−k∆k_c

∼

Bn,χ∈ Zp[χ]

dir. Kummer Kongrüanslarnn bir geni³lemesi olarak Gunaratne (1995), p > 5 asal says, n, k, c pozitif tam saylar, χ = ωh _{olacak ³ekilde h ∈ Z ve h 6≡ 0 (mod p−1)}

için p−k_∆k c

∼

Bn,χ ∈ Zp oldu§unu ve ifadenin n saysndan ba§msz modülo pZp bir

de§er oldu§unu göstermi³tir.

Fox (2000), iki de§i³kenli p-adik L-fonksiyonunu kurmu³ ve bu fonksiyon yardmyla genelle³tirilmi³ Bernoulli polinomlar için Kummer Kongrüanslarn elde etmi³tir. Bu tezde Fox tarafndan elde edilen kongrüanslarn benzerleri, p-adik Hurwitz-Lerch L-fonksiyonu yardmyla genelle³tirilmi³ Apostol-Bernoulli polinomlar için elde edilmi³tir:

Teorem 1.3 n, c, k, k0 _{pozitif tam saylar, k ≡ k}0 _{(mod p − 1) ve τ ∈ Z}

p, |τ|p 6  pq−1fχn   p olsun. α F _{− 1}  p > 1 ise αqF_q−k_∆k ceβ_n,χ(τ ) − q−k∆k_ceβ_n,χ(0) ≡ αqF_q−k0 ∆k_c0βe_n,χ(τ ) − q−k 0 ∆k_c0eβ_n,χ(0) (mod pZ_p[χ, α]) dir.

Barnes (1904), 20. yüzyln ba³larnda ζ (s, x) Hurwitz zeta fonksiyonunu do§al bir yolla genelle³tirerek zeta fonksiyonlarnn yeni bir snfn olu³turmu³tur. ζ_N(s, x; ω1, ω2, . . . , ωN) ile gösterilen Barnes'n katl zeta fonksiyonu bir N do§al

says, pozitif reel ω1, ω2, . . . , ωN saylar, reel ksm pozitif olan bir x karma³k says

ve Re (s) > N olan s karma³k says için

ζ_N(s, x; ω1, ω2, . . . , ωN) = ∞ X t1,t2,...,tN=0 (x + ω1t1 + ω2t2+ · · · + ωNtN) −s

ile tanmlanr. Bu fonksiyonlar s de§i³kenine göre tüm karma³k düzleme meromork devam ettirilebilirler ve s = 1 noktasnda analitiktirler. N = 1 ve ω1 = 1için ζ (s, x)

Hurwitz zeta fonksiyonu elde edilir. Hurwitz zeta fonksiyonu ile klasik gamma fonksiyonu arasnda ∂ ∂sζ (s, x) |s=0= log  Γ (x) √ 2π 

ba§nts vardr. Bu ba§ntdan esinlenerek Barnes, katl gamma fonksiyonunu tanmlam³tr (Tangedal ve Young 2011).

Yetmi³ yl boyunca bu konu pek ilgi görmemi³, ancak 1970'lerin ortalarnda Shintani (1977), reel kuadratik say cisimleriyle ili³kili zeta fonksiyonlarnn özel de§erleri için katl-boyutlu ζN(s, A, x) zeta fonksiyonunu tanmlam³tr. A =

{aij}_{N ×n}, girdileri pozitif olan N × n tipinde bir matris, x = (x1, x2, . . . , xN) ∈ RN

ve Re (s) > N

n olmak üzere ζN(s, A, x)fonksiyonu

ζ_N(s, A, x) = ∞ X m1,m2,...,mN=0 n Y j=1 N X i=0 [(xi+ mi) aij] −s

³eklinde tanmlanr. n = 1 durumunda Barnes'n katl zeta fonksiyonu elde edilir. Ayn dönemde Cassou-Nogues (1975), Shintani'nin çal³malarndan ba§msz ve Barnes'dan habersiz olarak katl zeta fonksiyonlarn olu³turmu³ ve bu fonksiyonlarn daha sonra Volkenborn integrali yardmyla tanmlanacak olan p-adik benzerlerini geli³tirmi³tir. Bu tez çal³masnda ilk olarak katl Barnes-Hurwitz-Lerch zeta fonksiyonu φN(s, x, α; ω) tanmlanm³ ve Rezidü Teoremi ile karma³k kontur

integral teknikleri kullanlarak a³a§daki sonuç elde edilmi³tir: Teorem 1.4 ω1, ω2, . . . , ωN pozitif reel saylar, x ∈ C, Re(x) > 0 ve

α ∈ {r exp (iθ) : 0 < r < 1, −π < θ < π} olsun. Bu durumda, IN(s, x, α; ω) = 1 2πi Z C zs−1_αx_{exp (xz)} (1 − αω1_{exp (ω} 1z)) · · · (1 − αωNexp (ωNz)) dz

fonksiyonu s de§i³kenine göre bir tam fonksiyondur. Ayrca Re (s) > 1 için

φ_N(s, x, α; ω) = Γ (1 − s) IN(s, x, α; ω) (1.3)

dir.

Burada Γ (s), Euler gamma fonksiyonunun analitik devamdr. Dolaysyla (1.3) e³itli§inin her iki taraf da s ∈ C için analitik oldu§undan bu e³itlik her s

karma³k says için geçerlidir. Barnes tarafndan tanmlanan ζN(s, x; ω1, ω2, ..., ωN)

fonksiyonunun negatif tamsaylarda ald§ de§erlerle yakndan ili³kili olan ve tN_{exp (xt)} (exp(ω1t) − 1) ... (αωN exp(ωNt) − 1) = ∞ X n=0 BN,n(x, ω1, ω2, ..., ωN) tn n!

üreteç fonksiyonu ile tanmlanan Bernoulli-Barnes polinomlar Bayad ve Beck (2013) tarafndan da çal³lm³tr. Bu tez çal³masnda mertebesi N olan n−inci dereceden Apostol-Bernoulli polinomlar βN,n(x, α; ω1, ω2, ..., ωN)tanmlanm³tr ve

φ_N(s, x, α; ω) fonksiyonunun negatif tam saylardaki de§erleri ile bu polinomlar arasndaki ili³ki verilmi³tir.

Teorem 1.5 ω1, ω2, . . . , ωN pozitif reel saylar, x ∈ C, Re(x) > 0 ve

α ∈ {r exp (iθ) : 0 < r < 1, −π < θ < π} olmak üzere k > 0 tam says için

φ_N(−k, x, α; ω) = k! (−1)

N

(N + k)!βN,N +K(x, α; ω) dir.

Kubota ve Leopoldt'un (1964) Riemann zeta ve L-fonksiyonlarnn p-adik benzerlerini in³a etmesinden sonra Morita (1975), Diamond (1977) ve Washington (1997) srasyla klasik gamma, log gamma ve Hurwitz zeta fonksiyonlarnn p-adik benzerlerini olu³turmu³lardr. Diamond, log gamma fonksiyonunun p-adik benzeri olan Gp fonksiyonunu Volkenborn integrali yardmyla tanmlam³tr. Kashio (2005),

Shintani ve Cassou-Nogues'in baz çal³malarn yeniden düzenlemi³ ve Shintani'nin önemli bir formülüne oldukça yakn bir p-adik sonuç elde etmi³tir. Tangedal ve Young (2011), p-adik katl zeta ve log gamma fonksiyonlarn tanmlarken Kashio'nun tekni§indeki gibi Volkenborn integralini farkl bir integrand ile kullanm³lardr. Bu tezde Tangedal ve Young'n (2011) kulland§ teknik yardmyla katl Barnes-Hurwitz-Lerch zeta fonksiyonu olan φN(s, x, α; ω)fonksiyonunun p-adik

benzeri φ_p,N(s, x, α; ω) = 1 ω1ω2· · · ωN(s − 1) · · · (s − N ) Z ZNp αx+ωt _{x + ωt}
N < x + ωt >s dt

e³itli§i ile tanmlanm³ ve

φ_p,N(−k, x, α; ω) = < x > x k_XN m=0 N m  (ln α)m (k + 1)_mφN(−k − m, x, α; ω)

ifadesi elde edilmi³tir. Burada (α)k ile gösterilen Pochhammer sembolü (α)k =

2. KURAMSAL B˙ILG˙ILER VE KAYNAK TARAMALARI

2.1. p-adik Saylar Cismi ve Baz Elementer Fonksiyonlar

Bu bölüm; Katok (2007), Gouvea (1997), Schikhof (1984), Cohen (2007) ve Washington (1997) tarafndan yazlan kitaplarndan derlenerek hazrlanm³tr. Bu bölümde verilen teoremlerin kantlar ve konuyla ilgili daha detayl bilgiler için bu kaynaklar incelenebilir.

Tanm 2.1 F bir cisim olsun. A³a§daki özellikleri sa§layan k.k : F → R+ _{∪ {0}}

dönü³ümüne F cismi üzerinde bir norm denir:

i) kxk = 0 ⇔ x = 0

ii) Her x, y ∈ F için kxyk = kxk kyk iii) Her x, y ∈ F için kx + yk ≤ kxk + kyk

F cismi bu normla indirgenen metrik ile bir metrik uzay olur. Tanm 2.2 Bir norm

kx + yk ≤ max {kxk , kyk} özelli§ini sa§lyorsa bu norma non-Archimedean norm denir.

Bu normla birlikte F cismine non-Archimedean cisim denir. Non-Archimedean norm ile indirgenen d metri§ine ultrametrik denir. Bu metrik, üçgen e³itsizli§i yerine "güçlü üçgen e³itsizli§i" ad verilen a³a§daki özelli§i sa§lar:

d (x, y) ≤ max {d (x, z) , d (z, y)}

p bir asal say olsun. Q cismi üzerinde bir |.|_{p : Q → R}+_{∪ {0}dönü³ümü}

|x|_p = p

−νp(x)_{, x 6= 0}

0, x = 0 

³eklinde tanmlansn, burada νp(x) ile verilen p-adik de§erleme a³a§daki ³ekilde

tanmlanr:

x ∈ Z için y ∈ Z, p - y olmak üzere x = pk_{y ise ν}

p(x) = k' dr. x = a_b ∈ Q ve

b 6= 0 ise νp(x) = νp(b) − νp(a)' dir.

x ≡ y _{(mod mZ}p)

kongrüans

νp(x − y) > νp(m)

Önerme 2.3 |.|p dönü³ümü Q cismi üzerinde bir non-Archimedean normdur.

Teorem 2.4 (Ostrowski Teoremi) Q cismi üzerinde a³ikar olmayan her norm, p asal say veya p = ∞ olmak üzere |.|p normuna denktir.

Önerme 2.5 Q cismi |.|p normu tarafndan indirgenen metrik ile tam uzay de§ildir.

Tanm 2.6 |.|p normuna göre Q cisminin tamlan³na p-adik saylar cismi denir ve

Qp ile gösterilir.

Bu durumda Qp cisminin elemanlar; Q cismindeki |.|_p normuna göre Cauchy

dizilerinin denklik snardr.

m says pozitif bir tam say olsun. 0 < d−m < p ve her i > −m tamsays

için 0 ≤ di < p olmak üzere

d−m

pm +

d−m+1

pm−1 + · · · + d0+ d1p + d2p

2_{+ · · · (2.1)}

serisi ele alnsn. Her  > 0 için p−N _{<∈ olacak ³ekilde bir N tam says seçilebilir}

öyle ki k > n > N için      k X i=−m dipi− n X i=−m dipi      p ≤ max n<i≤k n  dipi   p o < p−N < 

oldu§u için (2.1) ifadesi ile verilen serinin ksmi toplamlar dizisi |.|p normuna göre

bir Cauchy dizisidir. Bundan dolay (2.1) formundaki her seri Qp cisminin bir

elemandr. Tersine Qp cisminin her eleman da (2.1)'de verilen bir seri ile ifade

edilebilir. Ancak bu ksmn gösterilebilmesi için önce a³a§daki teorem verilmelidir. Teorem 2.7 Qp cismindeki, |a|_p ≤ 1özelli§ini sa§layan her a denklik snf tam bir

tane {ai} Cauchy dizisi gösterimine sahiptir öyle ki

i) Her i ∈ N için ai ∈ Z' dir ve 0 ≤ ai < pi

ii) Her i ∈ N için ai ≡ ai+1(mod pi)' dir.

Bu durumda bu teorem yardmyla |a|p ≤ 1 özelli§ini sa§layan her a

elemannn gösterim dizisinin her ai terimini a³a§daki ³ekilde yazmak mümkündür:

ai = d0+ d1p + d2p2 + · · · + di−1pi−1 (2.2)

Burada di ∈ {0, 1, · · · , p − 1} dir. Ayrca Teoremin (ii) maddesinden

yzlabilir. Buradaki d0'dan di−1'e kadar olan saylar (2.2) e³itli§indeki saylarla

ayndr. Böylece a says |.|p normuna göre yaknsak olan a³a§daki seri ile ifade

edilir: a = ∞ X n=0 dnpn

Bu durumda a = · · · dn· · · d2d1d0 yazlr ve bu yazlma a'nn kanonik p-adik açlm

denir.

Qp cisminin, |a|p > 1 özelli§ini sa§layan her a eleman p saysnn bir kuvveti

ile (pm _{= |a|}

p ile) çarplsn. |a 0_|

p = 1 özelli§ini sa§layan a

0 _{= ap}m _{says elde edilir.}

Buradan a says a = ∞ X n=−m dnpn (2.3)

ile yazlabilir. Burada d−m 6= 0 ve di ∈ {0, 1, · · · , p − 1}' dir. O halde a eleman da

kanonik p-adik açlma sahiptir ve bu açlm a = · · · dn· · · d2d1d0.d−1d−2· · · d−m ile

gösterilir.

A³a§daki önerme; bir p-adik saynn normunun, o saynn sahip oldu§u kanonik açlmn sfrdan farkl ilk katsaysnn indisi ile belirli oldu§unu söyler: Önerme 2.8 0 ≤ n < k için dn = 0 ve dk6= 0 olacak ³ekilde a =

∞ P n=0 dnpn ise |a|_p = p−k' dr. d−m 6= 0 olmak üzere a = ∞ P n=−m

dnpn ise |a|p = pm' dir.

p-adik açlm yardmyla Qp cisminde aritmetik i³lemler a³a§daki ³ekilde

verilir: a = ∞ X n=−m anpn ve b = ∞ X n=−m bnpn

olsun. Burada an, bn ∈ {0, 1, · · · , p − 1}ve a−m 6= 0'dr, fakat b−m, b−m+1,. . .

³eklinde ilk birkaç terim sfr olabilir. Bu durumda a + b =

∞

X

n=−m

(an+ bn) pn

serisi yaknsaktr, ancak (2.3) e³itli§i ile verilen formda de§ildir. Teorem2.7 ile verilen kanonik forma dönü³türme yöntemi, p-adik saylarn kanonik formdaki yazlmlarnda sa§dan sola standart toplama i³lemine kar³lk gelir. Bu yöntem yardmyla elde edilen seri,(2.3) e³itli§i ile verilen formda yazlabilir. Böylece a + b says da kanonik p-adik açlma sahiptir. Benzer ³ekilde çarpma i³lemi de a³a§daki ³ekilde tanmlanr: a = ∞ X n=−m anpn ve b = ∞ X n=−k bnpn

kanonik formda verilen iki say olsun. Verilen iki seri terim terim çarplp yeniden düzenlenirse ab = ∞ X n=−m−k unpn

elde edilir. Burada

u−m−k = a−mb−k

u−m−k+1 = a−m+1b−k+ a−mb−k+1

· · · dir.

Tanm 2.9 Bir a ∈ Qp p-adik saysnn kanonik açlm sadece p'nin negatif

olmayan kuvvetlerinden olu³uyorsa a saysna p-adik tam say denir.

p-adik tamsaylar kümesi Zp ile gösterilir, dolaysyla

Zp = ( _∞ X i=0 aipi ) dir. Zp = n

a ∈ Qp : |a|_p ≤ 1o oldu§u kolayca görülebilir. Bu ³ekilde tanmlanan Zp

kümesi yukarda verilen i³lemler ile bir de§i³meli halkadr.

Önerme 2.10 Bir

a = · · · a1a0

p-adik tam saysnn Zp halkasnda bir çarpmsal tersinin var olmas için gerek ve

yeter ³art a0 6= 0 olmasdr.

Zp halkasndaki tersinir elemanlarn kümesi Z∗p ile gösterilsin. Bu durumda

Z∗p =

n

a ∈ Zp : |a|p = 1

o dir.

Teorem 2.11 Qp cisminde bir {an} dizisinin bir Cauchy dizisi ve dolaysyla

yaknsak olmas için gerek ve yeter ko³ul a³a§daki özelli§i sa§lamasdr: lim

Önerme 2.12 an ∈ Qpolmak üzere bir ∞

P

n=0

anserisinin Qp cisminde yaknsak olmas

için gerek ve yeter ko³ul lim

n→∞|an|p = 0 olmasdr.

Formal bir kuvvet serisi, an∈ Qp olmak üzere

f (x) =

∞

X

n=0

anxn

ile verilsin. Bu serinin yaknsak olmas için gerek ve yeter ko³ulun lim

n→∞|anx n_|

p = 0

oldu§u biliniyor. Böylece bir r ≥ 0 reel says için lim

n→∞|an|pr

n _{= 0ise} P∞

n=0

anxn serisi

en azndan |x|p ≤ r bölgesinde yaknsaktr.

Tanm 2.13 Katsaylar Qp cisminde olan bir f(x) = ∞

P

n=0

anxn kuvvet serisinin

yaknsaklk yarçap 0 ≤ rf ≤ ∞ geni³letilmi³ reel says

rf = sup n r ≥ 0 : |an|_prn→ 0 o ile tanmlanr. Önerme 2.14 f(x) = P∞ n=0

anxn kuvvet serisinin yaknsaklk yarçap

rf =

1 lim sup |an|1/n_p

dir.

Qp cisminde baz temel fonksiyonlar a³a§daki ³ekilde tanmlanr:

Tanm 2.15 |x − 1|p < 1 olan x ∈ Zp de§erleri için p-adik logaritma fonksiyonu

log_p(x) = log x = ∞ X n=1 (−1)n+1(x − 1)n n

serisi ile tanmlanr. Tanm 2.16 |x|p < p

− 1

p−1 olan x ∈ Z

p de§erleri için p-adik üstel fonksiyon;

exp_p(x) = ∞ X n=0 xn n! serisi ile tanmlanr.

Qp cismi cebirsel kapal de§ildir. Qp cisminin cebirsel kapan³ ¯Qp ile

gösterilsin. ¯Qp cismi |.|_p normunun geni³lemesiyle elde edilen norm ile tam uzay

de§ildir. Cp ile, ¯Qp cisminin tamlan³ gösterilsin. Bu durumda a³a§daki önerme

verilebili:

Önerme 2.17 Cp cismi cebirsel kapaldr.

C+p :=

n

x ∈ Cp : |x|p 6 1

o

kümesi tanmlansn. p-adik logaritma fonksiyonunun ve p-adik üstel fonksiyonun tanmlar, srasyla a³a§daki ³ekilde geni³letilebilir:

Tanm 2.18 Tanm 2.15'de verilen seri ile logaritma fonksiyonu log : V → Cp

olarak tanmlanabilir. Burada V kümesi

V =n_{x ∈ C}+_p : |x − 1|_p < 1o ile verilir.

Tanm 2.19 Tanm 2.16'da verilen seri ile üstel fonksiyon exp : W → Cp olarak

tanmlanabilir. Burada W kümesi

W =n_{x ∈ C}+_p : |x|_p < p−p−11

o ile verilir.

Bu fonksiyonlar d³nda, tezin Bulgular bölümünde kullanlacak olan ve p-adik binom serisi olarak da bilinen önemli bir fonksiyonun tanm burada verilebilir:

Tanm 2.20 x, a ∈ Cp için xa fonksiyonu, a³a§da verilen toplam yaknsak

oldu§unda xa = ∞ X n=0 a n  (x − 1)n ifadesi ile tanmlanr.

2.2. Dirichlet Karakteri

G bir sonlu çarpmsal Abel grubu olsun. G grubundan karma³k saylarn C∗ çarpmsal grubuna tanmlanan bir homomorzme G grubunun bir karakteri denir. Dolaysyla, G grubunun bir karakteri, f : G −→ C∗_{, her x, y ∈ G için}

kümesi Hom (G, C∗_{)ile gösterilen ve G grubunun duali olarak adlandrlan bir grup}

olu³turur.

n ∈ Z, n > 1 olmak üzere Z/nZ halkasndaki tersinir elemanlarn (Z/nZ)∗ grubu, mertebesi φ (n) olan bir Abel grubudur (burada φ, Euler φ-fonksiyonudur). Bu grubun dualindeki bir χ elemanna bir Dirichlet karakteri denir. Bu karakter, tanm kümesi n says ile aralarnda asal olan tam saylar, görüntü kümesi C∗

ve χ (ab) = χ (a) χ (b) özelli§ini sa§layan bir fonksiyon olarak ele alnabilir. Bu fonksiyon tüm tam saylar kümesine (a, n) 6= 1 ise χ (a) = 0 olacak ³ekilde geni³letilebilir.

n | molmak üzere (Z/mZ)∗grubunun her karakteri n modülüne göre (Z/nZ)∗ grubunun bir karakteridir. Bu yüzden bir χ Dirichlet karakterinin modülü olan n saysn en küçük olacak ³ekilde seçmek uygundur. Bu türde olan sayya χ Dirichlet karakterinin kondüktörü denir ve fχ (veya ksaca f) ile gösterilir. Bu çal³ma

boyunca her karakterin kondüktörü modülünde tanmland§ varsaylacaktr. Bu türde olan karakterlere ilkel karakter denir.

χ ve ψ, srasyla kondüktörleri fχ ve fψ olan Dirichlet karakterleri olsun. χψ

çarpm a³a§daki ³ekilde tanmlansn:

γ : (Z/ (fχ, fψ) Z) ∗

−→ C∗.

γ (a) = χ (a) ψ (a)homomorzmas ele alnsn. Bu durumda χψ, γ ile ili³kili bir ilkel karakterdir ve χψ karakterinin kondüktörü olan fχψ says (fχ, fψ)saysn böler. Bu

çal³ma boyunca χ karakterinin kondüktörü f ile gösterilecektir. 2.3. Teichmüller Karakteri ve Baz Geni³lemeleri p bir asal say olmak üzere

q = p, p 6= 2ise; 4, p = 2ise. olsun. a ∈ Z ve (a, p) = 1 ise ω (a)φ(q)

= 1 olacak ³ekilde tek türlü belirli bir ω (a) ∈ Zp vardr. Bu say

ω (a) ≡ a _{(mod qZ}p)

özelli§indedir. Bu ³ekilde tanmlanan ω (a) says tüm tam saylara (a, p) 6= 1 için ω (a) = 0 olacak ³ekilde geni³letildi§inde bir karakter olarak dü³ünülebilir. Bu durumda ω, kondüktörü q olan bir Dirichlet karakteridir. Bu karaktere Teichmüller karakteri denir. Bu karakter yardmyla

fonksiyonu tanmlansn. hai ≡ 1 (mod qZp) dir. τ ∈ Cp, |τ|_p 6 1 için ω (a + qτ ) =

ω (a) oldu§undan hai = ω−1(a)a fonksiyonu

ha + qτ i = ω−1(a) (a + qτ ) ³eklinde geni³letilebilir.

Q geni³lemesinden Cp cismine bir gömme seçilsin ve bu seçim sabitlensin.

Kondüktörü f olan bir ilkel χ Dirichlet karakteri için bu gömme yardmyla χ de§erlerinin Cp cisminde oldu§u dü³ünülebilir. Bu karakter yardmyla χn = χω−n

tanmlansn. Buradaki çarpm, bir önceki bölümde tanmlanan karakterlerin çarpm anlamndadr ve χnkarakterinin kondüktörü olan fχn, ekok(f, q) saysnn bir katdr.

Teichmüller karakterinin bir di§er geni³lemesi ise a³a§daki ³ekilde verilebilir (Cohen 2007, Tangedal ve Young 2011):

C∗p kümesi, Cp cismindeki tersinir elemanlarn kümesi ve PQ, p asal saysnn

rasyonel kuvvetlerinin kümesinin Q kümesinden Cp cismine yaplan gömme altnda

C∗p cismindeki görüntüsü olsun. U kümesi C ∗

p cisminde mertebesi p ile bölünmeyen

birimin köklerinin grubu olsun. Bu durumda x ∈ Cp ve |x|p = 1 ise

  x − ∧ x    p < 1 olacak ³ekilde tek türlü belirli birx ∈ U∧ eleman vardr (buna Teichmüller gösterimi denir). Bu gösterim ∧x = lim

n→∞x pn!

³eklinde de yazlabilir. Bu tanm x ∈ C∗ p için ∧ x = ∧  x pνp(x) 

ile geni³letilebilir. Yani, x = pr_u, pr _{∈ P}Q ve |u|

p = 1 için ∧ x = u∧ tanmlanabilir. Buradan < . > fonksiyonu C∗ p üzerinde < x >= p−νp(x)x_∧ x

ile tanmlanabilir (bu tanm p = 2 için Washinton'un tanmndan farkldr). Bu tanm, çarpmsal gruplarn bir direkt çarpmna olanak sa§lar.

D =n_{x ∈ C}p : |x − 1|p < 1 o olsun. Bu durumda C∗p ' PQ× U × D x = pνp(x) ∧x < x >7→pνp(x),∧x, < x > dir. C∗

p cisminin Q kümesinden Cp cismine yaplan gömmenin seçimine ba§ldr;

Qp cismindeki tersinir elemanlarn kümesi olmak üzere x ∈ Q∗p için bu izdü³ümler

tek türlü belirlidir ve gömmenin seçiminden ba§mszdr. x 7→ pvp(x) _{ve x 7→ x}∧

izdü³üm dönü³ümlerinx ∈ Cp : |x − y|_p < |y|_po ³eklindeki yuvarlar üzerinde sabittir

ve böylece türevleri sfrdr. 2.4. p-adik L-Fonksiyonu

Kubota ve Leopoldt (1964) Dirichlet L-fonksiyonunun p-adik benzerlerinin varl§n kantlam³ ve negatif tam saylardaki de§erlerini elde etmi³lerdir. Daha sonra birçok farkl yöntemle olu³turulan bu fonksiyonun tanmlanmasnda kullanlan yöntemler kuvvet serileri, fonksiyoneller ve p-adik integrasyon olmak üzere üç grupta incelenebilir. Iwasawa (1972) ve Washington (1997) kuvvet serileri yardmyla p-adik L-fonksiyonunu kurmu³tur. Washington'un kulland§ yöntem Iwasawa'nn yönteminden biraz daha farkldr. Washington'un yönteminde p-adik L-fonksiyonunun kesin ifadesi elde edilmektedir. Bu bölümde Washington'un yöntemi ele alnacaktr, Iwasawa'nn yönteminden ileride söz edilecektir.

a ve F saylar 0 < a < F özelli§inde olan tam saylar olmak üzere H(s, a, F ) = X m≡a (mod F ) m>0 1 ms = ∞ X n=0 1 (a + nF )s tanmlansn, bu durumda n > 1 için

H(1 − n, a, F ) = −F n−1 n Bn a F 

olur. Serilerin yaknsaklk bölgesini belirlemekle ilgili olan a³a§daki ön teorem verilebilir:

Ön Teorem 2.21 (Washington 1997) r says 0 < r < p−_p−11

< 1 özelli§ini sa§layan bir reel say ve bir M sabiti için |an|p 6 Mrn olmak üzere

f (x) = ∞ X n=0 an x n 

olsun. Bu durumda f(x) fonksiyonu yaknsaklk yarçap en az R =rpp−11

−1 > 1 olan bir kuvvet serisi ³eklinde yazlabilir.

Bu ön teoremin kullanlabilmesi için birer rasyonel say olan Bernoulli saylarnn paydasnn, bir p asalnn hangi kuvvetini içerdi§inin bilinmesine ihtiyaç vardr. Bu amaç do§rultusunda von Staudt-Clausen Teoremi olarak bilinen a³a§daki teorem burada hatrlatlabilir:

Teorem 2.22 (von Staudt-Clausen) n bir do§al say, p bir asal say ve A2n bir tam

say olmak üzere

B2n = A2n− X pasal (p−1)|2n 1 p dir.

1840 ylnda Thomas Clausen tarafndan kantsz olarak verilen ve ayn yl Christian von Staudt tarafndan kantlanan bu teoremin farkl yöntemlerle yaplan birçok kant Cayley'in (2007) yüksek lisans tezinde bulunabilir.

Hp(s, a, F ) fonksiyonunun analitiklik özellikleri a³a§daki teorem ile

verilebilir:

Teorem 2.23 (Washington 1997) F ve a saylar q | F , p - a, 0 < a < F özelli§inde olan tam saylar olsun.Bu durumda

B =n_{s ∈ C}p : |s|_p < qp − 1

p−1 > 1

o

kümesinde p-adik meromork bir Hp(s, a, F ) fonksiyonu vardr. Her n > 1 tam

says için Hp(1 − n, a, F ) = ω−n(a)H(1 − n, a, F ) = − ω−n(a)Fn−1 n Bn a F  dir. Özel olarak, p > 2 için n ≡ 0 (mod p − 1) ve p = 2 için n ≡ 0 (mod 2) ise

Hp(1 − n, a, F ) = H(1 − n, a, F )

dir. Hp fonksiyonu s = 1 noktasndaki basit kutbu hariç analitiktir ve fonksiyonun

bu kutuptaki rezidüsü 1 F dir.

Bu teoremin kant Teorem 2.22 ve Ön Teorem 2.21 yardmyla yaplr. Bu teoremden yararlanlarak p-adik L-fonksiyonu olu³turulabilir. Bunun için önce genelle³tirilmi³ Bernoulli saylar ve klasik Bernoulli saylar arasndaki ba§nt ifade edilmelidir.

Ön Teorem 2.24 F says q ve f saylarnn bir kat olmak üzere

Bn,χ = Fn−1 F X a=1 χ (a) Bn a F  dir.

Lp(s; χ) p-adik L-fonksiyonu Washington (1997) tarafndan a³a§daki ³ekilde

tanmlanm³tr:

Teorem 2.25 (Washington 1997) χ, kondüktörü f olan bir ilkel Dirichlet karakteri ve F says q ile f saylarnn bir kat olsun. Bu durumda,

B = n s ∈ Cp : |s|_p < qp− 1 p−1 o

kümesinde p-adik meromork (χ 6= 1 için analitik) bir Lp(s; χ) fonksiyonu vardr.

Her n > 1 tam says için

Lp(1 − n; χ) = −

(1 − χ_n(p) pn−1₎

n Bn,χω−n (2.4)

dir. χ = 1 ise Lp(s; 1) fonksiyonu s = 1 noktasndaki basit kutbu hariç analitiktir.

Fonksiyonun s = 1 noktasndaki rezidüsü 1 − 1_p dir. Lp(s; χ) fonksiyonu

Lp(s; χ) = 1 F 1 s − 1 F X a=1 p-a χ (a) hai1−s ∞ X j=0 1 − s j  Bj  F a j

³eklinde ifade edilir.

2.5. Kummer Tipli Kongrüanslar

Iwasawa (1972), Dirichlet L-fonksiyonunun bir p-adik benzerinin varl§n ve kuvvet serileriyle ifade edilebilece§ini kantlam³tr. Bu yöntemden yararlanarak Fox (2000), iki de§i³kenli p-adik L-fonksiyonunu olu³turmu³ ve bu fonksiyon yardmyla genelle³tirilmi³ Bernoulli polinomlar için Kummer tipli kongrüanslar elde etmi³tir. Bu bölümde ilk olarak Iwasawa'nn p-adik L-fonksiyonunu olu³tururken kulland§ yöntemden bahsedilecektir.

Qp, Qp cisminin cebirsel kapan³, K, Qp cisminin bir sonlu geni³lemesi ve

{bn}, K cisminde bir dizi olsun. Bu durumda

cn= n X k=0 (−1)n−kn k  bk

e³itli§i ile K cisminde bir {cn}dizisi tanmlanabilir. {an}, K cisminde bir dizi olmak

üzere A(x) = ∞ X n=0 anxn

serilerinin olu³turdu§u K [[x]] kümesi üzerinde kAk_p = sup

n

|an|_p

normu tanmlansn. kAkp < ∞ özelli§indeki A kuvvet serilerinin kümesi PK ile

gösterilsin.

Teorem 2.26 (Iwasawa 1972) r says 0 < r < |p|p−11

p özelli§ini sa§layan bir reel

say ve her n > 0 tam says için c bir reel say olmak üzere |cn|_p 6 crn olsun.

Bu durumda PK kümesinde a³a§daki özellikleri sa§layan tek türlü belirli bir A(x)

kuvvet serisi vardr:

(i) A(x) kuvvet serisi |ξ|p < |p| 1 p−1

p r−1 ko³ulunu sa§layan her ξ ∈ Qp için yaknsaktr.

(ii) Her n > 0 için A(n) = bn dir.

Sonuç 2.27 (Iwasawa 1972) A(x) Teorem 2.26'deki kuvvet serisi olsun. Bu durumda, |ξ|p < |p|

1 p−1

p r−1 özelli§indeki her ξ ∈ Qp için

A(ξ) = ∞ X n=0 cn  ξ n  dir.

Qp(χ), her a ∈ Zp için Qp cisminin χ (a) tarafndan üretilen bir geni³lemesi

olmak üzere K = Qp(χ) olsun. K cisminde

bn,χ = 1 − χn(p) pn−1
Bn,χn cn,χ = n X k=0 (−1)n−kn k  bk,χ

e³itlikleri ile tanmlanan {bn,χ} ve {cn,χ} dizileri için a³a§daki ön teorem ifade

edilebilir:

Ön Teorem 2.28 (Iwasawa 1972) Her n > 0 tam says için |cn,χ|_p 6  q−2f−1 p|q| n p dir.

Bu ön teorem Bn,χn = lim h→∞ 1 ph_f χn phfχn X a=1 χ_n(a) an

ifadesi yardmyla kantlanr. Ön Teorem2.28kullanlarak r = |q|p için Teorem2.26,

K = Qp(χ)cismindeki {bn,χ} ve {cn,χ}dizilerine uygulanabilir.

Teorem 2.29 (Iwasawa 1972) A³a§daki özellikleri sa§layan bir p-adik meromork Lp(s; χ) fonksiyonu vardr: (i) Lp(s; χ) fonksiyonu B0 =  s ∈ Qp : |s − 1|p < |p| 1 p−1 p r−1  bölgesinde yaknsak olan Lp(s; χ) = a−1,χ s − 1 + ∞ X n=0 an,χ(s − 1) n

kuvvet serisidir. Burada an,χ ∈ K ve a−1,χ=

 1 −1

p, χ = 1 ise;

0, χ 6= 1 ise. dir. (ii) Her n > 0 tam says için

Lp(1 − n; χ) = − 1 nbn,χ = − (1 − χ_n(p) pn−1) n Bn,χn (2.5) dir. Bu teorem, Lp(s; χ) = 1 s − 1Aχ(1 − s) e³itli§i yardmyla kantlanabilir. (2.5) e³itli§i

Lp(1 − n; χ) = 1 − χn(p) pn−1
L(1 − n; χn)

³eklinde de yazlabilir.

Iwasawa tarafndan yukardaki ³ekilde tanmlanan Lp(s; χ) fonksiyonu, Fox

(2000) tarafndan iki de§i³kenli Lp(s, τ ; χ)fonksiyonu tanmlanarak geni³letilmi³tir.

τ ∈ Qp, |τ|p 6 1 ve Kτ = Qp(χ, τ ) olarak alnsn. Bu durumda,

bn(τ , α) = Bn,χn(qτ , α) − χn(p)p n−1_B n,χn  qτ p , α p  ile tanmlanan bn(τ , α) ve cn(τ , α) = n X m=0  n m  (−1)n−kbm(τ , α)

Teorem 2.30 (Fox 2000) Her τ ∈ Cp, |τ|_p 6 1 için tek türlü belirli

bir p-adik meromork Lp(s, τ ; χ) fonksiyonu vardr. Bu fonksiyon B0 =

 s ∈ Qp: |s − 1|p < |p| 1 p−1 p |q|−1_p 

bölgesinde yaknsak olan

Lp(s, τ ; χ) = a−1,χ(τ ) s − 1 + ∞ X n=0 an,χ(τ ) (s − 1) n

serisi ile gösterilir. Burada, an,χ(τ ) ∈ Kτ ve a−1,χ(τ ) =

 1 −1

p, χ = 1 ise;

0, χ 6= 1 ise. dir. Ayrca her n > 1 tam says için

Lp(1 − n, τ ; χ) = − 1 n  Bn,χn(qτ ) − χn(p)p n−1_B n,χn  qτ p  dir .

F says pq−1fχ_n saysnn bir pozitif kat olsun. Teichmüller karakterinin

geni³lemesi yardmyla kongrüanslar için önemli rol oynayan a³a§daki teorem verilebilir:

Teorem 2.31 (Fox 2000) τ ∈ Cp, |τ|p 6 1, ve χ = 1 için s 6= 1 olmak üzere s ∈ B 0 olsun. Bu durumda Lp(s, τ + F ; χ) − Lp(s, τ ; χ) = − qF X a=1 (a,p)=1 χ₁(a) ha + qτ i−s (2.6) dir.

Bu teoremin kant önce s = 1 − n için yaplr. s ∈ B0 _{için kant a³a§daki}

sonuca dayanr:

Ön Teorem 2.32 (Iwasawa 1972) A1(x)ile A2(x), K [[x]] kuvvet serileri halkasnn

sfrn bir kom³ulu§unda Cp cisminde yaknsak olan iki eleman olsun. Sfrdan

farkl ve Cp cisminde sfra yaknsayan bir {ξn} dizisi için A1(ξn) = A2(ξn) ise

A1(x) = A2(x) dir.

(2.6) e³itli§inin sol taraf A1(s) ve sa§ taraf A2(s) kuvvet serisi olarak

dü³ünülebilir. Sfr, negatif tam saylarn bir limit noktas oldu§undan Ön Teorem 2.32'deki {ξn}dizisi için negatif tam saylar alnabilir. Bu durumda, A1(s)ve A2(s)

kuvvet serilerinin s ∈ B0 _{için yaknsak olduklar gösterildi§inde Ön Teorem2.32'den}

Sonuç 2.33 (Fox 2000) χ = 1 için s 6= 1 olmak üzere s ∈ B0 _{olsun. Bu durumda,} Lp(s, F ; χ) − Lp(s, 0; χ) = − qF X a=1 (a,p)=1 χ₁(a) hai−s dir.

Gösterimde sadelik açsndan n pozitif bir tam say olmak üzere

∼ Bn,χ(τ ) = − 1 n  Bn,χn(qτ ) − χn(p)p n−1_B n,χn  qτ p 

olsun. Bu durumda, yukardaki sonuçlar yardmyla Fox (2000) tarafndan kantlanan Kummer tipli kongrüanslar verilebilir.

Teorem 2.34 (Fox 2000) n, c, k pozitif tam saylar ve τ ∈ Zp, |τ|_p 6

 pq−1fχ_n   p olsun. Bu durumda, q−k∆k_c ∼ Bn,χ(τ ) − q−k∆kc ∼ Bn,χ(0)

ifadesi Zp[χ] halkasnn bir elemandr ve modülo qZp[χ] n saysndan ba§mszdr.

Bu teorem öncelikle F says pq−1_f

χ_nsaysnn bir pozitif kat olmak üzere τ =

F için kantlanr. pq−1fχnZ kümesindeki pozitif tam saylar pq −1_f

χnZp kümesinde

yo§un oldu§undan bu teoremin bir τ ∈ pq−1_f

χnZp eleman için kant pq −1_f

χnZp

kümesinde τ elemanna yaknsayan pozitif bir {τi} dizisinin varl§ ile elde edilir.

Bu teorem yardmyla, benzer ³ekilde kantlanan a³a§daki sonuç da verilebilir: Teorem 2.35 (Fox 2000) n, c, k, k0 _{pozitif tam saylar, k ≡ k}0

(mod p − 1) ve τ ∈ Zp, |τ|_p 6  pq−1fχn   p olsun. Bu durumda q−k∆k_c ∼ Bn,χ(τ ) − q−k∆kc ∼ Bn,χ(0) ≡ q−k 0 ∆k_c0 ∼ Bn,χ(τ ) − q−k 0 ∆k_c0 ∼ Bn,χ(0) (mod pZp[χ]) dir.

2.6. Volkenborn ntegrali ve Barnes Katl Zeta Fonksiyonunun p-adik Benzeri

yi özelliklere sahip (en azndan sürekli, ancak genel olarak analitik) p-adik fonksiyonlar tanmlamann birçok yolu vardr. Bu yöntemler birbirleriyle ili³kilidir ve bunlar yardmyla gamma, zeta ve L-fonksiyonlarnn p-adik benzerleri tanmlanabilir. Bu yöntemlerden bazlar p-adik interpolasyon yöntemi, Mahler açlm, kuvvet serileri ve p-adik ölçüm kullanlarak uygulanan yöntemlerdir. p-adik ölçüm içeren yöntemlerden biri de Volkenborn integralinin kullanlmasdr.

Tanm 2.36 (Cohen 2007) Verilen bir g fonksiyonu için iki de§i³kenli Φg (x, y) = g (x) − g (y)

x − y

fonksiyonu bir a ∈ Zp ve x 6= y için (x, y) → (a, a) iken l = g0(a) limitine sahip ise

g fonksiyonuna a ∈ Zp noktasnda kesin diferansiyellenebilirdir denir. Bir X ⊆ Zp

için g fonksiyonu her a ∈ X noktasnda kesin diferansiyellenebilir ise g fonksiyonuna X kümesinde kesin diferansiyellenebilirdir denir ve g ∈ S1_(Z

p) ile gösterilir.

Tanm 2.37 (Cohen 2007) g : Zp −→ Cp fonksiyonu verilsin. g fonksiyonunun Zp

üzerindeki Volkenborn integrali, e§er limit varsa Z Zp g (t) dt = lim r→∞ 1 pr X 06n<pr g (n)

formülü ile tanmlanr.

g ∈ S1_(Z

p) ise R Zp

g (t) dt vardr (Cohen 2007). g ∈ S1_(Z

p) olan fonksiyonlar

için a³a§daki e³itlikler sa§lanr: Z Zp g (t + 1) dt = Z Zp g (t) dt + g0(0) , Z Zp g (t + 1) dt = Z Zp g (−t) dt, Z Zp g (t) dt = 1 m m−1 X j=0 Z Zp g (j + mt) dt, m ∈ Z, m > 0.

Tangedal ve Young (2011) katl Volkenborn integralinin tanmn iterasyon yardmyla verip bu tanmdan faydalanarak Barnes katl zeta fonksiyonunun p-adik benzerini elde etmi³lerdir. Buna göre 1 6 k 6 N olmak üzere her sabit (tk+1, tk+2, . . . , tN) ∈ ZN −kp vektörü için Fk(tk, tk+1, . . . , tN) ∈ S1(Zp) fonksiyonu

verilsin. k. iterasyonda

Z

Zp

Fk(tk, tk+1, . . . , tN) dt

integrali hesaplanacaktr. Bu ko³ullar altnda Z Zp Z Zp · · · Z Zp f (t1, t2, . . . , tN) dt1dt2· · · dtN

ile verilen N katl tekrarl Volkenborn integrali ksaca a³a§daki ³ekilde gösterilebilir: Z

ZNp

f t
dt, t = (t1, t2, . . . , tN) .

Bu tanm kullanarak Tangedal ve Young (2011) a³a§daki ön teoremi kantlam³lardr:

Ön Teorem 2.38 ω1, ω2, . . . , ωN ∈ C∗p ve x ∈ Cp olsun. 1 6 k 6 N özelli§indeki

her k tam says için Z Zp Bk−1,n(x + ωktk+ · · · + ωNtN; ω1, ω2, . . . , ωk−1) dtk = ωkBk,n(x + ωk+1tk+1+ · · · + ωNtN; ω1, ω2, . . . , ωk) dir. Burada BN,n(x; ω1, ω2, . . . , ωN), tN exp (xt) (exp(ω1t) − 1) · · · (exp(ωNt) − 1) = ∞ X n=0 BN,n(x, ω) tn n!

üreteç fonksiyonu ile tanmlanan, mertebesi N olan ω = (ω1, ω2, . . . , ωN)vektörü ile

n. dereceden Bernoulli polinomudur. Ayrca x ∈ C∗

p ve s ∈ Cp için < x >s, seri yaknsak oldu§unda

< x >s= ∞ X n=0  s n  (< x > −1)n

olarak tanmlanabilir. Bu tanm x ve s de§i³kenlerinin bir fonksiyonu olarak Tangedal ve Young (2011) tarafndan kantlanan a³a§daki önerme ile verilmi³tir: Önerme 2.39 x ∈ C∗

p için s 7→< x >s fonksiyonu Zp üzerinde s de§i³keninin

bir C∞ _{fonksiyondur ve s = 0 civarnda pozitif yarçapl bir yuvar üzerinde}

analitiktir; bu yuvar üzerinde x de§i³keninin bir fonksiyonu olarak yerel analitiktir ve < . > fonksiyonu için yaplan seçimden ba§mszdr. K, Qp cisminin dallanma

indeksi p − 1 saysndan küçük olan sonlu bir geni³lemesi ve (π), K geni³lemesinin tam saylar halkasnn maksimal ideali olmak üzere x ∈ K için s 7→< x >s

fonksiyonu |s|p < |π| −1 p p − 1 p−1 için analitiktir. _{s ∈ Z} p ise x 7→< x >s

fonksiyonu nx ∈ Cp : |x − y|_p < |y|_po ³eklindeki bir yuvar üzerinde x de§i³keninin

Tangedal ve Young (2011), Barnes'n (1904) ζ (s, x) Hurwitz zeta fonksiyonunu genelle³tirerek elde etti§i katl zeta fonksiyonu olan ζ_N(s, x; ω1, ω2, . . . , ωN) fonksiyonunun p-adik benzerini, ω1, ω2, . . . , ωN ∈ C∗p

ve Λ, {ω1, ω2, . . . , ωN} kümesinin Zp-do§rusal gerdi§i küme olmak üzere x ∈ Cp\Λ

için ζ_p,N(s, x; ω1, ω2, . . . , ωN) = 1 ω1ω2· · · ωN(s − 1) · · · (s − N ) Z Zp Z Zp · · · Z Zp (x + ω1t1+ ω2t2+ · · · + ωNtN)N < x + ω1t1+ ω2t2+ · · · + ωNtN >s dt1dt2· · · dtN

ile tanmlam³lardr. Bu fonksiyonun analitiklik özellikleri Önerme2.39kullanlarak kantlanan a³a§daki teoremde incelenmi³tir:

Teorem 2.40 x /∈ Λ olacak ³ekilde ω1, ω2, . . . , ωN, x ∈ C∗p seçimi için ζp,N(s, x; ω)

fonksiyonu Zp\ {1, 2, . . . , N }üzerinde s de§i³keninin C∞snfndan bir fonksiyondur

ve s = 0 civarnda pozitif yarçapl bir yuvar üzerinde s de§i³keninin bir analitik fonksiyonudur; bu yuvar üzerinde x de§i³keninin bir fonksiyonu olarak yerel analitiktir ve < . > için yaplan seçimden ba§mszdr. K, Qp cisminin dallanma

indeksi p − 1 saysndan küçük olan sonlu bir geni³lemesi ve (π), K geni³lemesinin tam saylar halkasnn maksimal ideali olmak üzere ω1, ω2, . . . , ωN, x ∈ K ise

ζ_p,N(s, x; ω)fonksiyonu s = 1, 2, . . . , N noktalar hariç |s|_p < |π|−1_p p−p−11 özelli§inde

olan s ∈ Cp için analitiktir. s ∈ Zp\ {1, 2, . . . , N }ise ζp,N(s, x; ω) fonksiyonu Cp\Λ

3. BULGULAR

3.1. Lp(s, qτ , α, χ) Fonksiyonunun Kurulumu

Morita (1977) bir ilkel Dirichlet karakteri ile genelle³tirilmi³ Hurwitz-Lerch L-fonksiyonunu L (s; τ , α, χ) = ∞ X n=0 χ (n) αn (n + τ )s (3.1)

ile tanmlam³tr. Karma³k kontur integrali ve Rezidü Teoremi ile negatif olmayan her n tam says için

L (−n; τ , α, χ) = ψ_n,χ(τ , α) (3.2) oldu§unu göstermi³tir. Burada ψn,χ(a, α), αf 6= 1 için

∞ X n=0 ψ_n,χ(τ , α) t n n! = f X b=1 χ (b) αb_e(τ +b)t 1 − αf_ef t

ile tanmlanr. Morita, ψn,χ(τ , α) fonksiyonunu p-adik olarak ifade ederek p-adik

say cisminde tanml fonksiyoneller ile p-adik Hurwitz-Lerch L-fonksiyonunu olu³turmu³tur.

Burada bu fonksiyon Washington (1997) tarafndan verilen yöntem ile kurulacaktr. Bunun için önce genelle³tirilmi³ Apostol-Bernoulli polinomlar tanmlanm³ ve bu polinomlarn ψn,χ(τ , α) fonksiyonu ile olan ili³kisi verilmi³tir.

Tanm 3.1 Kondüktörü f olan bir ilkel χ Dirichlet karakteri ve αf _{6= 1 için} f X a=1 χ(a)αa_te(τ +a)t αf_ef t_{− 1} = ∞ X m=0 β_m,x(τ , α)t m m! (3.3)

ile tanmlanan βm,x(τ , α) fonksiyonlarna genelle³tirilmi³ Apostol-Bernoulli

polinomlar denir. Ön Teorem 3.2 αf _{6= 1 ise β} 0,x(τ , α) = 0 ve m > 1 için β_m,x(τ , α) = −mψ_m−1,χ(τ , α) dr. Kant. (3.3) ba§ntsndan ∞ X m=0 β_m,x(τ , α)t m m! = f X a=1 χ(a)αa_te(τ +a)t αf_ef t_{− 1} = −t f X a=1 χ(a)αa_e−(τ +a)(−t) 1 − αf_e(−f )(−t) = − ∞ X m=1 ψ_m−1,χ(τ , α) t m (m − 1)!

elde edilir.

Dolaysyla (3.2) e³itli§inden m > 1 tam says için L (1 − m; τ , α, χ) = −1

mβm,x(τ , α) (3.4)

olur.

a ve f pozitif tam saylar olmak üzere H(s, a + τ , α, f ) = X m≡a (mod f ) m>0 αm (m + τ )s = ∞ X n=0 αa+nf (a + nf + τ )s = αaf−s ∞ X n=0 αf
n  a+τ f + n s tanmlansn. O halde (3.1) gere§i

L (s; τ , α, χ) = f X a=1 χ (a) H(s; a + τ , α, f ) olur.

Teorem 3.3 χ, kondüktörü f olan bir ilkel Dirichlet karakteri ve F says f saysnn herhangi bir kat olmak üzere m > 0 tam says için

β_m,x(τ , α) = Fm−1 F X a=1 χ (a) αaβ_m a + τ F , α F  dir. Kant. ∞ X m=0 Fm−1 F X a=1 χ (a) αaβ_m a + τ F , α F tm m! = 1 F F X a=1 χ(a)αa ∞ X m=0 β_m a + τ F , α F (F t) m m! = 1 F F X a=1 χ(a)αa_{F te(}τ +aF )F t αF_eF t_{− 1} = F X a=1 χ(a)αa_te(τ +a)t αF_eF t_{− 1}

bulunur. F = fg ve a = b + cf alnrsa F X a=1 χ(a)αa_te(τ +a)t αF_eF t_{− 1} = f X b=1 χ(b)αb_te(τ +b)t αgf_egf t_{− 1} g−1 X c=0 αfef t
c = f X b=1 χ(b)αb_te(τ +b)t αf_ef t_{− 1} = ∞ X m=0 β_m,x(τ , α)t m m! elde edilir. tm

m! terimlerinin katsaylar kar³la³trlrsa kant tamamlanr.

Teorem 3.3'den β_m,x(τ , α) = fm−1 f X a=1 χ (a) αaβ_m a + τ f , α f 

olur. Bu durumda (3.4) e³itli§inden

L (1 − m; τ , α, χ) = −f m−1 m f X a=1 χ (a) αaβ_m a + τ f , α f 

bulunur. Burada (1.2) ba§nts kullanlarak

L (1 − m; τ , α, χ) = −f m−1 m f X a=1 χ (a) αa m X n=0 m n  β_n αf
 f a + τ n−m

elde edilir. Buradan

L (1 − m; τ , α, χ) = − 1 mf f X a=1 χ (a) αa(a + τ )m m X n=0 m n  β_n αf
 f a + τ n bulunur.

Bu gözlemler ile p-adik Hurwitz-Lerch L-fonksiyonu

Lp(s; qτ , α, χ) = 1 s − 1 1 f f X a=1 p-a χ (a) αaha + qτ i1−s ∞ X n=0 1 − s n  β_n αf
 f a + qτ n

³eklinde tanmlanabilir. Bu fonksiyonun analitiklik özellikleri a³a§da ele alnacaktr. F says q ve f saylarnn bir kat olsun ve

Lp(s; qτ , α, χ) = F X a=1 p-a χ (a) Hp(s; a + qτ , α, F )

yazlsn. Burada, a ∈ Z, 1 6 a 6 q için Hp(s; a + qτ , α, F ) = 1 s − 1 1 Fα a_{ha + qτ i}1−s ∞ X n=0 1 − s n  β_n αF
 F a + qτ n

dir. A³a§daki ön teorem Hp(s; a + qτ , α, F )fonksiyonunun analitiklik özelliklerinin

incelenmesinde önemlidir: Ön Teorem 3.4 αF − 1 p > 1 ise  β_n αF
 p 6 1 dir.

Kant. Apostol (1951) a³a§daki ba§nty vermi³tir:

β_n αF
= n αF _{− 1} n−1 X k=0 S (n − 1, k) k!  αF 1 − αF k .

Burada S (n, k) ikinci tip Stirling saysdr. S (n − 1, k), k! ve n ∈ Z oldu§undan |S (n − 1, k)|_{p 6 1, |k!|p 6 1 ve |n|p 6 1 olur. Buradan}  β_n αF
 p =      n αF _{− 1} n−1 X k=0 S (n − 1, k) k!  αF 1 − αF k     p 6 maks 06k6n−1      1 (1 − αF₎k      p 6 1 dir.

Teorem 3.5 F ve a saylar q | F , p - a, 0 < a < F özelli§indeki tam saylar ve  αF − 1 p > 1 olsun. Bu durumda B = n s ∈ Cp : |s|_p < qp− 1 p−1 _{> 1} o

kümesinde p-adik analitik bir Hp(s; a + qτ , α, F ) fonksiyonu vardr. Her n > 1 tam

says için Hp(1 − n; a + qτ , α, F ) = − Fn−1ω−n(a) n α a_β n  a + qτ F , α F  dir. Kant. lk olarak Hp(s; a + qτ , α, F ) = 1 s − 1 1 Fα a_{ha + qτ i}1−s ∞ X n=0 1 − s n  β_n αF
 F a + qτ n

e³itli§inin sa§ tarafndaki serinin yaknsak oldu§u varsaylsn. O halde, Hp(1 − n; a + qτ , α, F ) = − 1 nFα a_{ha + qτ i}n n X j=0 n j  β_j αF
 F a + qτ j = − 1 nFω −n (a) (a + qτ )nαa n X j=0 n j  β_j αF
 F a + qτ j = −F n−1_ω−n_(a) n α a n X j=0 n j  β_j αF
 a + qτ F n−j = −F n−1_ω−n_(a) n α a_β n  a + qτ F , α F 

dir. Ayrca β0(α) = 0 oldu§undan

lim s→1(s − 1) Hp(s; a + qτ , α, F ) = 1 Fα a_β 0 αF
= 0

dr. O halde fonksiyon s = 1 noktasnda kaldrlabilir tekil noktaya sahiptir.

“imdi Hp(s; a + qτ , α, F )fonksiyonunun yaknsaklk bölgesi elde edilecektir.

Ön Teorem 3.4'den β_n αF
  p 6 1 ve q | F , p - a oldu§undan      F a + qτ n    p 6 |q|np

dir. Ön Teorem 2.21'de r says |q|p ve M says 1 seçilirse ∞ X n=0  s n  β_n αF
 F a + qτ n toplam B = ns ∈ Cp : |s|_p < qp− 1 p−1 o

kümesinde analitik olur. qp− 1

p−1 _{> 1} oldu§undan B0 ₌ n s ∈ Cp : |1 − s|_p < qp − 1 p−1 o

kümesi B kümesiyle ayndr. Bu yüzden, ∞ X n=0 1 − s n  β_n αF
 F a + qτ n

serisi B kümesinde analitik bir fonksiyon temsil eder. Benzer ³ekilde ha + qτis

ve dolaysyla ha + qτi1−s _{fonksiyonlar da B kümesinde analitiktir. Buradan}

(s − 1) Hp(s; a + qτ , α, F ) fonksiyonu bu bölgede analitiktir.

Teorem 3.6 χ, kondüktörü f olan bir ilkel Dirichlet karakteri, F says q ve f saylarnn bir kat ve αF − 1

p > 1 olsun. Bu durumda

B =n_{s ∈ C}p : |s|p < qp − 1

p−1

kümesinde p-adik analitik bir Lp(s; qτ , α; χ)fonksiyonu vardr. Her n > 1 tam says için Lp(1 − n; qτ , α, χ) = − 1 nβn,χn(qτ , α) + 1 nχn(p)p n−1_β n,χn  qτ p , α p  (3.5) dir. Lp(s; qτ , α, χ) fonksiyonu Lp(s; qτ , α, χ) = 1 s − 1 1 f f X a=1 p-a χ (a) αaha + qτ i1−s ∞ X n=0 1 − s n  β_n αf
 f a + qτ n

³eklinde ifade edilebilir. Kant. Tanm gere§i

Lp(s; qτ , α, χ) = F X a=1 p-a χ (a) Hp(s; a + qτ , α, F )

oldu§undan Lp(s; qτ , α, χ) fonksiyonunun analitiklik özellikleri Hp(s; a + qτ , α, F )

fonksiyonunun özellikleri ile ayndr. n > 1 ise

Lp(1 − n; qτ , α, χ) = F X a=1 p-a χ (a) Hp(1 − n; a + qτ , α, F ) = −F n−1 n F X a=1 p-a χ (a) ω−n(a)αaβ_n a + qτ F , α F  = −F n−1 n F X a=1 p-a χ_n(a)αaβ_n a + qτ F , α F  = −F n−1 n F X a=1 χ_n(a)αaβ_n a + qτ F , α F  + 1 np n−1 F p n−1 F /p X b=1 χ_n(pb) (αp)bβ_n _{b + q}τ p F/p , (α p₎F /p 

yazlabilir. Burada p | fχn ise her b için χn(pb) = 0dr. p - fχn ise fχn | F

p olur. Bu

durumda Teorem 3.3'den Lp(1 − n; qτ , α, χ) = − 1 nβn,χn(qτ , α) + 1 nχn(p)p n−1_β n,χn  qτ p , α p 

3.2. Genelle³tirilmi³ Apostol-Bernoulli Polinomlar çin Kummer Tipli Kongrüanslar

Bu bölümde Lp(s; qτ , α, χ) fonksiyonu kullanlarak genelle³tirilmi³ βn,x(τ , α)

Apostol-Bernoulli polinomlar için Kummer tipli kongrüanslar elde edilmi³tir. Ön Teorem 3.7 k > 1 tam says için

αkfβ_n,χ(kf + τ , α) − β_n,χ(τ , α) = n kf X a=1 χ(a)αa(a + τ )n−1 dir.

Kant. Her n > 1 tam says için βn,χ(τ , α) polinomlarnn tanm kullanlarak

αf ∞ X n=0 β_n,χ(τ + f, α)t n n! − ∞ X n=0 β_n,χ(τ , α)t n n! = f X a=1 χ(a)αa_{t e}(a+τ )t αf_ef t_{− 1} (α f ef t− 1) = f X a=1 χ(a)αate(a+τ )t = ∞ X n=0 n f X a=1 χ(a)αa(a + τ )n−1 ! tn n! elde edilir. Buradan

αfβ_n,χ(f + τ , α) − β_n,χ(τ , α) = n

f

X

a=1

χ(a)αa(a + τ )n−1 yazlabilir. Benzer ³ekilde m > 1 tam says için

αfβ_n,χ(mf + τ , α) − β_n,χ((m − 1)f + τ , α) = n

f

X

a=1

χ(a)αa(a + (m − 1)f + τ )n−1 e³itli§i gösterilebilir. Bu durumda, m = 2 için e³itli§in her iki taraf αf _{ile, m = 3}

için e³itli§in her iki taraf α2f _{ile ve bu ³ekilde devam edilerek m = k için son e³itlik}

α(k−1)f _{ile çarplp elde edilen e³itlikler taraf tarafa toplanrsa bulunan ifadenin sol}

taraf

αkfβ_n,χ(kf + τ , α) − β_n,χ(τ , α) olur. Bu e³itli§in sa§ taraf ise gerekli i³lemlerden sonra

n kf X a=1 χ(a)αa(a + τ )n−1 olarak bulunur.

Teorem 3.8 τ ∈ Cp, |τ|_p 6 1, s ∈ B = n s ∈ Cp : |s|_p < qp− 1 p−1o ve _αF − 1  p > 1 olsun. Bu durumda αqFLp(s, q (τ + F ) , α; χ) − Lp(s, qτ , α; χ) = − qF X a=1 (a,p)=1 χ₁(a)αaha + qτ i−s (3.6) dir.

Kant. τ ∈ Cp, |τ|p 6 1 olsun. n > 1 için (3.5) gere§i

αqFLp(1 − n, q (τ + F ) , α; χ) − Lp(1 − n, qτ , α; χ) = −1 nα qF  β_n,χ n(qτ + qF, α) − χn(p)p n−1_β n,χn  qτ + qF p , α p  −  −1 n   β_n,χ n(qτ , α) − χn(p)p n−1_β n,χn  qτ p , α p  = −1 n α qF_β n,χ_n(qτ + qF, α) − βn,χ_n(qτ , α)
+ 1 nχn(p)p n−1  αqFβ_n,χ n  qτ + qF p , α p  − β_n,χ n  qτ p , α p 

bulunur. Burada Ön Teorem 3.7'deki e³itlik kullanlarak αqFLp(1 − n, q (τ + F ) , α; χ) − Lp(1 − n, qτ , α; χ) = − qF X a=1 χ_n(a)αa(a + qτ )n−1+ χ_n(p)pn−1 p−1qF X a=1 χ_n(a)αap(a + p−1qτ )n−1 = −     qF X a=1 χ_n(a)αa(a + qτ )n−1− qF X a=1 p|a χ_n(a)αa(a + qτ )n−1     = − qF X a=1 (a,p)=1 χ_n(a)αa(a + qτ )n−1

elde edilir. Ayrca

χ_n(a)(a + qτ )n−1 = χ(a)ω−n(a) (a + qτ )n−1

= χ(a)ω−1(a) ω−(n−1)(a + qτ )(a + qτ )n−1 = χ₁(a) ha + qτ in−1

Sfr, negatif tam saylarn bir limit noktas ol§u§undan Ön Teorem 2.32 gere§i (3.6) e³itli§inin her iki tarafndaki fonksiyonlarn ortak bölgelerindeki sfrn herhangi bir kom³ulu§unda bu teorem do§ru olur. (3.6) e³itli§inin sol tarafndaki fonksiyonlarn tanm kümesi B kümesini içerir. E³itli§in sa§ taraf ha + qτ i−s ³eklindeki fonksiyonlarn sonlu toplamlarndan olu³tu§u için ha + qτi−s fonksiyonunun analitik oldu§u bölgenin belirlenmesi yeterli olur.

ha + qτ i−s= exp (−s log ha + qτ i) = ∞ X m=0 1 m!(−s) m (log ha + qτ i)m (3.7) ile üstel fonksiyonun Taylor açlm yazlsn. a ∈ Zp ve (a, p) = 1 olmak üzere τ ∈ Cp

ve |τ|p 6 1 için ha + qτ i ≡ 1 (mod qZp) oldu§undan log ha + qτi ≡ 0 (mod qZp)

olur. Böylece     1 m!(−s) m (log ha + qτ i)m     p 6     1 m!(−s) m qm     p 6   p −_p−1m (−s)mqm    p =   p −_p−11 sq    m p olur. Burada  p −_p−11 sq  p

< 1 için (3.7) ifadesindeki seri yaknsak olur. Bu durumda bu ko³ulu sa§layan s de§erleri B kümesinin elemandr.

Sonuç 3.9 s ∈ B ve αF _{− 1 p} > 1 olsun. Bu durumda αqFLp(s, qF, α; χ) − Lp(s, 0, α; χ) = − qF X a=1 (a,p)=1 χ₁(a)αahai−s dir.

n pozitif bir tam say olmak üzere

∼ β_n,χ(τ ) = −1 nβn,χn(qτ , α) + 1 nχn(p)p n−1_β n,χn  qτ p , α p  (3.8) olsun. O halde (3.5) ifadesinden

Lp(1 − n; qτ , α, χ) = ∼

β_n,χ(τ ) (3.9)

elde edilir.

Teorem 3.10 n, c, k pozitif tam saylar, αF − 1

p > 1 ve τ ∈ Zp, |τ|p 6  pq−1fχn   p olsun. Bu durumda αqFq−k∆k_cβe_n,χ(τ ) − q−k∆k_ceβ_n,χ(0)

ifadesi Zp[χ, α] halkasnn bir elemandr ve modülo qZp[χ, α] n saysndan

Kant. Sonuç 3.9'da s = 1 − n alnrsa αqFLp(1 − n, qF, α; χ) − Lp(1 − n, 0, α; χ) = − qF X a=1 (a,p)=1 χ₁(a)αahain−1

elde edilir. Burada F says pq−1_f

χn saysnn bir pozitif katdr. ∆ k c operatörü uygulanrsa (3.9) gere§i αqF∆k_c ∼ β_n,χ(F ) − ∆k_c ∼ β_n,χ(0) = − qF X a=1 (a,p)=1

χ₁(a)αahai−1∆k_chain

olur. ∆k_chain= k X m=0  k m  (−1)k−mhain+mc = hain k X m=0  k m  (−1)k−mhaimc = hain(haic− 1)k

dr. Burada hai ≡ 1 (mod qZp) oldu§undan haic ≡ 1 (mod qZp) olur. O halde

∆k_chain ≡ 0 (mod qk_Zp) dir. Böylece αqF∆k_cβe_n,χ(F ) − ∆_ckeβ_n,χ(0) ≡ 0 (mod qkZ_p[χ, α]) olur. Dolaysyla q−k_αqF_∆k ceβ_n,χ(F ) − q−k∆k_cβe_n,χ(0) ∈ Z_p[χ, α]olur. Ayrca q−kαqF∆k_ceβ_n,χ(F ) − q−k∆k_cβe_n,χ(0) = − qF X a=1 (a,p)=1

χ₁(a)αahain−1 hai

c_{− 1}

q k

(3.10)

ve hain

≡ 1 (mod qZp)oldu§undan q−kαqF∆kcβe_n,χ(F )−q−k∆k_ceβ_n,χ(0)de§eri modülo qZp[χ, α] n saysndan ba§mszdr.

τ ∈ pq−1fχ_nZp olsun. pq−1fχ_nZ kümesindeki pozitif tam saylar pq−1fχ_nZp

kümesinde yo§un oldu§u için pq−1_f

χnZ kümesindeki her i için τi > 0 ve τi → τ

olacak ³ekilde bir {τi} ∞

i=1 dizisi vardr. eβn,χ(τ ), eβn,χ(τi) → ∼

β_n,χ(τ ) özelli§inde olan bir polinom oldu§undan

lim i→∞  αqF∆k_cβe_n,χ(τ_i) − ∆k_ceβ_n,χ(0)  = αqF∆k_cβe_n,χ(τ ) − ∆k_ceβ_n,χ(0) olur. E³itli§in sol taraf modülo qk

Zp[χ, α] 0saysna denk oldu§undan

αqF∆k_c

∼

β_n,χ(τ ) − ∆k_c

∼