KUADRATİK MODÜL MORFİZMLERİNİN HOMOTOPİ SINIFI ÜZERİNE Asiye KURTBAŞ
Yüksek Lisans Tezi Matematik Anabilim Dalı
KUADRATİK MODÜL MORFİZMLERİNİN HOMOTOPİ SINIFI ÜZERİNE
Asiye KURTBAŞ
Kütahya Dumlupınar Üniversitesi
Lisansüstü Eğitim Öğretim ve Sınav Yönetmeliği Uyarınca Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalında
YÜKSEK LİSANS Olarak Hazırlanmıştır.
Danışman: Prof. Dr. Erdal ULUALAN
Asiye KURTBAŞ’ın YÜKSEK LİSANS tezi olarak hazırladığı “Kuadratik Modül Morfizmlerinin Homotopi Sınıfı Üzerine” başlıklı bu çalışma, jürimizce Kütahya Dumlupınar Üniversitesi Lisansüstü Eğitim Öğretim ve Sınav Yönetmeliğinin ilgili maddeleri uyarınca değerlendirilerek kabul edilmiştir.
20/06/2018
Prof. Dr. Önder UYSAL
Enstitü Müdürü, Fen Bilimleri Enstitüsü
---Prof. Dr. İsmail EKİNCİOĞLU
Bölüm Başkanı, Matematik Bölümü ---
Prof. Dr. Erdal ULUALAN
Danışman, Matematik Bölümü, Kütahya Dumlupınar Üniversitesi ---
Sınav Komitesi Üyeleri
Prof. Dr. Erdal ULUALAN
Matematik Bölümü, Kütahya Dumlupınar Üniversitesi ---
Doç. Dr. İbrahim İlker AKÇA
Matematik ve Bilgisayar Bölümü, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi ---
Doç. Dr. Mine TURAN
ETİK İLKE VE KURALLARA UYGUNLUK BEYANI
Bu tezin hazırlanmasında Akademik kurallara riayet ettiğimizi, özgün bir çalışma olduğunu ve yapılan tez çalışmasının bilimsel etik ilke ve kurallara uygun olduğunu, çalışma kapsamında teze ait olmayan veriler için kaynak gösterildiğini ve kaynaklar dizininde belirtildiğini, Yüksek Öğretim Kurulu tarafından kullanılmak üzere önerilen ve Kütahya Dumlupınar Üniversitesi tarafından kullanılan İntihal Programı ile tarandığını ve benzerlik oranının % 30 çıktığını beyan ederiz. Aykırı bir durum ortaya çıktığı takdirde tüm hukuki sonuçlara razı olduğumuzu taahhüt ederiz.
KUADRATİK MODÜL MORFİZMLERİNİN HOMOTOPİ SINIFI ÜZERİNE
Asiye KURTBAŞ
Matematik Bölümü, Yüksek Lisans Tezi, 2018 Tez Danışmanı: Prof. Dr. Erdal ULUALAN
ÖZET
Bu tez, dört bölümden oluşmaktadır.Birinci bölümde, çaprazlanmış modüller ve Nil(n)-modüllere yer verilmiştir. Bu yapıların homotopi kavramları açıklanmıştır.
İkinci bölümde, değişmeli cebirler üzerinde kuadratik modüller ve morfizmleri kavramlarına yer verilmiştir.
Üçüncü bölümde, kuadratik modül morfizmlerinden simpleksler kavramına yer verilmiştir.
Dördüncü bölümde ise kuadratik modül morfizmlerinin homotopi kavramına yer verilmiştir.
Anahtar Kelimeler: Çaprazlanmış Modüller, Homotopi, Kuadratik Modüller, Nil(n)-Modüller,
ON HOMOTOPY CLASS OF QUADRATİC MODULE MORPHİSM
Asiye KURTBAŞ
Department of Mathematics, M.S. Thesis, 2018 Thesis Supervisor: Prof. Dr. Erdal ULUALAN
SUMMARY
This thesis consists of four chapters.In the first chapter, we mention crossed modules over commutative algebras and Nil(n)-modules of algebras.
In the second chapter, we recall some categorical properties of quadratic modules of algebras and their morphisms.
In the third chapter, we obtain simplexes from quadratic module morphisms.
In section 4, we give an introduction to the notion of homotopy between the morphisms of quadratic modules.
TEŞEKKÜR
Tez çalışmamı yöneten ve bu tezin hazırlanması sırasında, çalışma boyunca vaktini ayırarak ilgi ve yardımlarını esirgemeyen saygıdeğer danışman hocam sayın Prof. Dr. Erdal ULUALAN ’a teşekkürlerimi sunarım.
Ayrıca yüksek lisansım süresince maddi ve manevi destekleriyle her zaman yanımda olan aileme teşekkür ederim.
İÇİNDEKİLER
Sayfa
ÖZET ... v
SUMMARY ... vi
1. ÇAPRAZLANMIŞ MODÜLLER ve 𝑁𝑖𝑙𝑛-MODÜLLER ... 1
1.1. Çaprazlanmış Modüller ... 1
1.2. Cebir Etkisi ... 1
1.3. Nilpotent Cebirler ve Peiffer Nilpotent Ön Çaprazlanmış Modüller ... 4
2. KUADRATİK MODÜLLER ... 9
2.1. Kuadratik Modüller ... 9
2.2. 2-Çaprazlanmış Modüller ve Kuadratik Modüller ... 12
2.3. Değişmeli Cebirler Üzerinde Kuadratik Modüller ... 15
2.4. Simplisel Değişmeli Cebirler ... 15
3. DEĞİŞMELİ CEBİRLER ÜZERİNDE KUADRATİK MODÜLLERDEN 0-, 1-, 2- VE 3- SİMPLEKSLERE ... 17
3.1. 0- Simpleksler ... 17
3.2. Yarı-direkt Değişmeli Çarpım Cebiri ... 17
3.3. 1- ve 2- Simpleksler ... 18
3.4. 3- Simpleksler ... 21
4. DEĞİŞMELİ CEBİRLER ÜZERİNDE KUADRATİK MODÜLLERİ MORFİZMLERİNİN HOMOTOPİSİ ... 24
5. SONUÇ ve ÖNERİLER ... 28
1. ÇAPRAZLANMIŞ MODÜLLER ve
𝑵𝒊𝒍(𝒏)-MODÜLLER
Bu bölümde çaprazlanmış modüller kategorisi ve 𝑁𝑖𝑙(𝑛)-modüller kategorisi verilecektir. 𝑁𝑖𝑙(𝑛)-modüller kategorisi, gruplar üzerinde Baues, tarafından tanımlanmıştır. Baues bu tanımı gruplar üzerinde kuadratik modüller kategorisini oluştururken kullanmıştır. Değişmeli cebirler üzerinde kuadratik modülleri oluştururken yararlanacağımız 𝑁𝑖𝑙(𝑛)-modüller kategorisi tanımlanacaktır. Çaprazlanmış 𝑁𝑖𝑙(𝑛)-modüller gruplar üzerinde homotopi tipi 2 olan basit bağlantılı topolojik uzaylar 1950 Whitehead yılında tanımlamıştır (Whitehead, 1950). 1994 yılında Baues (Baues, 1994) gruplar üzerinde kuadratik modülü, çaprazlanmış modüllerin bir üst versiyonu olarak tanımlamıştır. Bu yapı ile simplisel gruplar arasındaki ilişkiyi ispatlamıştır. Ulualan ve Arvasi bu yapının değişmeli cebir versiyonunu tanımlamış ve simplisel cebirler ile olan ilişkisini ispatlamışlardır.
1.1. Çaprazlanmış Modüller
Değişmeli cebirler üzerinde çaprazlanmış modül kavramı Porter, tarafından tanımlanmıştır (Porter, 1986).
1.2. Cebir Etkisi
𝑘 değişmeli bir halka olsun C ve R iki değişmeli 𝑘-cebir olmak üzere · ∶ 𝑅 × 𝐶 → 𝐶
(𝑟, 𝑐) ↦ · (𝑟, 𝑐) = 𝑟 · 𝑐 fonksiyonu 𝑚 ∈ 𝑘, 𝑐, 𝑐′∈ 𝐶 ve 𝑟, 𝑟′ ∈ 𝑅 olmak üzere ; 1) 𝑚(𝑟 · 𝑐) = (𝑚𝑟) · 𝑐
2) 𝑟 · (𝑐 + 𝑐′) = 𝑟 · 𝑐 + 𝑟 · 𝑐′
3) (𝑟 + 𝑟′) · 𝑐 = 𝑟 · 𝑐 + 𝑟′· 𝑐
4) 𝑟 · (𝑐𝑐′) = (𝑟 · 𝑐)𝑐′ = 𝑐(𝑟 · 𝑐′)
5) (𝑟𝑟′) · 𝑐 = 𝑟 · (𝑟′· 𝑐)
özelliklerini sağlıyor ise bu fonksiyona 𝑟 ∈ 𝑅 nin 𝑐 ∈ 𝐶 üzerine etkisi denir ve 𝑟 · 𝑐 ile gösterilir.
Tanım 1.2.1. 𝑅 birimli bir 𝑘-cebir ve C bir 𝑅-cebir olsun.
·∶ 𝑅 × 𝐶 → 𝐶 (𝑟, 𝑐) ↦ 𝑟 · 𝑐 değişmeli etki olmak üzere
𝜕: 𝐶 ⟶ 𝑅
şeklindeki 𝑅 cebir homomorfizmi, 𝑟 ∈ 𝑅 ve 𝑐, 𝑐′ ∈ 𝐶 için
𝐶𝑀1) 𝜕(𝑟 · 𝑐) = 𝑟(𝜕𝑐) 𝐶𝑀2) 𝜕(𝑐) · 𝑐′= 𝑐𝑐′
özelliklerini sağlıyor ise 𝜕 ya çaprazlanmış 𝑅-modül veya kısaca çaprazlanmış modül denir ve (𝐶, 𝑅, 𝜕) ile gösterilir.
Eğer 𝜕 sadece 𝐶𝑀1) aksiyomunu sağlarsa 𝜕 ya ön-çaprazlanmış modül adı verilir. Buradaki 𝐶𝑀2) aksiyomuna Peiffer özdeşliği denir. Bir çaprazlanmış modülün bir ön-çaprazlanmış modül olduğu açıktır.
Şimdi iki çaprazlanmış modül arasındaki morfizm tanımını verelim.
Tanım 1.2.2. Bir (𝐶, 𝑅, 𝜕) çaprazlanmış modülünden (𝐶′, 𝑅′, 𝜕′) çaprazlanmış
modülüne giden bir morfizm,
diyagramı değişmeli olacak şekilde
𝜃(𝑟 · 𝑐) = 𝜂(𝑟) · 𝜃(𝑐)
özeliğini sağlayan 𝜃: 𝐶 → 𝐶′ ve 𝜂: 𝑅 → 𝑅′ şeklindeki 𝑘-cebir homomorfizm çiftinden ibarettir.
𝐶 𝐶′ 𝜃 𝑅 𝑅′ 𝜂 𝜕 𝜕′
Böylece çaprazlanmış modüller kategorisini oluşturabiliriz. Bu kategoriyi XMod ile göstereceğiz.
Şimdi bilinen bazı çaprazlanmış modül örneklerini verelim.
Örnek 1.2.1. 𝐼, 𝑅 cebirinin bir ideali olsun.
𝑖: 𝐼 → 𝑅
şeklindeki içine homomorfizmi göz önüne alalım. Bu durumda (𝐼, 𝑅, 𝑖) bir çaprazlanmış modül olur. Tersine verilen bir 𝜕: 𝐶 → 𝑅 şeklindeki çaprazlanmış modül için 𝜕𝐶 = 𝐼 nın 𝑅 de bir ideal olduğu kolayca gösterilebilir.
Örnek 1.2.2. 𝑅 herhangi bir 𝑘-modül olsun. Bu durumda 𝑅 yi sıfır çarpımla birlikte bir
𝑘-cebir olarak değerlendirebiliriz. O halde 0: 𝑅 → 𝑘, 0(𝑟) = 0 ile tanımlı homomorfizm bir çaprazlanmış modül olur. Gerçekten de 𝑟, 𝑟′∈ 𝑅 için
0(𝑟) · 𝑟′ = 0𝑟′ = 0 = 𝑟𝑟′
olur.
Örnek 1.2.3. 𝜕: 𝐶 → 𝑅 bir ön-çaprazlanmış modül olsun. 𝜕 bir izomorfizm ise
çaprazlanmış modüldür. Gerçekten de 𝜕 örten olduğundan her 𝑟 ∈ 𝑅 için 𝜕(𝑐) = 𝑟 olacak şekilde bir 𝑐 ∈ 𝐶 var olup 𝐶𝑀1) aksiyomunu kullanırsak;
𝜕(𝑟 · 𝑐′) = 𝑟𝜕(𝑐′)
= 𝜕(𝑐)𝜕(𝑐′) = 𝜕(𝑐𝑐′)
olur. 𝑟 · 𝑐′ = 𝜕𝑐 · 𝑐′ eşitliği ilk ifadede yerine yazılırsa
𝜕(𝜕𝑐 · 𝑐′) = 𝜕(𝑐𝑐′)
bulunur. 𝜕 birebir olduğundan
𝜕𝑐 · 𝑐′ = 𝑐𝑐′
şeklinde 𝐶𝑀2) aksiyomu bulunur. Buradan 𝜕: 𝐶 → 𝑅 bir çaprazlanmış modül olur.
Hatırlanacağı üzere bir ön-çaprazlanmış modül 𝜕: 𝐶 → 𝑅 bir 𝑘-cebir homomorfizmi olmak üzere 𝜕(𝑟 · 𝑐) = 𝑟(𝜕𝑐) özdeşliğini sağlıyordu. Ön-çaprazlanmış modüller kategorisini ÖnXmod ile gösterelim. Örnek 2.2.2 de 𝑅 herhangi bir 𝑘-modül olmak üzere, 𝑅 yi sıfır çarpımla
birlikte bir 𝑘-cebir ve 0: 𝑅 → 𝑘, 0(𝑟) = 0 ile tanımlı homomorfizmini bir çaprazlanmış modül olarak alabileceğimizi göstermiştik. Bu durumda Ceb, 𝑘-cebir kategorisi olmak üzere Ceb kategorisi ÖnXmod kategorisinin bir alt kategorisidir. Dolayısıyla, bir çaprazlanmış modülü bir 𝑘-cebirin genelleştirilmesi olarak değerlendirebiliriz.
1.3. Nilpotent Cebirler ve Peiffer Nilpotent Ön Çaprazlanmış Modüller
İlk olarak Baues tarafından gruplar üzerinde Peiffer nilpotenet ön-çaprazlanmış modüller tanımlanmıştır. Bu tanımlamadan yararlanarak Baues, kuadratik modül tanımını ortaya çıkarmıştır. Burada bu yapı, değişmeli cebirler üzerinden tanımlanıp, bazı özellikleri incelenip, cebirler üzerinde kuadratik modül tanımı oluşturulurken kullanılacaktır. Değişmeli cebirler üzerinde Nilpotent ön çaprazlanmış modüller (Ulualan, 2004) de tanımlanmıştır.
Tanım 1.3.1. 𝜕: 𝐶 → 𝑅 ön çaprazlanmış modül olsun. Aşağıda verilen ifadeye Peiffer çarpımı denir.
⟨−, −⟩ ∶ 𝐶 × 𝐶 → 𝐶
(𝑥, 𝑦) ↦ ⟨𝑥, 𝑦⟩ = 𝑥𝑦 − 𝑥 · 𝜕𝑦
Bir ön-çaprazlanmış modülün çaprazlanmış modül olması için Peiffer çarpımları sıfır olmalıdır. Yani
⟨𝑥, 𝑦⟩ = 𝑥𝑦 − 𝑥 · 𝜕𝑦 = 0
ise 𝑥 · 𝜕𝑦 = 𝑥𝑦 şeklindeki 𝐶𝑀2) aksiyomunu elde ederiz. Şimdi bu Peiffer çarpımın bazı özelliklerini verelim.
𝜕: 𝐶 → 𝑅 bir ön-çaprazlanmış modül ve 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝐶 , 𝛼 ∈ 𝑅 olsun. Bu durumda; 𝑃1) ⟨𝑥, 𝑦⟩ · 𝛼 = ⟨𝑥 · 𝛼, 𝑦⟩ = ⟨𝑥, 𝑦 · 𝛼⟩
𝑃2) 𝑎) ⟨𝑥, 𝑦 + 𝑧⟩ = ⟨𝑥, 𝑦⟩ + ⟨𝑥, 𝑧⟩ 𝑏) ⟨𝑥 + 𝑦, 𝑧⟩ = ⟨𝑥, 𝑧⟩ + ⟨𝑦, 𝑧⟩
𝑃3) 𝑘 ∈ 𝑀için 𝜕𝑘 = 0 ise bu durumda; 𝑎) ⟨𝑘, 𝑥⟩ = 𝑘𝑥
𝑏) ⟨𝑥, 𝑘⟩ − ⟨𝑘, 𝑥⟩ = k·𝜕𝑥 özellikleri sağlanır.
Bu özelliklere ek olarak üçlü Peiffer çarpımları için aşağıdaki özelliği verebiliriz. 𝜕: 𝐶 → 𝑅 bi ön çaprazlanmış modül olmak üzere; 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝐶 için
⟨𝑥, ⟨𝑦, 𝑧⟩⟩ − ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ = ⟨𝑥, 𝑧 · 𝜕𝑦⟩ dir.
A herhangi bir k-cebir olsun. 𝜎1= (𝐴), 𝜎2(𝐴) = 𝐴2= 𝐴𝐴, …,
𝜎𝑛(𝐴) = 𝐴𝑛= {𝑥1𝑥2… 𝑥𝑛: 𝑥𝑖∈ 𝐴}
olmak üzere her 𝑛 ∈ 𝑁 için 𝐴𝑛, A nın bir ideali olmak üzere
… 𝜎𝑛+1(𝐴) ⊂ 𝜎𝑛(𝐴) ⊂ 𝜎𝑛−1(𝐴) … ⊂ 𝜎2(𝐴) ⊂ 𝜎1(𝐴) = 𝐴
şeklinde bir kapsamayı oluşturabiliriz. Özel olarak 𝜎2(𝐴) = 𝐴2 idealine A cebirinin çarpım
ideali adı verilir.
Benzer işlemler 𝜕: 𝐶 → 𝑅 ön çaprazlanmış modülü içinde yapabiliriz. Bu durumda Peiffer çarpımını ele alacağız. Buna göre , 𝑃1(𝜕) = 𝐶 ve
𝑃2(𝜕) = ⟨𝐶, 𝐶⟩ kümesi 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐶 için
⟨𝑥, 𝑦⟩ = 𝑥𝑦 − 𝑥 · 𝜕𝑦
tarafından üretilen idealdir. Genel olarak 𝑃𝑛(𝜕) kümes 𝑥𝑖∈ 𝐶 için
< 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 >=< ⋯ < 𝑥1, 𝑥2>, 𝑥3> ⋯ 𝑥𝑛 > ⋯ >
elemanları tarafından üretilen ideal olduğu açıkca gösterilebilir. Böylece … 𝑃𝑛+1(𝜕) ⊂ 𝑃𝑛(𝜕) ⊂ 𝑃𝑛−1(𝜕) … 𝑃2(𝜕) ⊂ 𝑃1(𝜕) = 𝐶
ifadesi oluşturulabilir. Örnek olarak 𝑛 = 3 için 𝑃3(𝜕), << 𝑥1, 𝑥2>, 𝑥3> ve < 𝑥1, < 𝑥2, 𝑥3>>
elemanları tarafından üretilen bir idealdir. Burada 1 ≤ 𝑖 ≤ 3 olmak üzere 𝑥𝑖 ∈ 𝐶 için
<< 𝑥1, 𝑥2 >, 𝑥3> = < 𝑥1, 𝑥2> 𝑥3−< 𝑥1, 𝑥2>· 𝜕(𝑥3)
= 𝑥1𝑥2𝑥3− 𝑥1𝑥3· 𝜕𝑥2− 𝑥1𝑥2· 𝜕(𝑥3) + 𝑥1· 𝜕(𝑥2𝑥3)
şeklinde bir elemandır. Özel bir ifade olarak 𝑃2(𝜕) ya Peiffer ideal adı verilir.
Tanım 1.3.2. (i) 𝐴 bir 𝑘-cebir olsun. Eğer 𝜎𝑛+1(𝐴) = 0 ise, 𝐴 ya 𝑛𝑖𝑙(𝑛)-cebir veya
nilpotent sınıfı n olan bir 𝑘-cebir denir.
(ii) 𝜕 ∶ 𝐶 → 𝑅 bir ön-çaprazlanmış modül olsun. Eğer 𝑃𝑛+1(𝜕) = 0 ise 𝜕 ya
𝑛𝑖𝑙(𝑛)-modül veya Peiffer nilpotent sınıfı n olan ön-çaprazlanmış 𝑛𝑖𝑙(𝑛)-modül denir.
Açıkça görüleceği gibi 𝑛𝑖𝑙(1)-modül yani Peiffer nilpotent sınıfı 1 olan bir ön-çaprazlanmış modül bir ön-çaprazlanmış modüldür. 𝜕: 𝐶 → 𝑅 bir 𝑛𝑖𝑙(1)-modül ise ikili Peiffer çarpımları sıfıra eşit olacaktır.
Yani ;
𝑃2(𝜕) = 0
olan her 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐶 için;
⟨𝑥, 𝑦⟩ = 𝑥𝑦 − 𝑥 · 𝜕𝑦 = 0 olacaktır. Bu ise çaprazlanmış modülün ikinci aksiyomudur.
𝑛𝑖𝑙(𝑛)-modüller kategorisini XMod(𝑛) ile göstereceğiz. Burada 𝑛 ≥ 1 olmak üzere; XMod = XMod(1) ⊂ XMod(2) ⊂ ⋯ ⊂ XMod(∞) = ÖnXMod şeklinde bir kapsamayı yazabiliriz.
İfade edilecek olursa 𝑛𝑖𝑙(𝑛 − 1)-modüller kategorisi XMod(𝑛 − 1), 𝑛𝑖𝑙(𝑛)-modüller kategorisi XMod(𝑛) nin bir tam alt kategorisidir. Bu kapsama aşağıdaki gibi funktor tanımlamamıza yardımcı olur.
Г𝑛 = ÖnXMod → XMod(𝑛)
Bu funktoru açık olarak ifade edecek olursak ;
𝜕: 𝐶 → 𝑅 bir ön-çaprazlanmış modül olsun. Bu durumda Г𝑛(𝜕) = 𝐶/𝑃𝑛+1(𝜕) → 𝑅
diyagramı değişmelidir. Burada 𝑞: 𝐶/𝑃𝑛+1(𝜕), k-cebirlerin bölüm homomorfizmidir ve R nin C üzerine olan etkisini korur. 𝑛 = 2 için
Г2(𝜕) = 𝜕𝑐𝑟 ∶ 𝐶𝑐𝑟 = 𝐶/𝑃2(𝜕) → 𝑅
homomorfizmi ise [𝑥] = 𝑥 + 𝑃2(𝜕), [𝑦] = 𝑦 + 𝑃2(𝜕) ∈ 𝐶𝑐𝑟 için
< [𝑥], [𝑦] > = (𝑥 + 𝑃2(𝜕))(𝑦 + 𝑃2(𝜕))−(𝑥 + 𝑃2(𝜕)) · Г2(𝜕)(𝑦 + 𝑃2(𝜕))
= (𝑥𝑦 + 𝑃2(𝜕)) − (𝑥 + 𝑃2(𝜕)) · Г2(𝜕)(𝑦 + 𝑃2(𝜕))
= 𝑥𝑦 − 𝑥 · 𝜕(𝑦) + 𝑃2(𝜕)
= 𝑃2(𝜕) ( ∵ < 𝑥, 𝑦 > ∈ 𝑃2(𝜕) )
olup çaprazlanmış modül olur. Г2(𝜕) çaprazlanmış modülüne, özel olarak 𝜕 ön-çaprazlanmış
modülüne bağlı olan çaprazlanmış modül denir.
𝐴 herhangi bir k-cebir olsun. 𝜎2(𝐴) = 𝐴2⊴ 𝐴 olmak üzere 𝐴/𝐴2 cebirine 𝐴
singülerizasyonu denir ve 𝐴𝑠𝑛𝑔 ile gösterilir. Bu durumda
Г2∶ Ceb → SngCeb
şeklinde herhangi bir 𝐴 cebirini 𝐴 nın singülerizasyonu olan 𝐴/𝐴2 ye karşılık getiren bir funktor
tanımlayabiliriz. Bu funktora özel olarak singülerizasyonu funktoru denir. Buna göre Ceb(n), 𝑛𝑖𝑙(𝑛)-cebirlerin kategorisi olmak üzere;
𝑛 ≥ 1 için
Ceb = Ceb(1) ⊂ ⋯ ⊂ Ceb(n) ⊂ ⋯ ⊂ Ceb(∞)
kapsamasını yazabiliriz. Bu durumda singülerizasyon funktorundan yararlanarak Г𝑛= Ceb → Ceb(n) 𝐶 𝐶/𝑃𝑛+1(𝜕) 𝜕 𝑅 𝑞 𝛤𝑛(𝜕)
şeklinde herhangi bir 𝐴 cebirini 𝐴/𝐴𝑛+1, 𝑛𝑖𝑙(𝑛)-cebirine karşılık getiren bir funktor
2. KUADRATİK MODÜLLER
Kuadratik modüller gruplar üzerinde ilk defa 1994 de Baues tarafından tanımlanıştır. Bu yapının 2-çaprazlanmış modüller ile olan ilişkileri Ulualan ve Arvasi tarafından incelenmiştir (Arvasi ve Ulualan, 2006). Daha sonra Ulualan doktora tezinde (Ulualan, 2004) değişmeli cebirler üzerinde kuadratik modül tanımını vermiş, 2-çaprazlanmış modüllerin simplisel cebirler ile olan ilişkilerini incelemişlerdir.
2.1. Kuadratik Modüller
Kuadratik modül tanımını vermeden önce bazı ön bilgiler verelim. 𝐴, 𝑛𝑖𝑙(2)-cebir ve
𝐶 = 𝐴/𝐴2
𝐴 nın singülerizasyonu olsun. Bu durumda
𝐶 ⊗ 𝐶 → 𝐴 𝑤 → 𝐶 = 𝐴/𝐴𝑝 2
dizisi tamdır. Burada 𝑝, 𝑝(𝑥) = [𝑥] ile tanımlı doğal dönüşümü ve 𝑤, çarpım ile tanımlıdır. Yani 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐴 için,
𝑤([𝑥] ⊗ [𝑦]) = 𝑥𝑦
dir. 𝐴 bir 𝑛𝑖𝑙(2)-cebir olduğundan 𝑤 iyi tanımlıdır. Şimdi bunu gösterelim. 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ [𝑥] 𝑣𝑒 𝑡 ∈ [𝑦] olsun.
Bu durumda ; [𝑥] = [𝑧] ve [𝑦] = [𝑡] olup, [𝑥] ⊗ [𝑦], [𝑧] ⊗ [𝑡] ∈ 𝐶 ⊗ 𝐶 için [𝑥] ⊗ [𝑦] = [𝑧] ⊗ [𝑡]
dir. O halde 𝑧 ve 𝑡 elemanları, 𝑎𝑏 ∈ 𝐴2 ve 𝑐𝑑 ∈ 𝐴2 olmak üzere,
𝑧 = 𝑥 + 𝑎𝑏 ve
𝑡 = 𝑦 + 𝑐𝑑 şeklinde yazılabilir. Buradan
= (𝑥 + 𝑎𝑏)(𝑦 + 𝑐𝑑) = 𝑥𝑦 + 𝑥𝑐𝑑 + 𝑎𝑏𝑦 + 𝑎𝑏𝑐𝑑
olup 𝐴 bir 𝑛𝑖𝑙(2)-cebir olduğundan, üçlü çarpımlar sıfır olup 𝑥𝑐𝑑 = 𝑎𝑏𝑦 = 𝑎𝑏𝑐𝑑 = 0 dır. Dolayısıyla [𝑥] ⊗ [𝑦] = [𝑧] ⊗ [𝑡] iken
𝑤([𝑥] ⊗ [𝑦]) = 𝑥𝑦 = 𝑧𝑡 = 𝑤([𝑧] ⊗ [𝑡])
bulunur. Bu ise 𝑤 nin iyi tanımlı olması demektir. Yukarıdaki dizide 𝑥 ∈ Çek𝑝 ise 𝑝(𝑥) = [𝑥] = 𝑥 + 𝐴2= 𝐴2 olup 𝑥 ∈ 𝐴2 bulunur. O halde Ç𝑒𝑘𝑝 ⊂ 𝐴2 dir. Diğer yandan 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐴 için
𝑥𝑦 ∈ 𝐴2 olup [𝑥𝑦] = 0 + 𝐴2 olduğundan 𝑥𝑦 ∈ Çek𝑝 bulunur. Yani 𝐴2⊂ Ç𝑒𝑘𝑝 olur. Ayrıca
𝑥, 𝑦 ∈ 𝐴 için [𝑥] ⊗ [𝑦] ∈ 𝐶 ⊗ 𝐶 olmak üzere
𝑤(𝐶 ⊗ 𝐶) = 𝐴2= Çek𝑝
bulunur. Böylece dizi tamdır. Şimdi bu tam diziyi 𝑛𝑖𝑙(2)-modüllere uyarlayalımm; 𝜕 ∶ 𝑀 → 𝑁 bir 𝑛𝑖𝑙(2)-modül olsun. 𝑀𝑐𝑟 = 𝑀/𝑃2(𝜕) olmak üzere
𝐶 = 𝑀𝑐𝑟/(𝑀𝑐𝑟)2
ve 𝜕𝑐𝑟 ∶ 𝑀𝑐𝑟 → 𝑁 çaprazlanmış modülünün singülerizasyonu olsun. 𝜕𝑐𝑟, çaprazlanmış
modülünün 𝜕, 𝑛𝑖𝑙(2)-modülüne bağlı bir çaprazlanmış modül olduğunu bir önceki bölümde göstermiştik. Bu durumda
𝐶 ⊗ 𝐶→ 𝑀 𝑤 → 𝑀𝑝 𝑐𝑟 = 𝑀/𝑃2(𝜕)
dizisi tamdır. 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑀 için 𝑤 dönüşümünü
𝑤([𝑥] ⊗ [𝑦]) = 𝑥𝑦 − 𝑥 · 𝜕𝑦 =< 𝑥, 𝑦 >
şeklinde tanımlayalım. Bu çarpıma 𝜕: 𝑀 → 𝑁, 𝑛𝑖𝑙(2)-modülünün Peiffer çarpımı denir.
Tanım 2.1.1. 𝜕: 𝑀 → 𝑁 bir ön çaprazlanmış modül ve 𝐿, 𝑀 ve 𝑁 𝑘-cebir , 𝛿: 𝐿 → 𝑀 ise
𝜕𝛿 = 0 olan bir homomorfizm olsun. 𝐶 = 𝑀𝑐𝑟/(𝑀𝑐𝑟)2 için 𝑝: 𝑀 → 𝐶 doğal dönüşümü olmak üzere
𝑤: 𝐶 ⊗ 𝐶 → 𝑀
[𝑥] ⊗ [𝑦] ↦ 𝑥𝑦 − 𝑥. 𝜕𝑦
şeklinde tanımlı 𝜕 ön çaprazlanmış modülünün Peiffer çarpımı ve kuadratik dönüşüm olarak adlandırılan
𝜔: 𝐶 ⊗ 𝐶 → 𝐿
ile tanımlı 𝑘-lineer dönüşümü aşağıdaki özellikleri sağlıyor ise (𝐶 ⊗ 𝐶, 𝐿, 𝑀, 𝑁, 𝜔, 𝑤) ye bir kuadratik modül denir ve kısaca (𝜔, 𝛿, 𝜕) ile gösterilir.
QM1) 𝜕: 𝑀 → 𝑁 bir 𝑛𝑖𝑙(2)-modül; QM2) 𝛿 ve 𝜔 dönüşümleri için, 𝛿𝜔([𝑥] ⊗ [𝑦]) = 𝑤([𝑥] ⊗ [𝑦]): QM3) 𝛼 ∈ 𝐿 ve 𝑥 ∈ 𝑀 olmak üzere 𝛼. 𝜕𝑥 = 𝜔([𝛿𝛼] ⊗ [𝑥] + [𝑥] ⊗ [𝛿𝛼]); QM4) 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐿 için 𝜔([𝛿𝑎] ⊗ [𝛿𝑏]) = 𝑎𝑏 Bir kuadratik modül,
şeklindeki 𝑘-cebirlerin ve homomorfizmlerinin diyagramı ile de gösterilebilir.
Bir (𝜔, 𝛿, 𝜕) kuadratik modülünden (𝜔′, 𝛿′, 𝜕′ ) kuadratik modülüne giden kuadratik
modül morfizmi
Ɵ = (𝑙, 𝑚, 𝑛): (𝜔, 𝛿, 𝜕) → (𝜔′, 𝛿′, 𝜕′ )
şeklindeki üçlü dönüşümlerden oluşur ve aşağıdaki diyagram değişmelidir ; 𝐶 ⊗ 𝐶 𝐿 𝑀 𝑁 𝜕 𝛿 𝜔 𝑤
Verilen ifadede (𝑚, 𝑛) fonksiyonları ön çaprazlanmış modül morfizmidir. 𝑙 ise n-eşdeğişik bir homomorfizmdir. Kuadratik modüller kategorisini Kuad ile göstereceğiz.
2.2. 2-Çaprazlanmış Modüller ve Kuadratik Modüller
Gruplar üzerinde 2-çaprazlanmış modüller, ilk olarak Counduché (Counduché, 1984), tarafından tanımlanmıştır. Daha sonra değişmeli cebirler üzerinde Grandjean ve Vale, tarafından tanımlanmıştır.
Tanım 2.2.1. (Arvasi ve Porter, 1997)
𝜕1= 𝐶1→ 𝐶0
bir ön- çaprazlanmış modül ve
𝜕2= 𝐶2→ 𝐶1
bir çaprazlanmış modül olmak üzere, 𝐶0-cebirlerin
𝑋2 = (𝐶2 𝜕2 → 𝐶1
𝜕1 → 𝐶0)
kompleksini göz önüne alalım. 𝐶0 kendisi üzerine çarpım ile etki eder ve 𝐶1, 𝐶2 üzerine 𝐶0 ile
etki eder. Dolayısıyla 𝑥 ∈ 𝐶2, 𝑦 ∈ 𝐶1, 𝑧 ∈ 𝐶0 için (𝑥𝑦)𝑧 = 𝑥(𝑦𝑧) dir. Ayrıca
{ ⊗ } = 𝐶1⊗𝐶0𝐶1→ 𝐶2
şeklinde tanımlı Peiffer Lifting fonksiyonu olarak adlandırılan fonksiyon, her 𝑥, 𝑥1, 𝑥2∈ 𝐶2 ,
𝑦, 𝑦0, 𝑦1, 𝑦2∈ 𝐶1 ve 𝑧 ∈ 𝐶0 için, 𝐶𝑀1) 𝜕2{𝑦0⊗ 𝑦1} = 𝑦0𝑦1− 𝑦0· 𝜕1𝑦1 𝐶𝑀2) {𝜕2(𝑥1) ⊗ 𝜕2(𝑥2)} = 𝑥1𝑥2 𝐶𝑀3) {𝑦0⊗ 𝑦1𝑦2} = {𝑦0𝑦1⊗ 𝑦2} + 𝜕1𝑦2· {𝑦0⊗ 𝑦1} 𝐶 ⊗ 𝐶 𝐿 𝑀 𝜔 𝛿 𝐿′ 𝑀′ 𝛿′ 𝜔′ 𝑙 𝑚 𝐶′⊗ 𝐶′ 𝑁 𝑁′ 𝜕 𝜕′ 𝑛
𝐶𝑀4) 𝑎){𝜕2𝑥 ⊗ 𝑦} = 𝑦 · 𝑥 − 𝜕1𝑦 · 𝑥
𝑏){𝑦 ⊗ 𝜕2𝑥} = 𝑦 · 𝑥
𝐶𝑀5) {𝑦0⊗ 𝑦1} · 𝑧 = {𝑦1· 𝑧 ⊗ 𝑦1} = {𝑦0⊗ 𝑦1· 𝑧}
özelliklerini sağlıyor ise, 𝑥2 kompleksine bir 2-çaprazlanmış modül denir ve kısaca {𝐶2, 𝐶1, 𝐶0, 𝜕1, 𝜕2} şeklinde gösterilir.
2-çaprazlanmış modül morfizmini aşağıdaki diyagramla verebiliriz.
burada 𝑓0𝜕1= 𝜕′1𝑓1 , 𝑓1𝜕2 = 𝜕′2𝑓2 ve 𝑓1(𝑐0· 𝑐1) = 𝑓0(𝑐0) · 𝑓1(𝑐1), 𝑓2(𝑐0· 𝑐2) = 𝑓0(𝑐0) · 𝑓2(𝑐2) ve ayrıca { ⊗ }𝑓1⊗ 𝑓1 = 𝑓2{ ⊗ }
özellikleri her bir 𝑐2∈ 𝐶2, 𝑐1∈ 𝐶1, 𝑐0∈ 𝐶0 için sağlanır. 2-çaprazlanmış modüller kategorisini
X2Mod ile göstereceğiz.
𝐶2 𝐶1 𝐶0 𝜕1 𝜕2 𝐶2′ 𝐶1′ 𝐶0′ 𝜕2′ 𝜕1′ 𝑓2 𝑓1 𝑓0
Tanım 2.2.1. (𝜔, 𝛿, 𝜑)
diyagramı ile verilen bir kuadratik modül olsun. Eğer (𝜔, 𝛿, 𝜑) kuadratik modülünde özel olarak 𝑁 = 0 alırsak, bu durumda 𝐶 = 𝑀 → 𝑀2. 𝑝(𝑥) = [𝑥] ile tanımlanan bir doğal homomorfizm ve
𝑤: 𝐶 ⊗ 𝐶 → 𝑀
𝑤([𝑥] ⊗ [𝑦]) = 𝑥𝑦 ile tanımlanan çarpım dönüşümü olup, 𝜔: 𝐶 ⊗ 𝐶 → 𝐿 homomorfizmi için kuadratik modül aksiyomları
RKM1) 𝑀, R-cebiri bir 𝑛𝑖𝑙(2)-cebir RKM2) 𝛿𝜔 = 𝑤 olup 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑀 için 𝛿𝜔([𝑥] ⊗ [𝑦]) = 𝑤([𝑥] ⊗ [𝑦]) = xy RKM3) 𝑎 ∈ 𝐿 ve 𝑥 ∈ 𝑀 için, 𝜔([𝛿𝑎] ⊗ [𝑥] + [𝑥] ⊗ [𝛿𝑎]) = 0 RKM4) 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐿 için 𝜔([𝛿𝑎] ⊗ [𝛿𝑏]) = 𝑎𝑏
şeklinde olur. Bu durumda (𝐶 ⊗ 𝐶, 𝐿, 𝑀, 𝛿, 𝜔, 𝑤) ye indirgenmiş kuadratik modül denir ve (𝜔, 𝛿) ile gösterilir (Ulualan, 2004).
Bir indirgenmiş kuadratik modül morfizmi,
(𝑙, 𝑚) = ( 𝜔, 𝛿: 𝐿 → 𝑀) → (𝜔′, 𝛿′: 𝐿′ → 𝑀′)
şeklinde 𝑙: 𝐿 → 𝐿′ ve 𝑚: 𝑀 → 𝑀′ homomorfizm çiftidir, öyle ki
𝑚𝛿 = 𝛿′𝑙 ve 𝑙𝜔 = 𝜔′ 𝐶 ⊗ 𝐶 𝐿 𝑀 𝑁 𝜑 𝛿 𝜔 𝑤
özellikleri sağlanır. İndirgenmiş kuadratik modüller kategorisinin RKM ile göstereceğiz.
İndirgenmiş kuadratik modül bir kuadratik modüldeki son kısımda bulunan cebirin sıfır olmasıdır. Yani
bir kuadratik modül ise bu kuadratik modülde 𝑁 = 0 alınırsa bir indirgenmiş kuadratik modül elde edilir. Bu durumda
RKM ⊆ Kuad
kapsamasını kategoriksel olarak yazabiliriz. Yani, indirgenmiş kuadratik modüller kategorisi kuadratik modüller kategorisinin bir tam alt kategorisidir.
2.3. Değişmeli Cebirler Üzerinde Kuadratik Modüller
Arvasi ve Ulualan tarafından gruplar üzerinde 2-çaprazlanmış modüllerden kuadratik modül kategorisine funktor tanımlamış ve bu iki cebirsel yapı arasındaki ilişkiyi ispatlamıştır. Daha sonra Ulualan ve Uslu kuadratik modül yapısını değişmeli cebirlere uyarlamıştır.
2.4. Simplisel Değişmeli Cebirler
Tanım 3.4.1. 𝑛 ∈ ℕ için 𝐸𝑛 değişmeli cebirlerinin bir ailesi olsun (Arvasi, Porter, 1997).
𝑑𝑛𝑖 ∶ 𝐸𝑛→ 𝐸𝑛−1 , 0 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛
𝑠𝑛𝑗 ∶ 𝐸𝑛→ 𝐸𝑛+1 , 0 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛
şeklinde ifade edilen sınır(yüzey) ve dejenere dönüşümleri (i) 𝑑𝑖𝑑𝑗= 𝑑𝑗−1𝑑𝑖 , 𝑖 < 𝑗 (ii) 𝑠𝑖𝑠𝑗= 𝑠𝑗+1𝑠𝑖 , 𝑖 ≤ 𝑗 (iii) 𝑑𝑖𝑠𝑗 = 𝑑𝑗+1𝑠𝑗 , 𝑖 < 𝑗 𝐶 ⊗ 𝐶 𝐿 𝑀 𝑁 𝜑 𝛿 𝜔 𝑤
ile verilen simplisel özdeşlikleri sağlıyorsa (𝐸𝑛, 𝑑𝑖, 𝑠𝑖) üçlüsüne simplisel değişmeli cebir
denir ve kısaca 𝐸 ile gösterilir.
𝑑𝑗𝑠𝑗= 𝑑𝑗+1𝑠𝑗= 𝑖𝑑
𝑑𝑖𝑑𝑗= 𝑠𝑗𝑑𝑖−1 , 𝑖 > 𝑗 + 1
Ayrıca simplisel değişmeli cebirlerin kategorisi 𝑆𝑖𝑚𝑝𝐴𝑙𝑔 ile gösterilir.
Tanım 2.4.2. 𝐸 simplisel bir değişmeli cebir olsun. Bu durumda
(𝑁𝐸)𝑛= ⋂ 𝑘𝑒𝑟𝑑𝑛𝑖 𝑛−1
𝑖=0
𝑑𝑛 in kısıtlaması olarak tanımlı değişmeli cebirler 𝜑 ∶ (𝑁𝐸)𝑛→ (𝑁𝐸)𝑛−1 morfizmleri ile
birlikte ifade edilen zincir kompleksi 𝐸 nin 𝑀𝑜𝑜𝑟𝑒 𝑘𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑘𝑠𝑖 olarak adlandırılır.(𝑁, 𝐸, 𝜑) ile gösterilir. Simplisel değişmeli cebir 𝐸 olsun. ∀𝑛 ≥ 𝑡 + 1 için (𝑁, 𝐸, 𝜑) = 0 olup 𝐸 simplisel değişmeli cebirinin 𝑀𝑜𝑜𝑟𝑒 𝑘𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑘𝑠𝑖𝑛𝑖𝑛 uzunluğu 𝑡 olarak adlandırılır.
3.
DEĞİŞMELİ
CEBİRLER
ÜZERİNDE
KUADRATİK
MODÜLLERDEN 0-, 1-, 2- VE 3- SİMPLEKSLERE
Ulualan ve Uslu 2014 yılında Lie cebirler üzerinde kuadratik modül tanımını vermiş, simplisel Lie cebirler ile olan ilişkisini incelemiştir (Ulualan ve Uslu, 2014). Özel, 2017 yılında bu tanımı kullanarak kuadratik modüllerden 0-, 1-, 2- ve 3- 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑒𝑘𝑠𝑙𝑒𝑟𝑖 elde etmiştir. Bu bölümde değişmeli cebir üzerindeki kuadratik modül alınarak herhangi bir 𝐸 = (𝜔, 𝛿, 𝜕) yapısı üzerinde yeni etkiler tanımlanarak çeşitli yarı-direkt değişmeli çarpım cebirleri oluşturulacaktır. Oluşturulan ifadeler kullanılarak 0-, 1-, 2- ve 3- 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑒𝑘𝑠𝑙𝑒𝑟 ifade edilecek ve geometrik olarak yorumlanacaktır.
3.1. 0- Simpleksler
𝐸 = (𝐶 ⊗ 𝐶, 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝜔, 𝜙) bir değişmeli cebir üzerindeki kuadratik modül olsun. 𝐸0=
𝐶 ye 𝐸 üzerindeki 0- 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑒𝑘𝑠 denir.
3.2. Yarı-direkt Değişmeli Çarpım Cebiri
Tanım 3.2.1. 𝐶 ⋉ 𝐵 birer değişmeli cebir olmak olmak üzere 𝐶 nin 𝐵 üzerine bir ·
değişmeli cebir etkisi mevcut olsun. Bu durumda i) (𝑐1, 𝑏1) + (𝑐2, 𝑏2) = (𝑐1+ 𝑐2, 𝑏1+ 𝑏2)
ii) (𝑐1, 𝑏1). (𝑐2, 𝑏2) = (𝑐1. 𝑐2 , 𝑏1. 𝑏2+ 𝑐1· 𝑏2+ 𝑐2· 𝑏1)
iii) 𝑘(𝑐, 𝑏) = (𝑘𝑐, 𝑘𝑏)
işlemleri bir 𝑘-cebir yapısı oluşturur. Bu yapıya 𝐶 ile 𝐵 nin yarı-direkt değişmeli çarpım cebiri denir.
Önerme 3.2.1. 𝐶 ⋉ 𝐵 bir değişmeli cebirdir.
Yardımcı Teorem 3.2.1. 𝐴 herhangi bir değişmeli 𝑘-cebir olmak üzere;
((𝑐, 𝑏), 𝑎)𝜖((𝐶 ⋉ 𝐵), 𝐴) ↦ (𝑐, 𝑏) · 𝑎 ∈ 𝐴
şeklinde tanımlanan bir lineer dönüşümünün, (𝐶 ⋉ 𝐵) nin 𝐴 üzerinde etkisi(sol) olması için gerek ve yeter şart her 𝑐, 𝑐′𝜖 𝐶 , 𝑏, 𝑏′𝜖 𝐵 ve 𝑎, 𝑎′𝜖 𝐴 için;
1) (𝑐, 0) · (𝑎. 𝑎′) = ( (𝑐, 0) · 𝑎. 𝑎′) + (𝑎. (𝑐, 0) · 𝑎′ )
2) ( (𝑐, 0). (𝑐′, 0)) · 𝑎 = (𝑐, 0) · ((𝑐′, 0) · 𝑎) − (𝑐′, 0) · ((𝑐, 0) · 𝑎) ((0, b). (0, 𝑏′) ) · 𝑎 = (0, 𝑏) · ((0, 𝑏′) · 𝑎) − (𝑏′, 0) · ((0, 𝑏) · 𝑎)
( (0, 𝑏). (𝑐′, 0)) · 𝑎 = (0, 𝑏) · ((𝑧′, 0) · 𝑎) − (𝑐′, 0) · ((0, 𝑏) · 𝑎) ( (𝑐, 0). (0, 𝑏′)) · 𝑎 = (𝑐, 0) · ((0, 𝑏′) · 𝑎) − (0, 𝑏′) · ((𝑐, 0) · 𝑎)
şartlarını sağlaması gerekir.
3.3. 1- ve 2- Simpleksler
Tanım 3.3.1. 𝐸1= ( 𝐶 ⋉ 𝐵 ) değişmeli 𝑘-cebiri 𝐸 de 1- 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑒𝑘𝑠 olarak adlandırılır.
Bu yapının geometrik simplisel formu (𝑐, 𝑏) ∈ 𝐸1 için:
𝑐 𝑏 → (𝑐 + 𝜕(𝑏))
şeklinde ifade edilir. Bu geometrik gösterip gruplar için Gohla ve Martins (2013), değişmeli cebirler için ise Akça vb. (2015) tarafından tanımlanmıştır.
Bu durum ile birlikte 𝐸1 deki herhangi iki elemanın çarpımı:
[c 𝑏 → (c + 𝜕(𝑏)), 𝑐′ 𝑏 ′
→ (𝑐 + 𝜕(𝑏′))]
= (𝑐. 𝑐′ 𝑏.𝑏→ (𝑐. 𝑐′+𝑐·𝑏′+𝑐′·𝑏 ′+ 𝜕(𝑏. 𝑏′) + 𝑐 · 𝑏 + 𝑐′· 𝑏
şeklinde gösterilebilir.
Yardımcı Teorem 3.3.1. 𝐸, üzerinde tanımlanan 1- 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑒𝑘𝑠 ve 0- 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑒𝑘𝑠 yapıları
arasında
𝑑0,1 ∶ 𝐸1= ( 𝐶 ⋉ 𝐵 ) → 𝐶 = 𝐸0
tanımlı iki farklı yüzey (sınır) morfizmi: 𝑑0: (𝑐
𝑏
→ (𝑐 + 𝜕(𝑏) ) = 𝑐 𝑑1: (𝑐 𝑏
→ (𝑐 + 𝜕(𝑏) ) = 𝑐 + 𝜕(𝑏) biçiminde tanımlanır. Yine
𝑠0: 𝐸0= 𝐶 → ( 𝐶 ⋉ 𝐵 ) = 𝐸1
𝑠0(𝑐) = (𝑐, 0)
dejenere morfizmi ve bu morfizmin geometrik olarak simplisel formu 𝑠0: (𝑐
0
→ (𝑐 + 𝜕(𝑏) ) = (𝑐 0 → 𝑐) şeklinde gösterilir.
Not 3.3.1. 𝐸 nin tanımından 𝐵 nin 𝐶 üzerinde mevcut olan · etkisi yardımı ile (𝐵 ⋉ 𝐴) yarı-direkt değişmeli çarpımı elde edileceği açıktır.
Yardımcı Teorem 3.3.2. (𝐶 ⋉ 𝐵) nin (𝐵 ⋉ 𝐴) üzerine her 𝑐 ∈ 𝐶 , b, 𝑏′∈ 𝐵, 𝑎 ∈ 𝐴
için
(𝑐, 𝑏)ʘ(𝑏′, 𝑎) = (𝑏. 𝑏′+ 𝑐 · 𝑏′, 𝑐 · 𝑎 + 𝜕(𝑏) · 𝑎 + 𝜔([𝑏] ⊗ [𝑏′]))
şeklinde bir ʘ etkisi mevcuttur. Burada 𝜔, kuadratik dönüşümdür.
Tanım 3.3.2. (𝐶 ⋉ 𝐵) nin (𝐵 ⋉ 𝐴) üzerine mevcut olan "ʘ" etkisi ile elde edilen
𝐸2= (𝐶 ⋉ 𝐵) ⋉ʘ (𝐵 ⋉ 𝐴)
şeklinde yenir bir değişmeli cebir yapısı 𝐸 üzerindeki 2- 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑒𝑘𝑠 değişmeli cebiri olarak adlandırılır. Her bir (𝑐, 𝑏, 𝑏′, 𝑎) ∈ (𝐶 ⋉ 𝐵) ⋉
ʘ (𝐵 ⋉ 𝐴) elemanı da
simplisel formu bu şekilde geometrik olarak resmedilir.
Yardımcı Teorem 3.3.3. 𝐸 üzerinde tanımlanan 2- 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑒𝑘𝑠 ve 1- 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑒𝑘𝑠 arasında:
𝑑0,1,2: 𝐸2= (𝐶 ⋉ 𝐵) ʘ (𝐵 ⋉ 𝐴) → (𝐶 ⋉ 𝐵) = 𝐸1
biçiminde üç farklı sınır(yüzey) morfizmi:
𝑑0(𝑐, 𝑏, 𝑏′, 𝑎) = (𝑐, 𝑏) 𝑐 + 𝜕(𝑏) + 𝜕(𝑏′) 𝑏′+ 𝛿(𝑏) 𝑎 𝑐 𝑏 + 𝑏′ 𝑏 𝑐 + 𝜕(𝑏)
𝑑1(𝑐, 𝑏, 𝑏′, 𝑎) = (𝑐, 𝑏 + 𝑏′)
𝑑2(𝑐, 𝑏, 𝑏′, 𝑎) = (𝑐 + 𝜕(𝑏), 𝑏′+ 𝛿(𝑏) )
olarak ifade edilir ve bu morfizmler de simplisel formda:
şeklindedir.
Tanımlanan morfizmlerin indislerinin, 2- 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑒𝑘𝑠𝑖𝑛 sınırları(yüzeyleri) ile ilişkisi:
şeklinde ifade edilir.
1- 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑒𝑘𝑠𝑑𝑒𝑛 2- 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑒𝑘𝑠𝑙𝑒𝑟𝑒 giden
𝑠0,1: 𝐸1= (𝐶 ⋉ 𝐵) → (𝐶 ⋉ 𝐵) ʘ (𝐵 ⋉ 𝐴) = 𝐸2
biçiminde iki farklı dejenere morfizmi:
𝑠0(𝑐, 𝑏) = (𝑐, 𝑏, 0,0), 𝑠0(𝑐, 𝑏) = (𝑐, 0, 𝑏, 0)
şeklinde tanımlanır ve simplisel formu ise:
𝑠0(𝑐 𝑏 → (𝑐 + 𝜕(𝑏) ) = 𝑐 + 𝜕(𝑏) + 𝜕(𝑏′) 𝑏′+ 𝛿(𝑏) 𝑎 𝑐 𝑏 + 𝑏′ 𝑏 𝑐 + 𝜕(𝑏) 2 0 1
ve 𝑠0(𝑐 𝑏 → (𝑐 + 𝜕(𝑏) ) =
3.4. 3- Simpleksler
Bu bölümde Ellis(1991) tarafından değişmeli cebirler üzerinde tanımlanan 3- 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑒𝑘𝑠 yapısı gösterilecektir. İlk olarak 3- 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑒𝑘𝑠𝑙𝑒𝑟𝑖𝑛 temelini oluşturan yarı-direkt değişmeli cebirinin tanımına yer verilmiştir.
Tanım 4.4.1. (𝐵 ⋉ 𝐴) in 𝐴 üzerine her (𝑏, 𝑎) ∈ ( 𝐵 ⋉ 𝐴) ve 𝑎′ ∈ 𝐴 için
(𝑏, 𝑎) · 𝑎′= 𝑏 · 𝑎′+ 𝑎. 𝑎′
şeklinde bir · etkisi mevcuttur.
Tanımlanan bu etki yardımıyla
(𝐵 ⋉ 𝐴) ⋉ 𝐴
şeklinde yeni bir yarı-direkt değişmeli çarpım cebiri elde edilir. 𝑐 + 𝜕(𝑏) 𝑐 𝑏 0 𝑏 𝑐 + 𝜕(𝑏) 𝑐 𝑐 𝑏 𝑏 0 𝑐 + 𝜕(𝑏)
Tanım 3.4.2. (𝐶 ⋉ 𝐵) nin (𝐵 ⋉ 𝐴) ⋉ 𝐴 üzerinde her (𝑐, 𝑏) ∈ (𝐶 ⋉ 𝐵) ve (𝑏′, 𝑎, 𝑎′) ∈
((𝐵 ⋉ 𝐴) ⋉ 𝐴) için :
(𝑐, 𝑏) · (𝑏′, 𝑎, 𝑎′) = (𝑏. 𝑏′+ 𝑐 · 𝑏′, 𝑐 · 𝑎 + 𝜕(𝑏) · 𝑎 + 𝜔([𝑏] ⊗ [𝑏′], 𝑐 · 𝑎 + 𝜕(𝑏′) · 𝑎′)
şeklinde · etkisi mevcuttur. Burada 𝜔, kuadratik dönüşümdür.
Tanım 3.4.3. (𝐵 ⋉ 𝐴) ın ((𝐵 ⋉ 𝐴) ⋉ 𝐴) üzerinde her
(𝑏, 𝑎′′) ∈ (𝐵 ⋉ 𝐴) ve
(𝑏′, 𝑎, 𝑎′) ∈ ((𝐵 ⋉ 𝐴) ⋉ 𝐴)
için
(𝑏, 𝑎′′) · (𝑏′, 𝑎, 𝑎′) = (𝑏. 𝑏′, 𝑏 · 𝑎 + 𝑏 · 𝑎′′+ 𝑎′′. 𝑎, 𝜕(𝑏) · 𝑎′+ 𝜔([𝑏 + 𝛿(𝑎′′)] ⊗ [𝑏′+ 𝛿(𝑎′)])
şeklinde bir · etkisi mevcuttur.
Yardımcı Teorem 3.4.1. ((𝐶 ⋉ 𝐵) ⋉ (𝐵 ⋉ 𝐴)) nin ((𝐵 ⋉ 𝐴) ⋉ 𝐴) üzerine
(0,0, 𝑏, 𝑎′′) · (𝑏′, 𝑎, 𝑎′) = (𝑏, 𝑎′′) · (𝑏′, 𝑎, 𝑎′)
ve
(𝑐, 𝑏, 0,0) · (𝑏′, 𝑎, 𝑎′) = (𝑐, 𝑏) · (𝑏′, 𝑎, 𝑎′)
şeklinde tanımlı bir · etkisi vardır.
Tanım 3.4.4. E bir 3- 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑒𝑘𝑠 yarı-direkt değişmeli çarpım objelerinin yardımıyla
𝐸3 = ((𝐶 ⋉ 𝐵) ⋉ (𝐵 ⋉ 𝐴)) ⋉ ((𝐵 ⋉ 𝐴) ⋉ 𝐴)
şeklinde tanımlanır.
şeklinde resmedilir. 𝑐 𝑏 + 𝑏′ 𝑎′+ 𝑎′′ 𝑎 𝑏 + 𝑏′+ 𝑏′′ 𝑐 + 𝜕(𝑏) 𝑐 + 𝜕(𝑏) + 𝜕(𝑏′) 𝑐 + 𝜕(𝑏) + 𝜕(𝑏′) + 𝜕(𝑏′′) 𝑐 𝑏′+ 𝛿(𝑎) 𝑏′+ 𝑏′′+ 𝛿(𝑎) + 𝛿(𝑎′) 𝑏′′+ 𝛿(𝑎′) + 𝛿(𝑎′′)
4.
DEĞİŞMELİ
CEBİRLER
ÜZERİNDE
KUADRATİK
MODÜLLERİ MORFİZMLERİNİN HOMOTOPİSİ
Bu bölümde kuadratik modül morfizmlerinin homotopi kavramı tanıtılacaktır. Değişmeli cebirler üzerinde Akça(vd. 2016) 2-çaprazlanmış modüllerin homotopi kavramını vermişlerdir. Bu sonuçtan yararlanarak ve 2-çaprazlanmış modüller ile kuadratik modüllerin ilişkisini kullanarak bu bölümde aşağıdaki sonuçlara varacağız.
Tanım 4.1. 𝑓 = (𝑓2, 𝑓1, 𝑓0) = (𝜔, 𝛿, 𝜕) → (𝜔′, 𝛿′, 𝜕′) bir kuadratik modül morfizmi
mevcut olsun.
𝑡0 = 𝐶 → 𝐵′ ve 𝑡1 = 𝐵 → 𝐴′ şeklinde tanımlı k-lineer dönüşümü her 𝑐, 𝑐′∈ 𝐶 ve 𝑏, 𝑏′ ∈ 𝐵
için 𝑡0(𝑐. 𝑐′) = 𝑓0(𝑐) · 𝑡0(𝑐′) + 𝑓0(𝑐′) · 𝑡0(𝑐) + 𝑡0(𝑐. 𝑐′) ve 𝑡0(𝑐1. 𝑐2) = 𝑓0(𝑐1) · 𝑡0(𝑐2) + 𝑓0(𝑐2) · 𝑡0(𝑐1) + 𝑡0(𝑐1). 𝑡0(𝑐2) ve 𝑡1(𝑏1. 𝑏2) = 𝜔([𝑓1(𝑏1)] ⊗ [𝑡0(𝜕(𝑏2))]) + 𝜔([𝑓1(𝑏2)] ⊗ [𝑡0(𝜕(𝑏1))]) +𝑓1(𝑏1) · 𝑡1(𝑏2) + 𝑡0(𝜕(𝑏1)) · 𝑡1(𝑏2) + 𝑓1(𝑏2) · 𝑡1(𝑏1) +𝑡0(𝜕(𝑏2)) · 𝑡1(𝑏1) + 𝑡1𝑏1. 𝑡1𝑏2 𝑡1(𝑐 · 𝑏) = 𝑓0(𝑐) · 𝑡1(𝑏) + 𝜕′(𝑡0(𝑐)) · 𝑡1(𝑏) + 𝜔([𝑡0(𝑐)] ⊗ [𝑓1(𝑏)]) +𝜔([𝑓1(𝑏)] ⊗ [𝑡0(𝑐)]) + 𝜔([𝑡0(𝑐)] ⊗ [𝑡0(𝜕(𝑏))]) 𝐶 ⊗ 𝐶 𝐴 𝐵 𝐴′ 𝐵′ 𝛷 𝐶′⊗ 𝐶′ 𝐶 𝐶′ 𝑓0 𝑓2 𝑡1 𝑓1 𝑡0
şartlarını sağlıyorsa (𝑡0, 𝑡1) ikilisine bir kuadratik 𝑓 − 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑠𝑦𝑜𝑛 denir. Yardımcı Teorem 4.1. 𝑓: 𝐸 → 𝐸′ bir kuadratik modül morfizmi ve (𝑡
0, 𝑡1) kuadratik
𝑓 − 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑠𝑦𝑜𝑛 olup 𝑎, 𝑎′∈ 𝐴 ve 𝑐 ∈ 𝐶 için aşağıdaki eşitlikler sağlanır.
𝑡1(𝛿(𝑎1). 𝛿(𝑎2)) = 𝑓2(𝑎1). 𝑡1(𝛿(𝑎2)) + 𝑓2(𝑎2). 𝑡1(𝛿(𝑎2)) + 𝑡1(𝛿(𝑎1)). 𝑡1(𝛿(𝑎2)) 𝑡1(𝑐 · 𝛿(𝑎)) = 𝑓0(𝑐) · (𝑡1𝛿)(𝑎) + (𝜕′𝑡0)(𝑐) · (𝑡1𝛿)(𝑎) + (𝜕′𝑡0)(𝑐) · 𝑓2(𝑎) İspat: 𝑡1(𝛿(𝑎1). 𝛿(𝑎2)) = 𝜔([𝑓1(𝛿(𝑎1))] ⊗ [𝑡0(𝜕(𝛿(𝑎2)))]) + 𝜔([𝑓1(𝛿(𝑎2))] ⊗ [𝑡0(𝜕(𝛿(𝑎1)))]) +𝑓1(𝛿(𝑎1)) · 𝑡1(𝛿(𝑎2)) + 𝑡0(𝜕(𝛿(𝑎1))) · 𝑡1(𝛿(𝑎2)) +𝑓1(𝛿(𝑎2)) · 𝑡1(𝛿(𝑎1)) + 𝑡0(𝜕(𝛿(𝑎2))) · 𝑡1(𝛿(𝑎1)) +(𝑡1(𝛿(𝑎1)). 𝑡1(𝛿(𝑎2)) = 𝜔([(𝑓1 𝛿)(𝑎1)] ⊗ [𝑡0((𝜕𝛿)(𝑎2))]) + 𝜔([(𝑓1𝛿)(𝑎2) ⊗ [𝑡0((𝜕𝛿)(𝑎1))]) +(𝑓1𝛿) (𝑎1) · (𝑡1𝛿)(𝑎2) + 𝑡0((𝜕𝛿)(𝑎1)) · (𝑡1𝛿)(𝑎2) +(𝑓1𝛿) (𝑎2) · (𝑡1𝛿)(𝑎1) + 𝑡0((𝜕𝛿)(𝑎2)) · (𝑡1𝛿)(𝑎1) +(𝑡1(𝛿(𝑎1)). 𝑡1(𝛿(𝑎2)) ) = 𝜔([(𝛿′𝑓 2 )(𝑎1)] ⊗ [𝑡0(0𝑐)]) + 𝜔([(𝛿′𝑓2)(𝑎2) ⊗ [𝑡0(0𝑐)]) +(𝛿′𝑓 2 )(𝑎1) · (𝑡1𝛿)(𝑎2) + 𝑡0(0𝑐) · (𝑡1𝛿)(𝑎2) +(𝛿′𝑓 2 )(𝑎2) · (𝑡1𝛿)(𝑎1) + 𝑡0(0𝑐) · (𝑡1𝛿)(𝑎1) +(𝑡1(𝛿(𝑎1)). 𝑡1(𝛿(𝑎2)) ) = (𝛿′𝑓 2 )(𝑎1) · (𝑡1𝛿)(𝑎2) + 𝑡0(0𝑐) · (𝑡1𝛿)(𝑎2) +(𝛿′𝑓 2 )(𝑎2) · (𝑡1𝛿)(𝑎1) + 𝑡0(0𝑐) · (𝑡1𝛿)(𝑎1) +(𝑡1(𝛿(𝑎1)). 𝑡1(𝛿(𝑎2)) ) = (((𝛿′𝑓 2 )(𝑎1) + 0𝑏′) · (𝑡1𝛿)(𝑎2)) + (((𝛿′𝑓2 )(𝑎2) + 0𝑏′) · (𝑡1𝛿)(𝑎1)) +(𝑡1(𝛿(𝑎1)). 𝑡1(𝛿(𝑎2)) ) = 𝜔([𝛿′(𝑡 1𝛿)(𝑎2)] ⊗ [(𝛿′𝑓2 )(𝑎1)]) + 𝜔([𝛿′(𝑡1𝛿)(𝑎1)] ⊗ [(𝛿′𝑓2 )(𝑎2)])
+(𝑡1(𝛿(𝑎1)). 𝑡1(𝛿(𝑎2)) ) = (𝑓2(𝑎1). (𝑡1𝛿)(𝑎2)) + (𝑓2(𝑎2). (𝑡1𝛿)(𝑎2)) + (𝑡1(𝛿(𝑎1)). 𝑡1(𝛿(𝑎2))) ve 𝑡1(𝑐 · 𝛿(𝑎)) = 𝑓0(𝑐) · 𝑡1(𝛿(𝑎)) + 𝜕′(𝑡0(𝑐)) · 𝑡1(𝛿(𝑎)) + 𝜔([𝑡0(𝑐) ⊗ [𝑓1(𝛿(𝑎))]) +𝜔([𝑓1(𝛿(𝑎))]) ⊗ [𝑡0(𝑐)]) + 𝜔([𝑡0(𝑐)] ⊗ [𝑡0(𝜕(𝛿(𝑎)))]) = 𝑓0(𝑐) · (𝑡1𝛿)(𝑎) + (𝜕′𝑡0)(𝑐) · (𝑡1𝛿)(𝑎) + 𝜔([𝑡0(𝑐) ⊗ [(𝑓1𝛿)(𝑎)]) +𝜔([(𝑓1𝛿)(𝑎)]) ⊗ [𝑡0(𝑐)]) + 𝜔([𝑡0(𝑐)] ⊗ [𝑡0((𝜕𝛿)(𝑎))]) = 𝑓0(𝑐) · (𝑡1𝛿)(𝑎) + (𝜕′𝑡0)(𝑐) · (𝑡1𝛿)(𝑎) + 𝜔([𝑡0(𝑐) ⊗ [(𝛿′𝑓2)(𝑎)]) +𝜔([(𝛿′𝑓 2)(𝑎)]) ⊗ [𝑡0(𝑐)]) + 𝜔([𝑡0(𝑐)] ⊗ [𝑡0(0𝑐)]) = 𝑓0(𝑐) · (𝑡1𝛿)(𝑎) + (𝜕′𝑡0)(𝑐) · (𝑡1𝛿)(𝑎) + (𝜕′𝑡0)(𝑐) · 𝑓2(𝑎) olur.
Teorem 4.1. 𝑓: 𝐸 → 𝐸′ bir çaprazlanmış modül morfizmi ve
(𝑡0, 𝑡1) bir kuadratik 𝑓 − 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑠𝑦𝑜𝑛 olmak üzere her 𝑐 ∈ 𝐶, 𝑏 ∈ 𝐵, 𝑎 ∈ 𝐴 için:
𝑔0(𝑐) = 𝑓0(𝑐) + (𝜕′o 𝑡0(𝑐))
𝑔1(𝑏) = 𝑓1(𝑏) + (𝑡0 o ∂)(𝑏) + (𝛿′o 𝑡1)(𝑏)
𝑔2(𝑎) = 𝑓2(𝑎) + (𝑡1o δ)(𝑎)
ile tanımlanan 𝑔 = (𝑔2, 𝑔1, 𝑔0) ifadesi 𝑔: 𝐸 → 𝐸′olacak şekilde yeni bir kuadratik modül
morfizmidir. 𝐶 ⊗ 𝐶 𝐴 𝐵 𝐴′ 𝐵′ 𝛷 𝑔2 𝑔1 𝐶′⊗ 𝐶′ 𝐶 𝐶′ 𝑓0 𝑓2 𝑡1 𝑓1 𝑡0 𝑔0
İspat : Öncelikle 𝑔0, 𝑔1, 𝑔0 nin değişmeli cebir olduğu gösterilmelidir.
𝑔0(𝑐1+ 𝑐2) = 𝑔0(𝑐1) + 𝑔0(𝑐2)
𝑔0(𝑘𝑐) = 𝑘𝑔0(𝑐)
olduğu (𝑔1 ve 𝑔2 için benzer şekilde) 𝑡0 𝑣𝑒 𝑡1 nin 𝑘 – lineer olmasından söylenebilir.
𝑔0(𝑐1. 𝑐2) = 𝑓0(𝑐1. 𝑐2) + (𝜕′𝑡0(𝑐1. 𝑐2)) = 𝑓0(𝑐1). 𝑓0(𝑐2) + 𝜕′(𝑡0(𝑐1. 𝑐2)) = 𝑓0(𝑐1). 𝑓0(𝑐2) + 𝜕′(𝑓0(𝑐1) · 𝑡0(𝑐2) + 𝑓0(𝑐2) · 𝑡0(𝑐1) + 𝑡0(𝑐1). 𝑡0(𝑐2)) = 𝑓0(𝑐1). 𝑓0(𝑐2) + 𝜕′(𝑓0(𝑐1) · 𝑡0(𝑐2)) + 𝜕′(𝑓0(𝑐2) · 𝑡0(𝑐1)) + 𝜕′(𝑡0(𝑐1). 𝑡0(𝑐2))) = 𝑓0(𝑐1). 𝑓0(𝑐2) + 𝑓0(𝑐1). (𝜕′𝑡0)(𝑐2)) + 𝑓0(𝑐2). (𝜕′𝑡0)(𝑐1)) + ((𝜕′𝑡0)(𝑐1). (𝜕′𝑡0)(𝑐2)) = 𝑓0(𝑐1). 𝑓0(𝑐2) + 𝑓0(𝑐1). (𝜕′𝑡0(𝑐2)) + ((𝜕′𝑡0)(𝑐1). 𝑓0(𝑐2)) + ((𝜕′𝑡0)(𝑐1). (𝜕′𝑡0)(𝑐2)) = [𝑓0(𝑐1) + (𝜕′𝑡0)(𝑐1)], [𝑓0(𝑐2) + (𝜕′𝑡0)(𝑐2)] = 𝑔0(𝑧1). 𝑔0(𝑧2)
Her 𝑐1, 𝑐2∈ 𝐶 için 𝑔0: 𝐶 → 𝐶′ bir değişmeli cebir morfizmidir.
5. SONUÇ ve ÖNERİLER
Bu tezde kuadratik modüllerin morfizmleri arasındaki homotopi kavramı incelenmiş olup bu homotopilerin oluşturduğu sınıfın cebirsel yapısı araştırılmıştır. Literatürde kuadratik modül yapılarının çeşitli cebirsel versiyonları örneğin Lie cebiri, Lie Rinehart cebiri, vs. olup bu yapılarında morfizmleri arasındaki homotopi kavramı açıklanabilir düzeye getirilmiştir. Ayrıca bu kuadratik modül yapısına kategorik olarak denk olan çaprazlanmış kareler, 2-çaprazlanmış modüller veya 𝑐𝑎𝑡2- gruplar, 𝑐𝑎𝑡2- cebirler gibi bazı cebirsel yapıların aralarındaki
morfizmlerin homotopileri ve bu homotopilerin sınıfları tanımlanabilir. Bu öneriler tezimizde açık problem olarak bırakılmıştır.
KAYNAKLAR DİZİNİ
A.R.Grandje´an ve M.J.Vale, (1986) 2-Modulos Cruzados an la Cohomologia de Andr´e-Quillen. Memorias de la Reai Academia de Ciencias, 22.
Akça, İ., Emir, K. ve Martins (2016) Pointed Homotopy of Maps Between 2-Crossed Modules of Commutative Algebras.
Arvasi, Z. ve Porter, T. (1997) Higher dimensional Peiffer elements in simplicial commutative algebras. Theory and Applications of Categories. 3, 1, 1-23.
Arvasi, Z. ve Ulualan, E. (2006) On algebraic models for homotopy 3-types. Journal of Homotopy and Related Structures. 1, 1, 1-27.
Baues, H.J. (1991) Combinatorial homotopy and 4-dimensional complexes. Walter de Gruyter, 15, 380 pages.
Brown, R. ve Wensley, C.D. (2003) Computation and homotopical applications of induced crossed modules, Journal of Symbolic Computation 35, 59-72.
Brown, R. ve Wensley, C.D. (1995) On finite induced crossed modules, and the homotopy 2-type of mapping cones, Theory and Applications of Categories, 54-71.
Brown, R. ve Gilbert, N.D. (1989) Algebraic models of 3-types and automorphism structures for crossed modules. Proc. London Math. Soc., 3, 59, 51-73.
Brown, R. ve İçen, İ. (2003) Homotopies and automorphisms of crossed modules over groupoids. Appl. Categorical Structure, 11, 185-206.
Carrasco, P. ve Cegarra, A.M. (1991) Group-theoretic algebraic models for homotopy types. Journal Pure Appl. Algebra, 75, 195-23.
Castiglioni, J.L. ve Ladra, M. (2008) Peiffer elements in simplicial groups and algebras, Jour. Pure and Applied Algebra 212, 9, 2115-2128.
Conduché, D. (1984) Modules croisés généralisés de longueur 2. Jour. Pure and Applied Algebra, 34, 155-178.
Duskin, J. (1975) Simplicial methods and the interpretation of triple cohomology. Memoirs A.M.S. 3, 163
G.J. Ellis , (1984) Crossed Modules and Their Higher Dimensional Analogues, Ph.D. Thesis, U.C.N.W.
Garzon, A.R. ve Miranda, J.G. (1997) Homotopy theory for (braided) cat-groups. Chaiers de Topologie Geometrie Differentielle Categorique, XXXVIII-2.
H.J. Baues, (1998) Algebraic homotopy, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 15, 50 pages.
KAYNAKLAR DİZİNİ (devam)
H.J. Baues, (1991) Combinatorial homotopy and 4-dimenional complexes, Walter de Gruyter, 15.
Loday, J-L. (1982) Spaces with finitely many non-trivial homotopy groups. J. Pure and Applied Algebra, Vol. 24, 179-202.
May, J.P. (1967) Simplicial objects in algebraic topology. Math. Studies, 11, Van Nostrand. Mutlu, A. ve Porter, T. (1998) Applications of Peiffer pairings in the Moore complexes of a simplicial group. Theory and Applications of Categories, 4, 7, 148-173.
Özel E. (2017) Lie Cebirlerin Kuadratik Modüllerinin Noktasal Homotopi Teorisi, Yüksek lisans tezi, Esogü.
Porter, T. ve Kamps, K.H. (2002) 2-groupoid enrichments in homotopy theory and algebra, K-theory, 25, 4, 373-409.
R. Brown ve J-L. Loday, (1987) Van Kampen theorems for diagram of spaces , Topology 26, 311-335.
R. Brown, (1987) From groups to groupoids, Bull. London Math. Soc., 19, 113-134.
T. Porter, (1985) Crossed Modules in Cat and a Brown-Spencer Theorem for 2-categories, Chaiers Topologie Geom. Differentielle Categoriques 26, 381-388.
T. Porter, (1986) Homology of Commutative Algebras and an Invariant of Simis and Vasconceles J.Algebra 99, 458-465.
T. Porter, (1993) n-Type of simplicial groups and crossed n-cubes, Topology 32, 5-24.
T. Porter, (1987) Some categorical results in the theory of crossed modules in commutative algebras, J.Algebra 109 415-429.
Ulualan E. (2004) Değişmeli Cebirler üzerinde Kuadratik modüller, Doktora tezi, Esogü Ulualan, E. ve Uslu, E. (2014) Quadratic Modules for Lie Algebras.
Whitehead, J.H.C. (1949) Combinatorial homotopy II. Bull. Amer. Math. Soc., 55, 453-496. Z. Arvasi ve T. Porter, (1998) Freness Conditions for 2-Crossed Modules of Commutative Algebras, Applied Categorical Structures, Vol. 6, 455-471.
Z. Arvasi, (1994) Applications in Commutative Algebra of the Moore complex of a Simplicial Algebra, Ph.D. Thesis, University of Wales, Bangor.
