2-Gauss Kanunu

Gauss Kanunu

Gauss kanunu:Tanım

 Kapalı bir yüzey boyunca toplam

elektrik akısı,

yüzeydeki

net elektrik yükünün 

_

a bölümüne eşittir.

Gauss kanunu : Tanım

Bir yük dağılımını düşünelim

•Yüklerle kaplı hayali bir yüzeyle kuşatılmış olsun

• Hayali yüzey üzerindeki çeşitli noktalarda elektrik alana bakalım

+ q

E



E



E



Hayali yüzey 0

q

F

E







+

q

₀

F



Deneme yükü

• _{Hayali yüzeydeki yük dağılımını ortaya çıkarmak} için, özellikle yüzeydeki elektrik alanı ölçmemiz gerekmektedir.

•Bunu yapmak için yük miktarı bilinen bir deneme yükü yerleştirilir ve elektrik kuvvet ölçülür.

Yük ve Elektrik Akısı



Farklı yüklerin elektrik alanları

+

q



_

₂

_q

q





2

q

+ + -Dışa doğru akı

Dışa doğru akı

İçe doğru akı

Yük ve Elektrik Akısı

Elektrik akısı

+

q



_

₂

_q

+ + Dışa doğru akı

Dışa doğru akı

+

q



_{Yüzeye uzaklık iki katına çıktığında}

Yüzey alanı dört katına çıkar Elektrik alan 1/4 olur.

Yük ve Elektrik Akısı



Elektrik akısının tanımı

Yüzeyde küçük bir alan üzerindeki herhangi bir nokta için, yüzeye dik elektrik alan bileşenini ve yüzey alanı bileşenin çarpımını alırız.

Böylece yüzey boyunca toplanan bu nicelik net elektrik akısını verir.

•Kapalı bir yüzey boyunca elektrik akısının dışa doğru mu yoksa içe doğru mu olduğu ,yüzeyi kaplayan yükün işaretine bağlıdır.

•Yüzeyin dışındaki yükler yüzey boyunca net elektrik akısı vermez. • Net elektrik akısı yüzeyle kuşatılmış olan net yük miktarıyla doğru

Orantılıdır fakat bunu yanında kapalı yüzeyin boyutlarından bağımsızdır. 

Gauss kanununun nitel ifadesi

Elektrik Akısının Hesaplanması



Hız alan vektörü ile elektrik akı arasındaki analoji

Akan sıvı içindeki hız alan vektörü ve elektrik akı arasında iyi bir anoloji kurulabilir.

A (alan)

A







_{Hız vektörü (akış hızı)}

Alan düzlemini belirten bir vektör alan, düzleme diktir.

A









Hacim akış oranı:

A

dt

dV

_



Hacim akış oranı:

 











A

A

A

A

dt

dV











cos





n

A

A

A

A











_ 



cos



;

cos



;







 A

Elektrik Akısının Hesaplanması

 Hız alan vektörü ile elektrik akı arasındaki analoji

A (area)

A



E



_{Hız vektörü (akış hızı)}

Bir alanın düzlemini tanımlayan vektör alan düzleme diktir.

A



 Elektrik akısı:



_E



EA

Elektrik akı:

A

A

A

dt

dV

_{ }











cos





_







;

cos

cos

A

A

E

E

_



_



A

dt

dV

_



A

E

A

E

EA















cos



_

Hacim akış oranı:

Elektrik Akısının Hesaplanması



Küçük bir alan unsuru ve Akı

A

d

E

d



_E











Bir alan için toplam akı

























_E

d

_E

E

_

dA

E

cos



dA

E



d

A



;

d

A



n



dA

Örnek 22.1: Bir disk boyunca elektrik akısı

E



A



r = 0.10 m   30  C / m N 54 30 cos ) m 4 N/C)(0.031 10 0 . 2 ( cos m 0314 . 0 m) 10 . 0 ( 2 2 3 2 2            EA A E

Elektrik Akısının Hesaplanması



Örnek 22.2: Bir küp boyunca elektrik akısı

1

ˆn

2

ˆn

3

ˆn

4

ˆn

5

ˆn

6

ˆn

L

E



2 2 1

cos

180

ˆ

1

E

n

A

EL

EL

E

















2 2 2

cos

0

ˆ

2

E

n

A

EL

EL

E

















0

90

cos

2 6 5 4 3





















_{E E E E}

EL

0

6 1









_E



i_i_{ Ei}

Elektrik Akısının Hesaplanması

Örnek 22.3: Bir küre boyunca elektrik akısı

+ +q r=0.20 m

A

d



q=3.0 C A=2r2

C

/

m

N

10

4

.

3

)(0.20m)

N/C)(4

10

75

.

6

(

N/C

10

75

.

6

(0.20m)

C

10

0

.

3

)

C

/

m

N

10

0

.

9

(

4

//

ˆ

//

,

2 5 2 5 E 5 2 6 2 2 9 2 0



































 





EA

EdA

r

q

E

A

d

n

E

E

E





Gauss kanunu



Öncelikle :

Herhangi bir kapalı yüzey boyunca toplam elektrik akısı (belirli bir hacimle kaplanan yüzey) yüzeydeki toplam elektrik yüküyle orantılıdır.



Durum 1: Bir tek pozitif q yükünün alanı

+

q



r=R

E



E



2 0 4 1 R q E





r=R olan bir küre

at r=R

surface



E



0 2 0 ) 4 ( 4 1







q R R q EA E    

Gauss Kanunu



Durum1: Bir tek pozitif q yükünün alanı

+

q



r=R r=2R R E R R E E  4 1 2  dA dA_R  dA dA_2R  4

Küçük bir küreden geçen her alan çizgisi aynı zamanda daha büyük bir küreden de geçer

Her bir küre boyunca toplam akı aynıdır.

Benzerlik dA gibi yüzeyin her bir parçası için doğrudur. R R R R R R R R E E E dA E dA E dA d d 2 2 2 4 4 1 _{  }   



    0  q A d E E  

Yükü kaplayan kapalı yüzeyi sağlayan her boyut veya her şekil için bu doğrudur.

Gauss Kanunu



Durum 2: Bir tek pozitif yükün alanı (Genel yüzey)

+

q



E

dA

+ E



cos E E n E      



dA



cos

dA

Yüzeye dik E

dA

E

dA

E

d



_E



_



cos













0



q

A

d

E

E





Gauss kanunu

Durum 3: İçinde yük bulunmayan kapalı bir yüzey











_E

E



d

A



0

+

İçeri giren elektrik alan çizgileri, dışarı çıkar. Elektrik alan çizgilerinin alanın bir bölgesinde başlayabilmesi ya da bitebilmesi ancak o bölge içinde yük mevcutken olur.



Gauss kanunu

Kapalı yüzey boyunca toplam elektrik akı yüzey içindeki net elektrik yükünün _ a bölümüne eşittir



















encl _{encl i i i i} E

Q

q

E

E

Q

A

d

E





;

,





0



Gauss kanununun uygulamaları



Tanım

• Yük dağılımı Alan

• Simetri uygulamanın prosedürünü kolaylaştırır.



Bir iletken üzerindeki yük dağılımını elektrik alanı

• _{Fazla yük katı iletken üzerine yerleşmişken ve sabitken,}

tamamen yüzeyde bulunur, bu metalin iç yükü değildir.

(fazla yük = metali iletken yapan serbest elektron ve iyonlar dışındaki yüktür.)

İletken içindeki gauss yüzeyi Yüzeydeki yük

Gauss kanununun uygulamaları

İletken üzerindeki yük dağılımının elektrik alanı

İletken içindeki gauss yüzeyi Yüzeydeki yükler

İletken

•İletken içerisindeki gauss yüzeyi çizilir

• Bu yüzeyde her yerde E=0 dır (iletken içinde) • Yüzey içindeki net yük sıfırdır.

• Katı iletken içerisinde herhangi bir noktada hiçbir fazla yük olmayabilir. • Her bir fazla yük iletken yüzeyinde bulunmalıdır.

• Yüzeydeki E yüzeye diktir.

Gauss kanunu

İletken metal içerisinde her noktadaki elektrik alan

bir elektrostatik konumda sıfırdır. (bütün yükler hareketsizdir). Şayet E sıfır olmasaydı, yükler hareket ederdi.

Gauss kanununun uygulamaları

örnek 22.5: Yüklü iletken kürenin alanı

+ + + + + + + + R R 2R 3R Gauss yüzeyi

0

:





R

E

r



:

r

R



Küre dışında bir Gauss yüzeyi çizilir 2 0

4

1

:

R

q

E

R

r







2 0 4 1 R q E_R   4 / R E 9 / R E

Gauss kanununun uygulamaları



Örnek 22.6: Çizgi yükün alanı

Çizgi yük yoğunluğu

Simetriye göre seçilen Gauss yüzeyi E E E, _ 

A

d









encl

Q

0

)

2

(







_{ }







_E

E

r

r

E





₀

2

1



Gauss kanununun uygulamaları

Örnek 22.7: Yüklü sonsuz düzgün bir levhanın alanı

+ + + + + + + + + ₊ + Gauss yüzeyi E E

A

Q

_encl





0

)

(

2





A

EA

E







0

2







E

Gauss kanununun uygulamaları



Örnek 22.8: Zıt yüklü paralel iletken plakalar arasındaki alan

+ + + + + + + + +

-plate 1 plate 2 2 E 1 E 1 E 1 E E 2 E 2 E a b c S₁ S₂ S₃ S₄ Çözüm 1: Bu yüzeyler üzerinde elektrik akı yok

Çözüm 2:

İçe doğru akı Dışa doğru akı

Noktada a : E₁  E₂  E  E₁  E₂  0 b : c : 0 0 2 1 2 2     _    E E E   0 2 1 2 1             E E E E E

Gauss kanununun uygulamaları

Örnek 22.9: Düzgün bir şekilde yüklü kürenin alanı

Gauss yüzeyi r=R R + + + + + + + + + + + + 0 3

₎

_/

3

4

(

:

EA





r



R

r





3 0 0 3 2

4

1

/

)

3

4

(

)

4

(

R

Qr

E

r

r

E

















2 0

4

1

:

R

Q

E

R

r







2 0 0 2

4

1

)

4

(

:

r

Q

E

Q

r

E

r

R















Gauss kanununun uygulamaları

Örnek 22.10: Yüklü içi boş kürenin alanı

R=0.250 m r=0.300 m

E

İçi boş yüklü küre

N/C

10

80

.

1



2



E

nC 801 . 0 ) 4 ( ) 4 ( 2 0 0 2           



  r E q q r E dA E E E E







Gauss yüzeyi

İletkenler üzerindeki yükler



Durum 1: Katı iletken üzerindeki yük elektrostatik bir durumdaki

İletken yüzeyinde bulunur.

+ + + + + + + + + + + + + + + +

Durum 2: Oyulmuş iletken üzerindeki yük

+ + + + + + + + + + + + + + + + Gauss yüzeyi

İletken içerisinde her noktada elektrik alan sıfırdır ve Katı iletken üzerindeki her bir fazla yük

onun yüzeyi üzerine yerleşir.

Oyuk içinde yük yoksa, oyuk yüzey üzerindeki net yük sıfırdır.

İletkenler üzerindeki yükler

Durum 3: Oyuklu bir iletkenin yükü ve oyuk içindeki q yükü

+ + + + + + + + + + + + + + + + Gauss yüzeyi + -

-•İletken yüklenmemiştir ve q yükünden yalıtılmıştır. •Gauss yüzeyindeki toplam yük Gauss kuralı ve yüzeyde E=0 olduğundan sıfır olmalıdır.Bu yüzden boşluğun

yüzeyinde yüzeye dağılmış –q yükü olmalıdır

•Benzer tartışma başlangıçta q_C yüküne sahip iletken durumu için kullanılabilir.Bu durumda dış yüzeydeki toplam yük oyuk içine koyulan q yükünden sonra q+q_C olmalıdır

İletkenler üzerindeki yükler



Faraday ın buz kovası deneyi

iletken

Yüklü iletken top

(1) Faraday yüksüz metal buz kovası(metal kova) ve yüksüz elektroskop ile işe başladı

(2) Daha sonra, dikkatli bir şekilde kovanın yanlarına dokundurmadan buz kova içerisine metal topu sarkıttı. Elektroskop’ un yaprakları ayrıldı.

Bununla birlikte, ayrılma derecesi metal topun yerleşiminden bağımsızdır. Sadece metal top tamamen geri çekildiğinde yaprakları eski pozisyonuna geri döner.

İletkenler üzerindeki yükler



Faraday ın buz kovası deneyi

iletken

Yüklü iletken top

(3) Faraday şayet metal topun buz kovanın yüzeyi içine kontak etmesine müsaade edilseydi elektroskop’un yapraklarının ayrı kalacağına dikkat çekti.

(4) Daha sonra , buz kova içerisinden topu tamamen çıkardığında, yapraklar ayrı kaldı. Bununla birlikte, metal top artık yüksüzdür.

Bunun için küreye dıştan bağlı olan elektroskobun yaprakları, top kürenin içerisine dokundurulduğunda, hareket etmedi , böylece Faraday topu nötürleştirmek için iç yüzeyin yeterince yüke sahip olduğunu buldu.

İletkenler üzerindeki yükler



Bir İletken yüzeyindeki alan

• İletken dışındaki elektrik alanın büyüklüğü  /₀ dır ve yüzeye dik yönlendirilmiştir.

İletken içine ilerleyen küçük bir hap kutu çizilir. içerde alan olmadığı için , bütün akılar üst

taraftan çıkar.

EA=q/₀= A/ ₀,

Alıştırmalar



Alıştırma 1

Alıştırmalar

Alıştırmalar

Alıştırma

2: Bir küre ve bir iletken kabuk

R₁

R₂

Q₁

Q₂

Q₂=-3Q_{1 • Gauss kanunundan iletken içerisinde net yük olmaz,}

ve yük küre yüzeyi dışında bulunmalıdır.

• Küre içinde net yük olmaz.

Bu yüzden kabuk yüzeyine –Q₁ net yükü götürülmelidir ve yüzeyin dışına +Q₁+Q₂ net yükü götürülmelidir. Böylece kabuk üzerinde net yük Q₂ ye eşittir. Bu yükler düzenli bir şekilde dağılır.

2 2 1 2 2 1 2 2 2 1

4

2

4

4

R

Q

R

Q

Q

R

Q

outer inner

_



_

_















Alıştırmalar

Alıştırma

2: Bir küre ve bir iletken kabuk

R₁ R₂ Q₁ Q₂ Q₂=-3Q₁

r

r

Q

k

r

r

Q

Q

k

E

r

R

r

r

Q

k

E

R

r

R

E

R

r

ˆ

2

ˆ

:

ˆ

:

0

:

2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 1



























Alıştırmalar

Alıştırma 3: Silindir





_dış

R



_iç

h



_toplam

Sonsuz bir çizgi yük yarıçapı R olan içi boş yüklü iletken sonsuz bir

silindiriksel kabuğun tam olarak ortasından geçer. Şimdi uzunluğu h olan silindirik kabuğun bir parçasına odaklanalım. Çizgi yük  lineer yük

yoğunluğuna sahiptir, ve silindirik kabuk _total yüzey yük yoğunluğuna sahiptir.

Alıştırmalar

Alıştırma

3: Silindir





_dış

R



_iç

h



_toplam

Silindirik kabuk içinde elektrik alan sıfırdır. Bu yüzden silindirde silindir kabuk içinde bulunan bir gauss yüzeyi seçersek , kuşatılmış net yük sıfır olur. Çizgi

boyunca dış yükü dengelemek için silindir duvar içinde bir yüzey yük yoğunluğu mevcuttur.

Alıştırmalar

 Alıştırma 3: Silindir





_dış

R



_iç

h



_toplam

•Çizgi yükün kuşatılmış parçası ( h uzunluğu) üzerindeki toplam yük : • İletken silindir kabuğun yüzeyi içindeki yük:

h



h

Q

_inner







R

Rh

h

inner

_









2

2









Alıştırmalar

 Alıştırma 3: Silinidir





_dış

R



_iç

h



_toplam

• Silindir üzerindeki net yük yoğunluğu: •Harici yük yoğunluğu :

total



R

total inner total outer

_











2









outer



Alıştırmalar

 Alıştırma 3: Silindir





_dış

R



_iç

h



_total

• r (>R) yarıçaplı çizgi yükle çevrelenen Gauss yüzeyini çizelim;

R

r

for

2

,

2

0 0











r

E

h

q

q

rhE

encl _{encl r}

r

_









Alıştırmalar

Alıştırma 3: Silindir





_dış

R



_iç

h



_total

•r (>R) yarıçaplı çizgi yükle çevrelenen Gauss yüzeyini çizelim;

R

r

for

2

,

2

0 0 0















r

r

R

E

h

Q

q

q

rhE

total r encl encl r

_











