• Sonuç bulunamadı

GENEL MATEMATİK 1

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "GENEL MATEMATİK 1"

Copied!
1
0
0

Yükleniyor.... (view fulltext now)

Tam metin

(1)

I. BÖLÜM

KÜMELER VE SAYILAR

1.1 Kümeler

Küme ve eleman terimleri, matematikte tanımlanmadan kabul edilen terimlerdir. Bunları, dilimizdeki başka terimlerle anlatmak istersek; “Küme, nesneler topluluğudur.“ biçiminde ifade edebiliriz. Kümeyi meydana getiren nesnelerin her birine kümenin elamanları denir ve genel olarak kümeler A,B,X,Y, … gibi büyük harflerle, elamanları ise a,b,x,y, … gibi küçük harflerle ifade edilir.

Elemanları a,b,c olan kümeyi A

a b c, ,

biçiminde gösteririz. Kümenin elemanları, kapalı bir çizgi içine alınarak Venn şeması ile de gösterilebilir.

.d

Burada a A , b A , c A ve dA’dır.

Tanım.1.1.1: A kümesinin her elemanı, B kümesinin de elemanı ise A kümesi B kümesi içindedir ya da B kümesi A’yı kapsar denir. Bu ifade AB ya da BA ile gösterilir. A’ya B’nin alt kümesi denir. Buna göre

AB a A için a B olur.

Örneğin çift sayılar kümesi tamsayılar kümesinin bir alt kümesidir.

Tanım.1.1.2: A=B  A B ve BA olmasıdır. Bu tanıma göre A ve B eşit kümeler aynı elemanlardan meydana gelmiştir. Eğer AB fakat A B ise A’ya B’nin bir özalt kümesi adı verilir.

n elemanlı bir kümenin özalt küme sayısı 2n1

dir.

Tanım.1.1.3: Elemanları olmayan kümeye boş küme denir ve  ile gösterilir. Boş küme her kümenin alt kümesidir.

.a .b .c

(2)

Tanım.1.1.4: Küme teorisinin herhangi bir uygulamasında uğraştığımız tüm kümeleri sabit bir kümenin alt kümeleri olarak düşünebiliriz. Bu kümeye evrensel küme denir ve genelde E ile gösterilir. Şunu belirtelim ki her şeyi içine alan mutlak bir evrensel küme yoktur.

Tanım.1.1.5: Bir A kümesinin alt kümelerinin kümesine A’nın kuvvet kümesi denir ve P(A) ile gösterilir.

Kuvvet kümesinin elemen sayısı

 

nr =

!

! !

n

r n r (n elemanlı bir kümenin r elemanlı alt

küme sayısı) olmak üzere S(P(A))=

     

0 1 ... 2

n n n n

n

   biçiminde hesaplanır.

Tanım.1.1.6: A ve B kümelerinden en az birine ait olan elemanlardan meydana gelen kümeye A ile B’nin birleşimi denir ve    biçiminde yazılır. Buna göre

:

A B  a a A veya a B 

olur.

Sonlu çokluktaki A1,A2,…,An kümelerinin birleşimi

1 : 1 n k k k A a en az bir k n için a A     

ve sayılabilir çokluktaki Ak (k=1,2,…) kümelerinin birleşimi ise

1 : k k k A a en az bir k N için a A     

Tanım.1.1.7: A ve B kümelerinin ortak elemanlarından meydana gelen kümeye A ile B’nin ara kesiti veya kesişimi denir ve AB biçiminde yazılır. Buna göre

:

A B  a a A ve a B  olur.

A B   ise A ve B kümelerine ayrıktır denir.

1 : 1, 2,..., n k k k A a k n için a A    

Ve sayılabilir çokluktaki A1,A2,…,An,… kümelerinin kesişimi ise

1 : 1, 2,... k k k A a k için a A     

Tanım.1.1.8: A kümesinin B kümesine ait olmayan elemanlarından oluşan kümeye A ile B’nin farkı denir ve A\B biçiminde yazılır. Buna göre

(3)

\

t

AE A kümesine ise A’nın tümleyeni adı verilir. Tümleyen tanımından A kümesi için

t

AAE,AAt   ,

 

At t A

‘dır.

De Morgan kuralı kümelerle ilgili aşağıdaki eşitlikleri içerir. Teorem.1.1.1:A ile B iki küme olsun. Bu takdirde

  

t t t

i A B AB

  

t t t ii A B AB dir.

İspat: (i) a

A B

t  a

A B

 a Avea B

 a A veyaa Bt t

Bu ise

A B

t

AtBt

ve

AtBt

A B

t, yani (ii)’nin sağlanması demektir. Tanım.1.1.9:A ve B kümelerinden birine ait olup da diğerine ait olmayan elemanların kümesine A ile B’nin simetrik farkı denir ve A B şeklinde yazılır. Buna göre

A B = (A\B) 

B A\

olur. Kümelerle ilgili bazı örnekleri ele alalım.

Örnek.1.1.1: A ve B iki küme olmak üzere A

A B\

 

A B

olduğunu gösteriniz.

\

 

t

t

AA BA B  A B  A B  A BB   A E A

Örnek.1.1.2: De Morgan kuralını kullanarak

A B

t

AtBt

t

kümesini sadeleştiriniz. Çözüm:

A B

t

t t

t

t

t

t t

t A B A B A B       

   

 

t t t t A B A B A B A B A B           Zira A B  A B olduğundan

A B

 

A B

 A B 1.2 Sayılar 1.2.1 Sayı Türleri

Doğal sayılar kümesi: Doğal sayılar kümesi N ile gösterilir veN

0,1, 2,...

dir. Tam sayılar kümesi: Tam sayılar kümesi Z ile gösterilir ve Z=..., 2, 1,0,1, 2,... 

dir.

(4)

Rasyonel sayılar kümesi: Rasyonel sayılar kümesi Q ile gösterilir ve Q= : , , 0 p p q Z q q   

  ‘ dır. Burada paydanın sıfır olamayacağına dikkat edilmelidir.

Asal sayılar: 1 ve kendisinden başka böleni olmayan sayılara veya başka bir ifade ile sadece iki tam böleni olan sayılara denir ve A ile gösterilir. A=

2,3,5,7,...

pozitif asal sayılardır.

n N olmak üzere çift sayılar 2n, tek sayılar 2n+1 ile gösterilebilir. Ancak asal sayıları temsil edecek şekilde bir formül henüz geliştirilememiştir.

İrrasyonel sayılar: Rasyonel olmayan sayılara yani p q Z,  olmak üzere p

q şeklinde

yazılamayan sayılara denir.

Örneğin 2, 3, , ,... e gibi sayılardır ve bu sayılar genelde I ile gösterilir.

Reel sayılar: Reel sayılar kısaca R Q I olarak yani yukarıdaki sayıların hepsini kapsayan sayılar olarak tanımlanabilir. Sayı ekseni üzerindeki her bir nokta ile reel sayılar arasında bire bir eşleme yapmak mümkündür.

Komleks Sayılar (Karmaşık Sayılar) Kümesi: İleride detaylı olarak verilecektir 1.2.2 Lineer Nokta Kümeleri

Elemanları reel sayılar olan kümelere lineer nokta kümeleri denir. Aralıklar

1) (a,b); a,b açık aralığı olarak okunur ve x

a b,

 

x R a x b :  

biçiminde tanımlanır.

2) [a,b]; a,b kapalı aralığı olarak okunur ve x

 

a b, 

x R a x b :  

biçiminde tanımlanır.

3) (a,b]; a’ dan açık, b’ den kapalı (yarı kapalı aralık) olarak okunur ve

( , ] :

xa bx R a x b   biçiminde tanımlanır.

4) [a,b); a’ dan kapalı, b’ den açık (yarı kapalı aralık) olarak okunur ve

[ , ) :

xa bx R a x b   biçiminde tanımlanır. 1.2.3 Reel Sayıların Mutlak Değeri

Tanım.1.2.1: a bir reel sayı olmak üzere negatif olmayan ve : 0 : 0 a a a a a         biçiminde tanımlanan a sayısına a reel sayısının mutlak değeri veya modülü denir.

(5)

a = a2 ifadesine mutlak değerin cebirsel tanımı denir.

1.2.4 Mutlak değerin özellikleri x,y R olmak üzere

1) x 0 2)  x x 3) x2 x2 4) x y.  x y. 5)  x x x 6) xy   x y xy 7) x x

y 0

yy  özellikler mevcuttur.

Teorem.1.2.1: x R ve a R   olmak üzere 1) 2) 3) x a a x a x a x a veya x a x a x a veya x a               

Tanım.1.2.2: x x 0  eşitsizliğini sağlayan tüm x noktalarının kümesine x0 noktasının

 - civarı (komşuluğu) denir.

0

x x  eşitsizliğini yukarıdaki teoremden x0   x x0 biçiminde yazarsak x0

’ın  -civarı

x0,x0

açık aralığı olur. Özel olarak x0=0 alınırsa 0’ın 

-komşuluğu

 ,

açık aralığı olur.

Örnek.1.2.1:3x 2 5 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz. Çözüm: 3 2 5 3 2 5 3 7 3 3 7 1 3 7 ( , 1] , 3 x veya x x x x x Ç                   

(6)

Örnek.1.2.2: 5x15  x 1 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz. Çözüm: 5x15 0  x 3 x   1 0 x 1 1 5 15 1 4 14 7 2 x için x x x x           1 7 1 2 xve xden Ç   (1) 1 3 5 15 1 6 16 8 3 x için x x x x           2 8 8 1 3 [ ,3) 3 3 x ve x den Ç     (2) 3 5 15 1 4 14 7 2 x için x x x x       3 7 7 3 ,3 2 2 xve xden Ç      (3)

     

1 , 2 , 3 :8 7 , 3 2 den Ç x  x x R   

1.2.5 Reel Sayının Tam Değeri

Bir a reel sayısından büyük olmayan tam sayıların en büyüğüne a sayısının tam değeri denir ve a ile gösterilir. Bu tanıma göre her a reel sayısı onun a tam kısmı ile

0 t 1 özelliğini sağlayan kesir kısmının toplamı olarak yazılabilir, yani

0 1

aat  t dir. O halde 3.7 3 , e 2 ,  3 , 2.1  3 ,...

olacaktır.

Özellik: a b R,  olmak üzere a b  ab

Özellik: m bir tamsayı ve  x R için x m  xm dır.

Her k tamsayısı ve a reel sayısı için k x.  k x. eşitliği genelde doğru değildir. Örnek.1.2.3: 3x 2 3

x

(7)

Çözüm: Tam kısmı 3 veya 3 ’den küçük olan sayılar 4 ‘den küçük olan sayılardır. O halde 3 2 4 x x

 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulmak yeterli olacaktır. Bu eşitsizlik

çözüldüğünde Ç=

,0

 

 2,

bulunur. Örnek.1.2.4: 1 2 3 x  denklemini çözünüz. Çözüm: 1 2 2 1 3 3 3 x   x  dır. 1 1 7 2 2 0 0 7 3 3 3 1 1 10 3 3 0 0 10 3 3 3 x x x x x x x x          

olduğundan çözüm kümesi olarak Ç=

x R : 7 x 10

elde edilir. Komleks Sayılar (Karmaşık Sayılar) Kümesi

z C Olmak üzere bu sayı x ve y gibi reel sayılardan oluşan sıralı ikililer olarak z=(x,y) biçiminde gösterilir.

(x,0) çiftine x reel sayısı gözüyle bakılacak ve dolayısıyla (x,0)=x olarak yazılacaktır. (0,y) biçimindeki kompleks sayılara sırf imajıner sayılar denir. x ve y sayılarına sırasıyla z=(x,y) ‘nin reel (gerçel) ve sanal (imajiner) bileşenleri denir.

Re(z)=x Im(z)=y biçiminde yazılır. (0,1) çiftini i ile göstereceğiz. Buna sanal birim denir.

1 1, 1 , 2 2, 2

zx y zx y iki kompleks sayı olsun.

 

 

 

 

 

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 , . , . , . . , . . i z z x x ve y y ii z z x x y y iii z z x y x y x x y y y x x y            

biçiminde yazılır. Çarpım tanımı kullanarak

  

0,1 2  1,0

olduğu görülebilir yani

 

2

1

i   dir. Geometrik Yorum

z=x+iy kompleks sayısını düzlemde bir nokta olarak düşünmek doğaldır. Aynı zamanda z sayısını başlangıç noktasından (x,y) noktasına giden yönlendirilmiş doğru parçası veya vektör olarak da düşünmek mümkündür. r z x2y2 z ‘nin modülü

(8)

1 2

z ile z arasındaki uzaklık z1z2 

x1x2

 

2 y1y2

2

biçiminde hesaplanır.

Ayrıca z1z0 R merkezi z0, yarıçapı R olan çemberi ifade eder.

Örnek.1.2.5: z 2 3i 6 yarıçapı 6 merkezi (2,-3) olan çemberi ifade eder. z=(x,y) için z

x y,  

x iy’ye z sayısının eşleneği denir.

Eşlenik ile ilgili özellikler:

2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 2 . . . 0 z z x y z z z z z z z z z z z z        dır. Kutupsal Gösterim

Sıfırdan farklı z=x+iy sayısına x r cos ,y r sin olduğu için z ’yi kutupsal formda

cos sin

z r  i  biçiminde ifade edilir. Burada  z ‘nin argumanıdır ve tan y

x

  eşitliği

ile hesaplanır. Genel olarak bu durum z0 için z r

cos

2n

isin

 2n

n=0,1,2,… dır.

Ayrıca zrcos

 

 isin

 

 

r

cosisin

biçiminde yazılabilir.

(9)

Çözüm:

 

2 3 2

 

2 2 4 tan 2 1

2 3 3

z  r         buradan bulacağımız açı II.

bölgede bir açı olmalı. Bunun için önce tanjantı 1

3 eden birinci bölgedeki açıyı buluruz. Bu

açı 6 

  olur. İkinci bölgedeki  açısını 5

6 6

 

    biçiminde buluruz. O halde z ‘ nin kutupsal formda yazılışı

5 5 4 cos 2 sin 2 0, 1, 2,... 6 6 z    ki   k k         olur.

Not: z1r1

cos1isin1

ve z2 r2

cos2isin2

olsun. Bu takdirde

1. 2 1 2. cos 1 2 sin 1 2

z zr r   i    olur. De Moivre formülü denir.

1 1 1 2 2 2 . 0 z z z z z    olduğundan 1 1

1 2 1 2 2 2 cos sin z r i zr        ‘dır. Köklerin Alınması n

zw w C ) eşitliğinden z z z0, , ,...,1 2 zn1 köklerini bulmak mümkündür. Bu kökler

1 2 2 cos sin 0,1, 2,..., 1 n k k k z r i k n n n              formülünden hesaplanır.

Örnek.1.2.7: z 1 i karmaşık sayısının kareköklerini bulunuz. Çözüm: z 1 i tan 1 1 1 4       

 

 

 

2 2 1 2 1 2 0 1 2 1 1 1 2 2 2 4 4 2 cos sin 0,1 2 2 2 cos sin 8 8 9 9 2 cos sin 8 8 k r z k k z i k z i z i                             Üstel Form

Argumanı  modülü r olan z=x+iy kompleks sayısı z r

cos isin

veya . i z r e  üstel formda yazılır.

(10)

cos sin

i

e  i  Euler Formülünü kullanarak

. cos sin .cos sin

z x iy x iy x x x e ee e e y i y e y ie y yazılabilir. Örnek.1.2.8: 10 1 3 1 3 z   

  karmaşık sayısını kutupsal gösterimden yararlanarak x+iy formunda yazınız. Çözüm: z1 1 i 3  z1  1

 

3 2  ve 2 tan 1 3 3 1 1 3       z2  1 i 3  z2  1 

 

3 2  ve 2 2 2 3 tan 3 1 3         10 10 10

2 cos sin cos sin

3 3 3 3 10 10 cos sin 2 cos sin 3 3 3 3 i i z i i                                          20 20 cos sin 3 3 2 2 cos 6 sin 6 3 3 2 2 cos sin 3 3 1 3 2 2 z i z i z i z i                            

(11)

II. BÖLÜM

FONKSİYONLAR

Tanım.2.1: AX , BY iki küme olsun. A’ nın her bir elemanını B’nin bir ve yalnız bir elemanına eşleyen her f bağıntısına A’dan B’ye bir fonksiyon denir ve bu durum f A: B

veya y=f (x) şeklinde gösterilir.

Burada x değişkenine bağımsız değişken veya arguman, y değişkenine bağımlı değişken veya fonksiyon adı verilir.

 

:

Ax f xy kümesine tanım kümesi, f A

 

y f x:

 

y

kümesine de A kümesinin görüntü kümesi denir.

Örnek.2.2: f : 3,5

 

R fonksiyonu f x

 

x 2 x

 ile tanımlıdır. f fonksiyonunun değer kümesini bulalım.

(12)

Çözüm: 3 5 1 2 3 3 5 x x x

     ‘dir.Yani f ‘ nin değer kümesi

 

3,5

1 3, 3 5

f   

  ‘dır.

Örnek.2.3: AR olmak üzere

     

2 25 1 . 2 x f x x x   

  ile tanımlı f A: R fonksiyonu veriliyor. R içindeki en geniş A tanım kümesini bulalım.

Çözüm: Fonksiyonun tanımlı olması için  x2 25 0 ve

x1

 

x2

0 olmalıdır.

Bunun için x1 ve x2 olduğu da dikkate alınırsa tanım kümesi A 

5,5

 

1, 2 ‘dır. Tanım.2.2: Koordinat başlangıcına göre simetrik aralıkta tanımlanmış olan f fonksiyonu için

 

 

f  x f x koşulu sağlanırsa bu fonksiyona çift fonksiyon f

 

  x f x

 

koşulu sağlanırsa bu fonksiyona tek fonksiyon denir.

Örnek.2.4: yf x

 

ile tanımlı f R: R fonksiyonu veriliyor. a)

 

 

 

2

f x f x

g x    ile tanımlı g R: R fonksiyonunun tek fonksiyon olduğunu gösteriniz.

b)

 

 

 

2

f x f x

h x    ile tanımlı h R: R fonksiyonunun çift fonksiyon olduğunu gösteriniz.

Çözüm:

a)

 

 

 

 

 

 

2 2

f x f x f x f x

g  x        g x olduğundan, g fonksiyonu tek fonksiyondur.

b)

 

 

 

 

2

f x f x

h  x   h x olduğundan, h fonksiyonu çift fonksiyondur. Örnek.2.5: f x

 

x3 x sinx fonksiyonu f

     

  x x 3  x sin

 

x

 

3 sin 3 sin

x x x x x x f x

          olduğundan tek fonksiyondur.

Tanım.2.3: f A: R bir fonksiyon olsun. x1x2 koşulunu sağlayan her x x1, 2A noktası

için f x

 

1  f x

 

2

f x

 

1  f x

 

2

oluyorsa f fonksiyonuna A ‘da artan (azalmayan)

(13)

Tanım.2.4: f A: R bir fonksiyon olsun. x1x2 koşulunu sağlayan her x x1, 2A noktası

için f x

 

1  f x

 

2

f x

 

1  f x

 

2

oluyorsa f fonksiyonuna A ‘da azalan(artmayan)

fonksiyon denir.

x x1, 2

 

, x x4, 5

aralığında fonksiyon artan ,

x x3, 4

aralığında fonksiyon azalandır.

Tanım.2.5: f A: Rolmak üzere A’dan alınan tüm x’ler için f x

 

M olacak şekilde M>0 reel sayısı varsa f fonksiyonuna A’da sınırlı fonksiyon denir.

Tanım.2.6: f A: B fonksiyonu için f (A) , B kümesinin özalt kümesi ise f ’ye A’dan B’ye içine fonksiyon denir.

Tanım.2.7: f A: B fonksiyon olsun. a b A,  için a b  f a

 

f b

 

önermesi doğru ise f fonksiyonuna birebir fonksiyon denir. 1 1

:

f A B biçiminde gösterilir. Tanım.2.8: f A: B fonksiyon olsun.  y B için f x

 

y olacak şekilde bir x A

varsa f fonksiyonuna örten (üzerine) fonksiyon denir. (f(A)=B ise f örtendir)

Tanım.2.9: f A: B ve g B: C fonksiyonları verilmiş olsun.

gof

  

xg f x

 

(

x A

  için) olacak biçimde verilen gof A: C fonksiyonuna, f ile g ‘nin bileşkesi denir. Örnek.2.6: f x

 

x35 , g x

 

logx ise

fog x

   

 logx

35 ve

  

  

log

3 5

h xgof xx  şeklindedir.

Örnek.2.7:g x

 

3x26 ve

fog x

  

6x23 olduğuna göre f fonksiyonunu bulunuz. Çözüm:

fog x

  

f g x

 

6x2 3 2 3

x2 6

15 2 g x

 

 yazılabilir. g(x) yerine 15 x alınırsa f x

 

2x15 elde edilir.

Tanım.2.10: F x y

,

0 ile tanımlanan fonksiyonlara kapalı fonksiyon, F x

 

y şeklinde tanımlanan fonksiyonlara da açık fonksiyon denir. Örneğin

(14)

2 8 0

xy  kapalı fonksiyon; y5x22x1 açık fonksiyon

Tanım.2.11: Belli bir X kümesinde tanımlanmış yf x

 

...

 

a fonksiyonunu göz önüne alalım ve onun değerlerinin Y kümesini oluşturduğunu varsayalım. Eğer

 

a eşitliğinden x’ i y değişkeni cinsinden tek değerli olarak hesaplamak mümkünse yani Y kümesinde

 

1

x fy

varsa x f1

 

y

fonksiyonuna yf x

 

fonksiyonunun ters fonksiyonu denir.

Not: yf x

 

’ in ters fonksiyonu olması için gerek ve yeter şart f ‘nin birebir ve örten olmasıdır.

Örnek.2.8: f R: R tanımlı y x 31

ile verilen fonksiyonun varsa tersini bulunuz. Çözüm: Verilen fonksiyon birebir ve örten olduğundan tersi vardır.

3 1

xy olur. O halde f1

 

x 3 x1

bulunur.

Örnek.2.9: f x

 

1 ve g x

 

x olmak üzere f g R, : R fonksiyonlarının tersi yoktur. Zira ne birebir ne de örtendir.

Örnek.2.10: f R:  R tanımlı 2

y x ile verilen fonksiyonun tersini bulunuz. Çözüm: 2

y x ile verilen fonksiyon birebir ve örten olduğundan tersi vardır. x  y olur. O halde f1

 

x   x

bulunur. 2.1 Üstel Fonksiyonlar

0

a olmak üzere x

y a şelindeki fonksiyona üstel fonksiyon denir. a0 için x ‘in her bir değerine y ‘nin bir tek değeri karşılık gelir.

(15)

: 0,

f R  tanımlı f x

 

ex fonksiyonu ex exp

 

x

biçiminde gösterilip grafiği a1

için gibidir.

2.2 Logaritma Fonksiyonu

x

ab ifadesinde a ‘nın x. kuvveti b ‘yi versin. Bu eşitliği sağlayan x sayısına b sayısının a tabanına göre logaritması denir ve logab x olarak gösterilir. Üstel fonksiyonla bu fonksiyon

arasında log x

ab x  b a olacak şekilde bir ilişki vardır.

Sonuçlar:

1) Negatif sayıların sıfırın logaritması yoktur. Fakat şekilden de görüleceği üzere a1

için log 0a   olarak alınacaktır.

2) a ‘nın 0 veya 1 olması durumunda logaritma tanımı mümkün değildir. 3) Taban ne olursa olsun 1 ‘in logaritması 0 ‘dır.

4) yloga x ‘in grafiği y ax ‘in grafiğinin y x doğrusuna göre simetriğidir.

(16)

Tanım.2.12: ylog10 xlogx ile tanımlanan logaritmaya bayağı logaritma ve

loge ln

yxx ile tanımlanan logaritmaya ise doğal logaritma denir. Logaritmayla ilgili özellikler:

1) a a1, ,...,2 an R

 olmak üzere log

a a1. ...2 an

loga1loga2 ... logan

2) logan nloga

3) a b R, ve a b logalogb ‘dir.

4) a b R, ise loga loga logb

b   ‘dir.

5) 0 x 1 x2 ise loga x1 logax2 ‘dir.

a1

6) Logaritma fonksiyonu birebir ve örtendir. 7) logab

b a ‘dır. 8) loga loglogc

c b b aÖrnek.2.11: 2 2 3 2 log 2 x x y x   

 fonksiyonunun tanım kümesini bulunuz. Çözüm: Fonksiyonun tanımlı olması için gerek ve yeter şart

2 3 2 0 2 2 x x x x      

 ve

x1

 

x2

   0 x 1 olmasıdır. Eşitlik çözülürse

 1,

bulunur. Örnek.2.12:

3 log 35 3 log 5 x x  

 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

Çözüm:

3 3 log 35 3 log 35 3log 5 log 5 x x x x       

3 3 3 3 2 log 35 log 5 35 5 5 6 0 x x x x x x             x12 ,x2 3 ‘dır.

Bu kökler denklemi sağladığında Ç

 

2,3 olur. Örnek.2.13: x

 

x

(17)

 

1 log log 2 x x xxx x xx log 1 0 2 xx x     logx0 ve 1 0 2 x x      x 1001 ve x4 ve x0 bulunur.

Ancak bunlardan x1 ve x4 denklemi sağlar.

Örnek.2.14: logx 1 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz. Çözüm:  1 logx 1 101 x 101 olup 1 ,10

10

Ç  

  aralığıdır. 2.3 Trigonometrik Fonksiyonlar

Tanım.2.13: DR , f D: R fonksiyonunda  x D için x T D ve f x T

f x

 

koşullarını gerçekleyen sıfırdan farklı bir T reel sayısı varsa, f fonksiyonuna periyodik fonksiyon denir. f x T

f x

 

eşitliğini gerçekleyen pozitif T reel sayısının en küçüğüne f fonksiyonunun esas periyodu denir.

Örnek.2.15: yf x

 

ile tanımlı f R: R fonksiyonunun periyodu 6 ‘dır.

 

3 5

g xf x ile tanımlı g R: R fonksiyonunun periyodu; g ‘nin periyodu T olsun. Bu durumda

 

3

5

3 5

g x T g xf x T   f x

f

3x 5 3T

f

3x5

3x5

u olsun.  f u

3T

f u

 

bulunur ki bu da f ‘nin periyodunun 3T olduğunu belirtir. Oysa f ‘nin periyodu 6 idi. O halde

3T   6 T 2 bulunur.

Tanım.2.14: Yarıçapı 1 ‘e eşit olan çembere birim çember denir. Bunun çevresinin uzunluğu

(18)

:

, : , S R Ç S x P x R P Ç    

 

P S x ve S x

 

S x

2

‘dir.

Tanım.2.15: P noktasının y- ekseni üzerine izdüşümünü izd Py , x- ekseni üzerine

izdüşümünü izd Px ile gösterelim. O halde

izd Çy:   

1, 1

‘dir.

P noktasının bu fonksiyonlara göre izdüşümleri

 

 

 

 

sin cos y y x x izd P izd S x x izd P izd S x x    

ile ifade edeceğiz. P

cos ,sinx x

‘dir.

Tanım.2.16: sinizd oSy fonksiyonuna sinüs fonksiyonu, cosizd oSx fonksiyonuna da

kosünüs fonksiyonu denir. Bunlar izd s xy

 

sin ,x izd s xx

 

cosx ile tanımlı

sin :R  

1, 1

cos :R  

1, 1

fonksiyonlardır. Tanım.2.17: sin ,cosx x’e bağlı olarak

tan sin , cos

0 , cot

cos , sin

0

cos sin

x x

x x x x

x x

   

sec 1 , cos

0 , cos

1 , sin

0

cos sin x x ecx x x x     şeklinde tanımlanır. Birim Çember

(19)

Trigonometrik Eşitlikler 1. sin2xcos2x1

2. tan2 x 1 sec2x

3. 2 2

cot x 1 cosec x

4. sin

x y

sin .cosx ycos .sinx y

5. cos

x y

cos .cosx ysin .sinx y

6. sin 2x2sin .cosx x

7. cos 2xcos2xsin2 x2cos2 x  1 1 2sin2x

Trigonometrik Fonksiyonların Grafikleri

sin

(20)

cos yx fonksiyonunun grafiği tan yx fonksiyonunun grafiği cot yx fonksiyonunun grafiği

(21)

2.4 Ters Trigonometrik Fonksiyonlar

f fonksiyonu birebir ve örten ise bunun ters fonksiyonundan bahsedilebilir ve

 

1

, : ,

f  x y y xf biçiminde ifade edilir. sin,cos, tan,cot,sec,cos ec fonksiyonları birebir olmadıklarından, bunların ters fonksiyonlarından söz edilemez. Ancak, tanım kümelerinin bir alt kümesinde, birebir ve örten olan kısıtlanmışlarının ters fonksiyonlarından söz edilebilir.

sin : , 1 1 sin 1,1 2 2 cos : 0, 1 1 cos 1,1 tan : , 1 1 tan 2 2 cot : 0, 1 1 cot cos : , 2 2 x veörten x x ve örten x x ve örten x R x ve örten x R ec x                                           

 

0 1 1 cos 1,1 sec : 0, 1 1 sec 1,1 2 ve örten ecx R x   ve örten x R                 

Yukarıdaki biçimde tanımlanan trigonometrik fonksiyonların tersleri vardır ve bu fonksiyonların tersleri 1 1

sin ,cos ,...  şeklinde veya sırasıyla arcsin,arccos,... şeklinde gösterilir. Tanım bölgelerindeki bu ifadelerin anlamı;

arcsin sin yx x y arccos cos yx x y, vb’ dir. 1 1 sin arcsin 6 2 2 6     da olduğu gibidir.

(22)

arcsin yx; sin :1

1,1

sin 1 , 2 2 x x            

1 1

arccos ; cos : 1,1 cos 0,

y xx  x

1 1

arctan ; tan : tan ,

2 2

yxx R   x   

 

1 1

cot ; cot : cot 0,

(23)

1 1

sec ; sec : 1,1 sec 0,

2 y arc xx R   x     

 

1 1

arccos ; cos : 1,1 cos , 0

2 2

y ecx ecx R   ec x   

 

 

Tanım.2.18:P x P x0

   

, 1 ,...,P xn

 

çok terimliler olmak üzere;

 

 

1

 

 

0 1 ... 1 0

n n

n n

P x yP x y   P x y P x  denklemini sağlayan yf x

 

fonksiyonuna cebirsel fonksiyon denir.

(24)

En basit cebirsel fonksiyonlar; 2 1 0 1 1 , , , ... , n n ... n n y c y ax b y ax    bx cy a x a x   a x a  ‘dir.

Tanım.2.19:Kesir rasyonel kuvvet bulunduran cebirsel fonksiyona irrasyonel fonksiyon denir. 3 3 7 2 5 , , ... 6 5 x x y x x y x x       gibi

Tanım.2.20: Cebirsel olmayan elementer fonksiyonlara transandant fonksiyonlar denir. Örneğin; üstel, logaritmik trigonometrik, ters trigonometrik, hiperbolik fonksiyonlar gibi. Örnek.2.16: sinxcosx m , sin 2x n olduğuna göre n ‘nin m türünden değerini bulunuz. Çözüm: sinxcotx m 

sinxcosx

2m2

sin2x2sin .cosx xcos2x m 2

 1 2sin cosx x m 2

 1 sin 2x m 2

 n m21 bulunur.

Örnek.2.17: cos sin2

1x

 1 x2

olduğunu gösteriniz. Çözüm: ysin1x x siny olduğundan

2 2 2 2 1 2

cos y 1 sin y 1 x cos sin x  1 x

bulunur.

Örnek.2.18: f x

 

 2 3sinx ve g x

 

 cosx 1 fonksiyonlarının tanım ve değer kümelerini bulunuz.

Çözüm: f ’nin tanım kümesi R ‘ dir. Değer kümesi ise

sinx    1 1 sinx   1 3 3sinx    3 1 2 3sinx5 olduğundan

1,5

aralığıdır.

g’nin tanımlı olması için cosx   1 0 cosx  1 cosx 1 olmalıdır. Böylece tanım kümesi x k 

k Z

noktalarının kümesi ve dolayısıyla değer kümesi D

 

0 olur.

2.5 Hiperbolik Fonksiyonlar

Simetrik bir küme üzerinde tanımlı her f fonksiyonu, biri çift biri de tek olan iki fonksiyonun

toplamı şeklinde yazılabilir. Zira her f fonksiyonu için

 

 

 

 

 

2 2

f x f x f x f x

f x      

(25)

 

x f xe alınırsa 2 2 x x x x x e e e e e    

  yazılabilir. ex ‘in çift ve tek parçalarına sırasıyla x ‘in hiperbolik

kosünüsü ve hiperbolik sinüsü denir. Buna göre

cosh , sinh 2 2 x x x x e e e e x x       olur.

Bu fonksiyonların grafikleri aşağıdaki gibidir.

y=coshx y=sinhx

Diğer hiperbolik fonksiyonlar trigonometrik fonksiyonlarda olduğu gibi sinh tanh , coth cosh x x x x x x x x x e e e e x x x e e e e            1 1 sec , cos cosh sinh hx echx x x   tanımlanır ve grafikleri

(26)

y=cosechx ‘in grafiği y=sechx ’in grafiği

u=coshx ve v=sinhx için u2v2 1 olduğu kolayca gösterilebilir. Bu denklem uv-dik

koordinat sisteminde ikizkenar hiperbol denklemi olduğundan bu fonksiyonlara hiperbolik fonksiyonlar adı verilir.

Bu fonksiyonlarla ilgili özellikler 1)cosh2xsinh2 x1

2) ex coshxsinhx ex coshxsinhx

3) 2 2 2

cosh 2xcosh xsinh x2 cosh x1

4) sinh 2x2sinh coshx x

5) sinh

 

  x sinhx cosh

 

 x coshx

6) cosh

x y

cosh coshx ysinh sinhx y

7) sinh

x y

sinh coshx ycosh sinhx y

8)

coshxsinhx

n coshnxsinhnx

Örnek.2.19: f x

 

coshx , f : ,

o   

1,

fonksiyonunun tersini bulunuz. Çözüm: Fonksiyon birebir ve örten olduğundan tersi vardır.

 

2 cosh 2 1 0 2 x x x x e e x y e ye        

Denklem çözülürse ex  y y2  1 x ln

y y2 bulunur.1

0

x verildiğine göre xln

yy2 ‘ dır.1

Örnek.2.20: 1 sinh cosh

1 sinh cosh

x x

x x

 

(27)

Çözüm: sinhxcoshx e x olduğunda

2 2 2 2 1 sinh cosh 1 cot 1 sinh cosh 1 2 x x x x x x x x e e e x x x e e e           bulunur.

Örnek.2.21: psinh ln

x

coshx

lnx

ifadesinin x türünden değerini bulunuz. Çözüm: sinh , cosh 2 2 u u u u e e e e u u    

  ifadelerinden u yerine ln x konulursa

ln ln ln ln ln ln sinh ln cosh ln 1 ; , 2 2 x x x x x x p x x e e e e p e x e x                 2 4 2 2 1 1 1 1 . 2 2 4 4 x x x x x x x p x       elde edilir.

Örnek.2.22:

coshxsinhx

n coshnxsinhnx olduğunu gösteriniz.

Çözüm:

cosh sinh

 

cosh sinh

2 2 n x x x x n n e e e e x nx x x e e nx nx               bulunur. Örnek.2.23:

 

arccos 3 4 2sin f x x   

  denkleminin tanım kümesini bulunuz. Çözüm: arccos 3 4 2sinx t     dersek 3 cos 4 2sin t x   1 cost 1    olduğundan 1 3 1 1 4 2sin 1 4 2sin 3 x x          3 4 2sin 3 7 1 sin 2 2 7 1 arcsin arcsin 2 2 x x x                      bulunur. 2.6 Parametrik Fonksiyonlar

Bir f A: B fonksiyonunun yf x

 

açık şekliyle verilen kuralı başka şekillerde de verilebilir. x g t

 

y h t

 

şeklinde olduğu gibi.

Belli başlı bazı fonksiyonlar veya denklemlerin standart parametrik gösterimleri vardır. Çember, elips, doğru vb.

(28)

Örnek.2.24: Merkezi orjin yarıçapı r olan çemberin kartezyen denklemi x2y2 r2 olup

bunun parametrik gösterimi cos sin x r y r     0  2 ’dır.

Örnek.2.25: Bir doğru üzerinde yuvarlanan a yarıçaplı bir çemberi göz önüne alalım. Çember üzerinde alınan bir p noktasının geometrik yeri olan eğrinin (sikloid) parametrik denklemini yazalım.

PA yayının uzunluğunu OA uzunluğuna eşit olup bu da OAa t. ’dir. P noktasının koordinatları . .sin .cos x y P OD OA PB a t a t P PD CA CB a a t           olarak bulunur.

Örnek.2.26: xsint ycos2t t R

eğrisinin kartezyen formda yazalım.xsint’nin her iki tarafının karesini alıp x2 sin2t ve ycos2t iki denklemi taraf tarafa toplarsak

2 1 1 2

x     y y x olur. Bu da parabol denklemidir.

Örnek.2.27: 3 3

cos sin 0 2

x at y at  t  denklemi ile verilen astroidin kartezyen formda gösterimini bulunuz.

Çözüm: 3 2 3 2 2

.cos

xa t 3 y2 3 a2.sin2t

olarak düzenlenip taraf tarafa toplanırsa x23 y23 a23 elde edilir.

(29)

2.7 Mutlak Değer Fonksiyonu

 

 

 

:

 

 

0 : 0 f x f x f x f x f x               biçiminde tanımlıdır.

Örnek.2.28: f x

 

   x 2 x 3 ile tanımlı f R: R fonksiyonunu önce parçalı yazıp sonra grafiğini çizelim.

 

2 15 :: 2 2 3 2 5 : 3 x x f x x x x             

Örnek.2.29: f x

 

x21 ile tanımlı f R: R fonksiyonunu önce parçalı yazıp sonra grafiğini çizelim.

 

2 2 2 1 : 1 1 : 1 1 1 : 1 x x f x x x x x                

(30)

Örnek.2.30: ylnx fonksiyonunun grafiğinden yararlanarak y lnx ’in grafiğini çizelim. ln : 1 ln ln : 0 1 x x y x x x           

Örnek.2.31: ylnx fonksiyonunun grafiğinden yararlanarak yln x ‘in grafiğini çizelim.

ln

yx çift fonksiyon olup ylnx fonsiyonunun grafiğine bunun y-eksenine göre simetriği ilave edilir. Yani

(31)

Örnek.2.32: ysinx fonksiyonunun grafiğinden yararlanarak y sinx ’in grafiğini çizelim. 2.8 İşaret Fonksiyonu

 

 

 

 

1 : 0 sgn 0 : 0 1 : 0 f x f x f x f x          

ile tanımlı sgn :R 

1,0,1

fonksiyonuna işaret fonksiyonu

(signum fonksiyonu) denir.

Örnek.2.33: f x

 

x26x5 , f : 6,6

R olduğuna göre, sgn f fonksiyonunu bulup grafiğini çiziniz.

Çözüm: Önce f ’nin işaretini incelemek için 2

6 5 0

xx  denklemini çözelim. Bu denklemin kökleri x11 ve x2 5’dir. Dolayısıyla

 

1 : 6 1 5 6 sgn 0 : 1 , 5 1 : 1 5 x veya x f x x x x                  ve sgn f ’nin grafiği;

(32)

DR olmak üzere ,

 

 

 

 

 

, , 1 , u x u x Z D f x u x a a u x a a Z D                   ile tanımlı :

f DR fonksiyonuna tam değer fonksiyonu denir.

Örnek.2.34: f : 2, 2

R ve f x

 

x2 verilsin. f x

 

grafiğini çizelim.

 

2

f xx çift fonksiyondur. yeksenine göre simetrik olduğundan fonksiyonunun grafiğini

 

0, 2 aralığında çizip yeksenine göre simetriğini almak yeterlidir.

2

0   x 2 0 x 4 olup x2 ifadesi 0,1, 2,3, 4 değerlerini alır.

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 1 0 1 1 1 2 1 2 2 2 3 2 3 3 3 4 3 2 4 4 2 x x x x x x x x x x x x x x x                                 

Örnek.2.35: f : 2, 2

  

R ve f x

 

x1 grafiğini çizelim.3 Çözüm:     2 x 1 x    2 y 1 1 0 1 1 2 x x y         0 1 0 1 3 x x y       1 2 1 1 4 x x y       2 2 1 5 x  x   y

(33)

Örnek.2.36: f A:  R R ve

 

sgn 22 9 x f x x        

fonksiyonunun en geniş A tanım

kümesini bularak grafiğini çizelim.

Çözüm: x 2  9 0 x 2 9 x  3 x  veya 3

3 4

x    x veya x  3 A R  

3, 4

4

x için f x

 

1 ve x 3 için f x

 

 1 olur.

Örnek.2.37: f x

 

x x

 ile tanımlı f R: / 0

 

R fonksiyon veriliyor.sgn f fonksiyonu-nun grafiğini çizelim.

Çözüm: 0 x 1 için f x

 

0 0 sgn f 0 x    1 x 2 için f x

 

1 sgn f 1 x  

(34)

2 x 3 için f x

 

2 sgn f 1 x    1 x 0    için f x

 

1 sgn f 1 x    2 x 3    için f x

 

2 sgn f 1 x    

Örnek.2.38: y x 2 x sgn x ’in grafiğini

1, 2

aralığında çizelim. Çözüm: 2 1 x 0 x 1 y x         2 0 x 1 x 0 y x        2 1 x 2  x 1  y x 2

Örnek.2.39: x 2 xx  6 3 x denkleminin çözüm kümesini bulunuz. Çözüm: x 2 xx  6 3 x

(35)

x 22 x  6 3 x x 25 x  6 0 , xt dersek; t2  5t 6 0

t3

 

t2

0  t 2 , t3 2 2 2 3 t   x    x 3 3 3 4 t   x    x o halde Ç K. .

2, 4

bulunur.

III. BÖLÜM

LİMİT

3.1 Limit Kavramı

 

yf x bir

a b,

aralığında tanımlanmış bir fonksiyon olsun. Özel olarak bu aralığın x0

noktasında tanımlanmamış olabilir. x değişkeni bu aralıkta x0 değerine yaklaştığında f x

 

bir l sayısına yaklaşıyorsa xx0 için f x

 

’in limiti l’dir denir. Bu durum

 

0

lim 1

(36)

Limit tanımında x değişkeni x0 değerine yaklaşmakla birlikte ona eşit değildir. Yani x x 0

’dır. Ayrıca l’nin f x

 

0 olduğuda söylenemez. x değişkeni x0 değerine yaklaştığında ,

 

f x fonksiyonunun buna karşılık olarak aldığı değerler herhangi bir sayıya yaklaşabilir veya herhangi bir sayıya yaklaşmayabilir.

3.2 Sağdan ve Soldan Limit

Limit tanımında x değişkeninin x değerine sağdan ve soldan yaklaşması gerektiği anlaşılır. 0

Her iki yaklaşma halinde de f ‘nin aynı bir l sayısına yaklaşması şart koşulmuştur. Sağdan ve soldan yaklaşmalar sırasıyla

 

 

0 0

1 2

lim , lim

xxf xl xxf xl gösterilip limiti var olması

için gerek ve yeter şart l1l2 olmasıdır.

Yukarıdaki limitler h0 olmak üzere x x 0 h dönüşümü uygulanırsa xx0 için h0

olur ve

 

 

0 0

0 0

0 0

lim lim , lim lim

h x x h xxf x   f xhf x   f xh olarak da gösterilir. Örnek.3.1:

 

 

2 3 : 2 : 2 , 2 1 : 2 x x f R R f x x x x            

  ile tanımlı fonksiyon x2 için tanımlı değildir. Ancak bu durum fonksiyonun x2 için limitini araştırmaya engel değildir.

x’in 2 sayısına sağdan ve soldan yaklaşması halinde fonksiyonunun değerini inceleyelim.

2 lim 3 1 x   x 2 2 lim 2 1 1 x xx 

olduğundan limx2 f x

 

1 bulunur.

Örnek.3.2: :

 

1 ,

 

1 1 x f R R f x x    

 fonksiyonunun x0 1 için limitini hesaplayalım. Çözüm: Fonksiyonu parçalı biçimde yazmak gerekirse

 

1 1 : 1 1 : 1 1 x x f x x x        

olup limx1 f x

 

 1 ve limx1 f x

 

1 olduğu görülür. O halde

 

1 1 x f x x  

 fonksiyonunun x0 1 için limiti mevcut değildir.

Bundan sonra limitin mevcut olduğu ifade edildiğinde sağ ve sol limitlerin var ve birbirine eşit olduğu anlaşılacaktır.

(37)

f ve g x a noktasında limiti mevcut iki fonksiyon olsun. 1. limx a Af x

 

Bg x

 

A.limx a f x

 

B.limx a g x

 

2. limx a f x

 

, g x

 

limx a f x

 

.limx a g x

 

3. g x

 

0 ve limx a g x

 

0 ise lim

 

 

lim

 

 

lim x a x a x a f x f x g x g x     4. c R için limx a c c5. lim

 

lim

 

x af xx af x

6. f x

 

0 olmak üzere limx a f x

 

 limx a f x

 

7. limx a f x

 

limx a g x

 

 ve l a’nın komşuluğunda f x

 

h x

 

g x

 

ise

 

lim x ah xl 8.

 

1 1 ... 1 1 0 n n n n

P xa xa x   a xa olmak üzere  a R için limx a P x

 

P a

 

’dır. 3.4 Trigonometrik Fonksiyonların Limiti

xa için u x

 

0 ise

 

 

 

 

sin lim lim 1 sin x a x a u x u x u x u x     ve

 

 

 

 

tan lim lim 1 tan x a x a u x u x u x u x     ’dir. Örnek.3.3: 0 0 sin lim lim 1 sin x x x x x x     ve 0 0 tan lim lim 1 tan x x x x x x     ’dir. Örnek.3.4: 0 0 sin 5 5.sin 5 5 lim lim 2 2.2 2 x x x x x x    

 

 

 

 

0 0 .tan tan lim lim tan tan x x a ax ax ax a b bx bx b bx     ’dir. Örnek.3.5: 2 0 0 0 0

sin sin .sin sin

lim lim lim .limsin 1.0

x x x x x x x x x x x x        dır. Örnek.3.6: 2 2 2 0 0 2sin 1 cos 2 lim lim x x x x x x   

yarım açı formüllerinden 1 cos 2sin2 2

x x

(38)

0 2sin .sin 2 2 lim 4 . 2 2 x x x x x   1 2  ‘dir.

3.5 Değişkenin sonsuza gitmesi halinde limit

Bazı durumlarda değişkenin sınırsız artması (veya sınırsız azalması) halinde değişkene karşılık gelen fonksiyon değeri belli bir tek sayıya yaklaşabilir. Böyle durumlarda fonksiyon

x  ( veya x ) için limit söz konusudur. Örnek.3.7: f R: 

 

0 R , f x

 

1

x

 fonksiyonunun x  ve x  için limitlerini inceleyelim. 1 lim 0 1 lim 0 x x x x     3.6 Sonsuz Limitler Örnek.3.8: f R: 

 

0 R , f x

 

12 x

 fonksiyonunun x0 0 için limitini hesaplayınız.

2 0 1 lim xx   ve ayrıca 2 1 lim 0 xx  lim 12 0 xx  bulunur.

(39)

2

1

y x

 ’nin grafiği

Örnek.3.9: f : 0,

 

R f x,

 

lnx fonksiyonu için; 0 0 lim ln lim ln x x x x        

Örnek.3.10: f x

 

ex fonksiyonu için; lim 0 lim x x x x e e     

Referanslar

Benzer Belgeler

(˙Ipucu: ¨ Ozge inte- graller ile ilgili teorem(ler) kullanarak veya integral testi ile ¸c¨ oz¨ ulebilir) 6.. D¨ onel cisimlerin

(a) cos 57 ◦ yi diferansiyel yardımıyla

Bunların yanında yerel özerklik sağlanırsa, yerel halkın hizmet taleplerinin karşı- lanabilmesi için gerekli esneklik ve yetki sağlanabilecek; yerel yönetimlerin koşul

Buna göre kaçıncı adımdan itibaren hata

Bu vesile ile, Türkiye'de koruma anlayışını bilinçlendirme çalışmalarının sürdürülmesinde önemli katkıları bulunan Cumhurbaşkanı Sayın Ahmet Necdet

Not: Bir rasgele değişkenin beklenen değeri (ortalaması) dağılımın merkezi, varyansı ya da standart sapması beklenen değer etrafında yayılımın

˙Istanbul Ticaret ¨ Universitesi M¨ uhendislik Fak¨ ultesi MAT121-Matematiksel Analiz I. 2019 G¨ uz D¨ onemi Alı¸ stırma Soruları 3: T¨

f fonksiyonunun ve te˘ get do˘ grusunun grafi˘ gini ¸