I. BÖLÜM
KÜMELER VE SAYILAR
1.1 Kümeler
Küme ve eleman terimleri, matematikte tanımlanmadan kabul edilen terimlerdir. Bunları, dilimizdeki başka terimlerle anlatmak istersek; “Küme, nesneler topluluğudur.“ biçiminde ifade edebiliriz. Kümeyi meydana getiren nesnelerin her birine kümenin elamanları denir ve genel olarak kümeler A,B,X,Y, … gibi büyük harflerle, elamanları ise a,b,x,y, … gibi küçük harflerle ifade edilir.
Elemanları a,b,c olan kümeyi A
a b c, ,
biçiminde gösteririz. Kümenin elemanları, kapalı bir çizgi içine alınarak Venn şeması ile de gösterilebilir..d
Burada a A , b A , c A ve dA’dır.
Tanım.1.1.1: A kümesinin her elemanı, B kümesinin de elemanı ise A kümesi B kümesi içindedir ya da B kümesi A’yı kapsar denir. Bu ifade AB ya da BA ile gösterilir. A’ya B’nin alt kümesi denir. Buna göre
AB a A için a B olur.
Örneğin çift sayılar kümesi tamsayılar kümesinin bir alt kümesidir.
Tanım.1.1.2: A=B A B ve BA olmasıdır. Bu tanıma göre A ve B eşit kümeler aynı elemanlardan meydana gelmiştir. Eğer AB fakat A B ise A’ya B’nin bir özalt kümesi adı verilir.
n elemanlı bir kümenin özalt küme sayısı 2n1
dir.
Tanım.1.1.3: Elemanları olmayan kümeye boş küme denir ve ile gösterilir. Boş küme her kümenin alt kümesidir.
.a .b .c
Tanım.1.1.4: Küme teorisinin herhangi bir uygulamasında uğraştığımız tüm kümeleri sabit bir kümenin alt kümeleri olarak düşünebiliriz. Bu kümeye evrensel küme denir ve genelde E ile gösterilir. Şunu belirtelim ki her şeyi içine alan mutlak bir evrensel küme yoktur.
Tanım.1.1.5: Bir A kümesinin alt kümelerinin kümesine A’nın kuvvet kümesi denir ve P(A) ile gösterilir.
Kuvvet kümesinin elemen sayısı
nr =
!
! !
n
r n r (n elemanlı bir kümenin r elemanlı alt
küme sayısı) olmak üzere S(P(A))=
0 1 ... 2n n n n
n
biçiminde hesaplanır.
Tanım.1.1.6: A ve B kümelerinden en az birine ait olan elemanlardan meydana gelen kümeye A ile B’nin birleşimi denir ve biçiminde yazılır. Buna göre
:
A B a a A veya a B
olur.
Sonlu çokluktaki A1,A2,…,An kümelerinin birleşimi
1 : 1 n k k k A a en az bir k n için a A
ve sayılabilir çokluktaki Ak (k=1,2,…) kümelerinin birleşimi ise
1 : k k k A a en az bir k N için a A
Tanım.1.1.7: A ve B kümelerinin ortak elemanlarından meydana gelen kümeye A ile B’nin ara kesiti veya kesişimi denir ve AB biçiminde yazılır. Buna göre
:
A B a a A ve a B olur.
A B ise A ve B kümelerine ayrıktır denir.
1 : 1, 2,..., n k k k A a k n için a A
Ve sayılabilir çokluktaki A1,A2,…,An,… kümelerinin kesişimi ise
1 : 1, 2,... k k k A a k için a A
Tanım.1.1.8: A kümesinin B kümesine ait olmayan elemanlarından oluşan kümeye A ile B’nin farkı denir ve A\B biçiminde yazılır. Buna göre
\
t
A E A kümesine ise A’nın tümleyeni adı verilir. Tümleyen tanımından A kümesi için
t
AA E,AAt ,
At t A‘dır.
De Morgan kuralı kümelerle ilgili aşağıdaki eşitlikleri içerir. Teorem.1.1.1:A ile B iki küme olsun. Bu takdirde
t t ti A B A B
t t t ii A B A B dir.İspat: (i) a
A B
t a
A B
a Avea B a A veyaa Bt t
Bu ise
A B
t
AtBt
ve
AtBt
A B
t, yani (ii)’nin sağlanması demektir. Tanım.1.1.9:A ve B kümelerinden birine ait olup da diğerine ait olmayan elemanların kümesine A ile B’nin simetrik farkı denir ve A B şeklinde yazılır. Buna göreA B = (A\B)
B A\
olur. Kümelerle ilgili bazı örnekleri ele alalım.Örnek.1.1.1: A ve B iki küme olmak üzere A
A B\
A B
olduğunu gösteriniz.
\
t
t
A A B A B A B A B A B B A E A
Örnek.1.1.2: De Morgan kuralını kullanarak
A B
t
AtBt
tkümesini sadeleştiriniz. Çözüm:
A B
t
t t
t
t
t
t t
t A B A B A B
t t t t A B A B A B A B A B Zira A B A B olduğundan
A B
A B
A B 1.2 Sayılar 1.2.1 Sayı TürleriDoğal sayılar kümesi: Doğal sayılar kümesi N ile gösterilir veN
0,1, 2,...
dir. Tam sayılar kümesi: Tam sayılar kümesi Z ile gösterilir ve Z=..., 2, 1,0,1, 2,...
dir.Rasyonel sayılar kümesi: Rasyonel sayılar kümesi Q ile gösterilir ve Q= : , , 0 p p q Z q q
‘ dır. Burada paydanın sıfır olamayacağına dikkat edilmelidir.
Asal sayılar: 1 ve kendisinden başka böleni olmayan sayılara veya başka bir ifade ile sadece iki tam böleni olan sayılara denir ve A ile gösterilir. A=
2,3,5,7,...
pozitif asal sayılardır.n N olmak üzere çift sayılar 2n, tek sayılar 2n+1 ile gösterilebilir. Ancak asal sayıları temsil edecek şekilde bir formül henüz geliştirilememiştir.
İrrasyonel sayılar: Rasyonel olmayan sayılara yani p q Z, olmak üzere p
q şeklinde
yazılamayan sayılara denir.
Örneğin 2, 3, , ,... e gibi sayılardır ve bu sayılar genelde I ile gösterilir.
Reel sayılar: Reel sayılar kısaca R Q I olarak yani yukarıdaki sayıların hepsini kapsayan sayılar olarak tanımlanabilir. Sayı ekseni üzerindeki her bir nokta ile reel sayılar arasında bire bir eşleme yapmak mümkündür.
Komleks Sayılar (Karmaşık Sayılar) Kümesi: İleride detaylı olarak verilecektir 1.2.2 Lineer Nokta Kümeleri
Elemanları reel sayılar olan kümelere lineer nokta kümeleri denir. Aralıklar
1) (a,b); a,b açık aralığı olarak okunur ve x
a b,
x R a x b :
biçiminde tanımlanır.2) [a,b]; a,b kapalı aralığı olarak okunur ve x
a b,
x R a x b :
biçiminde tanımlanır.3) (a,b]; a’ dan açık, b’ den kapalı (yarı kapalı aralık) olarak okunur ve
( , ] :
x a b x R a x b biçiminde tanımlanır.
4) [a,b); a’ dan kapalı, b’ den açık (yarı kapalı aralık) olarak okunur ve
[ , ) :
x a b x R a x b biçiminde tanımlanır. 1.2.3 Reel Sayıların Mutlak Değeri
Tanım.1.2.1: a bir reel sayı olmak üzere negatif olmayan ve : 0 : 0 a a a a a biçiminde tanımlanan a sayısına a reel sayısının mutlak değeri veya modülü denir.
a = a2 ifadesine mutlak değerin cebirsel tanımı denir.
1.2.4 Mutlak değerin özellikleri x,y R olmak üzere
1) x 0 2) x x 3) x2 x2 4) x y. x y. 5) x x x 6) x y x y x y 7) x x
y 0
y y özellikler mevcuttur.Teorem.1.2.1: x R ve a R olmak üzere 1) 2) 3) x a a x a x a x a veya x a x a x a veya x a
Tanım.1.2.2: x x 0 eşitsizliğini sağlayan tüm x noktalarının kümesine x0 noktasının
- civarı (komşuluğu) denir.
0
x x eşitsizliğini yukarıdaki teoremden x0 x x0 biçiminde yazarsak x0
’ın -civarı
x0,x0
açık aralığı olur. Özel olarak x0=0 alınırsa 0’ın -komşuluğu
,
açık aralığı olur.Örnek.1.2.1:3x 2 5 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz. Çözüm: 3 2 5 3 2 5 3 7 3 3 7 1 3 7 ( , 1] , 3 x veya x x x x x Ç
Örnek.1.2.2: 5x15 x 1 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz. Çözüm: 5x15 0 x 3 x 1 0 x 1 1 5 15 1 4 14 7 2 x için x x x x 1 7 1 2 x ve x den Ç (1) 1 3 5 15 1 6 16 8 3 x için x x x x 2 8 8 1 3 [ ,3) 3 3 x ve x den Ç (2) 3 5 15 1 4 14 7 2 x için x x x x 3 7 7 3 ,3 2 2 x ve x den Ç (3)
1 , 2 , 3 :8 7 , 3 2 den Ç x x x R 1.2.5 Reel Sayının Tam Değeri
Bir a reel sayısından büyük olmayan tam sayıların en büyüğüne a sayısının tam değeri denir ve a ile gösterilir. Bu tanıma göre her a reel sayısı onun a tam kısmı ile
0 t 1 özelliğini sağlayan kesir kısmının toplamı olarak yazılabilir, yani
0 1
a a t t dir. O halde 3.7 3 , e 2 , 3 , 2.1 3 ,...
olacaktır.
Özellik: a b R, olmak üzere a b a b
Özellik: m bir tamsayı ve x R için x m x m dır.
Her k tamsayısı ve a reel sayısı için k x. k x. eşitliği genelde doğru değildir. Örnek.1.2.3: 3x 2 3
x
Çözüm: Tam kısmı 3 veya 3 ’den küçük olan sayılar 4 ‘den küçük olan sayılardır. O halde 3 2 4 x x
eşitsizliğinin çözüm kümesini bulmak yeterli olacaktır. Bu eşitsizlik
çözüldüğünde Ç=
,0
2,
bulunur. Örnek.1.2.4: 1 2 3 x denklemini çözünüz. Çözüm: 1 2 2 1 3 3 3 x x dır. 1 1 7 2 2 0 0 7 3 3 3 1 1 10 3 3 0 0 10 3 3 3 x x x x x x x x olduğundan çözüm kümesi olarak Ç=
x R : 7 x 10
elde edilir. Komleks Sayılar (Karmaşık Sayılar) Kümesiz C Olmak üzere bu sayı x ve y gibi reel sayılardan oluşan sıralı ikililer olarak z=(x,y) biçiminde gösterilir.
(x,0) çiftine x reel sayısı gözüyle bakılacak ve dolayısıyla (x,0)=x olarak yazılacaktır. (0,y) biçimindeki kompleks sayılara sırf imajıner sayılar denir. x ve y sayılarına sırasıyla z=(x,y) ‘nin reel (gerçel) ve sanal (imajiner) bileşenleri denir.
Re(z)=x Im(z)=y biçiminde yazılır. (0,1) çiftini i ile göstereceğiz. Buna sanal birim denir.
1 1, 1 , 2 2, 2
z x y z x y iki kompleks sayı olsun.
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 , . , . , . . , . . i z z x x ve y y ii z z x x y y iii z z x y x y x x y y y x x y biçiminde yazılır. Çarpım tanımı kullanarak
0,1 2 1,0
olduğu görülebilir yani
21
i dir. Geometrik Yorum
z=x+iy kompleks sayısını düzlemde bir nokta olarak düşünmek doğaldır. Aynı zamanda z sayısını başlangıç noktasından (x,y) noktasına giden yönlendirilmiş doğru parçası veya vektör olarak da düşünmek mümkündür. r z x2y2 z ‘nin modülü
1 2
z ile z arasındaki uzaklık z1z2
x1x2
2 y1y2
2
biçiminde hesaplanır.Ayrıca z1z0 R merkezi z0, yarıçapı R olan çemberi ifade eder.
Örnek.1.2.5: z 2 3i 6 yarıçapı 6 merkezi (2,-3) olan çemberi ifade eder. z=(x,y) için z
x y,
x iy’ye z sayısının eşleneği denir.Eşlenik ile ilgili özellikler:
2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 2 . . . 0 z z x y z z z z z z z z z z z z dır. Kutupsal GösterimSıfırdan farklı z=x+iy sayısına x r cos ,y r sin olduğu için z ’yi kutupsal formda
cos sin
z r i biçiminde ifade edilir. Burada z ‘nin argumanıdır ve tan y
x
eşitliği
ile hesaplanır. Genel olarak bu durum z0 için z r
cos
2n
isin
2n
n=0,1,2,… dır.Ayrıca z rcos
isin
r
cosisin
biçiminde yazılabilir.Çözüm:
2 3 2
2 2 4 tan 2 12 3 3
z r buradan bulacağımız açı II.
bölgede bir açı olmalı. Bunun için önce tanjantı 1
3 eden birinci bölgedeki açıyı buluruz. Bu
açı 6
olur. İkinci bölgedeki açısını 5
6 6
biçiminde buluruz. O halde z ‘ nin kutupsal formda yazılışı
5 5 4 cos 2 sin 2 0, 1, 2,... 6 6 z ki k k olur.
Not: z1r1
cos1isin1
ve z2 r2
cos2isin2
olsun. Bu takdirde
1. 2 1 2. cos 1 2 sin 1 2
z z r r i olur. De Moivre formülü denir.
1 1 1 2 2 2 . 0 z z z z z olduğundan 1 1
1 2 1 2 2 2 cos sin z r i z r ‘dır. Köklerin Alınması nz w w C ) eşitliğinden z z z0, , ,...,1 2 zn1 köklerini bulmak mümkündür. Bu kökler
1 2 2 cos sin 0,1, 2,..., 1 n k k k z r i k n n n formülünden hesaplanır.Örnek.1.2.7: z 1 i karmaşık sayısının kareköklerini bulunuz. Çözüm: z 1 i tan 1 1 1 4
2 2 1 2 1 2 0 1 2 1 1 1 2 2 2 4 4 2 cos sin 0,1 2 2 2 cos sin 8 8 9 9 2 cos sin 8 8 k r z k k z i k z i z i Üstel FormArgumanı modülü r olan z=x+iy kompleks sayısı z r
cos isin
veya . i z r e üstel formda yazılır.cos sin
i
e i Euler Formülünü kullanarak
. cos sin .cos sin
z x iy x iy x x x e e e e e y i y e y ie y yazılabilir. Örnek.1.2.8: 10 1 3 1 3 z
karmaşık sayısını kutupsal gösterimden yararlanarak x+iy formunda yazınız. Çözüm: z1 1 i 3 z1 1
3 2 ve 2 tan 1 3 3 1 1 3 z2 1 i 3 z2 1
3 2 ve 2 2 2 3 tan 3 1 3 10 10 102 cos sin cos sin
3 3 3 3 10 10 cos sin 2 cos sin 3 3 3 3 i i z i i 20 20 cos sin 3 3 2 2 cos 6 sin 6 3 3 2 2 cos sin 3 3 1 3 2 2 z i z i z i z i
II. BÖLÜM
FONKSİYONLAR
Tanım.2.1: A X , BY iki küme olsun. A’ nın her bir elemanını B’nin bir ve yalnız bir elemanına eşleyen her f bağıntısına A’dan B’ye bir fonksiyon denir ve bu durum f A: B
veya y=f (x) şeklinde gösterilir.
Burada x değişkenine bağımsız değişken veya arguman, y değişkenine bağımlı değişken veya fonksiyon adı verilir.
:
A x f x y kümesine tanım kümesi, f A
y f x:
y
kümesine de A kümesinin görüntü kümesi denir.Örnek.2.2: f : 3,5
R fonksiyonu f x
x 2 x
ile tanımlıdır. f fonksiyonunun değer kümesini bulalım.
Çözüm: 3 5 1 2 3 3 5 x x x
‘dir.Yani f ‘ nin değer kümesi
3,5
1 3, 3 5f
‘dır.
Örnek.2.3: AR olmak üzere
2 25 1 . 2 x f x x x
ile tanımlı f A: R fonksiyonu veriliyor. R içindeki en geniş A tanım kümesini bulalım.
Çözüm: Fonksiyonun tanımlı olması için x2 25 0 ve
x1
x2
0 olmalıdır.Bunun için x1 ve x2 olduğu da dikkate alınırsa tanım kümesi A
5,5
1, 2 ‘dır. Tanım.2.2: Koordinat başlangıcına göre simetrik aralıkta tanımlanmış olan f fonksiyonu için
f x f x koşulu sağlanırsa bu fonksiyona çift fonksiyon f
x f x
koşulu sağlanırsa bu fonksiyona tek fonksiyon denir.Örnek.2.4: y f x
ile tanımlı f R: R fonksiyonu veriliyor. a)
2
f x f x
g x ile tanımlı g R: R fonksiyonunun tek fonksiyon olduğunu gösteriniz.
b)
2f x f x
h x ile tanımlı h R: R fonksiyonunun çift fonksiyon olduğunu gösteriniz.
Çözüm:
a)
2 2
f x f x f x f x
g x g x olduğundan, g fonksiyonu tek fonksiyondur.
b)
2f x f x
h x h x olduğundan, h fonksiyonu çift fonksiyondur. Örnek.2.5: f x
x3 x sinx fonksiyonu f
x x 3 x sin
x
3 sin 3 sin
x x x x x x f x
olduğundan tek fonksiyondur.
Tanım.2.3: f A: R bir fonksiyon olsun. x1x2 koşulunu sağlayan her x x1, 2A noktası
için f x
1 f x
2
f x
1 f x
2
oluyorsa f fonksiyonuna A ‘da artan (azalmayan)Tanım.2.4: f A: R bir fonksiyon olsun. x1x2 koşulunu sağlayan her x x1, 2A noktası
için f x
1 f x
2
f x
1 f x
2
oluyorsa f fonksiyonuna A ‘da azalan(artmayan)fonksiyon denir.
x x1, 2
, x x4, 5
aralığında fonksiyon artan ,
x x3, 4
aralığında fonksiyon azalandır.Tanım.2.5: f A: Rolmak üzere A’dan alınan tüm x’ler için f x
M olacak şekilde M>0 reel sayısı varsa f fonksiyonuna A’da sınırlı fonksiyon denir.Tanım.2.6: f A: B fonksiyonu için f (A) , B kümesinin özalt kümesi ise f ’ye A’dan B’ye içine fonksiyon denir.
Tanım.2.7: f A: B fonksiyon olsun. a b A, için a b f a
f b
önermesi doğru ise f fonksiyonuna birebir fonksiyon denir. 1 1:
f A B biçiminde gösterilir. Tanım.2.8: f A: B fonksiyon olsun. y B için f x
y olacak şekilde bir x Avarsa f fonksiyonuna örten (üzerine) fonksiyon denir. (f(A)=B ise f örtendir)
Tanım.2.9: f A: B ve g B: C fonksiyonları verilmiş olsun.
gof
x g f x
(x A
için) olacak biçimde verilen gof A: C fonksiyonuna, f ile g ‘nin bileşkesi denir. Örnek.2.6: f x
x35 , g x
logx ise
fog x
logx
35 ve
log
3 5
h x gof x x şeklindedir.
Örnek.2.7:g x
3x26 ve
fog x
6x23 olduğuna göre f fonksiyonunu bulunuz. Çözüm:
fog x
f g x
6x2 3 2 3
x2 6
15 2 g x
yazılabilir. g(x) yerine 15 x alınırsa f x
2x15 elde edilir.Tanım.2.10: F x y
,
0 ile tanımlanan fonksiyonlara kapalı fonksiyon, F x
y şeklinde tanımlanan fonksiyonlara da açık fonksiyon denir. Örneğin2 8 0
x y kapalı fonksiyon; y5x22x1 açık fonksiyon
Tanım.2.11: Belli bir X kümesinde tanımlanmış y f x
...
a fonksiyonunu göz önüne alalım ve onun değerlerinin Y kümesini oluşturduğunu varsayalım. Eğer
a eşitliğinden x’ i y değişkeni cinsinden tek değerli olarak hesaplamak mümkünse yani Y kümesinde
1
x f y
varsa x f1
yfonksiyonuna y f x
fonksiyonunun ters fonksiyonu denir.Not: y f x
’ in ters fonksiyonu olması için gerek ve yeter şart f ‘nin birebir ve örten olmasıdır.Örnek.2.8: f R: R tanımlı y x 31
ile verilen fonksiyonun varsa tersini bulunuz. Çözüm: Verilen fonksiyon birebir ve örten olduğundan tersi vardır.
3 1
x y olur. O halde f1
x 3 x1bulunur.
Örnek.2.9: f x
1 ve g x
x olmak üzere f g R, : R fonksiyonlarının tersi yoktur. Zira ne birebir ne de örtendir.Örnek.2.10: f R: R tanımlı 2
y x ile verilen fonksiyonun tersini bulunuz. Çözüm: 2
y x ile verilen fonksiyon birebir ve örten olduğundan tersi vardır. x y olur. O halde f1
x xbulunur. 2.1 Üstel Fonksiyonlar
0
a olmak üzere x
y a şelindeki fonksiyona üstel fonksiyon denir. a0 için x ‘in her bir değerine y ‘nin bir tek değeri karşılık gelir.
: 0,
f R tanımlı f x
ex fonksiyonu ex exp
xbiçiminde gösterilip grafiği a1
için gibidir.
2.2 Logaritma Fonksiyonu
x
a b ifadesinde a ‘nın x. kuvveti b ‘yi versin. Bu eşitliği sağlayan x sayısına b sayısının a tabanına göre logaritması denir ve logab x olarak gösterilir. Üstel fonksiyonla bu fonksiyon
arasında log x
ab x b a olacak şekilde bir ilişki vardır.
Sonuçlar:
1) Negatif sayıların sıfırın logaritması yoktur. Fakat şekilden de görüleceği üzere a1
için log 0a olarak alınacaktır.
2) a ‘nın 0 veya 1 olması durumunda logaritma tanımı mümkün değildir. 3) Taban ne olursa olsun 1 ‘in logaritması 0 ‘dır.
4) yloga x ‘in grafiği y a x ‘in grafiğinin y x doğrusuna göre simetriğidir.
Tanım.2.12: ylog10 xlogx ile tanımlanan logaritmaya bayağı logaritma ve
loge ln
y x x ile tanımlanan logaritmaya ise doğal logaritma denir. Logaritmayla ilgili özellikler:
1) a a1, ,...,2 an R
olmak üzere log
a a1. ...2 an
loga1loga2 ... logan2) logan nloga
3) a b R, ve a b logalogb ‘dir.
4) a b R, ise loga loga logb
b ‘dir.
5) 0 x 1 x2 ise loga x1 logax2 ‘dir.
a1
6) Logaritma fonksiyonu birebir ve örtendir. 7) logab
b a ‘dır. 8) loga loglogc
c b b a Örnek.2.11: 2 2 3 2 log 2 x x y x
fonksiyonunun tanım kümesini bulunuz. Çözüm: Fonksiyonun tanımlı olması için gerek ve yeter şart
2 3 2 0 2 2 x x x x
ve
x1
x2
0 x 1 olmasıdır. Eşitlik çözülürse
1,
bulunur. Örnek.2.12:
3 log 35 3 log 5 x x denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm:
3 3 log 35 3 log 35 3log 5 log 5 x x x x
3 3 3 3 2 log 35 log 5 35 5 5 6 0 x x x x x x x12 ,x2 3 ‘dır.Bu kökler denklemi sağladığında Ç
2,3 olur. Örnek.2.13: x
x
1 log log 2 x x x x x x x x log 1 0 2 x x x logx0 ve 1 0 2 x x x 1001 ve x4 ve x0 bulunur.Ancak bunlardan x1 ve x4 denklemi sağlar.
Örnek.2.14: logx 1 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz. Çözüm: 1 logx 1 101 x 101 olup 1 ,10
10
Ç
aralığıdır. 2.3 Trigonometrik Fonksiyonlar
Tanım.2.13: DR , f D: R fonksiyonunda x D için x T D ve f x T
f x
koşullarını gerçekleyen sıfırdan farklı bir T reel sayısı varsa, f fonksiyonuna periyodik fonksiyon denir. f x T
f x
eşitliğini gerçekleyen pozitif T reel sayısının en küçüğüne f fonksiyonunun esas periyodu denir.Örnek.2.15: y f x
ile tanımlı f R: R fonksiyonunun periyodu 6 ‘dır.
3 5
g x f x ile tanımlı g R: R fonksiyonunun periyodu; g ‘nin periyodu T olsun. Bu durumda
3
5
3 5
g x T g x f x T f x
f
3x 5 3T
f
3x5
3x5
u olsun. f u
3T
f u
bulunur ki bu da f ‘nin periyodunun 3T olduğunu belirtir. Oysa f ‘nin periyodu 6 idi. O halde
3T 6 T 2 bulunur.
Tanım.2.14: Yarıçapı 1 ‘e eşit olan çembere birim çember denir. Bunun çevresinin uzunluğu
:
, : , S R Ç S x P x R P Ç
P S x ve S x
S x
2
‘dir.Tanım.2.15: P noktasının y- ekseni üzerine izdüşümünü izd Py , x- ekseni üzerine
izdüşümünü izd Px ile gösterelim. O halde
izd Çy:
1, 1
‘dir.P noktasının bu fonksiyonlara göre izdüşümleri
sin cos y y x x izd P izd S x x izd P izd S x x ile ifade edeceğiz. P
cos ,sinx x
‘dir.Tanım.2.16: sinizd oSy fonksiyonuna sinüs fonksiyonu, cosizd oSx fonksiyonuna da
kosünüs fonksiyonu denir. Bunlar izd s xy
sin ,x izd s xx
cosx ile tanımlısin :R
1, 1
cos :R
1, 1
fonksiyonlardır. Tanım.2.17: sin ,cosx x’e bağlı olaraktan sin , cos
0 , cot
cos , sin
0
cos sin
x x
x x x x
x x
sec 1 , cos
0 , cos
1 , sin
0
cos sin x x ecx x x x şeklinde tanımlanır. Birim Çember
Trigonometrik Eşitlikler 1. sin2xcos2x1
2. tan2 x 1 sec2x
3. 2 2
cot x 1 cosec x
4. sin
x y
sin .cosx ycos .sinx y5. cos
x y
cos .cosx ysin .sinx y6. sin 2x2sin .cosx x
7. cos 2xcos2xsin2 x2cos2 x 1 1 2sin2x
Trigonometrik Fonksiyonların Grafikleri
sin
cos y x fonksiyonunun grafiği tan y x fonksiyonunun grafiği cot y x fonksiyonunun grafiği
2.4 Ters Trigonometrik Fonksiyonlar
f fonksiyonu birebir ve örten ise bunun ters fonksiyonundan bahsedilebilir ve
1
, : ,
f x y y x f biçiminde ifade edilir. sin,cos, tan,cot,sec,cos ec fonksiyonları birebir olmadıklarından, bunların ters fonksiyonlarından söz edilemez. Ancak, tanım kümelerinin bir alt kümesinde, birebir ve örten olan kısıtlanmışlarının ters fonksiyonlarından söz edilebilir.
sin : , 1 1 sin 1,1 2 2 cos : 0, 1 1 cos 1,1 tan : , 1 1 tan 2 2 cot : 0, 1 1 cot cos : , 2 2 x veörten x x ve örten x x ve örten x R x ve örten x R ec x
0 1 1 cos 1,1 sec : 0, 1 1 sec 1,1 2 ve örten ecx R x ve örten x R Yukarıdaki biçimde tanımlanan trigonometrik fonksiyonların tersleri vardır ve bu fonksiyonların tersleri 1 1
sin ,cos ,... şeklinde veya sırasıyla arcsin,arccos,... şeklinde gösterilir. Tanım bölgelerindeki bu ifadelerin anlamı;
arcsin sin y x x y arccos cos y x x y, vb’ dir. 1 1 sin arcsin 6 2 2 6 da olduğu gibidir.
arcsin y x; sin :1
1,1
sin 1 , 2 2 x x
1 1arccos ; cos : 1,1 cos 0,
y x x x
1 1
arctan ; tan : tan ,
2 2
y x x R x
1 1
cot ; cot : cot 0,
1 1
sec ; sec : 1,1 sec 0,
2 y arc x x R x
1 1arccos ; cos : 1,1 cos , 0
2 2
y ecx ec x R ec x
Tanım.2.18:P x P x0
, 1 ,...,P xn
çok terimliler olmak üzere;
1
0 1 ... 1 0
n n
n n
P x y P x y P x y P x denklemini sağlayan y f x
fonksiyonuna cebirsel fonksiyon denir.En basit cebirsel fonksiyonlar; 2 1 0 1 1 , , , ... , n n ... n n y c y ax b y ax bx c y a x a x a x a ‘dir.
Tanım.2.19:Kesir rasyonel kuvvet bulunduran cebirsel fonksiyona irrasyonel fonksiyon denir. 3 3 7 2 5 , , ... 6 5 x x y x x y x x gibi
Tanım.2.20: Cebirsel olmayan elementer fonksiyonlara transandant fonksiyonlar denir. Örneğin; üstel, logaritmik trigonometrik, ters trigonometrik, hiperbolik fonksiyonlar gibi. Örnek.2.16: sinxcosx m , sin 2x n olduğuna göre n ‘nin m türünden değerini bulunuz. Çözüm: sinxcotx m
sinxcosx
2m2sin2x2sin .cosx xcos2x m 2
1 2sin cosx x m 2
1 sin 2x m 2
n m21 bulunur.
Örnek.2.17: cos sin2
1x
1 x2olduğunu gösteriniz. Çözüm: ysin1x x siny olduğundan
2 2 2 2 1 2
cos y 1 sin y 1 x cos sin x 1 x
bulunur.
Örnek.2.18: f x
2 3sinx ve g x
cosx 1 fonksiyonlarının tanım ve değer kümelerini bulunuz.Çözüm: f ’nin tanım kümesi R ‘ dir. Değer kümesi ise
sinx 1 1 sinx 1 3 3sinx 3 1 2 3sinx5 olduğundan
1,5
aralığıdır.
g’nin tanımlı olması için cosx 1 0 cosx 1 cosx 1 olmalıdır. Böylece tanım kümesi x k
k Z
noktalarının kümesi ve dolayısıyla değer kümesi D
0 olur.2.5 Hiperbolik Fonksiyonlar
Simetrik bir küme üzerinde tanımlı her f fonksiyonu, biri çift biri de tek olan iki fonksiyonun
toplamı şeklinde yazılabilir. Zira her f fonksiyonu için
2 2
f x f x f x f x
f x
x f x e alınırsa 2 2 x x x x x e e e e e yazılabilir. ex ‘in çift ve tek parçalarına sırasıyla x ‘in hiperbolik
kosünüsü ve hiperbolik sinüsü denir. Buna göre
cosh , sinh 2 2 x x x x e e e e x x olur.
Bu fonksiyonların grafikleri aşağıdaki gibidir.
y=coshx y=sinhx
Diğer hiperbolik fonksiyonlar trigonometrik fonksiyonlarda olduğu gibi sinh tanh , coth cosh x x x x x x x x x e e e e x x x e e e e 1 1 sec , cos cosh sinh hx echx x x tanımlanır ve grafikleri
y=cosechx ‘in grafiği y=sechx ’in grafiği
u=coshx ve v=sinhx için u2v2 1 olduğu kolayca gösterilebilir. Bu denklem uv-dik
koordinat sisteminde ikizkenar hiperbol denklemi olduğundan bu fonksiyonlara hiperbolik fonksiyonlar adı verilir.
Bu fonksiyonlarla ilgili özellikler 1)cosh2xsinh2 x1
2) ex coshxsinhx ex coshxsinhx
3) 2 2 2
cosh 2xcosh xsinh x2 cosh x1
4) sinh 2x2sinh coshx x
5) sinh
x sinhx cosh
x coshx6) cosh
x y
cosh coshx ysinh sinhx y7) sinh
x y
sinh coshx ycosh sinhx y8)
coshxsinhx
n coshnxsinhnxÖrnek.2.19: f x
coshx , f : ,
o
1,
fonksiyonunun tersini bulunuz. Çözüm: Fonksiyon birebir ve örten olduğundan tersi vardır.
2 cosh 2 1 0 2 x x x x e e x y e ye Denklem çözülürse ex y y2 1 x ln
y y2 bulunur.1
0
x verildiğine göre xln
y y2 ‘ dır.1
Örnek.2.20: 1 sinh cosh1 sinh cosh
x x
x x
Çözüm: sinhxcoshx e x olduğunda
2 2 2 2 1 sinh cosh 1 cot 1 sinh cosh 1 2 x x x x x x x x e e e x x x e e e bulunur.Örnek.2.21: psinh ln
x
coshx
lnx
ifadesinin x türünden değerini bulunuz. Çözüm: sinh , cosh 2 2 u u u u e e e e u u ifadelerinden u yerine ln x konulursa
ln ln ln ln ln ln sinh ln cosh ln 1 ; , 2 2 x x x x x x p x x e e e e p e x e x 2 4 2 2 1 1 1 1 . 2 2 4 4 x x x x x x x p x elde edilir.Örnek.2.22:
coshxsinhx
n coshnxsinhnx olduğunu gösteriniz.Çözüm:
cosh sinh
cosh sinh2 2 n x x x x n n e e e e x nx x x e e nx nx bulunur. Örnek.2.23:
arccos 3 4 2sin f x x denkleminin tanım kümesini bulunuz. Çözüm: arccos 3 4 2sinx t dersek 3 cos 4 2sin t x 1 cost 1 olduğundan 1 3 1 1 4 2sin 1 4 2sin 3 x x 3 4 2sin 3 7 1 sin 2 2 7 1 arcsin arcsin 2 2 x x x bulunur. 2.6 Parametrik Fonksiyonlar
Bir f A: B fonksiyonunun y f x
açık şekliyle verilen kuralı başka şekillerde de verilebilir. x g t
y h t
şeklinde olduğu gibi.Belli başlı bazı fonksiyonlar veya denklemlerin standart parametrik gösterimleri vardır. Çember, elips, doğru vb.
Örnek.2.24: Merkezi orjin yarıçapı r olan çemberin kartezyen denklemi x2y2 r2 olup
bunun parametrik gösterimi cos sin x r y r 0 2 ’dır.
Örnek.2.25: Bir doğru üzerinde yuvarlanan a yarıçaplı bir çemberi göz önüne alalım. Çember üzerinde alınan bir p noktasının geometrik yeri olan eğrinin (sikloid) parametrik denklemini yazalım.
PA yayının uzunluğunu OA uzunluğuna eşit olup bu da OA a t. ’dir. P noktasının koordinatları . .sin .cos x y P OD OA PB a t a t P PD CA CB a a t olarak bulunur.
Örnek.2.26: xsint ycos2t t R
eğrisinin kartezyen formda yazalım.xsint’nin her iki tarafının karesini alıp x2 sin2t ve ycos2t iki denklemi taraf tarafa toplarsak
2 1 1 2
x y y x olur. Bu da parabol denklemidir.
Örnek.2.27: 3 3
cos sin 0 2
x a t y a t t denklemi ile verilen astroidin kartezyen formda gösterimini bulunuz.
Çözüm: 3 2 3 2 2
.cos
x a t 3 y2 3 a2.sin2t
olarak düzenlenip taraf tarafa toplanırsa x23 y23 a23 elde edilir.
2.7 Mutlak Değer Fonksiyonu
:
0 : 0 f x f x f x f x f x biçiminde tanımlıdır.Örnek.2.28: f x
x 2 x 3 ile tanımlı f R: R fonksiyonunu önce parçalı yazıp sonra grafiğini çizelim.
2 15 :: 2 2 3 2 5 : 3 x x f x x x x Örnek.2.29: f x
x21 ile tanımlı f R: R fonksiyonunu önce parçalı yazıp sonra grafiğini çizelim.
2 2 2 1 : 1 1 : 1 1 1 : 1 x x f x x x x x Örnek.2.30: ylnx fonksiyonunun grafiğinden yararlanarak y lnx ’in grafiğini çizelim. ln : 1 ln ln : 0 1 x x y x x x
Örnek.2.31: ylnx fonksiyonunun grafiğinden yararlanarak yln x ‘in grafiğini çizelim.
ln
y x çift fonksiyon olup ylnx fonsiyonunun grafiğine bunun y-eksenine göre simetriği ilave edilir. Yani
Örnek.2.32: ysinx fonksiyonunun grafiğinden yararlanarak y sinx ’in grafiğini çizelim. 2.8 İşaret Fonksiyonu
1 : 0 sgn 0 : 0 1 : 0 f x f x f x f x ile tanımlı sgn :R
1,0,1
fonksiyonuna işaret fonksiyonu(signum fonksiyonu) denir.
Örnek.2.33: f x
x26x5 , f : 6,6
R olduğuna göre, sgn f fonksiyonunu bulup grafiğini çiziniz.Çözüm: Önce f ’nin işaretini incelemek için 2
6 5 0
x x denklemini çözelim. Bu denklemin kökleri x11 ve x2 5’dir. Dolayısıyla
1 : 6 1 5 6 sgn 0 : 1 , 5 1 : 1 5 x veya x f x x x x ve sgn f ’nin grafiği;DR olmak üzere ,
, , 1 , u x u x Z D f x u x a a u x a a Z D ile tanımlı :f DR fonksiyonuna tam değer fonksiyonu denir.
Örnek.2.34: f : 2, 2
R ve f x
x2 verilsin. f x
grafiğini çizelim.
2f x x çift fonksiyondur. yeksenine göre simetrik olduğundan fonksiyonunun grafiğini
0, 2 aralığında çizip yeksenine göre simetriğini almak yeterlidir.2
0 x 2 0 x 4 olup x2 ifadesi 0,1, 2,3, 4 değerlerini alır.
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 1 0 1 1 1 2 1 2 2 2 3 2 3 3 3 4 3 2 4 4 2 x x x x x x x x x x x x x x x
Örnek.2.35: f : 2, 2
R ve f x
x1 grafiğini çizelim.3 Çözüm: 2 x 1 x 2 y 1 1 0 1 1 2 x x y 0 1 0 1 3 x x y 1 2 1 1 4 x x y 2 2 1 5 x x yÖrnek.2.36: f A: R R ve
sgn 22 9 x f x x fonksiyonunun en geniş A tanım
kümesini bularak grafiğini çizelim.
Çözüm: x 2 9 0 x 2 9 x 3 x veya 3
3 4
x x veya x 3 A R
3, 4
4x için f x
1 ve x 3 için f x
1 olur.Örnek.2.37: f x
x x ile tanımlı f R: / 0
R fonksiyon veriliyor.sgn f fonksiyonu-nun grafiğini çizelim.Çözüm: 0 x 1 için f x
0 0 sgn f 0 x 1 x 2 için f x
1 sgn f 1 x 2 x 3 için f x
2 sgn f 1 x 1 x 0 için f x
1 sgn f 1 x 2 x 3 için f x
2 sgn f 1 x Örnek.2.38: y x 2 x sgn x ’in grafiğini
1, 2
aralığında çizelim. Çözüm: 2 1 x 0 x 1 y x 2 0 x 1 x 0 y x 2 1 x 2 x 1 y x 2Örnek.2.39: x 2 x x 6 3 x denkleminin çözüm kümesini bulunuz. Çözüm: x 2 x x 6 3 x
x 22 x 6 3 x x 25 x 6 0 , x t dersek; t2 5t 6 0
t3
t2
0 t 2 , t3 2 2 2 3 t x x 3 3 3 4 t x x o halde Ç K. .
2, 4
bulunur.III. BÖLÜM
LİMİT
3.1 Limit Kavramı
y f x bir
a b,
aralığında tanımlanmış bir fonksiyon olsun. Özel olarak bu aralığın x0noktasında tanımlanmamış olabilir. x değişkeni bu aralıkta x0 değerine yaklaştığında f x
bir l sayısına yaklaşıyorsa xx0 için f x
’in limiti l’dir denir. Bu durum
0
lim 1
Limit tanımında x değişkeni x0 değerine yaklaşmakla birlikte ona eşit değildir. Yani x x 0
’dır. Ayrıca l’nin f x
0 olduğuda söylenemez. x değişkeni x0 değerine yaklaştığında ,
f x fonksiyonunun buna karşılık olarak aldığı değerler herhangi bir sayıya yaklaşabilir veya herhangi bir sayıya yaklaşmayabilir.
3.2 Sağdan ve Soldan Limit
Limit tanımında x değişkeninin x değerine sağdan ve soldan yaklaşması gerektiği anlaşılır. 0
Her iki yaklaşma halinde de f ‘nin aynı bir l sayısına yaklaşması şart koşulmuştur. Sağdan ve soldan yaklaşmalar sırasıyla
0 0
1 2
lim , lim
xx f x l xx f x l gösterilip limiti var olması
için gerek ve yeter şart l1l2 olmasıdır.
Yukarıdaki limitler h0 olmak üzere x x 0 h dönüşümü uygulanırsa xx0 için h0
olur ve
0 0
0 0
0 0
lim lim , lim lim
h x x h xx f x f x h f x f x h olarak da gösterilir. Örnek.3.1:
2 3 : 2 : 2 , 2 1 : 2 x x f R R f x x x x ile tanımlı fonksiyon x2 için tanımlı değildir. Ancak bu durum fonksiyonun x2 için limitini araştırmaya engel değildir.
x’in 2 sayısına sağdan ve soldan yaklaşması halinde fonksiyonunun değerini inceleyelim.
2 lim 3 1 x x 2 2 lim 2 1 1 x x x
olduğundan limx2 f x
1 bulunur.Örnek.3.2: :
1 ,
1 1 x f R R f x x fonksiyonunun x0 1 için limitini hesaplayalım. Çözüm: Fonksiyonu parçalı biçimde yazmak gerekirse
1 1 : 1 1 : 1 1 x x f x x x olup limx1 f x
1 ve limx1 f x
1 olduğu görülür. O halde
1 1 x f x x fonksiyonunun x0 1 için limiti mevcut değildir.
Bundan sonra limitin mevcut olduğu ifade edildiğinde sağ ve sol limitlerin var ve birbirine eşit olduğu anlaşılacaktır.
f ve g x a noktasında limiti mevcut iki fonksiyon olsun. 1. limx a Af x
Bg x
A.limx a f x
B.limx a g x
2. limx a f x
, g x
limx a f x
.limx a g x
3. g x
0 ve limx a g x
0 ise lim
lim
lim x a x a x a f x f x g x g x 4. c R için limx a c c 5. lim
lim
x a f x x a f x6. f x
0 olmak üzere limx a f x
limx a f x
7. limx a f x
limx a g x
ve l a’nın komşuluğunda f x
h x
g x
ise
lim x a h x l 8.
1 1 ... 1 1 0 n n n nP x a x a x a x a olmak üzere a R için limx a P x
P a
’dır. 3.4 Trigonometrik Fonksiyonların Limitixa için u x
0 ise
sin lim lim 1 sin x a x a u x u x u x u x ve
tan lim lim 1 tan x a x a u x u x u x u x ’dir. Örnek.3.3: 0 0 sin lim lim 1 sin x x x x x x ve 0 0 tan lim lim 1 tan x x x x x x ’dir. Örnek.3.4: 0 0 sin 5 5.sin 5 5 lim lim 2 2.2 2 x x x x x x
0 0 .tan tan lim lim tan tan x x a ax ax ax a b bx bx b bx ’dir. Örnek.3.5: 2 0 0 0 0sin sin .sin sin
lim lim lim .limsin 1.0
x x x x x x x x x x x x dır. Örnek.3.6: 2 2 2 0 0 2sin 1 cos 2 lim lim x x x x x x
yarım açı formüllerinden 1 cos 2sin2 2
x x
0 2sin .sin 2 2 lim 4 . 2 2 x x x x x 1 2 ‘dir.
3.5 Değişkenin sonsuza gitmesi halinde limit
Bazı durumlarda değişkenin sınırsız artması (veya sınırsız azalması) halinde değişkene karşılık gelen fonksiyon değeri belli bir tek sayıya yaklaşabilir. Böyle durumlarda fonksiyon
x ( veya x ) için limit söz konusudur. Örnek.3.7: f R:
0 R , f x
1x
fonksiyonunun x ve x için limitlerini inceleyelim. 1 lim 0 1 lim 0 x x x x 3.6 Sonsuz Limitler Örnek.3.8: f R:
0 R , f x
12 x fonksiyonunun x0 0 için limitini hesaplayınız.
2 0 1 lim x x ve ayrıca 2 1 lim 0 xx lim 12 0 xx bulunur.
2
1
y x
’nin grafiği
Örnek.3.9: f : 0,
R f x,
lnx fonksiyonu için; 0 0 lim ln lim ln x x x x Örnek.3.10: f x