14. Matematik Sempozyumu,14-16 May¬s 2015, Ni¼ gde Üniversitesi

(1)

T¬pta Matematik(davetli bildiri)

Prof. Dr. Erhan Co¸skun

KTÜ

14. Matematik Sempozyumu,14-16 May¬s 2015, Ni¼ gde Üniversitesi

E. Co¸skun (KTÜ) T¬pta Matematik

14. Matematik Sempozyumu,14-16 May¬s 2015, Ni¼gde Üniversitesi 1 / 41

(2)

Sunum Misyonu

· Insan sa¼ gl¬¼ g¬n¬n¬korunmas¬ve bozulan sa¼ gl¬¼ g¬n düzeltilmesi amac¬yla olu¸sturulan ve bir çok alt bilim dal¬n¬içeren T¬p biliminin çok özel baz¬alt alanlar¬nda Matemati¼ gin rolünü örneklerle aç¬klamakt¬r.

(3)

Sunum Özeti

T¬pta ölçüm sistemleri ve elemanter matematik

T¬bbi teknolojide matematik(Tomogra… örne¼ gi)

Radon dönü¸sümü

Fourier dilimleme teoremi Uygulama

T¬pta matematiksel modelleme

Hill fonksiyonu

Verilere uygun Hill fonksiyonu belirleme

Hill fonksiyonlu modeller

Cheyne-Stokes solunum bozuklu¼gu

Hematopoez(k¬rm¬z¬kan hücresi regülasyonu) Antibiyotik-bakteri etkile¸sim modeli

Göz ya¸s¬…lm kal¬nl¬k modeli

Beyin veya kalp kas¬hücre zar¬potansiyel modeli

Uluslararas¬T¬pta matematik geli¸sim mekanizmalar¬

(4)

Sunum Özeti

T¬pta ölçüm sistemleri ve elemanter matematik T¬bbi teknolojide matematik(Tomogra… örne¼ gi)

Radon dönü¸sümü

Fourier dilimleme teoremi Uygulama

T¬pta matematiksel modelleme

Hill fonksiyonu

Hill fonksiyonlu modeller

Uluslararas¬T¬pta matematik geli¸sim mekanizmalar¬

(5)

Sunum Özeti

T¬pta ölçüm sistemleri ve elemanter matematik T¬bbi teknolojide matematik(Tomogra… örne¼ gi)

Radon dönü¸sümü

Fourier dilimleme teoremi Uygulama

T¬pta matematiksel modelleme

Hill fonksiyonu

Hill fonksiyonlu modeller

Uluslararas¬T¬pta matematik geli¸sim mekanizmalar¬

(6)

Sunum Özeti

T¬pta ölçüm sistemleri ve elemanter matematik T¬bbi teknolojide matematik(Tomogra… örne¼ gi)

Radon dönü¸sümü

Fourier dilimleme teoremi

Uygulama

T¬pta matematiksel modelleme

Hill fonksiyonu

Hill fonksiyonlu modeller

Uluslararas¬T¬pta matematik geli¸sim mekanizmalar¬

(7)

Sunum Özeti

T¬pta ölçüm sistemleri ve elemanter matematik T¬bbi teknolojide matematik(Tomogra… örne¼ gi)

Radon dönü¸sümü

Fourier dilimleme teoremi Uygulama

T¬pta matematiksel modelleme

Hill fonksiyonu

Hill fonksiyonlu modeller

Uluslararas¬T¬pta matematik geli¸sim mekanizmalar¬

(8)

Sunum Özeti

T¬pta ölçüm sistemleri ve elemanter matematik T¬bbi teknolojide matematik(Tomogra… örne¼ gi)

Radon dönü¸sümü

Fourier dilimleme teoremi Uygulama

T¬pta matematiksel modelleme

Hill fonksiyonu

Hill fonksiyonlu modeller

Uluslararas¬T¬pta matematik geli¸sim mekanizmalar¬

(9)

Sunum Özeti

T¬pta ölçüm sistemleri ve elemanter matematik T¬bbi teknolojide matematik(Tomogra… örne¼ gi)

Radon dönü¸sümü

Fourier dilimleme teoremi Uygulama

T¬pta matematiksel modelleme Hill fonksiyonu

Hill fonksiyonlu modeller

Uluslararas¬T¬pta matematik geli¸sim mekanizmalar¬

(10)

Sunum Özeti

T¬pta ölçüm sistemleri ve elemanter matematik T¬bbi teknolojide matematik(Tomogra… örne¼ gi)

Radon dönü¸sümü

Fourier dilimleme teoremi Uygulama

T¬pta matematiksel modelleme Hill fonksiyonu

Hill fonksiyonlu modeller

Uluslararas¬T¬pta matematik geli¸sim mekanizmalar¬

(11)

Sunum Özeti

T¬pta ölçüm sistemleri ve elemanter matematik T¬bbi teknolojide matematik(Tomogra… örne¼ gi)

Radon dönü¸sümü

Fourier dilimleme teoremi Uygulama

T¬pta matematiksel modelleme Hill fonksiyonu

Hill fonksiyonlu modeller

Uluslararas¬T¬pta matematik geli¸sim mekanizmalar¬

(12)

Sunum Özeti

T¬pta ölçüm sistemleri ve elemanter matematik T¬bbi teknolojide matematik(Tomogra… örne¼ gi)

Radon dönü¸sümü

Fourier dilimleme teoremi Uygulama

T¬pta matematiksel modelleme Hill fonksiyonu

Hill fonksiyonlu modeller

Uluslararas¬T¬pta matematik geli¸sim mekanizmalar¬

(13)

Sunum Özeti

T¬pta ölçüm sistemleri ve elemanter matematik T¬bbi teknolojide matematik(Tomogra… örne¼ gi)

Radon dönü¸sümü

Fourier dilimleme teoremi Uygulama

T¬pta matematiksel modelleme Hill fonksiyonu

Hill fonksiyonlu modeller

Hematopoez(k¬rm¬z¬kan hücresi regülasyonu)

Antibiyotik-bakteri etkile¸sim modeli Göz ya¸s¬…lm kal¬nl¬k modeli

Uluslararas¬T¬pta matematik geli¸sim mekanizmalar¬

(14)

Sunum Özeti

T¬pta ölçüm sistemleri ve elemanter matematik T¬bbi teknolojide matematik(Tomogra… örne¼ gi)

Radon dönü¸sümü

Fourier dilimleme teoremi Uygulama

T¬pta matematiksel modelleme Hill fonksiyonu

Hill fonksiyonlu modeller

Uluslararas¬T¬pta matematik geli¸sim mekanizmalar¬

(15)

Sunum Özeti

T¬pta ölçüm sistemleri ve elemanter matematik T¬bbi teknolojide matematik(Tomogra… örne¼ gi)

Radon dönü¸sümü

Fourier dilimleme teoremi Uygulama

T¬pta matematiksel modelleme Hill fonksiyonu

Hill fonksiyonlu modeller

Uluslararas¬T¬pta matematik geli¸sim mekanizmalar¬

(16)

Sunum Özeti

T¬pta ölçüm sistemleri ve elemanter matematik T¬bbi teknolojide matematik(Tomogra… örne¼ gi)

Radon dönü¸sümü

Fourier dilimleme teoremi Uygulama

T¬pta matematiksel modelleme Hill fonksiyonu

Hill fonksiyonlu modeller

Uluslararas¬T¬pta matematik geli¸sim mekanizmalar¬

(17)

Sunum Özeti

T¬pta ölçüm sistemleri ve elemanter matematik T¬bbi teknolojide matematik(Tomogra… örne¼ gi)

Radon dönü¸sümü

Fourier dilimleme teoremi Uygulama

T¬pta matematiksel modelleme Hill fonksiyonu

Hill fonksiyonlu modeller

Uluslararas¬T¬pta matematik geli¸sim mekanizmalar¬

(18)

SI ve T¬pta kullan¬lan ev ölçüm sistemleri

Hacim

1 damla,gtt(guttae) ! ^{15 gtt=1mL} 1 çay ka¸s¬¼ g¬,t(tsp) ! ^1t=5mL

1 yemek ka¸s¬¼ g¬,T(tbs) ! ^1T=3t=15mL 1 oz, 1oz=2T=30mL

1 bardak, 1 bardak=8 oz=240 mL 1 cc(cubic centimetre)= 1mL A¼ g¬rl¬k

mcg,mg,g,kg,lb(1kg=2.2lb)

(19)

SI ve T¬pta kullan¬lan ev ölçüm sistemleri

Hacim

1 damla,gtt(guttae) ! ^{15 gtt=1mL}

1 çay ka¸s¬¼ g¬,t(tsp) ! ^1t=5mL

1 yemek ka¸s¬¼ g¬,T(tbs) ! ^1T=3t=15mL 1 oz, 1oz=2T=30mL

1 bardak, 1 bardak=8 oz=240 mL 1 cc(cubic centimetre)= 1mL A¼ g¬rl¬k

mcg,mg,g,kg,lb(1kg=2.2lb)

(20)

SI ve T¬pta kullan¬lan ev ölçüm sistemleri

Hacim

1 damla,gtt(guttae) ! ^{15 gtt=1mL} 1 çay ka¸s¬¼ g¬,t(tsp) ! ^1t=5mL

1 yemek ka¸s¬¼ g¬,T(tbs) ! ^1T=3t=15mL 1 oz, 1oz=2T=30mL

1 bardak, 1 bardak=8 oz=240 mL 1 cc(cubic centimetre)= 1mL A¼ g¬rl¬k

mcg,mg,g,kg,lb(1kg=2.2lb)

(21)

SI ve T¬pta kullan¬lan ev ölçüm sistemleri

Hacim

1 damla,gtt(guttae) ! ^{15 gtt=1mL} 1 çay ka¸s¬¼ g¬,t(tsp) ! ^1t=5mL

1 yemek ka¸s¬¼ g¬,T(tbs) ! ^1T=3t=15mL

1 oz, 1oz=2T=30mL

1 bardak, 1 bardak=8 oz=240 mL 1 cc(cubic centimetre)= 1mL A¼ g¬rl¬k

mcg,mg,g,kg,lb(1kg=2.2lb)

(22)

SI ve T¬pta kullan¬lan ev ölçüm sistemleri

Hacim

1 damla,gtt(guttae) ! ^{15 gtt=1mL} 1 çay ka¸s¬¼ g¬,t(tsp) ! ^1t=5mL

1 yemek ka¸s¬¼ g¬,T(tbs) ! ^1T=3t=15mL 1 oz, 1oz=2T=30mL

1 bardak, 1 bardak=8 oz=240 mL 1 cc(cubic centimetre)= 1mL A¼ g¬rl¬k

mcg,mg,g,kg,lb(1kg=2.2lb)

(23)

SI ve T¬pta kullan¬lan ev ölçüm sistemleri

Hacim

1 damla,gtt(guttae) ! ^{15 gtt=1mL} 1 çay ka¸s¬¼ g¬,t(tsp) ! ^1t=5mL

1 yemek ka¸s¬¼ g¬,T(tbs) ! ^1T=3t=15mL 1 oz, 1oz=2T=30mL

1 bardak, 1 bardak=8 oz=240 mL

1 cc(cubic centimetre)= 1mL A¼ g¬rl¬k

mcg,mg,g,kg,lb(1kg=2.2lb)

(24)

SI ve T¬pta kullan¬lan ev ölçüm sistemleri

Hacim

1 damla,gtt(guttae) ! ^{15 gtt=1mL} 1 çay ka¸s¬¼ g¬,t(tsp) ! ^1t=5mL

1 yemek ka¸s¬¼ g¬,T(tbs) ! ^1T=3t=15mL 1 oz, 1oz=2T=30mL

1 bardak, 1 bardak=8 oz=240 mL 1 cc(cubic centimetre)= 1mL

A¼ g¬rl¬k

mcg,mg,g,kg,lb(1kg=2.2lb)

(25)

SI ve T¬pta kullan¬lan ev ölçüm sistemleri

Hacim

1 damla,gtt(guttae) ! ^{15 gtt=1mL} 1 çay ka¸s¬¼ g¬,t(tsp) ! ^1t=5mL

1 yemek ka¸s¬¼ g¬,T(tbs) ! ^1T=3t=15mL 1 oz, 1oz=2T=30mL

1 bardak, 1 bardak=8 oz=240 mL 1 cc(cubic centimetre)= 1mL A¼ g¬rl¬k

mcg,mg,g,kg,lb(1kg=2.2lb)

(26)

SI ve T¬pta kullan¬lan ev ölçüm sistemleri

Hacim

1 damla,gtt(guttae) ! ^{15 gtt=1mL} 1 çay ka¸s¬¼ g¬,t(tsp) ! ^1t=5mL

1 yemek ka¸s¬¼ g¬,T(tbs) ! ^1T=3t=15mL 1 oz, 1oz=2T=30mL

1 bardak, 1 bardak=8 oz=240 mL 1 cc(cubic centimetre)= 1mL A¼ g¬rl¬k

mcg,mg,g,kg,lb(1kg=2.2lb)

(27)

T¬pta Elemanter Matematik(ölçüm sistemleri)

Gerekli ilaç miktar¬(do¼ gru orant¬veya a¸sa¼ g¬daki formül)

X = D Q/H

X :Gerekli miktar, D: · Istenen doz, H: mevcut doz,

Q: mevcut dozdaki miktar.

(28)

T¬pta Elemanter Matematik(ölçüm sistemleri)

Gerekli ilaç miktar¬(do¼ gru orant¬veya a¸sa¼ g¬daki formül)

X = D Q/H

X :Gerekli miktar, D: · Istenen doz, H: mevcut doz,

Q: mevcut dozdaki miktar.

(29)

T¬pta Elemanter Matematik(ölçüm sistemleri)

Gerekli ilaç miktar¬(do¼ gru orant¬veya a¸sa¼ g¬daki formül)

X = D Q/H

X :Gerekli miktar,

D: · Istenen doz, H: mevcut doz,

Q: mevcut dozdaki miktar.

(30)

T¬pta Elemanter Matematik(ölçüm sistemleri)

Gerekli ilaç miktar¬(do¼ gru orant¬veya a¸sa¼ g¬daki formül)

X = D Q/H

X :Gerekli miktar, D: · Istenen doz,

H: mevcut doz,

Q: mevcut dozdaki miktar.

(31)

T¬pta Elemanter Matematik(ölçüm sistemleri)

Gerekli ilaç miktar¬(do¼ gru orant¬veya a¸sa¼ g¬daki formül)

X = D Q/H

X :Gerekli miktar, D: · Istenen doz, H: mevcut doz,

Q: mevcut dozdaki miktar.

(32)

T¬pta Elemanter Matematik(ölçüm sistemleri)

Gerekli ilaç miktar¬(do¼ gru orant¬veya a¸sa¼ g¬daki formül)

X = D Q/H

X :Gerekli miktar, D: · Istenen doz, H: mevcut doz,

Q: mevcut dozdaki miktar.

(33)

T¬pta Elemanter Matematik(ölçüm sistemleri)

Tablet/100mcg biçiminde piyasada mevcut olan ilaçtan 0.05 mg verilmesi isteniyor. Ne kadar haz¬rlanmal¬d¬r?

X = D Q/H

= 0.05mg 1tablet/100mcg

= ( 0.05 1000mcg ) 1tablet/100mcg

= 50mcg 1tablet/100mcg = 0.5 tablet

(34)

T¬pta Elemanter Matematik(ölçüm sistemleri)

Tablet/100mcg biçiminde piyasada mevcut olan ilaçtan 0.05 mg verilmesi isteniyor. Ne kadar haz¬rlanmal¬d¬r?

X = D Q/H

= 0.05mg 1tablet/100mcg

= ( 0.05 1000mcg ) 1tablet/100mcg

= 50mcg 1tablet/100mcg = 0.5 tablet

(35)

T¬pta Elemanter Matematik(ölçüm sistemleri)

Tablet/100mcg biçiminde piyasada mevcut olan ilaçtan 0.05 mg verilmesi isteniyor. Ne kadar haz¬rlanmal¬d¬r?

X = D Q/H

= 0.05mg 1tablet/100mcg

= ( 0.05 1000mcg ) 1tablet/100mcg

= 50mcg 1tablet/100mcg = 0.5 tablet

(36)

T¬pta Elemanter Matematik(ölçüm sistemleri)

Tablet/100mcg biçiminde piyasada mevcut olan ilaçtan 0.05 mg verilmesi isteniyor. Ne kadar haz¬rlanmal¬d¬r?

X = D Q/H

= 0.05mg 1tablet/100mcg

= ( 0.05 1000mcg ) 1tablet/100mcg

= 50mcg 1tablet/100mcg = 0.5 tablet

(37)

T¬pta Elemanter Matematik(ölçüm sistemleri)

Tablet/100mcg biçiminde piyasada mevcut olan ilaçtan 0.05 mg verilmesi isteniyor. Ne kadar haz¬rlanmal¬d¬r?

X = D Q/H

= 0.05mg 1tablet/100mcg

= ( 0.05 1000mcg ) 1tablet/100mcg

= 50mcg 1tablet/100mcg = 0.5 tablet

(38)

T¬pta Elemanter Matematik(enjeksiyon süresi)

Enjeksiyon süresi=Toplam hacim/(birim zamanda enjekte edilen miktar)

30gtt/dk oran¬nda verilen bir litrelik serum, kaç saatte enjekte olur? 15 gtt(damla)=1 mL,

Dakikada 2mL, saatte 120mL

Süre=1000mL/120mL/saat=8.33 saat.

(39)

T¬pta Elemanter Matematik(enjeksiyon süresi)

Enjeksiyon süresi=Toplam hacim/(birim zamanda enjekte edilen miktar)

30gtt/dk oran¬nda verilen bir litrelik serum, kaç saatte enjekte olur?

15 gtt(damla)=1 mL, Dakikada 2mL, saatte 120mL

Süre=1000mL/120mL/saat=8.33 saat.

(40)

T¬pta Elemanter Matematik(enjeksiyon süresi)

Enjeksiyon süresi=Toplam hacim/(birim zamanda enjekte edilen miktar)

30gtt/dk oran¬nda verilen bir litrelik serum, kaç saatte enjekte olur?

15 gtt(damla)=1 mL,

Dakikada 2mL, saatte 120mL

Süre=1000mL/120mL/saat=8.33 saat.

(41)

T¬pta Elemanter Matematik(enjeksiyon süresi)

Enjeksiyon süresi=Toplam hacim/(birim zamanda enjekte edilen miktar)

30gtt/dk oran¬nda verilen bir litrelik serum, kaç saatte enjekte olur?

15 gtt(damla)=1 mL, Dakikada 2mL, saatte 120mL

Süre=1000mL/120mL/saat=8.33 saat.

(42)

T¬pta Elemanter Matematik(enjeksiyon süresi)

Enjeksiyon süresi=Toplam hacim/(birim zamanda enjekte edilen miktar)

30gtt/dk oran¬nda verilen bir litrelik serum, kaç saatte enjekte olur?

15 gtt(damla)=1 mL, Dakikada 2mL, saatte 120mL

Süre=1000mL/120mL/saat=8.33 saat.

(43)

T¬pta Elemanter Matematik(Kaynakça)

Pharmacological Math Computation Skills, Lilian Ostrander, Professor of Nursing,(URL:www.bergen.edu).

Fundamentals of Mathematics for Nursing, Cynthia M. McAlister, Sandra G. Shapiro(URL: www.laniertech.edu)

(44)

T¬pta Elemanter Matematik(Kaynakça)

Pharmacological Math Computation Skills, Lilian Ostrander, Professor of Nursing,(URL:www.bergen.edu).

Fundamentals of Mathematics for Nursing, Cynthia M. McAlister, Sandra G. Shapiro(URL: www.laniertech.edu)

(45)

Tomogra… (Radon, Houns…eld, Cormack)

Johann Radon(Avustralyal¬Matematikçi, 1887-1956)

Godfrey Houns…eld(· Ingiliz Elektrik Müh,1919-2004)

Allan Cormack(1924-1998, Güney Afrika do¼ gumlu ABD li …zikçi

1979 Nobel T¬p ödülü,Tomogra…

(46)

Tomogra… (Radon, Houns…eld, Cormack)

Johann Radon(Avustralyal¬Matematikçi, 1887-1956) Godfrey Houns…eld(· Ingiliz Elektrik Müh,1919-2004)

Allan Cormack(1924-1998, Güney Afrika do¼ gumlu ABD li …zikçi

1979 Nobel T¬p ödülü,Tomogra…

(47)

Tomogra… (Radon, Houns…eld, Cormack)

Johann Radon(Avustralyal¬Matematikçi, 1887-1956) Godfrey Houns…eld(· Ingiliz Elektrik Müh,1919-2004)

Allan Cormack(1924-1998, Güney Afrika do¼ gumlu ABD li …zikçi

1979 Nobel T¬p ödülü,Tomogra…

(48)

Tomogra… (Radon, Houns…eld, Cormack)

Johann Radon(Avustralyal¬Matematikçi, 1887-1956) Godfrey Houns…eld(· Ingiliz Elektrik Müh,1919-2004)

Allan Cormack(1924-1998, Güney Afrika do¼ gumlu ABD li …zikçi 1979 Nobel T¬p ödülü,Tomogra…

(49)

Tomogra… (Radon, Houns…eld, Cormack)

Johann Radon(Avustralyal¬Matematikçi, 1887-1956) Godfrey Houns…eld(· Ingiliz Elektrik Müh,1919-2004)

Allan Cormack(1924-1998, Güney Afrika do¼ gumlu ABD li …zikçi 1979 Nobel T¬p ödülü,Tomogra…

(50)

Tomogra…(lineer atenuasyon)

Tan¬m

Herhangi bir nesnenin µ ile gösterilen x ¬¸ s¬n¬lineer atenuasyonu, nesneye ait hacim eleman¬nda, birim uzunlukta absorbe edilen ve saç¬lan ¬¸ s¬n miktar¬n¬n hacim elemana gelen ¬¸ s¬n miktar¬na oran¬olarak

tan¬mlanmaktad¬r.

µ

_su

= 0.2245cm

¹

, µ

_hava

= 0.00025, µ

_{ya ˘g}

= 0.1925, µ

_kas

= 0.2330,

µ

_kemik

= 0.5727 ( yaklasık )( 50keV Enerji için)

(51)

Tomogra…(lineer atenuasyon)

Tan¬m

Herhangi bir nesnenin µ ile gösterilen x ¬¸ s¬n¬lineer atenuasyonu, nesneye ait hacim eleman¬nda, birim uzunlukta absorbe edilen ve saç¬lan ¬¸ s¬n miktar¬n¬n hacim elemana gelen ¬¸ s¬n miktar¬na oran¬olarak

tan¬mlanmaktad¬r.

µ

_su

= 0.2245cm

¹

,

µ

_hava

= 0.00025, µ

_{ya ˘g}

= 0.1925, µ

_kas

= 0.2330,

µ

_kemik

= 0.5727 ( yaklasık )( 50keV Enerji için)

(52)

Tomogra…(lineer atenuasyon)

Tan¬m

Herhangi bir nesnenin µ ile gösterilen x ¬¸ s¬n¬lineer atenuasyonu, nesneye ait hacim eleman¬nda, birim uzunlukta absorbe edilen ve saç¬lan ¬¸ s¬n miktar¬n¬n hacim elemana gelen ¬¸ s¬n miktar¬na oran¬olarak

tan¬mlanmaktad¬r.

µ

_su

= 0.2245cm

¹

, µ

_hava

= 0.00025,

µ

_{ya ˘g}

= 0.1925, µ

_kas

= 0.2330,

µ

_kemik

= 0.5727 ( yaklasık )( 50keV Enerji için)

(53)

Tomogra…(lineer atenuasyon)

Tan¬m

Herhangi bir nesnenin µ ile gösterilen x ¬¸ s¬n¬lineer atenuasyonu, nesneye ait hacim eleman¬nda, birim uzunlukta absorbe edilen ve saç¬lan ¬¸ s¬n miktar¬n¬n hacim elemana gelen ¬¸ s¬n miktar¬na oran¬olarak

tan¬mlanmaktad¬r.

µ

_su

= 0.2245cm

¹

, µ

_hava

= 0.00025, µ

_{ya ˘g}

= 0.1925,

µ

_kas

= 0.2330,

µ

_kemik

= 0.5727 ( yaklasık )( 50keV Enerji için)

(54)

Tomogra…(lineer atenuasyon)

Tan¬m

Herhangi bir nesnenin µ ile gösterilen x ¬¸ s¬n¬lineer atenuasyonu, nesneye ait hacim eleman¬nda, birim uzunlukta absorbe edilen ve saç¬lan ¬¸ s¬n miktar¬n¬n hacim elemana gelen ¬¸ s¬n miktar¬na oran¬olarak

tan¬mlanmaktad¬r.

µ

_su

= 0.2245cm

¹

, µ

_hava

= 0.00025, µ

_{ya ˘g}

= 0.1925, µ

_kas

= 0.2330,

µ

_kemik

= 0.5727 ( yaklasık )( 50keV Enerji için)

(55)

Tomogra…(lineer atenuasyon)

Tan¬m

Herhangi bir nesnenin µ ile gösterilen x ¬¸ s¬n¬lineer atenuasyonu, nesneye ait hacim eleman¬nda, birim uzunlukta absorbe edilen ve saç¬lan ¬¸ s¬n miktar¬n¬n hacim elemana gelen ¬¸ s¬n miktar¬na oran¬olarak

tan¬mlanmaktad¬r.

µ

_su

= 0.2245cm

¹

, µ

_hava

= 0.00025, µ

_{ya ˘g}

= 0.1925, µ

_kas

= 0.2330,

µ

_kemik

= 0.5727 ( yaklasık )( 50keV Enerji için)

(56)

Tomogra…(Lineer dönü¸süm)

Houns…eld dönü¸sümü birbirine çok yak¬n atenuasyon de¼ gerlerini su için s¬f¬r referans noktas¬ile birbirinden ay¬rmay¬amaçlar:

Hu = 1000 (

µ µ_su

) / (

µ_su µ_hava

)( Houns…eld unit) Hu ( ya ˘g ) =1000 (

µ_{ya ˘g} µ_su

) / (

µ_su µ_hava

) =

1000 ( 0.1925 0.2245 ) / ( 0.2245 0.00025 ) = 142. 70 Hu ( hava ) = 1000,

Hu ( su ) = 0,

Hu ( kemik ) = 700 > 3000,

Hu ( yumusakdoku ) = 100 > 300

(57)

Tomogra…(Lineer dönü¸süm)

Houns…eld dönü¸sümü birbirine çok yak¬n atenuasyon de¼ gerlerini su için s¬f¬r referans noktas¬ile birbirinden ay¬rmay¬amaçlar:

Hu = 1000 (

µ µ_su

) / (

µ_su µ_hava

)( Houns…eld unit)

Hu ( ya ˘g ) =1000 (

µ_{ya ˘g} µ_su

) / (

µ_su µ_hava

) =

1000 ( 0.1925 0.2245 ) / ( 0.2245 0.00025 ) = 142. 70 Hu ( hava ) = 1000,

Hu ( su ) = 0,

Hu ( kemik ) = 700 > 3000,

Hu ( yumusakdoku ) = 100 > 300

(58)

Tomogra…(Lineer dönü¸süm)

Houns…eld dönü¸sümü birbirine çok yak¬n atenuasyon de¼ gerlerini su için s¬f¬r referans noktas¬ile birbirinden ay¬rmay¬amaçlar:

Hu = 1000 (

µ µ_su

) / (

µ_su µ_hava

)( Houns…eld unit) Hu ( ya ˘g ) =1000 (

µ_{ya ˘g} µ_su

) / (

µ_su µ_hava

) =

1000 ( 0.1925 0.2245 ) / ( 0.2245 0.00025 ) = 142. 70

Hu ( hava ) = 1000, Hu ( su ) = 0,

Hu ( kemik ) = 700 > 3000,

Hu ( yumusakdoku ) = 100 > 300

(59)

Tomogra…(Lineer dönü¸süm)

Houns…eld dönü¸sümü birbirine çok yak¬n atenuasyon de¼ gerlerini su için s¬f¬r referans noktas¬ile birbirinden ay¬rmay¬amaçlar:

Hu = 1000 (

µ µ_su

) / (

µ_su µ_hava

)( Houns…eld unit) Hu ( ya ˘g ) =1000 (

µ_{ya ˘g} µ_su

) / (

µ_su µ_hava

) =

1000 ( 0.1925 0.2245 ) / ( 0.2245 0.00025 ) = 142. 70 Hu ( hava ) = 1000,

Hu ( su ) = 0,

Hu ( kemik ) = 700 > 3000,

Hu ( yumusakdoku ) = 100 > 300

(60)

Tomogra…(Lineer dönü¸süm)

Houns…eld dönü¸sümü birbirine çok yak¬n atenuasyon de¼ gerlerini su için s¬f¬r referans noktas¬ile birbirinden ay¬rmay¬amaçlar:

Hu = 1000 (

µ µ_su

) / (

µ_su µ_hava

)( Houns…eld unit) Hu ( ya ˘g ) =1000 (

µ_{ya ˘g} µ_su

) / (

µ_su µ_hava

) =

1000 ( 0.1925 0.2245 ) / ( 0.2245 0.00025 ) = 142. 70 Hu ( hava ) = 1000,

Hu ( su ) = 0,

Hu ( kemik ) = 700 > 3000,

Hu ( yumusakdoku ) = 100 > 300

(61)

Tomogra…(Lineer dönü¸süm)

Houns…eld dönü¸sümü birbirine çok yak¬n atenuasyon de¼ gerlerini su için s¬f¬r referans noktas¬ile birbirinden ay¬rmay¬amaçlar:

Hu = 1000 (

µ µ_su

) / (

µ_su µ_hava

)( Houns…eld unit) Hu ( ya ˘g ) =1000 (

µ_{ya ˘g} µ_su

) / (

µ_su µ_hava

) =

1000 ( 0.1925 0.2245 ) / ( 0.2245 0.00025 ) = 142. 70 Hu ( hava ) = 1000,

Hu ( su ) = 0,

Hu ( kemik ) = 700 > 3000,

Hu ( yumusakdoku ) = 100 > 300

(62)

Tomogra…(Lineer dönü¸süm)

Houns…eld dönü¸sümü birbirine çok yak¬n atenuasyon de¼ gerlerini su için s¬f¬r referans noktas¬ile birbirinden ay¬rmay¬amaçlar:

Hu = 1000 (

µ µ_su

) / (

µ_su µ_hava

)( Houns…eld unit) Hu ( ya ˘g ) =1000 (

µ_{ya ˘g} µ_su

) / (

µ_su µ_hava

) =

1000 ( 0.1925 0.2245 ) / ( 0.2245 0.00025 ) = 142. 70 Hu ( hava ) = 1000,

Hu ( su ) = 0,

Hu ( kemik ) = 700 > 3000,

Hu ( yumusakdoku ) = 100 > 300

(63)

Tomogra…(Beer-Lambert yasas¬)

Beer-Lambert yasas¬: dI /dx = µI , I ( 0 ) = I

₀

I

0

:gönderilen x ¬¸s¬n¬¸siddeti, I

d

: ölçülen ¬¸s¬n ¸siddeti

ln (

^I_I^d

0

) = R

L

0

µ ( x ) dx ! ^µ ( x ) = ?

(64)

Tomogra…(Beer-Lambert yasas¬)

Beer-Lambert yasas¬: dI /dx = µI , I ( 0 ) = I

₀

I

0

:gönderilen x ¬¸s¬n¬¸siddeti, I

d

: ölçülen ¬¸s¬n ¸siddeti

ln (

^I_I^d

0

) = R

L

0

µ ( x ) dx ! ^µ ( x ) = ?

(65)

Tomogra…(Beer-Lambert yasas¬)

Beer-Lambert yasas¬: dI /dx = µI , I ( 0 ) = I

₀

I

0

:gönderilen x ¬¸s¬n¬¸siddeti, I

d

: ölçülen ¬¸s¬n ¸siddeti

ln (

^I_I^d

0

) = R

L

0

µ ( x ) dx ! ^µ ( x ) = ?

(66)

Tipik bir tomogra… görüntü kesiti

Beyin tomogra…sinden bir görünüm(seçilen bir noktan¬n koordinat¬ve kar¸s¬ll¬k gelen Hu say¬s¬)

(67)

Tipik bir tomogra… görüntü kesiti

Beyin tomogra…sinden bir görünüm(seçilen bir noktan¬n koordinat¬ve kar¸s¬ll¬k gelen Hu say¬s¬)

(68)

Houns…eld atenuasyon say¬lar¬n¬n(=tomogra…

görüntüsünün) belirlenmesi(tomogra… çekimi!)

(69)

Houns…eld atenuasyon say¬lar¬n¬n belirlenmesi(tomogra…

çekimi!)

A

_{9 9}

, µ

_{9 1}

, b

_{9 1}

,

Aµ = b nin key… b 2 ^R

⁹

için çözümü mevcut de¼ gil, çünkü A n¬n sütunlar¬lineer ba¼ g¬ml¬!

Yeni ölçüm verileri ile sistem tek bir çözüme sahiptir.3x3 görüntü için 3^2+2 denklem

N N (600 600)tomogra… görüntüsü için N

²

(360000)den fazla x

¬¸s¬n atenuasyon de¼ geri(- > denklem) gerekli!

(70)

Houns…eld atenuasyon say¬lar¬n¬n belirlenmesi(tomogra…

çekimi!)

A

_{9 9}

, µ

_{9 1}

, b

_{9 1}

,

Aµ = b nin key… b 2 ^R

⁹

için çözümü mevcut de¼ gil, çünkü A n¬n sütunlar¬lineer ba¼ g¬ml¬!

Yeni ölçüm verileri ile sistem tek bir çözüme sahiptir.3x3 görüntü için 3^2+2 denklem

N N (600 600)tomogra… görüntüsü için N

²

(360000)den fazla x

¬¸s¬n atenuasyon de¼ geri(- > denklem) gerekli!

(71)

Houns…eld atenuasyon say¬lar¬n¬n belirlenmesi(tomogra…

çekimi!)

A

_{9 9}

, µ

_{9 1}

, b

_{9 1}

,

Aµ = b nin key… b 2 ^R

⁹

için çözümü mevcut de¼ gil, çünkü A n¬n sütunlar¬lineer ba¼ g¬ml¬!

Yeni ölçüm verileri ile sistem tek bir çözüme sahiptir.3x3 görüntü için 3^2+2 denklem

N N (600 600)tomogra… görüntüsü için N

²

(360000)den fazla x

¬¸s¬n atenuasyon de¼ geri(- > denklem) gerekli!

(72)

Houns…eld atenuasyon say¬lar¬n¬n belirlenmesi(tomogra…

çekimi!)

A

_{9 9}

, µ

_{9 1}

, b

_{9 1}

,

Aµ = b nin key… b 2 ^R

⁹

için çözümü mevcut de¼ gil, çünkü A n¬n sütunlar¬lineer ba¼ g¬ml¬!

Yeni ölçüm verileri ile sistem tek bir çözüme sahiptir.3x3 görüntü için 3^2+2 denklem

N N (600 600)tomogra… görüntüsü için N

²

(360000)den fazla x

¬¸s¬n atenuasyon de¼ geri(- > denklem) gerekli!

(73)

Houns…eld atenuasyon say¬lar¬n¬n belirlenmesi(tomogra…

çekimi!)

A

_{9 9}

, µ

_{9 1}

, b

_{9 1}

,

Aµ = b nin key… b 2 ^R

⁹

için çözümü mevcut de¼ gil, çünkü A n¬n sütunlar¬lineer ba¼ g¬ml¬!

Yeni ölçüm verileri ile sistem tek bir çözüme sahiptir.3x3 görüntü için 3^2+2 denklem

N N (600 600)tomogra… görüntüsü için N

²

(360000)den fazla x

¬¸s¬n atenuasyon de¼ geri(- > denklem) gerekli!

(74)

Alternatif yöntem: Radon dönü¸sümü

F

₀

( x ) = R

h(x)

g(x)

µ ( x, y ) dy y-eksenine paralel atenuasyon projeksiyonu

(75)

Alternatif yöntem: Radon dönü¸sümü

F

₀

( x ) = R

h(x)

g(x)

µ ( x, y ) dy y-eksenine paralel atenuasyon projeksiyonu

(76)

Radon dönü¸süm geometrisi ve dönü¸sümü

ξ

η = ^cos ( θ ) sin ( θ ) sin ( θ ) cos ( θ )

x y ,

R ( ξ, θ )[ µ ( x, y )] = R

_∞

∞

µ ( ξ cos ( θ ) η sin ( θ ) , ξ sin ( θ ) + η cos ( θ )) d η F ( ξ, θ )

Key… ξ, θ için F (

ξ, θ

) _{, µ} ( x, y ) nin Radon dönü¸sümüdür: Sabit θ için F

_θ

(

ξ

) _{, µ} ( x, y ) nin θ aç¬s¬ile projeksiyonudur. Sabit θ ve ξ = L do¼ grusu için F

_θ

( L ) , µ ( x, y ) nin ξ = L do¼ grusu boyunca integralidir.

(77)

Radon dönü¸süm geometrisi ve dönü¸sümü

ξ

η = ^cos ( θ ) sin ( θ ) sin ( θ ) cos ( θ )

x y ,

R ( ξ, θ )[ µ ( x, y )] = R

_∞

∞

µ ( ξ cos ( θ ) η sin ( θ ) , ξ sin ( θ ) + η cos ( θ )) d η F ( ξ, θ )

Key… ξ, θ için F (

ξ, θ

) _{, µ} ( x, y ) nin Radon dönü¸sümüdür: Sabit θ için F

_θ

(

ξ

) _{, µ} ( x, y ) nin θ aç¬s¬ile projeksiyonudur. Sabit θ ve ξ = L do¼ grusu için F

_θ

( L ) , µ ( x, y ) nin ξ = L do¼ grusu boyunca integralidir.

(78)

Radon dönü¸süm geometrisi ve dönü¸sümü

ξ

η = ^cos ( θ ) sin ( θ ) sin ( θ ) cos ( θ )

x y ,

R ( ξ, θ )[ µ ( x, y )] = R

_∞

∞

µ ( ξ cos ( θ ) η sin ( θ ) , ξ sin ( θ ) + η cos ( θ )) d η F ( ξ, θ )

Key… ξ, θ için F (

ξ, θ

) _{, µ} ( x, y ) nin Radon dönü¸sümüdür: Sabit θ için F

_θ

(

ξ

) _{, µ} ( x, y ) nin θ aç¬s¬ile projeksiyonudur. Sabit θ ve ξ = L do¼ grusu için F

_θ

( L ) _{, µ} ( x, y ) _{nin ξ} = L do¼ grusu boyunca integralidir.

(79)

Radon dönü¸süm geometrisi ve dönü¸sümü

ξ

η = ^cos ( θ ) sin ( θ ) sin ( θ ) cos ( θ )

x y ,

R ( ξ, θ )[ µ ( x, y )] = R

_∞

∞

µ ( ξ cos ( θ ) η sin ( θ ) , ξ sin ( θ ) + η cos ( θ )) d η F ( ξ, θ )

Key… ξ, θ için F (

ξ, θ

) _{, µ} ( x, y ) nin Radon dönü¸sümüdür:

Sabit θ için F

_θ

(

ξ

) _{, µ} ( x, y ) nin θ aç¬s¬ile projeksiyonudur. Sabit θ ve ξ = L do¼ grusu için F

_θ

( L ) _{, µ} ( x, y ) _{nin ξ} = L do¼ grusu boyunca integralidir.

(80)

Radon dönü¸süm geometrisi ve dönü¸sümü

ξ

η = ^cos ( θ ) sin ( θ ) sin ( θ ) cos ( θ )

x y ,

R ( ξ, θ )[ µ ( x, y )] = R

_∞

∞

µ ( ξ cos ( θ ) η sin ( θ ) , ξ sin ( θ ) + η cos ( θ )) d η F ( ξ, θ )

Key… ξ, θ için F (

ξ, θ

) _{, µ} ( x, y ) nin Radon dönü¸sümüdür:

Sabit θ için F

_θ

(

ξ

) _{, µ} ( x, y ) nin θ aç¬s¬ile projeksiyonudur.

Sabit θ ve ξ = L do¼ grusu için F

_θ

( L ) _{, µ} ( x, y ) _{nin ξ} = L do¼ grusu boyunca integralidir.

(81)

Radon dönü¸süm geometrisi ve dönü¸sümü

ξ

η = ^cos ( θ ) sin ( θ ) sin ( θ ) cos ( θ )

x y ,

R ( ξ, θ )[ µ ( x, y )] = R

_∞

∞

µ ( ξ cos ( θ ) η sin ( θ ) , ξ sin ( θ ) + η cos ( θ )) d η F ( ξ, θ )

Key… ξ, θ için F (

ξ, θ

) _{, µ} ( x, y ) nin Radon dönü¸sümüdür:

Sabit θ için F

_θ

(

ξ

) _{, µ} ( x, y ) nin θ aç¬s¬ile projeksiyonudur.

Sabit θ ve ξ = L do¼ grusu için F

_θ

( L ) _{, µ} ( x, y ) _{nin ξ} = L do¼ grusu boyunca integralidir.

(82)

Tomogra… ve Fourier Dilimleme Teoremi

Teorem

z

¹

( F

_θ

( ξ )) = F

2

( µ ( x, y ))

_θ

F ( u, v )

_θ

(83)

Tomogra… ve Fourier Dilimleme Teoremi

Teorem

z

¹

( F

_θ

( ξ )) = F

2

( µ ( x, y ))

_θ

F ( u, v )

_θ

(84)

Tomogra… ve Fourier Dilimleme Teoremi

A=[1 2 3 4;3 2 1 0;1 6 7 8;2 1 0 5]

F

0

( ξ ) =[7 11 11 17]

F

₁

( F

₀

( ξ )) =[ 46.0000 -4.0000 + 6.0000i -10.0000 -4.0000 - 6.0000i ] F

_π/2

( ξ ) =[10 6 22 8]

F

₁

( F

_π/2

( ξ )) =[ 46.0000 -12.0000 + 2.0000i 18.0000 -12.0000 - 2.0000i ]

¤t2 ( A ) =

46.0000 -4.0000 + 6.0000i -10.0000 -4.0000 - 6.0000i -12.0000+2.0000i -2.0000 4.0000 - 6.0000i 10.0000 18.0000 -12.0000 + 2.0000i -6.0000 -12.0000 - 2.0000i -12.0000-2.0000i 10.0000 4.0000 + 6.0000i -2.0000

(85)

Tomogra… ve Fourier Dilimleme Teoremi

A=[1 2 3 4;3 2 1 0;1 6 7 8;2 1 0 5]

F

0

( ξ ) =[7 11 11 17]

F

₁

( F

₀

( ξ )) =[ 46.0000 -4.0000 + 6.0000i -10.0000 -4.0000 - 6.0000i ] F

_π/2

( ξ ) =[10 6 22 8]

F

₁

( F

_π/2

( ξ )) =[ 46.0000 -12.0000 + 2.0000i 18.0000 -12.0000 - 2.0000i ]

¤t2 ( A ) =

46.0000 -4.0000 + 6.0000i -10.0000 -4.0000 - 6.0000i -12.0000+2.0000i -2.0000 4.0000 - 6.0000i 10.0000 18.0000 -12.0000 + 2.0000i -6.0000 -12.0000 - 2.0000i -12.0000-2.0000i 10.0000 4.0000 + 6.0000i -2.0000

(86)

Tomogra… ve Fourier Dilimleme Teoremi

A=[1 2 3 4;3 2 1 0;1 6 7 8;2 1 0 5]

F

0

( ξ ) =[7 11 11 17]

F

₁

( F

₀

( ξ )) =[ 46.0000 -4.0000 + 6.0000i -10.0000 -4.0000 - 6.0000i ]

F

_π/2

( ξ ) =[10 6 22 8]

F

₁

( F

_π/2

( ξ )) =[ 46.0000 -12.0000 + 2.0000i 18.0000 -12.0000 - 2.0000i ]

¤t2 ( A ) =

46.0000 -4.0000 + 6.0000i -10.0000 -4.0000 - 6.0000i -12.0000+2.0000i -2.0000 4.0000 - 6.0000i 10.0000 18.0000 -12.0000 + 2.0000i -6.0000 -12.0000 - 2.0000i -12.0000-2.0000i 10.0000 4.0000 + 6.0000i -2.0000

(87)

Tomogra… ve Fourier Dilimleme Teoremi

A=[1 2 3 4;3 2 1 0;1 6 7 8;2 1 0 5]

F

0

( ξ ) =[7 11 11 17]

F

₁

( F

₀

( ξ )) =[ 46.0000 -4.0000 + 6.0000i -10.0000 -4.0000 - 6.0000i ] F

_π/2

( ξ ) =[10 6 22 8]

F

₁

( F

_π/2

( ξ )) =[ 46.0000 -12.0000 + 2.0000i 18.0000 -12.0000 - 2.0000i ]

¤t2 ( A ) =

46.0000 -4.0000 + 6.0000i -10.0000 -4.0000 - 6.0000i -12.0000+2.0000i -2.0000 4.0000 - 6.0000i 10.0000 18.0000 -12.0000 + 2.0000i -6.0000 -12.0000 - 2.0000i -12.0000-2.0000i 10.0000 4.0000 + 6.0000i -2.0000

(88)

Tomogra… ve Fourier Dilimleme Teoremi

A=[1 2 3 4;3 2 1 0;1 6 7 8;2 1 0 5]

F

0

( ξ ) =[7 11 11 17]

F

₁

( F

₀

( ξ )) =[ 46.0000 -4.0000 + 6.0000i -10.0000 -4.0000 - 6.0000i ] F

_π/2

( ξ ) =[10 6 22 8]

F

₁

( F

_π/2

( ξ )) =[ 46.0000 -12.0000 + 2.0000i 18.0000 -12.0000 - 2.0000i ]

¤t2 ( A ) =

46.0000 -4.0000 + 6.0000i -10.0000 -4.0000 - 6.0000i -12.0000+2.0000i -2.0000 4.0000 - 6.0000i 10.0000 18.0000 -12.0000 + 2.0000i -6.0000 -12.0000 - 2.0000i -12.0000-2.0000i 10.0000 4.0000 + 6.0000i -2.0000

(89)

Tomogra… ve Fourier Dilimleme Teoremi

A=[1 2 3 4;3 2 1 0;1 6 7 8;2 1 0 5]

F

0

( ξ ) =[7 11 11 17]

F

₁

( F

₀

( ξ )) =[ 46.0000 -4.0000 + 6.0000i -10.0000 -4.0000 - 6.0000i ] F

_π/2

( ξ ) =[10 6 22 8]

F

₁

( F

_π/2

( ξ )) =[ 46.0000 -12.0000 + 2.0000i 18.0000 -12.0000 - 2.0000i ]

¤t2 ( A ) =

46.0000 -4.0000 + 6.0000i -10.0000 -4.0000 - 6.0000i -12.0000+2.0000i -2.0000 4.0000 - 6.0000i 10.0000 18.0000 -12.0000 + 2.0000i -6.0000 -12.0000 - 2.0000i -12.0000-2.0000i 10.0000 4.0000 + 6.0000i -2.0000

(90)

Tomogra… görüntü netle¸stirme(Gabor Filtresi)

Gabor Filtresi

G ( x, y ) = exp (

^x²_2σ⁺2^y²

) exp (

^{i π}_νσ

( x sin ( θ ) y cos ( θ ))

(a)[γ = 1/2, σ = 4, θ = π/4 ] ,(b) [ γ = 1/2, σ = 4, θ = π/2 ] , (c)[γ = 3/2, σ = 4, θ = π/4 ] ,(d) [ γ = 3/2, σ = 8, θ = π/4 ]

(91)

Tomogra… görüntü netle¸stirme(Gabor Filtresi)

Gabor Filtresi

G ( x, y ) = exp (

^x²_2σ⁺2^y²

) exp (

^{i π}_νσ

( x sin ( θ ) y cos ( θ ))

(a)[γ = 1/2, σ = 4, θ = π/4 ] ,(b) [ γ = 1/2, σ = 4, θ = π/2 ] , (c)[γ = 3/2, σ = 4, θ = π/4 ] ,(d) [ γ = 3/2, σ = 8, θ = π/4 ]

(92)

Tomogra… görüntü netle¸stirme(Gabor Filtresi)

Gabor Filtresi

G ( x, y ) = exp (

^x²_2σ⁺2^y²

) exp (

^{i π}_νσ