Parametre Kestirimi. Prof. Dr. U. DOĞAN, Prof. Dr. C. AYDIN, Dr. Öğr. Üyesi D. ÖZ DEMİR

(1)

Parametre Kestirimi

YTÜ-Harita Mühendisliği Bölümü, Jeodezi Anabilim Dalı İstanbul, Kasım 2020

Prof. Dr. U. DOĞAN , Prof. Dr. C. AYDIN, Dr. Öğr . Üyesi D. ÖZ DEMİR

(2)

Parametre Kestirimi

•

Rasgele değişkenlerin beklenen değerlerinin ve varyanslarının birden fazla ölçü kullanılarak belirlenmesi işlemine PARAMETRE KESTİRİMİ adı verilir.

•

Fazla ölçülerden parametre kestirimi yapabilmek için çeşitli yöntemler bulunur. Bu yöntemler;

1.

En Küçük Kareler (EKK) yöntemi,

2.

Beklenen Değere Sadık En Uygun Kestirim (BUE, ya da BLUE)

3.

Maksimum Likelihood yöntemidir.

2

Her üç yöntem, ölçülerin normal dağılımlı olması durumunda özdeş sonuç verirler.

(3)

Parametre Kestirimi

•

Uygulamadaki kolaylıkları nedeniyle, jeodezide genellikle, EN KÜÇÜK KARELER (EKK) YÖNTEMİ kullanılır.

•

EKK yöntemi; TEMEL DENKLEMLER adı verilen,

ÖLÇÜ+DÜZELTMESİ=BİLİNMEYENLERİN FONKSİYONU

biçimindeki denklem sistemine dayanır. Dengeleme hesabı bu denklemleri ele alarak, bir problemde geçen bilinmeyenlerin (örneğin koordinatların) ve onların standart sapmalarının EN UYGUN biçimde belirlenmesini konu alır.

(4)

Parametre Kestirimi

•

Dengeleme hesabına geçmeden önce, fazla ölçüler yoluyla, gözlenen büyüklüklerin en uygun değerlerinin ve standart sapmalarının pratik olarak belirlendiği iki özel problemi ele alacağız:

•

Sonlu ölçüler yardımıyla standart sapma hesabı,

•

Ölçü çiftleri yardımıyla standart sapma hesabı.

4

(5)

Parametre Kestirimi: Sonlu ölçüler yardımıyla standart sapma hesabı

•

Bir büyüklük (örneğin, XN(, 𝜎²)), DEĞİŞMEYEN KOŞULLAR ALTINDA n kez gözlenmiş olsun;

n1 Ölçüler vektörü

•

 için en uygun (en yüksek olasılıklı) değer, BU DURUM İÇİN, aritmetik ortalamadır:

[ ] 1

( ) L

E x=

n n s

   ⁽ ^{s } ^{[1 1} ^1])

1 2

[L L L ]

_n ^T



(6)

Parametre Kestirimi: Sonlu ölçüler yardımıyla standart sapma hesabı

•

Ölçülerin (gerçek) hataları ve düzeltmeleri kullanılarak;

6

i

L

i

    v

_i

  x L

_i

Hata Düzeltme

i

x v

i

    

1 1

2 2

n n

x v x v

x v

    

[ ]   nx  [ ] v   n [ ]

x n

   

0

1

(7)

Parametre Kestirimi: Sonlu ölçüler yardımıyla standart sapma hesabı

•

Gerçek hataların kareleri;

i

x v

i

    

₁² ² ₁² ₁

2 2 2

( ) 2 ( )

n n n

x v v x

       

[   ] n x (    )

2

[ vv ]  2[ ]( v x   )

0

1

x [ ]

n

   

[ ]

2

[ ] [ vv ] n

   

2

Bir Ölçünün Varyansı

2 2 2

( ) [ ]

ns  s  rs  vv

2

[ ]

( 1)(1 ) s vv

n r

  

Ölçüler arasında sabit korelasyon

İspat: Demirel (2009)

(8)

Parametre Kestirimi: Sonlu ölçüler yardımıyla standart sapma hesabı

•

En uygun değer olan aritmetik ortalamanın varyansı:

8

Aritmetik Ortalamanın Varyansı 2

2

s (1 ( 1) )

s n r

 n  

[ ] 1

( ) L

E x=

n n s

   s

²

 sC s

_ll ^T

2 2 2

ll

s rs rs rs s rs rs rs s C

 

 

  

 

 

(9)

Parametre Kestirimi: Sonlu ölçüler yardımıyla standart sapma hesabı (ÖZET)

[ ] / x= L n

i i

v   x L

Aritmetik Ortalama Düzeltmeler

2 2 2

1 2

[ vv ]  v +v +...+v

_n

Düzeltmelerin Karelerinin Toplamı

Korelasyon var (r) Korelasyon yok (r=0)

Bir ölçünün varyansı

Aritmetik ortalamanın varyansı

2

[ ]

( 1)(1 ) s vv

n r

  

2

s (1 ( 1) )

s n r

 n  

2

[ ]

( 1) s vv

 n



2

s

s  n

(10)

Parametre Kestirimi: Ölçü Çiftleri Yardımıyla Standart Sapma Hesabı

10

Geometrik Nivelman (yükseklik farkları)

Poligon Geçkisi (kenarlar) Poligon Geçkisi (kırılma açıları

Trigonometrik Nivelman (yükseklik farkları)

Bir ölçü çifti

Nivelmanda yükseklik farkları, poligon geçkisinde kenarlar ve kırılma açıları ikişer kez gözlenir. Bunlara ölçü çiftleri adı verilir.

(11)

Parametre Kestirimi: Ölçü Çiftleri Yardımıyla Standart Sapma Hesabı

i

,

i

L L  

Bir Ölçü Çifti

L

i

  

i

 =L

i

  

i



Düzeltilmiş Ölçü Çifti

i i i i i

d =L   L       

2 2 2

1 1 1 1 1

2 2 2

2

n n n

2

n n

d

   

      

   

       [ dd =   ] [         ] [   ] 2[   ]

n: Ölçü çifti sayısı

(12)

Parametre Kestirimi: Ölçü Çiftleri Yardımıyla Standart Sapma Hesabı

12

[ dd =   ] [         ] [   ] 2[   ] [ dd =ns ]

²

 ns

²

 2 rs

²

2

[ ]

2 (1 ) s dd

n r

 

Bir Ölçünün Varyansı

(13)

Parametre Kestirimi: Ölçü Çiftleri Yardımıyla Standart Sapma Hesabı

i

,

i

L L  

Bir Ölçü Çifti

1 ( )

i

2

i i

L = L +L  

Aritmetik Ortalaması

2

1

2 2 2

( 2 )

s  4 s   s rs

2

(1 )

2 s  s  r

Bir Ölçü Çiftinin Aritmetik

Ortalamasının Varyansı

(14)

Parametre Kestirimi: Ölçü Çiftleri Yardımıyla Standart Sapma Hesabı (Ağırlıklı)

14

2 0

1 1 1 2

1

,

L L     P 



2 0

,

2

n n n

n

L  L    P 



1. Ölçü Çifti

n. Ölçü Çifti

Ağırlık

2 0

[ ]

2 (1 ) s Pdd

n r

 

Birim Ağırlıklı Ölçünün Varyansı

2 2

[ Pdd ]  Pd +...+P d

1 1 _n _n Farkların Ağırlıklı

Kareleri Toplamı

2

2 0

i

s s

 P

Bir Ölçü Çiftinin (𝑳_𝒊 ve 𝑳_𝒊) Varyansı

Ölçü Çiftinin (𝑳_𝒊 ve 𝑳_𝒊) Arit.

Ortalamasının Varyansı 2

2 0

(1 )

i

2

i

s s r

 P 

Ağırlık eşitliğinde sigma’lı ifadeler yerine s’li ifadeler düşünülürse, ispat edilmiş

olur.

(15)

Parametre Kestirimi: Ölçü Çiftleri Yardımıyla Standart Sapma Hesabı (ÖZET)

i i i

d  L   L 

Ölçü Çifti Fark

2 2

0

/

i i

P   

Ağırlık

Korelasyon var (r) Korelasyon yok (r=0)

Birim ağırlık ölçünün varyansı

Bir ölçü çiftinin varyansı

Bir ölçü çiftinin aritmetik ortalamasının varyansı

, ( 1,..., )

i i

L L i=   n [ Pdd ]  Pd +...+P d

_{1 1}² _n _n²

Farkların Ağırlıklı Kareleri Toplamı

2 0

[ ]

2 (1 ) s Pdd

n r

 

⁰²

[ ]

2 s Pdd

 n

2

2 0

i

s s

 P

_i² ⁰²

i

s s

 P

2

2 0

(1 )

i

2 s s r

 P 

² ⁰²

i

2 s s

 P

(16)

Örnek-1:

16

(17)

Örnek-1:

Çözüm:

Aritmetik ortalama varyansı

Bir ölçünün varyansı En uygun değer

(18)

Örnek-1:

18

Çözüm:

Gerçek hata yayılma kuralı

Varyans yayılma kuralı

(19)

Örnek-2:

(20)

Örnek-2:

20

Çözüm:

Açılar arasında yalnız 𝜷_𝟐 hatalıdır.

(21)

Örnek-2:

Çözüm:

₂ ₀²

i

2

i

s s

 P

2 0 2

i

S

P 

 

(22)

Örnek-2:

22

Çözüm:

Aritmetik ortalama varyansları (bir önceki tablo)

(23)

Örnek-3:

(24)

Örnek-3:

24

Çözüm:

Aritmetik ortalama varyansı

Birim ağırlıklı ölçünün varyansı

GEOMETRİK NİV.

0( )

( )

km i

i km

P S

 S

2

0( )

2

( )

km i

i km

S

P  S

TRİGONOMETRİK NİV.

S

0

 Birim niv. yol uzunluğu

(25)

Örnek-3:

Çözüm:

(26)

Ders duyuruları, soru ve görüşleriniz için:

26

https://avesis.yildiz.edu.tr/dogan dogan@yildiz.edu.tr

Prof. Dr. Uğur DOĞAN

https://avesis.yildiz.edu.tr/caydin

caydin@yildiz.edu.tr; caydin78@gmail.com

Prof. Dr. Cüneyt AYDIN

Dr. Öğretim Üyesi Deniz ÖZ DEMİR

https://avesis.yildiz.edu.tr/denizoz denizoz@yildiz.edu.tr

Parametre Kestirimi. Prof. Dr. U. DOĞAN, Prof. Dr. C. AYDIN, Dr. Öğr. Üyesi D. ÖZ DEMİR