k-tetranacci DİZİLERİ Özge ARIBAŞ YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

k-TETRANACCİ DİZİLERİ

Özge ARIBAŞ

YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI

GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

TEMMUZ 2015

Özge ARIBAŞ tarafından hazırlanan “K-TETRANACCİ DİZİLERİ” adlı tez çalışması aşağıdaki jüri tarafından OY BİRLİĞİ ile Gazi Üniversitesi Matematik Anabilim Dalında YÜKSEK LİSANS TEZİ olarak kabul edilmiştir.

Danışman: Prof. Dr. Dursun TAŞCI

Matematik, Gazi Üniversitesi

Bu tezin, kapsam ve kalite olarak Yüksek Lisans Tezi olduğunu Onaylıyorum ...………

Başkan : Doç. Dr. Şerife BÜYÜKKÖSE Matematik, Gazi Üniversitesi

Bu tezin, kapsam ve kalite olarak Yüksek Lisans Tezi olduğunu Onaylıyorum

………...

Üye : Yrd. Doç. Dr. Miraç ÇETİN FİRENGİZ Eğitim, Başkent Üniversitesi

Bu tezin, kapsam ve kalite olarak Yüksek Lisans Tezi olduğunu Onaylıyorum

………...

Tez Savunma Tarihi: 14/7/2015

Jüri tarafından kabul edilen bu tezin Yüksek Lisans Tezi olması için gerekli şartları yerine getirdiğini onaylıyorum.

……….…….

Prof. Dr. Şeref SAĞIROĞLU Fen Bilimleri Enstitüsü

ETİK BEYAN

Gazi Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Tez Yazım Kurallarına uygun olarak hazırladığım bu tez çalışmasında;

 Tez içinde sunduğum verileri, bilgileri ve dokümanları akademik ve etik kurallar çerçevesinde elde ettiğimi,

 Tüm bilgi, belge, değerlendirme ve sonuçları bilimsel etik ve ahlak kurallarına uygun olarak sunduğumu,

 Tez çalışmasında yararlandığım eserlerin tümüne uygun atıfta bulunarak kaynak gösterdiğimi,

 Kullanılan verilerde herhangi bir değişiklik yapmadığımı,

 Bu tezde sunduğum çalışmanın özgün olduğunu,

bildirir, aksi bir durumda aleyhime doğabilecek tüm hak kayıplarını kabullendiğimi beyan ederim.

……….…….

Özge ARIBAŞ 14/7/2015

k-TETRANACCİ DİZİLERİ (Yüksek Lisans Tezi)

Özge ARIBAŞ GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

Temmuz 2015 ÖZET

Bu tez çalışmasında, Tetranacci dizisi, k-Tetranacci dizisi biçiminde genelleştirilmiş ve geçmiş çalışmalarda bulunan eşitlikler bu genelleştirme için incelenmiştir. k-Tetranacci matrisi tanımlanmış ve bu matris yardımıyla k-Tetranacci dizisi için bazı eşitlikler bulunmuştur.

Bilim Kodu : 204.1.025

Anahtar Kelimeler : Tetranacci dizisi, k-Tetranacci dizisi, indirgeme bağınt ısı, k-Tetranacci matrisi

Sayfa Adedi : 37

Danışman : Prof. Dr. Dursun TAŞCI

THE k-TETRANACCI SEQUENCES (M. Sc. Thesis)

Özge ARIBAŞ GAZİ UNIVERSITY

GRADUATE SCHOOL OF NATURAL AND APPLIED SCIENCES July 2015

ABSTRACT

In this thesis, the Tetranacci sequence was generalized as the k-Tetranacci sequence and the equations which were discovered in the past studies, were examined for this generalization. The k-Tetranacci matrix was defined and some equations were discovered with the help of this matrix.

Science Code : 204.1.025

Key Words : The Tetranacci sequence, the k-Tetranacci sequences, recurrence relations, the k-Tetranacci matrix

Page Number : 37

Supervisor : Prof. Dr. Dursun TAŞCI

TEŞEKKÜR

Bu tezin hazırlanmasında ve tamamlanmasında değerli yardım ve katkılarıyla beni yönlendiren, faydalı tavsiyelerde bulunan ve kendisinden çok şey öğrendiğim Sayın Hocam Prof. Dr. Dursun TAŞCI’ya, ayrıca bana desteklerinden dolayı aileme, tüm arkadaşlarıma teşekkürü bir borç bilirim.

İÇİNDEKİLER

Sayfa

ÖZET ... iv

ABSTRACT ... v

TEŞEKKÜR ... vi

İÇİNDEKİLER ... vii

ÇİZELGELERİN LİSTESİ ... vii

SİMGELER VE KISALTMALAR ... ix

1. GİRİŞ ... 1

2. BAZI TEMEL TANIM VE TEOREMLER ... 3

3. k-TETRANACCİ DİZİLERİ İÇİN TEMEL ÖZELLİKLER ... 11

4. k-TETRANACCİ DİZİLERİNİN MATRİS GÖSTERİMİ VE BAZI ÖZELLİKLERİ ... 21

5. SONUÇ VE ÖNERİLER ... 33

KAYNAKLAR ... 35

ÖZGEÇMİŞ ... 37

ÇİZELGELERİN LİSTESİ

Çizelge Sayfa

Çizelge 2.1. Fibonacci dizisinin ilk on iki terimi ... 3 Çizelge 2.2. k-Fibonacci dizisinin ilk altı terimi ... 5 Çizelge 2.3. Tetranacci ve eş dizilerinin ilk sekiz terimi ... 6 Çizelge 3.1. Birinci ve ikinci tip k-Tetranacci dizileri ile

eş dizilerinin ilk altı terimi ... 12

SİMGELER VE KISALTMALAR

Bu çalışmada kullanılmış simgeler ve kısaltmalar, açıklamaları ile birlikte aşağıda sunulmuştur.

Simgeler Açıklamalar

Fn n-inci Fibonacci sayısı

M_n n-inci Tetranacci sayısı

Nn n-inci Tetranacci ilk eş sayısı

Sn n-inci Tetranacci ikinci eş sayısı

Fk,n n-inci k-Fibonacci sayısı

M_k,n n-inci birinci tip k-Tetranacci sayısı

N_k,n n-inci Tetranacci birinci tip eş sayısı

Sk,n n-inci Tetranacci ikinci tip eş sayısı

{Fn} Fibonacci dizisi

{Mn} Tetranacci dizisi

{N_n} Tetranacci birinci tip eş dizisi

{S_n} Tetranacci ikinci tip eş dizisi

{Fk,n} k-Fibonacci dizisi

{Mk,n} Birinci tip k-Tetranacci dizisi

{N_k,n} k-Tetranacci birinci tip eş dizisi

{S_k,n} k-Tetranacci ikinci tip eş dizisi

{Gk,n} İkinci tip k-Tetranacci dizisi

det A A matrisinin determinantı

 Doğal sayılar kümesi

Kısaltmalar Açıklamalar

Eş. Eşitlik

1. GİRİŞ

Vajda’nın belirttiği üzere, her bir terimi kendinden önceki iki terimin toplamı indirgeme bağıntısı ile elde edilen Fibonacci dizisi doğada çiçeklerde, ağaçlarda, arılarda ve daha pek çok yerde karşımıza çıkmaktadır [3]. Falcon ve Plaza’nın yaptığı çalışma ile Fibonacci sayılarının daha genel hali olan k-Fibonacci sayıları tanımlanmış ve bu sayıların oluşturduğu dizi ile ilgili özdeşlikler elde edilmiştir [4]. Bu çalışmanın amacı da Tetranacci sayıları için benzer bir genelleştirme yapmaktır.

Tetranacci dizisi, ilk kez 1963 yılında Feinberg tarafından tanımlanmıştır ve daha sonra Kirkpatrick, Bruce, Scheon, Hlynka yazarlarının yaptığı çalışmalarda kısaca bahsedilmiştir [12]. 1992 yılında Waddill tarafından yapılan araştırması Tetranacci dizisi için yapılan en kapsamlı çalışmadır. Bazı yazarlar, çalışmalarında dizinin Latince olan Quadranacci ismini, bazıları da Yunanca olan Tetranacci ismini tercih etmiştir. Bu çalışmada, dizinin ismi Feinberg tarafından kullanıldığı biçimde, Tetranacci olarak kullanılacaktır.

Natividad, Tetranacci gibi ikiden fazla ardışık terimin toplamı ile elde edilen diziler yüksek mertebeden Fibonacci dizileri olarak da adlandırmaktadır. Tetranacci sayıları, doğada Fibonacci sayıları kadar görülmese de içlerinden bir tanesi çok farklı yerlerde

görülmektedir. Doğu dünyasında Hinduizm, Jainizm ve Budizm gibi pek çok din tarafından kutsal kabul edilen 108 sayısı, Waddill tarafından tanımlanan Tetranacci dizisinin onuncu terimidir. Bir Güneş tutulması sırasında Güneş-Dünya-Ay sisteminin oluşturduğu üçgen incelendiğinde, tabanın yüksekliğin 108 katı olduğu görülecektir [13].

McLaughlin yaptığı çalışmada Tetranacci dizisi astronomi alanında, Bode yasasına bir alternatif olarak kullanmıştır. Bode yasası, Güneş’in her bir gezegene ve asteroid kemerine ortalama uzaklığını hesaplamak için kullanılan bir sayı dizisidir. Güneş Sistemi’nin

keşfinde önemli bir rol oynamıştır, ancak dizinin ilerleyen terimlerinde gerçek mesafeden çok daha büyük değerler vermektedir. McLaughlin’in yaptığı çalışma ile Tetranacci sayılarını kullanılarak elde edilen formülün gerçek mesafeye daha yakın olduğu görülmektedir. Bu çalışma sırasında Tribonacci, Pentanacci, Hexanacci sayıları da denenmiştir ama sonuca en yakın değerler veren Tetranacci sayıları olmuştur [9].

Bu tez dört bölümden oluşmaktadır. İlk bölüm giriş, ikinci bölümde gerekli bazı tanım ve teoremler verilmiştir. Üçüncü bölümde k-Tetranacci dizileri tanımlanmış ve bu dizi için elde edilen eşitlikler verilmiştir. Dördüncü bölümde ise k-Tetranacci sayılarının matris gösterimi tanımlanmış ve bu matrisler ile ilgili bazı eşitlikler elde edilmiştir.

2. BAZI TEMEL TANIM VE TEOREMLER

2.1. Tanım

n  2 için başlangıç şartları F₀=0 ve F  olmak üzere ₁ 1

1 2

n n n

F F_ F_ (2.1)

ile tanımlanan diziye Fibonacci dizisi, dizinin terimlerine de Fibonacci sayıları denir ve

 

F ile gösterilir [3]. n

Çizelge 2.1. Fibonacci dizisinin ilk on iki terimi

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

F n 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144

Aşağıda verilen Fibonacci Q-matrisi, Fibonacci dizisi için pek çok özelliğin elde edilmesini sağlar.

2.2. Teorem

1 1 Q 1 0

  

 

(2.2) olacak şekilde n  1 için

1 1

1 1 1 0

n n

n n

n F F

F F





 

 

  

 

   

(2.3) eşitliği sağlanır [2].

İspat

Tümevarım yöntemi ile görülebilir.

1 n  için

2 1

1 0

1 1 1 1

1 0 1 0

F F F F

 

   

 

   

     

olup doğrudur.

n= s pozitif tamsayısı için doğru olsun.

1 1

1 1 1 0

s s

s s

s F F

F F





 

 

  

 

   

O halde

1 1 1 1 1 1 1

1 0 1 0 1 0

s s

     

 

     

     

1 1

1 1 1 0

s s

s s

F F

F F





   

   

 

 

1 1

1 1

s s s

s s s

F F F

F F F

 

 





 

  

 

2 1

1 1

s s

s s

F F

F F

 

 

 

  

 

olduğundan ispat tamamlanır.

2.3. Teorem

A ve B aynı boyutlu iki karesel matris olsun.

    

det A B  detA detB (2.4)

dir [2].

2.4. Teorem

n  1 için

2

1 1 _n ( 1)ⁿ

n n

F_ F_ F   (2.5)

eşitliği sağlanır [2].

İspat

detQ  1 ve Teorem 2.3. gereği

detQⁿ (det )Q ⁿ (2.6)

olduğundan, Teorem 2.2. ile verilen ifadenin her iki tarafından determinant alınırsa istenen ifade elde edilir.

Teorem 2.4 ile verilen eşitlik literatürde Cassini formülü olarak geçmektedir.

2.5. Teorem

Aşağıda verilen

2 1 0

x   x (2.7) karesel eşitliğinin pozitif kökü a, negatif kökü b olsun. n  1 için

n n

n

a b

F a b

 

 (2.8)

ile verilen eşitliğe Fibonacci dizisi için Binet formülü denir [2].

2.6. Tanım

k  1 olacak şekilde herhangi bir tamsayı ve n  1 için, başlangıç şartları F_k,0=0 ve

,1 1

Fk  olmak üzere

, 1 , , 1

k n k n k n

F _  k F F _ (2.9)

indirgeme bağıntısı ile tanımlanan diziye k-Fibonacci dizisi denir ve



Fk n,



n N

 şeklinde gösterilir. k-Fibonacci dizisinin her bir elemanına k-Fibonacci sayısı denir [4].

Çizelge 2.2. k-Fibonacci dizisinin ilk altı terimi

n 0 1 2 3 4 5 6

,

Fk n 0 1 k _{k }² _{1 k}³_{2k k}⁴_3k²_{1 k}⁵_4k³_3k

2.7. Tanım

n  4 için başlangıç şartları M₀ M₁ 0 ve M₂ M₃  olmak üzere 1

1 2 3 4

n n n

n n

M M _ M _ M _ M _ (2.10)

ile tanımlanan diziye Tetranacci dizisi denir ve



Mn



ile gösterilir. Tetranacci dizisinin her bir elemanına, Tetranacci sayısı denir [1].

Aşağıda tanımı verilen diziler Waddill tarafından Tetranacci dizisinin eş dizileri olarak adlandırılmıştır.

2.8. Tanım

i) n  4 için başlangıç şartları N₀  N₂ 0 ve N₁  N₃  olmak üzere 1

1 2 3 4

n n n

n n

N N _ N _ N _ N _ (2.11)

indirgeme bağıntısı ile tanımlanan dizi

 

Nn ile gösterilir [1].

ii) n  4 için başlangıç şartları S₀ S₃  , 1 S₁ S₂  olmak üzere 0

1 2 3 4

n n n

n n

S S _ S _ S _ S _ (2.12)

indirgeme bağıntısı ile tanımlanan dizi

 

Sn ile gösterilir [1].

2.9. Teorem

Tetranacci ve eş dizileri arasında i) n  3 için

1 2 3

n n n n

N M _ M _ M _ (2.13) ii) n  2 için

1 2

n n n

S M _ M _ (2.14)

şeklinde bir ilişki vardır [1].

Çizelge 2.3. Tetranacci ve eş dizilerinin ilk sekiz terimi

N 0 1 2 3 4 5 6 7 8

M n 0 0 1 1 2 4 8 15 29

N n 0 1 0 1 2 4 7 14 27

S n 1 0 0 1 2 3 6 12 23

2.10. Tanım

n  4 için  , ₀  , ₁  , ₂  başlangıç şartları keyfi tamsayılar olmak üzere ₃

1 2 3 4

n n n

n n

  _  _  _  _ (2.15)

ile tanımlanan diziye genelleştirmiş Tetranacci dizisi denir ve

 

n ile gösterilir [1].

Genelleştirilmiş Tetranacci dizisi, bazı yazarlar tarafından Tetranacci-Benzeri dizi olarak da adlandırılmıştır [6].

Tetranacci dizisi için Teorem 2.2 ile verilen Q-Matrisine denk bir matris, aşağıdaki gibi tanımlanmıştır ve T matrisi olarak isimlendirilmiştir. Bu matris, Waddill’in yaptığı araştırmada Tetranacci dizisine ait pek çok özelliğin bulunmasında kullanılmıştır [1].

2.11. Tanım

1 1 1 1

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

T

 

 

 

 

 

 

(2.16)

şeklindedir [1].

Not: Tanım 2.7 ile verilen indirgeme bağıntısı kullanılarak n  için 0

4 3 2 1

n n n n n

M M _ M _ M _ M _ (2.17)

olduğu görülür [1].

2.12. Teorem

i)



Mn



dizisinin elemanları için

3

1 2

2 1

3 0

1 1 1 1 3

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

n n n n

M n M

M M

M M

M M







      

     

    

     

     

 

   

(2.18)

ii)

 

n dizisinin elemanları için

3

1 2

2 1

3 0

1 1 1 1 3

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

n n n n

 n 

 

 

 







      

     

    

     

     

 

   

(2.19)

iii) T matrisi için

2 2 2 1

1 1 1

1

1 1 1 2

1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0

n n n n

n

n n n

n n n n

n n n n

n M N S M

M N S M

M N S M

M N S M

   

  



   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

 (2.20)

eşitlikleri sağlanır [1].

Aşağıda verilen genelleştirme ile genelleştirilmiş Tetranacci dizisinin terimlerini hesaplamak için alternatif bir yol verilmiştir.

2.13. Teorem

1 3 1 2 1 1 2 0

n n n n

n M N S M

  _  _  _  _  (2.21)

dir [1].

Tetranacci dizisinin çoğu özelliği, Fibonacci dizisinin özellikleri kadar kolay

bulunamamaktadır [1]. Teorem 2.5 ile aşağıda Tetranacci dizisi için verilen Binet formülü bu durumlardan biri görülebilir.

2.14. Teorem

Tetranacci dizisinin Binet formülü

1 1 2 2 3 3 4 4

n n n n

Mn  A r A r A r A r (2.22)

şeklindedir. Burada A ler sabit, _i r ler _i

4 3 2

1 0

x x x   x (2.23)

karakteristik denkleminin dört farklı köküdür.A ler ve _i r ler hesaplandığında ortaya çıkan _i formül oldukça uzun ve ağır olduğundan açık hali yazılmamıştır  için Binet formülü _n yukardaki ifade ile aynıdır, tek fark A lerin _i  ,₀  ,₁  ,₂  lere bağlı birer fonksiyon ₃ olmasıdır [1].

2.15. Tanım

0, 1, 2,

a a a  bir reel sayı dizisi olsun.

2

0 1 2

( ) _n ⁿ

g x a a xa x a x  (2.24)

ifadesine

 

an dizisinin üreteç fonksiyonu denir [2].

3. k-TETRANACCİ DİZİLERİ İÇİN TEMEL ÖZELLİKLER

Bu bölümde, bir önceki bölümde özellikleri verilen Tetranacci dizileri genelleştirilecektir.

3.1. Tanım

1

k  olacak şekilde herhangi bir tamsayı ve n  4 için

, , 1 , 2 , 3 , 4

k n k n k n k n k n

M k M _ M _ M _ M _ (3.1)

indirgeme bağıntısı ve M_k,0 M_k,1=0 , M_k,2 M_k,3 1 başlangıç koşulları ile tanımlanan diziye birinci tip k-Tetranacci dizisi denir ve



^{Mk n,}



_{n N} şeklinde gösterilir.

k-Tetranacci dizisi, Tetranacci dizisinin bir genelleştirmesi olup her bir farklı k  1 tamsayı değeri için farklı diziler elde edilecektir. Eğer Eş. 3.1 de k =1 alınırsa Eş. 2.10 elde edilir.

Aşağıda k-Tetranacci dizisi için iki eş dizisi tanımlanmıştır.

3.2. Tanım

1

k  olacak şekilde herhangi bir tamsayıve n  4 için

, , 1 , 2 , 3 , 4

k n k n k n k n k n

N k N _ N _ N _ N _ (3.2)

indirgeme bağıntısı ve N_k,0  N_k,2 0, N_k,1  N_k,3 1 başlangıç koşulları ile tanımlanan k-Tetranacci dizisinin birinci eş dizisi denir ve



^N_{k n n N}^,



_ şeklinde gösterilir.

k-Tetranacci dizisinin birinci eş dizisi, Tanım 2.8 i) ile verilen Tetranacci dizisinin eş dizisinin bir genelleştirmesi olup her bir farklı k  1 tamsayı değeri için farklı diziler elde edilecektir. Eğer Eş. 3.2. de k =1 alınırsa Eş. 2.11 elde edilir.

3.3. Tanım

1

k  olacak şekilde herhangi bir tamsayıve n  4 için

, , 1 , 2 , 3 , 4

k n k n k n k n k n

S k S _ S _ S _ S _ (3.3)

indirgeme bağıntısı ve S_k,0  S_k,3 1, S_k,1 S_k,2 0 başlangıç koşulları ile tanımlanan k- Tetranacci dizisinin ikinci eş dizisi denir ve



Sk n n N,



 şeklinde gösterilir.

k-Tetranacci dizisinin ikinci eş dizisi, Tanım 2.8 ii) ile verilen Tetranacci dizisinin eş bir genelleştirmesi olup her bir farklı k  1tamsayı değeri için farklı diziler elde edilecektir.

Eğer Eş. 3.3 te k =1 alınırsa Eş. 2.12 elde edilir.

3.4. Tanım

1

k  olacak şekilde herhangi bir tamsayıve n  4 için

, , 1 , 2 , 3 , 4

k n k n k n k n k n

G k G _ G _ G _ G _ (3.4)

indirgeme bağıntısı ve G_k,0 G_k,1 G_k,2 0, G_k,3 1 başlangıç koşulları ile tanımlanan ikinci tip k-Tetranacci dizisi denir ve



^G_{k n n N}^,



_ şeklinde gösterilir.

Eğer Eş 3.4 de k =1 alınırsa Tanım 2.7 ve Eş. 2.17 den G_1,0 M_10, G_2,0 M₀ 0,

3,0 2 1

G M  ve G_4,0M₃ 1 olduğu görülür.

Çizelge 3.1. Birinci ve ikinci tip k-Tetranacci dizileri ile eş dizilerinin ilk altı terimi

n 0 1 2 3 4 5 6

,

Mk n 0 0 1 1 k  1 k² k2 k³ k² 3k3

,

Nk n 0 1 0 1 k  1 _k² _{k2 k}³ _k² _3k2

,

Sk n 1 0 0 1 k  1 _k² _{k1 k}³ _k² _2k2

,

Gk n 0 0 0 1 k _{k }² _{1 k}³ _2k1

3.5. Tanım

k  1 olacak şekilde herhangi bir tamsayıve n  4 için

, , 1 , 2 , 3 , 4

k n k k n k n k n k n

   _  _  _  _ (3.5)

indirgeme bağıntısı ve başlangıç koşulları _k,0,_k,1,_k,2,_k,3 keyfi tamsayıları ile

tanımlanan diziye genelleştirilmiş k-Tetranacci dizisi denir ve



^_{k n n N}^,



_ ^şeklinde

gösterilir.

Genelleştirilmiş k-Tetranacci dizisi, genelleştirilmiş Tetranacci dizisinin bir genelleştirmesi olup her bir farklı k  1tamsayı değeri için farklı diziler elde edilecektir. Eğer Eş. 3.5 te k=1 alınırsa Eş. 2.15 elde edilir.

Not:



^{Mk n,}



_{n N} ^,



Nk n n N,



 ,



Sk n n N,



 ve



Gk n n N,



 ile verilen dizilerin



k n n N,





genelleştirilmiş k-Tetranacci dizisinin özel bir hali oldukları görülmektedir. Dolayısıyla



k n n N,



 genelleştirilmiş k-Tetranacci dizisi için verilen her bir özellik aslında bu dizilerin her biri için geçerlidir.

3.6. Teorem

k1 ve n  4 için



^{Mk n,}



_{n N} birinci tip k-Tetranacci dizisinin üreteç fonksiyonu

2

2 3 4

[1 (1 )]

( ) 1

x x k

M x kx x x x

  

     (3.6)

şeklindedir.

İspat

Tanım 2.15 ten k-Tetranacci dizisinin üreteç fonksiyonu

2 3 4

, ,0 ,1 ,2 ,3 ,4 ,

0

( ) _{k n} ⁿ _{k k k k k k n} ⁿ

n

M x M x M M x M x M x M x M x









     ^ ^

şeklindedir. O halde

1 , 0

( ) _{k n} ⁿ

n

kxM x kM x ^









şeklindedir.

2 3 4 5

,0 ,1 ,2 ,3 ,4 , 1

( ) _{k k k k k k n} ⁿ

kxM x kM x kM x kM x kM x kM x kM _x  eşitliği elde edilecektir. Benzer düzenleme aşağıdaki eşitliklerde yapılırsa

2 2 3 4 5 6

,0 ,1 ,2 ,3 ,4 , 2

( ) _{k k k k k k n} ⁿ

x M x M x M x M x M x M x M _ x 

3 3 4 5 6 7

,0 ,1 ,2 ,3 ,4 , 3

( ) _{k k k k k k n} ⁿ

x M x M x M x M x M x M x M _ x 

4 4 5 6 7 8

,0 ,1 ,2 ,3 ,4 , 4

( ) _{k k k k k k n} ⁿ

x M x M x M x M x M x M x M _ x  olacaktır. Bulunan bu eşitlikler taraf tarafa çıkarılarak

2 3 4 2

,0 ,1 ,0 ,2 ,1 ,0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) _k ( _{k k} ) ( _{k k k} )

M x kxM x x M x x M x x M x M  M kM x M kM M x (M_k,3kM_k,2 M_k,1 M_k,0)x³

(M_k,4kM_k,3 M_k,2 M_k,1M_k,0)x⁴ (M_k,5kM_k,4M_k,3M_k,2M_k,1)x⁵   olduğu görülür. k-Tetranacci dizisinin tanımı gereği ve dizinin başlangıç şartları

1

,0 , =0

k k

M M ve M_k,2 M_k,3 1olduğundan

2 3 4 2 3

( ) (1 ) 0 0 (1 0 0) (1 1 0 0)

M x  kxx x x    x   k x     k x x² (1k x) ³

eşitliği elde edilir. Dolayısıyla k-Tetranacci dizisi için üreteç fonksiyonu

2 3

2 3 4

(1 ) ( ) 1

x k x

M x kx x x x

  

    

şeklinde elde edilir.

3.7. Teorem

k1 ve n  4 olmak üzere

i) İkinci tip k-Tetranacci dizisinin üreteç fonksiyonu

3

2 3 4

( ) 1 G x x

kx x x x

     (3.7)

ii)



Nk n n N,



 dizisinin üreteç fonksiyonu

2 3 4

(1 ) ( ) 1

x k N x kx x x x

 

    (3.8)

iii)



^S_{k n n N}^,



_ dizisinin üreteç fonksiyonu

2

2 3 4

( ) 1 1

kx x

S x kx x x x

 

     (3.9)

şeklindedir.

İspat

Bu teoremin ispatı, Teorem 3.6 nın ispatına benzer şekilde yapılabilir.

Eş. 3.6, Eş. 3.7, Eş. 3.8 ve Eş. 3.9 gözönüne alınarak aşağıdaki ifadeler yazılabilir.

3.8. Teorem

k1 ve n  4 için aşağıdaki eşitlikler sağlanır.

i) ( ) G x^{( ) [1} x⁽¹ k^)]

M x x

  

 (3.10)

ii) ( ) M x^{( )} ₂G x^{( )}

N x x

  (3.11)

iii) ( ) G x^{( ) [1}₂ kx^]

N x x

   (3.12)

iv) ( ) N x^{( )} G x^{( )}

S x x

  (3.13)

v)

2 3

( ) [1 ]

( ) G x kx x

S x x

  

 (3.14)

3.9. Teorem

Aşağıdaki eşitlikler sağlanır.

i) n  3 için

1

,n k,n k,n , 2 k n, 3

k kn

M G G _ G _ G _ (3.15)

ii) n  2 için

, , , 1 , 2

kn kn kn kn

N G G _ G _ (3.16) iii) n  1 için

, 1

,n n ,

k k k n

S G G _ (3.17) iv) n  1 için

, , , 1 , 1

kn kn kn kn

M  N N _ S _ (3.18) v) n  2 için

, 2

,n n ,

k k k n

M S S _ (3.19)

İspat

i) Eş. 3.10 da _,

0

( ) _{k n} ⁿ

n

M x M x









^{ve ,}

0

( ) _{k n} ⁿ

n

G x G x









olarak alındığında

, , ,

0 0 0

1 (1 )

n n n

k n k n k n

n n n

M x G x k G x

x

  

  

    

  

bulunur. Son eşitliğin her iki yanı x ile çarpılırsa

1 1

, , ,

0 0 0

(1 )

n n n

k n k n k n

n n n

M x ^ G x k G x ^

  

  

  

  

1 1

, , ,

0 0 0

(1 )

n n n

k n k n k n

n n n

M x ^ G x k G x ^

  

  

  

  

2

,0 ,1 , 1 ⁿ ,0 ,1 , ⁿ (1 ) ,0

k k k n k k k n k

M xM x M _x G G xG x  k G x

2

,1 ,

(1 k G x) _k (1 k G x) _{k n} ⁿ

    

veya

, 1 , , 1

1 0 1

(1 )

n n n

k n k n k n

n n n

M _x G x k G _x

  

  

  

  

_{,0 , , 1}

1 1

(1 )

n n

k k n k n

n n

G x G x k G _ x

 

 

 











^{, , 1}



1

(1 ) ⁿ

k n k n

n

G k G _ x









 

elde edilir, buradan da n  1 olmak üzere M_{k n, 1} G_{k n,} (1k G) _{k n, 1} olduğu kolayca görülür. Tanım 3.4 gereği, n  4 için

, 1 , 1 , 2 , 3 , 4

k n Gk n Gk n Gk n Gk n

M _  _  _  _  _

bulunur. n  alınırsa istenen ifade elde edilir. n 1 ii) Eş. 3.12 de

, 0

( ) _{k n} ⁿ

n

N x N x









^{ve ,}

0

( ) _{k n} ⁿ

n

G x G x









olarak alındığında istenen ifade elde edilir.

iii) Eş. 3.14 te

, 0

( ) _{k n} ⁿ

n

S x S x









^{ve ,}

0

( ) _{k n} ⁿ

n

G x G x









olarak alındığında istenen ifade elde edilir.

iv) Eş. 3.15, Eş. 3.16 ve Eş. 3.17 ifadeleri göz önüne alınarak kolayca görülür.

v) Eş. 3.15 ve Eş. 3.17 ifadeleri göz önüne alınarak yine istenilen kolayca elde edilir.

Genelleştirilmiş k-Tetranacci dizileri için bazı toplam formülleri aşağıdaki teoremle verilebilir:

3.10. Teorem

i) n 2 için

, ,

, ,0 1 2 ,3 , 2 , 1 , , 1

0

1 ( 1) ( 1) 2 3

k i 2 k k k k k n k n kn k n

n i

k

k k

 k      _  _   _



  

           



(3.20) ii) n 1 için

,2 ,0 ,1 ,2 ,3 ,2 2 ,2 1

2 2

0

1 [( 1) ( 1)

( 2) ( 1)

k i k k k k k n k n

n i

k k k

k k

k k k

      _  _



  

     

  



(k1)_k,2n (k1)_k,2n1] (3.21) iii) n 1 için

,2 1 ,0 ,1 ,2 ,3 ,2 1 ,2

0

( 1

1 [ ( 1) (2 1)

( )

k i 2) k k k k k n k n

n i

k k k

k k k k

 _      _ 



     

    





(k1)_k,2n1(k1)_k,2n2] (3.22) iv) n 1 için

,3 ,0 ,1 ,2

3 2 2 2

0 2

1 [( 2 1) ( 2) ( 1)

( 2) ( 1) 2

k i k k k

n i

k k k k k k k

k k k

   



   

    

    





(k1)_k,3(k1)_{k n,3 1}k(k1)_{k n,3} (k²k1)_{k n,3 1}_{k n,3 2}] (3.23) v) n 0 için

,3 1 ,0 ,1 ,2

3 2 2

0 2

1 [( 1) ( 2 2) ( 1)

( 2) ( 1) 2

k i k k k

n i

k k k k k k

k k k

 _   



     

      





_k,3n k_k,3n1(k²k1)_k,3n2(k²2k1)_k,3n3] (3.24) vi) n 0 için

,3 2 ,0 ,1 ,2 ,3

3 2 2

0 2

1 [ ( 2 1) ( 1)

( 2) ( 1) 2 2

k i k k k k

n i

k k k k k k

k k k

 _    



      

      





_k,3n k_k,3n1(k²k1)_k,3n2(k²2k1)_k,3n3] (3.25) eşitlikleri sağlanır.

İspat

i) Tanım 3.5 ile verilen



^_{k n n N}^,



_ dizisinin tanımından aşağıdaki eşitlikler yazılır.

,4 ,3 ,2 ,1 ,0

k k k k k k

     

,5 ,4 ,3 ,2 ,1

k k k k k k

     

,6 ,5 ,4 ,3 ,2

k k k k k k

     



, 1 , , 1 , 2 , 3

k n k k n k n k n k n

 _    _  _  _ Bu eşitlikler taraf tarafa toplandığında

, ,0 ,1 ,2 ,3 , 1 , ,0 ,1 ,2 , ,0

0 ^{k i k k k k k n} 0 ^{k i k k k} 0 ^{k i k}

n n n

i i i

     k   

 _   

  

 

         



 





 

,1 , , ,0 , 1 ,

0 ^{k i}

k k n k k n k n

n i



    _ 





  



 

, ,0 , 2 , 1 ,

0

k i k k n k n k n

n i

   

 _{ }







   

bulunur ve düzenlenirse

, ,0 ,1 ,2 ,3 , 2 , 1 , , 1

0

( 1) ( 1) 2

2 3

( ) _{k i k k k k k n k n k n k n}

n i

k k k

k       _  _   _



       





 

elde edilir. k  olduğundan 1



^{k 2}



ifadesi hiçbir k değeri için sıfır olamaz, bu durumda

, ,

, ,0 1 2 ,3 , 2 , 1 , , 1

0

1 ( 1) ( 1) 2 3

k i 2 k k k k k n k n kn k n

n i

k

k k

 k      _  _   _





 

           



eşitliği elde edilir.

Eşitliklerin geri kalanı tümevarım yöntemi ile de ispatlanabilir.

ii) n 1 için

,2 ,0 ,1 ,2 ,3 ,0

1

,1

2 2

0

1 [( 1) ( 1) ( 1

( 2) )

k i k k k k k k

i

k k k k k

k k k

      



     

   

 



(k1)_k,2(k1)_k,3]

,0 ,2 ,0 ,2

2 2

1 [( 2 ) ( ) ]

( 2) k k _k k 2k _{k k k}

k k    

    

  

olup doğrudur.