Konu : Doğrusal Programlama ve Duyarlılık Analizleri Örnek : Üretme-satın alma karar problemi
Kaynak : An Introduction to Management Science - Quantative Approach to Decision Making, David R. Anderson vd., 2012 – (OR05-168)
Janders şirketi mühendisler ve işletmeciler için farklı konseptte ürünler üretmektedir. Firma iki yeni model hesap makinesini piyasaya sürmeye hazırlanmaktadır. İşletmeciler için üretilen hesap makinesine “Finansal Yönetici” adı verilirken, mühendisler için üretilene “teknisyen”
ismi verilmiştir.
Her bir hesap makinesi üç farklı bileşenden (Alt Taban, Elektronik Devre, Ön Yüz) oluşmaktadır. Taban bileşeni her iki modelde de aynı olarak kullanılırken, elektronik devre ve ön yüz bileşenleri model bazlı farklılık göstermektedir.
Bütün bileşenler fabrika içerisinde imal edilebilmektedir. Firma talebe yetişilmediği ve maliyet uygunluğu durumunda bileşenleri yarı mamul olarak dışarıya yaptırmayı da tercih edebilmektedir. Bileşenlerin üretim ve Satınalma maliyetleri aşağıdaki tablo verilmiştir.
Finansal Yönetici Teknisyen Üretim
Maliyeti Satınalma
Maliyeti Üretim
Maliyeti Satınalma Maliyeti
Alt Taban 0,50$ 0,60$ 0,50$ 0,60$
Elektronik Devre 3,75$ 4,00$ 4,00$ 3,90$
Ön Yüz 0,60$ 0,65$ 0,75$ 0,78$
Firma Finansal Yönetici modeline 3000 adet ve Teknisyen modeline 2000 adet talep olacağını tahmin etmektedir. Firmanın elinde üretim süreçlerinde kullanılabilecek normal mesai için 200 işgücü/saat ve fazla mesai için 50 işgücü/saatlik kapasite mevcuttur. Fazla mesai ile üretim gerçekleştirildiği durumlarda 9$ lık ek bir maliyete katlanılması gerekmektedir.
Her bir komponent için imalat süreçlerinde harcanan toplam süreler aşağıda verilmiştir.
İmalat Süreleri
Finansal Yönetici Teknisyen
Alt Taban 1,0 1,0
Elektronik Devre 3,0 2,5
Ön Yüz 1,0 1,5
Firmanın taleplerini en düşük maliyetle karşılayacağı matematiksel modeli oluşturunuz.
Firma hesap makinesi komponentlerini atölyelerinde üretmeyi mi, yoksa dışarıdan satın almayı mı tercih etmelidir? Eğer dışarıdan satıl alma kararı verildi ise, fazla mesai fiyatları ne kadar indirilmelidir ki firma satın almak yerine üretme kararını alsın?
ÇÖZÜM:
Soruyu çözmek için doğrusal programlama modellerinin çözümünde kullanılan 3 aşamalı bir yöntem yardımıyla matematiksel model oluşturulur.
Karar Değişkenlerinin Belirlenmesi:
Karar değişkenleri soru sonucunda aranan, bilinmeyen değişkenlerdir. Soru incelendiğinde 5 farklı bileşenden (Sorudaki tabloda verilmiş) ne kadar alınacağı ve ne kadar üretileceği bilinmemektedir. Bu durumda aşağıdaki karar değişkenleri oluşturulur.
: ş
: Ü
: ş ö ç
: ö ç ü
: ş ç
: ç ü
: ş ö ç ü
: ö ç ü ü
: ş ç ü
: ç ü ü
Soruda ihtiyacımız olan bir diğer karar değişkeni ise çizelgelenecek fazla mesai saatidir.
: Ç ş
Amaç Fonksiyonunun Belirlenmesi:
İkinci aşama amaçlanan doğruyu gerçekleyebilecek bir matematiksel denklemin yazılmasıdır.
Soruda daha uygun (mümkün olan en az) maliyetle üretme ve/veya satın alma sürecini gerçeklemek esastır. Bu açıdan aşağıdaki amaç fonksiyonu soruda verilen bilgiler ışığında oluşturulabilir.
= 0,5 + 0,60 + 3,75 + 4 + 3,3 +
3,9 + 0,6 + 0,65 + 0,75 + 0,78 + 9
Kısıtların Denklemlerinin Oluşturulması:
Üçüncü ve son aşama kısıtların oluşturulmasıdır. Bu bağlam soru dikkatlice okunmalı ve
“SADECE” karar değişkenleri kullanılarak kısıtlar yazılmalıdır.
İlk kısıtımız talep ile ilgilidir.
+ = 5000
+ = 3000
+ = 2000
+ = 3000
+ = 2000
( )
( ö )
( )
( ö Ö )
( Ö )
Fazla mesainin 50 saatten fazla olamayacağı da soruda ayrıca belirtilmişti.
≤ 50 ( )
Diğer bir kısıt ise üretim kapasitesi kısıtıdır. Her bir parçanın fabrika içerisindeki üretim süreleri dikkate alındığında elimizde 200 saatlik bir kapasitenin olduğunu söyleyebiliriz. Bu kapasite 200 ∗ 60 = 1200 ya tekabül etmektedir. Ayrıca gerek görüldüğünde kadar fazla mesai yapılabiliyorsa 60 ∗ kadar bir süre kapasiteye eklenmelidir.
+ 3 + 2,5 + + 1,5 ≤ 1200 + 60
Diğer bir ifade ile;
+ 3 + 2,5 + + 1,5 − 60 ≤ 1200
Bu şekilde artık modelin matematiksel ifadesini tamamlamış olduk.
Model çözebilmek için EXCEL içerisindeki “Çözücü” eklentisinden faydalanabiliriz. Çözücü kullanmada birinci dikkat edilecek husus, sorunun matematiksel modelinde yer alan her sayının EXCEL içerisinde yer almasını sağlamaktır. Bu amaçla aşağıdaki gibi bir EXCEL hesap tablosu oluşturulmalıdır.
Tabloda yer alan birinci kısım karar değişkenlerini göstermektedir. Bu alanda yer alan
“Miktar” sütunundaki sayılar çözücü eklentisi ile bulunmaktadır. Bu alanlar başlangıçta boş bırakılmalıdır.
Maliyet değerleri de ilgili karar değişkeni dikkate alınarak yerleştirilmelidir. Soruda verilen birim üretim saatleri de, maliyetlere benzer şekilde bir sütun hazırlanarak tabloya eklenmelidir.
Tabloda yer alan amaç fonksiyonu, miktar sütunundaki değerler ile (başlangıçta sıfır olduğundan şu anda sıfır olarak hesaplanmaktadır) maliyet sütunundaki değerlerin “TEK TEK”
çarpımından elde edilmelidir. Bu şekilde uzun serilerin çarpılıp, toplamlarının bulunması işlemi EXCEL içerisindeki aşağıdaki fonksiyonla kolayca hesaplanabilir.
15 = . Ç ( 3: 13; 3: 13)
Son olarak kısıt denklemleri oluşturulmalıdır.
19 = 3 + 4 ( )
20 = 5 + 6 ( )
21 = 7 + 8 ( )
22 = 9 + 10 ( Ü )
23 = 11 + 12 ( Ü )
25 = 13 ( )
27 = 3 ∗ 3 + 5 ∗ 5 + 7 ∗ 7 + 9 ∗ 9 + 11 ∗ 11 − 60
∗ 25 (Ü )
Çözücünün soruyu doğru çözmesi için aşağıdaki şekilde bir giriş gerçekleştirilmesi gerekmektedir.
Burada Hedef ayarla kısmında amaç fonksiyonunu hesaplatacağımız hücre seçilmelidir. Soru maliyetlerim minimize edilmesi sorusu olduğundan mutlaka “Hedef” alanında en küçük seçilmelidir. Ayrıca hesaplama sütunu (Karar değişkenleri kısmındaki Miktar sütunu)
“Değişken Hücreleri Değiştirerek” kısmında seri olarak belirtilmelidir.
Talep kısıtları eşitlik içerdiğinden Gerçekleşen değerin talebe eşit olacağı şekilde kısıtlar girilir. (Dikkat edilirse ilk beş kısıt, yani talep kısıtları eşitlik halinde çözücüye girilmiştir.) Fazla mesai ve üretim kısıtları ise, elde sınırlı kapasite olduğundan (hepsini kullanmak mecburi değil) küçük eşit olarak hazırlanır. Son olarak Pozitiflik şartı “Kısıtlanmamış Değişkenleri Pozitif Yap” alanı seçilerek eklenir. Çözüm yöntemi “Basit LP” seçilerek, “Çöz” komutuna
basılır. Excel bu durumda Miktar sütununu dolduracak, amaç fonksiyonu ve kısıt değerlerini hesaplayacaktır. Yeni tablo aşağıdaki gibidir.
Görüleceği üzere bazı bileşenler için üretim, bazıları için satın alma kararı verilmesi en uygun çözüm olarak ortaya çıkmıştır. Ayrıca firma hiç fazla mesai kullanmamıştır.
Acaba firma fazla mesai ücretlerini ne kadar indirirse, dışarı ürün üretmek yerine içeride fazla mesai yapmayı tercih edebilir?
Dışarıdan satın alınan ürünleri içeriden üretmek adına üretim maliyetleri ne kadar düşürülmelidir?
Bu ve benzeri bir çok soruyu analiz etmek için duyarlılık analizleri yapılmalıdır. Bu anlamda çözücü sonuç ekranında duyarlılık analizleri seçilmelidir.
Yukarıdaki duyarlılık raporları Çözücü tarafından oluşturulmuştur. Yukarıdan da görüleceği üzere firma eğer fazla mesai ile üretimi, dışarıdan satın almaya tercih edecekse (Fazla mesai değişkeni çözüme girecekse) Değişken hücreleri kısmındaki izin verilen azalış sütunu incelenmelidir. Görülmektedir ki, firma ancak saat başı fazla mesai maliyetlerini 4 dolar seviyesinin altına çektiğinde, satın alma yerine fazla mesai tercih edilecektir.
Bu değişimi daha doğru anlamak adına fazla mesai ücretini saatlik 3 dolara düşürüp tekrar çözücü ile modeli çözersek, yeni çözümleri elde ederiz. Aşağıdaki ekranda sorunun karşılaştırmalı çözümü yer almaktadır.
Yukarıdan da görüleceği üzere, fazla mesai ücreti düştüğünde firma satın almak yerine kendi içerisinde fazla mesai ile üretim yapmayı tercih etmiştir. Üretilen bileşen miktarları incelendiğinde, Finansal yönetici modeli için gereken elektronik devrelerin 1000 adeti dışarıda üretileceğine, artık firma içerisinde fazla mesai ile üretilecektir.
Peki üretim kapasitesinin duyarlılık analizi tablosunda verilen alt ve üst sınır ifadeleri ne manaya gelmektedir. Tablo incelendiğinde 12000 olan toplam üretim süresinin 2000 azalışla 10000 kadar düşmesine ve 7000 artışla 19000 e kadar çıkmasına izin veriliyor. Yani bu üretim süresi 10000 ila 19000 arasında değişirse çözümdeki değişkenler değişmez.
Aşağıdaki tabloda bu sonuçları daha net görebiliriz.
Görüldüğü üzere alt sınırın altına indiğinde tamamen üretim kararı verilen alt tabanın bir kısmı dışarıdan alınacak şekilde belirleniyor. Benzer şekilde üst sınırın üstü 20000 üretim kapasitesi durumunda da benzer şekilde satın alma kararı alınan Finansal Yönetici modeli alt kapağının bir kısmı üretilecektir. Diğer durumlarda ise üretim ve satın alma kararlarında bir değişiklik (miktarsal değişiklik dışında) olmamaktadır. Yani ürünün üretim miktarı değişse de, üretme kararından vazgeçilmemektedir.
Ayrıca duyarlılık tablosu incelendiğinde üretim kaynağının gölge fiyatının da −0,083 olduğu görülüyor. Bunun manası bu kaynakta 1 adetlik artış (yani bir üretim dakikası artışı) maliyeti 0,083 dolar düşürmektedir. Yani 12000 olan toplam üretim kapasitesi, örneğin, 15000 e yükseldiğinde, satın alma miktarları azalarak, üretilecek miktarlar çoğalacak bu şekilde toplam maliyetler 3000 ∗ 0,083 = 249$ düşecektir.
Konu : Doğrusal Programlama ve Duyarlılık Analizleri Örnek : Üretim ve Envanter Problemi
Kaynak : Spreadsheet Modeling & Decision Analysis, Cliff Ragsdale, 2012
Upton firması ürettiği hava kompresörleri için gelecek 6 aylık üretim miktarı ve stoklama seviyelerini belirlemek istemektedir. Malzeme ve hammadde fiyatlarında yaşanan mevsimsel dalgalanmalardan dolayı, üretim maliyetleri aydan aya farklılık göstermektedir. Benzer şekilde üretim kapasiteleri de, çalışılan işgünü sayısındaki farklılıklar (tatillerden dolayı), eğitim programlarına harcanan süreler, planlı bakımlar ve arızalar dikkate alındığında, her bir ay için farklı olarak hesaplanmıştır.
Aşağıdaki tablo Upton firmasının önümüzdeki 6 ay için yapmış olduğu, üretim maliyetleri, talep ve üretim kapasiteleri tahminlerini içermektedir.
Ocak Şubat Mart Nisan Mayıs Haziran Üretim Maliyeti 240$ 250$ 265$ 285$ 280$ 260$
Talep 1.000 4.500 6.000 5.500 3.500 4.000
Üretim Kapasitesi 4.000 3.500 4.000 4.500 4.000 3.500
Upton firması ay sonu stoklarının 6.000 birimden daha fazla olmasını istememektedir. Ayrıca müşteri hizmet seviyesini tutturmak adına her ay en az 1.500 stoğu güvenlik miktarı (emniyet stoğu) olarak tutmak istemektedir. Firma kararlı bir işyeri çalışma düzeni sağlamak edine, her ay üretim kapasitesinin en az %50 sini kullanmayı düşünmektedir. Firma bir birimi stokta bulundurmanın maliyetinin yaklaşık olarak, o ürünü üretmenin maliyetinin % 1,5 i olacağını öngörmektedir. (Elde bulundurma (stok tutma) maliyetleri hesaplanırken, dönem başı stok ve dönem sonu stok değerlerinin ortalamasının alındığı doğrusal bir fonksiyon kullanılmaktadır)
İlk ayın başında firmanın elinde 2750 birim başlangıç stoğu bulunduğunda göre;
Firma için talebi karşılayacak üretim miktarı ve stok seviyesini, elde bulundurma ve üretim maliyetlerinin minimize edecek şekilde hesaplayabilen matematiksel modeli kurunuz.
ÇÖZÜM:
Karar Değişkenlerinin Belirlenmesi:
Karar değişkenleri belirlenirken dikkat edilmesi gereken, bu değişken değerlerinin amacımızı kısıtlar ışığında belirlediği ve başlangıç bilinmediğidir. Sorumuz bir üretim planlama sorusu olduğundan bilinmeyen hangi ay ne kadar ürün üretileceğidir.
: 1. ü ü
: 2. ü ü
: 3. ü ü
: 4. ü ü
: 5. ü ü
: 6. ü ü
Soru incelendiğinde dönem başı stokların ve dönem sonu stokların başlangıçta bilinemeyeceği muhakkaktır. Fakat bu değerler üretim miktarı bulunduğunda otomatik olarak hesaplanabilir. Bu açıdan bakıldığından karar değişkenleri olarak düşünmek doğru olmaz. Bu açıdan kısıt denklemleri içerisinde ayrıca ele alınacaktırlar.
Amaç Fonksiyonunun Belirlenmesi:
Soruda iki farklı maliyet kalemi mevuttur. Üretim maliyeti ve Stoklama maliyeti. Bu maliyetlerin toplamı firma için toplam maliyeti oluşturmakta ve bu maliyetler minimize edilmelidir.
Üretim maliyeti aşağıdaki gibi hesaplanır.
Ü = 240 + 250 + 265 + 285 + 280 + 260
Stoklama maliyetleri ise ortalama stok değeri ile birik elde bulundurma maliyetinin çarpımından bulunur. Başlangıç stokları , , , , , ve dönem sonu stokları
, , , , , olmak üzere toplam stok tutma maliyeti aşağıdaki gibi hesaplanır.
= 3,6 +
2 + 3,75 +
2 + 3,98 +
2 +
4,28 +
2 + 4,2 +
2 + 3,9( +
2 )
Bu bilgiler ışığında amaç fonksiyonu aşağıdaki gibi yazılabilir.
= Ü +
= 240 + 250 + 265 + 285 + 280 + 260 +
3,6 +
2 + 3,75 +
2 + 3,98 +
2 +
4,28 +
2 + 4,2 +
2 + 3,9( +
2 ) Kısıtların Denklemlerinin Oluşturulması:
Öncelikler üretim seviyelerinin minimum ve maximum sınırlarını kısıt olarak yazman durumundayız.
Soruda verilen bilgilere göre aylık üretim kapasiteleri aşılmayacak, kapasite ne olursa olsun en az yarısı kadar üretim gerçekleştirilecektir.
2000 ≤ ≤ 4000 (1. ü )
1750 ≤ ≤ 3500 (2. ü )
2000 ≤ ≤ 4000 (3. ü )
2250 ≤ ≤ 4500 (4. ü )
2000 ≤ ≤ 4000 (5. ü )
1750 ≤ ≤ 3500 (6. ü )
Dönem sonlarındaki stokların seviyesinin 6000 birimi geçmemesi gerekliliği soruda verilmiştir. Emniyet stoğunun da 1500 olması gerekliliği de ayrıca belirtilmiştir. Bu durumda dönem sonu envanterin 1500 ile 6000 birim arasında olması istenmektedir.
1500 ≤ ≤ 6000
1500 ≤ ≤ 6000 1500 ≤ ≤ 6000 1500 ≤ ≤ 6000 1500 ≤ ≤ 6000 1500 ≤ ≤ 6000
Dönem sonu stoğun dönem başındaki miktara üretim düzeyi eklendikten sonra talebin çıkarılması ile bulunması beklenmektedir.
ö = ö ş + Ü − ş
= + −
Bu bilgiler ışığında, kısıt denklemleri aşağıdaki gibi tekrar düzenlenmelidir.
1500 ≤ + − 1000 ≤ 6000 (1. ö ö )
1500 ≤ + − 4500 ≤ 6000 (2. ö ö )
1500 ≤ + − 6000 ≤ 6000 (3. ö ö )
1500 ≤ + − 5500 ≤ 6000 (4. ö ö )
1500 ≤ + − 3500 ≤ 6000 (5. ö ö )
1500 ≤ + − 4000 ≤ 6000 (6. ö ö )
Son olarak kısıt denklemlerine kontrol amaçlı olarak dönem başı stok değerinin önceki döneme ait dönem sonu stok değerine eşit olacağı kontrolünü de ekleyelim.
= + − 1000
= + − 4500
= + − 6000
= + − 5500
= + − 3500
Yukarıdaki bütün formüllerin doğru bir şekilde EXCEL hesap tablosuna aktarılması gerekmektedir. Bu amaçla aşağıdaki EXCEL tablosu hazırlanmıştır.
Yukarıdaki tablodaki bazı değerlerin çok farklı görünmesinin nedeni karar değişkeni olan üretim miktarlarının henüz hesaplanmamış olmasıdır. Şimdi yukarıdaki denklemlerin EXCEL tablosuna nasıl aktarılacağını inceleyelim.
Öncelikle başlangıç stoğunun bir önceki dönemin kapanış stoğu olduğunu fark etmeliyiz. Bu açıdan bakarsak başlangıç stokları aşağıdaki gibi hesaplanır.
4 = 2750 4 = 7 4 = 7 4 = 7 4 = 7 4 = 7
İlk ayın dönem başı değerinin 2750 olarak soruda verildiğine dikkate ediniz. Üretim miktarı satırı karar değişkeni olduğundan, çözücü tarafından hesaplanacaktır. Ürün talebi değeri ise soruda zaten verilmiştir.
Dönem sonu stok değerleri, Dönem başı stoğa üretim miktarı eklendikten sonra satışların çıkarılması ile bulunuyordu. Bu şekilde hazırlanan EXCEL formülleri aşağıda verilmiştir.
7 = 4 + 5 – 6 7 = 4 + 5 – 6 7 = 4 + 5 – 6 7 = 4 + 5 – 6 7 = 4 + 5 – 6 7 = 4 + 5 – 6
Minimum üretim miktarları maksimum üretim miktarlarının yarısı olarak soruda verilmişti.
Benzer şekilde minimum ve maksimum stok düzeyleri ve birim maliyetler (üretim ve elde bulundurma) soru metni içerisinde belirtilmişti.
Aylık üretim maliyeti satırı ise, üretim miktarı ile birim üretim maliyetinin çarpımı şeklinde hesaplanmaktadır.
18 = 5 ∗ 15 18 = 5 ∗ 15 18 = 5 ∗ 15 18 = 5 ∗ 15 18 = 5 ∗ 15 18 = 5 ∗ 15
Aylık stoklama maliyetleri ortalama stok düzeyi ile elde bulundurma maliyetlerinin çarpımı ile bulunur. Soruda stok bulundurma işleminin doğrusal olduğu farz edilmiştir. Bundan dolayı sorudaki ortalama stok düzeyi dönem sonu ile dönem başının ortalaması şeklinde hesaplanmaktadır.
19 = 16 ∗ (( 4 + 7)/2) 19 = 16 ∗ (( 4 + 7)/2) 19 = 16 ∗ (( 4 + 7)/2) 19 = 16 ∗ (( 4 + 7)/2) 19 = 16 ∗ (( 4 + 7)/2) 19 = 16 ∗ (( 4 + 7)/2)
Son olarak toplam maliyet hücresi 6 ay boyunca bütün maliyetleri toplayacak şekilde aşağıda sunulmuştur.
21 = ( 18: 19)
Yukarıdaki EXCEL formülleri doğru şekilde hazırlandıktan sonra Çözücü eklentisine doğru şekilde sunulmalıdır. Uygun Çözücü giriş ekranı aşağıda verilmiştir.
Ekranda kısıtlar girilirken tek tek girmek yerine seri olarak seçildiğine dikkat ediniz. Örneğin birinci kısıt bütün dönemlerdeki üretim miktarlarının yine aynı dönemlerdeki üretim kapasitelerinden küçük olması gerekliliğini göstermektedir. Altı farklı karar değişkeni için 6 farklı kısıt tek bir ifade ile çözücü ekranına girilmiştir. Çözücünün çözümünden sonra oluşan sonuç tablosu aşağıda verilmiştir.
Sorunun çözümü incelendiğinde 4. Ay hariç bütün aylarda üretim kapasitesinin tam olarak kullanıldığı görülmektedir. Toplam maliyetin ise 6.209.403$ olarak oluştuğu görülmektedir.
Konu : Doğrusal Programlama ve Duyarlılık Analizleri Örnek : Ulaştırma Problemi
Kaynak : Orjinal
XYZ firması büyük bir otomotiv firması için fason üretimler gerçekleştiren bir imalatçıdır. Bu amaçla kurduğu tesiste toplam 4 adet atölyesi bulunmaktadır. Firma daha otomotiv firmasında gelen sürekli taleplere en kısa zamanda cevap verebilmek adına 1 aylık üretim miktarı kadar stokları elinde bulundurma istemektedir.
Firmanın dört farklı atölyesinin günlük üretim miktarları aşağıdaki tabloda verilmiştir.
Aylık Üretim Miktarları (Kutu)
Atölye 1 4500
Atölye 2 2000
Atölye 3 3000
Atölye 4 3000
Firma ayrıca tesisinin içerisinde üç farklı lokasyonda kurulmuş olan yarı mamul depolarına stoklama yapmaktadır. Her bir deponun stoklama hacmi aşağıdaki tabloda verilmiştir.
Stoklama Hacimleri (Kutu)
Depo 1 3500
Depo 2 5000
Depo 3 4000
Firma ürettikleri ürünleri taşımak adına özel taşıyıcılar kullanmakta, bu da firmaya taşıma mesafelerinin artmasından dolayı ekstra maliyetler getirmektedir. Depolar ile atölyeler arasındaki mesafeler metre cinsinde aşağıdaki tabloda sunulmuştur.
Atölye 1 Atölye 2 Atölye 3 Atölye 4
Depo 1 240 180 300 270
Depo 2 270 360 390 210
Depo 3 420 240 480 150
Firma taşıma mesafelerini en aza indirerek maliyetlerini düşürmek istemektedir. Gerekli matematiksel modeli tasarlayınız.
Eğer firma bir yatırım yaparak ilk depolama alanının 6000 birime kadar yükseltirse taşıma maliyetlerinde nasıl bir değişiklik olur?
ÇÖZÜM:
Soru kuruluş yeri seçimi ile alakalı bir sorudur. Burada amaç temel karar kriteri olan taşıma mesafelerini minimize ederek, minimum taşıma maliyeti oluşturacak şekilde depo kullanımlarını planlamaktır. Ulaştırma modeli olarak da adlandırılan bu modeller de yöneylem araştırması doğrusal programlama yaklaşımları ile çözülebilirler.
Karar Değişkenlerinin Belirlenmesi:
Ulaştırma modellerinde karar değişkenleri satır * sütun sayısı kadardır. Sorunuz özelinde incelersek atölye sayısı ile depo sayısının çarpımı şeklinde bulunabilir.
: . ö . ö
Amaç Fonksiyonunun Belirlenmesi:
Soruda temel amaç maliyetlerin taşıma maliyetlerinin minimizasyonudur. Bu amacı doğrulayacak amaç fonksiyonu aşağıda sunulmuştur.
= 240 + 180 + 300 + 270 + 270 + 360 +
390 + 210 + 420 + 240 + 480 + 150 Kısıtların Denklemlerinin Oluşturulması:
Soruda iki tür kısıt vardır. İlk kısıt türü ulaştırma modellerinde talep kısıtları olarak adlandırılır. Soruda ise depoların stoklama kapasiteleri bu kısıta karşılık gelir. Her bir depoya 4 farklı atölyeden gelen miktarların toplamı, deponun stoklama kapasitesini geçemez. Bu kural aşağıdaki şekilde modele eklenmelidir.
+ + + = 3500 ( 1 ç )
+ + + = 5000 ( 2 ç )
+ + + = 4000 ( 3 ç )
İkinci tür kısıtlar ise ulaştırma modellerinde arz kısıtı olarak adlandırılır. İncelenen soruda arz kısıtları üretim yapan atölyelerin üretim kapasitelerine denk gelmektedir. Bir atölyeden farklı depolara stoklanması için gönderilen miktarlar, toplam üretim miktarını aşamaz. Bu şekilde bir ifade aşağıdaki eşitlikler yardımıyla modele aktarılır.
+ + = 4500 ( ö 1 ç ü )
+ + = 2000 ( ö 1 ç ü )
+ + = 3000 ( ö 1 ç ü )
+ + = 3000 ( ö 1 ç ü )
Artık uygun şekilde hazırlanmış olan model EXCEL içerisine aktarılabilir.
Amaç fonksiyonu değişken hücresi matrisi ile maliyet matrisinin çarpımı şeklinde olmalıdır.
Bu şekildeki bir formül aşağıdaki gibi düzenlenebilir.
8 = . Ç ( 4: 6; 12: 14)
Birinci tip kısıt denklemlerindeki (talep kısıtlarındaki) gerçekleşen kullanım oranları aşağıdaki formüllerle hesaplanır.
12 = 4 + 4 + 4 + 4 13 = 5 + 5 + 5 + 5 14 = 6 + 6 + 6 + 6
Arz kısıtlarının (üretim kısıtları) hesaplama formülleri ise aşağıdaki gibidir.
16 = 4 + 5 + 6 16 = 4 + 5 + 6 16 = 4 + 5 + 6 16 = 4 + 5 + 6
Formüller hazırlandıktan sonra Çözücü ekranına aşağıdaki gibi giriş gerçekleştirilir.
Excel çözücü aşağıdaki şekilde bir çözüm önerisinde bulunmuştur.
Çözüm incelendiğinde Atölye 1 deki bütün ürünlerin Depo 2 ye ve Atölye 4 deki bütün ürünlerin Depo 3 e gönderileceği görülmektedir. Atölye 2 ve Atölye 3 içerisinde üretilen ürünler ise farklı depolara paylaştırılmıştır. Toplam taşıma mesafesi 3 kilometrenin biraz üzerinde çıkmıştır.
Peki Depo 1 in 3500 olan kapasitesi 6000 çıkarılabiliyorsa sonuç nasıl değişir?
Bu sorunun cevabını anlayabilmek adına önce duyarlılık raporlarını inceleyelim.
Duyarlılık raporlarının değişkenlerin maliyet değişimlerinin incelendiği kısmı bu soru için incelemeye almadık. Çünkü kullanılan taşıyıcıların değişmediği ve stoklama alanlarının taşınamayacağı öngörülürse maliyet değişimini araştırmak anlamsızdır.
Depo 1 için gölge fiyat -90 olarak görülmektedir. Yani bu deponun hacmindeki 1 birimlik artış bize 90 metre daha az mesafe gitme avantajı sağlayacaktır. Fakat çözümü değiştirmeden ancak 500 birim arttırabiliriz. Eğer sorudaki gibi 6000 birime yükseltmeyi tercih edersek, yani 2500 birimlik bir artış söz konusu ise o zaman tamamen farklı bir çözüm olacaktır. Bu açıdan bakıldığında soruda sadece talep kısıtlarını “eşittir” ifadesinden “küçük eşit” ifadesine çevirmek ve kapasiteyi 6000 birime yükseltmek ve soruyu tekrar çözmek gereklidir. Çünkü depo kapasiteleri toplamı üretim kapasitesinden fazla olduğundan artık hepsi kullanılmayacak, bu yüzden “küçük eşit” ifadeleri ile gösterilecektir. Bu şekilde bazı depolarda kullanılmayan alanlar olmasına izin verilir.
Görüldüğü üzere toplam taşıma mesafelerinde bir azalma meydana gelmiştir. Çünkü bir kaynakta meydana gelen artış, karar verme süreçlerine olumlu yönde etki eder. Önceki çözümde daha düşük maliyetli bir seçim, dengeli kapasite durumundan dolayı göz ardı edilebilirken bu soruda dikkate alınmaktadır.
Çözüm ekranına tekrar bakarsak çözümün tamamen değiştiğini, artık yeni bir dağıtım planı yapıldığını görebiliriz. Dikkat edilmesi gereken bir başka hususta gölge fiyatı -90 olan bir kaynaktan 2500 birim arttırma yapmamıza rağmen toplam düşüşün 90*2500=225000 değil
135000 olduğudur. Çünkü gölge fiyatlar duyarlılık analizinde görülen izin verilen artış ve azalış sınırları dahilinde anlamlıdır.
