PERMÜTASYON KOMBİNASYON OLASILIK 1

(1)

PERMÜTASYON KOMBİNASYON

OLASILIK

1

(2)

SAYMANIN TEMEL İLKELERİ VE

FAKTÖRİYEL KAVRAMI

(3)

Toplama Yoluyla Sayma

Ayrık iki olaydan biri m farklı biçimde, diğeri n farklı biçimde oluşuyorsa bu iki olaydan biri veya diğeri m+n farklı biçimde oluşur.

(4)

Örnek 1

Birbirinden farklı 5 kitap ile birbirinden farklı 3 defterden 1 kitap veya 1 defter kaç farklı biçimde satın alınabilir?

(5)

Çözüm 1

I. olay : 5 farklı kitaptan birini satın almak 5 farklı biçimde gerçekleşir.

II. olay : 3 farklı defterden birini satın almak 3 farklı biçimde gerçekleşebilir.

I. veya II. olay 5 + 3 = 8 değişik biçimde gerçekleşebilir.

(6)

Çarpma Yoluyla Sayma

Bir olaylar dizisinde;

I. olay m değişik biçimde bunu izleyen II. olay n değişik biçimde bunu izleyen III. olay p değişik biçimde bunu izleyen

…

x. olay r değişik biçimde gelişiyorsa

olayların tamamı m.n.p...r değişik biçimde gerçekleşir.

(7)

Örnek 2

Birbirinden farklı 5 kitap ile birbirinden farklı 3 defterden 1 kitap ve 1 defter kaç farklı biçimde satın alınabilir?

(8)

Çözüm 2

I. olay : 5 farklı kitaptan birini satın almak 5 farklı biçimde gerçekleşir.

II. olay : 3 farklı defterden birini satın almak 3 farklı biçimde gerçekleşebilir.

I. ve II. olay 5.3 = 15 değişik biçimde gerçekleşir.

(9)

Örnek 3

2 mektup, 4 posta kutusuna kaç değişik biçimde atılabilir?

(10)

Çözüm 3

I. mektup 4 posta kutusundan herhangi birine 4

II. mektup 4 posta kutusundan herhangi birine 4 farklı biçimde atılabileceğinden

2 mektup 4 posta kutusuna 4.4 = 16 değişik biçimde atılabilir.

(11)

Örnek 4

2 mektup, 4 posta kutusuna her kutuya en çok 1 mektup atmak koşuluyla kaç farklı biçimde atılabilir?

(12)

Çözüm 4

I. mektup 4 posta kutusundan birine 4

II. mektup geriye kalan 3 posta kutusundan birine 3 farklı biçimde atılabileceğinden

2 mektup, 4 posta kutusuna her kutuya en çok 1 mektup atmak koşuluyla 4.3 = 12 farklı biçimde atılabilir.

(13)

Örnek 5

A= {1, 2, 3, 4, 5}

kümesinin elemanları ile üç basamaklı a. Kaç değişik sayı yazılabilir?

b. Rakamları farklı kaç değişik sayı yazılabilir?

c. 200 den büyük, rakamları farklı, kaç değişik sayı yazılabilir?

(14)

Çözüm 5

Yüzler Basamağı Onlar Basamağı Birler Basamağı

5 5 5

5 rakam arasından 5 farklı

biçimde seçilir.

a)

Bu durumda 5.5.5 = 125 değişik sayı yazılır.

(15)

Çözüm 5

5 4 3

biçimde seçilir.

Geri kalan 4 rakam arasından

4 farklı biçimde seçilir.

b)

(16)

Çözüm 5

4 4 3

biçimde seçilir.

c)

(17)

Faktöriyel Kavramı

1 den n ye kadar olan ardışık doğal sayıların çarpımına “n faktöriyel” denir. Bu ifade n! biçiminde gösterilir.

n! = 1.2.3.4. ... .(n–1).n 0! = 1

1! = 1

2! = 2.1 = 2 3! = 3.2.1 = 6 4! = 4.3.2.1 = 24 5! = 5.4.3.2.1 = 120

Genel olarak; n! = n(n–1)! = n(n–1)(n–2)! yazılabilir.

(18)

Faktöriyel Özellikleri

1) 0! = 1’dir.

2) Sonucu tek sayı olan faktöriyeller 0! ve 1! ‘dir. Diğer tüm faktöriyellerin sonucu çift sayıdır.

3) Büyük faktöriyel kendisinden küçük olan herhangi bir faktöriyele indirgenebilir.

4) Büyük faktöriyel, küçük faktöriyelin çarpanlarını içerisinde

bulundurmaktadır. Bunun için küçük faktöriyeli tam bölen her sayı büyük faktöriyeli de kesinlikle tam böler.

5) 5! ve sonrasında gelen faktöriyellerin son basamağında kesinlikler 0 bulunur.

(19)

Örnek 6

A = 0! + 2! + 4! + 6! + ... + 20!

sayısının birler basamağındaki rakam kaçtır?

(20)

Çözüm 6

5! den itibaren 20! e kadar olan tüm sayıların birler basamağında sıfır vardır. Bu durumda

0! + 2! + 4! toplamı belirleyici olacaktır.

0! + 2! + 4! = 1 + 2 + 24 = 27

A sayısının birler basamağındaki rakam 7 dir.

(21)

Örnek 7

A, m, n ∈ N⁺ olmak üzere, 𝐴 = 28!

2^𝑚. 3^𝑛

olduğuna göre, m + n toplamı en çok kaçtır?

(22)

Çözüm 7

(23)

PERMÜTASYON (SIRALAMA)

n ≥ r olmak koşuluyla n elemanlı bir kümenin birbirinden farklı r tane elemanından oluşan sıralı r lilerin her birine “n nin r li permütasyonu”

denir ve P (n, r) biçiminde gösterilir.

𝑃 𝑛, 𝑟 = 𝑛!

𝑛 − 𝑟 !

Not: P (n , n) = n!

P (n , 0) = 1

P (n , 1) = n dir.

(24)

Örnek 8

2 kız ve 3 erkek yan yana

a. Kaç farklı biçimde sıralanabilir?

b. Kızlar bir arada olmak koşuluyla kaç farklı biçimde sıralanabilir?

c. Bir erkek, bir kız düzeninde kaç farklı biçimde sıralanabilir?

(25)

Çözüm 8

a. 2 + 3 = 5 kişi hiçbir koşul yoksa 5! = 120 değişik biçimde sıralanabilir.

b. K1 K2 E1 E2 E3

Kızlar bir arada olacağından tek bir eleman gibi düşünülmeli, ancak kızların kendi arasında yer değiştirme durumu göz ardı edilmemelidir.

Bu durumda istenen dizilişlerin sayısı 4! . 2! = 48 dir.

c. E K E K E düzeninde sıralanacaklarından önce erkekler 3!, sonra kızlar 2! değişik biçimde dizilir. Saymanın temel ilkesine göre, 3! . 2! = 12

değişik sıralama elde edilir.

(26)

Örnek 9

A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

kümesinin 3 lü permütasyonlarının kaç tanesinde 5 elemanı bulunur?

(27)

Çözüm 9

A kümesinin tüm 3 lü permütasyonlarının sayısından 5 elemanının bulunmadığı bir başka deyişle

{1, 2, 3, 4, 6} kümesinin 3 lü permütasyonlarının sayısı çıkarılmalıdır.

P(6,3) – P(5,3) = 6.5.4 – 5.4.3 = 60

(28)

Dönel (Dairesel ) Permütasyon

Birbirinden farkı n tane elemanın bir daire üzerinde birbirine göre, farklı dizilişlerinden her birine n tane elemanın “dönel (dairesel)

permütasyonu” denir.

n tane elemanın dairesel permütasyonlarının sayısı (n–1)! dir.

(29)

Örnek 10

6 öğrenci belli iki tanesi yan yana olmak koşuluyla yuvarlak bir masa etrafına kaç farklı biçimde dizilebilir?

(30)

Çözüm 10

Yan yana olması gereken 2 eleman tek bir eleman gibi düşünülecek olursa dizilecek eleman sayısı 5 olur.

Dönel sıralanacaklarından tüm dizilişlerin sayısı;

(5–1)! . 2! = 48 dir.

(Buradaki 2! Belli iki elemanın kendi aralarında yer değiştirme sayısıdır.)

(31)

Tekrarlı Permütasyon

n elemanlı bir kümenin n1 tanesi aynı tür,

n2 tanesi aynı tür, nr tanesi aynı tür ve

n = n1 + n2 + n3 + ... + nr ise bu n tane elemanın farklı dizilişlerinin sayısı

𝑃 𝑛; 𝑛₁, 𝑛₂, … , 𝑛_𝑟 = 𝑛!

𝑛₁ !. 𝑛₂ ! … 𝑛_𝑟 ! formülüyle hesaplanır.

(32)

Örnek 11

KAYNANA sözcüğündeki harflerin yerleri değiştirilerek anlamlı ya da anlamsız, 7 harfli kaç değişik sözcük yazılabilir?

(33)

Çözüm 11

7!

3! . 2! = 420

(2! 2 tane N harfi için, 3! 3 tane A harfi için)

(34)

Örnek 12

2200324 sayısının rakamları yer değiştirilerek 7 basamaklı kaç değişik sayı yazılabilir?

(35)

Çözüm 12

Verilen, 7 rakamın yerleri değiştirildiğinde

7!

3! .2! = 420 değişik sayı yazılabilir.

Ancak 7 tane rakamın 2 tanesi sıfır olduğundan oluşan sayıların ²

7si sıfırla başlayacak ve 7 basamaklı olmayacaktır. Bu durumda istenilen özellikteki 7 basamaklı sayılar,

420 . ⁵

7 = 300 tanedir.

(36)

Alıştırma 1

Bir kırtasiyede bulunan 4 farklı kurşun kalem, 3 farklı silgi ve 5 farklı

defterden birer tane almak isteyen bir kişi bu seçimini kaç farklı biçimde yapabilir?

(37)

Alıştırma 2

Bir müzik yarışmasına 7 şarkıcı katılıyor.

Bu yarışmada ilk üç yarışmacının sıralanması kaç farklı biçimde olur?

(38)

Alıştırma 3

6! + 7!

8!

İşleminin sonucu kaçtır?

(39)

Alıştırma 4

90 tane ikili permütasyonu olan küme kaç elemanlıdır?

(40)

Alıştırma 5

A= {1, 2, 3, 4, 5, 6}

kümesinin 4 lü permütasyonlarının kaç tanesinde 5 bulunur?

(41)

Alıştırma 6

P(n,3) = 6 . P(n – 1, 2)

olduğuna göre, P(n, 4) değeri kaçtır?

(42)

Alıştırma 7

A= {4, 5, 6, 7, 8}

kümesinin elemanlarını kullanarak üç basamaklı, rakamları farklı, 5 ile tam bölünen kaç farklı sayı yazılabilir?

(43)

Alıştırma 8

4 evli çift, evli çiftler yan yana gelmek koşuluyla yuvarlak bir masa etrafında kaç farklı biçimde oturabilir?