Lineer pozitif operatörler ve konvekslik özellikleri

(1)

KIRIKKALE ÜNøVERSøTESø FEN BøLøMLERø ENSTøTÜSÜ

MATEMATøK ANABøLøM DALI YÜKSEK LøSANS TEZø

LøNEER POZøTøF OPERATÖRLER VE KONVEKSLøK ÖZELLøKLERø

ALøùAN HANÇER

KASIM 2006

(2)

ÖZET

LøNEER POZøTøF OPERATÖRLER VE KONVEKSLøK ÖZELLøKLERø

HANÇER, Aliúan Kırıkkale Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü

Matematik Anabilim Dalı, Yüksek Lisans Tezi Danıúman : Yrd. Doç. Dr. Ali ARAL

Kasım 2006, 42 sayfa

Bu yüksek lisans tezinin amacı operatör, lineer operatör ve sınırlı lineer operatör kavramları göz önüne alınarak bilinen bazı sonuçlar verilmiútir. Aynı zamanda iki de÷iúkenli Shepard operatörleri ve iki de÷iúkenli Hermite-Fejer polinomları ile kısmıúekil koruyan yaklaúımlar incelenmiútir.

Anahtar Kelimeler: Shepard operatörü, Hermite-Fejer polinomları, konveks fonksiyon, kesin konveks fonksiyon.

(3)

ABSTRACT

LINEAR POSITIVE OPERATORS AND CONVEXITY PROPERTIES

HANÇER, Aliúan Kırıkkale University

Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Mathematics, M. Sc. Thesis

Supervisor : Asst. Prof. Dr. Ali ARAL November 2006, 42 pages

The purpose of this thesis, considering the concept of the operator, linear operator and limited operator some known results are given. Also the partial shape preserving approximation by bivariate Shepard operators and bivariate Hermite- Fejer polynomials have been studied.

Key Words: Shepard operator, Hermite-Fejer polynomials, convex function, strictly

convex function.

(4)

TEŞEKKÜR

Bu tezin hazırlanmasında görüş ve yardımlarını esirgemeyen, yol gösteren değerli danışman hocam Yrd. Doç. Dr. Ali ARAL ’a, ayrıca benden manevi desteğini hiçbir zaman esirgemeyen sevgili eşim Hatice ASLAN HANÇER ’e en içten teşekkürlerimi sunarım.

(5)

İÇİNDEKİLER

ÖZET ……….………. i

ABSTRACT ………....….……… ii

TEŞEKKÜR ………...……… iii

İÇİNDEKİLER …... iv

SİMGELER DİZİNİ …...………...………. v

1. GİRİŞ ..………...………1

1.1.Kaynak Özetleri...2

1.2 Çalışmanın Amacı……… 3

2. MATERYAL VE YÖNTEM………4

2.1.Bazı Temel Tanım ve Teoremler...4

3. ARAŞTIRMA BULGULARI………...9

3.1. İki Değişkenli Shepard Operatörle Kısmi Şekil Koruyan Yaklaşımlar….9 3.2. İki Değişkenli Shepard Operatörler………..10

3.3. İki Değişkenli Hermite-Fejer Polinomları İle Kısmi Şekil Koruyan Yaklaşım…...28

3.4. İki Değişkenli Hermite-Fejer Polinomları.………...29

4. TARTIŞMA VE SONUÇ……….41

KAYNAKLAR……….. 42

(6)

SøMGELER DøZøNø

L Lineer uzay

T Lineer operatör

( , )

B X Y Sınırlı lineer operatörler kümesi

Reel veya kompleks sayılar cismi

` Do÷al sayılar kümesi

\ Reel sayılar kümesi

Norm fonksiyonu

S Shepard operatörü

F Hermite-Fejer polinomu

J Jacobi polinomu

(7)

1.GøRøù

1960 lı yıllarda Popoviciu yaptı÷ı çalıúmalarda Jakobi noktalarına dayanan tek de÷iúkenli Hermite-Fejer polinomları sınıfı için, bir f fonksiyonunun monoton oldu÷u nokta civarındaki bazı noktaların varlı÷ının korundu÷unu göstermiútir. Daha sonra bunlara ek olarak f nin konveksli÷i göz önüne alınarak problemler, Shepard operatörler, Grunwald interpolation polinomları ve Kryloff-Stayermann interpolation polinomları için araútırılmıútır. Bu çalıúmamızda D\², f D: o\ olmak üzere f ye ba÷lı iki de÷iúkenli Shepard interpolation operatörle kısmi úekil koruyan yaklaúımları verilmiútir. Ayrıca f fonksiyonunun kesin konveksli÷i gösterilerek, alınan komúuluklara göre f ye ba÷lı iki de÷iúkenli lineer operatörlerin úekil koruyan yaklaúımları incelenmiútir.Bunlara ba÷lı olarak bazı sonuç teoremleri ve bunların ispatları yer almıútır. Bununla birlikte iki de÷iúkenli Hermite-Fejer polinomları tanımlanarak bu polinomlar ile kısmi úekil koruyan yaklaúımlar sunulmuútur. Çalıúmada ^f ^:

>

^{a b}^,

@ >

^u ^{c d}^,

@

o \ tanımlı fonksiyonun iki boyutsal (veya hiperbolik üstten monoton) ve iki boyutsal (hiperbolik alttan monoton) olma úartları verilmiútir. Son olarak f fonksiyonun kesin double konvekslik tanımı verilerek Hermite-Fejer polinomları bu baúlık altında incelenmiútir.

(8)

1.1. Kaynak Özetleri

G. A. Anastassiou ve S. G. Gal ın 2000 yılında yapmıú oldukları çalıúmada iki de÷iúkenli Shepard operatörle kısmi úekil koruyan yaklaúımları incelemiúlerdir.

1960 -61 yıllarında Popoviciu ⁽¹⁾, Jakobi noktalarına dayanan tek de÷iúkenli Hermite-Fejer polinomlarının sınıfı için bir f fonksiyonunun monoton oldu÷u noktanın civarındaki bazı noktaların varlı÷ını korudu÷unu göstermiútir. S. G. Gal ve J. Szabados ⁽²⁾ 1999 yılında interpolasyon operatörler ile kısmı úekli koruyan yaklaúımları göstermiútir. 1965 yılında O. Shisha ve B. Mond ⁽³⁾ bir veya çok de÷iúkenli fonksiyonlar için Hermite-Fejer yaklaúımlarının yakınsaklık hızını vermiúlerdir. S. G. Gal ⁽⁴⁾ Kryloff-Stayermann interpolasyon polinomlarıyla kısmi úekil koruyan yaklaúımları göstermiútir. D. Shepard ⁽⁵⁾ 1968 yılında düzenli uzay nıktaları için iki boyutsal interpolasyon fonksiyonu üzerine çalıúma yapmıútır. R. E.

Barnhill, R. P. Dube ve F. F. Little ⁽⁶⁾ 1983 yılındaki çalıúmalarında Shepard yüzeyinin özelliklerini incelemiúlerdir. Bununla birlikte operatörler için yaklaúım teorisi ile ilgili di÷er ayrıntılara (7), (8), (9), (10), (11), (12), (13), (14), (15) ve (16) ıncı referanslara bakılabilir.

(9)

1.2. Çalıúmanın Amacı

Bu yüksek lisans tezinde 1.1. Kaynak Özetlerinde adı geçen çalıúmaların bir derlemesi ve burada verilen teoremler iliúkilendirilerek yeni çalıúmaların oluúturulması amaçlanmıútır.

(10)

2. MATERYAL VE YÖNTEM

Bu bölümde lineer uzay, normlu konveks uzay ve bunlarla iliúkili ve ileriki kısımlarda kullanılacak bazı tanım, lemma ve önermeler verilmiútir.

2. 1. Bazı Temel Tanım ve Teoremler

Tanım 2.1.1: L boú olmayan bir cümle ve , reel veya kompleks sayılar cismi olsun.

Aúa÷ıdaki úartlar sa÷lanıyorsa L’ ye üzerinde lineer uzay (veya vektör uzayı) denir:

A) L, + iúlemine göre de÷iúmeli gruptur. Yani

L1) Her x y,  için x yL dir (kapalılık özelli÷i). L

L2) Her , ,x y z için L x(yz) (xy) dir (birleúme z özelli÷i).

L3) Her xL için x T T x x olacak úekilde TL vardır (özdeú eleman özelli÷i).

L4) Her xL için x ( x) ( x) olacak úekilde x T x L vardır(ters eleman özelli÷i).

L5) Her ,x y için L x y y x dir(de÷iúme özelli÷i).

B) ,x y ve ,L D E olmak üzere aúa÷ıdaki úartlar sa÷lanır:

L1)D x L dir (skalerle çarpmaya göre kapalılık ) L2)D(xy) dir. D x D y

L3) (D E )x dir. D x E x

(11)

L5)1 x x dir(Burada 1,’ nin birim elemanıdır).

\ olması halinde L ye reel; ^ olması halinde ise L’ ye kompleks lineer uzay denir.

Tanım 2.1.2: N bir lineer uzay olsun.

: No \

fonksiyonunun x’ deki de÷erini x ile gösterelim. Bu fonksiyon aúa÷ıdaki úartları sa÷lıyorsa ’ ye N’ de (veya N üzerinde) norm denir.

N1) x 0 x T dır.

N2) Dx D x dır (D ).

N3) xy d x y dır (üçgen eúitsizli÷i).

lineer uzay üzerinde bir norm tarif edilmiúse bu uzaya normlu lineer uzay denir.

Normlu lineer uzayları ( ,N ) veya N ile gösterece÷iz. Lineer uzay olarak N, reel ise normlu uzaya normlu reel uzay; kompleks ise N’ ye normlu kompleks uzay denir.

Tanım 2.1.3: X Y lineer normlu uzaylar olmak üzere , T X: oY dönüúümüne operatör denir.

X ve Y lineer (vektör) uzay ve cisim olmak üzere e÷er

L )1 x x₁, ₂X için T x( ₁x₂) T x( )₁ T x( )₂

1)

L D (\ veya ^ cismi) ve x X için (T Dx) DT x( ) ise T ’ ye lineerdir denir.

Önerme 2.1.1: T lineer operatör ise

(12)

( _X) _Y

T T T

dir.

Tanım 2.1.4: T X: oY bir lineer operatör olsun. D T , T ’ nin tanım kümesini ( ) göstersin. E÷er ( ) x D T için

( )Y X

T x dM x

olacak biçimde bir M !0 sayısı varsa T operatörüne sınırlıdır denir.

Lemma 2.1.1: T D T: ( )X o sınırlı lineer operatör Y

X^, X

ve

^Y^,

_Y

normlu lineer uzaylar olsun.

1⁰) ( )

sup

X

Y

x X

T T x

x

T z

úeklinde tanımlanan dönüúüm norm aksiyomlarını sa÷lar. Burada

^ `

( , ) : sınırlı lineer operatör B X Y T T X oY

olmak üzere TB X Y( , )’ dir.

2⁰)

^ `

1

sup ( )

X

x Y

T T x

yazılabilir.

Bir operatörün sınırlı olmadı÷ını göstermek için x D T( ) için

( )_Y _X

T x !M x

olacakúekilde bir M bulundu÷unu göstermek yeterlidir.

Tanım 2.1.5: X ve Y normlu lineer uzaylar T X: oY bir operatör olsun.

1⁰) X’ in sınırlı bir M alt kümesi için T M ,Y ’ de relatif kompakt ise T( ) operatörüne kompakttır denir.

(13)

2⁰) (x_n), X ’ de sınırlı bir dizi olsun. ( (T x_n))’ nin Y ’ de yakınsak bir alt dizisi varsa T operatörüne kompakttır denir.

Tanım 2.1.6: X bir normlu uzay, \veya = ^ olmak üzere F X: o dönüúümüne bir fonksiyonel denir.

Tanım 2.1.7: :f A\o\ fonksiyonu x A için ( )f x t ise ve )0 fonksiyoneli için )( )f t oluyorsa ) ’ ye pozitif fonksiyonel denir. 0

Bir lineer pozitif fonksiyonel monoton artandır.

Önerme 2.1.2: ( ),[ , ]\ x a b ’ de sürekli bir fonksiyon olmak üzere

( ) ( ) ( )

b

a

f f x\ x dx

)

³

fonksiyonelinin pozitif olması için gerekli ve yeterli koúul ( ) 0\ x t olmasıdır.

Tanım 2.1.8: x x₀, ,...,₁ x ’ ler ( , )_n a b aralı÷ının keyfi noktaları olmak üzere ( ) [ _k]

f x x 0,1, 2,...,k n diyelim.

> @ > @ > @

⁰ ¹

0 1

, x x

x x x x

olmak üzere f’ nin 1. bölünmüú farkı

>

⁰ ¹

@

⁰ ¹

0 1

( ) ( )

; , f x f x

f x x

x x

için Ortalama De÷er Teoremi’ nden

>

^{f x x}^; ⁰^, ¹

@

^f^'^{( ),}^{[ [}^{( , )}^{a b}

dir. f’ nin 2. bölünmüú farkı

> @ >

⁰ ¹

@ >

¹ ²

@

0 1 2

0 2

, ,

; , , x x x x

f x x x

x x

(14)

ise

>

⁰ ¹ ²

@

⁰ ¹ ²

0 1 0 2 1 0 1 2 2 0 2 1

( ) ( ) ( )

; , ,

( )( ) ( )( ) ( )( )

f x f x f x

f x x x

x x x x x x x x x x x x

dir ve

>

0 1 2

@

''( )

; , , , ( , )

2!

f x x x f [ a b

[

dir. f’ nin n.bölünmüú farkı

>

⁰ ¹

@

⁰ ¹

0 1 0 1 0 1 0 1

( ) ( ) ( )

; , ,..., ...

( )...( ) ( )...( ) ( )...( )

n n

n n n n n

f x f x f x

f x x x

x x x x x x x x x x x x

ise

> @

( )

0 1

; , ,..., ( ), ( , )

!

n n

f x x x f a b

n

[ [ (2.1.1)

eúitli÷i sa÷lanır. Burada [ noktası x x₀, ,...,₁ x noktaları ile aynı aralıktadır. Di÷er_n taraftan biliyoruz ki birinci mertebeden türevlenebilir bir f x fonksiyonunun türevi ( ) sonlu bir aralıkta pozitif ise artan, negatif ise f x azalan, sıfır ise basit ( ) fonksiyondur. Türevi pozitif olan fonksiyonlara birinci basamaktan konveks, negatif olanlara birinci basamaktan konkav, sıfır olanlara ise birinci basamaktan sabit fonksiyon dersek (1) formülüne göre bu tanımları türevlenemeyen fonksiyonlar için de verebiliriz.

( , )a b aralı÷ında tanımlanmıú f x fonksiyonunun bu aralıkta olan keyfi ( ) (n+1) noktadaki n. bölünmüú farkları pozitif ise ( )f x fonksiyonuna n. basamaktan konveks, negatif ise f x fonksiyonuna n. basamaktan konkav, sıfır ise ( )( ) f x fonksiyonuna n. basamaktan sabit fonksiyon denir.

(15)

3. ARAùTIRMA BULGULARI

3. 1. øki De÷iúkenli Shepard Operatörle kısmi ùekil Koruyan Yaklaúımlar

Interpolation ( iç de÷erlendirme) koúullarından dolayı, interpolating

operatörlerin bir tek de÷iúkenli f fonksiyonununúeklini korumadı÷ı ve interpolation noktalarının aralı÷ın tamamı tarafından içerildi÷i açıktır. Çok yıllar önce Popoviciu [1, 2] niteleyici tipte olan aúa÷ıdaki sonucu ispatladı. Jakobi knots ( noktalarına) dayanan tek de÷iúkenli Hermite-Fejer polinomlarının sınıfı için f ’ nin monoton oldu÷u noktanın civarındaki bazı noktaların varlı÷ı ( f fonksiyonundan ba÷ımsız) korunur.

Bu úekildeki fikirler sürerken son [3,4] çalıúmada öncelikle Popoviciu ’ nun sonuçları için niteleyici versiyonlar elde edildi. Daha sonra buna ilaveten f ’ nin konvekslik durumu göz önüne alındı ve son olarak, bütün problemler Shepard operatörler, Grünwald interpolation polinomları ve Kryloff-Stayermann interpolation polinomları için incelendi. Aynı zamanda son [5] çalıúmada sonuçlar iki de÷iúkenli Hermite-Fejer polinomları için geniúletildi.

Nitel tipteki sonuçların ispatı için yukarıda bahsedilen çalıúmalarda kullanılan sonuç, aúa÷ıdaki temel lemmada verilmiútir.

Lemma 3.1.1: f :[ , ]a b o \ , adx₁ d...dx_n db ve h_i C¹[a,b] ve x[a,b] için

¦

ⁿ

i

i x

h

1

1 ) (

olmak üzere

(16)

¦

ⁿ

i

i i

n f x h x f x

F

1

) ( ) ( )

)(

(

olsun.

(i)

¦ ¦

¸¸

¹

·

¨¨

©

§

1

1 1

'

'( )( ) ( ) [ ( ) ( )]

n

i

i i

i

j j

n f x h x f x f x

F

dir.

(ii) h₁^'(x₀)0,h_n^'(x₀)!0 olacak úekilde )x₀ (a,b var ve )

( ),..., ( ),

( ₀ ₂^' ₀ ^' ₀

'

1 x h x h x

h _n dizisi bir tek iúaret de÷iúimine sahip ise o zaman tüm 1

,..., 2 ,

1 n

i için

¦

i

j

j x

h

0 0

'( ) 0

dır ve sonuç olarak (i) ’ den f ’ nin monoton oldu÷u x ’ ın bir ₀ V(x₀) komúulu÷u vardır ki; bu komúulukta monotonluk korunur.

Bu çalıúmada Shepard operatörler için monotonluk ve konvekslikle ilgili nitel sonuçlar elde edildi.

3. 2. øki De÷iúkenli Shepard Operatörler

xn

x

x₁ ₂ ... ve y₁ y₂ ... y_n, i 1,2,...,n, D\², (x_i,y_i)D, f D: o\ olsun. i 1,2,...,n için (x_i,y_i) noktaları üzerinde f ’ ye ba÷lı iki de÷iúkenli Shepard interpolation operatörünün P !0^{sabit ve}

) , (

] ) (

) ) [(

,

( ₍ ₎

2 / 2 2

) (

, x y

y y x

y x x s

n

i i

i

n P

P P

A

(17)

( ) 2 2 / 2 1

( , ) [( ) ( ) ] 0

n

n i i

i

x y x x y y

P P

!

¦

A

olmak üzere (x,y)z(x_i,y_i) iken

¦

ⁿ

i

i i i

n

n f x y s x y f x y

S

1 ) (

,

,_P( )( , ) ^P ( , ) ( , )

ve i 1,2,...,n iken

) , ( ) , )(

, ( i i i i

n f x y f x y

S _P

úeklinde verildi÷i bilinir. Bundan sonraki kısımlarda P 2 ,p p` durumunu göz önüne alaca÷ız. Bu sebeple

¦ ¦

n

i

i n i

k

p k k

p i i

p

n f x y

y y x

x

y y x

y x x f S

1 1

2 2

2

, ( , )

] ) (

) [(

] ) (

) ) [(

, )(

(

olur.

1

] ) (

) [(

] ) (

) [(

1

] ) (

) [(

] ) (

) ) [(

, (

1

2 2

1

2 2

1 1

1

2 2

) 2 (

,

¦ ¦

¦

n

i

p i n i

k

p k k

n

i

n

i n

k

p k k

p i p i

i n

y y x

x y

y x

x

y y x

x

y y x

y x x s

ve s_n⁽²_,_i^p⁾(x,y)’ nin C sınıfından oldu÷u açıktır.^f

Öncelikle monotonluk durumunda nitel tipin bir sonucunu verelim.

Teorem 3.2.1: [ , ] [ , ]D a b u c d , :f Do\ , f(x,y), ( her bir sabit y için )x’ in bir fonksiyonu olarak azalmayan ve f(x,y), (her bir sabit x için ) y ’ nin bir fonksiyonu olarak azalmayan ise o zaman

(18)

) 0 , (

) 2 (

w w

y y x x

y x

p n

A A

(3.2.1)

sisteminin bir çözümü olan herhangi bir ([,K)(a,b)u(c,d) için S_n_,₂_p(f)(x,y), x ve y ’ nin bir fonksiyonu olarak azalmayan ([,K) noktasının bir V([,K)( n ve p’

ye ba÷lı, fakat f’ den ba÷ımsız ) komúulu÷u vardır.

øspat: Lemma 3. 1. 1 (i) kullanılırsa

)], , ( ) , ( ) [ , ( )

, )(

(

1 1 1

1 1

) 2 (

, 2

,

i i i

i n

i i

j

p j n p

n f x y f x y

x y x s x

y x f

S

»»

¼ º

««

¬ ª

w

w w

w

¦ ¦

)]

, ( ) , ( ) [ , ( )

, )(

(

1 1 1

1 1

) 2 (

, 2

,

i i i

i n

i i

j p j n p

n f x y f x y

y y x s y

y x f

S

»»

¼ º

««

¬ ª

w

w w

w

¦ ¦

elde edilir. Hipotezden tüm i 1,2,...,n1 için

0 ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) ,

(x_i₁ y_i₁ f x_i y_i f x_i₁ y_i₁ f x_i₁ y_i f x_i₁ y_i f x_i y_i t f

dir. )([,K)(a,b)u(c,d , (1) sisteminin bir çözümü olsun.

(2 ) 2 2 1

,

(2 )

2 2

(2 ) 2

( , ) 2 ( )[( ) ( )]

( , ) ( , )

[( ) ( ) ]

[ ( , )]

p p

n j j j j

p n p n p

j j

p n

s x y p x x x x y y

x x y

x y x x y y

x

x y

w

A A

A ve

(2 ) 2 2 1

,

(2 )

2 2

(2 ) 2

( , ) 2 ( )[( ) ( )]

( , ) ( , )

[( ) ( ) ]

[ ( , )]

p p

n j j j j

p n p n p

j j

p n

s x y p y y x x y y

y x y

x y x x y y

y

x y

w

A A

A oldu÷undan

(19)

) ) sgn(

, sgn (

, ) 0 , , (

) 0 ,

( ⁽²_, ⁾ ⁽²_, ⁾

) 2 (

1

, [ K [ K [ K [

»»

¼ º

««

¬ ª

w

! w w

w w

w

j p

j n p

n n p

n x

x s x

s x

s

ve

) ) sgn(

, sgn (

, ) 0 , , (

) 0 ,

( ⁽²_, ⁾ ⁽²_, ⁾

) 2 (

1

, [ K [ K [ K K

»»

¼ º

««

¬ ª

w

! w w

w w

w

j p

j n p

n n p

n y

y s y

s y

s

elde edilir. Lemma 3. 1. 1 (ii)’ den i 1,2,...,n1 için

) 0 , , (

) 0 , (

1 ) 2 (

, 1

) 2 (

, !

w

w w !

¦

w

¦

ⁱ

j

p j i n

j p j n

y s x

s [ K [ K

oldu÷u kolaylıkla bulunur. Sonuç olarak ([,K)’ nün bir V([,K) komúulu÷undaki )

, ( ) ,

(x y V [ K

için

) 0 , , (

) 0 ,

( _,₂

2

, !

w

! w w

w

y y x f S x

y x f

S_n _p _n _p

elde edilir.

Böylelikle ispat tamamlanmıú olur.

Uyarılar 3.2.1:

a) (1) sisteminin (a,b)u(c,d) içine çözüme sahip olup olmadı÷ı sorusu do÷al bir sorudur. i 1,2,...,n içinx ,_i y_i noktalarının bazı özel seçimleri için pozitif bir cevap türetilebilir.

Öncelikle [a,b] [c,d] ve i 1,2,...,n için x_i y_i durumunu göz önüne alalım.

¦

ⁿ

i

p i i

p

n x y x x y y

1

2 2

) 2

( ( , ) [( ) ( ) ]

A

olmak üzere

(20)

(2 )

2 2

1

2 2 1

1

2 2 1

1

( , )

( ) ( )

( ) ( ) 2( )

2

[( ) ( ) ]

p n p

n

i i

i

n p

i i i

i n

i

p

i i i

x y x x y y

x x

p x x y y x x

x x

p x x y y

w w ww ª«¬ º»¼

ª º

« »

¬ ¼

¦

A

için

) 0 ,

)(

2 (

w w

x y

p x An

alınırsa

¦

w

w ⁿ

i

p i i

i p

n

y y x

x

x x x

y x

1

1 2 2

) 2 (

] ) ( ) [(

) , A (

elde edilir. O halde (1) denklem sisteminin

] 0 ) ( ) [(

1 2 2 1

1

1 2 2

¦

n

i p

i i

i n

i

p i i

i

y y x

x

y y

y y x

x

x x

(3.2.2)

denklem sistemine eúde÷er oldu÷u görülür. i 1,2,...,n için x_i y_i alarak ve denklemleri birbirinden çıkararak x y oldu÷u da görülür.

(2) sisteminin ilk denkleminde x_i y_i alınırsa

) 0 (

1 ) 0 (

2

] 0 ) ( ) [(

1 2

1 2 1

1

) 1 ( 2 1

1

1 2 2

¦

n

n i

p i n

i p

i n

i

p i p

i n

i

p i i

i

x x

y y

y y x

x

x x

elde edilir, yani bu denklem [4]’ deki Teorem 3. 2’ nin ispatındaki (12) denklemidir

(21)

denklemi çözümlere sahiptir. Böylece (1) sistemi n2 durumunda ([,[) formundaki çözümlere sahiptir.

ùimdi de [a,b] [c,d] [1,1] ve i 1,2,...,n için x_i y_iseçimini göz önüne alalım. Bu durumda iki denklem birbiriyle toplanırsa x y elde edilir.

Yani, bunlar (2)’ nin ilk denkleminde yerine konursa

0 )]

[(

0 )]

( 2 [

] 0 2

2 [

] 0 ) ( ) [(

1 2 2 1

1 2 2 2 2 1

1

1 2 2

¦

n

i p

i i n

i p

i i n

i p

i i i

i

i n

i

p i i

i

x x

x xx x

x x x x x

x

x x

elde edilir.

¦

n

i p

i i

x x

x x x

F

1[( 2 2)] 1

) (

ile gösterilirse F(x₁)0 ve F(x_n)!0 bulunur. Yani, ^F([) 0 olacak úekilde )

, (x x_n

[ vardır ve bunun sonucu olarak ([,[) hem (1) hem de (2) sisteminin bir çözümü olur.

Son olarak n 2, p `i 1,2,...,n için (x_i,y_i)[a,b]u[c,d] ise o zaman 2

/ ) (

ve 2 / )

(x₁ x₂ K y₁ y₂ [

olacakúekildeki ([,K), (2) ve de aynı zamanda (1) sisteminin bir çözümüdür.

b) E÷er Teorem I. 1. 1’ de [a,b] [c,d] [1,1] ve i n,...,0,...,n^için

n y i

x_i _i alınırsa o zaman yukarıdaki uyarı (a)’ ya göre (1) sisteminin herhangi

(22)

bir çözümü ( ,[ [) úeklindedir. Bu durumda Teorem I. 1. 1’ de V([,[) komúulu÷unu c!0, f ve n’ den ba÷ımsız olmak üzere

^[^c^/ⁿ⁴^,^[^c^/ⁿ⁴

^u ^[^c^/ⁿ⁴^,^[^c^/ⁿ⁴

⁽¹^,¹⁾^u⁽¹^,¹⁾

formunda alabiliriz.

Bu niteleyici tipteki sonuç, [4]’ ün tek de÷iúkenli durumunda Teorem 3. 4’

ün iki de÷iúkenlisine benzer olur.

Konvekslikle iliúkili S_n_,₂_p(f)(x,y)’ nin bazı özelliklerini tartıúaca÷ız. Bu manada :[ 1,1] [ 1,1]f u o\ fonksiyonunu i 1,2,...,n için x_i x_i, y_i y_i,

0 0 0

x y eú uzaklık interpolasyon noktalarını göz önüne alaca÷ız.

¦

z

n

j n j

p j j

p

p i i

p p

i n

y y x

x y x

y y x

x y y x

x s

0

2 2

2 2 )

2 (

,

] ) (

) [(

) (

1

] ) ( ) [(

) ) (

,

( (3.2.3)

formunda olmak üzere Shepard operatörü

¦

n

n i

i i p

i n p

n f x y s x y f x y

S _,₂ ( )( , ) ⁽²_, ⁾( , ) ( , ) (3.2.4)

eúitli÷i ile verilir.

Aúa÷ıdaki tanımı verelim.

Tanım 3.2.1: :[ 1,1] [ 1,1]

f u o\ fonksiyonu herhangi bir P₁ ( ,x y₁ ₁) P₂ ( ,x y₂ ₂) [ 1,1] [ 1,1] u kümesine ait olmak üzere ve herhangi bir O(0,1) için

) 1 , 1 ( ) 1 , 1 ( ) ) 1 ( , ) 1 ( ( ) 1

( ₂ ₁ ₂ ₁ ₂

1 P x x y y u

P O O O O O

O olmak üzere

) ( ) 1 ( ) ( ) ) 1 (

( P P f P f P

f O O O O

(23)

özelli÷ini sa÷larsaf fonksiyonuna kesin konveks adı verilir.

Uyarı 3.2.2: ^f ^C²

^[¹^,¹^]^u^[¹^,¹^]

^ve⁽^x^,^y⁾^[¹^,¹^]^u^[¹^,¹^]^için

2 2

2 2 2

2 2

2 ( , ) ( , ) ( , )

, ) 0 , , (

) 0 , (

¸¸¹

·

¨¨©

§ w w

! w w

w w

! w w

w

y x

y x f y

y x f x

y x f y

y x f x

y x f

ise o zaman f , [1,1]u[1,1] üzerinde kesin konvekstir. Ayrıca yukarıdaki kesin iki eúitsizlik ⁽^x^,^y⁾

^[¹^,¹^]^u^[¹^,¹^]

^{(⁰^,⁰^)}^ve

) 0 0 , 0 ( ) 0 , 0 (

w w w

w

y f x

f

için geçerli ise o zaman f , [1,1]u[1,1] üzerinde kesin konvekstir ve (0,0), f ’ nin global minimum noktasıdır.

Teorem 3.2.2: )S_n_,₂_p(f)(x,y , 1p , (3) ve (4)’ e göre verilsin.

:[ 1,1] [ 1,1]

f u o\ fonksiyonu, [1,1]u[1,1] üzerinde kesin konveks ise, o zaman )(0,0 ’ ın bir V(0,0) ( f ve n’ ye ba÷lı )komúulu÷u vardır ki S_n_,₂_p(f)(x,y),

) 0 , 0

V( içinde kesin konvekstir.

øspat: (4) ifadesinden kolaylıkla tüm iz0’ lar için

°¯

°®

w

w w

w

ise 2 ) ,

(

)!

2 (

ise, 1 2 ,..., 2 , 1 ,

) 0 0 , 0 ( )

0 , 0 (

2 2 )

2 (

, )

2 (

,

p y i

x p

p i

y s x

s

p i i i

p i n i

i p i n i

(5)

elde edilir. f’ nin kesin konveksli÷i

) 0 , 0 ( 2 ) , ( )

(x_,y f x y f f _i _i _i _i ! olmasını ve

1 ) ,

)(

2 (

¦

,

n

n i

p i

n x y

s

olması da

(24)

) 0 0 , 0 (

2 ) 2 (

, 2

w

¦

w

n

n i

p i n

x s

olmasını gerektirece÷inden

2 2 (2)

,2 ,

2 2

2 2 2

1

( )(0, 0) (0, 0)

( , ) 2! ( , )

( )

2 [ ( , ) ( , )]

( )

n

n n k

i i

i n

n

i i

i n i i

n

i i i i

i i i

S f s

f x y

x x

f x y

x y

f x y f x y

x y

w w

¦

2 (2) 2 (2)

,0 ,

2 2

(0, 0) (0, 0)

(0, 0) (0, 0) 0

n

n n i

i n

s s

f f

x x

w w

!

w

¦

w

elde edilir. Benzer úekilde

) 0 0 , 0 )(

(

2 2 , 2

w ! w

y f S_n

oldu÷u da gösterilebilir. Di÷er bir deyiúle basit hesaplamalarla i n,..., 0,...,n için

) 0 0 , 0

)(

2 (

2 , 2

w ! w w

y x s_n

elde edilir ki bu da

) 0 0 , 0 )(

2(

, 2

w ! w w

y x

f S_n

olmasını gerektirir. Böylece

) 0 0 , 0 )(

( )

0 , 0 )(

( )

0 , 0 )(

( ² _,₂

2 2 , 2

¸¸

¹

·

¨¨

©

§

w w

! w w

w w

w

y x

f S y

f S x

f

S_n _n _n

oldu÷u da kolayca görülür.

Bir sonuç olarak (0,0)’ ın V(0,0)( f ve n’ ye ba÷lı) ile gösterilen bir komúulu÷u vardır, öyle ki tüm (x,y)V(0,0)’ ler için

(25)

) 0 , )(

(

2 2 , 2

w ! w

x y x f S_n

ve

2 2

, 2

2 2 , 2

2 2 ,

2 ( )( , ) ( )( , ) ( )( , )

¸¸

¹

·

¨¨

©

§

w w

! w w

w w

w

y x

y x f S y

y x f S x

y x f

S_n _n _n

elde edilir, yani; S_n_,₂_p(f)(x,y), V(0,0) içinde kesin konvekstir.

Uyarı 3.2.3: 2pt olsun. Tanım 1.3’ den sonraki uyarıya göre )}

0 , 0 {(

) 0 , 0 ( ) ,

(

x y V için

¸¸

¹

·

¨¨

©

§

w w

! w w

w w

w w ! w

w ! w

y x

y x f S y

y x f S x

y x f S

y y x f S

x y x f S

p n p

n p

n p n

p n

) , )(

( )

, )(

( )

, )(

(

, ) 0 , )(

(

, ) 0 , )(

(

2 , 2

2 2 , 2

(3.2.6)

olacak úekilde )(0,0 ’ ın bir V(0,0) komúulu÷unun varlı÷ını ispatlamak yetecektir.

Çünkü (5) ba÷ıntılarından açıkca görülür ki

) 0 0 , 0 )(

( )

0 , 0 )(

( _,₂

2 ,

w w w

w

y f S x

f

S_n _p _n _p

dir. (5)’ teki ba÷ıntılar aynı oldu÷undan

) 0 0 , 0 )(

( )

0 , 0 )(

(

2 2 , 2

w w w

w

y f S x

f

S_n _p _n _p

elde edilir.

Bu düúünce

(26)

2 2 , 2

2 2 ,

2 ( )( , )

) , ( ), , )(

) ( ,

( y

y x f y S

x x G

y x f y S

x

F ⁿ ^p ⁿ ^p

w w w

w

2 2

,

2 ( )( , )

) , ( ) , ( ) ,

( ¸¸

¹

·

¨¨

©

§

w w

w

x y

y x f y S

x G y x F y x

H ⁿ ^p

fonksiyonlarının (0,0) ‘ ın bir komúulu÷u üzerinde kesin konveks oldu÷unu ispat etmek içindir. (0,0) global minimum noktadır ve bu da (6) ba÷ıntılarını gerektirir.

Tüm p`,pt2 için Teorem 1. 4’ ü ispatlamada aúa÷ıdaki üç lemma gerekli olacaktır.

Lemma 3.2.1: p`,pt2 ve f :[ 1,1] [ 1,1] u o \ fonksiyonu [1,1]u[1,1] üzerinde kesin konveks ise o zaman S_n_,₂_p(f)(x,y), (3) ve (4) ile verilmek üzere

)}

0 , 0 {(

) 0 , 0 ( ) ,

(

x y V için

) 0 , )(

, ( ) 0 , )(

(

2 2 , 2

w !

! w w

w

y y x f S x

y x f

S_n _p _n _p

olacakúekilde (0,0)’ ın bir V(0,0) komúulu÷u vardır.

øspat: kz0 için

2 2

2 2 2 2

0

[( ) ( ) ]

( , )

1 ( ) [( ) ( ) ]

p

i i

p n p

j j

j n j

x x y y

E x y

x y x x y y

z

¦

úeklinde gösterilirse

p p

p

p p

p

i

i p i p

x y p x

y p p x

p

y p x y

p x y

y i x y p

x y x P

2 2 2 2 4

4 2

6 2 6 4

2 4 2

2 2 2

0

2 2 2 2

2

1 2

3 ...

2 1

) (

) , (

¸¸

¹

·

¨¨©

§

¸¸¹

·

¨¨©

§

¸¸

¹

·

¨¨©

§

¸¸¹

·

¨¨©

§

¸¸¹

·

¨¨©

§

¸¸¹

·

¨¨©

§

¦

(27)

ve )E(x,y , )(0,0 ’ da herhangi mertebeden kısmi türevlere sahip olmak üzere

(2 )

,^p ( , ) ( , ) ( , ) sn i x y P x y E x y úeklinde elde edilir. k z0 için

2 2 (2 ) ,

2 2

( , ) ( , )

p p

n i

i p

s x y R x y

x

w w biçiminde gösterilsin.

Öncelikle (5)’ e göre

2 (2 ) 2

,

2 2 2 2

(0, 0)

(0, 0) (2 )!

( ) 0

p p

i n i

p p

i i

R s p

x x x y

w w

w w !

bulunur. Bu durumda

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

0

1 2 2

2 2

0

2 1

2 2

0

2 2

(0, 0) ( , ) ( , )

2 2 ( , ) ( , )

2 2 ( , ) (

i p i

p i

i p i

i

i p i

p

i p i

i

i p i

p

i i

R p P x y E x y

y y i x x

p P x y E x y

i

y x y x

p P x y E

i x

ª § · º

w w w w

« ¨ ¸ »

ª § ·

w w w

« ¨ ¸

w ¬ © ¹ w w w

§ · w w

¨© ¸¹ w

¦

² ²

2 2 2

2 2

2 2 2

0

2 1

2 2

0

, )

2 2 ( , ) ( , )

2

2 2

p i

i p i

p

i p i

i

i p i

p

i p i

i

x y

x y

p P x y E x y

i y x x

p P x y E x y

i y x x y

p i

º»

w w ¼

ª º

§ · w w w

¨ ¸w « w » w

ª º

§ · w w w

§

¨

©

¦

2

2 2

2 2 2

0

( , ) ( , )

i p i

p

i p i

i

P x y E x y

x x y

· w w

¸

w w w

¦

¹ olur.

Bu toplamda x y 0 alınırsa o zaman x veya(ve) y ’ yi içeren bütün terimler sıfır olur, böylece P(x,y) polinom formu hesaba katılırsa

2

2 2 2 2 2

2 2

(0, 0) 1 2 (2 2)!

2 (2 2)! 0

2 2 ( ) ( )

i

p p

i i i i

R p p p

p p

p

y x y x y

§ ·

w

!

¨ ¸

w © ¹