NEWTON RAPHSON YÖNTEMİ

(1)

NEWTON – RAPHSON YÖNTEMİ

Genel olarak ∇𝑓𝑓(𝑥𝑥) ≠ 0 gerek şartını sağlamak doğrusal olmayan ifadelerde oldukça zordur ve bu sebeple çözümler zor olabilir. Newton-Raphson yöntemi, doğrusal olmayan denklemlerin çözümü için iteratif(adım-adım) bir yaklaşım sunmaktadır.

Aşağıdaki denklemi ele alalım:

𝒇𝒇𝒊𝒊(𝒙𝒙) = 𝟎𝟎, 𝒊𝒊 = 𝟏𝟏, 𝟐𝟐, … , 𝒎𝒎

𝑥𝑥0 verilmiş bir nokta olsun. 1. Mertebe Taylor açılımından:

0 ) )(

( ) ( )

(x = f x₀ + f′ x₀ x₁−x₀ =

f ( 2. Ve sonraki türevler ihmal edilerek)

) (

0 0 0

1 f x

x x f

x = − ′

yazılabilir. Genel ifade aşağıdaki gibi olacaktır.

) (

1

k k k

k f x

x x f

x ₊ = − ′

Yukarıdaki ifade kullanılarak bir fonksiyonun kökü, yinelemeli yakınsama ile bulunmaya çalışılır. Bu ifadeyi aşağıdaki gibi yazmak da mümkündür.

𝑓𝑓^′(𝑥𝑥_𝑘𝑘) = 𝑓𝑓(𝑥𝑥_𝑘𝑘) 𝑥𝑥_𝑘𝑘− 𝑥𝑥_𝑘𝑘+1

Buna göre, 𝑥𝑥𝑘𝑘+1 noktası, 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑘𝑘) fonksiyonunun 𝑥𝑥𝑘𝑘 noktasındaki eğiminden bulunacaktır.

Burada 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝜃𝜃 = 𝑓𝑓^′(𝑥𝑥𝑘𝑘)’dır. Bu durum aşağıdaki şekilden de incelenebilmektedir.

Fonksiyonun optimum noktasını bulmak için ise önce fonksiyonun türevi alınır ve türevi alınmış fonksiyona yukarıdaki işlemler uygulanır.

Yakınsama her zaman mümkün olmayabilir. Aşağıdaki şekilde görüldüğü gibi başlangıç çözümü olarak a alındığında çözümden uzaklaşılacaktır. Genel olarak, yakınsama sağlanana kadar birçok başlangıç noktası seçmek gerekebilmektedir.

Prof. Dr. Cemalettin KUBAT | Yrd. Doç. Dr. Özer UYGUN Yöneylem Araştırması 3 Ders Notları: Hafta 03

(2)

Newton-Raphson yöntemi Teğetler Yöntemi olarak da bilinir. Her bir noktanın teğetleriyle köke yaklaşılır.

Örnek: Aşağıdaki fonksiyonun durağan(optimum) noktalarını Newton-Raphson yöntemi ile bulunuz.

𝑔𝑔(𝑥𝑥) = (3𝑥𝑥 − 2)²(2𝑥𝑥 − 3)²

f(x) in xknoktasındaki teğeti

Yakınsama noktası(çözüm)

(3)

Öncelikle fonksiyonun türevi alınmalıdır:

𝑓𝑓(𝑥𝑥) ≡ 𝑔𝑔^′(𝑥𝑥) = 144𝑥𝑥³− 468𝑥𝑥²+ 482𝑥𝑥 − 156 = 0

İkiye bölerek sadeleştirirsek;

𝒇𝒇(𝒙𝒙) ≡ 𝒈𝒈^′(𝒙𝒙) = 𝟕𝟕𝟐𝟐𝒙𝒙^𝟑𝟑− 𝟐𝟐𝟑𝟑𝟐𝟐𝒙𝒙^𝟐𝟐+ 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟏𝟏𝒙𝒙 − 𝟕𝟕𝟕𝟕 = 𝟎𝟎

Newton-Raphson yöntemi için 𝑓𝑓(𝑥𝑥) fonksiyonunun türevini alırız ve 𝑥𝑥𝑘𝑘+1 noktalarını yinelemeli olarak elde ederiz.

𝑓𝑓^′(𝑥𝑥) ≡ 𝑔𝑔^′′(𝑥𝑥) = 216𝑥𝑥² − 468𝑥𝑥 + 241 𝑥𝑥𝑘𝑘+1= 𝑥𝑥𝑘𝑘− 𝑓𝑓(𝑥𝑥)

𝑓𝑓^′(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥^𝑘𝑘− 𝑔𝑔′(𝑥𝑥)

𝑔𝑔^′′(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥^𝑘𝑘−72𝑥𝑥³− 234𝑥𝑥²+ 241𝑥𝑥 − 78 216𝑥𝑥²− 468𝑥𝑥 + 241

𝑥𝑥₀ = 10 noktasından başlayarak elde edilen yeni noktalar ve yaklaşık çözüm değeri aşağıdaki tabloda verilmiştir.

k xk f(x) f′(x) f(x)/f′(x) xk+1

0 10,000000 50932 17161 2,9678923 7,032108 1 7,032108 15082,7 7631,29 1,9764288 5,055679 2 5,055679 4463,431 3395,878 1,3143672 3,741312 3 3,741312 1318,807 1513,507 0,871358 2,869954 4 2,869954 388,277 676,9746 0,5735474 2,296406 5 2,296406 113,3633 305,3539 0,371252 1,925154 6 1,925154 32,43006 140,5711 0,2307022 1,694452 7 1,694452 8,793732 68,16869 0,1289996 1,565453 8 1,565453 2,042065 37,70681 0,0541564 1,511296 9 1,511296 0,293991 27,06086 0,0108641 1,500432 10 1,500432 0,010818 25,07781 0,0004314 1,500001

Görüldüğü gibi 𝑥𝑥 = 1,5’e yakınsamıştır. Aslında 𝑓𝑓(𝑥𝑥) fonksiyonunun 3 durağan noktası bulunmaktadır. Bunlar 𝑥𝑥 =²₃ , 𝑥𝑥 =¹³₁₂ ve 𝒙𝒙 =^𝟑𝟑_𝟐𝟐 noktalarıdır. Diğer noktaları bulmak için farklı başlangıç noktaları seçmek gerekirdir.

***3 tane opt. Nokta adayı bulunduğunda? Hangisi gerçek optimum olur?

1-Bu 3 nokta ana fonksiyonda konularak fonksiyonun değerleri bulunur.

2-Maks. ise en büyük fonksiyon değerini, min. ise en küçük fonksiyon değerini veren nokta Optimum Nokta dır.

3- Hessien matris yolu ile de yeter şart kullanılarak optimum noktalar belirlenebilir.

(4)

Ödev: Yukarıda verilen örneğin diğer iki durağan(kararlı optimum) noktasını bulmak için a) 𝑥𝑥0 = 0,5 başlangıç noktasından itibaren Newton-Raphson yöntemini uygulayın b) 𝑥𝑥0 = 1 başlangıç noktasından itibaren Newton-Raphson yöntemini uygulayın.

c) Diğer optimum noktaları NRap. ve Yarılama yöntemleri ile araştırınız..-ÖDEV..

Yukarıdaki problemin MATLAB kodları aşağıda verilmiştir. Kodlar örneğin Newton_Raphson.m isimli dosyaya kaydedip çalıştırılmalıdır.

% Newton-Raphson Extremum Nokta Bulma Yöntemi

% f = Amaç Fonksiyonu

% df = amaç fonksiyonunun türevi

% d2f= amaç fonksiyonunun ikinci türevi

% x0 = f in aranan ekstremum nokta x'in başlangıç değeri

% k = işlem adım(iterasyon) sayısı

% y = fonksiyonun değeri

% f = (3x-2)^2(2x-3)^2 fonksiyon

% df= 72x^3-234x^2+241x-78

% d2f= 216x^2-468x+241 clear

clc clf x0 = 10;

k=1;

x(k)= x0;

f(k) = (3*x(k)-2)^2*(2*x(k)-3)^2;

df(k)= 72*x(k)^3-234*x(k)^2+241*x(k)-78;

d2f(k) = 216*x(k)^2-468*x(k)+241;

format shortg for k=2:15

x(k)=x(k-1)-(df(k-1)/d2f(k-1));

f(k) = (3*x(k)-2)^2*(2*x(k)-3)^2;

df(k) = 72*x(k)^3-234*x(k)^2+241*x(k)-78;

d2f(k) = 216*x(k)^2-468*x(k)+241;

% Hatay(k)=abs(df(k)-df(k-1));

end

disp(' ')

disp(' ---') disp(' (3x-2)^2(2x-3)^2 Fonksiyonunun ') disp(' Newton Raphson ile ')

disp(' Ekstramum Noktasının Bulunması') CIKIS=[x' f' df' d2f'];

disp(' ---')

disp(' x f df d2f')

disp(' ---') disp(CIKIS)

disp(' ---') clf

plot(x, f )

title('Fonksiyonun Grafiği') grid

xlabel('x') ylabel('f')

(5)

Örnekler: Aşağıdaki fonksiyonların ekstremum noktalarını Newton-Raphson yöntemini kullanarak el ile, MATLAB ile ve Excel ile bulunuz.

1. 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 4𝑥𝑥⁴− 𝑥𝑥²+ 5 2. 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 6𝑥𝑥⁵− 4𝑥𝑥³+ 10

YARILAMA – İKİYE BÖLME YÖNTEMİ

𝑔𝑔(𝜃𝜃) konkav ve türevi alınabilen bir fonksiyon olsun. Aşağıdaki şekilden de görülebileceği gibi, 𝑔𝑔′(𝜃𝜃) eğimi incelenerek optimal olmayan noktalar elenebilir. Eğer 𝑔𝑔^′(𝜃𝜃₁) > 0 ise 𝜃𝜃 <

𝜃𝜃₁ olan noktalar fonksiyonu maksimuma götürmeyeceği için elenebilir. Eğer 𝑔𝑔^′(𝜃𝜃₁) < 0 ise 𝜃𝜃 > 𝜃𝜃1 olan noktalar fonksiyonu maksimuma götürmeyeceği için elenebilir. Bu inceleme, yarılama veya Bolzano arama metodunun temelini vermektedir.

Aşağıdaki şeklin ikincisi 0 – 5 aralığının orta noktası olan 2,5 noktasından büyük değerlerin elendiğini (eğim negatif olduğu için) göstermektedir. Dolayısıyla maksimum nokta 0 – 2,5 noktaları arasında aranacaktır. Üçüncü şekle bakıldığında ise orta 1,25 noktasındaki eğim pozitif olduğundan 0 – 1,25 arasındaki değerler elenecektir. Bu durumda maksimum nokta 1,25 – 2,5 arasında aranacaktır. Aralık yeterince küçük olana kadar yineleme devam ettirilir.

Aynı prosedür, fonksiyonun eğimi incelenmeden (türevi alınmadan) de ele alınabilir. Bu önemli bir konudur çünkü her fonksiyonun türevi alınamayabilir veya çok fazla işlem yapmak gerekebilir. Eğime bakmak yerine 𝜃𝜃1 ve 𝜃𝜃2 noktalarındaki 𝑔𝑔(𝜃𝜃1) ve 𝑔𝑔(𝜃𝜃2) fonksiyon değerleri bulunur. Eğer 𝑔𝑔(𝜃𝜃1) < 𝑔𝑔(𝜃𝜃₂) ise 𝜃𝜃₁’den küçük tüm noktalar elenir. Eğer 𝑔𝑔(𝜃𝜃1) > 𝑔𝑔(𝜃𝜃₂) ise 𝜃𝜃₂’den büyük tüm noktalar elenir. Bu yöntemle yarılama veya Bolzano arama yöntemi fonksiyonların türevi alınmadan da işletilebilmektedir. Bu durumda fonksiyonun konkav

(6)

olması da gerekmemektedir. Verilen aralıkta fonksiyonun unimodal (tek tepe noktalı) olması yeterlidir. Bu yöntemde 𝜃𝜃1 < 𝜃𝜃₂ için aşağıdaki kurallar geçerli olmalıdır:

• 𝑔𝑔(𝜃𝜃₁) ≤ 𝑔𝑔(𝜃𝜃₂) ise her 𝜃𝜃 ≤ 𝜃𝜃₁ için 𝑔𝑔(𝜃𝜃) ≤ 𝑔𝑔(𝜃𝜃1) olmalıdır.

• 𝑔𝑔(𝜃𝜃₁) ≥ 𝑔𝑔(𝜃𝜃₂) ise her 𝜃𝜃 ≥ 𝜃𝜃₂ için 𝑔𝑔(𝜃𝜃) < 𝑔𝑔(𝜃𝜃2) olmalıdır.

Yarılama yönteminin yakınsaması yavaş fakat uygulaması kolay olan bir yöntemdir.

Belirlenen aralığın orta noktası yaklaşık kök olarak kabul edilir.

• 𝒇𝒇(𝒂𝒂). 𝒇𝒇(𝒃𝒃) < 𝟎𝟎 ise kök [𝒂𝒂, 𝒃𝒃] aralığında olacaktır.

• 𝑓𝑓(𝑥𝑥0). 𝑓𝑓(𝑡𝑡) < 0 ise kök [𝑡𝑡, 𝑥𝑥0] aralığında olacaktır.

• 𝑓𝑓(𝑥𝑥0). 𝑓𝑓(𝑏𝑏) < 0 ise kök [𝑥𝑥0, 𝑏𝑏] aralığında olacaktır.

• 𝑓𝑓(𝑡𝑡). 𝑓𝑓(𝑏𝑏) > 0 ise [𝑡𝑡, 𝑏𝑏] aralığında herhangi bir kök yoktur. Çünkü a ve b noktalarının her ikisi de ya kökün sağında ya da solundadır. Diğer bir ifade ile kök, a ve b noktaları arasında değildir.

𝒇𝒇(𝒂𝒂) 𝒇𝒇(𝒃𝒃)

(7)

Seçilen yeni aralığa göre

𝒙𝒙

_{𝒌𝒌+𝟏𝟏}

=

^{𝒂𝒂+𝒃𝒃}_𝟐𝟐 ile hedeflenen köke ulaşıncaya kadar işlemlere devam edilir.

Yukarıdaki işlemler bir fonksiyonun optimum noktalarını bulmak için uygulanacaksa, önce fonksiyonun türevi alınmalıdır. Türevinin kökü bulunduğunda fonksiyonun optimum noktası bulunmuş olacaktır.

Örnek:

𝒇𝒇(𝒙𝒙) =

^𝒙𝒙_𝟐𝟐^𝟐𝟐

+

^𝟐𝟐_𝟑𝟑

𝒙𝒙

^𝟑𝟑

+ 𝟑𝟑𝒙𝒙

^𝟐𝟐

+ 𝟑𝟑𝒙𝒙

fonksiyonunun [-1, 0] aralığındaki optimum noktasını bulalım.

Önce fonksiyonun türevini almalıyız.

𝒇𝒇′(𝒙𝒙) = 𝒙𝒙^𝟑𝟑+ 𝟐𝟐𝒙𝒙^𝟐𝟐+ 𝟔𝟔𝒙𝒙 + 𝟑𝟑 fonksiyonu = 0 yapan kökler Optimum değerlerdir.

Türevin kökünü bulursak fonksiyonun optimum noktasını elde ederiz. Verilen aralıkta kökün olup olmadığına bakalım. [-1, 0] aralığındaki kökü-optimum noktayı bulalım:

𝑓𝑓′(−1) = −2 𝑓𝑓′(0) = 3

𝑓𝑓^′(−1) ∗ 𝑓𝑓^′(0) = −2 ∗ 3 = −6 < 0 olduğu için bu aralıkta bir kök vardır.

Şimdi Yarılama Yöntemini uygulayabiliriz:

𝑥𝑥0 = −1 + 0

2 = −0,5 𝑓𝑓′(−0,5) = 0,375

𝑓𝑓′(−1) ∗ 𝑓𝑓′(−0,5) = −2 ∗ 0,375 = −0,75 < 0 olduğu için yeni aralık [-1, -0,5] olarak seçilir. Şimdi bu aralığa göre yeni noktayı bulalım:

𝑥𝑥1 =−1 + (−0,5)

2 = −0,75

𝑓𝑓′(−0,75) = −0,7969

𝑓𝑓′(−0,5) ∗ 𝑓𝑓′(−0,75) = 0,375 ∗ (−0,7969) < 0 olduğu için yeni aralık [-0,75, -0,5]

olarak seçilir. Şimdi bu aralığa göre yeni noktayı bulalım:

(8)

𝑥𝑥₂ = −0,75 + (−0,5)

2 = −0,625

𝑓𝑓′(−0,625) = −0,2129

𝑓𝑓′(−0,5) ∗ 𝑓𝑓′(−0,625) = 0,375 ∗ (−0,2129) < 0 olduğu için yeni aralık [-0,625, - 0,5] olarak seçilir. Bu aralığa göre yeni nokta:

𝑥𝑥₃ = −0,5 + (−0,625)

2 = −0,5625

𝑓𝑓′(−0,5625) = 0,0798

𝑓𝑓′(−0,5625) ∗ 𝑓𝑓′(−0,625) = 0,0798 ∗ (−0,2129) < 0 olduğu için yeni aralık [-0, 625, -0, 5625] olarak seçilir. Bu aralığa göre yeni nokta:

𝑥𝑥₄ = −0,5625 + (−0,625)

2 = −0,5938

𝑓𝑓′(−0,5938) = −0,067

𝑓𝑓′(−0,5625) ∗ 𝑓𝑓′(−0,5938) = 0,0798 ∗ (−0,067) < 0 olduğu için yeni aralık [- 0,5938, -0,5625] olarak seçilir. Bu aralığa göre yeni nokta:

𝑥𝑥₅ = −0,5625 + (−0,5938)

2 = −0,5781

𝑓𝑓′(−0,5781) = 0,0066

𝑥𝑥₆ = −0,5781 + (−0,5938)

2 = −0,5859

𝑓𝑓′(−0,5859) = −0,03

𝑥𝑥7 = −0,5781 + (−0,5859)

2 = −0,582

𝑓𝑓′(−0,582) = −0,0117

(9)

𝑥𝑥₈ = −0,5781 + (−0,582)

2 = −0,58

𝑓𝑓′(−0,58) = −0,0023

𝑥𝑥₉ =−0,5781 + (−0,58)

2 = −0,579

𝑓𝑓′(−0,579) = 0,0024

𝑥𝑥₁₅ =−0,579 + (−0,58)

2 = −0,5795

𝒇𝒇′(−𝟎𝟎, 𝟓𝟓𝟕𝟕𝟓𝟓𝟓𝟓) = 𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟑𝟑 ≅ 𝟎𝟎 kabul edilebileceğinden sonuç yeterince sıfıra(0) yakınsanmıştır.

O halde k=15 için

𝒇𝒇(𝒙𝒙) =

^𝒙𝒙_𝟐𝟐^𝟐𝟐

+

^𝟐𝟐_𝟑𝟑

𝒙𝒙

^𝟑𝟑

+ 𝟑𝟑𝒙𝒙

^𝟐𝟐

+ 𝟑𝟑𝒙𝒙

fonksiyonunun

𝒙𝒙 = −𝟎𝟎, 𝟓𝟓𝟕𝟕𝟓𝟓𝟓𝟓

^noktası

optimum nokta

olarak elde edilmiştir. Bu noktaya karşılık fonksiyonun Optimum değeri

𝒇𝒇(−𝟎𝟎, 𝟓𝟓𝟕𝟕𝟓𝟓𝟓𝟓) = −𝟎𝟎, 𝟕𝟕𝟑𝟑𝟐𝟐𝟓𝟓𝟕𝟕 olacaktır.

Excel ile aynı işlemi gerçekleştirmiş olsaydık aşağıdaki gibi bir sonuç elde ederdik.

K a b xk f’(a) f’(b) f’(xk) f(xk)

1 -1,000000 0 -0,5 -2 3 0,375 -0,81771

2 -1,000000 -0,5 -0,75 -2 0,375 -0,7969 -0,76465 3 -0,750000 -0,5 -0,625 -0,79688 0,375 -0,2129 -0,82774 4 -0,625000 -0,5 -0,5625 -0,21289 0,375 0,0798 -0,83191 5 -0,625000 -0,5625 -0,59375 -0,21289 0,079834 -0,0667 -0,83211 6 -0,593750 -0,5625 -0,57813 -0,06674 0,079834 0,0065 -0,83258 7 -0,593750 -0,57813 -0,58594 -0,06674 0,0064812 -0,0301 -0,83249 8 -0,585938 -0,57813 -0,58203 -0,03015 0,0064812 -0,0118 -0,83257 9 -0,582031 -0,57813 -0,58008 -0,01184 0,0064812 -0,0027 -0,83258 10 -0,580078 -0,57813 -0,5791 -0,00268 0,0064812 0,0019 -0,83258 11 -0,580078 -0,5791 -0,57959 -0,00268 0,0019012 -0,0004 -0,83258 12 -0,579590 -0,5791 -0,57935 -0,00039 0,0019012 0,0008 -0,83258 13 -0,579590 -0,57935 -0,57947 -0,00039 0,0007562 0,0002 -0,83258 14 -0,579590 -0,57947 -0,57953 -0,00039 0,0001838 -0,0001 -0,83258

(10)

15 -0,579529 -0,57947 -0,5795 -0,0001 0,0001838 0,0000 -0,83258

Ele aldığımız fonksiyonun çözümünü MATLAB ile de gerçekleştirebiliriz. Aşağıda yarılama yönteminin MATLAB kodları verilmektedir.

% Yarılama Metodu ile Maks/Min Nokta Bulma Yöntemi

% y : (1/4)*x^4+(2/3)*x^3+3*x^2+3*x

% a : alt sınır

% u : üst sınır

% delta : tolerans sınırı

% x : aranan optimum değeri

% clc a=-1;

u=0;

delta=0.00000001;

ya=a^3+2*a^2+6*a+3; % Fonksiyonun Türevinde alt değerin konulması yu=u^3+2*u^2+6*u+3; % Fonksiyonun Türevinde üst değerin konulması if ya*yu>0

disp(‘seçilen aralıklar arasında fonksiyonun extramumu yoktur’) break

end

adim=1+round((log(u-a)-log(delta))/log(2)); % kaç iterasyon yapılacak..

for k=1:adim x=(a+u)/2;

yx=x^3+2*x^2+6*x+3;

if yx==0 % Türev değeri 0 ise extramum bulunmuştur.

A=x;

u=x;

elseif yu*yx>0 % Yarı nokta extramum ile üst nokta arasında..

u=x; % türev değerlerin ikisi negaif veya ikisi pozitif yu=yx;

else % Yarı nokta alt nokta ile extramum arasında..

a=x;

ya=yx;

end

if (u-a)<delta break end

end

optimum=(a+u)/2 hata=abs(u-a)

yx=(1/4)*x^4+(2/3)*x^3+3*x^2+3*x k

Örnekler: Aşağıdaki fonksiyonların ekstremum noktalarını Yarılama Yöntemini kullanarak el ile, MATLAB ile ve Excel ile bulunuz.

1. 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 4𝑥𝑥⁴− 𝑥𝑥²+ 5 2. 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 6𝑥𝑥⁵− 4𝑥𝑥³+ 10

(11)

Açıklama:

MATLAB’da bir fonksiyonun değerini kolayca bulmak için aşağıdaki kodlar kullanılabilir.

>> syms x

>> k=x^3+2*x^2+6*x+3;

>> k1=subs(k,-1) k1 = -2

>> k3=subs(k,0) k3 = 3

>> k2=subs(k,-0.5) k2 =0.3750

veya şu şekilde fonksiyonun değeri bulunabilir.

>> k=[1 2 6 3]

k =

1 2 6 3

>> k3 = polyval(k,-0,5) k3 = 3

NOT: Öğrencilere soruldu; soracak her hangi bir soruları olduğunu belirtmediler…