Test 17 Basit Eşitsizlikler I

– 107 –

www

.krakademi.com

MATEMATİK

Test 17 Çözümler

BASİT

EŞİTSİZLİKLER – I

1.

Bilgi:

Eşitsizlikler çözülürken 1. dereceden denklem gibi düşünülerek çözüm yapılır.

• Önünde “–” işareti olan ifade eşitsizliğin diğer tarafına işaret değiştirerek “+” olarak geçer.

a b c a b c a c b a c b < < < < - + + olur.

• Eşitsizliklerde içler dışlar çarpımı yapılabilir. • Eşitsizlik pozitif bir sayı ile çarpılır veya bölünürse

eşitsizlik yön değiştirmez.

• Eşitsizlik negatif bir sayı ile çarpılır veya bölünür-se eşitsizlik yön değiştirir.

Bu bilgiler ışığında sorunun çözümüne dönülürse;

(‹ç ›fl ç › › › › ) x

x

x _{ler d lar arp m yap l rsa} x 2 3 5 2 5 3 2 8 16 < < < < -+

-olur. x in 16 dan küçük en büyük tam sayı değeri 15 tir.

Cevap: B

2.

Demet ablasından küçük olacağından

a a a 2 8 6 14 < < - +

olup a tam sayı olduğundan a = 13 alınır ve Demet en çok

2·13 – 8 = 18 yaşındadır.

Cevap: B

3.

Bilgi:

Aşağıda bazı eşitsizlikler ve o eşitsizliklere ait çözüm aralıklarının nasıl yazılacağı verilmiştir.

• a < x < b & Ç.K = (a, b) • a # x < b & Ç.K = [a, b) • a < x # b & Ç.K = (a, b] • a # x # b & Ç.K = [a, b] • x < a & Ç.K = (–∞, a) • x $ a & Ç.K = [a, +∞)

Dikkat edilecek olursa eşitlik olan durumlarda çözüm kümesi yazılırken köşeli parantez (yani “[” veya “]”) kullanılır. Eşitlik yoksa çözüm kümesi yazılırken normal parantez (yani “(” veya “)”) kullanılır.

Bu bilgiler ışığında sorunun çözümüne dönülürse; a a 2-3<1 (Payda eşitlenirse) a a a a 2 3 1 1 6 3 2 6 6 < < ( )3 ( )2 ( )6 1 1 -3a – 2a < 6 a < 6 olur.

Bu durumda eşitsizliğin çözüm aralığı (–∞, 6) bulunur.

Cevap: A

4.

Bilgi:

Eşitsizlik negatif bir ifade ile çarpılır veya bölünürse eşitsizlik yön değiştirir.

a < b, c < 0 olmak üzere . a c b c c a c b _dir > > $ $

Bu bilgiler ışığında sorunun çözümüne dönülürse; ab a a ab a a 2 14 0 2 2 2 14 < <

-a neg-atif olduğund-an eşitsizlik yön değiştirir ve b > 7

olup b nin en küçük değeri 8 bulunur.

– 108 –

www

.krakademi.com

MATEMATİK

Test 17 Çözümler

BASİT

EŞİTSİZLİKLER – I

5.

Bilgi: • x2 _{< x & 0 < x < 1 olmalıdır.}

• y2 _{< –y & –1 < y < 0 olmalıdır.}

Bu bilgiler ışığında sorunun çözümüne dönülürse;

a a a b b b 1 0 0 1 < < < < < < 2 2 & & -

-olur. Buna göre, öncüller incelenirse; I. a ,b al n rsa› › 4 2 4 1 = - = . a b t r 4 2 4 1 4 3 _ü - = - =

-Dolayısıyla, a – b > 0 ifadesi kesinlikle doğru değildir. II. a ,b al n rsa› › 4 2 4 1 = - = . a b t r 4 2 4 1 4 1 _ü = = -+ +

Dolayısıyla, a + b > 0 ifadesi kesinlikle doğru değildir.

III. –1 < a < 0 ifadesinin karesi alınırsa ifade negatif olduğundan eşitsizliğin yönü değişir. Yani 1 > a2 _{> 0}

olur. Dolayısıyla kesinlikle doğrudur.

IV. a negatif, b pozitif olduğundan çarpımları kesinlik-le negatif olur.

Dolayısıyla a·b < 0 ifadesi kesinlikle doğrudur. Buna göre, kesinlikle doğru olan ifadeler III ve IV tür.

Cevap: E

6.

Bu tür sorularda eşitsizlikler ikili ikili ele alınarak çözüm yapılır. a + b < a + c < b + c a b a c b c < < + + a c b c a b < < + +

olur. Bu iki eşitsizlik birleştirilirse a < b < c bulunur.

Cevap: A

7.

Bilgi:

Bilinmeyen ifade eğer reel sayılarda tanımlıysa (tanım kümesi verilmediğinden reel sayılarda tanımlı kabul edilir.) istenen ifade gerekli işlemler yapılarak eşitsizliğin içinde elde edilir.

Bu bilgiler ışığında sorunun çözümüne dönülürse; –2 < x < 3 eşitsizliği kullanılarak 3x + 1 ifadesi elde edilmelidir. Bunun için eşitsizlik önce 3 ile çarpılır sonra eşitsizliğin her tarafına 1 eklenir.

–2 < x < 3

eşitsizliği 3 ile çarpılırsa

( ) x x 3 2 3 3 3 6 3 9 < < < < $ - $ $ -eşitsizliğe 1 eklenirse x x 6 1 3 1 9 1 5 3 1 10 < < < < - + + + - +

bulunur ve 3x + 1 ifadesinin {–4, –3, ..., 8, 9} olmak üzere 14 tam sayı değeri vardır.

Cevap: D

8.

Bilgi: < < # + < < # + < < < + # # # +

Bilinmeyen ifadeler reel sayılar kümesinde tanımlı olduğundan istenen ifade (yani x – y) eşitsizliğin için-de eliçin-de edilmelidir. Bu durumda y ye ait aralık –1 ile çarpılır ve x e ait aralıkla toplanırsa,

/

" "

. x

y

Bir e itsizli i ile arpmak demek s n rlar n yer ve i aretini de i tirmesi demektir

x y x y 3 3 1 4 2 1 3 3 2 4 1 7 fl € ç › › › fl € fl < < < < < < < < < < -- - -+ --

-olup x – y nin alabileceği değerler {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} olup 7 tanedir.

– 109 –

www

.krakademi.com

MATEMATİK

Test 17 Çözümler

BASİT

EŞİTSİZLİKLER – I

9.

Bilgi:

Bilinmeyen ifade eğer tam sayılar kümesinde tanım-lıysa istenen ifadeyi bulmak için bilinmeyen ifadelere aralıktan uygun değerler verilerek çözüm yapılır. Bu bilgiler ışığında sorunun çözümüne dönülürse; 2a – 3b ifadesinin en büyük değerini bulmak için aralıklara bakılarak a ya en büyük, b ye en küçük tam sayı değeri verilmelidir.

O hâlde a ya aralığındaki en büyük tam sayı değeri yani 3, b ye aralığındaki en küçük tam sayı değeri yani –2 verilmelidir.

Bu durumda 2a – 3b ifadesinin en büyük tam sayı değeri ( ) . a b bulunur 2 3 2 3 3 2 6 6 12 $ $ - = - -= + = Cevap: E

10.

a ve b doğal sayı olduğundan a ve b ye değer verilir. a

b 2

12

+ toplamının en büyük tam sayı değerini bul-mak için a = 2 nin katı olan 6 ve b = 12 yi tam bölen 4 alınmalıdır. Buna göre,

. a b bulunur 2 12 2 6 4 12 3 3 6 + = + = + = Cevap: E

11.

a b c 3<9<6 ifadesinde a = 1, b = 4 ve c = 3 alınırsa olur ve 3 1 18 6 18 8 18 9 9 4 6 3 < < < < ( ) ( ) ( )6 2 3 a + b + c nin en küçük değeri 1 + 4 + 3 = 8 bulunur. Cevap: A

12.

₁₁1 <_x1₃<4

-x – 3 = 0 & -x = 3 paydayı sıfır yaptığından alınmaz. x x 1 11 1 3 4 1 11 3 4 1 > > > > -eşitsizliğine 3 eklenirse x x olup 11 3 3 3 4 1 ₃ 14 1 4 3 > > > > , 3 25 + - + + .

x; {13, 12, 12, ..., 4} 10 farklı tam sayı değeri vardır.

– 110 –

www

.krakademi.com

MATEMATİK

Test 17 Çözümler

BASİT

EŞİTSİZLİKLER – I

13.

Bilgi:

Bu tür işaret tablosu gerektiren soruların çözümünde sırasıyla aşağıdaki yollar izlenir.

I. İfadeler çarpım durumunda değilse önce çarpım durumuna getirilir.

II. Öncelikle her çarpan ayrı ayrı sıfıra eşitlenerek kökler bulunur.

III. Kökler küçükten büyüğe doğru sıralanarak işaret tablosuna yerleştirilir.

IV. Çarpanlardan en büyük dereceli bilinmeyenlerin işaretleri çarpılır ve ortaya çıkan işaret, işaret tablosunun en sağına yazılır. Daha sonra da kök değerlerinde işaret değiştirilerek sola doğru devam edilir.

V. Soruda “<” veya “>” işaretleri varsa payı sıfır yapan kökler çözüm kümesine alınmaz. Soruda “#” veya “$” işaretleri varsa payı sıfır yapan kök-ler çözüm kümesine dahil edilir.

VI. Paydayı sıfır yapan değerler çözüm kümesine asla alınmaz.

Bu bilgiler ışığında sorunun çözümüne dönülürse; • (x 2_x) ($ ₃4 x)<0

-+

-eşitsizliğindeki her çarpan sıfıra eşitlenerek kökler bulunur.

x + 2 = 0 & x = –2 dir. 4 – x = 0 & x = 4 tür. x – 3 = 0 & x = 3 tür.

• x in katsayılarının işaretlerine bakılarak işaret tespiti yapılır. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . x x x olur 3 2 4 0 < & 5 5 $ 6 $ -+ + + =

-• Kökler küçükten büyüğe sıralanarak işaret tablo-suna yerleştirilir.

x –∞ –2 +∞

+ – + –

3 4

Eşitsizlikte küçük sıfır (< 0) olduğu için (–) negatif olan yerler alınır.

Eşitlik olmadığı için payı sıfır yapan değerler çözüm kümesine alınmaz. O hâlde, çözüm kümesi

Ç.K = (–2, 3) £ (4, +∞) şeklinde oluşur.

Buna göre, çözüm kümesi –2 < x < 3 ve x > 4 küme-lerinin birleşimiyle yani I. ve III. öncüllerin birleşimiyle oluşur.

Cevap: C

14.

Bilgi:

Kuvveti çift olan sayıların tamamı, kuvveti tek olan sayıların sadece kuvveti atılır.

Bu bilgiler ışığında sorunun çözümüne dönülürse; • x in kuvveti tek olduğundan kuvveti, y nin kuvveti

çift olduğundan tamamı atılır. x y5$ 4>0&x>0 (yani x pozitiftir.)

• y nin kuvveti tek olduğundan kuvveti, z nin kuvveti çift olduğundan tamamı atılır.

y z1$ 8<0&y<0 (yani y negatiftir.)

• x ve z nin kuvvetleri tek olduğundan sadece kuv-vetleri atılır.

x z1$ 1<0&x z$ <0

x·z < 0 ise x ile z ters işaretli olmalıdır. x pozitif olduğundan z negatif olmalıdır.

Buna göre, x, y ve z nin işaretleri sırasıyla +, –, – olur.