(2.3) = ( 2) [ (y II.2 PARAMETRE TAHMİNİ. Sabit etkili dengeli tek yönlü varyans analizi modeli için model denklemi:

(1)

II.2 PARAMETRE TAHMİNİ

Sabit etkili dengeli tek yönlü varyans analizi modeli için model denklemi:

𝑌

_{𝑗 𝑖}

= 𝜇

_{. .}

+ 𝜏

_𝑗

+ 𝜀

_{𝑗 𝑖}

, 𝑗 = 1,2, … , 𝑘; 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 (2.2)

olup, burada

𝜀

_{𝑗 𝑖}

~𝐵𝑁𝐷(0 , 𝜎

_𝜀²

)

olduğu varsayılır. Bu nedenle model parametrelerinin tahmini hem En Küçük Kareler (EKK) yöntemi ile hem de En Çok Olabilirlik (EÇO) yöntemi ile yapılabilir. Her iki yöntemde aynı tahmin edicileri vermektedir. EKK yöntemi Hata Kareler Toplamını (HKT) minimize ederek parametreleri tahmin etmeyi amaçlarken, EÇO yöntemi olabilirlik fonksiyonunu maksimize ederek parametreleri tahmin etmeyi amaçlamaktadır.

Hatalar üzerindeki varsayım gereğince EKK tahmin edicileri en güçlü tahmin edicilerdir.

Burada model parametreleri

𝜇

_{. .}

, 𝜏

_𝑗 ve

𝜇

_{𝑗 .}ile hata varyansı

𝜎

_𝜀²

’

nin EKK tahmin edicileri elde edilecektir.

𝐻𝐾𝑇 = ∑

^𝑘_𝑗=1

∑

^𝑛_𝑖=1

𝜀

_𝑗𝑖²

= ∑

^𝑘_𝑗=1

∑

^𝑛_𝑖=1

(𝑦

_𝑗𝑖

− 𝜇

_{. .}

− 𝜏

_𝑗

)

²

(2.3)

𝝁_{. .}–parametresinin tahmini:

𝜕𝐻𝐾𝑇

𝜕𝜇_{. .}

= (−2) ∑

^𝑘_𝑗=1

∑

^𝑛_𝑖=1

(𝑦

_𝑗𝑖

− 𝜇̂

_{. .}

− 𝜏

_𝑗

) = 0 ⇒

∑

^𝑘_𝑗=1

∑

^𝑛_𝑖=1

𝑦

_𝑗𝑖

− 𝑘𝑛𝜇̂

_{. .}

− 𝑛 ∑

^𝑘_𝑗=1

𝜏

_𝑗

= 0 ⇒ ∑

^𝑘_𝑗=1

𝜏

_𝑗

= 0

olduğu dikkate alındığında

𝜇̂

_{. .}

=

¹

𝑘∗𝑛

∑

^𝑘_𝑗=1

∑

^𝑛_𝑖=1

𝑦

_𝑗𝑖

=

^𝑇^{. .}

𝑁

= 𝑌

_{. .}

(2.4)

elde edilir.

𝝁_{𝒋 .}–parametresinin tahmini: Önce Eşitlik (2.3)’de

𝜏

_𝑗

= 𝜇

_{𝑗 .}

− 𝜇

_{. .} yazarak HKT yeniden ifade edilirse;

𝐻𝐾𝑇 = ∑

^𝑘_𝑗=1

∑

^𝑛_𝑖=1

𝜀

_𝑗𝑖²

= ∑

^𝑘_𝑗=1

∑

^𝑛_𝑖=1

(𝑦

_𝑗𝑖

− 𝜇

_{. .}

− 𝜏

_𝑗

)

²

= ∑

^𝑘_𝑗=1

∑

^𝑛_𝑖=1

(𝑦

_𝑗𝑖

− 𝜇

_{. .}

− (𝜇

_{𝑗 .}

− 𝜇

_{. .}

))

²

= ∑

^𝑘_𝑗=1

∑

^𝑛_𝑖=1

(𝑦

_𝑗𝑖

− 𝜇

_{𝑗 .}

)

²olur. Şimdi bu ifadeyi minimize edecek şeklide

𝜇

_{𝑗 .} parametresi tahmin edilebilir.

𝜕𝐻𝐾𝑇

𝜕𝜇_{𝑗 .}

=

^𝜕

𝜕𝜇_{𝑗 .}

[∑

^𝑘_𝑗=1

∑

^𝑛_𝑖=1

(𝑦

_𝑗𝑖

− 𝜇

_{𝑗 .}

)

²

] =

^𝜕

𝜕𝜇_{𝑗 .}

[∑

^𝑛_𝑖=1

(𝑦

_𝑗𝑖

− 𝜇

_{𝑗 .}

)

²

] = (−2) ∑

^𝑛_𝑖=1

(𝑦

_𝑗𝑖

− 𝜇̂

_{𝑗 .}

) = 0 ⇒ ∑

^𝑛_𝑖=1

𝑦

_𝑗𝑖

− 𝑛 𝜇̂

_{𝑗 .}

= 0 ⇒ 𝜇̂

_{𝑗 .}

=

¹

𝑛

∑

^𝑛_𝑖=1

𝑦

_𝑗𝑖 elde edilir.

Buna göre:

𝜇̂

_{𝑗 .}

=

¹

𝑛

∑

^𝑛_𝑖=1

𝑦

_𝑗𝑖

=

^𝑇^{𝑗 .}

𝑛

= 𝑌

_{𝑗 .}

, 𝑗 = 1, 2, … , 𝑘 (2.5)

bulunur.

(2)

𝝉_𝒋–parametresinin tahmini: Eşitlik (2.3) den ^{𝜕𝐻𝐾𝑇}

𝜕𝜏_𝑗

=

^𝜕

𝜕𝜏_𝑗

[∑

^𝑘_𝑗=1

∑

^𝑛_𝑖=1

(𝑦

_𝑗𝑖

− 𝜇

_{. .}

− 𝜏

_𝑗

)

²

] = 0

olmalı ⇒ ^𝜕

𝜕𝜏_𝑗

[∑

^𝑛_𝑖=1

(𝑦

_𝑗𝑖

− 𝜇

_{. .}

− 𝜏

_𝑗

)

²

] = (−2) ∑

^𝑛_𝑖=1

(𝑦

_𝑗𝑖

− 𝜇̂

_{. .}

− 𝜏̂

_𝑗

) = 0

⇒

∑

^𝑛_𝑖=1

𝑦

_𝑗𝑖

− 𝑛 𝜇̂

_{. .}

− 𝑛𝜏̂

_𝑗

= 0

⇒

𝜏̂

_𝑗

=

¹

𝑛

∑

^𝑛_𝑖=1

𝑦

_𝑗𝑖

− 𝜇̂

_{. .} olup, böylece;

𝜏̂

_𝑗

= 𝑌

_{𝑗 .}

− 𝑌

_{. .}

(2.6)

elde edilir.

𝝈_𝜺^𝟐 - parametresinin tahmini: 𝐸(𝜀) = 0 olduğundan hata varyansı, 𝜎_𝜀² = ¹

𝑁∑^𝑘_𝑗=1∑^𝑛_𝑖=1(

𝜀

_𝑗𝑖

− 0

)²

=

¹

𝑁∑^𝑘_𝑗=1∑^𝑛_𝑖=1(

𝑦

_𝑗𝑖

− 𝜇

_..

− 𝜏

_𝑗)² olup, EKK tahmin edicsi (𝜎̂_𝜀²)_𝑁= 1

𝑁∑ ∑ (

𝑦

_𝑗𝑖

− 𝜇

^̂_..

− 𝜏

^̂_𝑗)²

𝑛

𝑖=1

=

¹

𝑁∑ ∑ (

𝑦

_𝑗𝑖

− 𝑌

_..

− 𝑌

_{𝑗 .}

+ 𝑌

_..)²

𝑛 𝑖=1 𝑘

𝑗=1 𝑘

𝑗=1

(𝜎̂_𝜀²)_𝑁

=

¹

𝑁

∑

^𝑘_𝑗=1

∑

^𝑛_𝑖=1

(𝑦

_𝑗𝑖

− 𝑌

_{𝑗 .}

)

²

(2.7)

olarak bulunur.

Teorem II.1 Eşitlik (2.7) ile verilen (𝜎̂_𝜀²)_𝑁 tahmin edicisi, 𝜎_𝜀² parametresi için yanlı bir tahmin edicidir. 𝜎_𝜀² parametresi için yansız bir tahmin edici:

𝜎̂

_𝜀²

= 𝐻𝐾𝑂 =

^∑ ^∑ ^(𝑦^𝑗𝑖^−𝑌^{𝑗 .}⁾

𝑛 2 𝑘 𝑖=1 𝑗=1

𝑁−𝑘

(2.8)

dir.

İspat: Eşitlik (2.2) ile verilen model için

𝜀

_𝑗𝑖

~𝐵𝑁𝐷(0 ,

𝜎_𝜀²

)

ve böylece

𝑌

_{𝑗 𝑖}

~𝐵𝑁𝐷(𝜇

_..

+ 𝜏

_𝑗

,

𝜎_𝜀²

)

dır. Burada 𝜎_𝜀² = 𝐸 (

𝑦

_𝑗𝑖

− 𝐸

(

𝑦

_𝑗𝑖))

2

= 𝐸 (

𝑦

_𝑗𝑖

− 𝜇

_..

− 𝜏

_𝑗)² dir. Şimdi (𝜎̂_𝜀²)_𝑁 tahmin edicisi, 𝜎_𝜀² parametresi için yanlı bir tahmin edici olduğunu gösterelim.

𝐸[(𝜎̂_𝜀²)_𝑁] = 𝐸 [_𝑁¹∑^𝑘_𝑗=1∑^𝑛_𝑖=1(

𝑦

_𝑗𝑖

− 𝑌

_{𝑗 .})²] = ¹

𝑁

∑

^𝑘_𝑗=1

∑

^𝑛_𝑖=1

𝐸 (𝑦

_𝑗𝑖

− 𝑌

_{𝑗 .}

)

²

=

¹

𝑁

∑

^𝑘_𝑗=1

∑

^𝑛_𝑖=1

𝐸 [(𝑦

_𝑗𝑖

− 𝜇

_..

− 𝜏

_𝑗

) − (𝑌

_{𝑗 .}

− 𝜇

_..

− 𝜏

_𝑗

)]

²

=

¹

𝑁

∑

^𝑘_𝑗=1

∑

^𝑛_𝑖=1

𝐸(𝑦

_𝑗𝑖

− 𝜇

_..

− 𝜏

_𝑗

)

²

−

²

𝑁

∑

^𝑘_𝑗=1

∑

^𝑛_𝑖=1

𝐸(𝑦

_𝑗𝑖

− 𝜇

_..

− 𝜏

_𝑗

)(𝑌

_{𝑗 .}

− 𝜇

_..

− 𝜏

_𝑗

)

+¹

𝑁∑^𝑘_𝑗=1𝑛𝐸 (

𝑌

_{𝑗 .}

− 𝜇

_..

− 𝜏

_𝑗)² = ^𝑁𝜎^𝜀

2

𝑁

−

²

𝑁

∑

^𝑘_𝑗=1

𝐸[𝑛𝑌

_{𝑗 .}

− 𝑛𝜇

_..

− 𝑛𝜏

_𝑗

](𝑌

_{𝑗 .}

− 𝜇

_..

− 𝜏

_𝑗

) +

^𝑛

𝑁

∑

^𝑘_𝑗=1𝐸

(𝑌

_{𝑗 .}

− 𝜇

_..

− 𝜏

_𝑗

)

²=

𝜎

_𝜀²

−

^𝑛

𝑁

∑

^𝑘_𝑗=1𝐸

(𝑌

_{𝑗 .}

− 𝜇

_..

− 𝜏

_𝑗

)

²=

𝜎

_𝜀²

−

^𝑛

𝑁

∑

^𝜎^𝜀²

𝑛 𝑘𝑗=1

=

(3)

𝜎

_𝜀²

−

^𝑘𝜎^𝜀²

𝑁

=

^𝑁−𝑘

𝑁

𝜎

_𝜀²

≠ 𝜎

_𝜀² olduğundan (𝜎̂_𝜀²)_𝑁 tahmin edicisi, 𝜎_𝜀² parametresi için yanlı bir tahmin edicidir.

Eğer yanlılık düzeltmesi yapılırsa;

𝐸[(𝜎̂_𝜀²)_𝑁]

=

^𝑁−𝑘_𝑁

𝜎

_𝜀²

⇒

^𝑁

𝑁−𝑘 𝐸

[(

𝜎

̂

_𝜀²

)

𝑁

]

=

𝜎

_𝜀²

⇒

𝐸 [ ^𝑁

𝑁−𝑘(𝜎̂_𝜀²)_𝑁] =

𝜎

_𝜀² olup, 𝜎̂_𝜀² = ^𝑁

𝑁−𝑘(𝜎̂_𝜀²)_𝑁 = ^𝑁

𝑁−𝑘 1

𝑁

∑

^𝑘_𝑗=1

∑

^𝑛_𝑖=1

(𝑦

_𝑗𝑖

− 𝑌

_{𝑗 .}

)

²

=

¹

𝑁−𝑘

∑

^𝑘_𝑗=1

∑

^𝑛_𝑖=1

(𝑦

_𝑗𝑖

− 𝑌

_{𝑗 .}

)

²

=

^𝐻𝐾𝑇

𝑁−𝑘

= 𝐻𝐾𝑂

tahmin edicisi, 𝜎_𝜀² parametresi için yansız bir tahmin edicidir.

II.3 HİPOTEZ TESTİ

Eşitlik (2.2) ile verilen sabit etkili dengeli tek yönlü varyans analizi modelinde (sabit etkili dengeli tamamen rastgele kısıtlayıcısız deney tasarım modelinde), amaç denemeler (bağımsız gruplar veya faktör düzeyleri) arasında ortalamalar bakımından anlamlı bir farklılık olup olmadığını test etmektir. Bu amaçla test edilecek hipotezler:

𝐻

₀

: 𝜇

_{1 .}

= 𝜇

_{2 .}

= ⋯ = 𝜇

_{𝑘 .}

= 𝜇

_..

𝐻

₁

: ∃ 𝜇

_{𝑗 .}

diğerlerinden farklıdır (2.9)

veya

𝐻

₀

: 𝜏

₁

= 𝜏

₂

= ⋯ = 𝜏

_𝑘

= 0

𝐻

₁

: ∃ 𝜏

_𝑗

diğerlerinden farklıdır (2.10)

şeklinde ifade edilir. Bu hipotezleri test etmek için gerekli olan test istatistiği iki farklı yolla türetilebilir.

(i) Toplam değişimin (varyansın) bir ölçüsü olan genel kareler toplamını (𝐾𝑇_{𝐺𝑒𝑛𝑒𝑙}), birbirinden bağımsız iki varyans kaynağına parçalamak suretiyle

(ii) Sıfır hipotezi altındaki indirgenmiş modele ait hata kareler toplamını ile tam modele ait hata kareler toplamı arasındaki farka dayandırmak suretiyle

II.3.1 Genel Kareler Toplamının Parçalanması

Tablo 2.2 ile verilen veri düzeni için genel kareler toplamı

𝐾𝑇

_{𝐺𝑒𝑛𝑒𝑙}

= ∑

^𝑘_𝑗=1

∑

^𝑛_𝑖=1

(𝑦

_𝑗𝑖

− 𝑌

_..

)

²

(2.11)

eşitliği ile verilir. Bu eşitlikte parantez içerisine 𝑗. nci deneme için örnek ortalaması olan

𝑌

_{𝑗 .}

bir eklenip, bir çıkartılırsa, genel kareler toplamı:

𝐾𝑇

= ∑

^𝑘_𝑗=1

∑

^𝑛_𝑖=1

[(𝑦

_𝑗𝑖

− 𝑌

_{𝑗 .}

) + (𝑌

_{𝑗 .}

− 𝑌

_..

)]

²

(4)

=

^∑^𝑘_𝑗=1^∑^𝑛_𝑖=1(𝑦_𝑗𝑖− 𝑌_{𝑗 .})² + ∑^𝑘_𝑗=1∑^𝑛_𝑖=1(𝑌_{𝑗 .}− 𝑌_..)² + 2 ∑^𝑘_𝑗=1∑^𝑛_𝑖=1(𝑦_𝑗𝑖− 𝑌_{𝑗 .})(𝑌_{𝑗 .}− 𝑌_..) (2.12) yazılabilir. Bu eşitlikteki ikili çarpım teriminin değeri sıfırdır. Gerçekten;

∑

^𝑘_𝑗=1

∑

^𝑛_𝑖=1

(𝑦

_𝑗𝑖

− 𝑌

_{𝑗 .}

)(𝑌

_{𝑗 .}

− 𝑌

_..

) = ∑

^𝑘_𝑗=1

(𝑌

_{𝑗 .}

− 𝑌

_..

) ∑

^𝑛_𝑖=1

(𝑦

_𝑗𝑖

− 𝑌

_{𝑗 .}

) =

∑

^𝑘_𝑗=1

(𝑌

_{𝑗 .}

− 𝑌

_..

)( ∑

^𝑛_𝑖=1

𝑦

_𝑗𝑖

− 𝑛𝑌

_{𝑗 .}

) = ∑

^𝑘_𝑗=1

(𝑌

_{𝑗 .}

− 𝑌

_..

)( 𝑛𝑌

_{𝑗 .}

− 𝑛𝑌

_{𝑗 .}

) = 0

olduğu görülmektedir. Böylece Eşitlik (2.12);

𝐾𝑇

= ∑

^𝑘_𝑗=1

∑

^𝑛_𝑖=1

(𝑦

_𝑗𝑖

− 𝑌

_{𝑗 .}

)

²

+ ∑

^𝑘_𝑗=1

𝑛 (𝑌

_{𝑗 .}

− 𝑌

_..

)

²

(2.13)

şeklinde ifade edilir. Eğer;

𝐾𝑇_{𝐷𝑒𝑛𝑒𝑚𝑒} = ∑^𝑘_𝑗=1∑^𝑛_𝑖=1(𝑌_{𝑗 .}− 𝑌_..)² = ∑^𝑘_𝑗=1

𝑛

(

𝑌

_{𝑗 .}

− 𝑌

_..)²

(2.14)

𝐾𝑇_{𝐻𝑎𝑡𝑎} = ∑^𝑘_𝑗=1∑^𝑛_𝑖=1(

𝑦

_𝑗𝑖

− 𝑌

_{𝑗 .})²

(2.15)

tanımlanırsa, Eşitlik (2.13) kısaca;

𝐾𝑇

=

𝐾𝑇_{𝐷𝑒𝑛𝑒𝑚𝑒} + 𝐾𝑇_{𝐻𝑎𝑡𝑎}

olarak ifade edilir. Burada Eşitlik (2.11), (2.14) ve (2.15) sırası ile genel örnekleme ait toplam varyansın, denemelere ait varyansın ve hata terimlerine ait varyansın pay kısmını ifade eder.

Bu eşitlikler ilgili kareler toplamları için tanımlama formülleri olarak bilinir ve hesaplamalarda genellikle aşağıdaki formülle tercih edilir.

𝐾𝑇

= ∑

^𝑘_𝑗=1

∑

^𝑛_𝑖=1

𝑦

_𝑗𝑖²

−

^𝑇^..²

𝑁

(2.16)

𝐾𝑇_{𝐷𝑒𝑛𝑒𝑚𝑒} = ∑ ^𝑇^𝑗.

2 𝑛

−

^𝑇_𝑁^..²

𝑘𝑗=1

(2.17)

𝐾𝑇_{𝐻𝑎𝑡𝑎} = ∑^𝑘_𝑗=1∑^𝑛_𝑖=1

𝑦

_𝑗𝑖²

−

^∑ ^𝑇^𝑗.

2 𝑛

𝑘𝑗=1

(2.18)

Kareler toplamları kendi serbestlik derecelerine bölündüğünde varyanslar ya da kareler ortalamaları) elde edilir. Böylece Eşitlik (2.2) ile verilen modelde, (2.9) veya (2.10) ile verilen 𝐻₀ hipotezini test etmek için;

𝐹

_{𝐷𝑒𝑛𝑒𝑚𝑒}

=

𝐾𝑇_{𝐷𝑒𝑛𝑒𝑚𝑒} (𝑘−1)

⁄ 𝐾𝑇_{𝐻𝑎𝑡𝑎}

(𝑁−𝑘)

⁄

=

^𝐾𝑂^{𝐷𝑒𝑛𝑒𝑚𝑒}

𝐾𝑂_{𝐻𝑎𝑡𝑎}

(2.19)

test istatistiği kullanılır. 𝐻₀ hipotezi altında test istatistiğinin alabileceği değer:

𝐹_ℎ = ^𝐾𝑂^{𝐷𝑒𝑛𝑒𝑚𝑒}

𝐾𝑂_{𝐻𝑎𝑡𝑎}

(2.20)

olacaktır. 𝐻₀ hipotezi hakkında karar verebilmek için test istatistiğinin örnekleme dağılımını ve 𝐻₁ hipotezi altında alabileceği değeri belirleyip karar kuralını oluşturmalıyız.

(5)

Teorem II.8 Eşitlik (2.2) ile verilen modelde, 𝐻₀ hipotezi altında test istatistiğinin örnekleme dağılımı,

𝑘 − 1

ve 𝑁 − 𝑘 serbestlik dereceli merkezi 𝐹 dağılımıdır.

İspat: Sabit etkili dengeli tek yönlü varyans analizi modeli için model denklemi:

𝑌

_𝑗𝑖

= 𝜇

_{. .}

+ 𝜏

_𝑗

+ 𝜀

_{𝑗 𝑖}

, 𝑗 = 1,2, … , 𝑘; 𝑖 = 1,2, … , 𝑛

ve modelin hata terimi için

𝜀

_{𝑗 𝑖}

~𝐵𝑁𝐷(0 , 𝜎

_𝜀²

)

olduğu varsayımı dikkate alındığında,

𝑦

_𝑗𝑖

~𝐵𝑁𝐷(𝜇

_𝑗.

, 𝜎

_𝜀²

)

olur, fakat 𝐻₀ hipotezi altında

𝑦

_𝑗𝑖

~𝐵𝑁𝐷(𝜇

_..

, 𝜎

_𝜀²

)

olur.

Böylece

𝑗 = 1,2, … , 𝑘

ve

𝑖 = 1,2, … , 𝑛

için ^𝑦^𝑗𝑖^−𝜇^..

𝜎_𝜀

~𝐵𝑁𝐷(0,1)

ve

(

^𝑦^𝑗𝑖^−𝜇^..

𝜎_𝜀

)

²

~𝜒

₍₁₎²

elde edilir

.

Bağımsız Ki-Kare değişkenlerinin toplanabilirlik özelliği gereğince; 𝑁 = 𝑘 ∗ 𝑛 olmak üzere

∑ ∑ (

^𝑦^𝑗𝑖^−𝜇^..

𝜎_𝜀

)

²

~𝜒

_(𝑁)²

𝑛𝑖=1

𝑘𝑗=1

(2.21)

elde edilir. Eşitlik (2.21) de

𝜇

_.. parametresi yerine EKK tahmin edicisi 𝑌_.. yazıldığında serbestlik derecesi 1 tane azalır ve

∑ ∑ (

^𝑦^𝑗𝑖⁻^𝑌^..

𝜎_𝜀

)

2

~𝜒

_(𝑁−1)²

𝑛𝑖=1

𝑘𝑗=1

(2.22)

olur (gösteriniz?). Buradan

𝐾𝑇_{𝐺𝑒𝑛𝑒𝑙}

𝜎_𝜀² =^∑ ^∑ ⁽^𝑦^𝑗𝑖^−𝑌^..)

𝑛 2 𝑘 𝑖=1 𝑗=1

𝜎_𝜀²

~𝜒

₍²_𝑁−1₎

(2.23)

elde edilir. Benzer şekilde

𝑗 = 1,2, … , 𝑘

için 𝑗.nci denemeye (gruba) ait örnek ortalaması istatistiği için 𝑌_{𝑗 .}~𝐵𝑁𝐷 (

𝜇

_𝑗.

,

^𝜎_𝑛^𝜀²) olup, 𝐻₀ hipotezi altında

𝑌

_{𝑗 .}

~𝐵𝑁𝐷 (𝜇

_..

,

^𝜎^𝜀²

𝑛

)

ve böylece

𝑗 = 1,2, … , 𝑘

için^𝑌^{𝑗 .}_𝜎𝜀^−𝜇^..

√𝑛

~𝐵𝑁𝐷(0,1) olup, (^𝑌^{𝑗 .}_𝜎𝜀^−𝜇^..

√𝑛

)

2

~𝜒₍₁₎² elde edilir

.

Bağımsız Ki-Kare değişkenlerinin toplanabilirlik özelliği gereğince;

∑ (

^𝑌^{𝑗 .}_𝜎𝜀^−𝜇^..

√𝑛

)

2

= ^𝑛

𝜎_𝜀²

∑

^𝑘_𝑗=1

(𝑌

_{𝑗 .}

− 𝜇

_..

)

²~𝜒₍²_𝑘₎

𝑘𝑗=1

(2.24)

elde edilir. Eşitlik (2.24) de

𝜇

_.. parametresi yerine EKK tahmin edicisi 𝑌_.. yazıldığında serbestlik derecesi 1 tane azalır ve

𝑛

𝜎_𝜀²∑^𝑘_𝑗=1(

𝑌

_{𝑗 .}

−

𝑌_..)²~𝜒_(𝑘−1)²

(2.25)

olur (gösteriniz?). Buradan

𝐾𝑇_{𝐷𝑒𝑛𝑒𝑚𝑒}

𝜎_𝜀² = ^{𝑛 ∑} ⁽^𝑌^{𝑗 .}⁻^𝑌^..⁾

𝑘 2 𝑗=1

𝜎_𝜀²

~𝜒

₍²_𝑘−1₎

(2.26)

(6)

elde edilir. Eşitlik (2.14) ve (2.15) ile verilen 𝐾𝑇_{𝐷𝑒𝑛𝑒𝑚𝑒} ve 𝐾𝑇_{𝐻𝑎𝑡𝑎} birbirinden bağımsız olduğundan ^𝐾𝑇^{𝐷𝑒𝑛𝑒𝑚𝑒}

𝜎_𝜀² ile ^𝐾𝑇^{𝐻𝑎𝑡𝑎}

𝜎_𝜀²

birbirinden bağımsızdır. Ayrıca;

𝐾𝑇

=

𝐾𝑇_{𝐷𝑒𝑛𝑒𝑚𝑒}+ 𝐾𝑇_{𝐻𝑎𝑡𝑎} olması sebebiyle ^𝐾𝑇^{𝐺𝑒𝑛𝑒𝑙}

𝜎_𝜀² =^𝐾𝑇^{𝐷𝑒𝑛𝑒𝑚𝑒}

𝜎_𝜀²

+

^𝐾𝑇_𝜎^{𝐻𝑎𝑡𝑎}

𝜀2 eşitliği yazılabilir. Eşitlik (2.23) ve (2.26) nin yanı sıra toplanan terimlerin bağımsızlığı dikkate alındığında;

^𝐾𝑇^{𝐻𝑎𝑡𝑎}

𝜎_𝜀²

=

^∑ ^∑ ^(𝑦^𝑗𝑖^−𝑌^{𝑗 .}⁾

𝑛 2 𝑘 𝑖=1 𝑗=1

𝜎_𝜀²

=

^𝐾𝑇^{𝐺𝑒𝑛𝑒𝑙}

𝜎_𝜀² − ^𝐾𝑇^{𝐷𝑒𝑛𝑒𝑚𝑒}

𝜎_𝜀²

= 𝜒

_(𝑁−1)²

−

𝜒₍²_𝑘−1₎~

𝜒

_{(𝑁−𝑘)}²

(2.27) elde edilir. Sonuç olarak; 𝐻₀ hipotezi doğru iken test istatistiğinin örnekleme dağılımı:

𝐹_{𝐷𝑒𝑛𝑒𝑚𝑒} =

𝜒_(𝑘−1)² (𝑘−1)

⁄ 𝜒₍²_𝑁−𝑘₎

(𝑁−𝑘)

⁄

=

𝐾𝑇𝐷𝑒𝑛𝑒𝑚𝑒 𝜎𝜀2 ⁄(𝑘−1) 𝐾𝑇𝐻𝑎𝑡𝑎

𝜎𝜀2 ⁄(𝑁−𝑘)

=^𝐾𝑂_𝐾𝑂^{𝐷𝑒𝑛𝑒𝑚𝑒}

𝐻𝑎𝑡𝑎

~

𝐹(𝑘−1);(𝑁−𝑘) (2.28) şeklinde merkezi 𝐹 dağılımı olarak elde edilir.

Karar: 𝛼 önem seviyesinde test istatistiğinin örnekleme dağılımından elde edilen değer 𝐹_𝑡= 𝐹𝛼;(𝑘−1);(𝑁−𝑘) olmak üzere, eşitlik (2.20) dikkate alındığında eğer:

𝐹_ℎ > 𝐹_𝑡 ise 𝐻₀ ret edilir. “Denemeler (gruplar) arasında anlamlı bir farklılık olduğu söylenir.

𝐹_ℎ ≤ 𝐹_𝑡 ise 𝐻₀ ret edilemez. “Denemeler (gruplar) arasında anlamlı bir farklılık olmadığı söylenir.

Tamamen rastgele kısıtlayıcısız deney tasarımı (sabit etkili dengeli tek yönlü varyan analizi) için analiz sonuçları, ANOVA tablosu olarak bilinen Tablo 2.3 ile verilebilir.

Tablo 2.3 Tek Yönlü ANOVA Tablosu

Kaynak s.d. KT KO Test İstatistiği

Denemeler(Gruplar) Hata

k-1 N-k

𝐾𝑇_{𝐷𝑒𝑛𝑒𝑚𝑒} 𝐾𝑇_{𝐻𝑎𝑡𝑎}

𝐾𝑂_{𝐷𝑒𝑛𝑒𝑚𝑒} 𝐾𝑂_{𝐻𝑎𝑡𝑎}

𝐹_{𝐷𝑒𝑛𝑒𝑚𝑒} =𝐾𝑂_{𝐷𝑒𝑛𝑒𝑚𝑒} 𝐾𝑂_{𝐻𝑎𝑡𝑎}

Genel N-1 𝐾𝑇_{𝐺𝑒𝑛𝑒𝑙}

II.4 Dengeli Olmayan Tek Yönlü Varyans Analizi

Eşitlik (2.1) ile verilen tamamen rastgele, kısıtlayıcısız deney düzeni için verilen tek yönlü varyans analizi modelinde, en az bir denemedeki gözlem sayısı diğer deneme düzeylerinden farklı ise bu takdirde modele dengeli olmayan tek yönlü varyans analizi modeli denir. Model denklemi (2.1) de verildiği gibi olup;

𝑌

_{𝑗 𝑖}

= 𝜇

_{. .}

+ 𝜏

_𝑗

+ 𝜀

_{𝑗 𝑖}

, 𝑗 = 1,2 , … , 𝑘; 𝑖 = 1,2, … , 𝑛

_𝑗

(2.29)

(7)

şeklindedir. Bu modelin dengeli modelden tek farkı, 𝑗.nci denemede 𝑛_𝑗 birim olmasıdır. Bu model için parametre tahmininde ∑^𝑘_𝑗=1𝑛_𝑗𝜏_𝑗 = 0 olduğu kabul edilir.

Gerek model parametre tahminleri ve gerekse hipotez testi işleni çok küçük nüans farkları dışında genellikle aynıdır. Model parametrelerinin EKK tahmin edicileri;

𝜇̂

_{. .}

= 𝑌

_{. .} ve

𝜏̂

_𝑗

= 𝑌

_{𝑗 .}

− 𝑌

_{. .} olup, burada

𝑇

_𝑗.

= ∑

^𝑛_𝑖=1^𝑗

𝑦

_𝑗𝑖 olmak üzere

𝑌

_{𝑗 .}

=

^𝑇^𝑗.

𝑛_𝑗 ,

𝑗 = 1, … , 𝑘

dır. Ayrıca; 𝑁 = ∑^𝑘_𝑗=1𝑛_𝑗 genel örnek birim sayısı olmak üzere

𝑇

_{. .}

= ∑

^𝑘_𝑗=1

∑

^𝑛_𝑖=1^𝑗

𝑦

_𝑗𝑖

ve

𝑌

_{. .}

=

^𝑇^{. .}

𝑁

dir.

Denemeler arasında anlamlı bir farklılık olup olmadığını (

𝐻

₀

: 𝜇

_{1 .}

= 𝜇

_{2 .}

= ⋯ = 𝜇

_{𝑘 .}

= 𝜇

_..

veya 𝐻₀: 𝜏₁ = 𝜏₂ = ⋯ = 𝜏_𝑘 = 0 ya da 𝐻₀: 𝜎_𝜏² = 0 hipotezini) test etmek için, kullanılacak olan test istatistiği:

𝐹_{𝐷𝑒𝑛𝑒𝑚𝑒} = ^𝐾𝑇^{𝐷𝑒𝑛𝑒𝑚𝑒}^⁄^𝑘−1

𝐾𝑇𝐻𝑎𝑡𝑎⁄𝑁−𝑘 =^𝐾𝑂^{𝐷𝑒𝑛𝑒𝑚𝑒}

𝐾𝑂𝐻𝑎𝑡𝑎 (2.30) şeklinde tanımlı merkezi 𝐹 istatistiğidir. Burada

𝐾𝑇

= ∑

^𝑘_𝑗=1

∑

^𝑛_𝑖=1^𝑗

(𝑦

_𝑗𝑖

− 𝑌

_..

)

²

𝐾𝑇_{𝐷𝑒𝑛𝑒𝑚𝑒} = ∑^𝑘_𝑗=1∑^𝑛_𝑖=1^𝑗 (𝑌_{𝑗 .}− 𝑌_..)² = ∑^𝑘_𝑗=1

𝑛

_𝑗 (

𝑌

_{𝑗 .}

− 𝑌

_..)²

𝐾𝑇_{𝐻𝑎𝑡𝑎} = ∑^𝑘_𝑗=1∑^𝑛_𝑖=1^𝑗 (

𝑦

_𝑗𝑖

− 𝑌

_{𝑗 .})²

şeklinde ifade edilir. 𝐻₀ hipotezi hakkında karar verme dengeli tek yönlü varyans analizi ile aynıdır.

II.5 Rastgele Etki Modeli

Eşitlik (2.2) ile dengeli, kısıtlayıcısız, tamamen rastgele deney tasarımında, eğer faktör düzeyleri rastgele seçilmiş ise modele rastgele etki modeli denir. Bu durumda 𝑗 = 1,2, … , 𝑘 için faktör düzeyleri birbirinden bağımsız rastgele değişkenlerdir. Bu model için test edilecek hipotezler,∶ 𝜎_𝜏² gruplar arası (faktör düzeyleri arası) kitle varyansı olmak üzere;

𝐻₀: 𝜎_𝜏² = 0

𝐻₁: ∶ 𝜎_𝜏² > 0 (2.31) şeklinde ifade edilir. Parametre tahminleri ve hipotez testi işlemleri, sabit etki modelindeki ile aynıdır. 𝐻₀ hipotezi ret edildiği zaman gruplar arasında istatistiksel olarak anlamlı bir farklılık olduğu söylenir. Bu sonuç, sadece ele alınan faktör düzeyleri için değil, aynı zamanda çalışmada ele alınmayan faktör düzeyleri (denemeler, gruplar) için de geçerlidir.

(8)