ÜN‹TE II.

(1)

1. ANAL‹T‹K UZAY

2. ANAL‹T‹K UZAY D A D‹K KOORD‹NAT EKSENLER‹ VE ANAL‹T‹K UZAY I. Analitik uzayda koordinat sistemi

II. Analitik uzayda dik koordinat eksenleri

III. Analitik uzayda bir noktan›n apsisi, ordinat› ve kodu

IV. Analitik uzayda bir noktan›n bafllang›ç noktas›na olan uzakl›¤›

V. Analitik uzayda iki nokta aras›ndaki uzakl›k VI. Analitik uzayda bir do¤ru parças›n›n orta noktas›

3. KÜRE DENKLEM‹

4. UZAYDA VEKTÖRLER I. Girifl

II. Uzayda nokta ile vektörün efllemesi ve yer vektörü III. Bir vektörün uzunlu¤u

IV. Uzayda iki vektörün eflitli¤i

V. Uzaydaki vektörler kümesinde toplama ifllemi ve toplama iflleminin özelikleri VI. Uzaydaki vekörler kümesinde ç›karma ifllemi

VII.Bir vektörün bir reel say› ile çarp›m›

VIII. Bir vektörün standart taban vektörüne göre ifadesi IX. Uzayda iki vektörün paralelli¤i

X. ‹ç çarp›m fonksiyonu ve Öklid iç çarp›m ifllemi XI. Bir vektörün normu (uzunlu¤u)

XII. Uzayda iki vektör aras›ndaki aç›

5. UZAYDA DO⁄RULAR I. Düzlemde do¤rular II. Uzayda do¤rular

III. Bir noktadan geçen ve bir vektöre paralel olan do¤runun denklemi IV. Uzayda iki noktas› verilen do¤runun denklemi

V. Uzayda verilen iki do¤runun birbirine paralel olma durumu VI. Uzayda verilen iki do¤runun birbirine dik olma durumu VII. Uzayda iki do¤ru aras›ndaki aç›n›n cosinüsü

VIII. Uzayda verilen bir noktan›n bir do¤ruya uzakl›¤›

ÜN‹TE II.

UZAYDA VEKTÖR, DO⁄RU VE DÜZLEM‹N ANAL‹T‹K ‹NCELENMES‹



(2)

6. UZAYDA DÜZLEMLER I. Uzayda düzlemler

II. Uzayda verilen bir noktadan geçen ve verilen bir vektöre dik olan düzlemin denklemi

III. Uzayda bir do¤ru ile bir düzlem aras›ndaki aç›

IV. Uzayda do¤ru ile düzlemin paralel olma flart›

V. Uzayda do¤ru ile düzlemin dik olma flart›

VI. Uzayda bir do¤ru ile düzlemin ortak (kesim) noktas›n›n koordinatlar›n›

bulmak

VII. Uzayda bir noktan›n bir düzleme uzakl›¤›

VIII.Uzayda iki düzlem aras›ndaki aç›

IX. Uzayda iki düzlemin paralel olma flart›

X. Uzayda iki düzlemin dik olma flart›

XI. Uzayda düzlem demeti 7. L‹NEER DENKLEM S‹STEMLER‹

I. Tan›m

II. Lineer denklem sistemleri III. Çözüm kümesi

IV. Lineer denklem sisteminin çözüm yollar›

a. Yok etme yöntemi b. Yerine koyma yöntemi c. Cramer (Kramer) yöntemi

V. Lineer denklem sistemlerinin çözüm kümesini bulma. Geometrik anlam›n› aç›klama

a. ‹ki bilinmeyenli iki denklemden oluflan sistemler b. ‹ki bilinmeyenli üç denklemden oluflan sistemler c. Üç bilinmeyenli iki denklemden oluflan sistemler d. Üç bilinmeyenli üç denklemden oluflan sistemler 8. ÖZET

9. ALIfiTIRMALAR 10. TEST II

(3)

* Bu bölümde, uzayda dik koordinat eksenlerini kavrayabilecek, uzayda vektör, do¤ru ve düzlemin analitik incelenmesini ö¤renecek,

1. Uzayda dik koordinat eksenleri ile ilgili uygulama yapabilmek için;

* Analitik uzay› ve uzayda dik koordinat eksenlerini tan›yacak,

* Uzayda bir noktan›n apsisini, ordinat›n› ve kodunu tan›yacak,

* Uzayda koordinatlar› verilen iki nokta aras›ndaki uzakl›¤› hesaplayabilecek, 2. Uzayda vektörlerle ilgili uygulamalar yapabilmek için;

* Yer vektörünü tan›mlayabilecek, yer vektörü ile uzay›n noktalar› aras›ndaki iliflkiyi yazabilecek,

* Yer vektörünün bileflenlerini tan›mlayabilecek ve sembolle gösterebilecek,

* Bafllang›ç ve bitim noktalar› bilinen bir vektöre efl olan, yer vektörünün bileflenlerini hesaplayabilecek,

* Bileflenleri ile verilen bir vektörün uzunlu¤unu hesaplayabilecek,

* Bileflenleri verilen vektörlerin toplama ifllemini ve toplama iflleminin özeliklerini vektörlerin bileflenleri cinsinden gösterebilecek,

* Bileflenleri verilen vektörlerin ç›karma ifllemini yapabilecek,

* Verilen bir vektörün, verilen bir reel say› ile çarp›m›n› bileflenleri cinsinden bulabilecek,

* Verilen iki vektörün, paralel olup olmad›¤›n› bulabilecek,

* Verilen iki vektörün, Öklid iç çarp›m›n› hesaplayabilecek,

* Verilen bir vektörün boyunu hesaplayabilecek,

* Verilen iki vektör aras›ndaki aç›y› hesaplayabilecek,

* Verilen iki vektörün dik olup olmad›¤›n› gösterebilecek, 3. Uzayda do¤rular ile ilgili uygulamalar yapabilmek için;

* Bir noktadan geçen ve bir vektöre paralel olan do¤runun denklemini yazabilecek,

* ‹ki noktas› verilen do¤runun denklemini yazabilecek,

* Verilen iki do¤runun birbirine paralel olma ve dik olma durumunu bulabilecek,

* Verilen iki do¤ru aras›ndaki aç›y› hesaplayabilecek,

* Verilen bir noktan›n bir do¤ruya uzakl›¤›n› hesaplayabilecek, BU BÖLÜMÜN AMAÇLARI

☞

(4)

4. Uzayda düzlemler ile ilgili uygulamalar yapabilmek için;

* Uzayda düzlem denklemlerini, verilen bir noktadan geçen ve verilen bir vektöre dik olan düzlem denklemini yazabilecek,

* Bir do¤ru ile bir düzlem aras›ndaki aç›y› hesaplayabilecek,

* Do¤ru ile düzlemin parelel ve dik olma durumunu bulabilecek,

* Bir do¤ru ile bir düzlemin ortak (kesim) noktas›n›n koordinatlar›n› bulabilecek,

* Bir noktan›n bir düzleme uzakl›¤›n› hesaplayabilecek,

* ‹ki düzlem aras›ndaki aç›y› hesaplayabilecek,

* ‹ki düzlemin paralel ve dik olma durumlar›n› bulabilecek,

* Düzlem demetini yazabilecek,

5. Lineer denklem sistemleri ile ilgili uygulamalar yapmak için ;

* Lineer denklem sistemlerini tan›yabilecek ve çözüm kümesini hesaplayabilecek,

* ‹ki bilinmiyenli iki veya üç denklemden oluflan denklem sistemlerinin çözüm kümesini bulabilecek. Geometrik anlam›n› aç›klayabilecek,

* Üç bilinmiyenli iki veya üç denklemden oluflan denklem sistemlerinin çözüm kümesini bulabilecek. Geometrik anlam›n› aç›klayabileceksiniz.

(5)

* Bu bölümde görece¤imiz, uzaydaki dik koordinat sistemlerini, uzaydaki vektörleri, do¤ru ve düzlemlerin analitik incelenmesini, daha iyi anlayabilmeniz için geçmifl konulardaki tan›mlar›, temel kavramlar› inceleyiniz ve problemleri tekrar çözünüz.

* Konu ile ilgili çok say›da, örnek ve al›flt›rma çözünüz. Anlayamad›¤›n›z konular› mutlaka tekrar ediniz.

* Problemleri çözerken, verilenlerle istenilenler aras›nda mutlaka bir iliflki kurunuz. Gerekirse, flekil çizerek çözmeye çal›fl›n›z.

* Çeflitli kaynak kitaplardan faydalanarak, konu ile ilgili problemler çözünüz.

* Bölümün sonunda verilen al›flt›rmalar› ve de¤erlendirme testini mutlaka çözünüz.

De¤erlendirme testinin cevaplar›n›, cevap anahtar› ile karfl›laflt›r›n›z.

NASIL ÇALIfiMALIYIZ?

✍

(6)

❂

ÜN‹TE II

UZAYDA VEKTÖR, DO⁄RU VE DÜZLEM‹N ANAL‹T‹K ‹NCELEMES‹

1. ANAL‹T‹K UZAY

Birinci bölümde, reel say›larla bir do¤runun noktalar› aras›nda birebir eflleme yapt›k. Eflleme yap›lm›fl ve yönlendirilmifl do¤ruya say› do¤rusu dedik.

Bir düzlemdeki noktalar ile reel say› ikileri ile efllenmifl olan düzleme, analitik düzlem denir. Analitik düzlemin d›fl›nda da noktalar vard›r. Analitik düzlemin noktalar›

ile bu düzlemin d›fl›ndaki bütün noktalar, uzay› meydana getirirler.

Bu bölümde, uzay›n noktalar› ile reel say› üçlülerini birebir eflleyerek ve cebirsel yöntemlerini de kullanarak yeni bilgiler ö¤renece¤iz.

2. ANAL‹T‹K UZAYDA D‹K KOORD‹NAT EKSENLER‹ VE ANAL‹T‹K UZAY

I. Analitik uzayda koordinat sistemi

Uzaydaki bir O noktas›ndan birbirine dik olan üç say› ekseninin oluflturdu¤u sisteme, Uzayda koordinat sistemi denir.

II. Analitik uzayda dik koordinat eksenleri

O noktas›na, bafllang›ç noktas› (orijin) say› eksenlerine de dik koordinat eksenleri denir. 0x, 0y ve 0z eksenleri ile gösterilir. 0x eksenine birinci eksen veya x ekseni, 0y eksenine ikinci eksen ya da y ekseni, 0z eksenine de üçüncü eksen ya da z ekseni denir.

Bu eksenlere koordinat eksenleri ve bunlar›n ikifler ikifler oluflturduklar› birbirine dik üç düzleme de, koordinat düzlemleridenir.(fiekil 2.1)

x ve y eksenlerinin oluflturdu¤u düzleme x0y veya xy düzlemi denir. y ve z eksenlerinin oluflturdu¤u düzleme y0z veya yz düzlemi denir. x ve z eksenlerinin oluflturdu¤u düzleme x0z veya xz düzlemi denir.

Koordinat sisteminin oluflturdu¤u uzaya, analitik uzaydenir.

Uzayda bir O noktas› verilsin. Verilen bu noktadan birbirini dik kesen 0x, 0y ve 0z eksenlerini çizelim. Verilen reel say›lar, çizilen do¤rular›n noktalar› ile birebir efllenerek, uzayda bulunan bütün noktalar, birer say› üçlüleri olarak gösterilebilir.

x

O y

z

fiekil 2.1

(7)

❂

Analitik uzayda her nokta, bir s›ral› reel say› üçlüsüne ve her s›ral› reel say›

üçlüsü de, uzay›n bir noktas›na karfl›l›k gelir.

III. Analitik uzayda bir noktan›n apsisi, ordinat› ve kodu

(fiekil 2.2) de; x₁ , y₁ ve z₁ reel say›lar›na P noktas›n›n koordinatlar› denir.

P(x₁, y₁, z₁) fleklinde gösterilir. P noktas›n›n apsisi x₁, ordinat› y₁ve kodu z₁dir.

ÖRNEK 1

P(2,4,3) noktas›n›, uzaydaki koordinat sisteminde iflaretleyelim.

ÇÖZÜM 1:

Uzayda verilen P (2, 4, 3) noktas›n›n apsisi 2, ordinat› 4, kodu 3 tür. (fiekil 2.3) de yeri gösterilmifltir.

Analitik uzayda, herhangi bir nokta P(x₁, y₁, z₁) olsun.

P noktas›n›n x0y düzlemi üzerindeki dik izdüflümü P´dür. (fiekil 2.2) de;

x

z₁

O y

z

y₁

x₁ P₃

P₁

P₂ P(x₁ , y₁ , z₁)

P (x₁ , y₁ , 0)

R³ = { x , y, z x, y, z∈ R }

| R³ = { x , y, z | x∈R , y∈R } kümesi fleklinde gö sterilir.

P′ noktas›n›n, 0x ekseni üzerindeki dik izdüflümü P₁ olsun. P₁ noktas›na

karfl›l›k gelen x₁ reel say›s›na, P noktas›n›n apsisi denir.

P′ noktas›n›n, 0y ekseni üzerindeki dik izdüflümü P2 olsun. P₂ noktas›na karfl›l›k gelen y₁ reel say›s›na, P noktas›n›n ordinat› denir.

P noktas›n›n 0z ekseni üzerindeki dik izdüflümü P₃ olsun. P₃ noktas›na karfl›l›k gelen z₁ reel say›s›na da A noktas›n›n kodu denir.

x

O y

z

4 P(2 , 4 , 3)

P (2 , 4 , 0) 2

3

fiekil 2.2

➠

(8)

IV. Analitik uzayda bir noktan›n bafllang›ç noktas›na olan uzakl›¤›:

Analitik uzayda bir nokta P(x1, y1, z1) olsun. Bu noktan›n bafllang›ç noktas›na olan uzakl›¤› | OP | dir.

(fiekil 2.4) teki

Analitik uzayda, P(x₁, y₁, z₁) nok tas›n›n, eksenle rin baflla ng›ç noktas›na olan uzakl¤›;

P noktas› ile P noktas›n›n koordinat düzlemlerindeki dik izdüflümleri bir dikdörtgenler prizmas›n›n köfleleridir. (fiekil 2.4) de OP do¤ru parças› bu dikdörtgenler prizmas›n›n cisim köflendir. Dikdörtgenler prizmas›n›n cisim köflegeninin uzunlu¤u,

ÖRNEK 2

Uzayda verilen P(2, -3, 6) noktas›n›n orijine olan uzakl›¤›n›n kaç birim oldu¤unu bulal›m.

ÇÖZÜM 2

Uzayda verilen P (x₁, y₁, z₁) noktas›n›n orijine olan uzakl›¤›

x

z₁

O y

z

y₁ x₁

P(x₁ , y₁ , z₁)

P (x₁ , y₁ , 0)

OP′P dik üçgeninde;

OP ² = OP′ ² + P′P ² dir.

OP′ ² = x₁² + y₁² ve P′P ² = z₁²

oldu¤undan, OP ² = x₁² + y₁² + z₁² olur.

Buradan, OP = x₁² +y₁² +z₁² birim olarak bulunur.

OP = x₁² +y₁² +z₁² birimdir.

OP = x₁² + y₁² + z₁² ifadesinden,

OP = 2² + -3² + 6² = 4 + 9 + 36 = 49 = 7 birim olur.

fiekil 2.4

➠

(9)

V. Analitik uzayda iki nokta aras›ndaki uzakl›k

Analitik uzayda, A(x₁, y₁, z₁) ve B(x₂, y₂, z₂) noktalar› verilsin. Bu iki nokta aras›ndaki uzakl›¤›n kaç birim oldu¤unu bulal›m.

ÖRNEK 3

Analitik düzlemde, A(1, 3, 4) ve B(2, 1 -1) noktalar› veriliyor. Bu iki nokta aras›ndaki uzakl›¤›n›n, kaç birim oldu¤unu bulal›m.

ÇÖZÜM 3

Uzayda verilen iki nokta uzakl›k,

x

O y

z

z₁

y₁ x₂

A(x₁ , y₁ , z₁) z₂

x₁

y₂ B(x₂ , y₂ , z₂)

D E

F

C

AB do¤ru parças›n›n x0y düzlemindeki dik izdüflümü OF do¤ru parças› olsun.

(fiekil 6.5) te, FE = x₁ - x₂ ED = y₁ - y₂ ve AC = z₁ - z₂ dir.

FED dik üçgeninde; FD ² = FE ² + ED ² dir.

ABC dik üçgeninde; AB ² = BC ² + AC ² ve BC ² = FD ² oldu¤undan, AB ² = FE ² + ED ² + AC ² dir.

AB ² = x₁ - x₂² + y₁ - y₂² + z₁ - z₂² olur.

Buradan, AB = x₁ - x₂² + y₁ - y₂² + z₁ - z₂² birim olarak bulunur.

Analitik uzayda verilen A x₁ , y₁, z₁ ve B x₂ , y₂, z₂ noktalar› aras›ndaki u z a k l›k, AB = x₁ - x₂² + y₁ - y₂² + z₁ - z₂² birimdir.

A 1, 3, 4 ve B 2, 1, 1 oldu¤undan, bu iki nokta aras›ndaki A 1, 3, 4 ve B 2, 1, 1 oldu¤undan, bu iki nokta aras›ndaki

AB = x₁ - x₂² + y₁ - y₂² + z₁ - z₂² ifadesinden, AB = 1 - 2² + 3 - 1² + 4 - 1²

AB = -1² + 2² + 3² ;

AB = 1 + 4 + 9 + 14 birim olur.

fiekil 2.5

➠

(10)

❂

VI. Analitik uzayda bir do¤ru parças›n›n orta noktas›

Analitik uzayda, AB do¤ru parças›n›n uç noktalar›n›n koordinatlar›, A(x₁, y₁, z₁) ve B(x₂ , y₂, z₂) noktalar› verilsin. Bu do¤ru parças›n›n orta noktas› C(x₀ , y₀, z₀) olsun.C noktas›n›n koordinatlar›,

3. KÜRE DENKLEM‹

Uzayda, sabit bir noktadan eflit uzakl›kta bulunan noktalar›n kümesine (geometrik yerine) küre yüzeyi, küre yüzeyi ile s›n›rlanan cisme de küredenir.

Sabit M(a, b, c) noktas›na kürenin merkezi, P(x, y, z) noktas›n›n merkezine olan uzakl›¤› r birim ise, (fiekil 2. 6) buna da, kürenin yar›çap uzunlu¤udenir.

Kürenin genel denklemi verildi¤inde, kürenin merkezi olan M(a, b, c) noktas›n›n koordinatlar›n› ve r yar›çap uzunlu¤unu bulabiliriz.

Buna göre, uzayda iki nokta aras›ndaki uzakl›k ifadesinden,

Bu denklemde parantezler aç›l›r, gerekli düzenleme yap›l›rsa,

Bu denkleme, k ü renin denklemi denir.

x₀ = x¹ + x₂

2 y₀ = y₁ + y₂

2 ve z₀ = z¹ + z₂

2 oldu¤undan, C x₀ = x₁ + x₂

2 , y₀ = y₁ + y₂

2 , z₀ = z₁ + z₂

2 olur.

x

O y

z

b M(a , b , c)

M a

c P(x , y , z)

MP = x - a² + y - b²+ z - c² olur.

Her iki taraf›n karesi al›narak ve MP = r oldu¤undan, x - a² + y - b²+ z - c² = r² bulunur.

x² + y² + z² - 2ax - 2by - 2cz + a² + b² + c² - r² = 0 bulunur.

-2a = D , -2b = E , -2c= F ve a² + b² + c² - r² = G ile gösterilirse, x² + y² +z² + Dx + Ey + Fz + G = 0 denklemi elde edilir. Bu denkleme de kürenin genel denklemi denir.

fiekil 2.6

(11)

❂

Bunun için,

Merkezinin koordinatlar› O(0, 0, 0) ve yar›çap uzunlu¤u r olan kürenin denklemi x²+ y²+ z²= r²dir. Bu flekilde olan kürelere, merkezil küre denir.

ÖRNEK 4: Merkezinin koordinatlar› M(3, 2, 1) ve yar›çap uzunlu¤u r = 4 birim olan kürenin genel denklemini yazal›m.

ÇÖZÜM 4: Kürenin denklemi (x - a)² + (y - b)² + (z - c)² = r² oldu¤undan, merkezinin koordinatlar› M(3, 2, 1) ve yar›çap uzunlu¤u r = 4 birim olan kürenin denklemi (x - 3)²+ (y - 2)²+ (z - 1)²= 16 olur.

ÖRNEK 5: Uzayda denklemi x²+ y²+ z² - 2x - 4y - 6z - 11 = 0 olan kürenin merkezinin koordinatlar›n› ve yar›çap uzunlu¤unu bulal›m.

ÇÖZÜM 5: Verilen küre denkleminde, D = -2, E = - 4 ve F = - 6 d›r.

- 2a = D ise a = - D

2 ; - 2b = E ise b = - E

2 ; - 2c = F ise c = - F 2 dir.

M a, b, c oldu¤undan, M - D 2 , - E

2 , - F

2 olur.

a² + b² + c² - r² = G oldu¤undan, r² = a² + b² + c² - G dir.

Buradan, r² = D² 4 + E²

4 + F²

4 - G ise r = 1

2 D² + E² + F² - 4G birim olur.

I. D² + E² + F² - 4G > 0 ise küre vard›r.

II. D² + E² + F² - 4G = 0 ise küre bir noktadan ibarettir.

III. D² + E² + F² - 4G < 0 ise küre tan›ml› de¤ildir.

a = - D 2 = - -2

2 = 1 ; b = - E 2 = - -4

2 = 2 ; c = - F

2 = - -6

2 = 3 oldu¤undan

r = 1

2 D²+ E²+ F²- 4G ifadesinden, r= 1

2 -2²+ -4²+ -6²- 4 -11 ; r = 1

2 4 + 16 + 36 + 44 = 1

2 100 = 1

2 10 = 5 birimdir.

verilen kürenin merkezinin koordinatlar›; M 1, 2, 3 tür.

Kürenin merkezinin koordinatlar›

(12)

Analitik Uzayda, verilen kürenin merkezinin yerine göre, denklemini yazal›m.

a. Merkezi orijinde olan kürenin denklemi: Merkezinin koorinatlar› M(0, 0, 0) ve yar›çap uzunlu¤u r birim oldu¤undan, x²+ y²+ z²= r² dir.

b. Merkezi x ekseni üzerinde olan kürenin denklemi: Merkezin koordinatlar›

M(a, 0, 0) ve yar›çap uzunlu¤u r birim oldu¤undan, (x - a)²+ y²+ z²= r² dir.

c. Merkezi y ekseni üzerinde olan kürenin denklemi: Merkezinin koordinatlar›

M( 0, b, 0) ve yar›çap uzunlu¤u r birim oldu¤undan, x²+ (y - b)²+ z²= r² dir.

d. Merkezi z ekseni üzerinde olan kürenin denklemi: Merkezinin koordinatlar›

M(0, 0, c) ve yar›çap uzunlu¤u r birim oldu¤undan, x²+ y²+ (z - c)²= r² dir.

e. Koordinat düzlemlerine te¤et olan kürenin denklemi: Merkezinin koordinatlar›

M(r, r, r) ve yar›çap uzunlu¤u r birim oldu¤undan, (x - r)²+ (y - r)²+ z - r)²= r² dir.

ÖRNEK 6

Denklemi x² + y² + z² - 2y - 24 = 0 olan kürenin merkezinin koordinatlar›n› ve yar›çap uzunlu¤unu bulal›m. Bu kürenin merkezinin hangi eksen üzerinde oldu¤unu gösterelim.

ÇÖZÜM 6

Verilen küre denkleminde, D = 0, E = - 2 ve F = 0 d›r.

a = - D 2 = - 0

2 = 0 ; b = - E 2 = - -2

2 = 1 ; c = - F 2 = - 0

2 = 0 oldu¤undan, kürenin merkezinin koordinatlar›, M 0, 1, 0 d›r.

Bu da bize kürenin merkezinin y ekseni üzerinde oldu¤unu gösterir.

r = 1

2 D² + E² + F² - 4G ifadesinden r = 1

2 0² + -2² + 0² - 4 -24 ; r = 1

2 4 + 96 = 1

2 100 = 1

2 10 = 5 birimdir.

O halde, kürenin yar›çap›n›n uzunlu¤u r= 5 birim olur.

(13)

❂

4. UZAYDA VEKTÖRLER I. G‹R‹fi

Düzlemdeki vektörler için geçerli olan tan›mlar, teoremler, kavramlar ve ifllemler uzaydaki vektörler içinde geçerlidir.

Uzayda da noktalar ile vektörler aras›nda bir eflleme yapmak mümkündür.

II. Uzayda, nokta ile vektörün efllemesi ve yer vektörü

Uzay›n her iki noktas› bir vektör belirtir. Bu iki noktaya, vektörü temsil eden yönlü do¤ru parças›n›n bafllang›ç ve bitim noktalar› denir.

Bafllang›ç noktas› O ve analitik uzay›n noktalar›ndan biri P ise vektörüne, P noktas›n›n yer (konum) vektörüdenir.

Buna göre, bafllang›ç noktas›n› uzay›n di¤er noktalar›na birlefltiren her yönlü do¤ru parças›, bir yer vektörüdür.

(fiekil 2.7) de

vektörleri birer yer (konum) vektörüdür.

Uzay›n her noktas›na, bir yer vektörü karfl›l›k gelir.

Analitik uzay›n bir P(a, b, c) noktas›n›

alal›m. Bafllang›ç noktas› O, bitim noktas› P olan bir yer (konum) vektörünü yazabiliriz.

fiekil 2.8’deki yer vektöründe;

P noktas›n›n apsisi a, vektörünün x birleflenidir. (1. birlefleni)

P noktas›n›n ordinat› b, vektörünün y birleflenidir. (2. birlefleni)

P noktas›n›n kodu c, vektörünün z birleflenidir (3. birleflenidir.)

OP

x

y

O y

z

M P

N N

OP , OM ve ON

OP

P = OP

P = OP ^x

O y

z

b P(a , b , c)

P a

c

fiekil 2.7

➠

(14)

Analitik uzay›n bir P(a, b, c) noktas›n›n yer vektörü olarak, fleklinde yaz›l›r.

Uzayda; nokta vektör efllemesinde, P noktas›n›n koordinatlar› vektörünün bileflenleridir.

Uzayda herhangi A, B ve C noktalar› için, ba¤›nt›s› vard›r.

(Paralelkenar kural›)

Düzlemde oldu¤u gibi uzayda da, gibi iki nokta verildi¤inde, vektörünün bileflenlerini bulal›m.

A ve B noktalar›n›n belirtti¤i yer vektörleri

vektörünün toplam›,

noktalar› verildi¤inde vektörü, B bitim noktas›n›n birleflenlerinden A bafllang›ç noktas›n›n bileflenleri ç›kar›larak bulunur. Bu da yer vektörüdür. Bu vektörlerin do¤rultular›, yönleri ve uzunluklar› ayn›

oldu¤undan, vektörü olur (fiekil 2.9).

ÖRNEK 7

Analitik uzayda, A(3, - 4, 2) ve B(2, 1, 0) noktalar› veriliyor. Bu noktalar›n belirtti¤i vektörünün bileflenlerini bulal›m.

ÇÖZÜM 7

Bafllang›ç noktas› O oldu¤undan,

x

y

O y

z

A (a₁ , a₂ , a₃)

B (b₁ , b₂ , b₃)

C (b₁-a₁ , b_{2 -}a₂ , b₃- a₃)

P = O P = a , b, c

O P

AB +BC = AC

A a₁, a₂, a₃ ve B b₁, b₂, b₃ AB

OA = a₁, a₂, a₃ ve OB = b₁, b₂, b₃ tür.

(fiekil 6. 9) da OA + AB = OB OB = b₁, b₂, b₃ tür.

(fiekil 6. 9) da OA + AB = OB

AB = OB - OA yaz›l›r. Buna göre;

AB = b₁, b₂, b₃ - a₁, a₂, a₃ oldu¤undan, AB = b₁ - a₁ , b₂ - a₂ , b₃ - a₃ bulunur.

A a1, a2, a3 ve B b1, b2, b3 A B O C

AB ≡ O C

AB

OA = 3, - 4, 2 ve OB = 2, 1, 0 d›r.

AB = OB - OA = 2, 1, 0 - 3, -4, 2 AB = 2 - 3 , 1 + 4, 0 - 2

AB = -1, 5, -2 olur.

AB = OB - OA yaz›l›r. Buna göre;

fiekil 2.9

➠

(15)

❂

ÖRNEK 8

Analitik uzayda, bafllang›ç noktas› A(-3,-4,1) ve bitim noktas›

B(1, 2, 3) olan vektörü veriliyor. vektörüne efl olan yer vektörünün bileflenlerini bulal›m.

ÇÖZÜM 8:

III. Uzayda bir vektörün uzunlu¤u

Uzayda herhangi iki nokta noktalar› veriliyor.

Uzunlu¤u 1 birim olan vektöre birim vektördenir.

Uzunluklar› ayn› olan yer vektörlerinin bitim noktalar›, merkezil bir küre üzerindedir.

ÖRNEK 9:

ÇÖZÜM 9:

AB AB

AB vektörünün yer vektörü OP ise OP ≡ AB dir.

O 0, 0, 0 , A -3 -4, 1 ve B 1, 2, 3 oldu¤undan, OA = -3, -4, 2 ve OB = 1, 2, 3 tür.

AB = OB - OA = 1, 2, 3 - -3, -4, 1 AB = 1 + 3, 2 + 4, 3 - 1 = 4, 6, 2 dir.

OB = b₁² +b₂² +b²₃ ifadesinden, OB = 2²+ -3²+ -1² = 4+9+1 = 14 birimdir.

AB = b₁-a₁²+ b₂-a₂² b₃-a₃²ifadesinden, AB = 2-4²+ -3+6²+ -1-2² AB = -2² + 3² + -3² = 4 + 9 + 9 = 22 birimdir.

AB ≡ OP oldu¤undan, OP = 4, 6, 2 olur.

A a1, a2, a3 ve B b1, b2, b3 OA, OB ve AB vektörlerinin uzunluklar›n› bulal›m. (fiekil 2.10)

OA = a₁² + a₂² + a₃² birimdir.

OB = b₁² + b₂² + b₃² birimdir.

AB = b₁ - a₁² + b₂ - a₂² + b₃ - a₃² birimdir.

x

y

O y

z

A (a₁ , a₂ , a₃)

B (b₁ , b₂ , b₃)

Uzayda, A 4, -6, 2 ve B 2, -3 -1 noktalar› veriliyor. OA, OB ve AB vektörlerinin uzunluklar›n›n kaç birim oldu¤unu bulal›m.

OA = a₁² + a₂² +a₃² ifadesinden, OA = 4²+ -6² + 2² OA= 16 + 36 + 4 = 56 = 2 14 birimdir.

fiekil 2.10

(16)

IV. Uzayda iki vektörün eflitli¤i Uzayda,

ÖRNEK 10

ÇÖZÜM 10

V. Uzaydaki vektör le r kümesinde toplama ifllemi ve toplama iflleminin özelikle ri Uzaydaki vektörler kümesinde;

Toplama iflleminin özelikleri

R³ uzay›ndaki vektörlerin kümesi V ile gösteriliyor. V kümesi üzerinde tan›ml›, toplama iflleminin afla¤›daki özellikleri vard›r.

d. V kümesinde toplama iflleminin birim (etkisiz) eleman› vard›r.

Bu eleman = (0, 0, 0) olarak tan›mlanan s›f›r vektörüdür.

a. V kümesi, toplama ifllemine göre kapal›d›r.

A = a₁, a₂, a₃ ve B = b₁, b₂, b₃ vektörleri veriliyor.

A = B olabilmesi için, a₁= b₁ , a₂= b₂ ve a₃= b₃ olmal›d›r.

Uzayda OA = 2,a,b ve OB = c, 3, 1 vektörleri veriliyor.

OA = OB vektörü ise a + b + c de¤erinin kaç oldu¤unu bulal›m.

Uzayda OA = OB ise 2, a, b = c, 3, 1 oldu¤undan, a=3, b=1 ve c=2'dir.

O halde, a + b + c = 3 + 1 + 2 = 6 olur.

OA = a = a₁, a₂ , a₃ ve OB = b = b₁ ,b₂ , b₃ vektörleri veriliyor.

OA + OB = a + b = a₁+ b₁, a₂+ b₃, a₃+ b₃ vektörüne, a ile b vektörlerinin toplam› denir.

Her a , b ∈V için, a + b ∈V vektörüdür.

b. V kümesinde, toplama iflleminin de¤iflme özeli¤i vard›r.

Her a, b ∈V için a + b = b + a vektörüdür.

c. V kümesinde, toplama iflleminin birleflme özeli¤i vard›r.

Her a, b, c ∈V için a + b + c = a + b + c vektörüdür.

O

Her a ∈V için a + O = O + a = a vektörüdür.

(17)

e. V kümesinde, her eleman›n toplama ifllemine göre tersi vard›r.

Uzayda vektörler kümesi, yukar›daki özelikleri sa¤lad›¤› için, toplama ifllemine göre bir de¤iflmeli gruptur.

ÖRNEK 11:

ÇÖZÜM 11: Uzayda verilen vektörlerin toplama iflleminin tan›m›na göre,

ÖRNEK 12:

ÇÖZÜM 12

ÖRNEK 13:

ÇÖZÜM 13:

VI. Uzaydaki vektörler kümesinde ç›karma ifllemi

ÖRNEK 14:

ÇÖZÜM 14:

Uzaydaki vektörler kümesinde,

Her a ∈V için a + -a = -a + a = 0 vektörüdür.

Uzayda verilen a = 2, 1, -3 ve b = 0, 3, -1 vektörleri için a + b

a + b = 2, 1, -3 + 0, 3, -1 = 2 + 0 , 1 + 3, -3 -1 = 2, 4, -4 olur.

a = 1, -2, 6 vektörünün toplama ifllemine göre tersini bulal›m.

Uzayda verilen a = 1, -2, 6 vektörünün toplama ifllemine göre tersi -a = -1, 2, -6 vektörüdür.

Uzayda verilen a = 2 + x , y - 5, z - y vektörünün toplama ifllemine göre tersi,

a vektörünün tersi - a oldu¤undan, -a = -2 - x, - y + 5, -z + y = 3 - 4, 2 -2 - x =3 ise x = -5 tir; -y + 5 = - 4 ise y=9 dur. -z+y= 2 ise -z +9 = 2; z=7 dir.

x + y + z = - 5 + 9 + 7 = 11 olur.

a ve b vektörleri veriliyor. Her a , b ∈V için a - b = a + -b fleklinde yazabiliriz.

Bu iflleme vektörler kümesinde ç›karma ifll e m i denir. a = a₁, a₂, a₃ ve b = b₁, b₂, b₃ vektörleri için, a - b = a₁ - b₁ , a₂ - b₂, a₃ - b₃ olur.

Uzayda a = 2, -1, 3 ve b = 5, 3, - 4 vektörleri veriliyor.

a - b = vektörünü bulal›m.

Uzayda verilen vektörler a = 2, -1, 3 ve b = 5, 3, - 4 oldu¤undan, a - b = 2 -5, -1-3, 3 +4 = -3, -4, 7 olur.

toplam›n› bulal›m

-a = 3, -4 , 2 vektörü ise x + y + z de¤erlerinin toplam›n› bulal›m.

Uzayda verilen vektörler a = 2, -1, 3 ve b = 5, 3, - 4 oldu¤undan, a - b = 2 -5, -1-3, 3 +4 = -3, -4, 7 olur.

(18)

❂

VII. Bir vektörün bir reel say› ile çarp›m›

Bir vektör ile bir reel say›n›n çarpma iflleminin, afla¤›daki özelikleri vard›r.

ÖRNEK 15:

ÇÖZÜM 15: Bir vektör ile bir say›n›n çarp›m› tan›m›ndan,

ÖRNEK 16:

ÇÖZÜM 16:

VIII. Bir vektörün standart taban vektörlerine göre ifadesi

Standart taban vektörlerinin bafllang›ç noktalar› orijindir. Yönleri, eksenlerin p o z i t i f yönünde olup uzunluklar› bir birimdir.

Uzayda verilen vektörünü vektörleri cinsinden yazal›m.

Vektörler kümesi V olsun. Her a= a₁, a₂ , a₃ ∈ V ve her k ∈ R için k. a = ka₁, ka₂, ka₃ vektörüne a vektörünün k say›s› ile çarp›m› denir.

Bu iflleme de bir vektör ile bir skalar› çarpma ifllemi denir.

k < 0 ise ka çarp›m› a vektörünün yönünü de¤ifltirir, do¤rultusunu de¤ifltirmez.

Uzayda, a = 3, 1, -2 vektörü ile k = 2 say›s› veriliyor.

k.a vekörünün bileflenlerini bulal›m.

k.a = 2 3, 1, -2 = 6, 2, -4 vektörü olur.

Uzayda, a = -1, -2, 3 ve b = 3, -4, 2 vektörleri veriliyor.

2a - 3b vektörlerinin bileflenlerini bulal›m.

Uzayda, a = -1, -2, 3 ve b = 3, -4, 2 vektörleri veriliyor.

2a - 3b vektörlerinin bileflenlerini bulal›m.

Uzayda a = -1, -2, 3 ve b = 3, -4, 2 vektörleri için,

2a = 2 -1, -2, 3 = -2, -4, 6 vektörüdür. 3b = 3 3, -4, 2 = 9, -12, 6 vektörüdür.

2a - 3b = -2, -4, 6 - 9, - 12, 6 = -2 - 9, -4 +12, 6 - 6 = -11, 8, 0 vektörü olur.

2a = 2 -1, -2, 3 = -2, -4, 6 ve 3b = 3 3, -4, 2 = 9, -12, 6 vektörüdür.

2a - 3b = -2, -4, 6 - 9, - 12, 6 = -2 - 9, -4 +12, 6 - 6 = -11, 8, 0 vektörü olur.

a . Her, a, b ∈ V ve her k ∈ R için k a + b = ka +kb vektörüdür.

b. Her, a ∈ V ve her k1, k₂ ∈ R için k1+ k₂ a = k₁ a + k₂a vektörüdür.

c. Her, a ∈ V ve her k1, k₂ ∈ R için k1. k₂ a = k₁k₂ a vektörüdür.

d. Her a ∈ V için 1.a = a vektörüdür.

x

y

O y

z

e₁(1,0,0)

e₂(0,1,0)

e₃(0,0,1)

Analitik uzayda, e₁ = 1, 0, 0

e₂ = 0, 1, 0 ve e₃ = 0, 0, 1 vektörlerine standart taban (baz) v e k tör l e r i denir.

(fiekil 2.11) deki standart taban vektörleri, s›ra ile 0x, 0y ve 0z eksenleri üzerindedir.

P = a, b, c e₁ , e₂, e₃

fiekil 2.11

➠

(19)

❂

(fiekil 2.12) de,

ÖRNEK 17:

ÇÖZÜM 17:

ÖRNEK 18

ÇÖZÜM 18

IX. Uzayda iki vektörün paralelli¤i

Vektörlerdeki paralellik tan›m›n›, vektörlerin bileflenleri cinsinden ifade edelim.

‹ki vektörün paralel olmas› için karfl›l›kl› birleflenlerin oranlar› eflit olmal›d›r. Paralel vektörlerin do¤rultular› ayn›d›r. Uzunluklar› farkl›, yönleri ters olabilir.

x

O y

z

e₁

e₂ e₃

P(a , b , c)

P₁(a , 0 , 0)

P₂(0 , b , 0)

P₃(0 , 0 , c)

P(a , b , 0)

OP = OP′ +P′P, OP = OP1+ OP₂ + OP₃, OP = a, 0, 0 + 0, b, 0 + 0, 0, c , OP =a 1, 0, 0 + b 0, 1, 0 + c 0, 0, 1 , OP = ae₁ + be₂ +ce₃ fleklinde yaz›l›r.

Uzayda bir a vektörü, e₁ , e₂ , e₃ vektörlerinin lineer bilefleni olarak yaz›labildi¤i gibi, analitik uzayda taban

oluflturan ve birbirinden ba¤›ms›z üç vektörün lineer bilefleni olarak da yaz›labilir.

cinsinden yazal›m.

standart taban vektörleri cinsinden yazabiliriz.

Uzayda verilen a = 2e₁ - e₂ + 5e₃ vektörünü bileflenleri cinsinden yazal›m.

Uzayda verilen a = 2e₁ - e₂ + 5e₃ vektörünü bileflenleri cinsinden yazmak için, a = 2 1, 0, 0 - 1 0, 1, 0 + 5 0, 0, 1 a = 2, 0, 0 + 0, -1, 0 + 0, 0, 5

fleklinde yazabiliriz. Bu da, a = 2, -1, 5 vektörü olur.

a, b ∈V, a ≠ 0 ve b ≠ 0 olsun, a = kb olacak flekilde bir k reel say›s› varsa, a ve b vektörlerine, paralel vektörler denir. a // b ile gösterilir.

a = a₁, a₂, a₃ ve b = b₁, b₂, b₃ olsun. a = kb oldu¤undan a₁, a₂ , a₃ = k b₁, b₂ , b₃ olur.

Buradan, k = a¹ b₁ = a²

b₂ = a³

b₃ bulunur. Bu eflitli¤e iki vektörün paralellik flart› denir.

fiekil 2.12

Uzayda verilen a = 3, 4, -1 vektörünü standart taban vektörleri

Uzayda verilen a = 3, 4, -1 vektörünü a = 3e₁ + 4e₂ - e₃

➠

(20)

ÖRNEK 19

ÇÖZÜM 19

X. ‹ç çarp›m fonksiyonu ve Öklid iç çarp›m ifllemi R³te verilen iki vektörü bir reel say›ya karfl›l›k getiren

ÖRNEK 20

ÇÖZÜM 20:

Uzayda verilen a = -1, 2- -3 ve b = -3, 6, -9 vektörlerinin paralel olup olmad›¤›n› bulal›m.

Verilen a ve b vektörlerinin paralel olabilmesi için karfl›l›kl› bileflenleri aras›nda a¹

b₁ = a² b₂ = a³

b₃ = k ba¤›nt›s› olmal›d›r.

-3 -1 = 6

2 = -9

-3 = 3 ba¤›nt›s› oldu¤undan, a ve b vektörleri birbirine paraleldir.

f : R³xR³ → R yani f a, b = a . b fonksiyonu afla¤›daki aksiyomlar› sa¤l›yorsa, f fonksiyonuna R³ te bir reel iç çarp›m fonksiyonu (ifllemi) denir. f a, b de¤erine de a ile b vektörünün iç ça r p›m› denir.

‹ç çarp›m fonksiyonlar›n ö zelikleri,

a . Her a , b ∈ R³ için f a, b = f b, a d›r. (Simetri özeli¤i) b. Her a , b , c ∈ R³ ve her m, n ∈ R için,

f ma + nb, c = mf a, c + nf b, c dir (iki lineerlik özeli¤i)

c. a = 0 ise f a, a = 0 ve a ≠ 0 ise f a, a > 0 d›r. (pozitif tan›ml›l›k özeli¤i) Her a , b ∈R³ için a = a₁, a₂, a₃ , b = b₁, b₂, b₃ olmak üzere

f a , b = a . b =< a , b > = a₁. b₁ + a₂. b₂ + a₃.b₃ fleklinde tan›ml› vektör çarp›m›na, R³ te bir reel Öklid iç çarp›m fonksiyonu veya iç çarp›m ifllemi denir.

a = a₁, a₂, a₃ ve b = b₁, b₂, b₃ vektörleri verildi¤inde,

f a , b = a . b = < a , b > = a₁. b₁ + a₂. b₂ + a₃.b₃ de¤erine, a ve b vektörlerinin Öklid iç çarp›m› ad› verilir.

Uzayda a = 1, - 3, 2 ve b = -1, 2, 1 vektörleri veriliyor.

Bunlar›n Öklid iç çarp›mlar›n› hesaplayal›m.

Uzayda verilen a = 1, - 3, 2 ve b = -1, 2, 1 vektörleri için,

f a , b = a . b = < a , b > = 1 -1 + -3 2 + 2 1 = -1 - 6 + 2 = -5 olur.

f a , b = a . b = < a , b > =1 -1 + -3 2 + 2 .1 = -1 - 6 + 2 = -5 olur.

(21)

❂

XI. Bir vektörün normu (uzunlu¤u)

Norm ifllemi, vektörün uzunlu¤unu veren bir ifllemdir.

reel say›s›na, vektörünün uzunlu¤u ya da normudenir.

ÖRNEK 21

ÇÖZÜM 21

XII. Birim vektör

Uzunlu¤u bir birim olan vektöre, birim vektördenir.

Uzayda verilen bir vektörü yönünde ve do¤rultusundaki birim vektör ise vektörüdür dir. Her iki taraf›n normunu al›rsak;

ÖRNEK 22

Uzayda = (4, -2, 4) vektörü veriliyor. vektörü yönünde ve do¤rultusundaki birim vektörü bulal›m.

ÇÖZÜM 22

vektörü yönünde ve do¤rultusundaki birim vektör ise a

R³ te herhangi bir a = a₁, a₂, a₃ vektörü için, a vektörünün normu a = a₁² +a₂² +a₃² = a . a yada a² = a . a vektö rüdür.

Uzayda verilen a = 2, 4, -4 vektörünün normu (boyu)nun kaç birim

Verilen vektörün normunu bulmak için a = a₁² +a₂² + a₃² ifadesinden, a = 2² + 4²+ -4² = 4 + 16 + 16 = 36 = 6 birim olur.

a u

a = ku k∈R⁺

a = k . u olur. u = 1 oldu¤undan, a = k . 1 = k olur.

a = ku ise u = a

k vektörüdür. k = a oldu¤undan, u = a

a vektörü olarak bulunur.

a a

u u = a

a = 4, -2, 4

16 +4 +16 = 4, -2, 4

36 = 4, -2, 4 6 = 2

3 , - 1 3 , 2

3 olur.

a

oldu¤unu bulal›m.

➠

(22)

XII. Uzayda iki vektör aras›ndaki aç›

ÖRNEK 23

ÇÖZÜM 23

ÖRNEK 24:

ÇÖZÜM 24:

a, b ∈ R³, a ve b vektörleri verilsin. a ve b vektörleri aras›ndaki aç› θ ise a. b = a . b cos θ dir. Buradan cos θ = a. b

a . b

dir.

a = a₁, a₂, a₃ ve b = b₁, b₂, b₃ oldu¤undan, cos θ = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃

a₁² + a₂² + a₃² b₁² + b₂² + b₃²

ifadesi yaz›l›r.

a . b

dir.

a₁² + a₂² + a₃² b₁² + b₂² + b₃²

a . b

dir.

a₁² + a₂² + a₃² b₁² + b₂² + b₃²

a . b

dir.

a₁² + a₂² + a₃² b₁² + b₂² + b₃²

a ⊥ b ise θ = 90° ve cos θ = 0 oldu¤undan, a . b = 0 d›r.

K a r fl›t olarak, a ≠ 0 ve b ≠ 0 iken a . b = 0 ise a ⊥ b vektörüdür.

Uzayda, a = 4, 2, -2 ve b = 1, 2, 1 vektörleri veriliyor. Bu vektörler aras›ndaki aç›n›n kaç derece oldu¤unu bulal›m.

Verilen a = 4, 2, -2 ve b = 1, 2, 1 vektörleri aras›ndaki aç› θ ise cos θ = a. b

a . b

ifadesinden,

cos θ = 4 1 + 2 2 + -2 1

4²+ 2² + -2² 1²+ 2²+ 1² = 4 + 4 - 2

16 + 4 + 4 1+ 4 + 1 cos θ = 6

24 . 6 = 6

144 = 6 12 = 1

2 cos θ = 1

2 oldu¤undan, θ = 60° olur.

cos θ = 4 1 + 2 2 + -2 1

4²+ 2² + -2² 1²+ 2²+ 1² = 4 + 4 - 2

16 + 4 + 4 1+ 4 + 1 Verilen a = 4, 2, -2 ve b = 1, 2, 1 vektörleri aras›ndaki aç› θ ise

cos θ = a. b a . b

ifadesinden,

cos θ = 4 1 + 2 2 + -2 1

4²+ 2² + -2² 1²+ 2²+ 1² = 4 + 4 - 2

16 + 4 + 4 1+ 4 + 1 cos θ = 6

24 . 6 = 6

144 = 6 12 = 1

2 cos θ = 1

Verilen a = 4, 2, -2 ve b = 1, 2, 1 vektörleri aras›ndaki aç› θ ise cos θ = a. b

a . b

ifadesinden,

cos θ = 4 1 + 2 2 + -2 1

4²+ 2² + -2² 1²+ 2²+ 1² = 4 + 4 - 2

16 + 4 + 4 1+ 4 + 1 cos θ = 6

24 . 6 = 6

144 = 6 12 = 1

2 cos θ = 1

Uzayda, a = 1, 1, 2 ve b = 2, -4, 1 vektörleri veriliyor.

Bu vektörlerin dik olup olmad›¤›n› gösterelim.

Uzayda, a = 1, 1, 2 ve b = 2, -4, 1 vektörleri veriliyor.

Bu vektörlerin dik olup olmad›¤›n› gösterelim.

Uzayda verilen a = 1, 1, 2 ve b = 2, -4, 1 vektöründe,

a . b = 1, 1, 2 . 2, -4, 1 = 1 2 + 1 -4 + 2 1 = 2 - 4 + 2 = 0 d›r.

a . b = 0 oldu¤undan, a ⊥ b vektörü olur.

a . b = 1, 1, 2 . 2, -4, 1 = 1. 2 + 1 -4 +2.1 = 2 - 4 + 2 = 0 d›r.

Uzayda verilen a = 1, 1, 2 ve b = 2, -4, 1 vektöründe,

a . b = 1, 1, 2 . 2, -4, 1 = 1 2 + 1 -4 + 2 1 = 2 - 4 + 2 = 0 d›r.

a . b = 0 oldu¤undan, a ⊥ b vektörü olur.

➠

(23)

5. UZAYDA DO⁄RULAR I. Düzlemde do¤rular

Düzlemde verilen iki noktadan, bir do¤runun geçti¤ini, daha önceki bölümlerde gördük.

k∈R olmak üzere düzlemde verilen, noktalar›ndan geçen do¤runun;

II. Uzayda do¤rular

Uzayda bir d do¤rusu ile bir vektörü verildi¤inde, vektörü d do¤rusuna paralel ise vektörüne d do¤rusunun do¤rultman vektörüdenir.

do¤rultman vektörü ile d do¤rusunun do¤rultular› ayn›d›r. Do¤rultman vek- törünün yönü, her iki yönden biri olabilir.

III. Bir noktadan geçen ve bir vektöre paralel olan do¤runun denklemi a. Do¤runun vektörel denklemi

Bir A (a, b, c) noktas›ndan geçen, verilen bir vektörüne paralel olan do¤ru, d do¤rusu olsun. vektörü d do¤rusunun do¤rultman vektörüdür.

(fiekil 2.13) Verilen bir A (a, b, c) noktas›ndan geçen do¤rultman vektörü

olsun. d do¤rusu üzerinde P(x, y, z) noktas›n›

alal›m. vektörü vektörüne paraleldir.

olmak üzere, denklemine d do¤rusunun vektörel denklemi denir.

A x₁, y₁ ve B x₂, y₂

a . Kartezyen denklemi : y- y₁

y₁- y₂ = x- x₁ x₁- x₂

b. Vektörel denklemi: x, y = x₁, y₁ + k x₂- x₁, y₂ - y₁ c. Parametrik denklemi: x = x₁ + k x₂- x₁

y = y₁ +k y₂ - y₁ biçiminde yaz›labilir.

c. Parametrik denklemi: x = x₁ + k x₂- x₁

y = y₁ +k y₂ - y₁ biçiminde yaz›labilir.

v

v v

v = x₁, y₁, z₁

v

v = x, y, z

v AP

λ∈R AP = λv

x

O y

z

P(x,y,z) d

v

❂

fiekil 2.13

(24)

b. Do¤runun parametrik denklemi fiekil 2. 13’ te paralelkenar kural›na göre,

Bu vektörü bileflenleri cinsinden yazarsak,

Bu denklem sistemine d do¤rusunun parametrik denklemi denir.

c. Do¤runun kartezyen denklemi

d do¤rusunun parametrik denklemini oluflturan denklemlerin her birinden

Bu denkleme de d do¤rusunun kartezyen denklemi veya nokta koordinatlar›na göre denklemi denir.

Burada x₁, y₁, z₁say›lar› do¤rultman vektörünün bileflenleri, a, b, c say›lar› da do¤runun geçti¤i noktalardan biri olan A noktas›n›n bileflenleridir.

Uzayda A(a, b, c) noktas›ndan geçen ve verilen bir vektörüne paralel olan do¤runun kartezyen denklemi

ÖRNEK 25

Uzayda, A (2, 1, 3) noktas›ndana geçen ve = (1, 3, 4) vektörüne paralel olan do¤runun;

a. Kartezyen denklemini, b. Parametrik denklemini, c. Vektörel denklemini yazal›m.

ÇÖZÜM 25: a: Do¤runun kartezyen denklemi, çekilirse,

OP = OA + AP

OP = OA +λ v vektörüdür.

x, y, z = a, b, c + λ x1, y₁, z₁

x, y ,z = a + λ x1 , b + λ y1, c + λ z1 elde edilir. Vektörlerin eflitli¤inden, x = a + λ x1

y = b + λ y1 z = c + λ z1

x, y, z = a, b, c + λ x1, y₁, z₁

x, y ,z = a + λ x1 , b + λ y1, c + λ z1 elde edilir. Vektörlerin eflitli¤inden, x = a + λ x1

y = b + λ y1 z = c + λ z1

λ x - a

x₁ = y - b

y₁ = z - cz₁ = λ bulunur.

v = x₁, y₁, z₁ x - a

x₁ = y - b

y₁ = z - cz₁ dir.

v

ifadesinden, x - 2

1 = y - 1

3 = z - 3

4 olur.

x - a

x₁ = y - b

y₁ = z - cz₁

fleklinde yaz›labilir.

➠

(25)

b. Do¤runun parametrik denklemi:

c. Do¤runun vektörel denklemi:

Do¤ru üzerinde herhangi bir nokta P(x, y, z) ise vektörüdür.

ÖRNEK 26: Uzayda parametrik denklemi, x = 2 + , y= 3 + 2 ,

a. Do¤rultman vektörünü,

b. Geçti¤i noktalardan birinin koordinatlar›n›, c. Kartezyen denklemini yazal›m.

ÇÖZÜM 26

a. Verilen do¤runun do¤rultan vektörü, vektörüdür.

b. Do¤runun geçti¤i noktalardan biri, A(2, 3, 4) noktas›d›r.

c. Do¤runun kartezyen denklemi :

ÖRNEK 27: Uzayda denklemi olan do¤runun ; a. Do¤rultman vektörünü,

b. Geçti¤i noktalardan herhangi iki noktan›n koordinatlar›n› bulal›m.

ÇÖZÜM 27

a :Uzayda verilen do¤runun denklemi do¤rultman vektörü, vektörüdür.

b. Do¤ru denkleminden, x , y ve z de¤erlerini bulmak istersek,

ise do¤runun x = a + λ x1 ise x = 2 + λ veya x = λ + 2

y = b + λ y1 ise y = 1 + 3 λ veya y = 3λ + 1 z = c + λ z₁ ise z = 3 + 4 λ veya z = 4λ + 3 olur.

AP // v λ∈R için do¤runun vektörel denklemi , AP = λ v oldu¤undan,

x - 2, y - 1, z - 3 = λ 1, 3 , 4 olur.

λ z= 4 +3λ olan do¤runun;

v = 1, 2, 3 vektörüdür.

x = 2 + λ ise λ = x - 2 dir. y = 3 + 2λ ise λ = y - 3 2 dir.

z = 4 + 3λ ise λ = z - 4

3 dir. Buradan, x - 2

1 = y - 3

2 = z - 4

3 = λ olur.

z = 4 + 3λ ise λ = z - 4

1 = y - 3

2 = z - 4

3 = λ olur.

z = 4 + 3λ ise λ = z - 4

1 = y - 3

2 = z - 4

3 = λ olur.

z = 4 + 3λ ise λ = z - 4

1 = y - 3

2 = z - 4

3 = λ olur.

x - 2

3 = y - 0

5 = z - 4 0 = λ

x - 2

3 = y - 0

5 = z - 4 0 = λ v = 3, 5, 0

x - 2 = 3λ ise x = 2 + 3λ y - 0 = 5λ ise y = 5λ

λ