ÖRNEKLER-MATRİSLER
1.
3 3 1
2 2 1
4 5 2
−
= − −
− −
A ise A−1 = ?
Çözüm: Genişletilmiş matris ile bulunabilir.
[ ]
2 13 3 1 1 0 0
| 2 2 1 0 1 0
4 5 2 0 0 1
R R
−
= − − ⇒ + →
− −
A I
1 2
1 1 0 1 1 0
2 2 1 0 1 0 2
4 5 2 0 0 1
R R
= − − ⇒ +
− −
1 3
1 1 0 1 1 0
0 0 1 2 3 0 4
4 5 2 0 0 1
R R
= ⇒ +
− −
M M M
2 3
1 1 0 1 1 0
0 0 1 2 3 0
0 1 2 4 4 1
R R
= ⇒ →
−
M M M
2 1
1 1 0 1 1 0
0 1 2 4 4 1
0 0 1 2 3 0
R R
= − ⇒ + →
M M M
2
1 0 2 5 5 1
0 1 2 4 4 1
0 0 1 2 3 0
R
= − ⇒ − →
M M M
3 2
1 0 2 5 5 1
0 1 2 4 4 1 2
0 0 1 2 3 0
R R
= − − − − ⇒ + →
M M M
3 1
1 0 2 5 5 1
0 1 0 0 2 1 2
0 0 1 2 3 0
R R
= − ⇒ − + →
M M M
1 0 0 1 1 1
0 1 0 0 2 1
0 0 1 2 3 0
−
= −
M M M
1
1 1 1
0 2 1
2 3 0
−
−
= −
A
2.
3 1 1
1 1 0
2 0 1
−
= −
A ise A−1 = ?
Çözüm: Elemanter işlemler ile bulunabilir.
1 2
3 1 1
1 1 0
2 0 1
R R
−
= − ⇒ + →
A
3 1 1
2 0 1
2 0 1
−
=
A
İkinci ve üçüncü satırlar eşit olduğundan, 0
A = olup tekil matristir, tersi alınamaz.
3.
1 3 2
0 2 1
1 0 2
−
= −
−
A ise ek
( )
A = ?Çözüm: İlk aşamada tüm elemanlar için işaretli minörler bulunmalıdır:
2 1 0 1 0 2
0 2 1 2 1 0
4 1 2
3 2 1 2 1 3
6 0 3
0 2 1 2 1 0
7 1 2
3 2 1 2 1 3
2 1 0 1 0 2
− −
−
− −
− −
− − =
− −
− −
−
− −
Bulunan matrisin transpozu ek matrise eşittir:
( )
4 6 7 1 0 1 2 3 2 ek
=
A
4.
1 3 2
0 2 1
1 0 2
−
= −
−
A ise A−1 = ?
Çözüm: Ek matris ve determinant kullanılarak bulunacak ise ilk aşamada determinant bulunur:
2 1 3 2 3 2
1 0 1
0 2 0 2 2 1
= − − + +
− − −
A
( ) ( )
1 4 0 1 7
= − + +
A
3 A =
İkinci aşamada ek matris bulunur:
( )
4 6 7 1 0 1 2 3 2 ek
=
A
Ters matris:
1 1
( )
− ek
A = A
A
1
4 6 7 1 1 0 1 3 2 3 2
−
=
A
1
4 3 2 7 3 1 1 3 0 1 3 3 2 3 1 2 3
−
=
A
5.
1 1 3 1
0 1 2 0
1 0 1 3
1 1 0 1
−
−
= − −
−
A ise A matrisini bulmak −1
için genişletilmiş matrise uygulanan elemanter satır işlemlerini belirleyiniz.
[ ]
1 1 3 1 1 0 0 0
0 1 2 0 0 1 0 0
: 1?
1 0 1 3 0 0 1 0
1 1 0 1 0 0 0 1
−
−
= →
− −
−
A I
M M M M
1 1 3 1 1 0 0 0
0 1 2 0 0 1 0 0
0 1 4 0 1 0 1 0 2?
0 2 3 2 1 0 0 1
−
− →
−
− − −
M M M M
1 0 1 1 1 1 0 0
0 1 2 0 0 1 0 0
0 0 2 0 1 1 1 0 3?
0 0 1 2 1 2 0 1
−
− −
→
−
− −
M M M M
1 0 1 1 1 1 0 0
0 1 2 0 0 1 0 0
0 0 1 2 1 2 0 1 4?
0 0 2 0 1 1 1 0
−
− −
→
− −
−
M M M M
1 0 0 3 2 3 0 1
0 1 0 4 2 3 0 2
0 0 1 2 1 2 0 1 5?
0 0 0 4 3 5 1 2
− −
− −
→
− −
− −
M M M M
1 0 0 3 2 3 0 1
0 1 0 4 2 3 0 2
0 0 1 2 1 2 0 1 6?
0 0 0 1 3 4 5 4 1 4 2 4
− −
− −
→
− −
− −
M M M M
1 0 0 0 1 4 3 4 3 4 1 2
0 1 0 0 1 2 1 0
0 0 1 0 1 2 1 2 1 2 0
0 0 0 1 3 4 5 4 1 4 2 4
− −
− →
−
− −
M M M M
Çözüm: İlk aşama: R1+R3 ve –R1+R3
İkinci aşama: -R2, R2+R1, R2+R3 ve -2 R2+R4 Üçüncü aşama: R3 ↔R4
Dördüncü aşama: -R3+R1, 2R3+R2 ve -2 R3+R4 Beşinci aşama: (1/4)R4
Altıncı aşama: -3R4+R1, 4R4+R2 ve 2R4+R3
6. 1
1 2 1
2 6 1
2 1 10
−
−
=
−
A ise A matrisini bulunuz.
Çözüm:
(
A−1 −)
1 = A olduğu için A−1 matrisinin ters matrisi bulunmalıdır.1 2
1
1 3
1 2 1 1 0 0
: 2 6 1 0 1 0 2
2 1 10 0 0 1 2
R R R R
−
−
− +
= →
+
−
A I
( )
22 3
2 1
1 2 1 1 0 0 1 2
0 2 3 2 1 0 5
0 5 8 2 0 1 2
R R R R R
−
→ − → − +
− +
( )
3
3 2
3 1
1 0 4 3 1 0 2
0 1 3/ 2 1 1/ 2 0 3 2
0 0 1/ 2 7 5 / 2 1 4
R
R R R R
− −
→ − → − +
− +
1 0 0 59 21 8
0 1 0 22 8 3
0 0 1 14 5 2
−
→ − −
−
1 1
59 21 8
( ) 22 8 3
14 5 2
− −
−
= = − −
−
A A
7.
1 6 3 2 0 4 5 2 3
=
−
A
matrisi için simetrik ve yarısimetrik matrisleri bulunuz.
Çözüm: İlk olarak transpoz matrisi bulunmalıdır.
1 2 5 6 0 2 3 4 3
T
−
=
A
Simetrik matris;
( )
1 4 1
1 4 0 3
2 1 3 3
T
−
= + =
−
P A A
Yarı simetrik matris;
( )
0 2 4
1 2 0 1
2 4 1 0
T
= − = −
− −
Q A A
8. Aşağıda verilen matrislerin hangileri Echelon matristir.
a.
3 2 0 1 2 0 1 2 4 3 0 0 0 2 2
0 0 0 0 2
−
=
−
A
b.2 1 2 0 0 7 0 0 0 0 0 0
−
=
B
c.
2 3 2 6 1 2 2
0 4 7 1 1 5 0 0 0 0 0 2 3 2 0 0 0 0 0 1 3
− − −
= −
C
d.
2 3 2 6 1 2 2
0 4 7 1 1 5 0 0 0 0 0 2 3 2 0 0 0 0 5 1 3
− − −
= −
D
e.
2 3 2 6 1 2 2
0 4 7 1 1 5 0 0 2 0 0 2 3 2 0 0 0 0 5 1 3
− − −
= −
E
f.
1 0 0 0 1 0 0 0 1
=
I
Çözüm:
9.
4 2 1 3 6 3 4 7 2 1 0 1
=
A
matrisinin rankını bulunuz.Çözüm: Matrisin boyutu 3×4 olduğundan rank en fazla 3 olabilir. A matrisinin 3×3 boyutlu tüm alt matrisleri;
1
4 2 1 6 3 4 2 1 0
=
A
24 2 3 6 3 7 2 1 1
=
A
3
4 1 3 6 4 7 2 0 1
=
A
42 1 3 3 4 7 1 0 1
=
A
Matrislerin determinantları;
1
=
2=
3=
4= 0
A A A A
olduğundan r(A)<3. A matrisinin 2×2 boyutlu alt matrisleri;
5
4 7 0 1
=
A
veA
5≠ 0
olduğundan,r(A)=2 olarak belirlenir.
10.
4 3 1 2 0 2 1 3 2
=
−
A
matrisinin rankını bulunuz.Çözüm: Elemanter satır sütun işlemleri ile
1 3
4 3 1 2 0 2 1 3 2
R R
= ⇒ ↔
−
A
1 2
1 3
1 3 2
~ 2 0 2 2 4 3 1 4
R R R R
−
− +
⇒
− +
A
( )
( )
2 3
1 3 2
~ 0 6 6 1 6 0 9 9 1 9
R R
−
−
− ⇒
−
−
A
2 3
1 3 2
~ 0 1 1 0 1 1
R R
−
− ⇒ − +
−
A
1 3 2
~ 0 1 1 0 0 0
−
− =
A B
Sonuç olarak A~B denk matrisi elde edilir.
0
Β =
olduğundan r(B)<3 ve 2×2 boyutlu bir alt matrisi,1
3 2 1 1
−
=
− B
için
