TEZ ONAYI Doç. Dr. Yılmaz AKDİ danışmanlığında, Keziban TEKİN arafından hazırlanan Türkiye de Döviz Kuru Geçişi: Şokların Lineer Olmayan Yayılımı adlı

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

YÜKSEK LİSANS TEZİ

TÜRKİYE’DE DÖVİZ KURU GEÇİŞİ: ŞOKLARIN LİNEER OLMAYAN YAYILIMI

Keziban TEKİN

İSTATİSTİK ANABİLİM DALI

ANKARA 2008

TEZ ONAYI

Doç. Dr. Yılmaz AKDİ danışmanlığında, Keziban TEKİN tarafından hazırlanan

“Türkiye’de Döviz Kuru Geçişi: Şokların Lineer Olmayan Yayılımı” adlı tez çalışması 11/01/2008 tarihinde aşağıdaki jüri tarafından oy birliği ile Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü İstatistik Anabilim Dalı’nda YÜKSEK LİSANS TEZİ olarak kabul edilmiştir.

Danışman : Doç. Dr. Yılmaz AKDİ Jüri Üyeleri:

Başkan: Prof. Dr. Hakan BERUMENT, Bilkent Üniversitesi İktisadi İdari ve Sosyal Bilimler Fakültesi İktisat Bölümü

Üye: Yrd. Doç. Dr. Halil AYDOĞDU, Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi İstatistik Bölümü

Üye:. Doç. Dr. Yılmaz AKDİ, Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi İstatistik Bölümü

Yukarıdaki sonucu onaylarım.

ÖZET

Yüksek Lisans Tezi

TÜRKİYE’DE DÖVİZ KURU GEÇİŞİ: ŞOKLARIN LİNEER OLMAYAN YAYILIMI

Keziban TEKİN

Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü İstatistik Anabilim Dalı

Danışman: Doç. Dr. Yılmaz AKDİ

Döviz kuru geçişi ile bir birim şokun genel fiyat seviyesine nasıl geçtiği araştırılır. McCarthy(1999) bazı gelişmiş ülkeler için toplam seviye üzerindeki döviz kuru geçişini araştırmıştır. Analiz edilen ülkelerin çoğunda, tüketici fiyatları için döviz kuru geçişi tutarlı bulmuştur. Gelişmiş ekonomiler üzerinde 43 ampirik çalışma Menon(1995a) tarafından sunulmuştur. Bu çalışmaların çoğunda döviz kuru geçişinin tamamlanmamış olduğu gözlenmiştir. Ayrıca bazı çalışmalarda, geçişin asimetrik olduğu bulunmuştur.

Geçişin asimetrik olması, döviz kuru artışları ve azalışları süresince, geçiş kurunun farklı olması anlamına gelir. Döviz kuru geçişinin asimetrik veya tamamlanmamış olabileceği Menon (1995a) ve McCarthy(1999) tarafından gösterilmiştir. Hem süre hem de büyüklük olarak döviz kuru değişimlerinin fiyatlara etkisini tespit etmek için vektör otoregresif(VAR) metodolojisi kullanıImaktadır(McCarthy, 1999)). Fiyatlardaki azalma seviyesi, geçiş mekanizması için önemlidir. Mart 2003’ ten itibaren ABD Dolarındaki artış trendinin enflasyon üzerinde çok fazla etkisinin olduğunu söylemek zordur. Bundan dolayı, artış üzerindeki azalma etkisinde asimetriklik bulunabilir. Asimetrinin bir türü ABD Dolarındaki artışa karşı azalmadır. Asimetri sıfır etrafında olmayabilir fakat sıfıra yakın pozitif bir sayı etrafında olması beklenmektedir. McCarthy(1999) tarafından önerilen metod, eşik seviyesini tespit etmek için kullanılan standart bir yöntemdir.

Bu çalışmada, Türkiye’deki, genel fiyat endeksi ve döviz kuru serileri için Berument (2007) tarafından önerilen VAR modeli göz önüne alınarak, döviz kuru geçişkenliğinin Balke (2000) tarafından önerilen aralık tarama yöntemi ile hangi noktadan sonra etkili olduğunu araştırılacaktır.

Bu çalışmanın amacı; Balke(2000) aralık tarama yöntemini kullanarak model parametrelerini tahmin etmek ve döviz kuru geçişindeki asimetriyi incelemektir.

2008, 54 sayfa

Anahtar kelimeler: Döviz Kuru Geçişi, Eşik Vektör Otoregresif (TVAR)

ABSTRACT

Master Thesis

EXCHANGE RATE PASS-THROUGH IN TURKEY: NONLINEAR PROPAGATION OF SHOCKS APPROACH

Keziban TEKİN

Ankara University

Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Statistics

Supervisor: Assoc. Prof. Dr. Yılmaz AKDİ

The exchange rate pass through investigates how a one-unit shock is transmitted to general price level.

McCarthy(1999) presents a comprehensive study of exchange rate pass through on the aggregate level for a number of industrialised countries. In most of the countries analyzed, the exchange rate pass through to consumer prices is found to be modest. Menon(1995a) presents an overview of 43 empirical studies on industrialised economies. The majority of these studies conclude that exchange rate pass-through is incomplete. Some studies have also found pass through to be asymmetric, which implies that the rate of pass-through is different during exchange rate appreciations and depreciations. The empirical evidence reported suggests that exchange rate pass through might be asymmetric or incomplete(Menon(1995a) and McCarthy(1999)). Most of the time these studies employ the VAR methodology to capture the effect of exchange rate innovation to prices for both its magnitude and duration (McCarthy, 1999). The level of depreciation might be crucial for the transmission mechanism. The current trend of US dollar appreciation since March of 2003 did not bring negative inflation. Therefore there might be asymmetry of the effect of depreciation on appreciation. One type of asymmetry is depreciation versus appreciation US dollar.

However, the asymmetry may not be around zero but it might be around a positive number.

In this study, we will consider the model proposed by Berument(2007) for general price index and exchange rate series and try to investigate the point of exchange rate pass through. Berument(2007) assumes directly that there is a direct stable relationship between the price index and exchange rates.

Here, we will try to investigate the break point where this relationship is valid by using Balke’s grid search method.

The purpose of this study to extend the VAR model of Berument(2007) for Turkey by using grid search method of Balke(2000), estimate the threshold model parameter and assess the asymmetry of the exchange rate pass- through.

2008, 54 pages

Key Words: Exchange Rate Pass-Through, Threshold Vector Autoregression (TVAR)

TEŞEKKÜR

Çalışmalarımın her aşamasında bilgi ve yardımlarını esirgemeyerek gelişmeme katkıda bulunan Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi İstatistik Bölümü öğretim üyelerinden danışman hocam Doç. Dr. Yılmaz AKDİ’ye çok teşekkür ederim. Tez konumun oluşmasında ve ekonomi alanında olan eksikliklerimi tamamlamamda sabırla yardım eden, akademik hayatta ilerlememi kolaylaştıran Bilkent Üniversitesi İktisadi İdari ve Sosyal Bilimler Fakültesi İktisat Bölümü öğretim üyelerinden değerli hocam Prof. Dr.

Hakan BERUMENT’e teşekkürlerimi sunarım. Tezimin analizlerinin sonuçlanmasında ve ekonomik açıdan anlam kazanmasında büyük katkıları olan Gazi Üniversitesi İktisadi ve İdari Bilimler Fakültesi İktisat Bölümü öğretim üyelerinden Yrd. Doç. Dr.

Zeynel Abidin ÖZDEMİR’e değerli katkılarından dolayı teşekkür ederim.

Çalışmalarım süresince her zaman yanımda olan ve desteklerini hiçbir zaman esirgemeyen değerli aileme en derin duygularımla sonsuz teşekkürlerimi sunarım.

Bu tez çalışması, “Türkiye’de Döviz Kuru Geçişi: Şokların Lineer Olmayan Yayılımı(106K378)” konulu proje kapsamında TÜBİTAK tarafından desteklenmiştir.

Keziban TEKİN Ankara, Ocak 2008

İÇİNDEKİLER

ÖZET………...……….…i

ABSTRACT……….………ii

TEŞEKKÜR………iii

SİMGELER DİZİNİ………...…...………v

ŞEKİLLER DİZİNİ………..……….………vi

ÇİZELGELER DİZİNİ………vii

1. GİRİŞ……….…..1

2. DÖVİZ KURU GEÇİŞİ………..2

3. LİNEER ZAMAN SERİLERİ………..….6

3.1 Zaman Serisi……….….…6

3.2 Durağanlık……….…....7

3.3 Durağan Zaman Serileri………...9

3.3.1 Hareketli ortalama serileri………..…...9

3.3.2 Otoregresif zaman serileri………..…....12

3.3.3 Kısmi otokorelasyon fonksiyonu………..…...16

3.3.4 Otoregresif hareketli ortalama serileri………...………...….20

3.4 Öngörü………..…....24

3.5 Durağan Olmayan Zaman Serileri………29

3.5.1 Dickey-Fuller birim kök testi………..……31

3.5.2 Genişletilmiş Dickey-Fuller birim kök testi……….……..…33

4. VEKTÖR OTOREGRESİF MODELLER…………...………..………36

4. 1 Granger Nedensellik Testi ……….……….………..38

4. 2 Etki-Tepki Fonksiyonları ……….……….…………39

4. 3 Varyans Ayrıstırması ……….………...42

5. VEKTÖR OTOREGRESİF MODELLER YARDIMI İLE TÜRKİYE’DEKİ DÖVİZ KURU GEÇİŞİ EŞİK DEĞERİNİN TESPİTİ……… 43

5.1 Metodoloji ………44

5.2 Veri ve Bulgular………..……… 45

6. SONUÇ………..……… 51

KAYNAKLAR ………...………..52

ÖZGEÇMİŞ ………...………..54

SİMGELER DİZİNİ AR Otoregresif Zaman Serileri

ARMA Otoregresif Hareketli Ortalama Serileri MA Hareketli Ortalama Serileri

TEFE Toptan Eşya Fiyatları Endeksi TÜFE Tüketici Fiyatları Endeksi TVAR Eşik Vektör Otoregresif ÜFE Üretici Fiyatları Endeksi VAR Vektör Otoregresif WN Beyaz Gürültü Süreci

ŞEKİLLER DİZİNİ

Şekil 3.1 MA(2) serisi için otokorelasyonlar ve kısmi otokorelasyonlar…………..…..18

Şekil 4.1 Doğrusal olmayan etki-tepki fonksiyonları……….………..…...40

Şekil 5.1 Büyüme oranının gecikmelerine etkisi………...………..………47

Şekil 5.2 Enflasyonun büyüme oranına etkisi……….…………48

Şekil 5.3 Spreadin büyüme oranına etkisi……….………..49

Şekil 5.4 Kurdaki değişikliğin büyüme oranına etkisi……….…….………..50

ÇİZELGELER DİZİNİ

Çizelge 3.1 Sanayi üretim endeksi serisi birim kök testi……..……….……..34 Çizelge 3.2 Sanayi üretim endeksi fark serisi birim kök testi……..………..…… 34 Çizelge 5.1 Eşik değerin tahmini ve test istatistikleri ………...……...………..46

1.GİRİŞ

Bazı gelişmiş ülkeler için genel fiyat seviyesi üzerindeki döviz kuru geçişi McCarthy(1999) tarafından araştırılmıştır. Analizleri yapılan ülkelerin çoğunda, tüketici fiyatları için döviz kuru geçişi anlamlı bulunmuştur. Menon(1995a) ile gelişmiş ekonomiler üzerinde çeşitli ampirik çalışmalar sunulmuştur. Hem süre hem de büyüklük olarak döviz kuru değişimlerinin fiyatlara etkisini tespit etmek için vektör otoregresif(VAR) metodolojisi kullanılmaktadır (McCarthy 1999). Fiyatlardaki azalma seviyesi, geçiş mekanizması için önemlidir. Türkiye için Mart 2003’ten itibaren ABD Dolarındaki artış trendinin enflasyon üzerinde çok fazla etkisinin olduğunu söylemek zordur. Bundan dolayı, artış üzerindeki azalma etkisinde asimetriklik bulunabilir. Asimetrinin bir türü ABD Dolarındaki artışa karşı azalmadır. Asimetri sıfır etrafında olmayabilir fakat sıfıra yakın pozitif bir sayı etrafında olması beklenmektedir. Ayrıca McCarthy(1999) tarafından önerilen metod, eşik seviyesini tespit etmek için kullanılan standart bir yöntemdir.

Döviz kurlarından fiyatlara geçiş etkisi yüksek olan ülkelerde, döviz kuruna dayalı istikrar programlarının başarılı olma şansının yüksek olduğu geçmişte yapılan çalışmalarda gösterilmiştir. Diğer yandan, geçiş etkisinin azalmış olması gerekliliği enflasyon hedeflemesi uygulayacak ülkelerde geçerli olduğu vurgulanmıştır. Bulunan bu bulgular yardımı ile Türk ekonomisi üzerinde döviz kurlarından fiyatlara geçiş etkisinin incelenmesinin oldukça önemli olduğu görülmektedir.

2. DÖVİZ KURU GEÇİŞİ

Döviz kuru geçişi ile bir birim şokun genel fiyat seviyesine nasıl geçtiği araştırılır. Döviz kurlarından fiyatlara geçiş asimetrik bir yapıya sahip olabilir. Geçişin asimetrik olması, döviz kuru artışları ve azalışları süresince, geçiş kurunun farklı olması anlamına gelmektedir. Bir ekonominin temel makro ekonomik değişkenleri üzerindeki döviz kuru geçişi oldukça etkilidir. Bazı ekonomik terimler aşağıda açıklanmaktadır¹.

Döviz kuru, bir ülkenin ulusal para biriminin yabancı para birimleri cinsinden değerini göstermektedir. Döviz kurlarının belirlenmesinde kullanılan sistemlere de döviz kuru sistemleri adı verilmektedir. Döviz kuru sistemleri, döviz kurlarının nasıl belirleneceği, kurlarda serbestçe ya da resmi kararla hangi ölçülerde değişme olup olmayacağı gibi konularla ilgili kurallar topluluğu olarak açıklanabilir. Döviz kuru sisteminin seçimi oldukça önemlidir. Çünkü döviz kurundaki değişiklikler cari işlemler dengesini büyük ölçüde etkilemektedir.

Son yıllarda yükselen piyasa ekonomilerinde sıklıkla bankacılık ve döviz krizleri yaşanmaktadır. Yaşanan döviz krizlerinden dolayı gelişmekte olan ülkelerde büyümenin yavaşladığı neredeyse kesildiği görülmektedir. Döviz kurunun ithalat, ihracat, üretim ve istihdam üzerinde de önemli etkilerinin olduğu bilinmektedir. Aslında döviz kuru ve enflasyonla işsizlik arasında merkezi bir ilişki olduğu literatürde tartışılmaktadır.

Endeks, belirli bir olaya ait sayısal verilerde meydana gelen oransal değişimin göstergesi olarak tanımlanabilir. Endeks yüzde değişimleri ifade eden bir sayıdır. Başlıca endeksler fiyat endeksi, tüketici fiyatları endeksi(tüfe), toptan eşya fiyatları endeksi(tefe), üretici

1 Değişkenlerin tanımlanmasında http://analiz.ibsyazilim.com/sozluk/sozlukdefault.htm ve http://www.tcmb.gov.tr/yeni/gen_sek/sozluk.htm adreslerinden ve T.C Başbakanlık Devlet İstatistik Enstitüsü Tüketici Fiyatları Endeksi ve Üretici Fiyatları Endeksi Sorularla İstatistikler Dizisi, Şubat 2005 den büyük ölçüde yararlanılmıştır.

fiyatları endeksi(üfe), sanayi üretim endeksi, hizmetler endeksi, mali endeks, ulusal 100 endeksi, ulusal 30 endeksidir. Bu endeksler aşağıda kısaca açıklanmaktadır.

Fiyat endeksi, seçilmiş mal ve hizmetlerin ortalama fiyatlarının belli bir döneme göre değişimini gösterir. Başka bir ifade ile fiyat endeksi; malların belirli bir dönemdeki fiyatlarını daha sonraki dönemlerdeki fiyatlara oranlayarak, fiyatlardaki artışın veya azalışın göstergesi olarak açıklanabilir.

Endeks oluşturmak için ilgilenilen piyasaya göre (tüketici, üretici, ihracat, ithalat vb.) bir mal ve hizmet sepeti oluşturulur. Burada seçilmiş maddelerin fiyatları dönemsel olarak takip edilir. Fiyat endeksleri, fiyatlarının izlendiği mal ve hizmet piyasasına göre isimlendirilir. Tüketici fiyatları endeksi, üretici fiyatları endeksi, ihracat fiyatları endeksi, ithalat fiyatları endeksi örnek olarak gösterilebilir.

Bir ülkenin ekonomik yapısının belirlenmesinde, ekonomik kararlar alınmasında, kişilerin satın alma gücünün tespitinde, ücret ve maaşların belirlenmesi gibi çeşitli konularda fiyat endekslerine ihtiyaç duyulur.

Tüketici fiyatları endeksi, belirli bir dönemde hane halkları tarafından satın alınan mal ve hizmetlerle belirlenen bir sepetin aylık dönemler itibariyle fiyat değişimini ölçer. Başka bir ifade ile tüketici fiyatları endeksi; tüketiciler tarafından geniş ölçüde kullanılan malların genel fiyat seviyelerindeki değişmeleri gösteren endekstir. Bu tür endekslerin düzenlenmesinde, tüketicilerin harcamalarını tahsis ettikleri her bir mal grubunun toplam harcama içindeki ağırlıklarının belirlenmesi çok önemlidir. Tüketici harcamalarının büyük bir kısmını oluşturan herhangi bir mal grubuna endeks içinde düşük bir ağırlık verilmesi, bu mal grubunun fiyatlarındaki değişmelerin endekse daha küçük oranda yansımasına yol açabilecek ve dolayısıyla, endeks rakamları, fiyatlar genel düzeyindeki gerçek artışları yansıtmaktan uzak olabilecektir. Dolayısıyla mal ve hizmet sepetindeki her bir madde için

yansıtması çok önemlidir. Türkiye’de tüketici endeksleri; geçinme endeksi, perakende fiyat endeksi, tüketici fiyatları endeksi isimleri altında İstanbul Ticaret Odası, Türkiye İstatistik Kurumu ve Hazine ve Dış Ticaret Müsteşarlığı tarafından düzenlenmektedir.

Toptan eşya fiyatları endeksi, paranın satın alma gücünde oluşan değişmelerin toptan eşya fiyatlarına dayandırılarak endekse tabi tutulmasıdır. Toptan eşya fiyatları endekslerinde, temel oluşturacak veriler, genellikle toptancılık yapanlardan, imalatçılardan elde edilmektedir.

Üretici fiyatları endeksi, belirli bir referans döneminde ülke ekonomisinde üretimi yapılan ve yurtiçine satışa konu olan ürünlerin, üretici fiyatlarını zaman içinde karşılaştırarak fiyat değişikliklerini ölçen fiyat endeksidir. Üretici fiyatları, üretimde kullanılan her türlü maddenin ve işgücünün maliyetinden etkilenmektedir.

Sanayi üretim endeksi, imalat sanayinde, madencilik, elektrik ve gaz endüstrilerinde fiziksel üretim değerlerinin dönemsel olarak ölçülmesi şeklinde tanımlanabilir.

Mali endeks, mali sektörde yer alan şirketlerin hisse senetlerinin fiyatlarındaki değişmeleri dikkate almak şartıyla hesaplanan hisse senetleri piyasası endeksidir.

Ulusal 100 endeksi, 1986 yılında 40 şirketin hisse senedi ile başlayarak zamanla sayısı 100 şirketin hisse senedi ile sınırlanan bileşik endeksin devamı niteliğindedir. Ulusal pazarda işlem gören yatırım ortaklıkları hariç önceden belirlenmiş şartlar yanında sektörel temsil kabiliyeti de göz önünde bulundurularak seçilmiş hisse senetlerinden oluşmaktadır ve İMKB-30 da yer alan hisse senetlerini de kapsamaktadır.

Ulusal 30 endeksi, Vadeli İşlemler Piyasası’nda kullanılmak amacıyla oluşturulmuştur.

Yatırım ortaklıkları hariç ulusal pazarda işlem gören şirketlerden önceden belirlenmiş

şartlar yanında, piyasa değeri ve likiditesi yüksek olanlardan sektörel temsil kabiliyeti de göz önünde bulundurularak seçilen 30 hisse senedinden oluşan endekstir.

Enflasyon, fiyatlar genel seviyesinin sürekli olarak yükselmesi nedeniyle paranın sürekli olarak değer kaybetmesi durumudur. Başka bir ifadeyle tüketicilerin satın alma gücünü yitirmesidir. Bir ekonomide bazı malların fiyatları artarken bazıları da düşmektedir.

Dolayısıyla, önemli olan ortalama fiyatların seyridir. Fiyat endeksleri yardımı ile ortalama fiyatların seyri tespit edilebilir. Ayrıca enflasyonun hesaplanmasında seçilmiş mal ve hizmetlerin ortalama fiyatlarının dönemsel değişimini gösteren fiyat endeksleri kullanılır.

Benzer şekilde enflasyon oranı da ülke genelindeki fiyat artışlarının ölçüsü olarak kullanılan fiyat endekslerinden yararlanılarak bulunur. Enflasyon oranı, fiyat istikrarını sağlamak için politika uygulayıcılarına yol gösterir.

Bir ekonomide var olan çeşitli piyasalar açısından bakılarak fiyatlar genel seviyesindeki değişim oranı belirlenmek istenebilir. Tüketici, üretici, ihracat veya ithalat piyasalarında fiyatlar genel seviyesindeki artış oranı bu piyasalara ilişkin enflasyon oranı olarak nitelendirilebilir. Fakat kamuoyunda enflasyon oranı, tüketici veya üretici fiyatlarındaki değişim oranı olarak alınmaktadır.

Bir ülkenin iç veya dış ilişkilerinden doğan ekonomik dengesizliklere şok adı verilir. Şoklar dış kaynaklı olarak ortaya çıkıyor ise dışsal şok, iç kaynaklı olarak ortaya çıkıyor ise içsel şok olarak adlandırılmaktadır. Ayrıca bir şokun yaşandığı seride artış meydana geliyorsa bu şok pozitif şoktur, eğer ki seride azalış meydana geliyorsa negatif şoktur.

3. LİNEER ZAMAN SERİLERİ

3.1 Zaman Serisi

) , ,

(Ω U P bir olasılık uzayı, T de bir indis kümesi olmak üzere bir zaman serisi Ω × T çarpım uzayından reel sayılara giden bir fonksiyondur. Yani, bir zaman serisi,

(.,.)

X : Ω × T →

: (w,t)→ X(w,t)= X_t(w)≡ X_t (3.1.1)

şeklinde tanımlanan bir fonksiyondur ve her sabit t için X_t(w) bir rasgele değişkendir.

Her bir sabit w için, t nin reel değerli bir fonksiyonudur. Bu reel değerli fonksiyona zaman serisinin bir yörüngesi denir. Gerçek hayatta görülen zaman serileri grafikleri aslında zaman serisinin bir yörüngesidir.

Zaman serileri gözlem değerlerinin zamana göre dağılımını gösterir. Başka bir ifadeyle, bir değişkenin belli zaman aralıklarında gözlenen değerlerinden oluşurlar. Bu bağlamda, döviz kurlarındaki günlük değişimleri gösteren bir seri zaman seridir. Benzer olarak, aylara göre bir firmanın ürettiği veya sattığı mal sayısından oluşan seriler de zaman serilerine örnek gösterilebilir.

Günümüzde zaman serileri birçok alanda kullanılmaktadır. Özellikle istatistik ve ekonometri gibi bilim dallarındaki uygulama alanları oldukça geniştir. Zaman serileri yardımı ile geçmiş yıllara ait ekonomik verileri kullanarak gelecek yıllar hakkında öngörüde bulunabiliriz. Ancak yapılan öngörülerin istatistiki anlamda güvenilir sonuçlar vermesi için kullanılan zaman serilerinin durağanlığı sağlaması gerekmektedir. Dolayısıyla zaman serilerinde durağanlık kavramı, en önemli kavramlardan birisidir. Aşağıdaki bölümde durağanlık kavramı ve bu kavramın zaman serilerindeki önemi açıklanmaktadır.

3.2 Durağanlık

Zaman serileri teknikleri uzun dönem dengesinin oluşumunu ampirik yönden incelememize olanak sağlar. Bu teknikler, dengenin sağlanıp sağlanmadığı, sisteme verilen şoklar sonrasında ortaya çıkan sapmaların devamında sistemin uzun dönemde tekrar denge düzeyine dönüp dönmeyeceği konusunda bilgiler sağlar. Ancak uzun dönem dengesi incelenirken ele alınan değişkenlerin, kısa dönemde şoklardan etkilense dahi birkaç dönem sonra bu şokların etkilerinden kurtularak tekrar eski denge düzeyine yönelen nitelikte olmaları gerekir. Bu özelliğe sahip bir değişkene durağan zaman serisi adı verilir.

İstatistiksel açıdan açıklamak gerekirse, durağanlık kısaca şu şekilde tanımlanabilir:

Deterministik bir yapısı olmayan ve ‘ d ’ kere farkı alındıktan sonra ortalaması ve varyansı sabit, doğrusal bir otoregresif hareketli ortalama(ARMA) süreci sergileyen bir seri durağandır(Engle and Granger 1987). d inci dereceden durağan olan X_t serisi sembolik olarak X_t ∼ I(d)şeklinde ifade edilir.

Durağanlık, zaman serilerinde en önemli kavramalardan birisidir. İstatistiki sonuç çıkarımlarının çoğunda serinin durağan olduğu varsayılır. Eğer seri durağan değil ise fark alma gibi çeşitli teknikler kullanılarak seri durağan hale getirilir. Genel olarak iki çeşit durağanlıktan söz edilir. Birincisi güçlü durağanlık ikincisi ise zayıf durağanlıktır.

Bir zaman serisinin t₁,t₂,…,t_n zamanlarındaki X₁,X₂,…,X_n rasgele değişkenlerinin ortak olasılık dağılım fonksiyonu ile herhangi bir ötelemeyle elde edilen t_1+h,t_2+h,…,t_n+h zamanlarındaki X_1+h,X_2+h,…,X_n+h ∀ ,n h , n+h∈T rasgele değişkenlerinin ortak olasılık dağılım fonksiyonu aynı ise bu seriye güçlü durağandır denir. Başka bir ifadeyle, T indis kümesi doğal sayılar kümesi olmak üzere, {X_t : t ∈T } bir zaman serisi olsun.

Eğer ∀ n t ∈ T , her , t ,₁ t ,…,₂ t ∈ T ve _n t_1+h,t_2+h,…,t_n+h∈ T olmak üzere her x₁, x₂, …,x_n∈ için

= ) , ...

, ,

( _{1 2}

, ...

,

, ₂

1 X X n

X x x x

F n FX₊h X ₊h_{, ... ,}Xn₊h

2 ,

1 (x₁, x_2, ... ,x_n) koşulu sağlanıyorsa {X_t : t ∈T } zaman serisine güçlü durağandır denir.

Eğer {X_t : t ∈T } zaman serisi güçlü durağan ise bu ∀ ∈ T , ∀ n için t_i )

, ...

, ,

(Xt1 Xt2 Xtn

= D ( , _, ... ,

2

1 h t h

t X

X _{+ + t h}

Xn₊ ) şeklinde gösterilebilir.

Eğer {X_t : t ∈T } zaman serisi güçlü durağan ise bağımsız aynı dağılıma sahip rasgele değişkenlerin bir dizisidir.

Pratikte serinin güçlü durağanlığını sağlatmak kolay değildir. Bunun yerine koşulların biraz hafifletilmesi ile tanımlanan zayıf durağanlık veya kısaca durağanlık uygulama açısından yeterli görülmemektedir.

Bir {X_t : t ∈T } zaman serisi eğer, (i) E(X_t)=µ

(ii) Cov(X_t,X_s) kovaryansı sadece t−  nin bir fonksiyonudur. s

koşullarını sağlıyorsa, zaman serisine zayıf durağan, kovaryans durağan veya kısaca durağandır denir.

Güçlü durağanlık ve zayıf durağanlık kavramları birbirlerini gerektirmez. Bazı durumlarda bu geçişler olabilmektedir:

(i) {X_t : t∈ } zaman serisi durağan ve normal dağılım varsayımı sağlanıyorsa bu T seri aynı zamanda güçlü durağandır.

(ii) {X_t : t∈ } zaman serisi güçlü durağan ve T E(X_t²) < ∞ koşulunu sağlıyorsa bu seri aynı zamanda durağandır.

3.3 Durağan Zaman Serileri

3.3.1 Hareketli ortalama serileri (Moving average series, MA)

Ortalaması sıfır olan herhangi bir

{

e_t : t∈T

}

zaman serisinin otokovaryans fonksiyonu,

(3.3.1.1)

şeklinde ise

{

^{e tt: ∈T}

}

serisine bir Beyaz Gürültü (White Noise) serisi denir ve e ∼ t WN(0,σ²) şeklinde gösterilir.

Eğer e ∼ _t WN(0,σ²), q sonlu bir doğal sayı olmak üzere q uncu dereceden hareketli ortalama serisi,

∑

= −

+

=

−

q

j

j t j t

t e e

X

1

β

µ ( 3.3.1.2)

şeklinde verilir ve X ∼ _t MA(q)şeklinde gösterilir.

2, 0

( ) 0, . .

e

h h

d d γ _{= }^σ ⁼



Eğer X ∼ _t MA(q) ise, serinin otokovaryans fonksiyonu aşağıdaki gibi hesaplanır. Ayrıca serinin ortalamasının sıfır olduğu görülmektedir. Yani, E X( _t)= dür. Ayrıca serinin µ varyansı da,

2 2

1 0

( )

q q

t t j t j j

j j

Var X Var e β e₋ σ β

= =

 

=  + =



∑



∑

(3.3.1.3) dir.

Otokovaryans fonksiyonu ise β₀ = olmak üzere, 1

0 0

( ) ( , ) ( , )

q q

X t t h j t j i t h i

j i

h Cov X X Cov e e

γ ₊ β ₋ β _{+ −}

= =

= =

∑ ∑

0 0

( , )

q q

j i t j t h i

j i

Cov e e β β _{− + −}

= =

=

∑∑

( 3.3.1.4)

dir. Fakat,

2 ,

( , )

0 , . .

t j t h i

j i h Cov e e

d d σ

− + −

 = +

=  ( 3.3.1.5)

olduğundan,

²

0

( )

q h

X j j h

j

γ h σ ⁻ β β ₊

=

=

∑

( 3.3.1.6)

dir. Yukarıdaki toplamın üst sınırının q−h olmasının nedeni; i h+ nin alabileceği en yüksek değerin q olmasıdır. Burada otokovaryans fonksiyonunun simetrik olması gerekir.

Sonuç olarak, q uncu dereceden bir hareketli ortalama serisi için otokovaryans fonksiyonu,

2 0

, 0 ( )

0 , . .

q h j j h X j

h q

h

d d σ β β

γ

− +

=

 ≤ ≤

= 



∑

( 3.3.1.7)

şeklinde yazılabilir. Buradan da otokorelasyon fonksiyonu,

1 2

0 0

, 0 ( )

0 , . .

q h q

j j h j

X j j

h q

h

d d

β β β

ρ

− −

+

= =

  

   ≤ ≤

=   



∑ ∑

( 3.3.1.8)

şeklinde olacaktır. Görüldüğü gibi, hareketli ortalama serileri q sonlu olduğu sürece her zaman durağandır.

Hareketli ortalama serileri her zaman durağandır. β_j=ρ^j, ρ < 1 olduğunda {X_t : t ∈T } zaman serisi, e ∼ _t WN(0,σ²) iken

∑

^∞

= −

+

=

φ

ρ

j

j t j t

t e e

X şeklinde verilsin. ρ <1 olduğundan

dolayı E(X_t)=0 ve

2 2

2 0

( ) (0)

1

zj h h h

X X

j

h σ

γ σ ρ ρ γ ρ

ρ

∞ +

=

= = =

∑

− ^şeklinde olup

{X_t : t ∈T } zaman serisi durağandır. Bununla birlikte, eğer ρ =1 ise γ_X( )h tanımlı değildir. Ayrıca, E(X_t)değeri de hesaplanamaz. Dolayısı ile ρ =1 olması durumunda seri durağan değildir.

3.3.2 Otoregresif zaman serileri (Autoregressive time series, AR)

Burada

1 j

t t t j

j

X e ^∞ α e₋

=

= +

∑

zaman serisini göz önüne alındığında bu seri,

1 j

t t t j

j

X e ^∞ α e₋

=

= +

∑

( 3.3.2.1)

1 1 1

1 j

t t t j

j

X e e

α _{− −} ^∞ α _{− −}

=

= +

∑

( 3.3.2.2)

denklemlerinin yardımı ile X_t =αX_t−1+ şeklinde yazılabilir. Böylece MA(+ ∞ ) e_t serisinden elde edilen X_t =αX_t−1+ şeklinde bir seriye ulaşılır. Bu seri, e_t

(X_t−µ)=α(X_t−1−µ)+ veya e_t X_t =β₀+β₁X_t−1+ şeklinde de yazılabilir. Görüldüğü e_t gibi bu seri basit doğrusal regresyon denklemine benzemektedir. Bu seri birinci dereceden otoregresif zaman serisi olarak bilinmektedir.

AR(1) serisi, α < 1 olmak üzereX_t =αX_t−1+ şeklinde verildiğinde, e_t

2 2

( ) 0

( ) (0)

1

t

t X

E X

Var X γ σ

α

=

= =

−

( 3.3.2.3)

2

(0) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( 1, )

X Var Xt Var Xt et Var Xt Var et Cov Xt et

γ = = α + =α + + α ₋

=α γ² _X(0)+σ² ( 3.3.2.4)

ve h>0 için,

γ_X( )h =Cov X X( _t, _{t h+} )=Cov(αX_t−1+e X_t, _{t h+} )

=αCov X( _t−1,X_{t h+} )+Cov e X( ,_{t t h+} )

=αCov X( _t−1,X_{t h+} )

=αγ_X(h− ( 3.3.2.5) 1)

şeklinde hesaplanmaktadır.

Böylece AR(1) serisi için Yule-Walker denklemleri, γ_X(0)=α γ² _X(0)+σ²

γ_X( )h =αγ_X(h− ( 3.3.2.6) 1)

şeklinde yazılır.

Yule-Walker denklemleri ile serinin varyansı ve otokovaryansı bulunur. Birinci denklem kullanılarak serinin varyansı aşağıdaki şekilde hesaplanır.

(3.3.2.7)

Serinin otokovaryans fonksiyonunu ise,

( ) ( 1) ( ( 2)) 2 ( 2) ... ^h (0)

X h X h X h X h X

γ =αγ − =α αγ − =α γ − = =α γ

2

( ) 2 (0)

1

h h

X h σ X

γ α α γ

= α =

− ( 3.3.2.8) şeklinde olduğu kolayca görülür. Buradan serinin otokorelasyon fonksiyonu,

(3.3.2.9) ( )h ^h

ρ =α

2

( ) (0) 2

t X 1

Var X σ

γ α

= =

−

Aslında, X_t =αX_t−1+ şeklinde verilen bir zaman serisi MA(+ ∞ ) serisi olarak yazılabilir. e_t

k t t

kX =X ₋

Β olmak üzere( Β gerileme operatörü veya backshift operatörü),

(1− Βα )X_t = ⇒ e_t

0 0

1 ( )

(1 )

j j

t t t t j

j j

X e α e α e

α

∞ ∞

−

= =

= = Β =

− Β

∑ ∑

( 3.3.2.10) şeklinde yazılır. Yine dikkat edilirse bu geçiş ρ =1 için geçerli değildir.

Otoregresif zaman serileri serinin şimdiki ve geçmiş değerleri ile beyaz gürültüden etkilenir. Genel olarak, p inci dereceden bir otoregresif zaman serisi e_t∼∼∼∼ WN(0,σ²) bir beyaz gürültü serisi ve µ de serinin beklenen değeri olmak üzere,

1

( ) ( )

p

t i t i t

i

X µ α X₋ µ e

=

− =

∑

− + ( 3.3.2.11)

şeklinde verilir ve AR(p) şeklinde gösterilir. p modelin derecesini, α_i, i=1,2,...,p ler ve σ2 modelin parametrelerini göstermektedir.

AR(p) zaman serisi modeli,

1 1

1

p p

t i i t i t

i i

X µ α α X ₋ e

= =

 

=  − + +



∑



∑

( 3.3.2.12)

şeklinde yazılabilir. Eğer,

1

1

p i i

α

=

∑

= ise, serinin beklenen değeri yok olmaktadır. Bu durumda seri durağan değildir. AR(p) zaman serisi modelinin karakteristik denklemi,

1

( ) 0

p

p p i

i i

f m m αm ⁻

=

= −

∑

=

şeklinde olsun. Bu denklemin köklerinden en az bir tanesi mutlak değerce 1’e eşit ise, seri durağan değildir. Denklemin köklerinden en az bir tanesi mutlak değerce 1’e eşit olması için gerek ve yeter koşul:

1

1

p i i

α

=

∑

= olmasıdır (Akdi 2003).

Eğer e_t∼ WN(0,σ²) olduğunda AR(p) zaman serisi modeli,

1 p

t i t i t

i

X α X₋ e

=

=

∑

+ ( 3.3.2.13) şeklinde verildiğinde bu serinin varyansı,

1

(0) ( ) ( , ) ,

p

X t t t t i t i t

i

Var X Cov X X Cov X X e

γ α ₋

=

 

= = =  + 



∑



1

( , ) ( , )

p

i t t i t t

i

Cov X X Cov X e

α ₋

=

=

∑

+

²

1

( )

p i X i

α γ i σ

=

=

∑

+ ( 3.3.2.14)

şeklinde bulunur. Ayrıca, h > için otokovaryanslar, 0

1

( ) ( , ) ,

p

X t t h t i t h i t h

i

h Cov X X Cov X X e

γ ₊ α _{+ − +}

=

 

= =  + 



∑



1 1

( , ) ( )

p p

i t t h i i X

i i

Cov X X h i

α _{+ −} α γ

= =

=

∑

=

∑

− ( 3.3.2.15)

olarak bulunur. Sonuç olarak Yule-Walker denklemleri:

2

1 2

(0) (1) (2) ... ( )

X X X p X p

γ =α γ +α γ + +α γ +σ

1 2

( ) ( 1) ( 2) ... ( )

X h X h X h p X h p

γ =α γ − +α γ − + +α γ − ( 3.3.2.16)

3.3.3 Kısmi otokorelasyon fonksiyonu

Zaman serileri analizlerinde otokorelasyon fonksiyonu serinin model derecesini belirlemede çok açıklayıcı değildir. Özellikle AR serilerinde otokorelasyonlar model derecesi hakkında bilgi vermez ancak korelasyonların azalma hızına göre serinin durağanlığı hakkında bir şey söylenebilir. Fakat model derecesini belirlemede kısmi otokorelasyon fonksiyonu kullanılabilir.

Herhangi bir

{

X_t^:t=1, 2,3,...,n

}

zaman serisi verildiğinde, X_t nin X_t−1,X_t−2,...,X_{t h−} üzerine regresyonu yapıldığında, X_{t h−} nin katsayısı h nci kısmi otokorelasyon olarak tanımlanır. Serilerin kısmi otokorelasyonları korelasyonlar yardımı ile kolaylıkla hesaplanmaktadır (Enders 1995). Burada, ρ_h ler serinin otokorelasyonlarını göstermek üzere P matrisi, _h

1 2 1

1 1 2

2 3 4 1

1 2 3

1 . . .

1 . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . . . . 1

h h

h

h h h

h h h

P

ρ ρ ρ

ρ ρ ρ

ρ ρ ρ ρ

ρ ρ ρ

−

−

− − −

− − −

 

 

 

 

 

=  

 

 

 

 

 

şeklinde olsun. P matrisinin yardımı ile _h P matrisi, _h^*

1 2 1

1 1 2

*

2 3 4 1

1 2 3

1 . . .

1 . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . . . .

h

h h h h

h h h h

P

ρ ρ ρ

ρ ρ ρ

ρ ρ ρ ρ

ρ ρ ρ ρ

− − − −

− − −

 

 

 

 

 

=  

 

 

 

 

 

olarak yazılır.

Sonuç olarak ( )φ h h nci kısmi otokorelasyon,

det( *) ( ) det( )

h h

h P

φ = P (3.3.3.1) şeklinde ifade edilir. Fakat MA serileri ve ARMA serileri için kısmi otokorelasyonların

hesaplanması oldukça zaman almaktadır. Fakat aşağıda verilen formül ile bu sorun ortadan kalkmaktadır. Herhangi bir zaman serisinin otokorelasyonları ρ_j, kısmi otokorelasyonları ise ( )φ j ile gösterilsin. Bu durumda, (3.3.3.1) eşitliğinden, φ(1)=ρ₁ ve

2

2 1

2 1

( )

(2) (1 )

ρ ρ

φ ρ

= −

− elde edilir.

Diğer kısmi otokorelasyonlar φ_{s j,} =φ_(s−1),j−φ φ_{s s, (s−1),(j−1)} olmak üzere,

1 ( 1), 1 1

( 1), 1

( ) 1

h

h h j h j

j h

h j j

j

h

ρ φ ρ

φ

φ ρ

−

− −

=

−

−

=

−

=

−

∑

∑

(3.3.3.2)

formülü ile hesaplanabilir (Enders 1995).

Bazı durağan zaman serileri modelleri için otokorelasyon ve kısmi otokorelasyon aşağıdaki şekilde elde edilir. İlk olarak e_t WN(0,σ²) olmak üzere ikinci dereceden hareketli ortalama serisi,

1 1 2 2

t t t t

X = +e βe₋ +β e₋ incelensin. Bu serinin otokovaryans fonksiyonu,

(3.3.3.3)

2 2 2

1 2

2

1 1 2

2 2

(1 ) , 0

( ) , 1

( ) , 2

0 , 3

X

h h h

h h

σ β β

σ β β β

γ σ β

 + + =

 + = ±

=  = ±

 ≥



Otokorelasyon fonksiyonu ise,

(3.3.3.4)

şeklinde bulunur.

Burada β₁ = −0.3 ve β₂ = −0.4 olsun. Bu durumda serinin otokovaryansları (3.3.3.3) de verilen otokovaryans fonksiyonu yardımıyla γ(0) 1.25= σ²,γ(1)= −0.18σ², γ(2)= −0.4σ² şeklinde hesaplanır. Serinin otokorelasyonları ise ρ₀ = , 1 ρ₁= −0.144, ρ₂= −0.32 ve

2

h > için ρ_h = olduğu açıktır. 0

Serinin birinci ve ikinci kısmi otokorelasyonları, φ(1)=ρ₁= −0.144 ve

2

2 1

2 1

( )

(2) 0.348

(1 )

ρ ρ

φ ρ

= − = −

− şeklinde hesaplanır. (3.3.3.2) formülü yardımı ile

2

3 2, 3

1 21 2 22 1

2

21 1 22 2

2, 1

(3) 1

1

j j

j

j j j

ρ φ ρ

φ ρ φ ρ

φ φ ρ φ ρ φ ρ

−

=

=

− +

= = −

− −

−

∑

∑

şeklinde yazılır. Burada, φ₂₁=φ₁₁−φ φ_{22 11}= −0.194 şeklinde hesaplandıktan sonra bu değer formülde yerine yazılarak φ(3)= −0.1304 bulunur. Benzer şekilde φ(4)= −0.163 ve

(5) 0.088

φ = − olarak hesaplanır. Elde edilen grafikler şekil 3.1 de gösterilmiştir.

Şekil 3.1 MA(2) serisi için otokorelasyonlar ve kısmi otokorelasyonlar

2 2

1 1 2 1 2

2 2

2 1 2

1 , 0

( ) /(1 ) , 1

( ) /(1 ) , 2

0 , 3

X

h h h

h h

β β β β β

ρ β β β

 =

 + + + = ±

=  + + = ±

 ≥



Otokorelasyonlar belli bir noktadan sonra sıfırdır, kısmi otokorelasyonlarda ise bir azalma görülmektedir. Bu durum incelenilen serinin MA(2) serisi olmasından kaynaklanmaktadır.

İkinci olarak durağan bir AR(2) serisi e_t WN(0,σ²) olmak üzere,

1 2

1.7 0.72

t t t t

X = X₋ − X₋ + serisi göz önüne alınsın. e

AR serileri bölümünde (3.3.2.16) da verilen Yule- Walker denklemleri yardımı ile

γ( )h =α γ_{1 X}(h− +1) α γ_{2 X}(h−2) (3.3.3.5)

elde edilir. Bu eşitlik kullanılarak,

1 2

(1) (0)

X 1 X

γ α γ

= α

− ve

2 1

2 2

(2) (0)

X 1 X

γ α α γ

α

 

= − + 

ifadelerine ulaşılır. Serinin otokorelasyonları bu ifadeler kullanılarak elde edilir. Yani,

1 1

2

(1) (0) 1

X X

γ α

ρ ⁼γ ⁼ −α ve

2 1

2 2

2

(2) (0) 1

X X

γ α

ρ α

γ α

= = +

−

şeklinde ifade edilir. Formüllerde α₁=1.7 ve α₂ = −0.72 değerleri yerine yazıldığında

1 0.988372093

ρ = , ρ₂=0.960232558 şeklinde hesaplanır. Benzer şekilde diğer otokorelasyon değerleri de elde edilebilir. Serinin birinci kısmi otokorelasyonu,

(1) 1 0.988372093

φ =ρ = bulunur. İkinci kısmi otokorelasyon ise,

1 2

1

1 1 0.988372093

1 0.988372093 1

P ρ

ρ

   

=  = 

 

 

* 1 2

1 2

1 1 0.988372093

0.988372093 0.960232558

P ρ

ρ ρ

   

=  = 

 

 

P ve 2 P matrisleri yardımı ile ₂^*

* 2

2 2

det( )

(2) 0.72

det( ) P

φ = P = − =α

şeklinde hesaplanır. Kısmi otokorelasyonlar ikinci gecikmeden sonra sıfır olacaktır.

Otokorelasyonlarda ise bir azalma görülmektedir. Bu durum serinin AR(2) serisi olmasından kaynaklanmaktadır.

Durağan zaman serileri modellerinden MA serilerinde otokorelasyonların, AR serilerinde ise kısmi otokorelasyonların belli noktadan sonra sıfır olduğu görülmektedir. Ancak bazı serilenin otokorelasyonları ve kısmi otokorelasyonları azalmasına rağmen sıfır olmayabilir.

Bu durumda serilere otoregresif hareketli ortalama serileri denir. Bir sonraki bölümde otoregresif hareketli ortalama serileri hakkında bilgi verilmektedir.

3.3.4 Otoregresif hareketli ortalama serileri (Autoregressive moving series, ARMA)

Hareketli ortalama serileri her zaman durağan serilerdir. Otoregresif zaman serilerinin durağanlığı ise karakteristik denkleminin köklerine bağlıdır. Hareketli ortalama serilerinin otokorelasyonları belli bir yerden sonra sıfır olmaktadır. Bununla birlikte kısmi otokorelasyonları ise azalmaktadır. Otoregresif zaman serilerinde ise otokorelasyonlar azalmakta ve kısmi otokorelasyonlar belli bir yerden sonra sıfır olmaktadır. Bir zaman serisi verildiğinde otokorelasyonlar ve kısmi otokorelasyonlar ile serinin model dereceleri belirlenmektedir. Bazen serinin otokorelasyonları ve kısmi otokorelasyonları azalmasına rağmen sıfır olmayabilir. Böyle bir durumda seriye otoregresif zaman serisi veya hareketli ortalama serisi adı verilemez. Bu tür serilere otoregresif hareketli ortalama serileri denir.

Bir MA serisi, e_t WN(0,σ²) ve θ_q ≠ olmak üzere, 0

1 q

t t i t i

i

X µ e θe₋

=

− = +

∑

(3.3.4.1)

şeklindedir. Bu serinin karakteristik denklemi,

1

0

q

q q i

i i

m θm ⁻

=

+

∑

= dır. Hareketli ortalama serileri her zaman durağan serilerdir ve karakteristik denklemin bütün kökleri mutlak değerce 1 den küçük ise seriye tersinirdir(invertible) denir. Serinin tersinir olması,

1 i i

∞ π

=

< ∞

∑

olmak üzere,

0

( )

t i t i

i

e ^∞ π X ₋ µ

=

=

∑

− şeklinde yazılabilir olması anlamındadır.

Ortalaması µ olan MA(q) serisini, θ( ) 1B = +θ₁B+θ₂B²+ +... θ_qB^q olmak üzere,

t ( ) t

X = +µ θ B e şeklinde yazabiliriz. Burada, B , gerileme operatörünü göstermektedir.

Eğer serinin ortalamasının µ olduğunu varsayarsak, seriyi X_t− =µ θ( )B e_t şeklinde de ifade edebiliriz. Benzer şekilde ortalaması µ olan AR(p) serisi,

1

( )

p

t t i t i

i

X µ e φ X₋ µ

=

− = +

∑

− şeklinde yazılır. AR serilerinin durağanlığı karakteristik denklemin köklerine bağlıdır. AR serileri her zaman tersinirdir.

Eğer φ_p = olmak üzere, 0 φ( ) 1B = −φ₁B−φ₂B²− −... φ_pB^p şeklinde ise, AR(p) serisini, ( )(B X_t ) e_t

φ −µ = şeklinde yazabiliriz. Serinin ortalaması sıfır olduğu durumda ise ( )B X_t e_t

φ = şeklinde olacağı açıktır.

Sonuç olarak, model dereceleri p ve q olan bir ARMA(p,q) serisi ( )(φ B X_t −µ)=θ( )B e_t şeklinde gösterilir. Burada, p serinin AR kısmının model derecesini, q ise serinin MA kısmının model derecesini göstermektedir. Eğer serinin ortalaması sıfır ise, bir ARMA(p,q)

( )B X_t ( )B e_t

φ =θ (3.3.4.2)

şeklinde gösterilir.

Daha açık bir şekilde ifade etmek istersek, model dereceleri p ve q olan µ ortalamalı bir ARMA(p,q) serisi φ_p ≠0 ve θ_q ≠0 olmak üzere

i t q

i i t

p

j

j t j

t X e e

X ₋

=

=

−

∑

∑

^{− + +}

=

−

1 1

) (

)

( µ φ µ θ (3.3.4.3)

şeklinde yazılır. Eğer serinin ortalaması sıfır ise ARMA(p,q) serisi,

1 1

p q

t j t j t i t i

j i

X φ X₋ e θe₋

= =

=

∑

+ +

∑

(3.3.4.4)

olarak yazılır.

Bir ARMA(p,q) serisinin durağan olabilmesi için, AR kısmının durağan olması; tersinir olabilmesi için ise MA kısmının tersinir olması yeterlidir.

Eğer X_t ARMA p q serisi durağan ise, ( , )

0 j j

∞ ψ

=

< ∞

∑

şartı sağlandığında,

0

t j t j

j

X ^∞ ψ e₋

=

=

∑

(3.3.4.5) şeklinde yazılabilir. Dolayısıyla serinin otokovaryans fonksiyonunun,

2 0

( ) _{j j h}

j

γ h σ ^∞ ψ ψ ₊

=

=

∑

(3.3.4.6)

şeklinde olacağı açıktır. Ancak burada ψ_j katsayılarının belirlenmesi gerekir.

Eğer ARMA(p,q) serisini ( )φ B X_t =θ( )B e_t şeklinde ise,

( )B X_t ( )B e_t

φ =θ ( )

t ( ) t

X B e

B θ

⇒ =φ (3.3.4.7)

olacaktır. Buradaki ψ_j katsayıları z < olmak üzere, 1

0

( ) ( ) ( )

j j j

z z z

z

ψ θ ψ

φ

∞

=

= =

∑

(3.3.4.8)

özdeşliğinden yararlanarak elde edilir.

Ayrıca burada,

θ( ) 1z = +θ₁z+θ₂z²+ +... θ_qz^q

φ( ) 1z = −φ₁z−φ₂z²− −... φ_pz^p (3.3.4.9)

dir. Bu eşitliklerin çözülmesi ile θ₀ = ve j q1 > için θ_j = ve ayrıca j0 > için p φ_j = 0 olduğundan çözümler,

⁰

0

, 0 max( , 1)

0 , max( , 1)

j k j k j

k j

j k j k

k p

j p q

j p q

ψ φ ψ θ

ψ φ ψ

−

< ≤

−

< ≤

− = ≤ < +

− = ≥ +

∑

∑

(3.3.4.10)

şeklindedir (Brockwell and Davis 1987). Bu eşitlikler çözüldüğünde, ψ₀ =θ₀ = 1

1 1 0 1 1 1

ψ =θ ψ φ θ φ+ = +

ψ₂ =θ ψ φ ψ φ θ₂+ _{0 2}+ _{1 1}= ₂+φ ψ φ φ₂+ _{1 1}+ ₁²

3.4 Öngörü (Forecasting)

Öngörü, gözlemlediğimiz değerlerin dışında rasgele değişkenin almasını beklediğimiz değerdir.

Öngörüler yapılırken kullanılan bilgi, geçmiş zamanlardaki gözlem değerleridir. Bu gözlem değerleri yardımı ile rasgele değişkenin gelecekte alacağı değerler için bir tahminde bulunulur.

1, 2,..., _n

X X X rasgele değişkenleri verildiğinde X_n+1 için öngörü,

1 ( 1 1, 2,..., )

n n n

X + =E X + X X X (3.4.1)

olarak tanımlanır. Normal dağılım varsayımı altında bu koşullu beklenen değer

1, 2,..., _n

X X X değerlerinin bir lineer birleşimidir.

Kabul edelim ki Y Y₁, ₂,...,Y rasgele değişkenleri _n e_t WN(0,σ²) olmak üzere (e ler de _t Y ₁ den bağımsız)

¹

1 1

, 1

, 2

t

t t

Y t

Y αY₋ e t

 =

=  + ≥ (3.4.2)

modeline uygun olsun. α₁ < olsun yani serinin durağan olduğu varsayılsın. Bu durumda 1

1, 2,...,

n n n s

Y₊ Y₊ Y₊ değerleri öngörülmek istensin. e e₁, ₂,...,e ler bağımsız olduğundan dolayı _n

1

en₊ rasgele değişkeni Y Y₁, ₂,...,Y _n lerden bağımsızdır. Dolayısı ile

1 1 2 1

( _n , ,..., _n) ( _n ) 0

E e₊ Y Y Y =E e₊ = olacağından, Y)_n+1 =E Y( _n+1Y Y₁, ₂,...,Y_n)

1Yn

α

= şeklinde hesaplanır. Yani öngörü sadece serinin aldığı son değere ve parametreye bağlıdır.