END 461 GÜVENİLİRLİK ve BAKIM PLANLAMA DERS NOTLARI

ONDOKUZ MAYIS ÜNİVERSİTESİ

ENDÜSTRİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ

END 461

GÜVENİLİRLİK ve BAKIM PLANLAMA DERS NOTLARI

Prof. Dr. Sermin ELEVLİ

1. GİRİŞ ... 3

2. GÜVENİLİRLİK ... 4

2.1. Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu (pdf) ve Kümülatif Dağılım Fonksiyonu (cdf) ... 4

2.2. Güvenilirlik ... 5

2.3. Arıza Oranı ... 6

2.4. Arızalar Arası Ortalama Süre ... 7

3. OLASILIK DAĞILIMLARI ... 8

3.1. Exponential (Üstel Dağılım) ... 8

3.1.1. Üstel Dağılım Nomografı ... 12

3.2. Weibull Dağılımı ... 15

3.2.1. Weibull Parametrelerinin Belirlenmesi ... 18

3.3. Normal Dağılım ... 24

3.3.1. Normal Dağılım Nomografı ... 27

4. SİSTEM GÜVENİLİRLİĞİ ... 30

4.1. Seri Bağlı Sistemde Güvenilirlik ... 30

4.2. Paralel Bağlı Sistemde Güvenilirlik ... 31

4.3. Yedek Kullanımının Güvenilirliğe Etkisi ... 33

4.4. Güvenilirliğin Maliyeti ... 34

5. HATA AĞACI ANALİZİ ... 35

6. BAKIM KOLAYLIĞI ... 48

7. HAZIR BULUNMA ... 52

8. OPTİMUM EKİPMAN ÖMRÜNÜN TESPİTİ ... 54

9. BAKIM FAALİYETLERİNDE EKONOMİK YAKLAŞIM ... 57

11. TOPLAM EKİPMAN ETKİNLİĞİ ... 66

12. BAKIM TÜRLERİ ... 71

12.1. Bozulma Bakımı ... 72

12.2. Önleyici Bakımı ... 73

12.2.1. Periyodik Bakımı ... 74

12.2.2. Tahmini Bakımı ... 75

12.2.2.1. Gerçek Zamanlı Tahmini Bakımı ... 75

12.2.2.2. Hesaplama Esaslı Tahmini Bakımı ... 75

12.3. Bakım Politikalarının Değerlendirilmesi ... 82

1. GİRİŞ

Özel bir görevi yapmak üzere aralarında belirli ilişkiler ve etkileşimler bulunan nesneler ve donanımların bir bütün oluşturacak biçimde bütünleşik kombinasyonuna sistem adı verilir. Bir sistemin kendinden istenen fonksiyonları yerine getirme yeteneğini tanımlamada kullanılan terim “sistem etkinliği” dir. Sistem etkinliği, verilen bir süre içerisinde sistemin bir iş talebini başarı ile yerine getirmesi olasılığı olarak tanımlanmaktadır. Etkinlik; sistemin tasarlanma, imal edilme, kullanılma ve bakımının yapılma şeklinden etkilenir. Dolayısıyla tüm yaşam döngüsü faaliyetlerinin bir fonksiyonudur.

Sistem etkinliğinin önemli unsurlarından biri olan Hazır Bulunma, bu dersin konusunu oluşturmaktadır. Hazır Bulunmanın altında yer alan “Güvenilirlik” aynı zamanda kalitenin 8 boyutundan biri olup, ürünün kullanım ömrü içinde kendisinden beklenilen tüm fonksiyonları tam olarak yerine getirip getirmediğinin ölçütüdür. Arızalanan bir ürünün belirli bir süre içerisinde tekrar çalışabilir duruma getirilebilme olasılığını ifade eden “Bakım Kolaylığı” ise kalitenin “Hizmet Görme Yeteneği" boyutu ile ilişkilidir. Bu boyut altında ürünün serviste kaldığı süre, servisin randevulara ne kadar sürede cevap verdiği, servis personelinin ilgisi ve servisin sorunlara doğru çözümler bulabilmesi gibi hususlar dikkate alınmaktadır.

Sistem Etkinliği

Hazır Bulunma Tasarım Yeterliliği Performans

Güvenilirlik Bakım Kolaylığı

2. GÜVENİLİRLİK

2.1. Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu (pdf) ve Kümülatif Dağılım Fonksiyonu (cdf)

X rasgele değişkeni, ürünün arızaya kadar olan süresini temsil etsin. Ürün çalışmaya başladıktan sonra herhangi bir zamanda arızalanabileceğinden ötürü, bu değişken 0’dan sonsuza kadar sınırsız sayıda değer alabilir. Bu durumda X değişkeninin sürekli rassal bir değişken olduğu söylenebilir.

X değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu ab olmak üzere a ve b değerlerinin bir fonksiyonudur. Yani X’in [a,b] aralığında değer alma olasılığı, olasılık yoğunluk fonksiyonunun a’dan b’ye kadar olan alanıdır. Pdf, zamanın fonksiyonu olarak arıza zamanlarının nisbi frekansını verir. (Burada f(x) fonksiyonunun x’in gözlem olasılığı olmadığının bilinmesi önemlidir. Değişken sürekli olduğu zaman aralıktaki bir değerin gözlem olasılığı bulunabilir. Tek bir değerin gözlem olasılığı sıfırdır)

X rassal değişkeninin bir fonksiyonu olan kümülatif dağılım fonksiyonu (F(x)), x değeriyle tarif edilir. x değeri için F(x), gözlemlenen X değerinin en çok x olma olasılığıdır.

0

d(F(x)) ( ) ( ) ( ). f(x)=

dx

x

F x P X  x 



Yani cdf eğrisi üzerindeki bir noktanın değeri, pdf üzerinde o noktanın solundaki alanı verir. Güvenilirlik uygulamalarında cdf, ürünün t zamanından önce bozulma olasılığını (unreliability) ölçmekte kullanılır.

pdf altındaki toplam alan her zaman 1’e eşittir.

0

( ) 1 f x dx





2.2. Güvenilirlik

Güvenilirlik; bir sistem veya ürünün belirli işletme koşulları altında belirli bir zaman periyodunda bozulmadan çalışma olasılığıdır. (Güvenilirlik fonksiyonu her zaman zamana bağlı olarak azalan bir fonksiyondur) t anındaki güvenilirlik olasılığı R(t) ve arıza olasılığı F(t) olmak üzere;

0

( ) ( ) 1 ( ) 1 ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ). ( ) ( ).

t

t

R t F t R t F t R t P T t P T t

R t f t dt R t f t dt



          

 





2.3. Arıza Oranı

Bir ekipman t1 anında çalışıyor iken t1 ve t1+dt zamanları arasındaki bozulma olasılığıdır. (Bir ürünün arıza davranışının belirlenmesinde, bakım ekibi tahsisinde, yedek parça planlamasında kullanılır)

0

1 1 1

0 0

( ).

0

( ) ( )

( ) ( / )

1 ( ) ( )

( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ). . ln ( ) ln (0) ln ( )

( ) ( )

ln ( ) ( ). ( )

t

t t

t h t dt

f t f t h t P t T t dt T t

F t R t

R t F t R t F t f t

R t R t

h t h t dt dt R t R R t

R t R t

R t h t dt R t e



      



 

      

 

 

       

    

 



Arıza oranlarının zamana göre değişimi genellikle aynı trendi gösterir. Şeklinden dolayı banyo küveti eğrisi olarak adlandırılan bu değişimin genel şekli aşağıda verilmektedir.

Başlangıçta belirli bir süre tasarım hatalarında, üretim veya montaj kusurlarından kaynaklanan yüksek bir arıza oranı bulunmaktadır (İlk Arıza Dönemi). Bu erken hatalar üretimde kalite kontrol uygulamalarını artırarak veya ürünü müşteriye göndermeden önce deneyerek minimize edilebilir. Bu dönem genellikle ekipman üreticisinin garanti kapsamındadır. Arıza oranı sabit bir orana varıncaya kadar bu bozulmalar gittikçe daha az sıklıkta olur. Yani sistem gelişir. Sabit arıza oranlı dönemde arızalar, tesadüfi etkenlerin etkisi altında ortaya çıkar (Normal Dönem). Bu hatalar belirgin bir model

takip etmezler. Belirli bir süre sonra malzemeler ve parçalar hızla eskimeye, aşınmaya ve yorulmaya başlar ve buna bağlı olarak ta arıza oranı artar (Yıpranma Dönemi). Bu dönemde makinenin hurdaya ayrılarak yenisi ile değiştirilmesi ya da pahalı onarımlarla kullanılması söz konusudur.

2.4. Arızalar Arası Ortalama Süre

Belirli bir zaman birimi cinsinden tamir edilebilir bir üründe oluşan arızalar arasında geçen ortalama süredir. Bir başka ifade ile bir ürünün ortalama veya beklenen ömrüdür.

 

0 0 0

. ( ). 1 ( ) . ( ).

AAOS t f t dt F t dt R t dt

  









(MTBF tamir edilebilir sistemler, MTTF tamir edilemeyen sistemler için kullanılır. Mean Time To Failure (MTTF), bir sistemin arızaya kadar geçen ortalama ömrüdür (ampül gibi)).

3. OLASILIK DAĞILIMLARI

3.1. Exponential (Üstel Dağılım)

0

0 0

( )

( ) 1

( ) 1 ( )

( ) Arıza Sayısı

( ) (sabit) =

( ) Toplam Çalışma Süresi

AAOS= R(t).dt= .dt=1

t

t

t t

t

t

f t e

F t e e

R t F t e

h t f t

R t

e



 









 





 



 





  

  

  



 

Örnek: Sabit arıza oranı kabulü altında,

1 1

500 saat 0.002

AAOS^ ^{ }

b) Bir parçanın arıza oranı 5 adet/10⁶ saat ise, parçanın 10 000 saat sonunda çalışma olasılığı?

 ^-6 

6

- 5.10 10000

5.10 adet/saat

R(10000)=e 0.951

 ^







c) Bir parçanın AAOS’i 2 saat ise, 2 saatlik bir çalışma sonunda arızalanma olasılığı?

   

- 0.5 2 - 1

1 1

0.5 adet/saat 2

F(2)=1-e 1-e 0.632

 AAOS



  

 

(t=AAOS olduğunda R(t)=0.37’dir. Yani bir sistemin arızasız bir şekilde ortalama ömrünü sürdürme olasılığı %37’dir)

Örnek: 10 adet parça belirli işletme koşulları altında 600 saat test edilmiştir.

Parçalardan 5 adedi sırasıyla 75, 125, 130, 325 ve 525 saat sonunda arızalanmıştır.

Arıza oranını hesaplayınız.

Toplam Çalışma Süresi=1180+ 5x600= 4180 saat 5 3

0.001196 adet/saat 1.2 adet/10 saat

 4180 

Örnek: Bir sistem için çalışma devri 169 saat olup, bu süre içerisinde 6 arıza olmuştur.

Arıza oranını ve AAOS’yi bulunuz.

6 0.04225 adet/saat 142

1 1

AAOS= 23.6686 saat

0.04225





 

 

Örnek: Eğer bir cihazın arıza oranı 2.10^-6 adet/saat ise 500 saatlik çalışma periyodundaki güvenilirliği nedir? Testte 2000 adet cihaz varsa, 500 saatte kaç tane arıza beklenmelidir? (Sabit arıza oranlı dönem kabul ediniz)

^{2.106 500}

(500) 0.999

Beklenen Arıza Sayısı=2000-2000 0.999=2 adet

R e

 

 



20.2 6.1 24.4 35.3 5.3 46.7 4.0

2.1 7.1 4.2 1.8 3.5 8.3

Bakım Faaliyeti

Çalışm a

Toplam Süre=169 saat

Örnek: Bir cihazın arıza oranı 0.5 adet/yıl ise, sabit arıza oranlı dönem kabulü altında aşağıdaki soruları cevaplayınız.

a) Cihazın güvenilirlik fonksiyonu

( )

R t  e

 e

b) Cihazın bozulmadan 4 yıl çalışma olasılığı

0.5 4

(4) 0.1353

R  e



c) Cihazın çalışma saatinin AAOS’ye eşit olduğu güvenilirliği

 

- 0.5 2 1

1 1

2 saat 0.5

R(2)=e 0.3679

AAOS

e



 

  

 

d) 10000 adet cihazdan kaç tanesi 5 yılın sonunda bozulmadan kalacaktır?

 

- 0.5 5

R(5)=e 0.0821

Bozulmadan kalacak cihaz sayısı=10000 0.0821=821 adet

 



e) Kaç tanesi 1 yıl içinde bozulacaktır?

 

- 0.5 1

R(1)=e 0.6065

Bozulacak cihaz sayısı=10000-10000 0.6065=3935 adet

 



f) İmalatçı garantili olarak sattığı cihazların %5’inden fazlasını değiştirmek istemiyorsa cihazın garanti süresi ne olmalıdır?

0.5   0.5

500 10000 10000  e^{ t} e^{ t} 0.95 t 0.1026 yıl

Örnek: Bir hesap makinesinin garanti süresi 1 yıldır. Eğer hesap makinesi bu süre içerisinde bozulursa değiştirilmektedir. Arızaya kadar olan süre üstel dağılım göstermekte olup, olasılık yoğunluk fonksiyonu

f t ( ) 0.125  e

a) Garanti periyodunda hesap makinelerinin % kaçı arızalanır?

0.125 0.125 1

( )

(1) 0.88 (1) 0.12

R t  e

 R  e

  F 

b) Hesap makinesini üretme maliyeti 50$ ve satış başına kar 25$’dır. 100 birimden oluşan bir partide garanti değiştirmelerinin kar üzerindeki etkisi nedir?

Değiştirme olmaması durumunda; Kar=100x25=2500 $

Değiştirme olması durumunda; Kar=100x75-112x50=7500-5600=1900 $

Düşük güvenilirlikten ötürü değiştirme yapılması durumunda karda 600$’lık bir azalma söz konusu olacaktır.

3.1.1. Üstel Dağılım Nomografı

1. Zaman birimini (saat, devir vb.) ve ilgili çizim aralığını belirle

2. Çalışma zamanı eksenini en alt düzeyde 10ⁿ ve en üst düzeyde 10ⁿ⁺³ olmak üzere ölçeklendir. n değeri ilgilenilen ömür 10ⁿ ve 10ⁿ⁺³ arasında olacak şekilde seçilmelidir.

3. AAOS ekseni 10ⁿ⁺³ den 10ⁿ e kadar azalan şekilde ölçeklendirilmelidir. ( n değeri 2.

adımla aynı olmalıdır)

4. Arıza oranı ekseni 10^-(n+3) ten 10^-n e kadar artan şekilde ölçeklendirilmelidir.

5. Spesifik çalışma zamanı noktasıyla AAOS noktasını birleştir.

6. Kesim noktasında F(t) ve R(t)’yi oku

Örnek: Bir silindir 350000 devirlik çalışma periyodu boyunca %70 güvenilirliğe sahip olacak şekilde tasarlanmıştır. AAOS’yi hesaplayınız.

350000

350000

( ) 0.70 ln 0.7 981285 devir

t

AAOS AAOS

R t e e AAOS

AAOS

 

       

3.2. Weibull Dağılımı

1

t

0

1

1

( ) exp Ölçek Parametresi, = Şekil Parametresi

F(t)= f(t)dt=1

( )

( ) e

( ) ( )

e

1 1 Gamma F

t

t

t

t

f t t t

e

R t e

f t t

h t t

R t AAOS











 





  

 



  



 

 

 

   

  

 

  

   

 

   

   

     





  

 

     

 



   

x-1

0

onksiyonu

1 x 2 (x)= t

x 2 x ( 1) 1

e dtt

x x



    

     



β şekil parametresi aynı zamanda weibull eğimi olarak ta bilinir. Bunun nedeni β’nın değerinin olasılık grafiğindeki (probability plot) çizginin eğimine eşit olmasıdır. Şekil parametresinin bazı değerleri, weibull dağılımını diğer dağılımlara indirger.

Örneğin β=1 olduğunda üç parametreli weibull dağılımının olasılık yoğunluk fonksiyonu iki parametreli üstel dağılıma dönüşür.

β sabit kalmak üzere α ölçek parametresinin değerinin artması pdf’in yayılımının artmasına neden olur. pdf eğrisinin altındaki alan sabit olarak 1’e eşit olduğundan α arttıkça eğrinin yüksekliği de azalacaktır.

β<1 (Negatif Yaşlanma)

Zaman ilerledikçe arızalanma ihtimali azalmakta

β=2 (Rayleigh Dağılımı)

β=1 (No Memory)

Zamanın arızalanma ihtimali üzerinde etkisi bulunmamakta β>2

1<β<2 (Pozitif Yaşlanma) β=3,4 (Normal Dağılım)

Örnek: Bir parçanın ömrü (bin saat) α=0,5 ve β=2 parametreleri ile weibull dağılımı göstermektedir.

a) 1000 saatten önce bu parçanın arıza yapma olasılığını bulunuz.

𝐹(1) = 1 − 𝑒⁻⁽

1 0,5)

2

= 0,9817

h(t)

t

h(t)

t

h(t)

t

h(t)

t

h(t)

t

h(t)

t

b) AAOS’yi bulunuz.

𝐴𝐴𝑂𝑆 = 0,5. Γ (1 +1

2) = 0,5. Γ(1,5) = 0,5.0,88623 = 0,4431 (443,1 𝑠𝑎𝑎𝑡)

3.2.1. Weibull Parametrelerinin Belirlenmesi

-c

( ) 1 ( ) 1

1 ( )

ln ln 1 ln ln

1 ( ) - 0.3

( ) medyan derecesi 0.4

. eğim(şekil parametresi) ln ln 1

- 0.3 1- 0.4

c=- .ln( ) =e

t

t

R t F t e

F t e

F t t F t i

n

y m x c m

y i

n











  



  

   

  

 

  

 

 

 

  

 

 



    

  

  

  

    

 

 

    

 

 karakteristik ömür(ölçek parametresi)

Örnek: 16 adet röle (yol verici) ömür testine tabi tutulmuş ve arızalanma süreleri tespit edilmiştir.

Arıza (i) Arızalanma Süresi (ti) x10⁵

1 3,8

2 6,6

3 8,2

4 9,5

5 11,0

6 11,9

7 14,7

8 17,1

9 19,2

10 21,9

11 23,5

12 24,5

13 27,9

14 29,9

15 33,0

16 37,2

a) Arıza süreleri hangi dağılıma uymaktadır?

Anderson- Darling değeri daha düşük olduğu içinweibull dağılımı en uygun dağılımdır.

b) Dağılımın parametrelerini bulunuz (Nx10⁵)

i Ömür (N) X=ln(N) Medyan Derecesi F(N)=(i-0,3)/(n+0,4) Y=ln(ln(1/(1-F(N)))

1 3,8 12,85 0,04 -3,13

2 6,6 13,40 0,10 -2,21

3 8,2 13,62 0,16 -1,72

4 9,5 13,76 0,23 -1,36

5 11 13,91 0,29 -1,09

6 11,9 13,99 0,35 -0,85

7 14,7 14,20 0,41 -0,64

8 17,1 14,35 0,47 -0,46

9 19,2 14,47 0,53 -0,28

10 21,9 14,60 0,59 -0,11

11 23,5 14,67 0,65 0,06

12 24,5 14,71 0,71 0,22

13 27,9 14,84 0,77 0,40

14 29,9 14,91 0,84 0,59

15 33 15,01 0,90 0,82

16 37,2 15,13 0,96 1,15

Weibull Grafiği (Weibull Plot)

(Doğrusal regresyon yöntemi ile weibull parametrelerinin tespiti)

𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑐

𝛽 = 𝑚 = 𝑒ğ𝑖𝑚 (𝑏𝑖ç𝑖𝑚 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑚𝑒𝑡𝑟𝑒𝑠𝑖) = 1,7899

𝑐 = −𝛽. ln(𝛼) → 𝛼 = 𝑒⁻

𝑐

𝛽 (karakteristik ömür, ölçek parametresi)

−26,092 = −1,7899. ln(𝛼) → 𝛼 = 𝑒⁻⁽

−26,092 1,7899)

→ 𝛼 = 𝑒^14,577= 2141463 = 21,41463. 10⁵

R²=0,9924 weibull dağılımının verilere uyum iyiliğini göstermektedir

1<β=1,7899<2 olduğundan Pozitif Yaşlanma söz konusudur.

Not: Karakteristik ömür (α) popülasyonun %63,2’sine karşılık gelir.

𝑡 = 𝛼 𝑖𝑠𝑒 𝐹(𝑡) = 1 − 𝑒^−𝛼𝑡

𝛽

= 1 − 𝑒^−𝛼𝛼

𝛽

= 1 − 𝑒^−1𝛽 = 0,632

𝑛 = 16 𝑜𝑙𝑑𝑢ğ𝑢𝑛𝑑𝑎𝑛 0,632 ∗ 16 = 10,112

(

10 21,9 10,12 𝑥 11 23,5

) ^21,9−𝑥

21,9−23,5=^10−10,112

10−11 𝑥 = 22,0792 (α için hızlı yaklaşım)

y = 1,7899x - 26,092 R² = 0,9924

-4,00 -3,00 -2,00 -1,00 0,00 1,00 2,00

12,5 13,0 13,5 14,0 14,5 15,0 15,5

Y=ln(ln(1/(1-F(N)))

X=ln(N)

c) Beklenen ömrü bulunuz.

𝐴𝐴𝑂𝑆 = 𝛼Γ (1 +1

𝛽) = 21,41463. Γ (1 + 1

1,7899) = 21,41463. Γ(1,56)

= 21,41463.0,889639 = 19,05

Standard Error

95% Normal CI Distribution Mean Lower Upper Normal 18,7437 2,42976 13,9815 23,5060 Lognormal 19,2470 3,27410 13,7900 26,8633 Exponential 18,7437 4,68594 11,4830 30,5955 Weibull 18,7786 2,40841 14,6047 24,1453

𝐴𝐴𝑂𝑆 = 21,20. Γ (1 + 1

2,039) = 18,78

d) 10 adet çalışma (10⁵) sonundaki güvenilirliği bulunuz.

𝑅(10) = 𝑒⁻⁽

10 21,41463)

1,7899

= 0,7742

3.3. Normal Dağılım

 

2

2

1 2

1. 2

1 t-

( ) . , Z

. 2 ( ) ( ) R(t) 1 ( )

( ) 1 2 h(t) (Z)

.R(t)

t

Z

f t e

F t Z

Z

Z e



 

  

 





  

  



 

 

  





t= durumunda R(t)=0,5’ tir. Yüksek bir güvenilirlik seviyesine ulaşabilmek için çalışma süresi.  (beklenen ömür) den önemli ölçüde düşük olmalıdır.

Örnek: Bir cihazın ömrü 10 saatlik bir standart sapma ile normal dağılmaktadır. Eğer cihazın 100 saatlik işletme periyodu için güvenilirliği 0.99 ise beklenen ömür ne olmalıdır?

 ²

1 2.33 2

100 100

( ) 1 0.99 1 0.01

10 10

100 2.33 123.3 saat 10

(Z)= 1 0.0264

1. 2

(Z) 0.0264

h(t) ( ) 0.0027 adet/saat= 2.7 adet/1000 saat .R(t) 10 0.99

R t t

e

h t

  



 

 





 

  

     

         

    



   



Örnek: Bir makinenin arızaya kadar olan süresi T. E(T)=90 saat ve =5 saat ile normal dağılmış olsun. 0,90, 0,95 ve 0,99’luk güvenilirlik düzeyine ulaşması için bu makinenin kaç saat çalışması gerekmektedir?

( ) 1 90

5

90 90 90

0.90 1 0.10 1.29 83.55 saat

5 5 5

90 90

0.05 1.64 81.8 saat

5 5

90 90

0.01 2.33 78.35 saat

5 5

R t t

t t t

t

t t

t

t t

t

  

    

  

   

          

 

 

      

 

 

      

Örnek: Belirli bir cihazın ömrü =6 yıl ve =1 yıl parametreleri ile normal dağılıma uymaktadır.

a) Bu cihazın 7 yıldan önce bozulma olasılığı

7 6 1 1

( 7) ( 1) 0.8413

Z

P T P Z

  

 

b) Bozulma olasılığının %10 olduğu servis ömrü 6 1.28 4.72 yıl

1

Z T    T

Örnek: Bir cihazın =5000 saat ve =1500 saat parametreleri ile normal dağılım gösterdiği gözlenmiştir. 4400 saat için güvenilirliği ve arıza oranını hesaplayınız.

 

   

 ²

1 0.4 2

4400 5000

( ) (4400) 0.4

1500

0.4 1 0.4 1 0.3446 0.6554

( ) 1 0.3683

2

(4400) 0.3683

(4400) 0.00037 adet/saat= 37 adet/1000 saat

R t P Z t R P Z P Z

P Z P Z

Z e

h f





 



 

 

   

      

      

 

  



3.3.1. Normal Dağılım Nomografı

1. Zaman birimini ve ilgili çizim aralığını belirle

2. Çalışma zamanı eksenini soldan sağa artacak şekilde ölçeklendir ( Örneğin eğer çalışma zamanı 8300 saat ise çalışma zamanı ekseni her bir bölüm 1000 h olmak üzere 4-14 arası olmalıdır. Bu işlem 8300 h’i eksenin yaklaşık orta noktasında konumlandıracaktır.) Zaman birimi 1000 h olduğunda =1,2 =1200 saat ve h(t)=1,75 ise 1,75 adet/1000 saat olacaktır.

3. Ortalama yıpranma zamanı eksenini çalışma zamanı için kullanılan aynı büyüklük ve ölçekle azalan şekilde ölçeklendir.

4. Spesifik çalışma zamanı noktasını ve ortalama yıpranma noktasını A noktasını bulmak için birleştir.

5. A noktası ve standart sapmayı. standartlaştırılmış z değişkeni eksenindeki B noktasını bulmak için birleştir.

6. B’den aşağıya dik in ve R(t) eksenindeki değeri oku.

7. Bu dikey çizgiyi spesifik  eğrisi ile kesiştiği C noktasına kadar uzat.

8. Bu dikey çizginin x eksenini kestiği D noktasında arıza yoğunluğunu oku.

9. C noktasından düşey eksene çizilen çizginin y eksenini kestiği E noktasında arıza oranını oku.

Örnek: Bir pompanın ömrü =5000 h ve =1000 h parametreleriyle normal dağılım göstermektedir. 4000 h ve 6000 h sonundaki güvenilirlik ve arıza oranını tahmin ediniz.

   

 ²

1 1 2

4000 5000 1000 1

( ) 1 (4000) 1 1 1 1 0.8413 0.8413

(Z)= 1 0.2420

1. 2

(Z) 0.2420

h(t) ( ) 0.000288 adet/saat= 0.288 adet/1000 saat .R(t) 1000 0.8413

Z t

R t t R

e

h t









 





 

 

   

  

           



   



 

 ²

11 2

6000 5000 1000 1

(6000) 1 1 0.1587

(Z)= 1 0.2420

1. 2 0.2420

( ) 0.001525 adet/saat= 1.525 adet/1000 saat 1000 0.1587

Z t R

e h t





 



 

  

   



 



4. SİSTEM GÜVENİLİRLİĞİ

4.1. Seri Bağlı Sistemde Güvenilirlik

Eğer bir sistem n adet bağımsız alt sistemden oluşmuş ve seri bağlanmış ise tüm sistemin güvenilirliği aşağıdaki eşitlikte verildiği gibi olur. Tüm sistemin güvenilirliği alt sistemlerin güvenilirliğinden daha küçüktür.

A

. .

R R R R 

Olay Anahtarın Durumu Olayın Meydana Gelme Olasılığı

Sistemin Durumu

C1 C2 C3

1 Kapalı Kapalı Kapalı R1R2R3 Çalışıyor 2 Kapalı Kapalı Açık R1R2(1-R3) Çalışmıyor 3 Kapalı Açık Kapalı R1(1-R2) R3 Çalışmıyor 4 Açık Kapalı Kapalı (1-R1)R2 R3 Çalışmıyor 5 Kapalı Açık Açık R1(1-R2)(1-R3) Çalışmıyor 6 Açık Kapalı Açık (1-R1)R2(1-R3) Çalışmıyor 7 Açık Açık Kapalı (1-R1)(1-R2) R3 Çalışmıyor 8 Açık Açık Açık (1-R1)(1-R2)(1-R3) Çalışmıyor

Örnek: Dört adet alt sistemden oluşan bir seri bağlı sistemin 1000 saat çalışacağı beklenmektedir. Alt sistemlerin Arızalar Arası Ortalama Süresi sırasıyla AAOSA= 6000 h, AAOSB= 4500 h, AAOSC= 10500 h ve AAOSD= 3200 h’tir. Sabit arıza oranlı dönem kabulü altında tüm sistemin güvenilirliğini hesaplayınız.

 

1 1

0.000167 adet/h 0.000222 adet/h

6000 4500

1 1

0.000095 adet/h 0.000313 adet/h

10500 3200

( ) ^{A B C D A B C D}

A B

C D

t t

t t t

R tS e ^ e ^ e ^ e ^ e ^{   }

 

 

   



  

    

    

 

A B C

input output

A B

C1 C2 C3

Örnek: Bir sistem seri bağlı üç birimden oluşmakta olup, birimler üstel dağılım göstermektedir. Birimlerin arıza oranları (adet/saat) sırasıyla

1

0.0002,

0.0005 ve

0.0001

     

a) Sistemin güvenilirlik eşitliği

1 2 3

3

1 2

( ) ^{t t t t}

R tS e^ e^ e^ e^{   }

b) 150 saat sonundaki güvenilirliği

0.0002 0.0005 0.0001 150

(150) 0.8869

RS e^{  } 

c) Sistemin olasılık yoğunluk fonksiyonu

 

_{ }

1 2 3

( ) ( )

t S t

S

d R t d e

f t e

dt dt

  

  

  

  

  

 

 

      

d) Sistemin arıza oranı

 

 

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

( ) ( ) 0.0008 adet/saat

( )

t S

S t

S

f t e

t R t e

  

  

  

   

  

  

 

     

e) Sistemin AAOS

1 1

1250 saat ( ) 0.0008

S

AAOS^ t ^{ }

f) %90 güvenilirlik için garanti periyodu ne olmalıdır?

1 2 3

ln( ) ln(0.9)

131.7 saat 0.0008

t R

  

    

 

4.2. Paralel Bağlı Sistemde Güvenilirlik

Bir sistem paralel bağlanmış ise, bu şekilde çalışan bir sistemin faaliyetinin durması için tüm alt sistemlerinin çalışmaması gerekir. Seri sistemin aksine, tüm sistemin güvenilirliği alt sistemlerin güvenilirliğinden daha fazla olmaktadır.

  

1 1 1

A B A B

A B

R R R R R

R R R

  

   

A B

input output

Olay Anahtarın Durumu Olayın Meydana Gelme Olasılığı

Sistemin Durumu

C1 C2 C3

1 Kapalı Kapalı Kapalı R1R2R3 Çalışıyor 2 Kapalı Kapalı Açık R1R2(1-R3) Çalışıyor 3 Kapalı Açık Kapalı R1(1-R2) R3 Çalışıyor 4 Açık Kapalı Kapalı (1-R1)R2 R3 Çalışıyor 5 Kapalı Açık Açık R1(1-R2)(1-R3) Çalışıyor 6 Açık Kapalı Açık (1-R1)R2(1-R3) Çalışıyor 7 Açık Açık Kapalı (1-R1)(1-R2) R3 Çalışıyor 8 Açık Açık Açık (1-R1)(1-R2)(1-R3) Çalışmıyor

Örnek: Aşağıda güvenilirlik blok diyagramı verilen sistemlerin güvenilirlik fonksiyonlarını yazınız.

 

A B C B C

RR R R R R

     

1 1 _A 1 _B 1 1 _C 1 _D

R   R R     R R 

     

1 1 _A 1 _B 1 _{C D E F E F}

R   R R R R R R R R

B

C A

A

B

C

D

A

B

C

C1

A

C2

C3

B

E

F D

4.3. Yedek Kullanımının Güvenilirliğe Etkisi

Örnek: Bir odada iki adet lamba mevcuttur. Bunlardan birincisinin çalışma olasılığı 0.90 ve ikincisinin çalışma olasılığı 0.80’dir. Odanın aydınlatılmasında yalnızca bir lambanın çalışması yeterlidir. Eğer lambalardan birincisi açıldığında yanmazsa diğer lamba devreye girmektedir. Bu durumda başarı şansı 0.90 (1 0.90) 0.80   0.98’dir.

    

1 numara çalışıyor

1 numara çalışmıyor 1 ve 2 numara çalışmıyor 2 numara çalışıyor 3 numara çalışıyor

0.90  1 0.90 0.80 1 0.90 1 0.80 0.70 0.994

Örnek: Bir tasarım mühendisi yedek bir parçanın belirli bir sisteme ilavesinin ekonomik olup olmayacağını belirlemek istemektedir. Sistemin güvenilirliği 0.98 dir. Sistem hatası ise 20000 $’a mal olmaktadır. 100 $’lık bir anahtar. bir hata oluşması durumunda sistemi otomatik olarak yedek sisteme aktarmak üzere sisteme eklenecektir. Yedek parçanın güvenilirlik olasılığı 0.98 ise yedek parçanın eklenmesi ekonomik midir?

Hatanın beklenen maliyeti (yedeksiz)= 20 000 (1-0,98)= 400 $ Yedekli sistemin güvenilirliği= 0,98+ 0,98 (1-0,98)= 0,9996 Yedekli sistemin bozulma olasılığı= 1- 0,9996= 0,0004

Hatanın beklenen maliyeti (yedekli)= 100+ 20000x0,0004=108 $ 400 $>108 $ olduğundan yedek sistemin kurulması ekonomiktir.

Örnek: Bir montaj hattı A. B ve C olmak üzere 3 adet makineden oluşmaktadır.

Makinelerin güvenilirlikleri sırasıyla 0,99, 0,96 ve 0,93’tür. Makineler biri durduğunda diğerleri de duracak şekilde organize edilmiştir. Hattın güvenilirliği artırmak üzere

.80

.90 Lamba 1

Lamba 2 (yedek) .70 Lamba 3

(yedek) .80

.90 Lamba 1

Lamba 2 (yedek)

mühendisler iki alternatif üzerinde durmaktadır. 1. Alternatif benzer bir yedek hat oluşturulması. 2. Alternatif ise her bir makine için yedek makine sağlanmasıdır. Her iki durumda da yedek makineler orijinal makinelerle eşit güvenilirliğe sahip olacaktır.

Hangi planın daha yüksek güvenilirlik sağlayacağını hesaplayınız.

1. Alternatif:

Rs=0,99x0,96x0,93=0.,8838 Yedek hat olması durumunda

Rs=0,8838+0,8838(1-0,8838)=0,9864

2. Alternatif



  

0.9999 0.9984 0.9951 0.9934 Rs

Rs

      

   

RAI> RAII olduğundan 2. alternatif seçilmelidir.

4.4. Güvenilirliğin Maliyeti

Tasarım ve imalat maliyeti güvenilirlik ile birlikte artar. Eğrinin eğiminin artması, güvenilirlikteki her bir artışın ulaşması zor hale geldiğini göstermektedir. Tüketiciye teslim sonrası maliyetler (garanti veya değiştirme maliyeti, tedarikçinin itibarı) güvenilirlik arttıkça azalır. Eğrilerin toplamı optimum güvenilirlik seviyesini verecektir.

Güvenilirlik Maliyet

Teslim Sonrası Maliyetler Tasarım ve İmalat Maliyeti Toplam

Maliyet

Düşük güvenilirliğin sebepleri;

 Tasarım Hataları: Tüm önemli işletme faktörlerinin ele alınmaması, çalışma koşullarına dönük yetersiz bilgi, hatalı hesaplamalar, yanlış malzemenin seçimi

 İmalat Kusurları: Uygun talimat ve spesifikasyonların eksikliği, yetersiz denetleme, kötü çalışma koşulları, gerçekçi olmayan üretim kotası, yetersiz eğitim, motivasyon eksikliği

 Bakım: Çoğu mühendislik sistemi belirli periyodlarda yeterli bakım alacakları kabulüyle tasarlanırlar, Bakım ihmal edildiğinde veya yetersiz yapıldığında hizmet ömrü azalacaktır

 Tasarım Sınırlarının Aşılması: sıcaklık, hız vs.

 Çevresel Faktörler: yağış, nem, buzlanma vs.

5. HATA AĞACI ANALİZİ

Sistemde tehlike olarak kendini gösteren olası tüm problem veya hataların tanımlanmasında ve analizinde kullanılan, tümdengelimli mantığa dayanan bir tekniktir. HAA, her düzeyde tehlike oluşturan hataların analizini yapar ve bir mantık diyagramı aracılığı ile en büyük kaybı yaratan hataların ve problemlerin olası tüm kombinasyonlarını gösterir.

Analiz tasarımcının çözüm önermesi gereken hata türlerini tanımlaması ile başlar ve hataya sebep olabilecek ana sebeplerin araştırılması ile devam eder. Oluşması istenemeyen olayın kökündeki sebebe kadar inilerek istenmeyen diğer olası hatalar ve onların sebepleri ortaya çıkarılır. Tüm bu hataları ve sebeplerini görüntülemede tekniğin kendine özel mantık sembollerinden yararlanılarak hatanın soy ağacı çıkarılır.

Sembol Adı Anlamı

Ve kapısı

Sadece sembol altındaki tüm girdi olaylarının gerçekleşmesi durumunda yukarıda yer alan olayın ortaya çıkması gerçekleşir.

Veya kapısı

Sembol altındaki bir veya birden fazla girdi olaydan en az herhangi birinin gerçekleşmesi durumunda yukarıda yer alan olayın ortaya çıkması gerçekleşir.

Kısıtlama kapısı

Üstteki olayın ancak alttaki olay meydana gelirse ve ovalle gösterilen şart oluşursa meydana geldiğini gösterir.

Kombinasyon kapısı

Mantık kapısı ile bağlı daha basit olayların kombinasyonudur.

Esas olay Daha ileri bir gelişimi gerektirmeyen temel bir olaydır.

Geliştirilmemiş olay

Daha ileri bir çözümlemeyi gerektirmeyen veya daha ileri bir çözümleme için gerekli bilgi bulunmayan olaydır.

Transfer kapısı

Hata ağacının farklı bölümleriyle bağlantı kurmak veya büyük hata ağacının çeşitli bölümlerini farklı sayfalara taşımak amacıyla kullanılır.

Oylama kapısı

n adet girdi olayından en az m adetinin meydana gelmesi durumunda çıktı olayın meydana geldiğini gösterir. m=1 durumunda VEYA kapısı gibi hareket eder.

Zirve Olayı

Mantık Kapısı

Birinci Seviyede Katkısı Olan Olay

Esas Olay İkinci

Seviyede Katkısı Olan Olay

Adımları

1. Analiz edilecek hatanın tespit edilmesi

2. Hataya doğrudan katkı yapan hataların

listelenmesi. Bu aşamada 5N Tekniğinden yararlanılabilir. 5N Tekniği, “Neden bu olay oluştu?” sorusunu sorarak hataların kök nedenlerinin

bulunmasına yardım eden bir beyin fırtınası tekniğidir.

3. Listelenen hataların zirve olayının oluşmasına olan katkılarına göre gruplandırılması

4. Eğer hata daha fazla geliştirilemiyorsa daire içine alınması

İki elemanlı bir seri ve paralel sistemin güvenilirlik blok diyagramının Hata Ağacı mantığındaki sunumu aşağıda verilmiştir. (Seri sistemde başarı kombinasyonu VE, hata kombinasyonu VEYA)

VE kapısı örneği

TRUE (Doğru)/ FALSE (Yanlış) Tablosu

A B Çıktı T T T T F F F T F F F F

VEYA kapısı örneği

T/ F Tablosu

A B Çıktı T T T T F T F T T F F F

A B

Başarılı Olay Başarısız Olay

A B

A B

Başarılı Olay Başarısız Olay

A B

Oylama kapısı örneği

T/ F Tablosu

A B C Çıktı T T T T T T F T T F T T T F F F F T T T F T F F F F T F F F F F

Kısıtlama kapısı örneği

T/ F Tablosu

A B Koşul Çıktı

T T T T

T T F F

T F T F

T F F F

F T T F

F T F F

F F T F

F F F F

HAA’ de her bir temel/esas olayın ve kök nedenin hata olasılıklarını bulmak suretiyle zirve olayın meydana gelme olasılığı dolayısıyla güvenilirliği hesaplanabilmektedir.

Eğer zirve olayın güvenilirliği kabul edilemeyecek düzeyde düşük ise, zirve olayın meydana gelmesine neden olan asgari hata ağacı grupları (minimal cut set) arasından en fazla katkıyı yapanlara öncelik verilmek üzere iyileştirme çalışmalarına başlanmalıdır.

CUT SET: Bir “Cut set”, hepsi oluştuğu takdirde, zirve olayının (top event) meydana gelmesine neden olan herhangi bir hata ağacı grubudur.

MİNİMAL CUT SET: Bir “minimal Cut Set” hepsi oluştuğu takdirde, zirve olayının (top event) meydana gelmesine neden olan asgari hata ağacı grubudur.

Minimal Cut Set uygulaması yapılırken Boolean Matematiğinin bilinmesi gerekmektedir. Teorem kullanılarak cut set, minimal cut set’e indirgenir.

Denklemin indirgenmesi ile minimal cut set araştırması:

1. Hata ağacındaki, zirve olaya “T” harfi verilir.

2. Zirve olayın altıdaki, birbirine mantık kapıları ile bağlı basit olaylara “T1” ‘den başlamak kaydıyla harf verilir.

3. Zirve olayın altındaki birbirine mantık kapıları ile bağlı esas olaylara “A” ‘dan başlamak üzere harf verilir

4. Zirve olayın altındaki mantık kapılarına herhangi bir harf veya sayı verilmez.

Matris kullanılarak minimal cut set araştırması:

1. Esas olay (yaprak, başlatan olay)’lar hariç ağaçtaki tüm elementler yok sayılır.

2. Zirve olaya en yakın olandan başlamak kaydıyla, mantık kapılarına “harf”, yapraklara (esas olay) “sayı” verilir.

3. Birinci adım olarak zirve olaydan aşağıya doğru, harfleri ve numaraları kullanarak matris oluşturulur.

4. İlk olarak zirve olayın altındaki mantık kapısının harfi matrisin en üst sol kısmına yazılır.

5. “VE” kapılarının harfleri matriste YATAY olarak yazılır, yine “VE” mantık kapılarının girdileri de matriste YATAY olarak yer değiştirilir.

6. “VEYA” kapılarının harfleri matriste DÜŞEY olarak yazılır, yine “VEYA” mantık kapılarının girdileri de matriste DÜŞEY olarak yer değiştirilir. Harfin altındaki sıralar dolu ise aşağıya doğru yeni bir satıra yazılır, ancak “VEYA” mantık kapılarının girdilerini matriste yer değiştirirken harfin bulunduğu satırdaki tüm sayılar aşağıdaki yeni sıraya da aktarılır.

7. Final Matris başlatıcıları gösteren bir matristir. Bu matrisin her satırı boolean cut set’i dir.

8. Final matris sonucunda aşağıdaki değerlendirme yapılarak matris indirgenir ve

“Minimal Cut Set” elde edilir:

a. Bir satırın her elemanı yukarıdaki sütununda tekrarlanıyorsa satırı iptal et b. Bir satır içinde tekrarlanan bir sayı var ise sayının birini sil

c. Birbirleriyle aynı olan satırları sil

Örnek:

. 1

2.3 2 4 (1 ).

(1 2.3)(2 4)

1.2 1.4 2.2.3 2.3.4 1.2 1.4 2.3 2.3.4 1.2 1.4 2.3

A B D

B C

C D

A C D

A A A A



 



 

 

  

   

   

  

Eşdeğer hata ağacı

A B D 1 D 1 D 1 2 1 2 1 2 C D 2 D 3 2 D 3 2 2 3 2 3

1 4 1 4 1 4

2 4 3

Örnek:

1

2

Zirve

2 4 D B

3 C

A

Zirve

2 3

1 2 1 4

Hata Ağacının Boolean Tanımlaması;

T4=A.B T3=B+C

T1=A+T3=A+(B+C) T2=C+T4=C+(A.B)

T=T1.T2=(A+B+C)[C+(A.B)]

T=A.C+B.C+C+A.B+A.B+C.A.B

[A+A.B=A, A+A=A kuralları uygulanarak]

T=C+A.B+A.B.C=C+A.B

Azaltılmış hata ağacı;

Örnek:

 

   

1.

2 3 4

.6 3.5.

4 1

1. .6

1. 2 3.5. .6 1. 2 3 4 3.5.6. 4 1 1.2 1.3 1.4 3.4.5.6 1.3.5.6 1.2 1.3 1.4 3.4.5.6

A B C

B D

D E

E C F

F G

G

A D F

A E G

A A A

 



 

 





 

 

  

    

    

   

A B 1 D 1 2 1 2 1 2 C F 6 F D 3 5 G 6 3 5 G 6 1 E 1 E 1 3

1 4

1 2 1 2 3 5 4 6 1 3 1 3 1 4 1 4 3 4 5 6

C

A B

1

2

6 Zirve

C

F

3 5

4 1 G B

D

E

3 4 A

Eşdeğer hata ağacı

Örnek: Öncelikli olarak hangi hata grubu ele alınmalı?

Sembol Arıza Olasılığı

T 5.10^-6

K2 3.10^-5

S 1.10^-4

K1 3.10^-5

R 1.10^-4

S1 3.10^-5

1 2

2 3 2

3 . 4

4 1 5

5 1

1 3 2

1 . 4 2

1 . 1 . 5 2

1 . 1 . 1 . 2

E T E

E E K

E S E

E S E

E K R

E T E K

E T S E K

E T S S S E K E T S S S K S R K

 

 



 

 

  

  

   

    

Cut Set Arıza Olasılığı Önem T P[T]= 5.10^-6 %14 K2 P[K2]= 3.10^-5 %86 S.K1 P[S.S1]= 3.10^-9

<%0,1 S.R P[S.R]= 1.10^-8

S.S1 P[S.K1]= 3.10^-9 P[E1]=3.5.10^-5

E1

S

K2

T ^E2

E

E4

S ^E5

K1 R

YANLIŞ DOĞRU

YANLIŞ DOĞRU

YANLIŞ DOĞRU

A B A C

2.10^-6 2.10^-6 2.10^-6 2.10^-6

4.10^-12 4.10^-12

8.10^-12

A

B C

2.10^-6

2.10^-6 2.10^-6 4.10^-6 8.10^-12

A B A C

2.10^-6 2.10^-6 2.10^-6 2.10^-6

4.10^-6 4.10^-6

8.10^-6

A B C

2.10^-6 2.10^-6 2.10^-6 6.10^-

A B A C

2.10^-6 2.10^-6 2.10^-6 2.10^-6

4.10^-6 4.10^-6

16.10^-

A

B C

2.10^-6

2.10^-6 2.10^-6 4.10^-12 2.10^-6

Eğer yılda 1000 araç tali yolu kullanırsa 1 kaza meydana gelebilir (1000’de 1)

1 in 10 frequent 1 in 100 probable 1 in 1000 occasional 1 in 10000 remote 1 in 100000 improbable

1 in 1000000 extremely remote

Anayol kavşağında kaza

Anayol kavşağında araba

Tali yoldan gelen aracın durmaması

Tali yoldan gelen araç durmadı

Tali yoldan gelen araç duramadı

Çok hızlı sürüyordu

Sürücü çok hastaydı

Görüntü

net değil Yol çok

kaygan

Fren

hatası Yıpranmış lastik

p=0,1 p=0,01 p=0,01 p=0,01 p=0,001 p=0,0001

p=0,12 p=0,011

p=0,131 p=0,01

p=0,00131

6. BAKIM KOLAYLIĞI

Bir makine veya ekipmanın çalışır durumda olmadığı süreye aksaklık/çalışmama veya arıza süresi adı verilir. Bu sürenin uzunluğuna etki eden çok sayıda faktör bulunmaktadır. Bunlardan bazıları sistemin fiziksel özellikleri, yedek parça stoku, tamir ekibinin varlığı, insan faktörü ve çevre faktörüdür. Arıza süresi bu faktörlere bağlı olarak iki kısma ayrılabilir.

Bekleme Süresi: Bu süre ekipmanın çalışır durumda olmadığı ancak henüz tamir işlemine başlanmadığı süredir. (yedek parçanın ulaşmasının beklenmesi, tamir sırası bekleme vs.)

Aktif Tamir Süresi: Bu süre ekipmanın çalışır durumda olmadığı ve fiili olarak tamirde geçirdiği süredir. Bir başka ifade ile tamir personelinin tamir veya parça değişikliğini gerçekleştirmek üzere geçirdiği süredir. Bu süre insan faktörünün yanı sıra ekipmanın tasarımından da büyük ölçüde etkilenir.

Bir makine/ekipman arızalandığı zaman onu mümkün olduğunca çabuk bir şekilde çalışır hale getirmek gerekmektedir. Bakım kolaylığı kavramı, belirli bir zaman periyodunda bozulan bir ekipmanın tekrar çalışır hale getirilme olasılığını ifade etmektedir. Örneğin belirli bir ekipman bir saat içinde %90 bakım kolaylığına sahipse, bunun anlamı bu ekipmanın bir saat içinde %90 olasılıkla tamir edilebileceğidir. Tamir için ortalama süre (TİOS) bakım kolaylığının bir ölçütü olup, yedek parça ve bakım personelinin mevcut olduğu varsayımıyla tamir işini gerçekleştirmek için gerekli ortalama süre olarak tanımlanır.

Çeşitli faktörlerin aksaklık/arıza süresi üzerindeki etkisi nedeniyle belirli bir ekipmanı tamir etmek için gerekli süre genellikle sabit değildir. Yani arızaya kadar olan süre gibi tamir süresi de rassal bir değişkendir. “Tamir edilmesi ortalama beş saat alır” ifadesi bir olasılık dağılımını ifade eder. Tamir süresini tanımlayan dağılımlar tamir dağılımları (repair/downtime distribution) olarak tanımlanır. Bu dağılımları belirlemek için kullanılan metotlar arıza dağılımlarını (failure distribution) belirlemek için kullanılan metotlardan matematiksel olarak farklı değildir. Tek fark bu metotların nasıl kullanıldığı ile ilişkilidir. Örneğin bozulma olasılığı belirli bir zamanda arızanın oluşma olasılığını