Diskrit Oluşum Denklemlerinin İntegrallenebilirliği Ömer Ünsal YÜKSEK LİSANS TEZİ Matematik ve Bilgisayar Bilimleri Anabilim Dalı Haziran 2012

(1)

Diskrit Oluşum Denklemlerinin İntegrallenebilirliği

Ömer Ünsal

YÜKSEK LİSANS TEZİ

Matematik ve Bilgisayar Bilimleri Anabilim Dalı

Haziran 2012

(2)

Integrability of Discrete Evolution Equations

Ömer Ünsal

MASTER OF SCIENCE THESIS

Department of Mathematics and Computer Sciences

June, 2012

(3)

Diskrit Oluşum Denklemlerinin İntegrallenebilirliği

Ömer Ünsal

Eskişehir Osmangazi Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Lisansüstü Yönetmeliği Uyarınca

Matematik ve Bilgisayar Bilimleri Anabilim Dalı Uygulamalı Matematik Bilim Dalında

YÜKSEK LİSANS TEZİ Olarak Hazırlanmıştır

Danışman: Prof. Dr. Mehmet Naci ÖZER

Haziran 2012

(4)

ONAY

Matematik ve Bilgisayar Bilimleri Anabilim Dalı Yüksek Lisans öğrencisi Ömer Ünsal’ın YÜKSEK LİSANS tezi olarak hazırladığı “Diskrit Oluşum Denklemlerinin İntegrallenebilirliği” başlıklı bu çalışma, jürimizce lisansüstü yönetmeliğin ilgili maddeleri uyarınca değerlendirilerek kabul edilmiştir.

Danışman : Prof. Dr. Mehmet Naci ÖZER

İkinci Danışman : -

Yüksek Lisans Tez Savunma Jürisi:

Üye : Prof. Dr. Mehmet Naci ÖZER

Üye : Doç. Dr. Filiz TAŞCAN

Üye : Doç. Dr. Ahmet BEKİR

Üye : Yrd. Doç. Dr. Ahmet BOZ

Üye : Yrd. Doç. Dr. Halis BİLGİL

Fen Bilimleri Enstitüsü Yönetim Kurulu’nun ... tarih ve ...

sayılı kararıyla onaylanmıştır.

Prof. Dr. Nimetullah BURNAK

Enstitü Müdürü

(5)

v

ÖZET

Kesikli değerler kümesinde değişen değişkenlere sahip problemler fark denklemleriyle modellenir. Ayrıca pür fark ve fark oluşum denklemlerinin birçok bilim dalında uygulamaları mevcuttur. Bu yüksek lisans tezi kapsamında da fark oluşum denklemlerinin integrallenebilirliği üzerine çalışılmıştır.

Taylor seri açılımı kullanılarak uygulanan sonlu farklar metodu yardımıyla ayrıklaştırma işleminin nasıl yapıldığı adi ve kısmi türevli denklemler için ayrı ayrı gösterilmiş, değişkenlerin birinin veya tamamının ayrıklaştırılma işlemi verilmiştir.

Ayrıca literatürde sıklıkla kullanılan fark denklemlerinin bir listesi verilmiştir.

Fark oluşum denklemlerinin çeşitli yöntemlerle integrallenebilirliği incelenmiş, bu denklemlerin sürekli hallerinde incelenen Lax çifti, hareket integrali, Miura dönüşümleri, Spektral problem gibi kavramların fark halindeki karşılıkları verilmiştir.

Bunlara ek olarak en çok bilinen Schrödinger denklemi, 3. Mertebeden Schrödinger fark, Kuple Schrödinger fark ve Modifiye Schrödinger fark denklemlerinden çok ölçekli açılım metodu ile Korteweg-de-Vries tipi fark denklemleri elde edilmiştir.

Fark oluşum denklemlerinin tam çözümlerini bulmak için geliştirilmiş üstel fonksiyon metodu kullanılarak integrallenebilir Schrödinger fark denklemi ile Klein- Gordon fark denkleminin tam çözümleri elde edilmiştir.

Ayrıca bu çalışmaların devamı olarak çeşitli fark oluşum denklemlerinden diğer oluşum denklemlerinin çok ölçekli açılım metodu ile elde edilebilirliği incelenebilir.

Anahtar Kelimeler: Ayrıklaştırma, integrallenebilirlik, çok ölçekli açılım metodu, tam çözüm.

(6)

vi

SUMMARY

The problems which have variables changes in the set of discrete values are represented by disrcete equations. Moreover, pure discrete and discrete evolution equations have applications in many science areas. This master thesis is a scientific work on the integrability of discrete evolution equations.

Discretization is shown for both ordinary and partial differential equations by using finite difference method used with the Taylor’s expansion. What’s more, discretization of one and all of variables are given. However, a list of commonly used discrete evolutiıon equations is given.

The integrability of discrete evolutiıon equations is studied with different methods. The concepts of discrete evolution equations, such as Lax pairs, integral of motion, Miura transformation and spectral problem, corresponding to the continuum form are given.

Furthermore, derivation of discrete Korteweg-De-Vries equation from discrete forms of most famous Schrödinger equation, Schrödinger equation of third order, Coupled Schrödinger equation and Modified Schrödinger equation by using multiple scales method is shown.

Exact solutions of integrable discrete Schrödinger equation and discrete Klein- Gordon equation are found by using the exponential function method which is used to find the exact solution of discrete evolution equations.

As the continuation of this work, the derivation of other discrete evolution equations from another one with the aid of mulltiple scales method can be studied.

Keywords: Discretization, integrability, multiple scales method, exact solution.

(7)

vii

TEŞEKKÜR

Bu çalışmam süresince bilgileriyle beni aydınlatan, değerli görüşlerinden faydalandığım, ilgisini ve desteğini esirgemeyen Hocalarım, Sayın,

Prof. Dr. Mehmet Naci ÖZER ve Doç. Dr. Filiz TAŞCAN’a,

sonsuz saygı ve teşekkürlerimi sunarım.

Tüm hayatım boyunca maddi ve manevi desteğini benden hiçbir zaman esirgemeyen, her kararımda yanımda olan annem

Neriman ÜNSAL’a

en içten teşekkürlerimi sunarım.

Ayrıca yüksek lisans çalışmalarım boyunca beni maddi olarak destekleyen TÜBİTAK’a teşekkürlerimi sunarım.

ESKİŞEHİR, 2012 Ömer ÜNSAL

(8)

viii

İÇİNDEKİLER

Sayfa

ÖZET ... v

SUMMARY ... vi

TEŞEKKÜR ... vii

ŞEKİLLER DİZİNİ ... x

ÇİZELGELER DİZİNİ ... xi

KISALTMALAR DİZİNİ ... xii

1. TEMEL KAVRAMLAR ... 1

1.1 Giriş ... 1

1.2 Sonlu Fark Formülasyonları ... 1

1.2.1 Taylor seri açılımı ve birinci türev için yaklaşımlar...2

1.2.2 İkinci türev için formülasyon... 4

1.2.3 Kısmi türevli denklemlerin fark denklemlerine dönüştürülmesi ... 5

1.2.4 Değişkenlerin tümünün diskrit edilmesi hali ... 6

1.3 Tezin Organizasyonu ... 13

2. İNTEGRALENEBİLİRLİK ve FARK OLUŞUM DENKLEMLERİ ... 14

2.1 Giriş ... 14

2.2 Lax Çifti ile İntegrallenebilirlik Testi ... 15

2.3 Diskrit Denklemler İçin Özdeğer (Spektral) Problemi ... 21

2.4 Diskrit Denklemlerin Hareket İntegralleri ... 22

2.5 Miura Tipi Dönüşümler ... 23

2.6 Tekillik Sınırlandırması (Singularity Confinement) Metodu ... 26

2.5 Cebirsel Entropi Metodu ... 32

3. ÇOK ÖLÇEKLİ AÇILIM METODUNUN LİINEER OLMAYAN FARK OLUŞUM DENKLEMLERİNE UYGULANMASI... 42

3.1 Giriş ... 42

3.2 Lineer Olmayan Fark Oluşum Denklemleri için Çok Ölçekli Açılım Metodu .... 42

3.3 Schrödinger Fark Denkleminden KdV Fark Denkleminin Elde Edilmesi ... 42

(9)

ix

İÇİNDEKİLER (devam)

Sayfa

3.4 ALNLS den KdV Fark Denkleminin Elde Edilmesi ... 44

3.5 Modifiye Schrödinger Fark Denkleminden KdV Fark Denkleminin Çıkarılması ... 51

3.6 Kuple Schrödinger Fark Denkleminden KdV Fark Denkleminin Elde Edilmesi ... 55

3.4 Üçüncü Mertebeden Schrödinger Fark Denkleminden KdV Fark Denkleminin Elde Edilmesi ... 63

4. FARK OLUŞUM DENKLEMLERİNİN TAM ÇÖZÜMLERİ ... 69

4.1 Giriş ... 69

4.2 Üstel Fonksiyon Metodu ve Uygulamaları ... 69

5. SONUÇ, TARTIŞMA ve ÖNERİLER ... 77

KAYNAKLAR DİZİNİ ... 78

(10)

x

ŞEKİLLER DİZİNİ

Şekil Sayfa

1.1 İleri fark formülasyonu ... 3

1.2 Geri fark formülasyonu ... 3

1.3 Merkezi fark formülasyonu ... 4

1.4 Ayrıklaştırma ağı ... 6

1.5 değişkenine göre ikinci mertebeden türev ... 10

1.6 y değişkenine göre ikinci mertebeden türev………...………..10

1.7 y ve x değişkenlerine göre ikinci mertebeden karışık türev…………...……..10

1.8 x ve y değişkenlerine göre ikinci mertebeden karışık türev ... 10

1.9 x değişkenine göre üçüncü mertebeden türev ... 11

1.10 x değişkenine göre üçüncü mertebeden türev ... 11

1.11 y değişkenine göre dördüncü mertebeden türev ... 11

1.12 y ve x değişkenlerine göre üçüncü mertebeden karışık türev ... 11

1.13 y ve x değişkenlerine göre dördüncü mertebeden karışık türev... 11

(11)

xi

ÇİZELGELER DİZİNİ

Çizelge Sayfa

3.1 Bazı fark oluşum denklemleri ... 12

(12)

xii

KISALTMALAR DİZİNİ

Kısaltmalar Açıklama

ALNLS Ablowitz-Ladik lineer olmayan Schrödinger DNLS Diskrit lineer olmayan Schrödinger

KdV Korteweg de Vries

mKdV Modifiye Korteweg de Vries NLS Lineer olmayan Schrödinger

(13)



 

 

 

       

        

        

          

         

          

         

         

        

         

        

       

         

          

            

       

   

        

          

         

         

      

(14)



        

           

      

  ^



^

^  ^



^

^   

   



^



^

^

     



      





^

^

^



^

^  



   



^

^

^



^

^  

    



      

    

           

     



 _   

    

         

         

    

 

      

 ^



^

^

^



^

^   

   



 _    

    

       

    

      

  ^



^

^   

(15)



   ^_ 



 _    

   ^ 

           

     

        

          

  



    



    

(16)





    

    

        

      

 ^



^

^  ^



^

^   

      

  ^



^

^

^



^

^   

         

         ^ ^

^ ^^

^   

      

^

^          

^    

     

^

^ _    

^    

            

 

^

^          

^    

      

^

^ _      

^    

(17)



       

      

          ^^

^  ^



^

^   

     

^

^          

^   ^ 

      

^

^ _     

^   ^ 

       

      

           

     

   



 ^    

 

       

      

   

   

         

       

         

         

        

  

              



       

    

  ^   

(18)





                  

 

       

 ^   

       

 ^   

        

     

  

       

       

^ 

 

 

  ^ 

    



     

^  

 

 

     

   



   

(19)



              

      

     

 

          

          

           

   

 ^



^

^  ^



^

^  ^



^

^   

    

 ^



^

^

^



^

^  ^



^

^   

          

          

          

         

    



   

    



    

    



   

   ^  

            

          

    



   

    

(20)





    

    



    

   ^ 

            



^

^     

^   ^ 

         



^

^     

^   ^ 

            

  

^

  





  





 _{}



 _{ } 

^

  ^

         

     ^ 

          

     

  

^

^  



^

^  



^

^ _{}

^

^ _{ }   ^ 

^

^       

^   ^ 

^

^       

^   ^ 

^

^  



^

^  



^

^ _{}

^

^ _{ }    ^ 

(21)



^

^            

 ^ 

  ^

^

^  



^

^  



^

^ _{}

^

^ _ _    ^ 

^

^            

 ^ 

  ^ 

  

^

^  ^

^

^

^  

^

^

^ _{}  ^

^ _ ^

^ _{ }   ^



^

^        

^   ^ 

^

^        

^   ^  

^

^^  

^

^

^ _{}  ^

^ _ ^

^ _ _    ^ 

^

^^

       

^ ^ 

      

^ ^

        

         

(22)



         

         

         

         ^

 ^^  



       



       



          



          

(23)





       



       



       



          



          

(24)



         

     

  ^_^^^  ^^ ^^ ^^ ^^ ^

  ^_^^^ _^     _^  ^_  

  ^_^^^ _^     _^  

  ^_^      ^_   

  ^_^    

  

_

       

_

      

  ^_^ ^_^    

  ^_^^^

_

        

 ^_^        



 ^_^           



   ^_^       ^_

   ^_^       ^

(25)



  

        

       

       

         

       

      

       

        

        

(26)



 

    

 

         

        

         

          

        

         

         

        

   

       

         

        

         

        

 

           

       

 

        



     

       

           



          

(27)



        

           

        

     

    ^  

 

 

         

       

   



   

            

 



  

 

   

          

         

 



    

       

         





   

        



  

   

 