ÇEKMECE NÜKLEER ARAŞTIRMA VE EĞİTİM MERKEZİ

BAŞBAKANLIK

ATOM ENERJİSİ KOMİSYONU

ÇEKMECE NÜKLEER A R A Ş T I R M A VE E Ğ İ T İ M M E R K E Z İ

RAPOR NO: 166

ÇEKİRDEĞİN AMPİRİK »DEĞİŞKEN ATALEl MOMENTİ» MODELİNİN DÖNEN SIVI DAMLASI» MODELİNDEN ELDE EDİLMESİ

Çetin Cansoy

1977

We regret that some of the pages in the

microfiche copy of this report may not be up to the proper legibility standards, even though the best

possible copy was used for preparing

the master fiche

«DÖİHI SIVI DftMLASI" MODBLİH» BLDİ SDİLHSt

Ç«tln Canaoy

1977

ABSTRACT

Inference of the empirical variable-mcment-of-inertia model from the rotating-liquid-drop model of the nucleus

Çetin CAKSOT

It has been shown that the equilibrium shape of the surface of a rotating liquid drop which represents the nucleus is an oblate spheroid with an eccentricity proportional to the angular velocity £1» for the ease of small angular velocity approximation. Using the pronounced surface of equilibrium shape the moment of inertia of the liquid drop has been found to be I tf I +JSX / 2 C. U&. rsg t h i s expression of the moment of 2

o

inertia the total excitation energy of ihe nucleus hes been calculated by using the integral E »V J>X d( l£l ) . The result i s in the form of E - J(J+l)/2I+C(l-I ) / 2 whicii ia the same as tho excitation energy in the empirical variable-moment-of-insrti& (VMl) model which i s proposed by Mariscotti, Scharff-Goldhaber, and Buck and which permits an exsHent f i t of levelerergies of ground-state bands in even-even nuclei.

c,e.ti.ie,i {

More over, it has been shown that the equilibrium condition J E / ^ I « 0 in the VMI model is automatically natisfied in the rotating-liquid-Urop model. On the other hand, it has b*en found that the quantity CI A is

2, ° '

a linear function of Z (k for the small angular velocity approximation.

(1) N.A.J. Mariscotti, C.Scharff-Ooldhaber, B.Buck, Phys. Hev. I78, 1864 (l°69)

Çakirdati taaail •dm slaktrikla yükltt bir dteaa s m dsnlstınnı dan­

ga yOsayinis, kftçBk açısal his yaklaşıklığı için, aksaatrisltasi açıaml his il* orantılı olan basık bir sfaroid oldafa fpatsrlldi. IBofik açısal bıs yaklaşıklığı ila alda adilan daaf» yfisaylnin kallanılaaaı ila danan

rtanlMinm atalat sonantinin I » I *Xn> /2C şakUnda oldags balanda. Ata- lat •oaantinla ba ifadasl kollanılarak o»kirda£in toplan vjaıalaa anarjisi I 'Jfl d(LO) intagrali ila baaaplanftı. Uda adilan aonao • - J(J • l ) / 2 I

• C(I - I )

/2 faklindadlr *a aarlsoatti, Scharff-<Joldbabar, «a Back*

' ta­

rafından taklif adilan T» çift-çift oakirdaklardaki tanal kal bantlannıa aavly* anar jilarlaa çek iyi bir şakilda qgrfolanabilan aapirik da|lfkan ata­

lat nonanti (SAH) aodalindakl ayarılsa anarjisl i l a aynıdır, iyrıoa. QAH nodalindaki 9 1 / 9 1 - 0 dang» şartının dflnan sıvı daalası •odalinda kandl-

lifindan saglandı|a fSstarlldi. Diftar yandan, kflçfik açısal his yaklaşık! ı - gında, CI A bfiyOklfltOnan Z / i nın llnaar bir fonksiyonu oldafu balanda.

1.

aîRlş

Marlscotti, Scherff-Ooldbaber, ve Buok^ ' l$6$ yılında yayımlanan bir makalelerinde çift-çift çekirdeklerdeki temel hal bantlarının seriye ener*

jilerine çok iyi bir şekilde uygulanabilen ampirik değişken atalet momenti (DAM) modelini tarif ediyorlar. Bu modelde açısal • nmsulumM J olan bir se­

viyenin uyarılma enerjisi

seklinde ifade edilir ve » birimi cinsinden verilen I atalet moment inin 2 değişken olduğu fara edilerek J cinsinden değeri

| f . 0 (2)

denge şartından tayin edilir. Çift-çift çekirdekler için Dnk. (l) de J - 0, 2, 4» 6, ... değerlerini alır ve parite çifttir. Belirli bir J için Dnk.

(2) bir ve yalnıs bir atalet momenti ve Dnk. (l) de bir enerji seviyesi verir. I , temel halin atalet momenti olarak tarif edilen bir parametredir.

C ve I parametreleri her çekirdek için belirli değerlere sahiptir ve aneak çekirdekten çekirdeğe değişir.

Ampirik DAN modelinde yalnıs iç açısal monentumları toplamı sıfır olan çift-çift çekirdekler incelenmektedir. Böylece Dnk. (l) deki J, sadece çe­

kirdeğin bir bütün halinde kendi etrafında dönmesinden meydana gelen açısal momentum gösterir ve birinci terim I atalet momentine sahip bir katı cis­

min dönme kinetik enerjisidir. İkinci terin ise potansiyel enerjidir.

Ref. (1) de 88 farklı çekirdek için deneysel olarak bilinen bütün e- ner ji seviyelerine en küçük kareler metodunun uygulanması ile I ve C pa­

rametreleri tayin edilmiştir. Bu parametrelerin kullanılması ile bahis ko­

nusu 88 çekirdeğin enerji seviyeleri ve atalet momentleri J • 2 den J - 16

2.

ya kadar olan 8 farklı açısal momentum için hesaplanma ve bilinen danayssl enerji seviyeleri ile karşılaştırılmıştır. hfcerji Beyiyelerinin hesaplanan model değerleri ile deneysel değerleri arasında genellikle deney hataları

•ertebesinde bir uygunluk vardır.

Raf. (l) de Mariscotti ve arkadaşları tarafından ortaya konan aapirik DAN modelinin deneylere tıygunluğundaki büyük basarı bu Modelin teorik yol­

dan açıklanmasını gerektirmektedir. Bu çalışanda ampirik DAN modelinin te­

orik dönen sıvı daalası modelinden elde edilebileceği gösterildi. Beminger ve Knox 1961 yılında yayımlanan bir makalelerinde yüksek enerjili ağır (2) iyonların meydana getirdiği çekirdek reaksiyonlarında ortaya çıkan J » 50 ile J • 200 arasındaki çok yüksek açısal momentumlar için 250 Be? a kadar varan yüksek enerji seviyelerinin hesabında çekirdeğin donen sıva damlası modelini kollanıyorlar. Bu çalışmada ise J - 2 İle J - 16 arasındaki küçük açısal momehtumlar için çift-çift çekirdeklerin en fasla 9 Ne? a kadar va­

ran uyarılma enerjilerinin hesabını sağlayan ampirik DAM modelinin teorik açıklamasını yapabilmek amacı ile dönen sıvı damlası modeli uygulandı, ön­

ce yüksüz dönen bir sıvı damlasının atalet momentinin, açısal hısın kare- 2 2 sinin(IX. nin) bir fonksiyonu olduğu ve SL nin güçleri cinsinden seriye açılabileceği gösterildi. Sonra da elektrikle yüklü bir dönen sıvı damlası

2 halindeki denge yüzeyinin ve dolayısı İle atalet momentinin ancak X L nin birden yüksek güçleri ihmal edildiği saman kolaylıkla hesaplanabileceği gösterildi. Böylece elektrikle yüklü bir dönen sıvı damlasının küçük açısal hışlar için denge yüceyi hesaplandı ve bu yüzeyin eksantrisitesi çok küçük vs açısal hışla orantılı olan bir basık sferoid (dönel slipsoid) olduğu gösterildi. Diğer yandan dönen sıvı damlası modelinde,-Tl. yaklaşıklığı ha­

linde Dnk. (l) ve (2) ile verilen aspirik DAM modeli bağıntılarının ken­

diliğinden gerçsklendiği gösterildi.

2

Son olarak, dönen sıvı damlası modelinde SL. yaklaşıklığı kullanıldığı o

saman C IQA büyüklüğünün Z /k nin lineer bir fonksiyonu olduğu gösterildi ve bu yaklaşıklığa uyan deneysel değerlere en küçük kareler metodu uygula­

narak lineer bağıntının katsayıları tayin edildi. Ayrıca, katsayıların bu deneysel değerleri dönen s ı n damlası modelinin verdiği teorik değerlerle karşılaştırıldı.

ELanRİKLE TÜKLÜ BİB DÖIHI SIVI BaNUSnTC* DHKJE TÖZETİ

Sıvı damlasınır lenge yüzeyinin herhangi bir noktasındaki asal eğrilik yarı çapları R. ve R olsun ve bu yarı çaplar sıvı dadasının içine doğru olan yönde pozitif kabul edilsin. Buna göre sıvı damlasının denge yüzeyi aşağıdaki Laplace formültT ' ile bellidirt

P ^{-P' -* 4-} "M ^{+ -T (3)}

Burada p sıvının içinde yüzeye çok yakın bir yerdeki basınçtır, p' sabit dıs basınçtır, ve 4 yüzey gerilisi katsayısıdır. Çekirdek için p' dıs ba­

sıncı sıfırdır. Elektrikle yüklü bir donen sıvı damlası için p basıncı Enler»in aşağıdaki hidrodinamik denkleminden elde edilebiliri

'[if * 2 ^ * <*«*> X ^] - - f P > /, ^ ⁽⁴⁾

Burada 0 sıvı damlası içerisindeki hız alanıdır, p skaler basınç alanıdır, f ve f mtttekabilen sıvının kütle ve elektrik yoğunluklarıdır, f elektro­

statik Coulomb potansiyelidir ve sıvı damlası içerisindeki uniform m yük dağılımının sonucudur. Eğer sıvı damlası sabit bir £L açısal hızı ile s ekseni etrafında dönmekte ise damlanın yüzeyi bir denge biçimini alır ve bu durumda damlanın içindeki hız alanı donen bir katı cisim içindeki hız alanı ile aynı olur, yani,

seklinde yazılabilir. His alanının bu ifadesi Dnk. (4) te yerine yazıldığı zaman Dnk. (4) ün

seklini aldığı Oc I de gösterildi. Bu denkle* integre edilirse

4.

p-9

+ \/(SLXÎ)

-X* (5)

aonuenna varılır, burada p bir intagraayon aabiiidir.

o

Igar (r'y <f, s) ailindirik koordinatları knllanılıraa ı akaani atra- fında dönal olan daala yusayinin danklaai s • s(r') faklında olur. Boyla bir yöaay için f(r») - da/dr* vaa adılaak auratiyla

olduğu Be ZZ da gSatarildi. Bu aonuç va Bak. (5) ila varılan p baaınoı Dnk. (3) te yarlarına yasılıraa danfa yfisayinin difaranaiyal danklaai aşa»

gıdaki faklıda bulunurt

, V j f r f t * v / I - - ^ - 4 p r - ' ^ « [ r - , . ( r ' ) J («) (1 • t ) * r ' V l • t '

Borada

£a2k r. 5 y n ? « p (7)

vas adildi. Dnk. (6) nın

vrr?

dönüşünü yardıaı ila

faklında yasılabildigi vu Dnk. (9) un inta&ra adilaaai ila da

g - - k r » - ^ r '3* j j , y « [ r 'f a(r')] r'dr»

(9)

(10)

•onucuna varıldığı Be ZZZ ta fOatarildi. Igar aıvı daalaaı yükafla olaaydı

6.

Dnk. (lO) problemin tam çözümünü verecekti ve Dnk. (8) in kullanıl—ex ile denge yüzeyinin denklemi

••) dr1

* - / f ( r '

şeklinde olacaktı. Fakat P / 0 için Dnk. (lO) un üçüncü terimi, bulunması gereken a(r') fonksiyonunu ihtiva ettiğinden z(r') fonksiyonunun tam ana­

litik ifadesi bulunamas. Diğer yandan, ileride de görüleceği gibi, ampirik DAN modelinin açıklanabilmesi için eksantrisitesi çok küçük olan basık sfe- roid (dönel elipsoid) seklindeki bir denge yüceyi yaklaşıklığı yeterlidir.

Şimdi basık bir sferoid yüseyi için Dnk. (10) un üçüncü terimini r»

nün bir fonksiyonu olarak hesaplıyalım. (r, O, <f>) küresel koordinatları kullanılırsa damla yüzeyinin denklemi r » r(9, Cf>) şeklinde olur ve bu da küresel harmonikler cinsinden (m • t, t - 1, ..., 0, ..., -f ve %•> 0, 1, 2, 3, ...,so olmak üzere)

r(«, <f) - H I" 1 • £j o(

T

(«, T») 1 (İD

seklinde açılabilir. Buradakisf. katsayıları, R yarı çaplı bir küre yüze­

yini r - r(«,û?) yüzeyine dönüştüren deformasyonları ifade eder. of. de- formasyonları küçük olmak şartı ile yüzey üzerindeki elektrostatik potan- .1,.1(4>

şeklindedir, burada Ze damlanın toplam elektrik yüküdür. Dönel bir yüzey için Dnk. (il) ve (12) de m • 0 alınarak

•(•'" ^B L ¹ * Ç ( * * ) ² "e. V— ⁸⁾ 1 ^(ıu)

ve

2

yazılabilir. Qcsantrisitesi çok küçük (£ « l) olan bir basık sferoidin küresel koordinatlardaki yaklaşık denkleainin

- R [ l - 3 f2P2( c o e « ) ] (13)

şeklinde olduğu Be IV te gösterildi. Dnk. (ila) ancak (-2 (kuvadrupol daforaasyon) yaklaşıklığı için. Dnk. (13) ile özdeş olabilir, g - 2 için Dnk. (ila) ve (12a)

" ^R L ¹⁺ [vif\o ^T 2^^\ < ^Ub >

r(«)

i l / 2

W *-f [l - f (i)' \ o V-*[| ^(lZb)

şekillerinde yazılabilirler. Dnk. ( l i b ) , Dnk. (13) i l e karşılaştırılırsa

C '•*"«..-* t m

«(«) * -§* [ 1 • "fj f2 P2(cos «)J (us) sonucuna varılır. Diğer yandan, r' m r sin 4 bağıntısı kullanılarak

2 P2(cos «) * 1 - | sin2© . 1 - -| - ^ -

ve yüzey üzerinde

m2, 2 * 2M2 olduğundan, gene yüzey üzerinde

'S <-«''(*-$-£)

yazılabilir ve böylece Dnk. (l2o)

8.

t>'.*'fl • * • > * • ? (

^l * V - ^ - ^ )

şeklini a l ı r . Diğer yandan

B

vaz edildiği tekdirde

-jr Ze - 10 11 (16a)

olduğu Ek 7 t e gösterildi; burada a ve a , mütekabilen, yarı ampirik kütle O 8

formülündeki Coulomb ve yüzey terimlerinin katsayılarıdır. Z çekirdekteki proton sayısı, e protonun yükü ve A nükleon sayısıdır. Dnk. (l6a) ve (l5)'in kullanılması ile

£ / • [^ *•>]'*• ^s >1 (>•-fe«') £ - İ l * * "£ <">

sonucuna varılır.

Dnk. (17) yardımı ile Dnk. (lO)

g - - Kr« - Y r '3 (18)

seklini alır, burada

t - 0 *

^ (19)

2 T ve

K

•--X^-fj' ² ) <"*»

vaz edilmiştir. Dnk. (18) in Dnk. (8) de yerine yazılması ile

dz Kr' + 7 r '

dr'

\J\- (Kr» + f r « y

elde e d i l i r . Dönel yüzeyin büyük yarı eksen uzunluğu a, r' » a için (20)

dz/dr* -*• - «o limiti i l e tarif edilebildiğinden

K a + f a3« l (21)

bağıntısı yazılabilir. Dnk. (21) den elde edilen K değeri Dnk. (20) de ye­

rine yazılırsa

r'[l-)T,(.

--

)]

"'•" " V."-''*[! -»**-'•*)] '

bulunur.Y ile birlikte sıfır limitine giden boyutsuz bir büyüklük olarak

x *îfa(a2 - r'2) (23)

büyüklüğü tarif edilsin. Böylece Dnk. (22)

r u ) - -

;

2 <

>

V a - r'

(l - x ?

şeklinde yazılabilir. f(x) fonksiyonu

f(x) = f(0) + x f ( 0 ) + ± x' f"(0) + ...

şeklinde Maclaurin serisine a ç ı l a b i l i r ve Ek VI da gösterildiği gibi bu serinin ilk üç terimi

£ & ? , _ , a

3 2 a V

f(0) " * * 2 ,2 + 2X , 2 ,2,2 *•• ( 2 5 )

a - r* (a - r' )

şeklindedir. Dnk. (23), Dnk. (25) de yerine yazılırsa

y a -r

bulunur. Dnk. (26) terim terim integre edilirse dönel denge yüzeyinin denk­

lemi olarak

. ( i . - ) * V a T ^ ^ [ l - r a 3 + i y2a4( 2 a2 + r . 2) . . . . ] (27)

10.

sonucuna varılır (Bak. Be ¥Il). Dönel yüzeyin küçük yarı eksen uzunluğu b Dnk. (27) den aşağıdaki gibi elde ediliri

b - z(o) t a (1 - ya 3 + t2a6 - ...) . (28) Eğer Dnk. (27) ve (28) deki serilerde yalnız Y terimi muhafaza edilir ve

bu denklemler arasında Y yok edilirse

«(r') - ; \ / *Z- r 'Z (29)

sonucuna varılır ki bu da z ekseni etrafında dönel olan ve büyük ve küçük yarı eksen uzunlukları a ve b olan bir sferoidin silindirik koordinat lardaki denklemidir. Sıvı damlası elektrikle yüklü olduğu zaman denge yüzeyini veren Dnk. (27) de Y dan daha yüksek mertebedeki terimlerin anlamı yoktur. Çünkü Dnk. (lO) daki Coulomb terimi sferoidal yaklaşıklık için, yani, £ veya t

2

yaklaşıklığı için hesaplandı. Eğer bahis konusu Coulomb terimi t yaklaşık­

lığı için hesaplanırsa, veya yüksüz sıvı damlası göz önüne alınırsa, ancak o zaman Dnk. (27) de y terimi de hesaba katılabilir. Fakat § yaklaşıklı­

ğında denge yüzeyi artık sferoid değildir.

Küresel bir sıvı damlasının deformasyon esnasında hacmi korunduğundan, dönel yüzeyin kapladığı hacım için silindirik koordinatlarda

• 2X1 dz / a dr»

^ R 3 - 2 * J dz_ r»' dr" (30)

yazılabilir. Dnk. (26), Dnk. (30) da yerine yazılır ve integre edilirse

«

2r.

(l-f.

|lV- ...) (31)

sonucuna varılır (Bak. Ek VII). Dnk. (31) deki serinin ters fonksiyonunun serisinin bulunması ile

a

y H

( l

f R

fY

R

+ - . ) (32)

a ? R ( l

i ? R

^ - r

R

. . . ) (33)

ifadelerinin elde edildiği De VIII de gösterildi. Ayrıca. Dnk. (32)» Dnk.

(2d) de yerine yazılırsa

b^ad-TR

-^

) (34)

5

Ocsantrisitesi £ olan bir sferoid i ç i n

î-sF ^?Sı-\ı*

yazılabilir ve bu bağıntı Dnk. (34) ten elde edilen

^ Î l - J - R

bağıntısı ile karşılaştırılırca

e² - 2 * H³ (35)

elde edilir. Dnk. (19) ile (35) -ten E ile f çözülebilir ve

1 -1 (36)

1

bulunur. Dnk. (7) yi kullanarak Dnk. (36) dan

«• W^jy ^(38>

sonucuna varılır. Dnk. (38) e göre. sfsroidin eksantrisitesi açısal hız ile orantılıdır. Diğer yandan, eksantrisitenin reel ve sonlu olabilmesi için »| < 1 olmalıdır, 71 nın Dnk, (l6) ile verilen tarifi incelenecek olur­

sa Tl < 1 şartının, bilindiği gibi. çekirdeğin kendiliğinden fisyon rapnana ' (5)

şartı

olduğa görülür. Şüphesiz bu şart bilinen bütün çekirdekler ..çin

sağlanır.

ELEKTRİKLE YÜKLÜ BİR DOMES* SIVI DAMLASININ ATALET MOMENTİ

Dönen aıvı damlasının denge yüzeyi M r önceki kısımda yaklaşık olarak tayin edildi. Bir cismin atalet momenti yüzey şekli ile yakından ilgili olduğundan, denge yüzeyinin şekli bilindiğine göre dönen sıvı damlasının atalet momenti hesaplanabilir.

Dönel bir yüseyin içini dolduran homogen ve katı bir kütlenin eilin- dirik koordinatlarda s eksenine göre atalet momenti

•vj[ £"*<*•

integrali ile bellidir. Dnk. (26), Dnk. (39) da yerine yasılır ve integre edilirse

sonucuna varılır (Bak. Ek VIl). Dnk. (32) ve (33) ün kullanılması ile Dnk.

(40)

X S f l

( l * ! t t

* g ^ * . . . . ) (41) şeklinde yazılabilir (Bak. Ek VIII). Burada

katı kürenin atalet momentidir. % yaklaşıklıgındaki Dnk. (41) de Dnk. (33) yerine yazılırsa

I * I

( l * i «

) (43)

bulunur.

Yarı ampirik kütle formülünde yüzey enerjisi terimindeki A

' ün kat­

sayısı

a

- 4 * r

t* (i)

12,

şeklindedir (Bak. Ek V ) . Burada r , çekirdeğin yarı çapını veren

H - r Al / 3 (ii)

o

formülündeki katsayıdır ve değeri yaklaşık olarak 1,2 fa dir. Diğer yandan, nükleonun kütlesi, Dnk. (ii) yardımı ile

seklinde yazılabilir. Dnk. (i), (ii) ve (iii) yardıaı ile Dnk. (38)

şeklinde yazılabilir. Dnk. (44), Dnk. (43) te yerine yazılırsa

Mr

I kC£

sonucuna varılır. Eğer

2» (1-11)

C - - | (46) Ur I A

o o

bağıntısı ile bir C parametresi tarif edilirse Dnk. (45)

I -I

(47)

o 2C

şeklinde de yazılabilir. Buraya kadar yapılan hesaplar, eksantrisitesi ktt- çük olan, yani, g « 1 şartını sağlayan bir sferoid yaklaşıklığı içerisinde 2 yapıldı. 0 halde, Dnk. (44) e göre Dnk. (47) küçük açısal his yaklaşıklığı için doğrudur.

Dnk. (47), dönen bir sıvı damlasının atalet momentinin açısal hızın bir fonksiyonu olarak değişken olduğunu göstermektedir.

ELEKTRİKLE TÜKLÜ BİR DÖKEN SIVI DAMLASININ TOPLAM UYARILMA ENERJİSİ Dönen bir sıvı damlasının küçük açısal hız yaklaşıklığı için atalet moraenti bir Önceki kısımda Dnk. (47) ila ifade edildi. Eğer teori tam ola­

rak sonuna kadar götürülebilseydi, atalet momenti genel halde

I - IQ + P(0) (48)

şeklinde ifade edilebilecekti. Eğer I uyarılmış hallere ait atalet momenti ve I temel hale ait atalet momenti olarak tarif edilirse, F(Û) fonksiyonu

o

P(o) - 0 şartını sağlamalıdır.

Dönen sıvı damlasının denge yüzeyi ve dolayısı ile I atalet momenti, damlanın z ekseni etrafındaki A a ç ı s a l hızının sabit olduğa f a n edilerek bulundu. Şimdi dönen sıvı damlasınınA açısal hısı değişken olsun. 0 halde, damlanın z eksenine göre

L - IXL (49) bağıntısı ile belli olan açısal momentumu da değişken olur ve toplam uya­

rılma enerjisi de

E mJjCLüL mjt i l d ( l f t ) (50)

integral! ile verilir . Dnk. (50) den kısmî integrasyonla - / =

e - i d -1 i A d i a veya

E - m

- \Jı d(n?)

bulunur ve gene kısmî integrasyonla

\ i A

+ \jn

di (51)

elde edilir. Dnk. (51) de birinci terim dönen sıvı damlasının dönme kinetik enerjisidir1

14.

T

^ - \ u v ( i»)

rot 2

3 ruliüğü gibi, kinetik enerji, I atalet momentine sahip dönen bir katı cismin kinetik enerjisi ile aynıdır ve Dnk. (49) un yardımı ile

T

rot - "t <»*>

şeklinde de yazılabilir. Dnk. (51) de ikinci terim donen sıvı damlasının potansiyel enerjisini verirt

7 - i / a

di (51c)

Görüldüğü gibi, dönme ile ilgili bir potansiyel enerjinin varlığı, doğrudan doğruya atalet momentinin değişken olmasının sonucudur. Dnk. (48), Dnk.

(51c) de yerine yazılırsa

V--| fv'WtfiA. (52)

elde edilir. Burada integrasyon sınırları, durmakta olan damlanın potansi­

yel enerjisi sıfır olacak şekilde seçilmiştir. Dnk. (51b) ve (52) nin yar­

dımı ile Dnk. (51)

•£+\ ]*><&*£ m (53)

şeklinde veya Dnk. (48) in yardıırı ile

E - ~ - + V(I - Ie) (54)

şeklinde yazılabilir. Burada potansiyel enerji I - I farkının bir fonksi­

yonudur. Diğer yandan, Dnk. (52) den

veya

« " î

' ~i

21

16.

elie edilir. Dnk. (î>4) de L büyüklüğü sabit tutularak her iki tarafın I 2 değişkenine göre kısmî türevi alınırsa

t ^{S L}

^d7

bulunur ve bu bağıntı Dnk. (55) il* karşılaştırılıra*

|î-0 (56)

•onueana varılır. Böylece, ampirik DâX modelinde Dnk. (2) ile verilen den­

ge şariı dönen sıvı damlası modelinde kendiliğinden «ağlandı,

«ger Snk. (48) de ösel nal olarak

FW - §• (57)

seçilirse» bu denklen

l 5 f V § - O»

seklinde yazılabilir ve bu da Snk. (47) den ibarettir. Snk. (57) n i n i l jra gBre türevini alarak

bulunur. Bu ifade Dnk. (52) de verine yazılarak integrasyon yapılırsa

v î f f £ (59)

elde edilir. Dnk. (58) den açısal hızın değişken atalet momenti oinsinden ifadesi Snk. (59) da yerine yazılırsa

y f f i c ( ı - ı

)

(60)

bulunur ve Snk. (54)

• • 2 X - * î

<

-

o >

seklini a l ı r . Diğer yandan, Snk. (49)

—

- \Û? (49.)

21

ş e k l t ' i r i e v*> '.-rık. ( ş 8 ) de

C (i - i ) -

\ & (58a)

o z

şeklinde yazılabilir. Dnk. (49») nın Dnk. (58a) dan taraf tarafa çıkarıl­

ması ile -

- -*T + C (I - I ) - 0 (62)

2I2 °

veya Snk. (6l) e bakarak

|f-o (D

denge şartı özel balda tekrar aide edilir*

Buraya kadar yapılan teori t i — a n klâsik bir -teoridir. Kuvantu» «e- kaniğine geçiş için Dnk. (61) deki açısal •oasntusMU karaai olan L yarine

L2 - 42 J(J • 1) (63)

"2

bağıntısı ile tarif edilen L operatörünün ös değerleri alınabilir ve böy­

lece Dnk. (6l) den ,

21 2 o'

bağıntısı elde edilir. Bu bağıntı aapirik DAM Modelindeki uyarılaa enerji- sinin il

bağıntı

2

sinin ifadesidir. Sğer I atalet aoaenti -ft birisi cinsinden verilirse ba

».*"s^»İ.(ı-ıJ

(D

şeklinde de yazılabilir. Diğer yandan. Dnk. (62)

• ^ • C ( I . I O ) - O

21 veya

o 2C ^(2»)

şeklinde yazılabilir. Dnk. (l) ve (za) da çift-çift çekirdekler için J - 0, 2, 4» 6, ... olmalıdır. Çift-çift çekirdeklerde toplan iç açısal •önen—

18.

turn sıfırdır ve bu sebepten teael hal için J - O dır. J » O için Dnk. (2a) I - I ve Dnk. (l) E - O sonucunu verir. Böylece, J • 2, 4, 6, ... için Dnk. (l) çekirdeğin uyarılma enerjilerini verir. Dnk. (2a) I ye göre üçüncü dereceden bir denklemdir ve I ile C nin herhangi sonlu ve pozitif değer­

leri için yalnız bir reel koka vardır. 0 halde, her J değeri için Dnk. (l) bir ve yalnız bir uyarılma enerjisi verir.

DOJETSEL DEĞERLİKLE KARŞILAŞTIRILMASI

Bundan önceki kısımda Dnk. ( l ) ve (2a) i l e uyarılma e n e r j i s i n i n a ç ı ­ s a l momentumun b i r fonksiyonu olarak değişimi t e o r i k olarak e l d e e d i l d i . Teorinin e k s i k s i z olabilmesi i ç i n bahis konusu fonksiyona giren I ve C pa­

rametrelerinin de t e o r i k olarak b e l i r l e n e b i l m e s i g e r e k i r . I parametresinin, teorik olarak Dnk. (42) i l e , katı karenin I S 871/R⁵/l5 şeklindeki ata­

l e t momentine e ş i t olduğu bulundu. Ref. ( l ) de deney sonuçlarının analizi i l e 88 farklı ç i f t - ç i f t çekirdek için tayin edilen I değerlerinin müteka­

b i l I . katı küre atalet momentlerine oranları genellikle birden küçüktür.

e 60

I / i , oranının en büyük değeri 0,61 olup, Od çekirdeğine a i t t i r . I / i o r i g ^.0 er ritf oranının en küçük değeri ise 0,.J02 olup, Xe çekirdeğine a i t t i r .

Küçük açısal hızlar için dönen s ı v ı damlasının atalet momentinin t e o ­ rik ifadesinin

'o ' 2C

I - I • £ - (47) olduğu görüldü. Dnk. (47) y« göre küçük açısal hız yaklaşıklığı i/l < 2

o şartı ile sağlanır. 0 halde, Dnk. (47) deki I ve C parametrelerinin deney­

sel değerleri ancak i/l < 2 şartı sağlandığı zaman dönen sıvı damlası mo­

delinin verdiği Dnk. (46) bağıntısını sağlarlar*

Ref. (l) de I değerleri, açısal momentumun J - 2 den J • 16 ya kadar olan değerleri için verilmektedir. I , açısal momentum»* artan bir fonksi- yonu olduğundan I . V l < 2 şartını sağlayan çekirdekler bütün deneysel de­

ğerleri kapsar. 88 çekirdek içinde bu şartı sağlamayan 41 çekirdek vardır ve bunların 22 ai Pd, Cd, Xe, Ba, Ce, ve Ft elemanlarının çift-çift izotop­

larıdır. Cetvel I de I /i oranlarının deneysel değerlerinin dağılımı, I.//1 oranlarının deneysel değerlerinin dağılımı ile karşılaştırılmıştır.

19.

20.

CETVEL I

I. /'l oranları ile I /i . oranlarının deneysel değerlerinin 88 lü o o rıg

çift-çift çekirdek arasında sayısal dağılımlarının karşılaştırılması

?>

* < •

Toplam

o <£-<„,*

31

— 31

0 , 2 5 / ^ — / o , 4 rig

12 22

0 , 4 ^ ^ - ^ 0 , 6 1 rig

—

35 35

Toplam

41

47 88

88.çekirdekten 47 ai Dnk. (47) ile verilen teorik bağıntıya uyar. Bu. 47 çekirdekten 35 ine ait i / l . oranları 0,4 ile 0,6l arasındadır ve 12 sine ait oranlar da 0,25 ile 0,4 arasındadır. Dönen sıvı damlası modelinin ver­

diği I /i oranı bire eşit olduğa halde bahis konusu 47 çekirdeğe ait i / l . oranlarının birden küçük oluşlarının nedeni, çekirdeğin tam katı

o rig

bir cisim gibi dönmekte olmayışı ve bir kısım nükleonların çekirdek içi izafî hareketlerinin var oluşu ile açıklanabilir. Çünkü bu çekirdekler için I /i oranı birden çok küçük olmayıp 0,25 "ten büyüktür. Fakat I /i

oranının sıfıra yaklaşan çok küçük değerleri için aynı açıklama yapılamaz.

Bununla beraber, bu çekirdekler için l.Jl oranı 2 den büyük olduğundan 10 0

zaten yaklaşık Dnk. (47) uygulanamaz. Bu söylenenlere en fazla uyan örnek Xe çekirdeğidir. Bu çekirdek için I /i oranı 0,0002 olduğu gibi l.Jl oranı 3000 dir.

16' o

Buraya kadar sadece 1 parametresinin teorik ifadesinin deneylere uy­

gunluğu incelendi. Şimdi de C parametresinin teorik ifadesinin deneylere uygunluğu incelenecektir. C parametresinin teorik ifadesi yerine Dnk. (46) ile belli olan CI A büyüklüğünün teorik ifadesinin deneylere uygunluğu in­

celenebilir. Dnk. (16), Dnk. (46) da yerine yazılırsa

2 Z2

Mr CI A - 2» - • -f- (64) o o s c A

bulunur. Eğer I yerine I / a alınırsa, I , MeV birini ile, ve benzer şe­

kilde M r2 yerine Mrf/62 alınırsa, M r2 de MeV- 1 birisi ile ifade edilebilir.

° ° 4 3

Bu birim sistesinde C parametresi, C yerine ft C alınarak, MeV birini ile ifade edilebilir. 0 halde, CI büyüklüğü de MeV2 bıriai cinsinden ifade e- dilebilir. M nükleonun kütlesi ve r - 1,2 fa olduğuna gore Mr - 0,034724

O O MeV- 1 dir. Ink. (64) e göre CI A büyüklüğü Z2/A nın lineer bir fonksiyona-

o

dur. Hef. (l) deki deneysel değerler kullanılarak \ J l K ² »artını sağ- layan çekirdekler için CI A nın Z /A ya göre değişişleri Z sabit tutularak çizildi ve Od, Dy, Er, Tb, Hf, M, Os ve ü elemanlarısın 88 çekirdeğe dahil olan bütün veya hiç değilse bir kısın izotoplarının Dnk. (64) ile verilen lineerliği sağladığı görüldü. Bahis konusu elemanların lineerliği sağlayan izotoplarına ait noktalar en küçük kareler metodu ile Dnk. (64) e uygulan­

dı ve her eleman için a ve a parametreleri tayin edildi. Bu elemanlara ait a parametrelerinin değerleri, yukardaki sıraya veya Z atom numarası

c

•ırasına göre, müteksbilen, O J 8 6 , 0,807, 0,762, 0,617» 0,8o6, 0,612, 0,822 ve 0,755 *eV olarak bulundu. Yarı ampirik kütle formülünde a parametresi-

(5) °

nin değeri 0,710 MeV dir ve bulunan değerlerin arasındadır. Bu sebepten, Dnk. (64) de a ^ 0,710 MeV alınarak bu defa I . V I 4> 2 şartını sağlayan çekirdeklerin hepsi için a parametreleri hesaplandı ve sonra da her ele­

manın Dnk. (64) ile belirlenen lineerliği sağlayan izotopları için a pa­

rametrelerinin ortalama değerleri ve bu ortalama değerlerden standard sap­

malar bulundu. Elde edilen sonuçlar Cetvel II de sıralanmıştır. Tarı ampi- rik kütle formülünde a parametresinin d e ğ e r iw / 17,80 MeV dir. Cetvel II deki değerler mertebe bakımından bu değere uymakla beraber hepsi de bu de­

ğerden küçüktür, a - 0,71 MeV değeri ve a için de Cetvel II deki değerler kullanılarak Dnk. (64) ile belirlenen paralel doğru ailesi bütün deneysel noktalar ile birlikte Şekil 1 de gösterildi.

22.

CETVEL II

a - 0,71 MeV ve Z sabit olmak üzere Dnk. (64) c

ile belirlenen lineerliği sağlayan izotoplar için a parajMtresinin ortalaaa değerleri

Eleman

62s"

6 4 "

6&

6 8 * 70 7 ^ 74"

76°*

90*"

9*°

94

?6 ^Cm

aa (MeV)

9,29

9,61 + 0,02 10,06 + 0,05 10,48 + 0,02 10,80 ± 0 , 0 6 11,04 + 0,03 11,32+ 0,04 11,55 + 0,05 12,69 + 0,12 13,17 • 0,07 13,61 + 0,03 13,82 + 0,11

Ortalaaa a değerinin hesabı için kullanılan

izotopların kütle sayıları (A) 154

ıcs , 158, 160 158, 160, 162 162, 164, 170

164, 166, 168, 170, 176 170, 172, 174, 176, 178 174, 176, 178, 180, 186 182, 184

228, 232

232, 234, 236, 238 238, 240

242, 244, 248

,154 4

Şekil 1 d» Sn un üç izotopundan yalnız biri ( Sm) kullanıldı, çünkü rl50o 152fl

diğer i k i s i ( J Sn ve J Sm) için I ^ / l oranı 2 den büyüktür. Od un beş izotopundan Il 6/ *0 < 2 şartını sağlayan üçü (15^0d, 1 5 Od ve Od) orta­

lama a değerinin hesabında kullanıldı ve diğer i k i s i ( Od ve Od) i ç i n

I l 6/I 0 oranı 2 den büyüktür. Bununla beraber, Od un 88 çekirdeğe dahil olan bütün izotopları Dnk. (64) i l e belirlenen lineerlik özelliğine çok iyi uy­

mak*, adırl«r. Dy un a l t ı izotopundan dördü (1 5 Dy, Dy, *Dy ve Dy) 1-Jl {jl şartını sağlamakla beraber, bunlardan jDy Dnk. (64) i l * b e l i r ­ lenen lineerlik özelliğine uymadığından sadece i l k üçü ortalama a değeri-

85 80

mwv ' v v w

1U 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39

A Sekil: 1

24.

154 156

nin hesabında kullanıldı. Fakat Dy ve ' By dahil beş izotop lineerlik ,162 özelliğine oldukça iyi uymaktadır. Er un «ekiz izotopundan beşi ( Er,

Er, Er, Er ve Br) I.^/I % 2 şartını «ağlamakla beraber, bun­

lardan Er ve Er lineerlik özelliğine uymadığından diğer üçü ortalama 156 158 160 a değerinin hesabında kullanıldı. Bununla beraber, Br, Er ve Er

B

dahil a l t ı izotop lineerlik özelliğine oldukça i y i uymaktadır. Tb un on ,164_ 166 168_ 17CU *72.^ 174^. 176«x izotopundan yediai ( ^ b , Tb, Tb, Tb, 'HTb, Tb ve Tb) I i l ^ 2 şartını eağlamakla beraber, bunlardan ve l 7 4Tb lineerlik özelliğine uymadığından diğer beşi ortalaaa a değerinin hesabında kulla­

n ı l d ı . Fakat I 5 8Tb, l 6 QI b , 172Tb ve 174Tb izotoplarının dışında 162Tb da­

h i l a l t ı izotop lineerlik özelliğine oldukça i y i uymaktadır. Hf un sekiz izotopundan a l t ı s ı ( 1 ? V l72Hf, 174Hî, 176Hf, 17öHf ve X% f ) 1 , 7 i < 2 şartını sağlamakla beraber, bunlardan ^Hf lineerlik özelliğine uymadığın­

dan diğer beşi ortalama a değerinin hesabında kullanıldı ve bu beş isotop lineerlik özelliğine çok i y i uymaktadır. M in sekiş izotopundan yediai (174W, 176W, 178W, 180H, 1 8 2* , 184M ve 186W) I J l < 2 şartını s a ğ l a - k l a

182. 184 W °

beraber, bunlardan w ve N lineerlik Szelliğine uymadığından diğer beşi ortalama a değerinin hesabında kullanıldı ve bu beş izotop lineerlik

• 182 Szelliğine oldukça i y i uymaktadır. 0e un yedi izotopundan sadece üçü ( Os,

Os ve Os) I . V l <"2 şartını sağlamaktadır ve bunlardan Os lineer­

lik özelliğine uymadığından diğer i k i s i yardımı i l e ortalama a hesaplandı.

180 • Bununla beraber, Os i l e birlikte üç izotop lineerlik Szelliğine oldukça

i y i uymaktadır. Diğer dört izotop (1 7 Os, * Os, 0» ve 1 9°0s) Dnk. (64) i l e belirlenen lineer bağıntıdan büyük sapmalar göstermektedir. Pakatbbu

186 / izotoplardan Os dışındaki üçü için I. V I oranı zaten 2 den büyüktür.

Şekil 1 de gösterilen îfc, ü, Pu ve Cm un izotopları i ç i n l.Jl < 2 16 o şartı sağlanmaktadır. Dnk. (64) ile belirlenen lineerlik özelliğine Th un ve 0 un izotopları oldukça iyi, Pu un izotopları çok iyi ve Cm un izotop­

ları kabaca uyduklarından, bu dört elemanın 88 çekirdeğe dahil olan bütün izotopları kullanılarak ortalama a değerleri hesaplandı.

Elektrikle yüklü dönen bir sıvı damlasının denge yüzeyinin ve atalet momentinin ancak küçük açısal hız yaklaşıklığında hesaplanabildiği ve bu yaklaşıklık halinde denge yüzeyinin, eksantrisitesi açısal hızla orantılı olan bir basık sferoid olduğu bundan önceki kısımlarda gösterildi. Ayrıca, çekirdeğin axpirik DAM modelinin açıklanabilmesi için bu yaklaşıklığın kSfi geldiği de gösterildi.

Çekl-deği temsil eden sıvı damlası sabit bir J açısal momentumuna te­

kabül eden sabit bir açısal hızdan J - 2 açısal momentumuna tekabül eden daha küçük bir açısal hıza geçtiği saman denge yüzeyinin yaklaşık şekli olan sferoidin basıklığı, yani eksantrisitesi azalır ve bu azalma bir ku- vantik sıçrama şeklinde olur. Bunun sonucu olarak da damlanın atalet momen­

ti ve toplam uyarılma enerjiBi azalır. Bu esnada çekirdek, uyarılma enerji­

sinin azalma miktarına eşit enerjide bir gama fotonu neşreder. Çekirdek temel halde bulunduğu saman, yani, J açısal momentumu sıfıra düştüğü zaman açısal hız ile birlikte eksantrisite de sıfır olur, yani, damlanın denge yüzeyi H yarı çaplı bir küre halini alır. Su durumda damlanın atalet momen­

ti minimum I değerine ve toplam uyarılma enerjisi de sıfır değerine düşer.

Diğer yandan, dönen sıvı damlası modelinin sonucu olarak, CI A büyük-

2 °

lüğünün Z /A nın

M r2 CI A - 2a - a - 7 - (64)

o o s c A v '

şeklinde lineer bir fonksiyonu olduğu gösterildi. Küçük açısal hız yakla­

şıklığına uyan çekirdeklerin çoğunun, Z sabit olmak üzere, bu lineer bağın­

tıyı gerçeklediği gösterildi. Lineer bağıntıyı gerçekleyen çekirdeklere ait CI A büyüklüklerinin deneysel değerleri kullanılarak, Z nin sabit değerleri için a ve a parametreleri en küçük kareler metodu ile tayin edildi, a

8 C 0

parametresi Z ile birlikte artmakta, fakat a parametresi yarı ampirik küt-

c 25.

26.

le formülündeki 0,71 MeV değeri civaruxla yaklaşık olarak aabit kalmakta­

dır. Böylece, bahis kanosu lineer bağıntının grafiği Şekil 1 deki gibi Z paraaetresine bağlı bir paralel doğrular a i l e s i meydana g e t i r i r , a para- antresi yarı aapirik kütle formülündeki 17,8 MeV değerinin yttade 52 s i i l e yttsde 78 i arasında değişmektedir.

ELEKTRİKLE TÜKLÜ BİH DÖKEH SIVI DAMLASINIH ÎÇERİSİBDE B A S M Ç DAĞILIMI Elektrikle bir sıvı için Euler'in hidrodinaaik denkleai

seklindedir.«Tl sabit dönse vektörü olduğuna göre, bir katı ciaia gibi dön-

•ekte olan aıvı daslasının içindeki his alanı

"-AX* (BI-2)

•*• * »

bağıntısı ile bellidir. His alanının bu ifadesi ç» .ü - 0 süreklilik denk- leaini özdeş olarak sağlar. Ayrıca, U vektörü

j ^ - 0 vs V X U - 2 Ü

bağıntılarını da sağlar. Bu bağıntıların kullanılması ile Dnk. (EI-l)

/ [i V(o

) + 2.iîxüJ -- f p - ^ V i (E-3)

şeklinde yazılabilir. Diğer yandan, sabit ./ivektörü İle r yer vektörü ara­

sında

A X (&*T) a - i ? [(Ax ?)

] (H-4)

özdeşliği vardır. Bu ösdeşlikten Dnk. (EI-2) yardıaı ile

XtxîT--f?(ö

) (EI-5)

bağıntısı bulunur. Dnk. (EI-5), Dnk. (El-3) de yerine yazılırsa

if t? (O

) - $p+f

9*,

veya

V (P - \f& + /

« ) - 0 (EI-6)

2 7 .

28.

sonucuna varılır. Bu denklem integre edilirse ve elde edilen » O T . , M Dnk.

(EI-2) yerine yazılırsa

bulunur, burada p bir integrasyon sabitidir. Dnk. (£1-7), Dnk. >) in o

aynıdır.

Eğer (r',^p, z) silindirik kooriinatları kullanılırsa, (17, I , e )

^^ -X c Z

ortonormal koordinat vektörleri cinsinden r yer vektörü

•" -v *- , r - r' E, + z e (EI-8)

İ z

seklinde ifade edilebilir. Diğer yandan, sabit A vektörü z ekseni doğrul­

tusunda seçilirse yazılabilir. 0 halde,

AX'-ur'^ (BI-9) sonucuna varılır. Dnk. (EI-9), Dnk. (EI-7) de yerine yazılırsa

p

•

o

kî*?*'

- /• * C

-

)

elde edilir.

DENKLEMİ SİLİNDİRİK KOORDİNATLARDA BELİRLENMİŞ BİR DON a TÜZETİN HERHANGİ BİR NOKTASINDAKİ ORTALAMA B S R İ L İ K

(r',tf, z) silindirik koordinatlarının ortonormal koordinat vektörle- ri ( E . E , • ) olsun. Bu vektörlerden E ve E , <p nin fonksiyonudur ve türevleri de

bağıntıları ile bellidir, r yer vektörü, (E,, E , • } koordinat vektörleri 1 Z Z

cinsinden

r - r' E + z • (BII-2)

İ z

şeklinde ifade edilebilir. Silindirik koordinatlarda z ekseni etrafında dö­

nel olan bir yüzeyin denklemi z • z(r') şeklinde olduğundan» vektörel denk­

lemi de

?-?(*',<?) *r» E^ + z(r») ?^z (EII-3)

şeklindedir. r(r',<jC) fonksiyonunun birinci mertebeden kısmî türevleri, Dnk. (EII-l) ve (EII-3) ü kullanarak

| f - V ^f < ^{r , )} V U'*' ^T 2 ^(m - ⁴⁾

şeklinde olur, burada

gr - ti'') (E"-?)

vaz edilmiştir. r(r',<p) fonksiyonunun ikinci mertebeden kısmî türevleri ise, Dnk. (EII-l) ve (EII-4) Ü kullanarak

şeklinde olur. Yüzeyler teorisinde birinci esas formun katsayıları (7) 29.

bağıntıları ila tarif edilir. Bu bağıntılarda Dnk. (SII-4) ü yerlerine ya­

zarak

K - 1 • f2, O - r'2, F - O (BII-7)

bulunur. Bu yüzeyin herhangi bir noktasındaki içeriye doğru y o a l e v i s nor-

• a l biri» vektörü

1 ? ^r

3?"*9r'

?I>^

bağıntısı i l a b e l l i d i r " ' . Dnk. (EII-4) den

*f

T »

|£ ^X |I|.^VTT7

bağıntıları bulunur ve bu bağıntılar p nin ifadesinde yerlerine yazılırsa

1 * f

sonucuna varılır. Yüzeyler teorisinde ' ikinci esas forsun katsayıları (7)

*ı

J

?

3 ^

2 ' ' " T ' A 2 » " " T ' 9 7 5 ?

M5 _V

bağıntıları ile tarif edilir. Bu bağıntılarda Dnk. (£31-6) T S (EII-8) i yerlerine yasarak

" - ^ 7 - * ' — # ? ' "-° ^(nı -' ^>

bulunur.

(7)

Yüzeyler teorisindes" asal eğriliklerin ortalaması olarak tarif edi­

len ortalama eğriliğin iki katının, birinci ve ikinci esas forsların kat­

sayılın cinsinden ifadssinin

1

R

ı

+ ¹

R 2"

OL ^{• B f} EG -

- 2m

t

olduğu ispat edilir. Gene yüzeyler teorisinde bir yüzeyin bütün noktaların­

da F - 0 ve M - 0 şartları sağlandığı saaan bu yüzeyin koordinat çizgileri­

nin ortogonal ve eğrilik çizgilerinden ibaret olduğu gösterilir. Koordinat çizgilerinin bu Szel halinde ortalara eğriliğin iki katının ifadesi

-ip-^-M ^(m - ^ıo)

basit şeklini alır. Dnk. (EII-7) ve (EII-9), Dnk. (EII-10) da yerlerine yazılırsa

- / T - ⁺ "F\ Tviofr*—j=r ( ^EII - ⁿ >

\ \ \) (i4.f

)

/

T'\/77?

sonucuna v a r ı l ı r . Dnk. ( 6 ) bu bağıntı yardım i l e y a z ı l d ı .

EK III

DENGE TÖZETİNÎH DİFERANSİYEL DEHKLEMİNİH ÇÖZÜMÜ Denge yüzeyinin diferansiyel denklemi olarak

V7^ »* ^ T 7 - »- «f"' * ^ • ["• «*>] <=»>

bulunmuştu* Buradaki f fonksiyonuna göre lineer olmayan (EIII-l) diferansi­

yel denklemi

f - -J* (EIII-2) dönüşümü yardımı ile g fonksiyonuna göre lineer olan bir diferansiyel denk­

leme dönüştürülebilir. Dnk. (EIII-2) den g fonksiyonu, f fonksiyonu cinsin­

den

e - ; J — - ( E I I I - 3 )

şeklinde çözülebilir. Denk. (EIII-3) de her iki yanın r* ne göre türevini alarak

"LN/T^ ² " d• W ² J

veya

dg 1 df , _ „ t,

bulunur. Dnk. (EIII-3) ve (EIII-4), Dnk. (EIII-l) de yerlerine yazılırsa

g r + - i7 g . - 2 k - 4 ^ r '2 + ^ # [ r «< t(r«5] (B1II-5) ikinci taraflı lineer diferansiyel denklemi bulunur. Bu denklesin (ikinoi

tarafsız) boraogen kısmı olan

dr» r«

denklemi

32.

dg dr' -a- + — - =. 0

e r'

şeklinde kısımlara ayrılabilir ve bu da integre edilerek fn g + far'» In C

veya

g - ~ (EIII-6)

bulunur. Buradaki C integrasyon sabitinin C(r') şeklinde r' nün bir fonk­

siyonu olduğu farz edilerek Dnk. (EIII-6), Dnk. (BIII-5) de yerine yazılırsa

veya

J 7 - - 2kr' - 4 ^ r '³ + " ^ # [r', z(r')] r* (EIII-7) elde edilir. Dnk. (EIII-7) integre edilirse

C - - kr« .2

- j8

'

r y *[*'»

^

'Ö

' t

)

bulunur. Dnk. (EIII-8), Dnk. (EIII-6)da yerine yazılırsa

g m - kr' - 0 r '

• ~T~i) * D"'' *^

'0

' (EIII-9)

sonucuna varılır. Dnk. (EIII-9), Dnk. (10) un aynıdır.

EX IV

EKSANTRİSİTESİ ÇOK KÜÇÜK OLAN BASIK BİR SFEROİDİN KÜRESEL KOORDÎNATLARDAKİ YAKLAŞIK DENKLEMİ

z ekseni etrafında dönel olan bir sferoidin silindirik koordinatlar- daki denklemi

,2 2

S-T + - ~ - 1 (EIY-1) a b

şeklindedir. Burada a ve b, mütekabilen, sferoidin büyük ve küçük yarı ek­

senleridir, a ^ b oluşu, sferoidin basık olduğunu ifade eder. Şimdi bu sfe­

roidin, aynı hacroa sahip ve R yarı çaplı bir kürenin deformasyonu ile mey­

dana geldiği farz edilsin. Hacmin korunması

a2 b » R3 (EIV-2)

bağıntısı ile ifade edilir. Sferoidin eksan+risitesi 2 2 2 C 2 2

a a bağıntısı ile tarif edilir ve bu bağıntıdan

• \ - ı - e (EIV-3) a

2 2 2 2

elde edilir. Dnk. (EIV-2) ve (EIV-3) den a ve b , R ve f cinsinden çö­

zülürse

a2 ^TK , b2 - R2 (1 - C2)2/3 (EIV-4)

(ı - e

)

sonucuna varılır.

(r',qf>, z) silindirik koordinatlarından (r, O, f) küresel koordinat­

larına

r* - r sin G, z • r cos 9 (EIV-5) dönüşüm denklemleri ile geçilebilir. Böylece, sferoidin silindirik koordi-

34.

nallarda Dnk. (EIY-l) ile verilen denklemi küresel koordinatlarda

sini

co^e

±

2 2 2 '

a b r

şeklini alır. Dnk. (EIV-4), Dnk. (EIV-6) da yerine yazılırsa 2 . _2

, , 2.1/3 , 2n cos e R

( l - f ) ' sin « + ~ T - —

d - n

bulunur. Bu bağıntı sadeleştirilirse 2Nl/3

r - ^{R ( 1 2}" ^£ p ı /² <=*-7>

(1 - g^ s i n « )^V

sonucuna varılır. Dnk. (EIV-7), 2 ekseni etrafında dönel olan bir sferoi­

din küresel koordinatlardaki denklemidir.

Şimdi eksantrisitesi çok küçük olan basık bir sferoidin küresel koor- 2

dinatlardaki yaklaşık denklemini bulalım. £ '<<£ 1 yaklaşıklığının kullanıl­

ması ile Dnk. (EIV-7) üzerinde aşağıdaki işlemler yapılabiliri r * H (1 - i 62)(1 + \ İ sin2«)

r S R (1 - \ £2 + \ E2 sin2S)

-

E [ l - ~ e

(2 - 3 sin

*)]

[ l - | £ 2 ( 3 c o o2e - l ) ] r Î E

bulunur. Su sonuç ikinci mertebeden Legendre polinoeıunun P2(c<» 9) s J (3 cos²« - 1)

şeklindeki ifadesi i l e k a r ş ı l a ş t ı r ı l ı r a

* ' ^H [ ^l " İ ^ ^P 2 ^(C °" ^{0 )} ] ^(ETV " ⁸⁾

sonucuna v a r ı l ı r , Pnk. (EIV-8), Dıw. 0 3 ) ün aynıdır.

EK V

TARI AMPİRİK KÜTLE FORMÜLÜHDE TÜZE! VE COULOKB TEHİMLEBİ VE BU TEflÎKLEflİK KATSAYILARI ARASINDAKİ BASINTILAR

S ı v ı damlası modelinden e l d e e d i l e n y a r ı ampirik kütle formülü veya bağ e n e r j i s i formülü

B(A,Z) - 15,753 A - 17,804 k

' * - 0J103 -J75 - 94,77 j (BV-l) + 33,6/A^

şeklindedir, buradaki katsayılar MeV birimi cinsindendir.

Dnk. (FV-l) de bu çalışmanın konusu ile ilgili terimler

8 S yüzey enerjiBİ terimi ve

E - a if'3 (EV-2)

8 S

E - a Z2/A1 / / 3 (B?-3)

c c

Coulomb e n e r j i s i t e r i m i d i r . Yüzey e n e r j i s i terimi

E m gs - 4 * R2«r ( H M )

8

şeklinde çekirdek yüzeyi ile orantılıdır ve buradaki 6* orantı katsayısı yüzey gerilimi katsayısıdır. Çekirdeğin R yarı çar.

fi - ro Al / 3 ( w - 5 )

formülü i l e b e l l i d i r . Dnk. (EV-5), Dnk. (EV-4) de yerine y a z x l i r ve elde edilen sonuç Dnk. (EV-2) i l e k a r ş ı l a ş t ı r ı l ı r a

a - 47tr 0 (EV-6) 2

S O ^X '

bulunur. Diğer yandan, Coulomb enerjisi terimi

36.

şeklindedir, v» toplam elektrik yükü Ze uniform olarak hacaa dağılmış ve R yarı çaplı bir karenin elektrostatik potansiyel eneriisidi''- Dik. (EVf-5), Dnk. (KV-7) de yerine yasılır ve elde edilen sonuç Dnk. (&V-3) il» karşı- laştır\lırsa

&

c 5 r o

(E7-8)

balamır. Diğer yandan, çekirdeğin içerisindeki uniform elektrik yükü dağı*

iımmın sonucu olan elektrik yükü yoğunluğu

bağıntısı i l * b e l i r l i d i r , Dnk. (27-3), Ink. (EV-?} ^a yerine y a z ı l ı r s a ve elde edilen bağıntının her iki yanı Zn/S ij.t> çarpılırsa

A ^

X.— İJL.JL _(nr-ıo)

»1

bulunur, Bak. (37-6) vr (SV-8), Jak. (IÎT-İÜ; oa. yeriıo yazılırsa

-^jr ü« - 3 — ~— (E?-ll) s

sonucuna varilli. Şimdi

a ? e 7-

t!

vaa e d i l s i n . Dr-k. (av~12), tak. fS^-ll; c?e ^srrce ^asj.'iı.>rsa

gf Zc - IC >j (EV-13)

«İde e d i l i r , û-.. , •, ?/-I3>, rtak. (3 6a) nw a y l ı d ı r .

EK 7 1

T2- HUH )f HM OÖÇLEHÎ CÎFSÜJDEff SERÎYE AÇILMASI

dr

dr

"

/"5 T ? : — 3 T ^ ^TT5 *

" V^-^t-r^-r. ² )]

bağıntısı Dnk. (22) ile verilmişti. V ile birlikte sıfır limitine giden

xîN»

-r'

) (EVI-2)

boyutsuz büyüklüğü tarif edildiği takdirde Dnk. (EVI-l),

f W - -

ı ,

;

=r- (W1-3)

\Z»= - r'

(l - i)

şeklinde yazılabilir. f(x) fonksiyonu Naclaurin serisine açılırsa

f(0) *

t(0)

2

f(0)

-•

elde edilir. Burada f(o),

f(0) - - ..g r'

(E7I-5)

\/a - r

bağıntısı ile bellidir. Eğer

h(x) * [ t f(x)J - ^ (WI-6)

tarifi yapılırsa

~ ^ - h ' ( x ) + [h(x)J

(E7I-7)

lcfjaritsnasi alınırsa

U f(x) - İn r» + fc (x -1) - | fn [ a2 - r '2( x - l )2]

38.

bulunur. Bu bağıntının her iki yanının türevi alınıra»

k2 a - r* (x - 1)

2

n(x) f S % g A (WI-8)

(x - l ) [ a² - r«²(x - l)²J

sonucuna varılır. Dnk. (EVT-8) in her iki yanının Snce tabii logaritması ve sonra da türevi alınırsa

Al h(x) - fc a2 - in (x - 1) - t [a2 - r'2(x - l)2]

ve

h ^ £ İ . _ _ I - + 2r'

(x-l)

h(x) x - 1 2 ,2. ,.2 a - r' (x - 1) veya

elde edilir. Dnk. (E7I-8), Dnk. ^(BVI-9) da yerine yazılırsa

(x - l )

^

- r'

(x - l ) f

(OTI-9)

•• w - ^ft2 ^ ² l ^x " ^x f ^m *h* (*"-ıo)

sonucuna varılır. Dnk. (EVI-6) yardımı ile Dnk. (EVI-8) den

a - r*

bulunur. Dnk. (E7I-10) dan da

2 2 2

h'(0) - ' ^ f ~

*J (B7I-12)

(a - r' )

elde edilir. Dnk. (EH-ll) ve (EVI-12), Dnk. (EVI-7) de yerlerine yazılırsa

40.

f ( 0 ) ( a2 - r '2)2 ( a2 - r '2)2

veya

£*& - >

'

(WT n )

f ( 0 ) ( a2 - r '2)2

sonucuna v a r ı l ı r .

Dnk. (EVI-ll) ve (571-13), Dnk. (E7I-4) de yerlerine y a s ı l m a

M - ı - « T ^ - î • 2 *

- T ^ T T - • • • (•*-*>

f(0) 2 .2 2 , 2 ,2.2 a - r* (a - r' )

elde edilir. Dnk. (EVI-2) ve (EVI-Ş), Dnk. (ETTI-14) de yerlerine yasılırsa

£7 ? - .{'

(1 - * a

• f y

*

,'

- ...) (E7I-15)

sonucuna varılır. Dnk. (EV1-15), Dnk. (26) nın aynıdır.