 e ~(,) WN 0 

6.2. Vektör Otoregresif Seriler (VAR Modelleri)

İkinci bölümde, tek değişkenli hareketli ortalama (MA(q) serilerinden hareketle otoregresif zaman serisi modellerine geçiş yapılmıştı. Sonlu her q doğal sayısı için MA(q) modelinin durağan olduğunu biliyoruz.

Durağan her ARMA(p,q) modeli de MA(∞) şeklinde yazılabilir.

MA(∞) modelinin katsayıları özel olarak seçilerek, ARMA(p,q) modeline geçiş de yapılabilir. Çok değişkenli zaman serisi modellerinde bu geçişler biraz karmaşıktır.

Birinci dereceden vektör otoregresif (VAR(1)) zaman serisi modeli,

~ ( , )

t WN 0 

e _{ve A} da uygun boyutta bir matris olmak üzere,

1

t  t   t

X A X e

olarak verilir. Tek değişkenli zaman serilerinde olduğu gibi model

MA(∞) şeklinde yazılmak istenirse, X ^t bir dizi ardışık işlemden sonra,

 

 

1 2 1 2 2 1

2 3 2

3 2 1 3 2 1

4 3 2

4 3 2 1

0

...

t t t t t t t t t

t t t t t t t t

t t t t t

j t- j j

    

     

   





       

       

    

 

X A X e A A X e e A X Ae e

A AX e Ae e A X A e Ae e

A X A e A e Ae e

A e

ş eklinde yazılabilir. Bu yazılış ilk bakışta anlamlı ve kolay gibi görünmesine rağmen, işlemlerin yürütülmesi zordur. Bu ifade, bazı matris özellikleri yardımı ile biraz daha kolay hale getirilebilir. Herhangi bir A matrisinin,

A=Q M Q ⁻¹ şeklinde yazılabileceğini biliyoruz. Burada M _, A nın özdeğerlerinden oluşturulan (özdeğerler farklı ise diagonal) bir matris,

Q _da A nın öz vektörlerinden oluşturulan matristir. Q matrisi tek

değildir. Z ^t  Q X ^{ 1 t} dönüşümü ile,

 

1 1 1 1

1 1

1 1

1 1

t t t t t t

t t t t

   

 

 

 

    

   

Z Q X Q A X e Q A X Q e

Q Q M Q X  M Z 

eşitliğinden Z ^t  M Z ^{t  1}   ^t modeline ulaşılır. Bu da modelin kanonik formudur. M matrisi (genellikle) diagonal olduğundan, bu gösterim serinin bileşenlerinin ayrı ayrı incelenmesine olanak sağlar. Ayrıca,

t  t

X Q Z ters dönüşümü ile başlangıçtaki modele dönülebilir. Z ^t serisi durağan ise herhangi bir lineer birleşimi de durağan olacağından,

X t de durağandır. Dolayısı ile, serinin durağanlığı M matrisinin özelliklerine bağlıdır. A nın bütün öz değerleri mutlak değerce 1 den küçük ise verilen çok değişkenli zaman serisi modeli durağandır. Aksi halde durağan değildir.

1

t  t   t

X A X e şeklinde verilen VAR(1) modeline karşılık gelen karekteristik denklem det( A−λ I )=0 dir. Benzer şekilde VAR(p) modeli, e _t ~ WN ( , ) 0  olmak üzere,

1 1 2 2 ...

t  t   t   p t p   t

X A X A X A X e

olup karekteristik denklemi,

1 2

1 2

det(  ^p I   ^{p } A   ^{p } A   ... A _p ) 0  şeklindedir.

Örnek 6.2.1 İki değişkenli birinci dereceden vektör otoregresif zaman serisi modeli e _t ~ WN ( , ) 0  olmak üzere,

1, 1, 1 1,

2, 2, 1 2,

0.2 0.4 1.2 1.6

t t t

t t t

X X e

X X e





       

 

        

       

     

olarak verilmiş olsun. Bu modele karşılık gelen karekteristik denklem,

2

det( ) det 0.2 0.4 1 0 det 0.2 0.4

1.2 1.6 0 1 1.2 1.6

(0.2 ) (1.6 ) 0.4(1.2) 1.8 0.8 0

  



   

              

                  

   

       

A I

olup, kökler (öz değerler) λ ₁ =1 , λ ₂ = 0.8 dir. Buna göre, öz değerlerden biri 1 olduğundan model durağan değildir. Öz değerler matrisi,

1 0 0 0.8

M  

  

 

olup, Q matrisi, bu öz değerlere karşılık gelen öz vektörlerden oluşturulur. Bu öz vektörleri u _{1 ve} u ₂ ile gösterelim. λ ₁ =1 _öz

değerine karşılık gelen öz vektör, A u ₁ =λ ₁ u ₁ eşitliğinin çözümünden elde edilir. Buna göre, Q matrisinin birinci sütun vektörü, λ ₁ =1 _için,

1,1 1,1 1,1 1,2 1,1

1 1,1 1,2 1,2

1,2 1,2

0.2 0.4 0.2 0.4

1.2 1.6 1.2 1.6

u u u u u

u u u

u  u

      

 

 

    

         

      

denklem sisteminin çözümünden bulunur. Denklem sisteminin çözümü tek değildir. Çözüm için u _1,1 =1 denirse, u _1,2 =2 olur. Buradan,

λ ₁ =1 öz değerine karşılık gelen öz vektör, u ¹  (1 , 2 ) _dir.

λ ₂ =0.8 öz değerine karşılık gelen ikinci öz vektör için de

A u ₂ = λ ₁ u ₂ denklemi çözülür. Bu

2,1 2,1 2,1 2,2 2,1

2 2,1 2,2 2,2

2,2 2,2

0.2 0.4 0.8

0.2 0.4

1.2 1.6 0.8

1.2 1.6

u u u u u

u u u

u  u ^{ }

    

        

         

      

denklem sisteminin çözümünden (yine tek değildir) elde edilir. u _2,1 =2

denirse u _2,2 =3 olur. Yani ikinci öz vektör, u ²  ( 2 , 3)

dür.

Buradan da, Q matrisinin ikinci sütun vektörü belirlenmiş olur. Böylece M _, Q

ve Q ⁻¹ matrisleri sırası ile, 1 2

2 3

 

  

 

Q

,

1 3 2

2 1

   

      Q

ve

1 0 0 0.8

 

  

 

M

şeklinde bulunmuş olur. Kolayca görüleceği gibi,

1 1 2 1 0 3 2 0.2 0.4

2 3 0 0.8 2 1 1.2 1.6

                              

Q M Q A

dır. Z ^t  Q X ^{ 1 t} dönüşümü ile serinin kanonik formu,

1

t  t   t

Z M Z  _{olur. M} matrisi diagonal olduğundan kanonik formun bileşenleri,

Z _{1 , t} =Z _{1 , t−1} + η _{1 , t} Z _{2 , t} =0.8 Z _{2 , t−1} + η _{2 , t}

şeklinde yazılabilir. Bu bileşenler tek değişkenli zaman serileri olup Z _{1, t}

nin birim köklü, Z _{2, t} nin ise durağan olduğu açıktır. Başlangıçtaki seriye,

t  t

X Q Z

1, 1, 2,

2, 1, 2,

1 2 2

2 3 2 3

t t t

t t t

Z Z Z

Z Z Z

    

 

                  

şeklinde dönüş yapılabilir. Burada, X ^t nin her iki bileşeni durağan olmayan Z _{1, t} nin fonksiyonudur. Dolayısı ile, X ^t iki değişkenli zaman serisi durağan değildir. Buna göre, durağan olmayan iki değişkenli VAR(1) modelinin her iki bileşeni ( X _{1, t ve} X _{2, t} ) de durağan değildir. Diğer taraftan,    ( 2, 1) _için  ^{ X} _t tek değişkenli zaman serisi

1,

2, 1,

2,

1, 2, 1, 2, 2,

( 2 , 1) 2

(2 3 ) 2( 2 )

t

t t t

t

t t t t t

X X X X

X

Z Z Z Z Z

 

      

 

 

     



şeklinde yazılabilir. Z _{2 , t} durağan olduğundan,  Z ^2,t de durağandır.

Sonuç olarak, X ^t serisinin kendisi durağan olmamasına rağmen,

X t

 durağan olacak şekilde bir  vektörü vardır ⊗

Bu örnekte de görüldüğü gibi, herhangi bir çok değişkenli zaman serisi

durağan değil ise, her bir bileşeni de durağan değildir. Ancak, bu önermenin

tersi doğru değildir. Yani, bileşenleri ayrı ayrı durağan olan çok değişkenli

zaman serisi durağan olmayabilir (Örnek 1.5.1).

Tanım 6.2.1 Durağan olmayan herhangi bir X ^t çok değişkenli zaman serisi için  X ^t durağan olacak şekilde bir β vektörü varsa, X ^t serisine kointegrasyonludur (eşbütünleşiktir) denir. β vektörüne de kointegrasyon vektörü denir 

Örnek (6.2.1) de iki değişkenli X ^t zaman serisi durağan olmamasına rağmen,    ( 2,1) _için  ^{ X} _t durağandır. Yani, X ^t _zaman serisi modeli    ( 2, 1) kointegrasyon vektörü ile kointegrasyonludur.

Burada, kointegrasyon vektörünün tek olmadığını da belirtelim.  X ^t durağan ise singüler olmayan herhangi bir B matrisi için,

1 t

B B X 

 de durağandır. Buna göre,   (   B B ^{ 1} )  de başka bir kointegrasyon vektörüdür. Yani, kointegrasyon vektörü tek değildir. Ancak, birbirinden lineer bağımsız kointegrasyon vektörlerinin sayısı önemlidir.

Lineer bağımsız kointegrasyon vektörlerinin sayısı, kointegrasyon vektörünün tahmini ve verilen herhangi bir çok değişkenli zaman serisinin kointegrasyonlu olup olmadığının sınanması açısından önemlidir.

k− değişkenli VAR(1) zaman serisi modeli e _t ~ WN ( , ) 0  _olmak üzere, X ^t  A X ^{t  1}  e ^t şeklinde verilmiş olsun. Seri durağan ise, istatistiki sonuç çıkarım açısından problem yoktur. Ancak seri durağan değilse, sonuç çıkarımlar için serinin durağanlaştırılması gerekir. Bunun için de serinin farkı alınır. Modelin her iki tarafından X ^{t 1} çıkartılırsa,

Π= A−I olmak üzere model,

1 1 1 1

1 1

( )

X A X e X X A X X e

X A I X e

X X e

   





      

    

   

t t t t t t t t

t t t

t t t

şeklinde yazılabilir. Burada Π , k×k boyutlu bir matris olup

rank( Π )=r olsun. Buna göre,

a) r=k ise sistem (yani seri) durağandır,

b) r=0 ise sistem durağan değildir ve   X ^t _durağan olacak şekilde hiçbir β vektörü yoktur,

c) 0<r < k _ise, ^{   } olacak şekilde ^α ve β

vektörleri (veya matrisleri) vardır. Ayrıca,  X ^t durağan olup α _{¿ de}

α vektörüne dik (   _   0 ) bir vektör olmak üzere   X ^{ t} _serisi birim köklüdür.

İki değişkenli durağan olmayan bir zaman serisi, durağan ve durağan olmayan iki tek değişkenli serinin lineer birleşimi şeklinde yazılabilir. İki değişkenli X ^t zaman serisinin bileşenleri X _{1, t ve} X _{2 , t olsun.}

Ayrıca, U _t birim köklü zaman serisini (örnekteki Z _{1, t ),} S _{t de}

durağan zaman serisini (örnekteki Z _{2 , t} ) göstersin. Yani, serinin kanonik formunun bileşenleri U ve ^t S olsun ( ^t Z _t  ( U S  _t , ) _t ). O halde,

Q=

11 12

21 22

a a

a a

 

 

 

olmak üzere, serinin bileşenleri

X _{1 , t} =a ₁₁ U _t + a ₁₂ S _{t ,} X _{2 , t} =a ₂₁ U _t +a ₂₂ S _t

şeklinde yazılabilir. Her iki bileşeni de U _t nin bir fonksiyonu olduğundan bileşenleri X ^1,t

ve ^{X 2,t} olan X iki değişkenli zaman serisi ^t durağan değildir. Ancak,

2, _t ( 21 / 11 ) 1, _t ( 22 ( 21 12 ) / 11 ) _{t t} X  a a X  a  a a a S  cS

olduğundan, X _{2 , t} − ( ^a 21 / a ₁₁ ) ^X 1, t fark serisi durağandır.

Kointegrasyon vektörünün belirlenmesi için yukarıdaki Q matrisinin

belirlenmesi, hatta Q matrisinin birinci sütun vektörünün belirlenmesi

yeterlidir. β kointegrasyon vektörü (veya Q matrisi) bir parametre

olduğundan tahmin edilmesi gerekir. Şimdi, yukarıda sözü edilen Π matrisine ait özellikleri aşağıdaki örnek üzerinde görelim.

Örnek 6.2.2 İki değişkenli vektör otoregresif zaman serisi modeli e _t ~ WN( 0 , Σ) olmak üzere,

1, 1, 1 1,

2, 2, 1 2,

1.4 0.8

6 3

t t t

t t t

X X e

X X e





           

       

       

     

şeklinde verilsin. det( A−λ I )=λ ² −1.6 λ+0.6 =0 karekteristik denkleminin kökleri λ ₁ =1 _ve λ ₂ =0.6 olup köklerden biri 1 dir.

Yani, seri durağan değildir. A =Q M Q ⁻¹ olacak şekilde Q _ve M matrisleri,

1 2

3 5

 

       Q

,

1 5 2

3 1

    

  

 

Q

,

1 0

0 0.6

 

  

 

M

şeklindedir. Z ^t  Q X ^{ 1 t} dönüşümü ile elde edilen ( Z _t  M Z _{t } ¹   _t ) kanonik formun bileşenleri de,

Z _{1 , t} =Z _{1 , t−1} + η _{1 , t} , (birim köklü)

Z _{2 , t} =0.6 Z _{2 , t−1} + η _{2 , t , durağan}

şeklindedir. X ^t  Q Z ^t ters dönüşümü ile orjinal serinin bileşenleri,

X _{1 ,t} =Z _{1 ,t} +2 Z _{2 , t} X _{2 ,t} =−3 Z _{1 ,t} −5 Z _2,t

olup, her iki bileşen de Z _{1, t} nin fonksiyonu olduğundan durağan değildir.

Ayrıca, X _{2 , t} +3 X _{1, t} = Z _{2 ,t} olduğundan   (3,1) olmak üzere,

X t

 durağandır. Yani, X ^t serisi kointegrasyonludur.

Şimdi, X ^t  A X ^{t  1}  e ^t şeklindeki VAR(1) modelini göz önüne alalım.

Her iki taraftan X ^{t 1} çıkartılarak, Π= A−I olmak üzere,

1

t t  t

 X   X  e

modeli elde edilir. Burada,  _matrisi

1.4 0.8 1 0 2.4 0.8

6 3 0 1 6 2

   

     

           

     

A I

 

0.8 3 1 2

   

   

   

şeklinde yazılabilir. Önce β X  ^t nin durağan olduğunu, sonra da

 t

 X

 lineer dönüşümünün birim köklü olduğunu gösterelim.

a) β X  _t  X ^2, _t  3 X ^1, _t

olup X ^t  A X ^{t  1}  e ^t eşitliğin her iki tarafı β vektörü ile çarpılırsa 

   

   

1, 1 1,

2, 1,

2, 1 2,

1, 1

2, 1 1, 1

2, 1

1.4 0.8

3 3,1 3 ,1

6 3

1.8, 0.6 0.6 3

t t

t t

t t

t

t t t t

t

X e

X X

X e

X X X

X  





  



   

 

 

        

   

     

 

      

 

 

eşitliği elde edilir. Yani, ( X ^2, _t  3 X ^1, _t ) 0.6(  X ^{2, 1} _{t }  3 X ^{1, 1} _{t } )   _t modeline ulaşılır. Buradan, Y _t  β X  _t  X ^2, _t  3 X ^1, _t

denirse model

Y _t =0.6 Y _t−1 +η _t olur. Bu tek değişkenli AR(1) modeli (

1

t t t

Y   Y _   ) modeli   1

için durağandır. Yani β X  ^t _serisi

durağandır. Buna göre,     olarak yazıldığında β X  _{t durağan}

olacak şekilde  vektörü belirlenmiş olur.

b)  _{ t} ^' X lineer dönüşümü durağan değildir.  _   (1,0.4) _için

α _¿ ^' α =0 _olup, ^{  ' X t  X 1, t  0.4 X 2, t} dir. Buna göre,  ^{ '} X ^t dönüşümü açık yazıldığında,

  ^{1, 1}   ^1,

1, 2,

2, 1 2,

1.4 0.8

0.4 1 0.4 1 0.4

6 3

t t

t t

t t

X e

X X

X e





   

 

 

        

   

     

  ^{1, 1}  1, 2, 

2, 1

1 0.4 ^t _{t t} 0.4 _{t t}

t

X X X

X ^  



 

      

 

 

elde edilir. Buradan,

' X 1, 0.4 2,

 _

  

t t t t

W X X denirse, dönüşüm

W _t =W _t−1 + ζ _t haline gelir. Bu tek değişkenli AR(1) modeli durağan değildir. Yani,  ^{ '} X ^t   _ ^' X _{t  1}   _ ^' e _{t veya} W _t =W _t−1 + ζ _t

zaman serisi modeli durağan değildir ⊗

Durağan olmayan herhangi bir vektör otoregresif serisinin bileşenleri durağan ve durağan olmayan (birim köklü) serilerin lineer birleşimi olarak yazılabildiğini biyoruz. Bunun için T  (   _ ^' : ^' ) olmak üzere

t  t

Y T X dönüşümü kullanılabilir. Buradaki T matrisi singüler

değildir. U _t birim köklü (durağan olmayan ) seriyi, S _t de durağan zaman serisini ifade etmek üzere, Y ^t  T X ^t serisinin bileşenleri U _t

ve S _t nin lineer birleşimi olarak yazılır. T matrisi ^α ve β

vektörleri ile oluşturulduğu için tek değildir.

Bir önceki örnekte T _matrisi, 1 0.4 ( : )

3 1

    

   

 

  T

olarak seçilirse,

( : ) ( : ) ^t

t t t t t

t

U S

  

    

   

             

t t

Y T X X X X X

X

    



olur. X ^t  T Y ^{ 1 t} ters dönüşümü ile orjinal serinin bileşenlerinin durağan ve durağan olmayan serilerin lineer birleşimi şeklinde yazılabileceği açıktır.

Yukarıdaki örneğe geri dönersek, 1 0.4

3 1

 

  

 

T

ve

1 5 2

15 5

   

      T

olup, Y _t  ( , ) U S _{t t}  _ve X _t  ( X 1, _t , X 2, _t ) 

olduğundan,

1, 1 2,

5 2

5 2

15 5 15 5

t t t t

t t

t t t t

X U U S

X S U S

           

                       

X T Y

bulunur. Yani, bileşenleri X ^1,t ve ^{X 2,t} olan iki boyutlu zaman serisi U ^t ve S zaman serileri türünden, ^t

1, 2,

5 2

15 5

t t t

t t t

X U S

X U S

     

     

   

 

olarak yazılır. T matrisi biliniyorsa geçişler kolaydır. Şimdi, T matrisi

T ⁻¹ =

11 12

21 22

a a

a a

 

 

 

olarak verilmiş olsun. O zaman, iki değişkenli durağan olmayan vektör otoregresif zaman serisinin bileşenleri

X _{1 ,t} =a ₁₁ U _t + a ₁₂ S _t X _{2 , t} =a ₂₁ U _t +a ₂₂ S _t

şeklinde yazılabilir. Bu gösterim çok değişkenli (daha yüksek boyutlu) daha yüksek dereceden otoregresif zaman serileri için de geçerlidir. Buna göre,

X _{2 , t} −( a ₂₁ / a ₁₁ ) X _{1 , t} =( a ₂₂ −a ₂₁ / a ₁₁ ) S _t

olduğundan, durağan olmayan X _t serisi için    a ( ²¹ / a ¹¹ ,1) ^ olarak seçildiğinde β X  _t

durağandır. İki değişkenli serinin bileşenlerinin her ikisi de durağan olmayan U _t serisinin lineer birleşimi olduğundan

X _t durağan değildir. Durağan olmayan serinin bu şekilde durağan ve

durağan olmayan kısımlarının ayrıldığı bu lineer birleşimi sağlayan T

matrisidir. Bu T matrisinin bilinmesi durumunda serinin kointegrasyonlu

olup olmadığına karar verilebilir. Aksi halde, T matrisi bir parametre

olup tahmin edilmesi gerekir. Oysa, örnekte de görüldüğü gibi, bu matrisin

bütün elemanlarını (satır ve sütun elemanları) tahmin etmek yerine bir

kısmının tahmin edilmesi kointegrasyon vektörünün bulunması için

yeterlidir. İki değişkenli bu model için a ₂₁ / a ₁₁ oranının tahmin edilmesi yeterlidir. Daha önce de belirtildiği gibi yöntem daha yüksek boyutlu seriler için geçerli olduğu gibi daha yüksek dereceden modeller için de geçerlidir.

Şimdi bunları birer örnek üzerinde görelim.

Örnek 6.2.3 Üç değişkenli birinci dereceden vektör otoregresif zaman serisi

modeli e _t ~ WN ( , ) 0  olmak üzere,

1, 1, 1 1,

2, 2, 1 2,

3, 3, 1 3,

0.7 0.4 0.1 0.2 1.2 0 0.2 0.4 0.8

t t t

t t t

t t t

X X e

X X e

X X e







        

          

       

          

     

şeklinde verilsin. A nın özdeğerleri için A− λ I matrisini açık olarak,

0.7 0.4 0.1 1 0 0 0.7 0.4 0.1

0.2 1.2 0 0 1 0 0.2 1.2 0

0.2 0.4 0.8 0 0 1 0.2 0.4 0.8



  



  

      

  

     

     

     

     

     

A I

şeklinde yazalım. Bu matrisin determinantı

det ( A−λ I )=−λ ³ +2.7 λ ² −2.42 λ+0.72

olup öz değerler, −λ ³ +2.7 λ ² −2.42 λ+0.72=0 denkleminin kökleridir. Denklemin çözümünden öz değerler λ ₁ =1 , λ ₂ =0.8 _ve λ ₃ = 0.9 olarak bulunmuştur. Köklerden biri 1 olduğundan,

1

t  t   t

X A X e şeklinde verilen VAR(1) modeli durağan değildir.

Buradan, A Q = Q M olacak şekilde Q _ve M matrisleri bulunabilir. Q singüler olmayan bir matris olup Z _t  Q X ^{ 1} _t dönüşümü ile serinin kanonik formu elde edilir. Q _ve M matrisleri,

1 2 3 1 1 2 1 2 2

 

 

  

 

 

Q

,

1 0 0

0 0.8 0 0 0 0.9

 

 

  

 

 

M

olarak bulunmuş ve Z ^t  Q X ^{ 1 t} dönüşümü ile kanonik formun bileşenleri de,

Z _{1 ,t} =Z _{1 ,t−1} + η _1,t , birim köklü

Z _{2 ,t} =0.8 Z _{2 ,t−1} + η _2,t , durağan

Z _{3 ,t} =0.9 Z _{3 ,t−1} + η _{3 ,t} , _durağan

şeklinde elde edilmiştir. Serinin bileşenleri ( X ^t  Q Z ^t dönüşümü ile) de

X _{1 ,t} =Z _{1 ,t} +2 Z _{2 ,t} + 3 Z _{3 ,t} X _{2 ,t} =Z _{1 ,t} + Z _2,t +2 Z _{3 ,t} X _{3 ,t} =Z _{1 , t} +2 Z _2,t +2 Z _{3 ,t}

şeklinde kanonik formun lineer birleşimidir. Bu lineer birleşimlerin her biri, durağan olmayan Z _1,t yi içerdiğinden durağan değildir. Π= A−I matrisi ile serinin durağan ve durağan olmayan lineer birleşimleri elde edilir.

Burada Π= A−I _matrisi,

Π=A−I= [ 0.7 0.4 −0.1

−0.2 1.2 0.0

−0.2 0.4 0.8 ] ⁻ [ ^{1 0 0 0 1 0 0 0 1} ] ⁼ [ −0.3 0.4 −0.1

−0.2 0.2 0.0

−0.2 0.4 −0.2 ]

olarak bulunmuştur. Bu 3×3 boyutlu matris singüler olup, rankı 2 _dir.

 matrisi 3×2 _ve 2×3 boyutlu iki matrisin çarpımı olarak yazılabilir. Bu matrisler,

2 3

3 3 3 2

0.3 0.4 0.1

1 1 0 0.2 0.2 0.0

1 0 1

0.2 0.4 0.2

0.4 0.1 0.2 0.0 0.4 0.2

  



 

 

 

  

  

  

 

 

 

      

     

  

   

şeklindedir. Buna göre, X ^t  A X ^{t  1}  e ^t modeli ele alındığında,

  X _t nin durağan,  _  X _t serisinin de durağan olmadığını görmemiz

gerekir.

a) Önce   X ^t serisinin durağan olduğunu görelim. Bunun için

1

t  t   t

X A X e modelini ele alalım. Her iki tarafı   ile çarpılırsa model   X ^t    A X ^{t  1}    e ^t şekline dönüşür. Burada,  A matrisi

2 3 3 3

0.7 0.4 0.1

1 1 0 0.9 0.8 0.1

0.2 1.2 0.0

1 0 1 0.9 0.0 0.9

0.2 0.4 0.8 0.8 0.1 1 1 0

0.0 0.9 1 0 1 A

C





 

  

 

     

                    

     

          

olduğundan model   X ^t  C X   ^{t  1}    e ^t şeklinde yazılabilir. Buradan W _t    X _t denirse, yeni model W ^t  CW ^{t  1}   ^t _olur. C

matrisinin öz değerleri 0.8 _ve 0.9 olup model durağandır.

b) Şimdi de Y _t   _  X _t serisinin durağan olmadığını gösterelim.

Bunun için önce ^α ya dik matris  _  2 2 1

2 2 1

 _   

       olarak seçildiğinde,

2 3

3 2

0.4 0.1

2 2 1 0 0

0.2 0.0

2 2 1 0 0

0.4 0.2



 

  

      

                  

 

olduğu görülür.  _  matrisinin lineer bağımsız satırlarının sayısı 1 dir.

1

t  t   t

X A X e modeli ele alınıp eşitliğin her iki tarafı  _  _ile çarpılırsa model  ^  X ^t   ^  A X ^{t  1}   ^  e ^t olur. Buradan,

  A   

  _olduğu

2 3 2 3 3 3

0.7 0.4 0.1

2 2 1 2 2 1

0.2 1.2 0.0

2 2 1 2 2 1

0.2 0.4 0.8

 

 



  

 

     

                      

 A 

matris çarpımından açıktır. Buradan da, model  ^  X ^t   ^  X ^{t  1}   ^  e ^t şeklinde yazılabilir. Y ^t   ^  X ^t denirse model, Y _t  Y _{t } ¹   _{t olur. Bu} model de durağan değildir. Burada, Y ^t durağan olmayan zaman serisinin her iki bileşeni de aynıdır (  ^  matrisinin lineer bağımsız satırlarının sayısı 1 dir). Bu nedenle, durağan olmayan bu seriyi Y _t =Y _t−1 +ζ _t

şeklinde tek değişkenli bir zaman serisi olarak almak daha anlamlıdır.

c) T  (  _  :   ) _ve T ⁻¹ matrisleri, 2 2 1

( : ) 1 1 0

1 0 1



  

 

 

    

  

 

T  

,

T ⁻¹ = [ ^{1 −2 −1 1 −1 −1 1 −1 0} ]

olmak üzere,

2 2 1 1 1 0 1 0 1

t t

  

 

    

  

 

W T X [ ^{X X X 1, t 2, t 3, t} ]

U

_t

S

_{1 ,t}

S

2 ,t

righ ¿

¿ ¿

¿

[

¿

^{] [}

¿

^]

¿

= [ ^X

^{3 ,t}

^{+2 X X}

^{2 ,t}3 , t

^{X −} −

^{2 , t}

^X X ^{−2 X}

^{1 , t}_{1 , t} ^{1 , t}

] ^{=¿ ¿}

¿

dönüşümü orijinal serinin durağan ve birim köklü lineer birleşimlerini ayırmaktadır ⊗

Buraya kadar, birinci dereceden vektör otoregresif zaman serisi modeli incelendi. Tek değişkenli zaman serilerinde olduğu gibi yüksek dereceden modeller ele alınabilir. Yüksek dereceden modeller de VAR(1) modeli gibi yazılabilir. Örneğin, e _t ~ WN ( , ) 0  olmak üzere, VAR(p) modeli,

1 1 2 2 ...

t  t   t    p t p   t

X A X A X A X e

şeklinde verilmiş olsun. Bu model, VAR(1) şeklinde ifade edilebilir. Bunun için, değişkenler ve parametre matrisi

 

*

1 ... 1

t  t   t     t p    

X X X X

, ^{e * t }  ^{e  t   0 0   ...  0 }  ^

ve

1 2 3 . . 1

0 0 . . 0 0

0 0 . . 0 0

. . . . .

. . . . .

0 0 0 0 0

0 0 0 0

p  p

 

  

 

  

 

  

 

 

 

  

 

A A A A A

I I A

I

olarak seçildiğinde, verilen VAR(p) modeli X ^{t *}  A X ^{t *  1}  e ^{t *} _şeklinde VAR(1) modeline dönüşür. Böyle bir yazılış ile, serinin VAR(p) veya VAR(1) olarak modellenmesinde karekteristik kökler aynıdır. Ayrıca, parametre matrisinin EKK tahmin edicisinin hesaplanması kısmen kolaydır.

Vektör ARMA modelleri, tek değişkenli serilerde olduğu gibi, durağanlık modelin AR kısmının karekteristik denkleminin köklerine bağlıdır. Bu nedenle, vektör ARMA serileri üzerinde fazla durulmayacaktır. Vektör ARMA zaman serisi modeli de VAR(1) gibi yazılabilir.

Örnek 6.2.4 İki değişkenli VAR(2) modeli e _t ~ WN ( , ) 0  olmak üzere,

X1 ,t X2 ,t

¿ rig¿¿¿ h

[] =[¹0^..⁴1¿ ⁰1^.. ³1 ] X1,t−1

X2,t−1

¿ rig¿¿ h

¿

[] −[⁰0^.. ⁴0⁸6¿ ⁰0.^.12²8 ] X1,t−2

X2,t−2

¿ rig¿¿¿ h [] +

¿ e1 ,t e2¿,t

¿ [¿ ]¿

¿

¿

şeklinde verilmiş olsun. İki değişkenli VAR(2) modelinin dört değişkenli VAR(1) modeli olarak yazılabileceğini ve VAR(2) modeline karşılık gelen karekteristik denklem ile VAR(1) modeline karşılık gelen karekteristik denklemin aynı olduğunu görelim. Önce iki değişkenli VAR(2) modeline karşılık gelen karekteristik denklem, det( λ ² I ₂ − λ A ₁ − A ₂ )=0 _olup,

bu determinantı hesaplamak için  ² I ²   A ¹  A ² _matrisi,

2 2

2

2

0 1.4 0.3 0.48 0.12 0.1 1.1 0.06 0.28 0

1.4 0.48 0.3 0.12 0.1 0.06 1.1 0.28

  

 



  

  

     

 

     

   

 

 

     

  

   

 

 

olarak yazıldığında matrisin determinantı,

2 2 1 2

4 3 2

det( ) ( 0.6) ( 0.8) ( 0.7) ( 0.4)

(0.3 0.12) (0.1 0.06)

2.5 2.27 0.89 0.1272

I  A  A     

  

    

     

 

   

olur. Modeli yukarıdaki gösterime göre VAR(1) olarak yazıp karekteristik denklemini bulalım. Bunun için,

A= [ ^{−I A 1 A 0 2} ] ⁼ [ −1.4 −0.3 0.48 0.12

−0.1 −1.1 0.06 0.28

−1 0 0 0

0 −1 0 0 ]

olup,

 

* t t 1

X t  X X    _    X 1, _t , X 2, _t , X 1, 1 _{t } , X 2, 1 _{t }   ve

 

* t  t    0 

e e  ( e e _{1, t} , _{2, t} , 0, 0)

yazıldığında yeni model, X ^{t *}  A X ^{t *  1}  e ^{t *} olur. Bu modelin karekteristik denklemi ise, det( λ I ₄ − A )=0 dir. Bu modelin karekteristik denklemi için   I ⁴ A matrisi

4

0 0 0 1.4 0.3 0.48 0.12 0 0 0 0.1 1.1 0.06 0.28

0 0 0 1 0 0 0

0 0 0 0 1 0 0

I A

 

   

     

   

  

    

    

   



 





1.4 0.3 0.48 0.12 0.1 1.1 0.06 0.28

1 0 0

0 1 0

 

 

   

 

   

  

 









dir. Modelin karekteristik denklemi, bu matrisin determinantıdır. Buradaki 4×4 boyutlu matrisin determinantı,

1 2 3 4 2

0.48(0.28) 0.12(0.06) 0.1272

0.3(0.06) 0.48( 1.1) 0.48 0.51 0.28( 1.4) 0.1(0.12) 0.28 0.38 ( 1.4)( 1.1) 0.03 2.5 1.51 D

D D D

 

 

   

  

      

    

      

olmak üzere,

4

2

0.3 0.48 0.12 1.4 0.3 0.12

det( ) det 1.1 0.06 0.28 det 0.1 1.1 0.28

1 0 0 1

det det

det det

0.48 0.12 0.3 0.48 0.06 0.28 1.1 0.06

1.4 0.12 1.4 0.3

0.1 0.28 0.1



   

 



 



 

  

      

 

 

 

   

   

   

   

   

    

    

   

  

 

   

 

I A

1 2 3 2 4

1.1 D  D  D  D



   

 

  

 

olarak bulunmuştur. D ⁱ değerlerinin yerine konursa iki denklemin aynı olduğu görülür. Yani,

4 3 2

4

2

2 1 2

det( ) 2.5 2.27 0.89 0.1272

det( )

    

 

     

  

I A

I A A

iki değişkenli VAR(2) modelini dört değişkenli VAR(1) modeli şeklinde yazıldığında, karekteristik denklemler aynıdır ⊗

Herhangi bir VAR(p) modelinin VAR(1) olarak yazılması, işlemlerin daha

kolay yürümesi açısından önemlidir. VAR(p) şeklinde yazılan bir modelin

gecikme derecesinin belirlenmesi gerekir. Çok değişkenli VAR

modellerinde, gecikme derecelerinin belirlenmesi tek değişkenli zaman serilerinde olduğu gibi kolay değildir. Burada, işlemlerin daha kolay yürümesi açısından sadece VAR(1) modeli üzerinde durulmuştur.

Son olarak, iki değişkenli ARMA(1,1) modelini ele alalım. Bu model

~ ( , )

e _t WN 0  olmak üzere,

X1 ,t X¿2 ,t rig¿ h

¿

¿

[] =[ ⁰0^.. ⁵3¿ ⁰0 ^.. ³5 ] X1 ,t−1

X2¿,t−1 rig¿¿¿ h

e1 ,t e2¿,t rig¿ h

¿

¿

[ ] +[ ⁰0^{. 2}¿ ⁰0^{. 1} ] e1 ,t−1

e2 ,t−1

¿ r[ ¿ig¿] ¿h

¿ ¿

olarak verilmiş olsun. Modeli matris ve vektörler türünden

1 1

t  t    t t 

X A X e B e

olarak yazalım. A matrisinin öz değerleri (

2

det( A   I 2 )      0.16 0 

denkleminin kökleri ) λ ₁ =0.2 _ve λ ₂ =0.8 olup, her ikiside mutlak değerce 1 den küçüktür. Yani model durağandır.

6.3. Vektör Otoregresif Serilerde Tahmin

Tek değişkenli zaman serilerinde olduğu gibi, vektör zaman serilerinde de parametre değerleri verildiğinde serinin durağanlığı kolayca görülür. Çok değişkenli zaman serilerinde en önemli amaç serinin bileşenleri arasında öngörülebilir yani durağan lineer birleşimin araştırılmasıdır. Başka bir deyişle, serinin bileşenleri arasındaki kointegrasyon ilişkisinin belirlenmesidir. Böyle bir ilişki belirlendiği zaman, serinin durağan lineer birleşimleri üzerinden istatistiki sonuç çıkarımlar yapılır.

1

t  t   t

X A X e olarak verilen VAR(1) modeli için A _matrisi

biliniyorsa, bu ilişkinin belirlenmesi kolaydır. A matrisi bilinmiyorsa da

tahmin edilmesi gerekir. Değişik tahmin yöntemleri bulunmakla birlikte, tek

değişkenli serilerde olduğu gibi VAR(1) modeli de, çok değişkenli regresyon

modeline benzer. Buradan, A nın EKK tahmin edicisi çok değişkenli

regresyon teknikleri ile elde edilir. VAR(1) modeli, e _t ~ WN ( , ) 0 

olmak üzere,

1 ,

t  t   t

X A X e t=1, 2, 3, ..., n

şeklinde verilmiş olsun. Bu gözlemlere göre, A nın EKK tahmin edicisi,

1

1 1 1

1 1

ˆ ^{n n}

n t t t t

t t



  

 

     

    

     

A X X X X

dir. Bu tahmin edici X ^t _yerine A X _{t  1}  e _t yazıldığında,

 

1

1 1

1 1

1 1

1 1 1

1 1 1 1

1 1

1 1 1 1

ˆ ^{n n}

n t t t

t t

n n n n

t t t t

t t t t



 

 

 

  

   

 

   

 

 

   

 

   

   

   

       

       

       

 

   

t t

t t t t

A AX e X X X

A X X X X e X X X

1 1

1 1

1 1

n n

t t

t t





     

     

   

  t    t 

A e X X X

olarak yazılabilir.

Örnek 6.3.1 Türkiye’nin 1923-2003 dönemi yıllık ihracat ve ithalat miktarlarını (ABD Doları) göz önüne alalım. İhracat ( X ) ve ithalat ( ^t Y ) ^t miktarlarının yıllara göre değerleri aşağıdadır.

Seri ACF PACF

X t

0 10 20 30 40 50 60 70 80

121416

Lag

ACF

0 5 10 15

-0.20.00.20.40.60.81.0

S eries : x

Lag

Partial ACF

0 5 10 15 -0.20.00.20.40.60.81.0 Series : x

Y t

0 10 20 30 40 50 60 70 80

12141618

Lag

ACF

0 5 10 15

-0.20.00.20.40.60.81.0

Series : y

Lag

Partial ACF

0 5 10 15 -0.20.00.20.40.60.81.0 S eries : y

log ( /1000)

X  ihracat _ve Y  log ( ithalat /1000) _olmak üzere, her iki seriye ait zaman serileri grafikleri yukarıdadır. Grafiklerinden kısmi otokorelasyonlar (her ikisi) birinci gecikmeden sonra sıfıra yakındır.

Her iki serinin de otokorelasyonlarındaki azalma yavaştır. Verilerin durağan olmayan AR(1) olarak modellenmesi uygun görünmektedir. Bu sonuçlar AIC ve SBC istatistiklerinin değerleri ile de desteklenmektedir.

Verilere X ^t  A X ^{t  1}  e ^t şeklinde VAR(1) modelinin uygun olduğunu

varsayalım. Buna göre, A matrisinin EKK tahmini,

1

1 1 1

1 1

ˆ ^{n n}

n t t t t

t t



  

 

   

 

    

     

A X X X X

15169.92 15534.57 15073.83 15435.64 1

15530.37 15910.89 15435.64 15815.17 0.9459025 0.0590547 0.946 0.059 0.1517718 0.8579228 0.152 0.856

    

    

   

   

     

   

olarak hesaplanmıştır.

Karekteristik denklemin kökleri det( λ I ₂ − A )=0 determinantının çözümü ile elde edilir. Burada λ I ₂ − A _matrisi,

0.946 0.059 0.152 0.856

 



 

 

       

I A

determinantı da

det(  I A  ) (    0.946) (   0.856) (0.059)(0.152)  olarak bulunmuştur.

Veriler

Yıl İhracat İthalat Yıl İhracat İthalat

1923 50590 86872 1964 410771 537229

1924 82435 100462 1965 463738 571953

1925 102700 128953 1966 490508 718269

1926 96437 121411 1967 522334 684669

1927 80749 107752 1968 496419 763659

1928 88278 113710 1969 536834 801236

1929 74827 123558 1970 588476 947607

1930 71380 69540 1971 676602 1170841

1931 60226 59935 1972 884969 1562554

1932 47972 40718 1973 1317083 2086214

1933 58065 45091 1974 1532182 3777555

1934 73007 68761 1975 1401075 4738558

1935 76232 70635 1976 1960214 5128647

1936 93670 73618 1977 1753026 5796278

1937 109225 90540 1978 2288163 4599024 1938 115019 118899 1979 2261157 5069431

1939 99647 92498 1980 2910122 7909443

1940 80904 50035 1981 4702934 8933365

1941 91056 55349 1982 5745973 8842664

1942 125115 112879 1983 5727833 9235001

1943 196734 155340 1984 7133602 10756922