• Sonuç bulunamadı

KONU 6:

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "KONU 6:"

Copied!
7
0
0

Yükleniyor.... (view fulltext now)

Tam metin

(1)

1

KONU 6: DOĞRUSAL PROGRAMLAMA MODELİ İÇİN ÇÖZÜM YÖNTEMLERİ – III 6.1. Simpleks Tablo

Simpleks algoritmasında en iyi çözüm, verilen d.p.p. için bir temel uygun çözümden başlanarak, ardışık sayısal işlemlerle araştırılır. Bu işlemler, temel değişken vektöründe olmadığı halde amaç fonksiyonunu istenilen yönde etkileyen değişkenleri araştırmak ve temel değişken vektörüne uygun bir değişkenin alınması biçiminde işlemleri yinelenmektedir. Ardışık sayısal işlemlerde, temele alınacak ve temelden çıkacak değişkenleri belirlemede kolaylık sağlaması, ayrıca en iyi çözüm için “yok”, “tek”, “birden fazla”, “sınırsız” sonuçlarının rahatlıkla elde edilebilmesi amacıyla Simpleks algoritmasından yararlanılarak, tablo kullanılarak çözüm yöntemi geliştirilmiştir. Bu amaçla kullanılan tablolara “Simpleks Tablosu” denilmektedir.

En iyi çözümü elde edilmek istenilen d.p.p.

min Z A    cX X b X 0 (6.1)

(2)

2 Burada,

:

B

C Temelde yer alan değişkenlere ilişkin fiyat kolonudur. :

V

T Temelde yer alan değişkenlerin kolonudur. :

B

X Temel uygun çözüm değeri kolonudur. :

Z Amaç fonksiyonu değeridir.

: j

y Her bir değişkene ilişkin yjB1a , j j1,2,...,n ifadesi ile hesaplanır.

: j

c Standart biçimde tanımlı d.p.p.’ne ilişkin değişkenlere ait fiyat değerleridir.

:

j j

Zc En iyilik ölçütü kontrol edilir, j1,2,...,n.

(En küçükleme probleminde Zj cj 0 ve en büyükleme probleminde Zj  cj 0 olması istenir.)

(6.1) ifadesi ile tanımlı d.p.p.’ de gerekli ayrışımlar yapılarak, temel değişkenlerin temel dışı değişkenler biçiminde ifade edilebileceği simpleks algoritmasında

1 1

B B B N N

 

 

X b X (6.2)

biçiminde gösterildi. XN0 olduğundan, XBB1b dir. XB0 ise, bir temel uygun çözüm (uç nokta) elde edilir.

1 1

0 0 0 0 B B N N B B N N B N N N Z Z Z Z BB N                 cX X c c X c X c X c b X c X (6.3) olup,

1 1 B B N N Zc Bbc B N c X (6.4) dır. Böylece, amaç fonksiyonu temel dışı değişkenlerin fonksiyonu olarak yazılmış olur.

N

X 0 olduğundan, amaç fonksiyon değeri 1

B

Zc Bb (6.5)

(3)

3

Simpleks tablo ile yapılacak en iyileme çözümlemesi aşağıdaki adımlar ile ifade edilebilir.

Adım 1: Başlangıç simpleks tablo oluşturulur.

(6.1) ifadesi ile verilen d.p.p. modeli, uygun işlemlerden sonra sağ yan değerler için b 0 ve A katsayılar matrisinde bir birim matris olacak biçimde düzenlenir. Birim matrise karşı gelen değişkenler, temel değişkenler olmak üzere simpleks tablo düzenlenir. Tabloda temel dışı değişkenlere karşı gelen değerler sıfır olmalıdır. (6.1) ile tanımlı d.p.p. modelinde kısıtlar eşitlik biçiminde iken A katsayılar matrisinde bir birim matris yok ise, modele yeni değişken eklenmesi (yapay değişken kullanılması) ile birim matris oluşturulur. Bu yöntemler Konu 7’ de anlatılacak olan “Charnes’in M Yöntemi (Büyük M Yöntemi)” ve “İki Evreli Yöntem” dir.

Adım 2: En iyilik ölçütünün sağlanıp sağlanmadığına bakılır.

(6.1) ile tanımlı d.p.p. modeli için simpleks tablonun alt satırında yer alan tüm zj cj 0 ise, en iyilik ölçütü sağlanmıştır. Tabloda bulunan temel değişkenlerin aldığı değerler en iyi çözüm değerini verir. En az bir temel dışı değişkene ilişkin zj cj 0 ise, birden fazla uç noktada en iyi çözüm var demektir (seçenek/alternatif çözüm). En iyilik koşulları sağlanmıyor ise, Adım 3’ e geçilir.

Adım 3: Temele alınacak değişken belirlenir.

max : 0

k k j j j j

Z  c Zc Zc  ölçütü kullanılarak temele alınacak değişken belirlenir. Bu değişken, X olsun. k X değişkeninin bulunduğu kolon seçilerek, Adım 4’ e geçilir. Birden k fazla değişkenin Zjcj değerlerinin aynı olması durumunda bunlardan keyfi biri seçilir.

Adım 4: Temelden çıkacak değişken belirlenir.

k

X değişkeninin bulunduğu kolon y olup, k

1 2 .... ...

ky k y k yrk ymk

y

dır. Temeldeki değişkenlerin aldığı değerler X ’ ye bağlı olarak B 1 1 2 2 ... ...

k k B k B rk Br mk Bm

(4)

4 1 1 2 2 1, 1, ... 1 1 , 0 rk Br k k B k B mk Bm m k ik Bi i i r m Br k ik Bi rk i i r rk rk y X u y X y X y X u y X X u y X y y y             

1 1 2 2 1 1 2 2 1, 1, 1, 1, ... ... 1 1 ... ... 1 j j B j B rj Br mj Bm m j B j B rj k ik Bi mj Bm i i r rk rk m m ik ij Bi rj Bi k i i r i i r rk rk m rj ik ij rj Bi k i i r rk rk u y X y X y X y X y X y X y u y X y X y y y y X y X u y y y y y y X u y y                                         

Yeni değerler: ˆ , ˆ , Bi Bi Br k X X i r X u i r        ˆ , ˆ , ik ij ij rj rk rj rj rk y y y y i r y y y i r y         1, 1, ˆ ˆ ˆ ˆ j j B j j m Bi ij Br rj j i i r m rj ik Bi ij rj Br j i i r rk rk Z c c c y c y c y y c y y c c y y                     

c y ˆ , ˆ , Bi Bi Br k c c i r c c i r    

(5)

5

Burada, y pivot eleman olarak adlandırılır. Oluşturulacak yeni simpleks tablo aşağıdaki rk gibidir: 1 c c kc n B C T V X B y 1y ky n 1 B C X 1 1 1 Br B k rk X X y y  1 11 r1 k rk y y y y  … 0 … 1 1n rn k rk y y y y  2 B C X 2 2 2 Br B k rk X X y y  2 21 r1 k rk y y y y  … 0 … 2 2n rn k rk y y y y  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Br C X r Br rk X y 1 r rk y y … 1 … rn rk y y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bm C X m Br Bm mk rk X X y y1 1 mk m r rk y y y y  … 0 … mk mn rn rk y y y y

Br k k rk X Z z c y  

1

1 1 r k k rk y Z c Z c y    … 0 …

rn

n n k k rk y Z c Z c y   

Simpleks tablosunda yeni satır işlemleri yapılarak, tablo yukarıdaki biçimde düzenlenir. Adım 2’ ye dönülür.

Algoritmanın 1. Adımı bir defa gerçekleştirilerek, işlemler Adım 2 - Adım 5 arasında en iyilik ölçütü sağlanıncaya kadar tekrarlanır.

Örnek: 1 2 1 2 1 2 1 2 : max 3 2 2 3 12 6 3 24 , 0 P Z X X X X X X X X       

biçiminde tanımlı d.p.p.‘ nin simpleks tablo ile en iyi çözümünü bulunuz.

Çözüm:

(6)

6 1 2 3 4 1 2 3 1 2 4 1 2 3 4 : max 3 2 0 0 2 3 12 6 3 24 , , , 0 P Z X X X X X X X X X X X X X X            2 3 1 0 6 3 0 1 A     , 12 24       b

3 4

1 0 0 1 B I   a a Tablo-I 3 2 0 0 B C T V X B y 1 y 2 y 3 y 4 0 X 3 12 2 3 1 0 0 X 4 24 6 3 0 1 0 Z -3 -2 0 0 0 olmalı 1

X değişkeni temele alınır. 12 24

min , 4

2 6

 

 

  ölçütüne göre, X değişkeni temelden çıkar. 4 Burada, 6 pivot elemandır.

Tablo- II 3 2 0 0 B C T V X B y 1 y 2 y 3 y 4 0 X 3 4 0 2 1 -1/3 3 X 1 4 1 1/2 0 1/6 12 Z 0 -1/2 0 1/2 0 olmalı 2

X değişkeni temele alınır.

4 4

min , 2

2 1 / 2

 

 

  ölçütüne göre, X değişkeni temelden çıkar. 3 Burada, 2 pivot elemandır.

(7)

7 Tablo-III’ te görüldüğü gibi en iyilik ölçütü sağlandı.

Referanslar

Benzer Belgeler

Ödeme gücünde, bireylerin kamu hizmetlerinden sağladıkları fayda ile doğrudan ilişki kurulmaksızın sahip oldukları ödeme gücü ile alınan vergiler arasında ilişkin

Cilt bakımı: İdrar inkontinansı olan hastaların cildi tahriş olur. Çünkü idrarın asidik yapısı cilde temas edince amonyağa dönüşür ve ciltte tahriş edici etkisini

İkinci hafta ise büyü, bilim ve din konusundaki temel argümanlar eşliğinde din antropolojisinin bilgi ürettiği temel bir konuya..

Adım 4: Temelden çıkacak değişken için bilinen ölçüt kullanılır ve Adım 5’e geçilir.. Adım 5: Bilinen pivot işlemleri uygulanarak yeni Simpleks tablo

Bir matematiksel programlama probleminde, amaç fonksiyonu ile kısıtların bazıları ya da tümü doğrusal olmayan ifadeler ise, probleme, doğrusal olmayan

Borcunu vadesinde ödemiyenlere ait malları elinde bulunduran üçüncü şahıslardan bu malları 15 gün içinde bildirmeleri istenir... Kendisine ödeme emri tebliğ olunan

Hastalık etmeninin belirtileri yaprak üzerinde aşağı ve yukarı doğru uzayan koyu kahverengi çizgiler olarak görülmektedir.. Çizgiler başlangıçta yaprak yüzeyinde

Pozitif psikoloji çerçevesinde gerçekleştirilen araştırmalarda tevazu, daha ziyade bir karakter özelliği (disposition/trait) olarak ele alınmaktadır. Ancak bununla