B- Yaygınlık Ölçüleri

B- Yaygınlık Ölçüleri

1. Standart Sapma ve Varyans 2. Değişim Katsayısı

3. Standart Hata 4. Dağılım Aralığı

Yaygınlık Ölçüleri

Bir dağılımdaki değerlerin ortalamaya olan uzaklıkları farklılıklar gösterir.

Bu farklılıkların derecesi dağılımın

yaygınlığı kavramını oluşturur. İki dağılım aynı ortalama, ortanca ya da tepe

değerine sahipken yaygınlıkları farklı olabilir.

Dağılım I Dağılım II

6

1 6 15

6 2

3 7 6 5 6 9 6 X

D.

Tepe

6 Ortanca

6 X







Dağılım I’deki değerlerin aritmetik ortalamaya olan uzaklığı dağılım II’ye göre daha fazladır.

Dağılım I dağılım II’ye göre daha yaygındır.

6 D.

Tepe

6 Ortanca

6 X







Dağılımların yaygınlığı hakkında bilgi veren ve en çok kullanılan ölçüler

* Dağılım Aralığı

* Standart Sapma

* Varyans

* Standart Hata

* Değişim Katsayısı

Dağılım Aralığı

Dağılım aralığı en basit yaygınlık ölçüsüdür.

Dağılımdaki en büyük değerden en küçük değerin çıkartılması ile bulunur.

R ile gösterilir

R= En Büyük Değer-En Küçük Değer

Dağılım aralığı dağılımdaki diğer değerlerden oldukça farklı değerler alan aşırı değer(ler)den

etkilenir.

Dağılımda yalnızca 2 gözleme ilişkin değer dikkate alındığı için kaba bir yaygınlık

ölçüsüdür.

Gözlemlerin çoğunun en büyük yada en küçük değere yakın olduğu durumlarda da

gerçek değişkenlik hakkında bilgi vermez.

Standart Sapma

Bir dağılımın yaygınlığını gösteren en önemli yaygınlık ölçülerinden biridir.

Dağılımdaki tüm değerlerin aritmetik

ortalamaya olan uzaklıklarının ortalamasıdır.

Standart sapma büyüdükçe dağılımın yaygınlığı artar. Dağılımdaki değerler aynı ise yaygınlık

yoktur ve standart sapma sıfırdır. Standart

sapma hesaplanırken dağılımdaki tüm değerler dikkate alınır. Standart sapmanın, ortalama ölçüsü olarak aritmetik ortalama kullanıldığında

bir yaygınlık ölçüsü olarak kullanılması önerilmektedir.

Çarpık dağılımlarda kullanılması önerilmez.

Standart sapma s ile gösterilir.

Sınıflandırılmış ve sınıflandırılmamış verilerde farklı formüllerle hesaplanır.

Sınıflandırılmamış verilerde standart sapma

1

1

2

1 2





 



 

  

 

n

x x

s

n i

n i

i i

Örnek:Yukarıda ortalama, ortanca ve tepe değerleri aynı olan dağılımların standart

sapmasını hesaplayalım.

Dağılım I için Standart Sapma

 

94 , 1 4

6

6 ) 36 338 (

1296 36

2 6

15 6

1 6

338 2

6 15

6 1

6

2

2 2 6 2

1 2

1 1

6 1

2 2

2 2

2 2

2 2

 

 















 





 



 























 





 

s

x x

x x

i i

n

i i

n

i i i i

Bu dağılımdaki değerler aritmetik ortalama etrafında ortalama ±4,94 birimlik

değişkenliğe sahiptir.

Dağılım II için Standart Sapma

 

1 2 6

6 ) 36 236 (

1296 36

9 6

5 6

7 3

236 9

6 5

6 7

3

2

2 2 6 2

1 2

1 1

6 1

2 2

2 2

2 2

2 2

 

 















 





 



 























 





 

s

x x

x x

i i

n

i i

n

i i i i

Bu dağılımdaki değerler aritmetik ortalama etrafında ortalama ± 2 birimlik değişkenliğe sahiptir. Buna göre ikinci dağılımın yaygınlığı

birinciye göre oldukça düşüktür.

Varyans

Standart sapmanın karesine varyans denir (s²). Varyansın

birimi karesel olduğu için

yaygınlık ölçüsü olarak veriyi tanımlamakta pek kullanılmaz.

Değişim Katsayısı (DK)

Standart sapma bir dağılımın yaygınlığını gösteren ölçülerden birisidir. Ancak standart

sapmanın büyüklüğüne bakarak bir dağılımın yaygınlığı konusunda yargıya

varmak güçtür.

İki ya da daha fazla dağılımın yaygınlığını karşılaştırmak istediğimizde standart

sapmayı doğrudan kullanamayız.

2- Değişim Katsayısı

• Değişim Katsayısı:

standart sapmanın ortalamaya göre

gösterdiği değişimin

yüzde olarak ifadesidir.

100 .  

X K S

D

D.K ≤ 20 ise dağılım Homojen D.K > 20 ise dağılım Heterojen

Dağılımın yaygın olup olmadığına karar verebilmek için değişim katsayısını

hesaplamalıyız.

Değişim katsayısı dağılımdaki değerlerin ortalamaya göre yüzde kaçlık bir değişim

gösterdiğini belirtir.

 100

 x

DK s

DK’nın sıfıra yaklaşması dağılımın yaygınlığının azaldığını gösterirken DK’nın %20’in üzerinde

olması incelenen dağılımın oldukça yaygın olduğunu gösterir.

Dağılım I Dağılım II

3 , 82 6 100

94 ,

4  



DK 100 33.3

6

2  

 DK

Dağılım I’deki değerler ortalamaya göre

%82,3’lük bir değişim gösterirken, dağılım II’deki değerler %33,3’lük bir

değişim göstermektedir.

Sınıflandırılmamış Verilerde Standart Sapma

1 1

1

2

2







   



n n

i i

S

n

i i

x x

30 adet Laboratuvar faresinin hemoglobin değerlerinin standart hatası

Denek

No Hb Xi Hb X_i²

1 13,0 169,00

2 13,6 184,96

3 14,0 196,00

. . .

. . .

29 15,0 225,00

30 10,3 106,09

Toplam 366,0 4523,26

 

41 , 1 1

30 26 30 ,

4523 366 ²



 

  S

Sınıflandırılmış Verilerde Standart Sapma

Belirli bir süre beslenen sığırların canlı ağırlık artışının standart sapması

Ağır.Art f b fb b² fb²

15-19 50 -3 -150 9 450

20-24 75 -2 -150 4 300

25-29 100 -1 -100 1 100

30-34 150 0 0 0 0

35-39 90 1 90 1 90

40-44 70 2 140 4 280

45-49 45 3 135 9 405

toplam 580 -35 1625

 

 

37 , 1 8

580 1625 580 5

1

35 ²

2 2



 

 



 







S

n f n c

S

b fb

3- Standart Hata

Aritmetik ortalama standart hata ile birlikte verilmelidir.

Sınıflandırılmış ve sınıflandırılmamış verilerde aynı formül kullanılır.

n

S ^{x } S