34 RMVM == 44,2 ⋅= Rd

1

5. BÖLÜM : YERSEL GEZEGENLER (Merkür, Venüs, Yer ve Mars)

5.8. Gezegenin ve uydularının yoğunluklarını aynı kabul ederek Mars'ın Roche limitlerini hesaplayınız ve sonuçlarınızı Deimos ile Phobos uydularının yörüngeleriyle karşılaştırınız.

C: Roche limitini veren formül; _gezegen uydu gezegen Ara R d = ⋅

ρ

ρ

44 , 2

kg

M

kg

M

kg

M

km

R

phobos deimos mars mars 16 15 23

10

07

,

1

10

8

,

1

10

4

,

6

3394

×

=

×

=

×

=

=

3 3 4 R M V M

π

ρ

= =

Phobos ve Deimos’un küresel yapıda olmadığı için hacimleri:

(

)

3 20 3 3 12 3 13 10 63 , 1 3394000 3 4 10 98 , 1 11000 12000 15000 10 07 , 1 19000 21000 27000 m V m V m V mars deimos phobos × = = × = × × = × = × × =

π

3 3 12 15 3 3 13 16

/

09

,

909

10

98

,

1

10

8

,

1

/

1000

10

07

,

1

10

07

,

1

m

kg

m

kg

m

kg

m

kg

deimos phobos

=

×

×

=

=

×

×

=

ρ

ρ

955

/

3

2

kg

m

dei pho

+

₌

>=

<

ρ

ρ

ρ

3 20 23

/

3

,

3926

10

63

,

1

10

4

,

6

m

kg

kg

mars

_×

=

×

=

ρ

(

km

)

d

a

(

km

)

a

km

km

d

deimos roche phobos roche

21000

9377

6

,

13266

3394

955

3

,

3926

44

,

2

3

<

<

=

⋅

=

2

5.12. Hidrostatik denge denklemini kullanarak Merkür, Venüs ve Mars'ın merkezi basınçlarını karşılaştırınız. C: km R kg M km R kg M km R kg M mars mars venus venus merkür merkür 3394 10 4 , 6 6052 10 86 , 4 2440 10 29 , 3 23 24 23 = × = = × = = × =

(

)

3 3 23 3 / 5406 2440000 3 4 10 29 , 3 3 4 kg m kg R M Merkür = × = =

π

π

ρ

(

)

3 3 24

/

5234

6052000

3

4

10

86

,

4

m

kg

Venüs

=

×

=

π

ρ

(

)

3 3 23 / 3908 3394000 3 4 10 4 , 6 m kg Mars = × =

π

ρ

2 2 3 2 R G P_c =

π

<

ρ

> formülünden:

(

) (

)

Pa P Merkür c 10 2 2 11 10 418 , 2 2440000 5406 10 67 , 6 3 2 × = ⋅ ⋅ × =

_π

−

(

) (

)

Pa P Venüs c 11 2 2 11 10 394 , 1 6052000 5234 10 67 , 6 3 2 _{× ⋅ ⋅ = ×} =

_π

−

(

) (

)

Pa P Mars c 10 2 2 11 10 445 , 2 3394000 3908 10 67 , 6 3 2 × = ⋅ ⋅ × =

_π

− Merkür Mars Venüs c c c P P P > >

5.13. Mars'ın ortalama albedosu A= 0,16'dır. Enberi noktasında öğlen vakti yüzey sıcaklığı ne kadardır? Enöte noktasında ne kadardır? Gözlemsel olarak elde edilmiş olan 210-300 K sıcaklıkları ile karşılaştırınız.

C:

Mars’ın yörünge yarı büyük eksen uzunluğu (a) ve yörünge dış merkezliği/basıklığı (e) şöyledir:

0934

,

0

,

5237

,

1

=

=

_mars mars

AB

e

a

3

AB

e

a

a

a

AB

e

a

a

a

enöte enberi

666

,

1

0934

,

0

5237

,

1

5237

,

1

.

3813

,

1

0934

,

0

5237

,

1

5237

,

1

.

=

⋅

+

=

+

=

=

⋅

−

=

−

=

Gezegenin yüzey albedosu

A

_mars

=

0

,

16

. Kullanılacak formül:

(

1

)

. 1 , 394 1/4 p r A

T = − burada rp, AB cinsinden Güneş-gezegen uzaklığıdır.

(

)

K Tenb 320,8O 3813 , 1 1 . 16 , 0 1 . 94 , 3 − 1/4 =

(

)

K T_enöte 292,12O 666 , 1 1 . 16 , 0 1 . 94 , 3 − 1/4 =

Mars gezegeninin gözlemlerden belirlenen yüzey sıcaklığı ise,

T

_gözlenen

:

210

−

300

o

K

arasında

kalmaktadır. Yani gözlenen yüzey sıcaklığı, 300oK (en yüksek) değeri ile 210oK (en düşük) değeri

arasında değişmektedir. Teorik yolla bulunan yukarıdaki değerler ise

292

o

K

ile

320

o

K

arasında kalmaktadır. Gözlemsel değer

(

210

o

K

),

teorik beklenen sıcaklıktan ~80oK daha düşüktür. Bu

sonuç Mars atmosferinin ısıyı iyi tutamayacak bir yapıda olduğunun göstergesidir.

5.14. 19.yy'ın sonlarında Percival Lowell Mars yüzeyinde büyük kanala benzer yapılar gördüğünü ileri sürmüştür. Fakat bu dönemdeki diğer astronomlar bahsedilen kanalları görememişlerdir. Yer'de bulunan teleskopların ayırma güçleri dikkate alındığında Mars yüzeyinde görülebilecek yapıların büyüklükleri ne olabilir? İyi bir teleskop için açısal ayırma gücü teleskobun optik sistemi, tarafından değil atmosferik görüş tarafından sınırlandırılır. Mükemmel bir görüşe sahip bir gözlem gecesi için bu ayırma gücü 1 yay saniyesi kadardır. En iyi gözlemevlerinde mükemmel atmosferik görüşün olması durumunda en fazla ~0.3 yay saniyesi kadar bir açısal ayrıklığın ölçülmesi mümkündür.

(a) Karşılaşma konumunda Mars'ın açısal çapı ne kadardır?

(b) Mars'taki en büyük yüzey oluşumlarından birisi “Valles Marineris”tir. Boyutları 5000x500 km'dir. Karşılaşma konumunda “Valles Marineris” (V.M.)’in açısal boyutuları ne kadardır? Bu yapı Yer'den gözlenebilir mi?

(c) Karşılaşma konumunda, 1 km enindeki bir kanalı görebilmek için kabaca ne kadarlık bir açısal ayırma gücüne gereksinim duyulur? Lowell bu boyuttaki kanalları görebilir miydi?

4 Açısal çap:       = .d /D 2 1 arctan . 2

δ

formülüyle verilebilir. Burada;

=

δ

Açısal çap

d

Mars

=

6788

km

d= cismin çapı D_YerMars ≅78555000 km

D= Cisimler arası uzaklık

3 . 0 8 1 82 , 7 1 78555000 6788 2 1 arctan . 2 ′ = ′′ ≈ ′′ =       = Mars

δ

b) 13 .13 78555000 5000 . 2 1 arctan . 2 . = ′′      = M V

δ

Evet Yer’den gözlenebilir.

c) 00025 , 0 78555000 1 2 1 arctan . 2 ′′ =       = Kanal

δ

O halde 1 km genişliğindeki bir kanalın Yer’den görülmesi (atmosferik etki nedeniyle) mümkün değildir. d)       = ′′ 78555000 . 2 1 arctan . 2 1 d

5

GÖK MEKANİĞİ – EK – PROBLEMLERİ

1. İki boyutlu bir kuvvet alanı için potansiyel enerji fonksiyonu

U

=

(

3

x

3

y

−

7

x

)

...

Joule

biçimindedir. Herhangi bir (x, y) noktasına etkiyen kuvveti bulunuz. C:

(

x y x

) (

x y

)

Newton x x U F_x 3 3 −7 = 7−9 2 ∂ ∂ − = ∂ ∂ − =

(

x

y

x

)

x

Newton

y

y

U

F

y 3 3

3

7

3

−

=

−

∂

∂

−

=

∂

∂

−

=

(

x y

)

i x j F = 7−9 2 ˆ−3 3ˆ Newton

2. Yeryüzünde

ϕ

=

40

o enlemindeki bir nokta için, Yer’in dönmesinden ileri gelen

ν

_θ teğetsel hızını hesaplayınız. Bu hız ekvator ve kutuplarda hangi değeri alır?

C: , . • =

θ

ν

θ r ‘dir. Burada;

ϕ

Cos

R

r

ve

km

R

_⊕

=

6375

₁

=

_⊕

.

olmak üzere; s rd s P 86400 7,3 10 / 2 2 −5 • × = = = =

ω

π

π

θ

Yer’in dönmesinden ileri gelen açısal hızdır. Yukarıda yerine yazarsak:

ω

ϕ

ω

θ

ν

θ r. r1. R⊕.Cos . • = = =

( )

rd s m s km s Cos 40o .7,3 10 . 360 / 0,36 / . 10 750 63 × 3 × 5 1 = = = − − θ

ν

Bu hız; ekvatorda

ν

_θ |_ekv=R_⊕.

ω

=470m/s=0,47km/s

6 b) Aynı nokta

(

o

)

40

=

ϕ

için merkezcil ivmeyi ve bunun Yer merkezi doğrultusundaki bileşenini hesaplayınız.

(

)

( )

2 2 2 / 026 , 0 40 . 6375 / 36 , 0 s m Cos km s km r a_r = −

ν

= − _o =−

Bu ivmenin merkez (O) yönündeki bileşeni 2

, a .Cos 0,016m/s

arm =− r

ϕ

=− olur. Bu ivmeyi Yer’in kütle çekim ivmesiyle

(

g

=

9

,

81

m

/

s

2

)

karşılaştırırsak, çok küçük

olduğunu görürüz.

3. 10 kg kütleye sahip bir yapay uydu, bir uzay aracıyla

2

R

_⊕ uzaklığında (

R

_⊕

=

6375 km

,

Yer’in ortalama yarıçapıdır), yarıçap vektörüne dik doğrultuda hangi hızla fırlatılmalı ki yörünge parabol olsun.

C: Parabolik yörünge için en düşük hız, cisimden kaçış (

ν

kaçış) hızına eşittir. O halde

3 24 11

10

6375

2

10

6

10

67

,

6

2

.

2

.

2

2

×

×

×

×

×

×

=

=

=

− ⊕ ⊕

R

M

G

R

GM

kacis

ν

s

km

s

m

kacis

=

7823

/

=

7

,

82

/

ν

hızla fırlatılırsa yörüngesi parabol olur.

4. Yer’de 200 cm yükseğe atlayan bir atlet, Ay’da ne kadar yükseğe atlayabilir? C: Çözüm için Yer ve Ay’ın kütle çekim ivmelerini oranlayalım:

kat M M R R R M G R GM g g ay yer yer ay ay ay yer yer ay yer 6 10 4 , 7 10 6 . 6375 1738 . . 22 24 2 2 2 2 2 ≅ × ×       = = =

Ay’da zıplayabileceği yükseklik h_Ay =6×200cm=1200cm=12m!!

7 C:

Parametre noktası (ucu), gökcisminin enberi

noktasından geçtikten sonra gerçek anomali açısının

( )

ν

tam 90o’ye ulaştığı yerdir.

Ky’a ait veriler:

A= 6,25 AB P= 60 yıl e= 0,3

Çözümde eksantrik anomali E değerine ihtiyacımız vardır. Hesabı ν cinsinden şöyle yapılır:

2

tan

.

1

1

2

tan

ν

e

e

E

+

−

=

Parametre ucunda

ν

=90o olacağından

2 90 tan . 3 , 0 1 3 , 0 1 2 tan + − = E ’den rd E E o o 266 , 1 54 , 72 27 , 36 2 ≡ ⇒ = = bulunur.

Kepler Denklemi olan,

(

t t

)

M E eSinE

P − 0 = = −

2

π

denklemini kullanarak parametre ucu ile enberi noktasından geçiş zamanı arasındaki süre olan

(

t

−

t

0

)

farkı hesaplanabilir.

(

)

1,266 0,3.

(

72 ,54

)

(

)

9,36 60 2 0 = − ⇒ − = − o o t t Sin rd t t yil

π

yıl

Bu süreyi 2 ile çarparsak, ky’ın kuyruğunun görüleceği süreyi bulmuş oluruz:

(

)

18

,

715

2

t

− t

₀

=

yıl.

6. 2 km yarıçapa sahip bir küçük gezegenin yoğunluğu

ρ

=3g/cm3 olduğuna göre, (a) bu küçük gezegenin yüzeyinden kurtulma (kaçış,

ν

kaçış) hızı ne olur? (b) Yeryüzünde kütlesi birim olan

cisme bu hız verilirse, cisim ne kadar yükselebilir?

8

s

m

G

kg

M

kaçiş

2

,

6

/

10

2

10

2

;

10

1

3 14 14

=

×

×

×

=

⇒

×

=

ν

b) Bu hızı yeryüzünde bir cisme verirsek: