FINITARY PERMUTASYON GRUPLARI. Yıldız AYDIN YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ ŞUBAT 2OO9 ANKARA

Yıldız AYDIN

YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK

GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

ŞUBAT 2OO9 ANKARA

Yard. Doç. Dr. Aynur ARIKAN

Tez Danışmanı, Matematik Anabilim Dalı

Bu çalışma, jürimiz tarafından oy birliği ile Matematik Anabilim Dalında Yüksek Lisans tezi olarak kabul edilmiştir.

Prof. Dr. Derya KESKİN TÜTÜNCÜ ……….

Matematik Bölümü, Hacettepe Üniversitesi

Doç. Dr. Ahmet ARIKAN ……….

Matematik Eğitimi Bölümü, Gazi Üniversitesi

Yard. Doç. Dr. Aynur ARIKAN ……….

Matematik Bölümü, Gazi Üniversitesi

Tarih 10/02/2009

Bu tez ile G.Ü. Fen Bilimleri Enstitüsü Yönetim Kurulu Yüksek Lisans derecesini onamıştır.

Prof. Dr. Nail ÜNSAL ……….

Fen Bilimleri Enstitüsü Müdürü

Tez içindeki bütün bilgilerin etik davranış ve akademik kurallar çerçevesinde elde edilerek sunulduğunu, ayrıca tez yazım kurallarına uygun olarak hazırlanan bu çalışmada bana ait olmayan her türlü ifade ve bilginin kaynağına eksiksiz atıf yapıldığını bildiririm.

Yıldız AYDIN

FINITARY PERMÜTASYON GRUPLARI (Yüksek Lisans Tezi )

Yıldız AYDIN

GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

Şubat 2009 ÖZET

Bu tez çalışmasında A.O. Asar’ın ‘Finitary permutasyon Grupları’ başlıklı makalesi üzerinde çalıştık. Bu makalede sonsuz bir küme üzerindeki finitary permütasyonların bir geçişli grup yapısının nokta dengeleyeni yapısından elde edilebilmesi için yeter koşullar verilmiştir. Ayrıca finitary permütasyonların bir totally imprimitive p-grubunun sonsuz yörüngeye sahip bir öz alt grubunun varlığı için yeter koşullar verilmiştir. Bu sonuçlar bazı bilinen sonuçlar yardımıyla bir mükemmel lokal sonlu minimal non FC-(p-grup) un var olamayacağına ilişkin yeter koşul verir. Böylece bu makalenin daha açık, ayrıntılı ve kolay anlaşılabilir şeklini ortaya çıkardık.

Bilim Kodu : 204.1.025

Anahtar Kelimeler : Finitary permutasyon, ilkel, almost primitive, totally imprimitive

Sayfa Adedi : 45

Tez Yöneticisi : Yrd. Doç. Dr. Aynur ARIKAN

FINITARY PERMUTATION GROUPS (M Sc. Thesis)

Yıldız AYDIN

GAZI UNIVERSITY

INSTITUTE OF SCIENCE AND TECHNOLOGY February 2009

ABSTRACT

In this thesis work we have studied the paper written by A.O. Asar titled ‘On Finitary Permutation Groups’.In this paper some sufficient conditions are given under which the structure of a transitive group of finitary permutations on an infinite set can be determined from the structure of a point stabilizer. Also, some sufficient conditions are given for the existence of a proper subgroup having an infinite orbit in a totally imprimitive p-group of finitary permutations. These results, with the help of some known results, give sufficient conditions for the nonexistence of a perfect locally finite minimal non FC- (p- group). Thus we made clear and more detailed and put in more easily understandable in this paper.

Science Code : 204.1.025

Key Words : Finitary permutation, primitive, almost primitive, totally imprimitive

Page Number : 45

Adviser : Assist. Prof.Dr. Aynur ARIKAN

TEŞEKKÜR

Bu tezin hazırlanmasında ve tamamlanmasında benden yardımlarını esirgemeyen ve kendisinden çok şey öğrendiğim Sayın Hocam Yard. Doç. Dr. Aynur Arıkan’a ve desteklerini her zaman hissettiğim sevgili aileme teşekkür ederim.

İÇİNDEKİLER

Sayfa

ÖZET……….iv

ABSTRACT……….…..………v

TEŞEKKÜR………..……..…..vi

SEMBOLLER VE KISALTMALAR………..viii

1. GİRİŞ………...……….…..…1

2. BAZI HAZIRLIK TANIM VE SONUÇLARI………...……...……..……...3

3. PERMÜTASYON GRUPLARI………..………….…….…...….12

4. BLOKLAR VE İLKELLİK………...….…..….…15

5. BİR ELEMANIN DESTEĞİ……….……..…..22

6. FINITARY PERMÜTASYON GRUPLARI ÜZERİNE………...…..….…24

KAYNAKLAR……….……….…………....44

ÖZGEÇMİŞ………...…………45

SİMGELER VE KISALTMALAR

Bu çalışmada kullanılan bazı simgeler ve kısaltmalar açıklamaları ile birlikte aşağıda sunulmuştur.

Simgeler Açıklama

G

H ≤ H, G nin altgrubudur

G

H < H, G nin normal altgrubudur

K

H ≅ H ile K izomorftur

x y x in y ile eşleniği

[x,y] x in y ile komütatörü

) (a

C_G a nın G içindeki merkezleyeni

Z(G) G grubunun merkezi

) (G

Z_∞ G nin hipermerkezi

) (H

N_G H nin G içindeki normalleyeni

H

G : H nin G içindeki indeksi

〉

〈x x tarafından üretilen devirli grup

G′ [G,G]

)

G(n [G⁽ⁿ⁻¹⁾,G]

G / H G nin H ile bölüm grubu

FitG G nin Fitting altgrubu

) (α

G G altında α nın yörüngesi

G α G altında α nın dengeleyeni

(Ω)

Sym veya S ^Ω Ω üzerinde simetrik grup

) (ρ

Ker ρ dönüşümünün çekirdeği

)

Im(ρ ρ dönüşümünün görüntü kümesi

H veya G Core_GH H nin G içindeki özü

GΔ veya G_(Δ) Δ nın G de nokta dengeleyeni

Simgeler Açıklama

{Δ}

G Δ nın G de küme dengeleyeni

supp(x) x in desteği

(Ω)

FSym Ω üzerinde finitary simetrik grup

(Ω)

Alt Ω üzerinde alterne grup

)

η(G G nin Hirsch-Plotkin radikali

o(a) a elemanının mertebesi

1. GİRİŞ

Ω bir küme ve Sym(Ω), Ω üzerindeki simetrik grup olsun. Her bir x∈ Sym(Ω) için supp(x)={i∈Ω:x(i)≠i} kümesine x in desteği denir . Eğer supp(x) sonlu ise o zaman x e finitary permütasyon denir. Ω üzerindeki bütün finitary permütasyonların kümesi bir altgrup oluşturur ve FSym(Ω) ile gösterilir.

G, Sym(Ω) nin bir altgrubu ve α∈Ω olsun. O zaman }

) ( :

{ α α

α = g∈G g =

G kümesine α nın G deki dengeleyeni ve

} :

) ( { )

( g g G

G α = α ∈ kümesine de G nin α yı içeren yörüngesi denir. Daha genel olarak ,Δ Ω nın boştan farklı bir altkümesi olmak üzere

} ,

) ( :

{ ∈ = ∀ ∈Δ

Δ = g G g i i i

G kümesine Δ nın nokta dengeleyeni ve

} ) ( :

} {

{_Δ = g∈G g Δ =Δ

G kümesine Δ nın küme dengeleyeni denir. Bundan başka eğer ∀g∈G için g(Δ)=Δ veya g(Δ)∩Δ=Ø ise o zaman Δ ya G için bir blok denir. Ω ya eşit olmayan ve en az iki elemanlı bir bloğa öz blok denir.

Eğer G bir FC-grup değil fakat her öz altgrubu FC-grup ise G ye minimal non FC- grup denir.

Ω sonsuz küme ve G,FSym(Ω)nin geçişli altgrubu olsun. Eğer G nin öz bloğu yoksa o zaman G ye ilkel, G nin öz bloğu varsa ilkel değildir denir. G ilkel ise o zaman )Alt(Ω veya FSym(Ω) ya izomorftur [3]. Eğer G ilkel değilse o zaman her öz blok sonludur. Eğer G nin bir maksimal bloğu Δ var ise o zaman

} :

) (

{x Δ x∈G

=

Σ , G için bir bloklar sistemidir. G, Σ üzerine ilkel etki eder ve (Ω)

Alt veya FSym(Ω) ya izomorf olan epimorfik görüntüye sahiptir [3]. Böylece sonlu blokların

...

2 ...

1 ⊂Δ ⊂ ⊂Δ ⊂

Δ _k

Artan sonsuz dizisi vardır öyle ki ^Ω=

U

_k^∞₌₁^Δk dir. Bu durumda Ω ve G sayılabilir sonsuzdur.

≥1

k ve Σ_k ={x(Δ_k):x∈G} olsun. ∀g∈G için g(x(Δ_k))=(gx)(Δ_k) eşitliği Σ _k üzerinde bir permütasyon tanımlar ve buna karşılık g → , G den g FSym(Ω) ye bir permütasyon temsilidir. N_k bu temsilin çekirdeği olsun. O zaman

...

2 ...

1 ≤N ≤ ≤ N_k ≤

N

G nin ^G=

U

_k^∞₌₁^Nk olacak şekilde öz normal altgruplarının artan bir dizisidir ve her bir Nk kendisinin bir sonlu epimorfik görüntüsünün izomorfik kopyalarının sınırlı direkt çarpımına izomorftur. Özel olarak her bir N_k bir FC-gruptur [3]. İlkel olmama durumu almost primitive ve totally imprimitive kısımlarından oluşur.

2. BAZI HAZIRLIK TANIM VE SONUÇLARI

Tanım 2.1:

G bir grup ve N ≤G olsun. Eğer her g∈ ve G n∈N için g⁻¹ng∈N ise o zaman N ye G nin bir normal alt grubu denir ve N <G şeklinde gösterilir.

Tanım 2.2:

G bir grup olsun. G nin birimden başka normal öz alt grubu yoksa G grubuna basit grup denir.

Tanım 2.3:

G bir grup X, nin boştan farklı bir alt kümesi olsun. X i içeren G nin bütün alt G gruplarının kesişimine X tarafından üretilen altgrup denir ve 〈 X ile gösterilir. 〉 Eğer }X ={a₁,a₂,...,a_n ise

〉

〈

=

〉

〈X a₁,a₂,...,a_n

altgrubuna a₁,a₂,...,a_n elemanları tarafından üretilen sonlu üreteçli alt grup denir

Tanım 2.4:

G bir grup ve x,y∈G olsun. x^y = y⁻¹xy elemanına x in y ile eşleniği (konjugesi) denir.

X veY, G nin boştan farklı alt kümeleri olsun. G nin X in Y ile eşleniği olan alt grubu

〉

∈

∈

〈

= x x X y Y

X^{Y y} : ,

olarak tanımlanır.

Tanım 2.5:

G bir grup olsun. G nin içinde sonlu sayıda eşleniği olan G nin bir elemanına G nin FC-elemanı denir. G nin bütün FC-elemanları bir alt grup oluşturur ve bu alt gruba G nin FC-merkezi denir. Eğer G nin FC-merkezi G ye eşit ise o zaman G ye bir FC- grup denir. G, FC-grup ise aşağıdaki özellikleri sağlar:

i) G nin FC-grup olması için gerek ve yeter şart G:C_G(x) in sonlu olmasıdır.

ii) G, FC-grup ise G′ periyodiktir.

iii) G nin FC-grup olması için gerek ve yeter şart∀x∈G için 〈x〉^G nin sonlu bir grubun devirli grupla genişlemesi olmasıdır.

Tanım 2.6:

G bir grup ve x₁,x₂,...,x_n ∈G olsun.

[x₁, x₂]=x₁⁻¹x₂⁻¹x₁x₂

elemanına x₁ ile x₂ nin komütatörü denir. [x₁]= x₁ ve genel olarak n≥2 olmak üzere ağırlıklı basit bir komütatör

] ], ,..., , [[

] ,..., ,

[x₁ x₂ x_n = x₁ x₂ x_n−1 x_n

şeklinde tanımlanır. X₁ ve X₂, G nin boştan farklı altkümeleri olsun. X₁ ve X₂ nin komütatör alt grubu

〉

∈

∈

〈

= _{1 2 1 1 2 2}

2

1, ] [ , ]: ,

[X X x x x X x X

olarak tanımlanır. Özel olarak X₁=X₂=G ise [G,G]=G′ komütatör grubuna G nin derived altgrubu denir. Daha genel olarak [X₁]=〈X₁〉 olmak üzere n≥2 için

] ], ,..., , [[

] ,...,

[X₁X₂ X_n = X₁ X₂ X_n−1 X_n olarak tanımlanır.

Tanım 2.7:

Bir G grubu komütatörüne eşit ise bu gruba mükemmel grup denir.

Tanım 2.8:

G bir grup ve a∈G olsun.

} 1 ] , [ : { )

(a = x∈G x a = C_G

kümesine a nın G içindeki merkezleyeni denir. Eğer N ≤G ise N

n G x N

C_G( )={ ∈ :∀ ∈ için [n,x]=1} kümesine N nin G içindeki merkezleyeni denir.

) (a

C_G ve C_G(N), G nin alt gruplarıdır. Özel olarak N <G ise C_G(N)<G dir.

) (G

C_G alt grubuna G nin merkezi denir ve Z(G) ile gösterilir.

Tanım 2.9:

G bir grup, H , G nin bir alt grubu olsun.

} :

{ )

(H g G H g ¹Hg

N_G = ∈ = ⁻

grubuna H nin G deki normalleyeni denir.

Tanım 2.10:

G bir grup olsun. Eğer G nin her öz altgrubu normalleyeni tarafından öz olarak içeriliyorsa G ye normalleyen şartını sağlıyor denir.

Başka bir ifadeyle G nin normallayen şartını sağlaması için gerek ve yeter şart her G

H < için H < N_G(H) olmasıdır.

Tanım 2.11:

G bir grup olsun. Eğer, S={1=G₀,G₁,...,G_n =G} G nin altgruplarının bir dizisi ve

+1 i

i G

G < (i=0,1,…,n-1) olmak üzere G

G G

G _n =

= < <...<

1 _{0 1}

ise S ye G nin bir sonlu serisi denir. G /_i+1 G_i bölüm gruplarına serinin faktörleri ve G gruplarına serinin terimleri denir. Eğer bütün i G ler farklı ise n negatif olmayan _i tam sayısına serinin uzunluğu denir.

Tanım 2.12:

G bir grup olmak üzere eğer G nin bir abelyan serisi varsa G ye çözülebilirdir denir.

Burada abelyan seri her bir G /_i+1 G_i bölüm grubunun abelyan olduğu G

G G

G _n =

= < <...<

1 _{0 1}

serisidir.

Tanım 2.13:

} :

{H_α α ≤β , H , G nin alt grupları olmak üzere eğer; _α a) Hα1 ≤Hα2, α₁ ≤α₂

b) H₀ =1ve H_β =G c) H <_α H_α+1

d) ^{Hλ =}_α

U

_≤λ^{Hα ,} λ bir limit ordinal şartlarını sağlayan

G H H

H =

= < <...< _β

1 _{0 1}

serisine bir ascending seri denir. Burada H lar serinin terimleri _α β serinin uzunluğudur. Eğer G nin bir alt grubu ascending serinin içinde ortaya çıkarsa bu alt gruba ascendant alt grup denir.

Tanım2.14:

G bir grup, G⁽⁰⁾ =G olsun. i>0 olmak üzere ]

, [ ^{( 1) ( 1)}

)

(ⁱ = G ⁱ− G ⁱ−

G

Şeklinde tanımlansın. O zaman G

G

G ≤ ≤

≤ ^{(2) (1)} ...

dir. Buna G nin derived serisi denir. G⁽¹⁾ =G′ ile gösterilir.

Tanım 2.15:

Eğer bir n için G⁽ⁿ⁾ = e〈 〉 ise o zaman G ye çözülebilir grup denir.

Tanım 2.16:

Ŋ bir grup özelliği ve G bir grup olmak üzere eğer G nin her bir sonlu altkümesi G nin bir Ŋ-altgrubu tarafından içeriliyorsa G ye lokal Ŋ-grup denir.

Tanım 2.17:

Her sonlu üreteçli alt grubu sonlu olan gruba lokal sonlu grup denir.

Tanım 2.18:

G bir grup ve p bir asal sayı olmak üzere eğer G nin elemanlarının mertebesi p asal sayısının bir kuvveti ise G grubuna p-grup denir.

Tanım 2.19:

G bir grup, Z₀(G)=1, Z₁(G)=Z(G) olsun.

Eğer α limit ordinal ise

U

_α

β β

α

<

= ( )

)

(G Z G

Z

α limit ordinal değilse

)) ( / ( ) ( / )

(G Z ₁ G Z G Z ₁ G

Z_{α α−} = _α−

şeklinde tanımlansın. G nin kardinali aşılamayacağından ...Z_λ(G)=Z_λ+1(G)= olacak şekilde bir λ ordinali vardır. Bu terminal gruba G nin hipermerkezi denir ve

) (G

Z_∞ ile gösterilir.

...

) ( ) (

1=Z₀ G ≤Z₁ G ≤

ye G nin genelleştirilmiş yukarı merkez serisi denir.

Eğer Z_∞(G)=G ise G bir hipermerkez gruptur. Eğer bir n doğal sayısı için G

G

Z_n( )= ise G nilpotent gruptur. Bu şekildeki n tamsayılarının en küçüğü G nin nilpotentlik sınıfıdır.

Teorem 2.20:

Her sonlu p-grubu nilpotenttir.

Teorem 2.21:

Sonlu sayıda nilpotent grupların direkt çarpımı nilpotenttir.

Lemma 2.22:

Bir nilpotent G grubunun aşikâr olmayan altgrubu H ise o zaman H, )N_G(H nin öz altgrubudur.

Teorem 2.23:

G grup ise o zaman G′, G nin normalidir ve G/G′ abelyandır. Eğer N <G ise o zaman G /N nin abelyan olması için gerek ve yeter şart N nin G′ nü içermesidir.

Lemma 2.24:

Her nilpotent grup çözülebilirdir.

Teorem 2.25:

(i) Çözülebilir grubun her altgrubu ve her homomorfik görüntüsü çözülebilirdir.

(ii) N <G, N ve G /N çözülebilir ise G çözülebilirdir.

Teorem 2.26: (Hirsch-Plotkin)

H ve K bir grubun normal lokal-nilpotent altgrupları olsun. O zaman J = HK lokal- nilpotenttir [2].

Tanım 2.27:(Hirsch-Plotkin Radikali)

G bir grup olsun. O zaman G nin bütün normal lokal-nilpotent altgruplarını içeren bir tek maksimal normal nilpotent altgrubu vardır. Bu altgruba Hirsch-Plotkin radikali denir [2].

Teorem 2.28: (Plotkin)

Eğer G grubu normalleyen şartını sağlarsa o zaman G lokal nilpotenttir [2].

Tanım 2.29:

Bir grubun normal devirli serisi varsa bu gruba süpersoluble grup denir. Burada normal devirli seri faktörleri devirli olan normal altgrupların serisidir.

Tanım 2.30:

G nin bütün normal nilpotent altgrupları tarafından üretilen altgrubuna G nin Fitting altgrubu denir ve FitG ile gösterilir.

Tanım 2.31:

G bir p-grup olsun. her bir n doğal sayısı için

〉

=

∈

〈

=

Ω_n(G) x:x G,x^pn 1 olarak tanımlanır.

Teorem 2.32:

Eğer G bir süpersoluble ise o zaman Fit(G) nilpotenttir ve G/Fit(G) sonlu abelyan gruptur. Özel olarak G′ nilpotenttir.

Tanım 2.33:

Ω boştan farklı bir küme, G bir grup ve Ω

→ Ω

× G

) ( ) ,

(xα a xα

fonksiyon olsun. Eğer:

i) 1∈G için 1(α)=α

ii) ∀ ,x y∈G için xy(α)=x(y(α)) ise G grubu Ω üzerine etki ediyor denir.

Tanım 2.34:

G bir grup olsun ve bir Ω kümesi üzerine etki etsin. O zaman }

: ) ( { )

( x x G

G α = α ∈

kümesine α nın G altındaki yörüngesi denir. α yı sabit bırakan G nin elemanlarının kümesine de G altında α nın dengeleyeni denir ve

} ) ( :

{ α α

α = x∈G x = G

şeklinde gösterilir.

Tanım 2.35:

G grubu, Ω kümesi üzerine etki etsin. Eğer G altında Ω nın bir tek yörüngesi varsa bu etkiye Ω üzerinde geçişlidir denir. Yani ∀α∈Ω için G(α)=Ω dir. başka bir ifadeyle ∀α,β∈Ω için α = x(β) olacak şekilde x∈G vardır.

Teorem 2.36:

G grubu bir Ω kümesi üzerine etki etsin ve x,y∈G, α,β∈Ω olsun. O zaman;

i) )G(α ve G(β) ya eşit ya da ayrıktır. Böylece ikişer ikişer ayrık olan bütün yörüngelerin birleşimi Ω yı verir.

ii) G nin G dengeleyeni G nin bir altgrubudur ve _α β = x(α) ise G_β =xG_αx⁻¹ dir. Bundan başka x(α)= y(α)⇔xG_α = yG_α dir.

iii) Yörünge-Dengeleyen Özelliği; α∈Ω için G(α) = G:G_α dir. Özel olarak eğer G sonlu ise G(α)G_α = G dir.

İspat:

i) )δ∈G(α ise o zaman bir u∈G için δ =u(α) dır. Böylece )

( } , : ) ( { } :

) ( { )

(δ x δ x G xu α x u G Gα

G = ∈ = ∈ =

dır. Kabul edelim ki α,β∈Ω için G(α)∩G(β)=Ø olsun. O zaman bir Ω

δ∈ için

) ( )

( )

(α β δ α

δ∈G ∩G ⇒ ∈G ve δ∈G(β) dir.

⇒G(δ)=G(α) ve G(δ)=G(β) ⇒G(α)=G(β)

dir. Dolayısıyla ya G(α)∩G(β)=Ø ya da G(α)=G(β) dır.

Ayrıca ∀α∈Ω için α =1(α)∈G(α) dir. o halde ^Ω=_α

U

_∈Ω^{G(α) dır.}

ii) G grubunun G nin bir altgrubu olduğunu gösterelim. _α

⇒

=

∈

=

∈

⇒

=

⇒

∈ 1( ) 1 { : ( ) }

1 G α α G_α x G xα α Ø≠G_α ⊆G

Gα

y

x, ∈ ise x(α)=α ve y(α)=α dır.

) ( )) ( ( )

(α =α ⇒ y⁻¹ y α = y⁻¹ α

y ⇒α = y⁻¹(α)⇒ y⁻¹∈G_α dir.

Buradan;

α α

α α

α x y x xy G

xy⁻¹( )= ( ⁻¹( ))= ( )= ⇒ ⁻¹∈ dır. Böylece G_α ≤G dir.

Eğer α,β∈Ω için β = x(α) ise o zaman;

) ( ) ( )

( )) ( ( )

(β β α α α α

β y y x x yx x

G

y∈ ⇔ = ⇔ = ⇔ =

1 1

1

1 1

) (

) ( )

(

−

−

−

−

−

∈

⇔

∈

⇔

=

⇔

=

⇔

x xG y

G yx x

yx x

x x yx

x

α α

α α

α α

olduğundan G_β =xG_αx⁻¹ dir.

Şimdi x(α)= y(α)⇔xG_α = yG_α olduğunu gösterelim.

α α

α α

α α

α α

α y y x y x G y xG G xG yG

x( )= ( )⇔ ⁻¹ ( )= ⇔ ⁻¹ ∈ ⇔ ⁻¹ = ⇔ = dır.

iii) G_α nın G içindeki sol kosetlerinin bir tam kümesi A olsun.

A={xG_α :x∈G} şeklinde tanımlıdır.

ϕ:G(α)→ A

x(α)axG_α

fonksiyonu iyi tanımlıdır. Çünkü x(α)= y(α) olması için gerek ve yeter şart (ii) den dolayı xG_α = yG_α dir. Böylece ϕ iyi tanımlı ve ayrıca ϕ

birebirdir. ϕ tanımdan örtendir. O halde;G(α) =

|

A

|=

G :Gα olur.

∞

<

G ise G(α) = G:G_α = G/G_α olduğundan G(α)G_α = G elde edilir.

3. PERMÜTASYON GRUPLARI

Tanım 3.1:

Ω boştan farklı bir küme olsun. Ω nın kendi üzerine birebir, örten fonksiyonuna Ω nın bir permütasyonu denir. Ω nın bütün permütasyonları fonksiyonların bileşke işlemine göre bir gruptur. Buna Ω üzerinde bir simetrik grup denir ve Sym(Ω) veya S veya Ω S_Ω şeklinde gösterilir. n pozitif tamsayı ve Ω={1,2,...,n} olmak üzere

(Ω)

Sym grubu özel olarak S ile gösterilir. Simetrik grubun her alt grubuna bir _n permütasyon grubu denir. Eğer Ω ve Ω′ aynı kardinaliteye sahip boştan farklı iki küme ise ( Ω dan Ω′ üzerine α →α′ birebir örten fonksiyon vardır.) o zaman

x

x→ ′ şeklinde tanımlı fonksiyon Sym(Ω) dan Sym(Ω′) ne bir izomorfizmadır.

Burada x,α yı β ya götürdüğünde x′,α′ yi β′ ye götürür. Özel olarak Ω =n ise (Ω)

Sym ≅S_n dir.

Tanım 3.2:

Bir c∈ Sym(Ω) permütasyonu i=1,2,...,r−1 olmak üzere Ω nın δ₁,δ₂,...,δ_r r farklı noktaları için δ_i yi δ_i+1 e ve δ_r yi δ₁ e götürüyor ve diğer bütün noktaları sabit bırakıyor ise o zaman c permütasyonuna bir r-devir denir ve c=(δ₁δ₂...δ_r) ile gösterilir. Eğer iki katlı sonsuz dizi δ_i(i∈N) için c permütasyonu her bir i için δ_i yi

+1

δi e götürüyor ve diğer bütün noktaları sabit bırakıyorsa c permütasyonuna sonsuz devir denir.

Lemma 3.3:

G bir grup, Ω boştan farklı bir küme olsun ve G , Ω kümesi üzerine etki etsin. O zaman

Ω

→ Ω :

x , α →x(α)= x(α) 1-1 ve örten fonksiyondur.

Ayrıca ;

) ( :G→ Sym Ω

ρ , x a x bir homomorfizmadır.

İspat:

Ω ,

G üzerine etki ettiği için ∀x∈G ve ∀α∈Ω için x(α)∈Ω dır. Ayrıca Ω

∈

∀α,β için

β α β α

β

α)= ( )⇔ ( )= ( )⇔ =

( x x x

x

olduğundan x iyi tanımlı ve birebirdir. ∀α∈Ω için x∈G ise x⁻¹∈G ve Ω

∈

−¹(α)

x dır. O zaman ; α α α

α = ⁻ = =

− ( )) ( ) 1( )

(x ¹ xx ¹ x

olduğundan x örtendir. O halde x∈ Sym(Ω) dir. Böylece ρ bir permutasyondur.

Şmdi etkinin tanımını kullanarak ρ nun bir homomorfizma olduğunu gösterelim.

G y

x ∈

∀ , ve ∀α∈Ω için

) ( )) ( ( )) ( ( )) ( ( ) ( )

(α xy α x y α x y α x y α xyα

xy = = = = =

olur. Böylece xy= xy dir. O halde ρ(xy)=xy= xy =ρ(x)ρ(y) elde edilir.

Tanım 3.4:

G bir grup olsun. G den Sym(Ω) ya herhangi bir homomorfizmaya Ω üzerinde G nin bir permütasyon temsili denir.

Böylece Ω üzerinde G nin her bir etkisi G nin Ω üzerine bir temsilini verir. Ω nın kardinalitesine etkinin (ya da temsilin) derecesi ve ρ temsilinin ker(ρ) çekirdeğine etkinin çekirdeği denir.

Eğer 1ker(ρ)= ise etkiye sadıktır denir. Bir etki sadık ise 1. izomorfizma teoreminden )G≅Im(ρ dır.

Tanım 3.5:

G bir grup H, G nin bir altgrubu olsun. ^{HG =}_a

I

_∈G^a−1Ha ya G nin özü (core) denir.

G

H_G < ve H_G ≤H dir.

Lemma 3.6:

G bir grup ve H de G nin sonlu indeksli bir altgrubu olsun. O zaman H_G, G de sonlu indekslidir.

Böylece G nin her sonlu indeksli bir altgrubu içinde G de normal olan sonlu indeksli bir altgrup vardır.

Lemma 3.7:

G bir grup, Ω boştan farklı bir küme olsun. G, Ω üzerine etki etsin ve H ≤G olsun. Eğer Δ , H için bir yörünge ise ∀x∈G için x(Δ) de xHx⁻¹ için bir yörüngedir. Ayrıca G , Ω kümesi üzerine geçişli etki ediyor ve H <G ise H nin her yörüngesi bir x∈G için x(Δ) formundadır.

İspat:

Δ , H için bir yörünge ise bir α∈Ω için Δ=H(α) dır. O zaman ∀x∈G için )

( ) ( )) (

(H =xH =x Δ

x α α dır. x(α)=β olsun. O zaman α = x⁻¹(β) dir.

) ( )

( )) ( ( ) ( ))

( ( ) ( )

( ^{1 1 1}

1 β α β β α β

α = x⁻ ⇒xH =xH x⁻ =xHx⁻ ⇒x H = x Δ =xHx⁻

olur. )xHx⁻¹(β , xHx için bir yörünge olduğundan )⁻¹ x(Δ da xHx için bir ⁻¹ yörüngedir.

G , Ω üzerine geçişli etki etsin ve H <G olsun. ∀α,β∈Ω için α = x(β) olacak şekilde x∈G vardır. Bu nedenle ilk durumdan x(Δ), xHx için bir yörünge ve ⁻¹ H <G olduğundan xHx⁻¹ =H dır. Böylece x(Δ) , H için bir yörüngedir. β∈Ω olduğundan H(β), H için bir yörüngedir. G, Ω üzerine etki ettiğinden ∀α,β∈Ω için β = x(α) olacak şekilde x∈G vardır. O halde

) ( ) ( ) ( )) ( ( )

( =H x =Hx = xH = x Δ

H β α α α

Olduğundan H nin her yörüngesi bir x∈G için x(Δ) formundadır.

4. BLOKLAR VE İLKELİK

Tanım 4.1:

G bir grup, Ω ve Δ boştan farklı kümeler olsun. G grubu Ω kümesi üzerine etki etsin. Δ⊆Ω olsun. Eğer ∀x∈G için x(Δ)=Δ veya x(Δ)∩Δ=Ø oluyorsa Δ ya G için bir blok denir. Aşikâr olarak ∀α∈Ω için {α} ve Ω , G için bir bloktur. Bu bloklara aşikâr bloklar diğerlerine aşikâr olmayan blok denir.

Tanım 4.2:

G grubu Ω üzerine geçişli etki etsin. G grubunun Ω kümesi üzerinde sadece aşikâr bloğu varsa o zaman G grubuna ilkeldir, diğer durumda ilkel değildir denir.

Tanım 4.3:

G grubu bir Ω kümesi üzerine geçişli etki etsin. Eğer G grubunun bir Δ maksimal öz bloğu varsa G grubuna almost primitive denir. Ve böylece Δ yı içeren tek blok Ω dır. Eğer G nin hiç maksimal öz bloğu yoksa o zaman G grubuna totally imprimitive denir. Eğer G totally imprimitive grup ise Δ₁ ⊂Δ₂ ⊂... olacak şekilde sonsuz sayıda sonlu öz blokların kesin artan dizisi vardır.

Tanım 4.4:

G grubu Ω kümesi üzerine etki etsin ve Δ⊆Ω olsun.

} , ) ( :

) {

(_Δ = x∈G x δ =δ δ∈Δ G

Kümesine G de Δ nın nokta dengeleyeni denir.

} ) ( :

} {

{_Δ = x∈G x Δ =Δ

G

Kümesine de G de Δ nın küme dengeleyeni denir. G_{Δ} ve G_(Δ) grupları G nin alt gruplarıdır. Ayrıca G_(Δ) <G_{Δ} dır ve ∀α∈Ω için G_{α} =G_(α) =G_α dır.

Lemma 4.5:

Eğer G_α ≤H ve H , G nin bir altgrubu ise o zaman H(α), G için bir bloktur.

İspat:

) (α

=H

Δ olsun. Δ nın G için bir blok olduğunu gösterelim. Kabul edelim ki x∈G için x(Δ)∩Δ≠Ø olsun. O zaman

) ( )

(Δ ∩Δ⇒ ∈ Δ

∈x σ x

σ ve σ ∈Δ= H(α)

⇒(σ ∈x(β) ∋β∈Δ=H(α)) ve (σ =h₁(α) ∋h₁∈H) )

( (σ∈x β

⇒ ∋β =h₂(α), h₂∈H) ve (σ =h₁(α) ∋h₁∈H) )

( )

( ₁

2 α α

σ =xh =h

⇒ , h₁,h₂∈H α

α =

⇒h₁⁻¹xh₂( ) H G xh

h ∈ ≤

⇒ ₁⁻¹ _{2 α} H xh

h ∈

⇒ ₁⁻¹ ₂ H x∈

⇒ elde edilir.

Buradan;

Δ

=

=

=

= Δ

⇒

=

Δ H(α) x( ) x(H(α)) xH(α) H(α) ⇒x(Δ)=Δ olur. Böylece x(Δ)=Δ olduğundan Δ , G için bir bloktur.

Lemma 4.6:

G grubu, Ω kümesi üzerine geçişli etki etsin. Δ ise G için bir blok olsun. Bu durumda α∈Δ için G_{Δ}(α)=Δ dır.

İspat:

} { }

{ ( )

)

( ∈G_Δ ⇒g∈G_Δ

g α α

Δ

∈

⇒

Δ

= Δ

∈

⇒

Δ

= Δ

⇒

) (

) ( ) (

) (

α α g

g g

g

olur. O zaman G_{Δ}(α)⊆Δ dır.β∈Δ olsun. G geçişli olduğundan )β =g(α olacak şekilde g∈ vardır. O zaman G β∈g(Δ)∩Δ olur. Δ blok olduğundan

(Δ)

=

Δ g dır. Böylece g∈ G_{Δ} olur. O halde β = g(α)∈G_{Δ}(α) dir. Buradan )

}(

{_Δ α

⊆

Δ G ve dolayısıyla G_{Δ}(α)=Δ dır.

Lemma 4.7:

G grubu, Ω kümesi üzerine geçişli etki etsin. H , G nin altgrubu ve G_α, G nin nokta dengeleyeni olsun. O zaman

H HG

G H G

G = _α ⇔ = _α ⇔ nin geçişli olmasıdır.

Özel olarak G_α yı içeren G nin tek geçişli altgrubu G nin kendisidir.

İspat:

Önce G =HG_α ise H nin geçişli olduğunu gösterelim. G= HG_α olsun. G grubu, Ω kümesi üzerine geçişli olduğundan ∀α,β∈Ω için β = x(α) olacak şekilde x∈G vardır. x∈G ise G= HG_α olduğundan x=hy olacak şekilde h∈H ve y∈G_α vardır. y(α)=α olduğundan;

) ( ) ( )

(α α α

β =x =hy =h

dır.Böylece ∀α,β∈Ω için h∈H vardır ki β =h(α) dır. Yani H geçişlidir.

Şimdi de H, Ω üzerinde geçişli olsun. G=G_αH olduğunu gösterelim. x∈G olsun.

G geçişli olduğundan ∀β,α∈Ω için α =x(β) olacak şekilde x∈G vardır. H, Ω üzerinde geçişli olduğundan )β =h(α olacak şekilde h∈H vardır. O zaman

)) ( ( )

(β α

α = x = x h olduğundan xh∈G_α ve böylece x∈G_αH ve böylece H

G

G⊆ _α olduğundan G=G_αH elde edilir. Ayrıca HG_α grup olduğundan

α

αH HG

G = dir. Özel olarak G_α yı içeren G nin geçişli bir alt grubu H olsun. H geçişli G=G_αH =HG_α ve G_α ≤H olduğundan G=H

Tanım 4.8:

G grubu bir Ω kümesi üzerine geçişli etki etsin ve Δ , G için bir blok olsun.

} :

) (

{x Δ x∈G

= Σ

kümesine Δ yı içeren blokların sistemi denir.

Lemma 4.9:

G grubu, Ω kümesi üzerine geçişli etki etsin ve Δ , G için bir blok olsun.

} :

) (

{x Δ x∈G

= Σ

olsun.

Σ

daki kümeler Ω nın bir parçalanması formundadır ve Σ nın her elemanı G için bir bloktur.

İspat:

Σ

∈ Δ Δ), ( )

( y

x ve x(Δ)∩y(Δ)≠Ø olsun. β∈x(Δ)∩y(Δ) ise β = x(α)= y(γ) olacak şekilde α,γ ∈Δ vardır. O zaman y⁻¹x(α)=γ ∈Δ∩y⁻¹x(Δ) dır. Δ , G için bir blok olduğundan )Δ= y⁻¹x(Δ)⇒ y(Δ)=x(Δ olur ki bu ise bir çelişkidir. O halde x(Δ)∩y(Δ)=Ø veya x(Δ)= y(Δ) dır.

Γ

= Δ

Σ

∈

U

Δ₎ (

) (

x

x , α∈Ω ve β∈Δ olsun. G grubu, Ω kümesi üzerine geçişli olduğundan )α =x(β olacak şekilde x∈G vardır. )α = x(β)∈x(Δ olduğundan

U

_Δ∈Σ ^Δ

∈

) (

) (

x

α x dır. Böylece Ω⊆ Δ ⊆Ω

Σ

∈

U

Δ₎ (

) (

x

x olduğundan ^Ω=_x((

U

_Δ)∈^x_Σ^{(Δ) dır. O}

halde Σ daki kümeler Ω nın bir parçalanması formundadır.

Şimdi Σ nın her elemanı G için bir blok olduğunu gösterelim. Kabul edelim ki

≠ Δ

∩ Δ)) ( ) (

(x x

y Ø olacak şekilde bir y∈ olsun. O zaman G yx(α)= x(γ) olacak şekilde α,γ ∈Δ vardır.

Δ

∩ Δ

∈

⇒

=

⇒

= ( ) ⁻ ( ) ^{− −} ( )

)

( x x ¹yx x ¹yx x ¹yx

yxα γ α γ

dır. Δ , G için bir blok olduğundan x⁻¹yx(Δ)=Δ ve böylece y(x(Δ))= x(Δ)dır.

(Δ)

x , G için bir bloktur.

Lemma 4.10:

G grubu, Ω kümesi üzerine geçişli etki etsin ve Δ , G için bir blok ve ΔΣ, yı içeren blokların sistemi olsun. O zaman G, Σ üzerine etki eder.

Lemma 4.11:

G bir grup, Ω boştan farklı bir küme olsun. G, Ω üzerine geçişli etki etsin ve H, G nin bir normal altgrubu olsun. O zaman;

i) H nin yörüngeleri G için blokların bir sistemi formundadır.

ii) Eğer Ω nin bir noktası H nin bütün elemanları tarafından sabit bırakılıyor ise o zaman H, Ω üzerindeki etkinin çekirdeği içindedir.

iii) H nin en fazla G :H kadar yörüngesi vardır.

iv) Eğer G, Ω üzerine ilkel etki ediyorsa ya H geçişlidir ya da H etkinin çekirdeği içindedir.

İspat:

i) α∈Ω olsun. Δ= H(α), H için bir yörünge ve Σ={x(Δ):x∈G} olsun.

H <G olduğundan Lemma 2.7 den dolayı x(Δ) da H için bir yörüngedir.

G x∈

∀ için x(Δ)⊆Ω olduğundan Δ ⊆Ω

U

∈_G x

x( ) dır. G, Ω üzerine geçişli etki ettiğinden ∀β∈Ω için α = y(β) olacak şekilde y∈ vardır. O G halde;

Δ

∈

⇒ Δ

∈

= ( )

)

(β α y β

y

U

_G

x

x y y

∈

−

−

Δ

∈

⇒

Δ

∈

=

⇒

) (

) ( )

( ¹

1

β

β α

olur. Buradan ^Ω⊆_x

U

_∈G^x(Δ) elde edilir. Bu nedenle ^Ω=

U

_x∈G^x(Δ) dir. O halde H nin her yörüngesi Σ sisteminin içindedir. Ayrıca Δ ve ∀x∈G için x(Δ) blok olduğundan Δ∩x(Δ)=Ø veya Δ x= (Δ). Bundan dolayı H nin yörüngeleri G için blokların bir sistemi formundadır.

ii) α∈Ω için α,H nin bütün elemanları tarafından sabit bırakılsın. O halde }

{ ) (α = α

H dır. Yani H nin uzunluğu bir olan yörüngesi vardır. (i) şıkkından H nin yörüngeleri Σ={x(Δ):x∈G} formunda olduğundan H nin bütün yörüngelerinin uzunluğu 1 dir. Lemma 2.3 den

Ω

→ Ω

×

G etkisi varsa ρ:G→ Sym(Ω); x a x

homomorfizması vardır. Bu etkinin çekirdeği ρ homomorfizmasının çekirdeğidir. O zaman

} 1 ) ( : { )

ker(ρ = x∈G ρ x =

{ : ( ) , } }

: {

Ω

∈

=

∈

=

=

∈

=

α α α x G x

I x G x

olur. O halde ∀β∈Ω için H(β)={β} olduğundan ∀h∈H için h(β)=β dir. Bu nedenle H ≤ker(ρ)

iii) H nin bütün yörüngelerinin kümesi (i) şıkkından dolayı Σ dır. H nin G içindeki bütün kosetlerinin kümesi A olsun.

|

A

|=

^{G :H dir.}

→ Σ ϕ: A x(Δ)a xH

Şeklinde tanımlı ϕ nin birebir olduğunu gösterelim. x,y∈G için yH

xH y

x(Δ))= ( (Δ))⇔ =

( ϕ

ϕ

) ( ) (

)

1 (

1 1

Δ

= Δ

⇔

Δ

= Δ

⇔

∈

⇔

=

⇔

−

−

−

y x

x y

H x y

H xH y

olur. O halde ϕ iyi tanımlı ve birebirdir. ϕ birebir olduğundan

≤

Σ

|

A

|=

^{G :H} dır.

iv) G, Ω üzerine ilkel etki etsin. (i) şıkkından ∀x(Δ)∈Σ, G için bir bloktur.

G ilkel etki ettiğinden x(Δ) =1 ya da x(Δ)=Ω olur. Eğer x(Δ) =1 ise (ii) şıkkından H etkinin çekirdeği içindedir. Eğer x(Δ)=Ω ise o zaman Σ =1 olur. O halde Δ=Ω dir. Bu nedenle ∀α,β∈Ω için β =h(α) olacak şekilde h∈H vardır. O zaman H geçişlidir.

Lemma 4.12:

G bir grup, Ω boştan farklı bir küme olsun. G, Ω üzerine geçişli etki etsin ve G

H ≤ olsun. Σ,H nin bütün yörüngelerinin kümesi ise G nin Σ üzerinde bir ρ permütasyon temsili vardır ve H ≤ker(ρ) dır.

İspat:

H

Σ, nin bütün yörüngelerinin kümesi ise H(α)=Δ olmak üzere Σ={x(Δ):x∈G} dır. Şimdi G nin Ω üzerinde ρ permütasyon temsilini tanımlayalım.

) ( :G→ Sym Σ ρ

g→ :g Σ→Σ x(Δ)a gx(Δ)

dır.Bu temsilin çekirdeği ker(ρ)={g∈G:ρ(g)= g =I} olur. x(Δ)∈Σ olmak üzere g(x(Δ))=x(Δ)⇒ gx(Δ)=x(Δ) dır. ∀h∈H için

) ( )) ( ( ) ( ) ( )

( )))

( ( ( )) (

(x Δ =h x H =hxH =Hhx =xH =x H = x Δ

h α α α α α

dır. Buradan h(x(Δ))= x(Δ) dır. O zaman H ≤ker(ρ) dır.

5. BİR ELEMANIN DESTEĞİ

Tanım 5.1:

G bir grup, Ω boştan farklı bir küme olsun ve G grubu Ω kümesi üzerine etki etsin.

supp(x)={α∈Ω:x(α)≠α,x∈G} kümesine x in desteği denir.

Teorem 5.2:

G bir grup ve x,y∈G için aşağıdaki önermeler doğrudur.

(i) y(supp ))(x =supp(yxy ) ve özel olarak x(supp( ))⁻¹ x =supp(x) (ii) supp(y)=supp(y ) ⁻¹

(iii) supp(xy)=supp(x)∪ supp(y) (iv) supp(x)=Ø ⇔ x=1 dir.

İspat:

(i) α supp(∈ yxy )⁻¹ ⇔ yxy⁻¹(α)≠α

( ( )) ( )

) ( ) (

1 1

1 1

α α

α α

−

−

−

−

≠

⇔

≠

⇔

y y

x

y xy

⇔ y⁻¹(α)∈supp(x) ⇔α∈y(supp(x)) dir.

O halde y(supp ))(x =supp(yxy ) dir. Özel olarak x(supp( ))⁻¹ x =supp(x) dır.

(ii) supp(y)={α∈Ω:y(α)≠α}

={α∈Ω:y⁻¹y(α)≠ y⁻¹(α)}

={α∈Ω:α ≠ y⁻¹(α)}=supp(y ) ⁻¹ dir.

(iii) α supp(xy) ise ∈ xy(α)≠α dır. Varsayalım ki x(α)=α ve y(α)=α olsun.

O zaman xy(α)= x(y(α))=x(α)=α olur ki bu bir çelişkidir. O halde ya

α α)≠ (

x ya da y(α)≠α dır. Bu nedenle α supp(x) ∪ supp(y) dir. O ∈ zaman supp(xy)⊆ supp(x) ∪ supp(y) dir.

(iv) supp(x)=Ø⇔∀α∈Ω için x(α)=α ⇔x=1 dir.

6. FINITARY PERMÜTASYON GRUPLARI ÜZERİNE

Tanım 6.1:

Ω boştan farklı bir küme ve S , Ω kümesi üzerinde tanımlı simetrik grup olsun. ^Ω S da sonlu desteğe sahip elemanların oluşturduğu küme Ω S nın bir alt grubudur. ^Ω Bu alt gruba finitary simetrik grup denir ve FSym(Ω) veya S^(Ω) ile gösterilir.

Finitary simetrik grup, : ) ( {

)

(Ω = x∈Sym Ω

FSym |supp(x)|<∞}

şeklinde tanımlanır.

Lemma 6.2:

Ω sonsuz olmak üzere G≤ FSym(Ω) ve H <G olsun. O zaman H nin bütün yörüngeleri sonsuzsa o zaman G′≤H dir [3].

Lemma 6.3:

Ω herhangi bir küme ve G, FSym( Ω ) nın geçişli bir alt grubu olsun. Δ , G nin bir öz bloğu ve H, G nin supp(H)⊆ olacak şekilde bir öz alt grubu olsun. O zaman : Δ

a) Γ =supp(H) ise G_Γ ≤C_G(H) b) N_G(H)≤ G_{Δ}

c) H∩G_Δ =1 ve G_Δ ≤C_G(H)

d) ∀x∈G\G için _{Δ} H^x ≤ G_Δ ve böylece [H^x,H]=1 e) Eğer x∈G\G ise o zaman H ′_{Δ} ≤[H,x]

şartları sağlanır.

İspat:

a) h∈H, i∈Γ olsun. Önce h(i)∈Γ olduğunu gösterelim. Kabul edelim ki Γ

∉ ) (i

h ve h(i)= j≠i, j∉Γ olsun. O zaman ∀h₁∈H için

) ( ))

( ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( _{1 1} ¹ ₁ ¹ ₁ ¹

1 j j h j h i j hh i h i h h i i h i

h = ⇒ = ⇒ = ⁻ ⇒ = ⁻ ⇒ = ⁻

⇒h₁(i)=i

dir.Böylece i supp(H) olur.Bu ise çelişkidir. Öyleyse eğer ∉ i∈Γ ise H

h∈ için h(i)∈Γ dir.

Şimdi x∈ G_Γ için i∈Γ ise h(i)∈Γ dır. x(i)=i olduğundan ))

( ( )) (

(h i h x i

x = . Eğer i∉Γ ise o zaman x(i)∉Γ ve böylece ∀h∈H için ))

( ( ) ( )) (

(x i x i x h i

h = = dir.

Böylece hx= xh olduğundan )x∈C_G(H ve G_Γ ≤C_G(H) dır.

b) g∈N_G(H) fakat g∉ G_{Δ} olsun. g∈N_G(H)⇒g⁻¹Hg =H ve supp(H)⊆ olduğundan Δ

supp(g⁻¹Hg)⊆Δ⇒g(supp(H))⊆Δ⇒supp(H)⊆g⁻¹(Δ) Bundan başka

{Δ}

∉ G

g ⇒g⁻¹∉G_{Δ} ⇒g⁻¹(Δ)≠Δ

Δ blok olduğundan g⁻¹(Δ)∩Δ =Ø. supp(H)⊆ ve supp(H)Δ ⊆g⁻¹(Δ) ise supp(H)=Ø dır, bu ise çelişkidir. O halde g∈ G_{Δ} ve böylece N_G(H)≤ G_{Δ}. c) H ∩G_Δ ≠1 olsun. O zaman bir h∈H ∩G_Δ var öyle ki h≠1.

h∈H ∩G_Δ ⇒h∈H ve h∈ G_Δ

dır. Böylece ∀i∈Δ için h(i)=i dır. Fakat supp(H)⊆ olduğundan özel Δ olarak i supp(H) için ∈ h(i)=i dir. bu ise çelişkidir. O halde H ∩G_Δ =1.

Şimdi G_Δ ≤C_G(H) olduğunu gösterelim. G_Δ ⊆C_G(H) olduğunu göstermek yeter. Bunun için g∈ G_Δ, ∀h∈H ve ∀i∈Δ için gh(i)=hg(i) olduğunu göstermeliyiz. i supp(H)∈ ⇒(a) nın ispatından h(i)∈supp(H).

Böylece h(i)∈Δve buradan hg(i)=h(g(i))=h(i) ve gh(i)= g(h(i))=h(i). Eğer i supp(H)∉ ⇒∀h∈H için h )(i = i∈Δ ve böylece

hg(i)=h(g(i))=h(i)=i =g(i)=g(h(i))= gh(i)

O halde ∀h∈H ve g∈ G_Δ için hg = gh. Böylece g∈C_G(H) dir. ve buradan )G_Δ ≤C_G(H bulunur.

d) h∈H ve x∈G\G olsun. O zaman _{Δ} Δ,G nin bloğu olduğundan

= Δ

∩ Δ

= Δ

∩

Δ x( ) x⁻¹( ) Ø dır. ∀i∈Δ için x(i)∉Δ ve supp(H)⊆ Δ olduğundan x(i)∉supp(H) dir. Böylece ∀h∈H ve ∀i∈Δ için

) ( )) (

(x i x i

h = dir. O zaman i

i hx

x⁻¹ ()= ⇒ x⁻¹hx∈G_Δ

O halde H^x ≤ G_Δ dır. (c) den dolayı G_Δ ≤C_G(H)⇒H^x ≤C_G(H) dır. O halde [H^x,H ]=1 dır.

e) x∈G\G için _{Δ} H′⊆[H,x] olduğunu gösterelim. w∈H′ olsun. O zaman ]

, [ ba

w= olacak şekilde a,b∈H vardır. Ayrıca x∈G\G için (d) den _{Δ} )

(H C

H^x ≤ _G olduğundan ∀ ,a b∈H için (x⁻¹ax)b=b(x⁻¹ax) dir. o zaman;

x ab bxx axx x ab b a ab b a b a

w=[ , ]= ^{−1 −1} =( ^{−1 −1} ) ^{−1 −1 −1}( )⁻¹ =a⁻¹x⁻¹axb⁻¹x⁻¹bxabx⁻¹(ab)⁻¹x =[a,x][b,x][(ab)⁻¹,x]∈[H,x] dır. O halde H′≤[H,x] dır.

Lemma 6.4:

Ω sonsuz, G, FSym( Ω ) nın bir totally imprimitive alt grubu, a∈Ω olsun.

Aşağıdakiler sağlanır:

a) G nın her yörüngesi sonludur. _a

b) Eğer K ≤G ve K(a) sonlu ise o zaman [K:K ∩G_a] sonludur.

İspat:

a) H =G_a alalım. b∈Ω olsun. G totally imprimitive olduğundan sonlu blokların kesin artan sonsuz dizisi var. Bunların içinde a ve b yi aynı anda içeren bir Δ bloğunu alalım. o zaman G_a ≤ G_{Δ} ve böylece ;

H(b)=G_a(b)={g(b):g(a)=a,g∈G} } ,

) ( : ) ( { ) ( )

( G g g a a g G

H Δ = _a Δ = Δ = ∈