A GRUBU K 6 tam çizgesi kaç farklı 3 döngü bulundurur? A) 25 B) 20 C) 15 D) 10 E) 5

Numarası : . . . . Adı Soyadı : . . . .

SINAV YÖNERGES˙I

• ˙I¸saretlemelerinizde kur¸sun kalem kullanınız.

• Soru ve cevap ka˘gıtlarına numaranızı ve isminizi mürekkepli kalem ile yazınız.

• Sınavın ilk 30 dakikasında sınıftan çıkılmayacaktır.

• Hesap makinesi kullanmak yasaktır.

• Sınav boyunca cep telefonlarınızı kapalı tutunuz. Cep telefonunuzun açık olması sınavınızın geçersiz sayılmasına neden olacaktır.

• Hesaplamalarınız için soru ka˘gıdındaki bo¸s yerleri kullanınız.

• Soru ka˘gıtları zımbalanmı¸stır. Soru ka˘gıtlarını birbirinden ayırmayınız.

• De˘gerlendirmede 4 yanlı¸s 1 do˘gruyu götürecektir.

• Toplam 20 adet soru vardır.

• Sınav süresi 120 dakikadır.

• Sınavda ders notlarının kullanımı serbest, ancak alı¸s–veri¸si yasaktır.

• Ba¸sarılar dilerim. Doç. Dr. Emrah AKYAR

SORULAR

1.

Tüm noktalarının dereceleri a¸sa˘gıdaki gibi verilen çizgelerin hangisi kesinlikle tek- parçadır?

A) 1, 1, 2, 3, 3, 3, 4 B) 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3 C) 1, 1, 4, 4, 4, 4, 4 D) 1, 1, 1, 1, 1, 2, 3 E) 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5

2.

A¸sa˘gıdaki çizgelerden hangisi çizgenin her kenarı iki farklı turdan sadece birisi tara- fından yalnız bir kez kullanılacak ¸sekilde iki farklı tur bulundurmaz?

A) B) C) D) E)

b bb

b b b bbb bb b bbb bb

b b b bbb b

b b

b

b

3.

K6tam çizgesi kaç farklı 3–döngü bulundurur?

A) 25 B) 20 C) 15 D) 10 E) 5

4.

uve v, K₇tam çizgesinin iki noktası olsun. K₇de u ile v nin uç noktalar oldu˘gu kaç farklı 4–yol vardır?

A) 60 B) 40 C) 35 D) 16 E) 10

5.

420 den büyük olmayan ve hem 2, hem 3 hem de 7 ile bölünmeyen kaç tane pozitif tamsayı vardır?

A) 48 B) 60 C) 64 D) 96 E) 120

6.

100 den küçük ve 100 ile aralarında asal olan pozitif tamsayıların toplamı nedir?

A) 2000 B) 1800 C) 1600 D) 1400 E) 1200

7.

modül 234529 a göre 1

3 a¸sa˘gıdakilerden hangisidir?

A) 234526 B) 156353 C) 117264 D) 115051 E) 78176

8.

A¸sa˘gıdaki sayı çiftlerine Euclid bölme algoritması uygulanırsa, hangi sayı çifti için algoritmanın 2. adımı tam olarak 10 kez tekrar eder?

A) (13, 21) B) (89, 144) C) (2, 1024) D) (123, 234)

E) (2, 512)

9.

∑

n1+n2+n3+n4=10 n1,n2,n3,n4≥0

10!

n1! n₂! n₃! n₄! =?

A) 10!

B) 10 4



C) 10!

4!

D) 4¹⁰ E) 2⁽¹⁰⁴⁾

10.

Türkçenin 29 harfi kullanılarak olu¸sturulmu¸s, hiçbir harfin tekrar etmedi˘gi, 3 harfli, anlamlı ya da anlamsız bir sözcük rastgele seçildi˘ginde bu sözcü˘gün harflerinin al- fabetik olarak sıralı olma olasılı˘gı (sözlük sırası) nedir?

A) ¹₆ B) ₁₂¹ C) ₁₈¹ D) ₂₉³ E) ¹⁵₂₉

11.

A¸sa˘gıdaki ifadelerden hangisi yanlı¸stır?

A) x|yve y|xise x=yveya x= −y B) x|yve y|zise x|z

C) x|yve z|yise xz|y

D) x ve y pozitif ve x|yise x≤y E) x|yve x|zise x |z−y

12.

A¸sa˘gıdaki ifadelerden hangisi yanlı¸stır?

A) Hiçbiri asal olmayan istenilen sayıda ardı¸sık tamsayı her zaman bulunabilir.

B) Her pozitif tamsayı asal sayıların çarpımı ¸seklinde tek türlü yazılabilir.

C) Fermat’ın Küçük Teoreminden bir p tamsayısı asal ise p|5^p−5 yazılabilir.

D) Asal sayıların sonsuz tane oldu˘gu sayılar teorisinin halen kanıtlanamamı¸s problemlerinden birisidir.

E) E˘ger p asal ise p| (_p−k^p ) (0<_k< _p).

13.

20 özde¸s yumurta, ikinci konu¸smacıya yumurtaların yarısından fazlası atılmak ko-

¸suluyla, iki konu¸smacıya kaç farklı ¸sekilde atılabilir?

A) 5 B) 10 C) 15 D) 20 E) 25

14.

Yılba¸sında 10 arkada¸sınıza birer kartpostal göndermek istiyorsunuz. E˘ger, her bi- rinden yeterli sayıda 4 farklı çe¸sit kartpostalınız varsa, her çe¸sitten bir kartpostal mutlaka kullanılmak ko¸suluyla kartpostallar kaç farklı ¸sekilde gönderilebilir?

A) (⁹₃) B) (¹³₃)

C) F₁₁(11. Fibonacci sayısı) D) 4¹⁰−4·3¹⁰+6·2¹⁰−4

E) (¹⁰₁)2⁴

15.

15 basamaklı kaç tamsayı vardır? (Negatif sayıları unutmayın!) A) 2·10¹⁴

B) 10¹⁴ C) 18·10¹⁴ D) 10¹⁵

E) 9·10¹⁴

16.

2⁷⁰sayısı onluk sistemde yazıldı˘gında kaç basamaklı olur?

(Gerekebilecek bazı de˘gerler: log₂10≈3.321, log₂e≈1.442, log₂70≈6.129, log 2≈0.301, log 70≈1.845, ln 2≈0.693, ln 70≈4.248)

A) 20 B) 21 C) 22 D) 23 E) 24

17.

B⊂ A,|A| =nve|B| = kolsun. Bu durumda|C∩B| =1 olacak ¸sekilde kaç farklı C⊂ Aalt kümesi vardır?

A) k2^n−k B) 2^n−k C) (ⁿ_k)2^k D) 2^(nk)

E) 2ⁿ−k

18.

Noktalarının dereceleri a¸sa˘gıdaki gibi olan 6 noktalı çizgelerden hangisi kesinlikle bir a˘gaç belirtmez?

A) 1, 1, 1, 1, 2, 4 B) 1, 1, 2, 2, 2, 2 C) 1, 1, 1, 2, 2, 3 D) 1, 1, 1, 1, 1, 5 E) 2, 2, 2, 2, 3, 3

19.

{a₁, a₂, a₃, a₄, a₅, a₆}kümesi hiçbiri bo¸s küme olmayan 3 ayrık alt kümeye kaç de˘gi-

¸sik ¸sekilde ayrılabilir.

A) 120 B) 112 C) 90 D) 64 E) 28

20.

Özde¸s olmayan ntane top n farklı kutuya da˘gıtılırsa, ilk k kutunun bo¸s olma olasılı˘gı nedir?

A) (^2n−k−1_n−k−1) (²ⁿ⁻¹_n−1) B) (_n−k−1ⁿ⁻¹ ) (ⁿ⁻¹_n−1) C) (ⁿ⁻¹_k−1)

(^n−k_n−1) D)  n−k

n

n

E) n−k k

ÇÖZÜMLER

1.

Bir çizgedeki tüm noktaların derecelerinin toplamının kenar sayısının iki katına e¸sit oldu˘gunu biliyoruz (Teorem 7.1.2). Di˘ger taraftan, bir çizgenin kenarlarının sayısı (ⁿ⁻¹₂ )den fazla ise çizgenin tekparça oldu˘gunu da kanıtladık (Alı¸stırma 7.2.11) Buna göre noktalarının dereceleri toplamı 4+4+4+5+5+5+5=32 olan çizge- nin kenar sayısı 16 ve 16>(⁶₂) =15 oldu˘gundan cevap 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5 olur.

2.

Ders Kitabı Çözümlü Alı¸stırma 7.3.2

˙Istenen ¸sekilde iki farklı turun olması için çizgede derecesi tek olan noktaların sayı- sının en fazla 4 olması gerekir. Buna göre K₆tam çizgesinde her noktanın derecesi 5 ve bu noktalardan 6>4 tane oldu˘gundan istenen ¸sekilde iki farklı tur yoktur.

3.

Bir 3-döngüde 3 nokta bulundu˘gundan ve çizge tam çizge oldu˘gundan çizgenin seçilen herhangi 3 noktası bize bu çizgede bir 3-döngü verecektir. Buradan cevap (⁶₃) =20 olur.

4.

Çizgenin u ve v noktaları dı¸sında kalan nokta sayısı 5 olur. u ile v yi uzunlu˘gu 4 olan bir yolla birle¸stirmek için çizge tam çizge oldu˘gundan 3 farklı nokta seçilmesi gere- kir. ˙Ilk nokta için 5, ikinci nokta için 4 ve üçüncü nokta için 3 seçenek oldu˘gundan cevap 5·4·3=60 olur.

5.

Ders Kitabı Alı¸stırma 6.10.23 (Cevap ezberlenmesin diye sayının iki katı alınmı¸stır)

˙Içerme–dı¸slama prensibi ile cevabın

420−^{ 420} 2 +⁴²⁰

3 +⁴²⁰ 7



+^{ 420} 6 +⁴²⁰

14 +⁴²⁰ 21



−^{ 420} 42



=420

 1−¹

2

  1− ¹

3

  1−¹

7



=120 oldu˘gu hemen bulunur.

Not: 5 de 420 sayısının asal çarpanlarından birisidir. Bu nedenle burada φ(420)nin hesaplanmadı˘gına dikkat ediniz.

6.

Ders Kitabı Çözümlü Alı¸stırma 6.9.4

100 den küçük olan bir m tamsayısı ile 100 aralarında asal ise gcd(m, 100) = 1 de- mektir. Di˘ger taraftan, gcd(m, 100) =gcd(100−m, 100) =1 oldu˘guna göre 100−m sayısı ile 100 de aralarında asal olur. Bu iki sayının toplamı 100 ve {m, 100−m}

sayı çiftlerinden ^φ(100)₂ tane oldu˘guna göre önce φ(100) sayısını hesaplamalıyız.

100=2²·5²oldu˘guna göre cevap

100φ(100)

2 =100100(1−1/2) (1−1/5)

2 =2000

bulunur.

7.

Ders Kitabı Çözümlü Alı¸stırma 6.8.4 (Cevap ezberlenmesin diye 53 yerine 3, 234527 yerine de 234529 alınmı¸stır)

Euclid Bölme Algoritmasına göre, 1=gcd(3, 234529)ve 1=3· (−78176)

| {z }

u

+1·234529

olur. 1≤ −78176≤234529 olmadı˘gından−78176 sayısının 234529 a göre kalanını bulmalıyız. Böylece cevap 156353 olur.

8.

Ardı¸sık Fnve F_n+1Fibonacci sayıları için algoritmanın n−1 adım sürdü˘günü derste göstermi¸stik (Alı¸stırma 6.6.9). F₁₂=144 ve F₁₁ =89 oldu˘gundan gerçekten de 89 ve 144 sayılarına algoritmanın 2. adımının her uygulanı¸sında

(55, 89),(34, 55),(21, 34), (13, 21), (8, 13),(5, 8),(3, 5), (2, 3), (1, 2), (0, 1)

| {z }

10kez sayıları elde edilir.

9.

Multinomial teoreminden hemen

∑

n1+n2+n3+n4=10 n₁,n2,n3,n₄≥0

10!

n₁! n₂! n₃! n₄! =

∑

n1+n2+n3+n4=10 n₁,n2,n3,n₄≥0

10!

n₁! n₂! n₃! n₄!(1)ⁿ¹(1)ⁿ²(1)ⁿ³(1)ⁿ⁴

= (1+1+1+1)¹⁰=4¹⁰ elde edilir.

10.

Hiçbir harf tekrar etmedi˘gine göre bu ¸sekilde olu¸sturulabilecek sözcüklerin sayısı

|S| =29·28·27 olur.

˙Istenen ko¸sula uygun sözcüklerin kümesini E ile gösterirsek, 3 harfli bir sözcük(²⁹₃) farklı ¸sekilde seçilip, bu sözcük 1 farklı ¸sekilde sıralanabilece˘ginden|E| = (²⁹₃) ·1 olur.

O halde cevap,

P(E) = |E|

|S| = (²⁹₃)

29·28·27 = ^29!

3! 26!· ¹

29·28·27 = ¹ 3! = ¹

6 olur.

11.

4|12 ve 6|12 olmasına kar¸sın, 4·6 ∤ 12 olur.

12.

Asal sayıların sonsuz tane oldu˘gu eski yunanlılardan beri bilinmektedir (Bkz. Te- orem 6.4.1)

13.

Önce 11 yumurta ikinci konu¸smacıya atılır. Sonra geriye kalan 9 yumurta her iki konu¸smacıya da da˘gıtılır. Buradan cevap

9+2−1 2−1



=^10 1



=10 olur.

14.

Soruyu içerme–dı¸slama prensibi ile çözelim: Hiç bir ko¸sul olmazsa kartpostallar 4·4· · ·4

| {z }

10tane

= 4¹⁰ = |S| farklı ¸sekilde gönderilir. c_i ile i. kartpostalın gönderilme- di˘gi durumların kümesini gösterirsek, |c_i| = 3¹⁰, |c_ic_j| = 2¹0, |c_ic_jc_k| = 1¹⁰ ve

|c₁c₂c₃c₄| =0 olur. Böylece cevap

|c₁c₂c₃c₄| =4¹⁰−4·3¹⁰+^4 2



2¹⁰−^4 3



=4¹⁰−4·3¹⁰+6·2¹⁰−4 olur.

15.

Ders Kitabı Çözümlü Alı¸stırma 1.3.4 Cevabın

2·^10¹⁵−10¹⁴

=2·10¹⁴(10−1) =18·10¹⁴ oldu˘gu açıktır.

16.

Ders Kitabı Çözümlü Alı¸stırma 1.4.2 (n yerine 70 alınmı¸s)

2⁷⁰sayısı onluk sistemde yazıldı˘gında k basamaklı olsun. Bu durumda

10^k−1≤2⁷⁰<₁₀^k ⇒ log 10^k−1≤log 2⁷⁰<_{log 10}^k ⇒ k−1≤70 log 2<_k olur. Buradan

k=^70 log 2+1=^~70·0.301+1=^~21.070+1=22 cevabı bulunur.

17.

(Ders kitabı alı¸stırma 1.8.21) Bunun için önce B kümesinden kesi¸simde olacak ele- manı seçer sonra bu elemanı A−Bkümesinin alt kümesine eklersek istenen türde kümeler elde ederiz. B kümesinden bir eleman k farklı ¸sekilde seçilebilir. A−Bkü- mesinin n−kelemanı oldu˘gundan 2^n−kalt kümesi vardır. O halde cevap k2^n−kolur.

18.

Teorem 8.2.1 gere˘gi ikiden fazla noktası olan her a˘gaç derecesi 1 olan en az iki nokta bulundurur. Buna göre 2, 2, 2, 2, 3, 3 kesinlikle bir a˘gaç belirtmez.

19.

6=4+1+1=3+2+1=2+2+2 oldu˘guna göre ayrık üç alt küme

• {4elemanlı},{1elemanlı},{1elemanlı},

• {3elemanlı},{2elemanlı},{1elemanlı}ya da

• {2elemanlı},{2elemanlı},{2elemanlı}

¸seklinde olur.

• 4 eleman(⁶₄)farklı ¸sekilde seçilip, kalan 2 elemandan ilk 1 elemanlı küme(²₁) farklı ¸sekilde ve son 1 elemanlı küme ise(¹₁) farklı ¸sekilde olu¸sturulur. 1 ele- manlı kümelerin sırası bir ¸sey de˘gi¸stirmeyece˘ginden 2 ye bölmemiz gerekir.

• Benzer olarak 3 elemanlı küme(⁶₃), kalan 3 elemandan 2 elemanlı alt küme(³₂) ve kalan 1 elemandan ise 1 elemanlı alt küme(¹₁)farklı ¸sekilde olu¸sturulabilir.

• Yine benzer ¸sekilde 2 elemanlı alt kümeler sırasıyla(⁶₂),(⁴₂)ve(²₂)farklı ¸sekilde olu¸sturulabilir. Yine sıra önemli olmadı˘gından 3! ile bölmemiz gerekir.

O halde cevap (⁶₄)(²₁)(¹₁)

2 +^6

3

3 2

1 1



+(⁶₂)(⁴₂)(²₂)

3! =15+60+15=90 olur.

20.

Özde¸s olmayan n tane top n tane kutuya nⁿfarklı ¸sekilde da˘gıtılabilir. ˙Ilk k kutu bo¸s olacak ¸sekilde ise bu toplar(n−k)ⁿfarklı ¸sekilde da˘gıtılır. Böylece cevap, ^(n−k)_nn ⁿ =

n−k n

n

olur.