SERBEST AĞLARIN DENGELENMESİ
Bir jeodezik ağın belirli bir koordinat sisteminde konumu, yönü ve ölçeği belirli olmalıdır. Bir ağın konumu, yönü ve ölçeğini belirleyen parametrelere Datum parametresi denir. Datum parametreleri ile ağın belirlendiği koordinat sistemine göre konumu, yönü ve ölçeği belirlidir.
Yapılan jeodezik ölçüler (yatay doğrultular, yatay ya da eğik uzunluklar, yükseklik farkları, düşey açılar üç boyutlu koordinat farkları) bir jeodezik ağın konumu, yönü ve ölçeği ile ilgili bilgi vermez. Sadece jeodezik ölçülerle oluşturulan ağların datumu belirsiz olduğundan bu tür ağlara serbest ağ, bu ağların dengelenmesi işlemine de Serbest Ağ Dengelemesi denir.
Bir jeodezik ağın oluşturulduğu koordinat sistemindeki yeri, ölçeği ve yönü konusunda bilgi veren DATUM parametrelerinin ağın türüne göre çeşitli sayıda ve özelliktedir. Datum parametreleri ile koordinat sisteminde konumu, yönü ve ölçeği belirli olmayan jeodezik ağın oluşturulduğu koordinat sistemine dönüşümü yapılır. Bu nedenle yapılan işlem koordinat dönüşümü parametreleri ile tanımlanır. Datum parametrelerinin sayısı ve özelliği ağın koordinat boyutuna göre değişir.
Tek boyutlu (1D) yükseklik ağlarında ağın oluşturulduğu koordinat sistemindeki datumunu sadece bir eksen yönündeki öteleme belirleyebilir. Bu durumda ağın datumu en az bir noktanın yüksekliği belirlenebilir. Bu tür ağlara örnek olarak geometrik ve trigonometrik nivelman ağları verilebilir.
İki boyutlu (2D) yatay nirengi ağlarında sadece yatay doğrultu ölçüsü yapılmışsa ağın oluşturulduğu koordinat sistemindeki datumunu iki eksen yönündeki öteleme, eksenlerin dönüklüğü ve ölçek faktörü belirleyebilir. Bu durumda ağın datumu en az iki noktanın yatay koordinatı belirlenebilir. Bu tür ağlara örnek olarak yatay doğrultu ağları verilebilir.
İki boyutlu (2D) yatay nirengi ağlarında yatay doğrultu ve yatay uzunluk ölçüleri yapılmışsa ağın oluşturulduğu koordinat sistemindeki datumunu ağın oluşturulduğu koordinat sistemindeki datumunu iki eksen yönündeki öteleme, eksenlerin dönüklüğü belirleyebilir. Bir datum ölçülen kenar ölçüsü ile belirlenmiş olur. Bu durumda ağın datumu en az bir noktanın yatay koordinatı ve bir kenar ölçüsü belirleyebilir. Bu tür ağlara örnek olarak yatay doğrultu-kenar ağları verilebilir.
Üç boyutlu (3D) ağlarda ağın oluşturulduğu koordinat sistemindeki datumunu üç eksen yönündeki öteleme, eksenlerin dönüklüğü ve ölçek faktörü belirler. . Bu durumda ağın
datumu en az iki noktanın üç boyutlu koordinatı ve bir kenar ölçüsü belirleyebilir. Bu tür ağlara örnek olarak 3D doğrultu ve 3D doğrultu-kenar ağları verilebilir.
GPS ağları 3D konum belirleme ağlarıdır fakat GPS ölçüsünde uydunun konumu bilindiğinden üç datum parametresi ve kenar ölçü yapılarak ölçek faktörü belirlendiğinden bu sayı yediden üçe iner. Bu durumda GPS ağlarının datumunu en az bir noktanın üç boyutlu koordinatı belirleyebilir.
Datum parametrelerinin tümünün ya da bir kısmının bilinmediği durumda ağın dengeleme işleminde datum defekti oluşur ve bu datum defekti sayısı (d) bilinmeyen datum parametresi kadardır. Yani bir serbest ağda ağın datum parametrelerinin tümü ya da bir kısmı bilinmiyor olabilir. Bilinmeyen datum defekti sayış d ile belirlenir.
Ağların türüne göre Datum parametreleri ve bu parametreleri belirleyen koordinat ya da jeodezik ölçü özellikleri aşağıdaki tabloda verilmiştir.
Ağın Boyutu
Ağın Türü Datum parametre
Sayısı Türü
1D
Geometrik Nivelman Ağı 1 Bir noktanın yüksekliği Trigonometrik Nivelman Ağı 1 Bir noktanın yüksekliği
2D Yatay Doğrultu Ağı 4 İki noktanın yatay koordinatı (X,Y)
Yatay Doğrultu-Kenar Ağı 3 Bir noktanın yatay koordinatı (X,Y), bir doğrultunun yönü 3D
Üç Boyutlu Doğrultu Ağı 7 İki noktanın üç boyutlu koordinatı (X,Y,Z), bir doğrultunun yönü Üç Boyutlu Doğrultu Ağı 6 İki noktanın üç boyutlu koordinatı (X,Y,Z),
GPS Ağı 3 Bir noktanın üç boyutlu koordinatı (X,Y,Z),
Datumu belirli bir ağın bir jeodezik ağın dayalı dengelemesi en küçük kareler yöntemine göre yapılır. Bu şekilde dengeleme yapılarak koordinatı hesaplanan noktaların doğruluğu ve duyarlığının sabit olarak alınan koordinat değerlerinden etkilenmesi kaçınılmazdır. Bu şekilde yapılan çözümde aslında mümkün olmayan şekilde bazı noktaların koordinatları sabit yani hatasız kabul edilir ve çözüm sonucunda sadece yeni ölçülere düzeltme getirilir. Bu durumda doğal olarak sabit alınan noktalardan uzaklaşıldıkça ölçülerdeki düzeltme değerleri artacaktır.
Datum parametrelerinin tümü ya da en az biri bilinmeyen ağların dengelemesinde en küçük kareler yöntemine göre çözüm yapılamaz. Yapılan çözümde normal denklemlerde bilinmeyenlerin katsayılar matrisi 𝑁𝑁 = (𝐴𝐴𝑇𝑇𝑃𝑃𝐴𝐴) matrisinin tersi alınamaz. Bu durumda çözüm için iki farklı yaklaşım kullanılır.
Birinci yaklaşım sadece ağın datumunu belirleyecek sayıda ölçünün sabit alındığı
“zorlamasız” ya da “kısmi iz minimum” çözümü yapılır.
İkinci yaklaşımda ise ağın çözümünde amaç fonksiyonu olarak seçilen (𝑉𝑉𝑇𝑇𝑃𝑃𝑉𝑉) = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚.
şartının yanına ağın oluşturulduğu koordinat dönüşümünü de sağlayacak (𝑥𝑥𝑇𝑇𝑥𝑥) = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚.
şartı da eklenir ve “tüm iz minimum” çözümü yapılır.
Tüm iz minimum çözümünde tüm noktaların koordinatları bilinmeyen olarak alınır.
Kurulan matematik model;
Fonksiyonel model Stokastik Model
(x,y,z,....,u);i 1,2,....,n Φ
Vi i
i+ = =
ve P =Q−1
Şeklindedir. Doğrusallaştırılmış düzeltme denklemleri,
𝑉𝑉 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 − ℓ 𝑃𝑃ℓℓ = 𝑄𝑄ℓℓ−1
Olarak elde edilir. Yazılan amaç fonksiyonu ile çözüm;
𝑉𝑉𝑇𝑇𝑄𝑄ℓℓ−1𝑉𝑉 = 𝑉𝑉𝑇𝑇𝑃𝑃ℓℓ𝑉𝑉 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚.
(𝐴𝐴𝑇𝑇𝑃𝑃𝐴𝐴)𝐴𝐴 − (𝐴𝐴𝑇𝑇𝑃𝑃ℓ) = 0 Normal Denklemler 𝑁𝑁𝐴𝐴 − 𝑚𝑚 = 0
Elde edilir. 𝑁𝑁 = (𝐴𝐴𝑇𝑇𝑃𝑃𝐴𝐴) matrisinin tersini alabilmek ve 𝑚𝑚𝑖𝑖{𝑁𝑁+} = min. ve (𝑥𝑥𝑇𝑇𝑥𝑥) = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚. şartlarını sağlayabilmek için Moore-Penrose ters alma işlemi yapılır. Bu işlemde normal denklemeler katsayılar matrisi N’nin tersi N+ ile gösterilir ve
𝑁𝑁+ = (𝑁𝑁 + 𝐺𝐺𝐺𝐺𝑇𝑇)−1− 𝐺𝐺𝐺𝐺𝑇𝑇
Eşitliğiyle bulunur. Bilinmeyenlerin çözümü için;
𝑥𝑥 = 𝑁𝑁+𝑚𝑚 = [(𝑁𝑁 + 𝐺𝐺𝐺𝐺𝑇𝑇)−1− 𝐺𝐺𝐺𝐺𝑇𝑇] (𝐴𝐴𝑇𝑇𝑃𝑃ℓ)
Eşitliği kullanılır.
Ayrıca Moore-Penrose ters için kullanılan G matrisi şu şartları da sağlar.
𝐺𝐺𝑇𝑇𝑥𝑥 = 0, 𝐴𝐴𝐺𝐺 = 0, 𝐺𝐺𝑇𝑇𝑚𝑚 = 0, 𝑁𝑁+𝐺𝐺 = 0, 𝐺𝐺𝑇𝑇𝐺𝐺 = 𝐸𝐸 (𝑏𝑏𝑚𝑚𝑏𝑏𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑏𝑏𝑚𝑚𝑚𝑚)
G matrisinin görevi jeodezik ağın datumunu belirlemek yani ağın oluşturulduğu koordinat sistemine dönüşümünü sağlamaktır.
1D ağlarda (nivelman Ağları) G matrisi yapısı; (p ağdaki nokta sayısı)
𝐺𝐺(𝑝𝑝,1) =
⎣⎢
⎢⎢
⎢⎡1/�𝑝𝑝 1/�𝑝𝑝 1/�𝑝𝑝⋮ 1/�𝑝𝑝⎦⎥⎥⎥⎥⎤
2D ağlarda (yatay doğrultu Ağları) G matrisi yapısı; (p ağdaki nokta sayısı)
𝐺𝐺(2𝑝𝑝,4) =
⎣⎢
⎢⎢
⎡1/�𝑝𝑝 0⋮ 1/�𝑝𝑝
0
1/�𝑝𝑝0 0⋮ 1/�𝑝𝑝
−𝑦𝑦1′′
𝑥𝑥1′′
−𝑦𝑦⋮𝑛𝑛′′
𝑥𝑥𝑛𝑛′′
𝑥𝑥1′′
𝑦𝑦1′′
𝑥𝑥⋮𝑛𝑛′′
𝑦𝑦𝑛𝑛′′⎦⎥⎥⎥⎤
2D ağlarda (yatay doğrultu-Kenar Ağları) G matrisi yapısı; (p ağdaki nokta sayısı)
𝐺𝐺(2𝑝𝑝,3) =
⎣⎢
⎢⎢
⎡1/�𝑝𝑝 0⋮ 1/�𝑝𝑝
0
1/�𝑝𝑝0 0⋮ 1/�𝑝𝑝
−𝑦𝑦1′′
𝑥𝑥1′′
−𝑦𝑦⋮𝑛𝑛′′
𝑥𝑥𝑛𝑛′′ ⎦⎥⎥⎥⎤
3D ağlarda (yatay doğrultu) G matrisi yapısı; (p ağdaki nokta sayısı)
𝐺𝐺(3𝑝𝑝,7) =
⎣⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎡1
��𝑝𝑝 0 0
0 1
��𝑝𝑝 0
0 0 1
��𝑝𝑝
0 −𝑖𝑖1′′ 𝑦𝑦1′′
𝑖𝑖1′′ 0 −𝑥𝑥1′′
−𝑦𝑦1′′ 𝑥𝑥1′′ 0 𝑥𝑥1′′
𝑦𝑦1′′
𝑖𝑖1′′
… … . .… …
1��𝑝𝑝 0 0
0 1
��𝑝𝑝 0
0 0 1
��𝑝𝑝
0 −𝑖𝑖𝑛𝑛′′ 𝑦𝑦𝑛𝑛′′
𝑖𝑖𝑛𝑛′′ 0 −𝑥𝑥𝑛𝑛′′
−𝑦𝑦𝑛𝑛′′ 𝑥𝑥𝑛𝑛′′ 0 𝑥𝑥𝑛𝑛′′
𝑦𝑦𝑛𝑛′′
𝑖𝑖𝑛𝑛′′
⎦⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎤
3D ağlarda (yatay doğrultu-Kenar Ağları) G matrisi yapısı; (p ağdaki nokta sayısı)
𝐺𝐺(3𝑝𝑝,6) =
⎣⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎡1
��𝑝𝑝 0 0
0 1
��𝑝𝑝 0
0 0 1
��𝑝𝑝
0 −𝑖𝑖1′′ 𝑦𝑦1′′
𝑖𝑖1′′ 0 −𝑥𝑥1′′
−𝑦𝑦1′′ 𝑥𝑥1′′ 0
… … . .… …
1��𝑝𝑝 0 0
0 1
��𝑝𝑝 0
0 0 1
��𝑝𝑝
0 −𝑖𝑖𝑛𝑛′′ 𝑦𝑦𝑛𝑛′′
𝑖𝑖𝑛𝑛′′ 0 −𝑥𝑥𝑛𝑛′′
−𝑦𝑦𝑛𝑛′′ 𝑥𝑥𝑛𝑛′′ 0
⎦⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎤
GPS Ağlarında G matrisi yapısı; (p ağdaki nokta sayısı)
𝐺𝐺(3𝑝𝑝,3) =
⎣⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎡1
��𝑝𝑝 0 0
0 1
��𝑝𝑝 0
0 0 1
��𝑝𝑝
… … . .… …
1��𝑝𝑝 0 0
0 1
��𝑝𝑝 0
0 0 1
��𝑝𝑝
⎦⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎤
G matrislerinde kullanılan koordinatlar (𝑥𝑥𝑖𝑖′′, 𝑦𝑦𝑖𝑖′′, 𝑖𝑖𝑖𝑖′′) normlandırılmış koordinatlardır.
Normlandırma işlemi için;
Koordinatlar ağırlık merkezine kaydırılır,
Normlandırma elemanı c hesaplanır,
Normlandırılmış koordinatlar hesaplanır.
Koordinat merkezine kaydırma işleminde önce ortalama koordinatlar (xg, yg, zg) bulunur.
𝑥𝑥𝑔𝑔 = [𝑋𝑋]𝑝𝑝 , 𝑦𝑦𝑔𝑔 = [𝑌𝑌]𝑝𝑝 , 𝑖𝑖𝑔𝑔 = [𝑍𝑍]𝑝𝑝 (p ağdaki nokta sayısı)
ağırlık merkezine kaydırılmış koordinatlar;
𝑥𝑥𝑖𝑖′= 𝑥𝑥𝑖𝑖 − 𝑥𝑥𝑔𝑔, 𝑦𝑦𝑖𝑖′= 𝑦𝑦𝑖𝑖 − 𝑦𝑦𝑔𝑔, 𝑖𝑖𝑖𝑖′= 𝑖𝑖𝑖𝑖 − 𝑖𝑖𝑔𝑔
Normlandırma elemanı c,
𝑐𝑐 = 1
���𝑥𝑥′ �2� + ��𝑦𝑦′ �2� + ��𝑖𝑖′ �2�
Normlandırılmış koordinatlar,
𝑥𝑥𝑖𝑖′′ = 𝑐𝑐𝑥𝑥𝑖𝑖′; 𝑦𝑦𝑖𝑖′′ = 𝑐𝑐𝑦𝑦𝑖𝑖′; 𝑖𝑖𝑖𝑖′′ = 𝑐𝑐𝑖𝑖𝑖𝑖′
eşitliğiyle elde edilir.
