MESLEK YÜKSEKOKULLARI MAT101 MATEMATİK DERS NOTLARI. Hafta 07 Özdeşlikler ve Çarpanlara Ayırma. Dr. Öğr. Üyesi Mahmut UÇ

(1)

i

MESLEK YÜKSEKOKULLARI

MAT101 MATEMATİK DERS NOTLARI

Dr. Öğr. Üyesi Mahmut UÇ

2020

Hafta 07

Özdeşlikler ve Çarpanlara Ayırma

(2)

Öğrenme Çıktıları

 Özdeşlik kavramını bilir.

 İki terim toplamının ve farkının karesi ve küpünü alabilir.

 İki kare farkı, iki küp farkı ve iki küp toplamını bilir

 Cebirsel ifadeyi ortak çarpan parantezine alabilir.

 Cebirsel ifadeyi gruplandırarak çarpanlara ayırabilir.

 𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝑐 cebirsel ifadesini çarpanlarına ayırmayı bilir.

(3)

İçindekiler

Özdeşlikler ... 1

İki Terim Toplamının ve Farkının Karesi ve Küpü (Tam Kare‐Tam Küp) ... 1

Verilen İki Terim Toplam ve Farkının Kare ve Küpünü almak ... 2

İki Kare ve Küp Farkı, İki Küp Toplamı... 4

Çarpanlara Ayırma ... 4

Ortak Çarpan Parantezine Alma ... 5

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma ... 6

𝑎𝑥2 𝑏𝑥 𝑐 Biçimindeki Cebirsel İfadeleri Çarpanlarına Ayırma ... 7

𝑥2 𝑏𝑥 𝑐 İfadesini Çarpanlarına Ayırma ... 8

𝑎𝑥2 𝑏𝑥 𝑐 İfadesini Çarpanlarına Ayırma ...10

ÖSYM Sınavlarında Çıkmış Sorular ...13

(4)

Özdeşlikler

Tanım: Bilinmeyenin her değeri için eşit olan cebirsel ifadelere özdeşlik denir.

Örnek 1:

 𝑥 2 2𝑥 𝑥 2

 𝑥 2𝑥 𝑥 𝑥 2

 2𝑥 4 𝑥 2

Yukarıdaki örneklerde 𝑥 yerine hangi sayısal değeri verirseniz verin eşitlik sağlanacaktır. Dolayısıyla bu cebirsel ifadeler birer özdeşliktirler.

Örnek 2: 𝑥 2 3𝑥 cebirsel ifadesinde her 𝑥 sayısal değeri için sağlanmaz.

Bu eşitlikte, 𝑥 1 için eşitliğin sol tarafı 3 iken sağ tarafı 2 olur. O halde özdeşlik değildir.

Örnek 3: 𝑥 4𝑥 cebirsel ifadesinde her 𝑥 sayısal değeri için sağlanmaz. Bu eşitliğin sadece 𝑥 0, 𝑥 2 ve 𝑥 2 değerleri için sağlandığına dikkat ediniz. Dolayısıya bu cebirsel ifade özdeşlik değildir.

Not: Her 𝑥 değeri için sağlanmayan Örnek 2 ve Örnek 3’deki cebirsel ifadelere ileride denklem diyeceğiz.

İki Terim Toplamının ve Farkının Karesi ve Küpü (Tam Kare‐Tam Küp)

İki terim toplamının ve farkının karesi ve küpü ile ilgili özdeşlikler aşağıdadır. Bu özdeşlikleri ifade ederken tam kare ya da tam küp de diyeceğiz.

1. 𝑎 𝑏 𝑎 2𝑎𝑏 𝑏

2. 𝑎 𝑏 𝑎 2𝑎𝑏 𝑏

(5)

3. 𝑎 𝑏 𝑎 3𝑎 𝑏 3𝑎𝑏 𝑏

4. 𝑎 𝑏 𝑎 3𝑎 𝑏 3𝑎𝑏 𝑏

Verilen İki Terim Toplam ve Farkının Kare ve Küpünü almak

Örnek 4: 𝑥 2𝑦 ifadesinin eşitini yazalım. Yukarıdaki 2. özdeşlikte 𝑎 yerine 𝑥, 𝑏 yerine 2𝑦 yazıldığında;

𝑥 2𝑦 𝑥 2 ⋅ 𝑥 ⋅ 2𝑦 2𝑦

𝑥 4𝑥𝑦 4𝑦

elde edilir.

Örnek 5: 𝑎 2 ifadesinin eşitini yazalım. Yukarıdaki 3. özdeşliği kullanırsak;

𝑎 2 𝑎 3𝑎 ⋅ 2 3𝑎 ⋅ 2 2

𝑎 6𝑎 12𝑎 8

elde edilir.

Örnek 6: 𝑥 3 ifadesinin eşitini yazalım. Yukarıdaki 1. özdeşlik kullanıldığında;

𝑥 3 𝑥 2 ⋅ 𝑥 ⋅ 3 3

𝑥 6𝑥 9

elde edilir.

Yukarıdaki örneklerde verilen iki terim toplamının ya da farkının kare ya da küp açılımlarını yaptık. Bazen de açık olarak verilmiş olan ifadeyi iki terim toplam ya da farkının karesi ya da küpü olarak yazmamız gerekebilir.

𝑎 ∓ 2𝑎𝑏 𝑏 biçimindeki cebirsel ifadeyi toplam ya da farkın karesi olarak nasıl yazabileceğimize bakalım:

𝑎 𝑏

𝑎 2𝑎𝑏 𝑏 a b

2𝑎𝑏

𝑎 𝑏

𝑎 2𝑎𝑏 𝑏 a b

2𝑎𝑏

(6)

Yukarıdaki iki diyagramı incelediğinizde birinci ve üçüncü terimlerin

kareköklerinin çarpımının iki katı ortadaki ifadeyi veriyorsa cebirsel ifade tam kare ifade olup eşitliğin sağındaki gibi yazılır. Ortadaki işarete dikkat ediniz.

Örnek 7: 𝑥 6𝑥 9 ifadesinin özdeşini yazalım.

Örnek 9: 4𝑥 12𝑥 9 ifadesinin özdeşini yazalım.

𝑥 3

𝑥 6𝑥 9 x 3

6𝑥

𝑥 3

𝑥 6𝑥 9 x 3

6𝑥

2𝑥 3

4𝑥 12𝑥 9 2𝑥 3

12𝑥

(7)

İki Kare ve Küp Farkı, İki Küp Toplamı

Bu kısımdaki özdeşliklerimiz de aşağıdakilerdir:

1. 𝑥 𝑦 𝑥 𝑦 𝑥 𝑦

2. 𝑥 𝑦 𝑥 𝑦 𝑥 𝑥𝑦 𝑦

3. 𝑥 𝑦 𝑥 𝑦 𝑥 𝑥𝑦 𝑦

Örnek 11: 𝑥 4 ifadesinin özdeşini yazalım.

𝑥 4 𝑥 2 𝑥 2 𝑥 2

Örnek 12: 𝑥 8 ifadesinin özdeşini yazalım.

𝑥 8 𝑥 2 𝑥 2 𝑥 2𝑥 4

Örnek 13: 8𝑥 27 ifadesinin özdeşini yazalım.

8𝑥 27 2𝑥 3 2𝑥 3 2𝑥 2𝑥 ⋅ 3 3

2𝑥 3 4𝑥 6𝑥 9

Çarpanlara Ayırma

Tanım: Cebirsel ifadeyi başka cebirsel ifadelerin çarpımı biçiminde yazmaya çarpanlara ayırma denir.

𝑥 4

𝑥 8𝑥 16 𝑥 4

8𝑥

(8)

𝐴 𝐵 ⋅ 𝐶 ⋅ 𝐷 ise burada 𝐴 ifadesi çarpanlara ayrılmış ve çarpanları da 𝐵, 𝐶 ve 𝐷’dir.

𝐴 𝐵 ⋅ 𝐶 𝐷 ise burada sağ tarafta 𝐷 toplam terimi bulunduğundan 𝐴 çarpanlarına ayrılmamıştır.

Örnek 14: 2𝑥 3𝑥 2 2𝑥 1 𝑥 2 eşitliğini göz önüne alalım. Burada eşitliğin sağ tarafı çarpım terimlerinden oluştuğundan dolayı 2𝑥 3𝑥 2 cebirsel ifadesi çarpanlarına ayrılmış ve çarpanları, 2𝑥 1 ve 𝑥 2 ’dir.

Örnek 15: 2𝑥 𝑥 2 2𝑥 3 𝑥 1 5 eşitliğini göz önüne alalım.

Eşitliğin hem sağında hem de solunda toplam terimler var olduğundan ne sağ taraf ne de sol taraf çarpanlarına ayrılmıştır.

Ortak Çarpan Parantezine Alma

Cebirsel ifadenin her bir toplam teriminde çarpan olarak bulunan ortak ifadeyi parantezin dışına alarak çarpanlara ayrılabilir.

Örnek 16:

6𝑥𝑦 2𝑥 4𝑧𝑥 6𝑦 2 4𝑧 𝑥

3𝑥𝑦 𝑥 2𝑧𝑥 2

3𝑦 1 2𝑧 2𝑥

Yukarıdaki örnekte birinci satırda 𝑥’in ortak olduğu, ikinci satırda 2’nin ortak olduğu ve üçüncü satırda da 2𝑥’in ortak olduğu dikkate alınarak çarpanlara ayrılmıştır. Üçü de soldaki ifadenin çarpanlara ayrılmış biçimidir.

Örnek 17: 2𝑥 𝑦 8𝑥𝑦 16𝑥𝑦 çarpanlara ayıralım. Bu ifadede 2, 𝑥 ve 𝑦 ortak çarpanlardır. Hepsini parantez dışına alarak çarpanlara ayoralım. O halde;

2𝑥 𝑦 8𝑥𝑦 16𝑥𝑦 2𝑥𝑦 𝑥𝑦 4 8𝑦

biçiminde çarpanlara ayrılır.

(9)

Örnek 18: 𝑎𝑥 3𝑥 2𝑎 6 ifadeini çarpanlara ayıralım. Bu cebirsel ifadede dört tane toplam terimin herbirinin içinde ortak çarpan göremiyoruz. Bu örnek için diğer bir yöntem verelim.

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma

Cebirsel ifadenin tamamında ortak çarpan olmadığı ve gruplara ayrılarak ortak çarpan parantezine alındığında yeni ortak çarpanlar oluştuğu durumlarda bu yöntem kullanılır.

Örnek 18’i çarpanlara ayıralım:

𝑎𝑥 3𝑥 2𝑎 6 𝑎𝑥 3𝑥 2𝑎 6

𝑥 𝑎 3 2 𝑎 3

𝑎 3 𝑥 2

farklı gruplandırma ile:

𝑎𝑥 3𝑥 2𝑎 6 𝑎𝑥 2𝑎 3𝑥 6

𝑎 𝑥 2 3 𝑥 2

𝑎 3 𝑥 2

Örnek 19: 𝑥 𝑦 𝑥𝑦 2𝑥 2𝑥 ifadesini çarpanlarına ayıralım.

𝑥 𝑦 𝑥𝑦 2𝑥 2𝑥 𝑥 𝑦 𝑥𝑦 2𝑥 2𝑥

𝑥𝑦 𝑥 1 2𝑥 𝑥 1

𝑥 1 𝑥𝑦 2𝑥

𝑥 𝑥 1 𝑦 2

𝑥 𝑥 𝑦 2

Yukarıdaki örneğin çözümünde son üç satırın başta verilen ifadenin çarpanlara ayrılmış şekli olduğuna dikkat ediniz. Buradan bir cebirsel ifadenin farklı

çarpanlar kullanılarak çarpanlara ayrılabileceğini de tekrar vurgulamış olalım.

(10)

𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝑐 Biçimindeki Cebirsel İfadeleri Çarpanlarına Ayırma

Daha önce tam kare ifadeleri çarpanlara ayırırken 𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝑐 biçimindeki ifadeleri çarpanlarına ayırmıştık. Ancak her 𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝑐 ifadesi tam kare olmayabilir. Bu bölümde söz konusu cebirsel ifadeyi daha genel olarak ele alacağız. Öncesinde bu cebirsel ifadenin tam kare olup olmadığını nasıl anladığımızı tekrar edelim.

𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝑐 ifadesinde birinci terimin karekökü ile üçüncü terimin

karekökünün çarpımının iki katı ortadakini terimi veriyorsa (terimlerin sırasının değişebileceğini unutmayın) ifade tam karedir.

Örnek 20: 81𝑎 36𝑎 4 ifadesini çarpanlara ayıralım.

𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝑐 cebirsel ifadesi tam kare olmasa bile kullanabileceğimiz daha genel bir yöntem vereceğiz. Bu yöntem tam kare ifadeleri de çarpanlara

ayırırken kullanılabilir. Bu yöntemi 𝑥 ‘nin kat sayısı yani 𝑎 ‘nın 1 olup olmaması durumuna göre ayrı ayrı ele alacağız.

Önce 𝑎 1 olması halini yani 𝑥 𝑏𝑥 𝑐 ifadesinin çarpanlara ayrılması ile ilgili yöntemi verelim.

9𝑎 2

81𝑎 36𝑎 4 9a 2

36𝑥

(11)

𝑥 𝑏𝑥 𝑐 İfadesini Çarpanlarına Ayırma

𝑥 𝑏𝑥 𝑐 ifadesini çarpanlarına ayırırken çarpımları 𝑐’yi (sabit terimi) toplamları 𝑏’yi (𝑥’in kat sayısını) veren sayıları bulmamız gerekir. Diyelim ki 𝑐 𝑚 ⋅ 𝑛 ve 𝑏 𝑚 𝑛 olacak şekilde 𝑚 ve 𝑛 sayılarını buldum. Bu durumda 𝑥 𝑏𝑥 𝑐 𝑥 𝑚 𝑥 𝑛 biçiminde çarpanlarına ayrılır. Diyagram olarak;

ifade edebiliriz.

Not: Yukarıda bahsi geçen 𝑚 ve 𝑛 sayılarını bulamıyorsak bu ifadenin

çarpanlara ayrılmadığı anlamına gelmez. Biz burada sadece tam sayı katsayılı çarpanlara ayırma yaparken kullanılacak pratik yöntemi veriyoruz.

Örnek 21: 𝑥 3𝑥 2 ifadesini çarpanlarına ayıralım.

Yukarıdaki örnekte aradığımız 𝑚 ve 𝑛 sayıları 1 ve 2 olup verilen ifade 𝑥 1 𝑥 2 biçiminde çarpanlarına ayrılır.

Örnek 22: 𝑥 𝑥 6 ifadeini çarpanlarına ayıralım. Öncelikle uygulayacağımız yönteme göre; çarpımı 𝑐’yi yani 6’yı veren çarpanları bulalım.

𝑚 ⋅ 𝑛

𝑥 𝑏𝑥 𝑐 𝑥 𝑚 𝑥 𝑛

𝑚 𝑛

1 ⋅ 2

𝑥 3𝑥 2 𝑥 1 𝑥 2

1 2

𝑥 𝑥 6

1 1 2 2

6 6 3 3

(12)

Bu sayı çiftlerinden karşılıklı sayıların çarpımları 6 olup toplamları 1 olanı seçmeliyiz. O halde bu cebirsel ifade 𝑥 2 𝑥 3 olarak çarpanlara ayrılır.

Örnek 23: 𝑥 8𝑥 16 ifadesini çarpanlarına ayıralım.

4 4 8, 𝑥’in kat sayısı olduğundan 𝑥 4 𝑥 4 𝑥 4 biçiminde çarpanlarına ayrılır. Bu örnekte ifadenin tam kare olduğuna dikkat ediniz.

Şimdi de 𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝑐 cebirsel ifadesinde 𝑥 ‘nin kat sayısının yani 𝑎 ‘nın 1 olmaması duru için yöntem verelim. Bu yöntem önceki verdiğimiz yöntemleri kapsayan daha genel bir yöntemdir.

𝑥 8𝑥 16

1 1 2 2 4 4

16 16 8 8 4 4

(13)

𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝑐 İfadesini Çarpanlarına Ayırma

𝑎 𝑚 ⋅ 𝑛, 𝑐 𝑝 ⋅ 𝑞 ve 𝑏 𝑚 ⋅ 𝑞 𝑛 ⋅ 𝑝 olacak şekilde 𝑚, 𝑛, 𝑝 ve 𝑞 sayılarını bulduğumuzu düşünelim. Bu durumda 𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝑐 ifadesi 𝑚𝑥 𝑝 𝑛𝑥 𝑞 olarak çarpanlarına ayrılabilir. Bunu diyagram olarak;

Örnek 24: 2𝑥 𝑥 3 ifadesini çarpanlarına ayıralım.

𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝑐

𝑚 𝑛

𝑝 𝑞

𝑚 ⋅ 𝑞 𝑛 ⋅ 𝑝 𝑏’ye eşit olmalı

𝑚𝑥 𝑝 , 1. çarpan 𝑛𝑥 𝑞 , 2. çarpan

2𝑥 𝑥 3

2 1

3 1

2 ⋅ 1 1 ⋅ 3 1 𝑥’in katsayısına eşit 2𝑥 3 , 1. çarpan

𝑥 1 , 2. çarpan

(14)

O halde, 2𝑥 𝑥 3 2𝑥 3 𝑥 1 olarak çarpanlarına ayrılabilir.

Örnek 25: 3𝑥 2𝑥 8 ifadesini çarpanlarına ayıralım.

Bulduğumuz bu sayıların çapraz çarpımlarının toplamı ortadaki (𝑥’in katsayısını) terimin katsayısını verdiğinden 3𝑥 2𝑥 8 3𝑥 4 𝑥 2 biçiminde çarpanlara ayrılır.

Aynı örnek için ağağıdaki sayları da göz önüne alalım.

İstenen şartı bu sayılar da sağladığından 3𝑥 2𝑥 8 3𝑥 4 𝑥 2 olarak da yazılabilir. Bu sonuç yukarıdakinden farklı değildir.

Örnek 26: 4𝑥 8𝑥 4 ifadesini çarpanlara ayıralım.

Bu sayılar istenen şartı sağladığından

3𝑥 2𝑥 8

3 1

4 2

3𝑥 2𝑥 8

3 1

4 2

4𝑥 8𝑥 4

2 2

(15)

4𝑥 8𝑥 4 2𝑥 2 2𝑥 2 2𝑥 2

Biçiminde çarpalarına ayrılır. İfadenin tam kare olduğuna dikkat ediniz. Tam kareler konusunda verdiğimiz yöntemi de kullanabilirdiniz.

Örnek 27: 𝑥 𝑥 12 ifadesini çarpanlarına ayıralım.

Bu sayılar istenen şartı sağlar ve 𝑥 𝑥 12 𝑥 4 𝑥 3 biçiminde çarpanlara ayrılır. 𝑥 ’nin katsayısı 1 olduğundan bu ifadeyi bir önceki verdiğimiz yöntemle de çarpanlarına ayırabilirsiniz.

𝑥 𝑥 12

1 1

4 3

(16)

ÖSYM Sınavlarında Çıkmış Sorular

1. 𝑎 1 𝑎 1 ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?

A) 𝑎 B) 2𝑎 C) 3𝑎 D) 4𝑎 E) 5𝑎

(YGS 2010)

Çözüm:

𝑎 1 𝑎 1 𝑎 1 𝑎 1 ⋅ 𝑎 1 𝑎 1

𝑎 1 𝑎 1 ⋅ 𝑎 1 𝑎 1

2 ⋅ 2𝑎 4𝑎

2. 𝑥 2𝑦 3 olduğuna göre,

𝑥 4𝑦 4𝑥𝑦 2𝑦 𝑥 3

ifadesinin değeri kaçtır?

(17)

A) 4 B) 5 C) 8 D) 9 E) 15

(LYS 2011)

Çözüm:

Önce aşağıdaki gibi gruplandıralım.

𝑥 4𝑦 4𝑥𝑦 2𝑦 𝑥 3 𝑥 4𝑥𝑦 4𝑦 𝑥 2𝑦 3

𝑥 4𝑦 4𝑥𝑦 2𝑦 𝑥 3 𝑥 2𝑦 𝑥 2𝑦 3

32 3 3

9

3. 𝑥 ve 𝑦 birer gerçel sayı olmak üzere,

𝑥 3𝑥 𝑦 3

𝑦 3𝑥𝑦 11

eşitlikleri veriliyor. Buna göre, 𝑥 𝑦 farkı kaçtır?

A) 3 B) 2 C) 1 D) 2 E) 3

(LYS 2011)

𝑥 4𝑥𝑦 4𝑦 𝑥 2𝑦

𝑥 2𝑦

𝑥 4𝑥𝑦 4𝑦

4𝑥𝑦

(18)

Çözüm:

Öncelikle iki terim farkının küpünü hatırlayalım.

𝑥 𝑦 𝑥 3𝑥 𝑦 3𝑥𝑦 𝑦

dikkat edilirse yuarıdaki ifade taraf tarafa çıkartıldığında bu özdeşliğin sağ tarafı elde ediliyor.

𝑥 𝑦 𝑥 3𝑥 𝑦 3𝑥𝑦 𝑦 8

𝑥 𝑦 8

𝑥 𝑦 2

4.

𝑎 𝑏 1

𝑎 𝑏 7

16 olduğuna göre, 𝑎 ⋅ 𝑏 çarpımı kaçtır?

A) 132 B) 316 C) 18 D) 1 E) 2

(ÖSS 2001)

Çözüm:

𝑥 3𝑥 𝑦 3

𝑦 3𝑥𝑦 11

𝑥 3𝑥 𝑦 𝑦 3𝑥𝑦 8

(19)

𝑎 𝑏 1 ⇒ 𝑎 𝑏 1

𝑎 𝑏 1 ⇒ 𝑎 3𝑎 𝑏 3𝑎𝑏 𝑏 1

⇒ 𝑎 𝑏 3𝑎 𝑏 3𝑎𝑏 1

⇒ 7

16 3𝑎 𝑏 3𝑎𝑏 1

⇒ 3𝑎 𝑏 2𝑎𝑏 9

16

⇒ 3𝑎𝑏 𝑎 𝑏 9

16

⇒ 3𝑎𝑏 9

16

⇒ 𝑎𝑏 3

16

5. Her 𝑥 gerçel sayısı için,

𝑥 𝑎𝑥 5 𝑥 1 𝑏𝑥 𝑐

olduğuna göre, 𝑎 𝑏 𝑐 toplamı nedir?

A) 9 B) 8 C) 3 D) 4 E) 8

(ÖSS 2002)

Çözüm:

𝑥 𝑎𝑥 5 𝑥 1 𝑏𝑥 𝑐 ifadesinin sağındaki cebirsel ifadeyi açalım.

1𝑥 𝑎𝑥 5 𝑏𝑥 𝑏 𝑐 𝑥 𝑐

(20)

eşitliğin sağ ve solundaki cebirsel ifadelerin eşit olması için karşılıklı katsayılarının eşit olması gerekir. Dolayısıyla;

𝑏 1, 𝑎 𝑏 𝑐 ve 𝑐 5

olmalıdır. Buradan 𝑎 4 olur. Sonuç olarak;

𝑎 𝑏 𝑐 4 1 5 8

6.

𝑎 𝑏 𝑐 𝐴

𝑎 𝑏 𝑐 𝐵

olduğuna göre, 𝐴 𝐵 ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?

A) 4𝑎 𝑏 𝑐 B) 4𝑏 𝑎 𝑐 C) 2𝑐 𝑎 𝑏

D) 2𝑎 𝑏 𝑐 E) 2𝑏 𝑎 𝑐

(ÖSS‐1 2009)

Çözüm:

𝐴 𝐵 𝑎 𝑏 𝑐 𝑎 𝑏 𝑐

𝑎 𝑏 𝑐 𝑎 𝑏 𝑐 ⋅ 𝑎 𝑏 𝑐 𝑎 𝑏 𝑐

2𝑏 2𝑐 ⋅ 2𝑎

(21)

4𝑎 𝑏 𝑐

7.

10𝑥 5

𝑥 4𝑥 5

𝐴

𝑥 5

𝐵 𝑥 1 olduğuna göre, 𝐴 𝐵 farkı kaçtır?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

5 (ÖSS 2001)

8.

𝑥 𝑎𝑥 𝑏

𝑥 11𝑥 28⋅𝑥 4𝑥 21

𝑥 9

𝑥 2

𝑥 3 olduğuna göre, 𝑎 𝑏 toplamı kaçtır?

A) 10 B) 12 C) 14 D) 16 E) 18

14 (ÖSS 2001)

9.

𝑎 2𝑏𝑐 2𝑎𝑐 𝑏

𝑎 𝑏

ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi aşağıdakilerden hangisidir?

A) 𝑎 𝑏 2𝑐 B) 𝑎 𝑏 2𝑐

C) 𝑎 𝑏 2𝑐 D) 𝑎 𝑏 𝑐

E) 𝑎 𝑏 𝑐

A (ÖSS 2002)

(22)

10. 𝑥 0 olmak üzere,

𝑥 4

𝑥

3𝑥 2

𝑥 2

𝑥 olduğuna göre, 𝑥 kaçtır?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 8

4 (ÖSS 2002)

11.

𝑥 𝑦 ⋅ 𝑥 𝑥𝑦 𝑦

𝑥 𝑦 ⋅ 1

𝑥 1

𝑦

A) 𝑥𝑦 B) 𝑥 𝑦 C) 𝑥 𝑦 D) E)

xy (ÖSS 2003)

12.

𝑥 1

𝑥 ⋅ 𝑥 1

𝑥 1

A) 1 B) 𝑥 C) 𝑥 D) 𝑥 E) 𝑥

x^3 (ÖSS 2004)

13.

𝑥 𝑏 1

𝑎 𝑥 𝑏

𝑎

𝑥 1

𝑎

A) 𝑥 𝑎 B) 𝑥 𝑏 C) 𝑥 𝑎 D) 𝑥 𝑏 E) 𝑎𝑥 𝑏

x‐b (ÖSS 2005)

(23)

14.

𝑎

𝑏 ⋅ 𝑎

𝑎 𝑏 1 𝑏

𝑎⋅ 𝑏

𝑎 𝑏 1

A) 𝑎 B) 𝑏 C) 𝑎 𝑏 D) 1 E) 1

‐1 (ÖSS 2005)

15.

2 2

2 2 1: 2 2

2 2𝑥

A) 1 B) 2 C) 2 D) 2 2 E) 2 2

d (ÖSS 2005)

16.

𝑦 27

𝑦 2𝑦 3⋅ 𝑦 3 ⋅ 𝑦 1

𝑦 3𝑦 9

A) 𝑦 3 𝑦 1 B) 𝑦 3 𝑦 2

C) 𝑦 1 𝑦 3 D) 𝑦 1 𝑦 2

E) 𝑦 1 𝑦 3

a (ÖSS‐2 2006)

17.

𝑥

1 𝑥

1

1 𝑥 : 1

1 𝑥

𝑥 1 𝑥 ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi aşağıdakilerden hangisidir?

A) 1 B) 1 C) 𝑥 D) 1 𝑥 E) 1 𝑥

‐1 (ÖSS2 2006)