7. PARANIN ZAMAN DEĞERİ

7. PARANIN ZAMAN DEĞERİ

Paranın zaman değeri, enflasyonun etkisinden arındırılmış bir paranın reel getirisidir. Paranın zaman değeriyle enflasyon oranı karıştırılmamalıdır. Enflasyon, zaman içinde fiyatlar genel seviyesindeki yükselmedir. Paranın zaman değeri ise, bir paranın enflasyon üzerindeki getirisi ile ilgilidir. Paranın zaman değeri, reel faiz veya fırsat maliyeti olarak da tanımlanmaktadır.

Paranın zaman değerini daha iyi anlamak için, enflasyonun sıfır olduğunu kabul edelim. Enflasyonun sıfır olduğu ekonomide, bugün yapılacak bir yatırımın gelecekte bir getirisi olacaktır. Bu getirinin karşılığı reel faiz olarak tanımlanmaktadır.

Örneğin faiz oranı %10 olduğunda yılın başındaki 100 TL, yıl sonunda 110 TL olacaktır. Buna göre yılın başında 100 TL’sini yıllık %10 faizle bankaya yatıran kişi, yıl sonunda 10 TL’lik faiz getirisi elde edecektir. Dolayısıyla birinci yılın başındaki 100 TL’nin değeri, birinci yılın sonundaki 100 TL ile bunun faizinin (10 TL) toplamına eşit olacaktır. Başka bir anlatımla birinci yılın sonunda elde edilecek 110 TL’nin, birinci yılın başındaki değeri 100 TL dir. Bu açıklamalara göre yıllık %10 bileşik faizle bankaya yatırılan 100 TL, birinci yılın sonunda 110 TL, ikinci yılın sonunda 121 TL, üçüncü yılın sonunda 133,1 TL olacaktır.

Yukarıda açıklamaya çalıştığımız durumu, paranın başlangıç değerini K0, faiz oranını f olarak alıp formüle edecek olursak;

Birinci yılın sonunda paramız K1 = K0 + K0f = K0 (1 + f) İkinci yılın sonunda paramız K2 = K1 + K1f = K1 (1 + f)

Üçüncü yılın sonunda paramız K3 = K2 + K2f = K2 (1 + f) olacaktır.

Üçüncü yılın sonunda elde edilecek K3’ü, K0‘a göre yazarsak, K3 = K0 (1 + f)³ olacaktır.

Eşitliği n yılı için genelleştirip ifade edecek olursak;

  ^{1 K}

^{ K}

 ^{1  f} 

formülü elde edilir.

Formüle göre, bugünkü bir paranın (K0), n yılı sonundaki değeri Kn dir. Bu formülle başlangıç yılındaki bir paranın, belirli bir faiz oranına (f) göre, belirli bir yıl (n) sonunda ulaşacağı değer bulunur.

Yukarıdaki (1) nolu formülden K0’ı çekersek,

formülü elde edilir.

Formüle göre, n yılı sonundaki paranın (Kn ) bugünkü değeri K0 dır. Bu formül n yılı sonundaki bir paranın (Kn), belirli bir faiz oranına göre, bugünkü değerinin bulunmasına yarar.

Yukarıdaki (1) ve (2) nolu formüllerde n ve f için, (1 + f)ⁿ ve 1/(1 + f)ⁿ’nin alacağı değerler önceden hesaplanarak çizelge halinde verilmektedir. Dolayısıyla (1) ve (2) nolu formüllerle yapılacak işlemlerde, önceden hesaplanmış bu değerlerin kullanılması işlem açısından kolaylık sağlayacaktır.

Örnek 7.1:

Bankadan yıllık %10 faizle 4 yıl vadeli alınan 100 TL’lik bir borç, dördüncü yılın sonunda faiziyle birlikte kaç TL olur?.

 

n K f

K  ₀ 1 formülde değerler yerine konulursa;

K4 = 100 (1+0,1)⁴

K₄ = 146,41 TL elde edilir.

Örnek 7.2:

Yeni tesis edilen kavaklık bir araziden 8’inci yılın sonunda, kavaklar kesildiğinde elimize 20 Bin TL geçeceğine göre, bu paranın %5 faizle bugünkü (birinci yılın başında) değeri ne kadardır?.





K K

 

0 1 formülde değerler yerine konulursa;

0 

K 13536,79 TL olur.

 





K  

1

2 0

Örnek 7.3:

Bir işletmeci, elindeki sermaye ile 6 yıl ömrü kalmış 10 dekarlık bir meyve bahçesi satın almak istemektedir. Meyve bahçesini satın aldığı takdirde, bahçeden 6 yıl boyunca elde edeceği gelirler aşağıda verilmiştir. İşletmecinin bahçeden 6 yıl boyunca elde edeceği gelirlerin, yıllık %10 faizle toplam bugünkü değerini hesaplayınız?.

İşletmecinin 6 yıl boyunca elde ettiği gelirler,





K K

 

0 1 formülüyle her yıl için tek tek bugüne getirilerek toplanır. Hesaplama sonucunda, 6 yılda meyve bahçesinden elde edilen gelirlerin, toplam bugünkü değeri 1750,5 TL olmaktadır.

Çizelge 7.1. Meyve Bahçesinden Elde Edilen Gelirler Yıllar Gelirler

(TL)

Bugünkü değerler (TL) 1 400 K1 = 400/(1+0,1)¹ = 363,6 2 350 K2 = 350/(1+0,1)² = 289,3 3 500 K3 = 500/(1+0,1)³ = 375,7 4 400 K4 = 400/(1+0,1)⁴ = 273,2 5 450 K₅ = 450/(1+0,1)⁵ = 279,4 6 300 K6 = 300/(1+0,1)⁶ = 169,3 7.1. Yıllık Eşit Değerler

Gelecekte belli bir n yılına ait değerler, (2) nolu formül kullanarak her yıl için ayrı ayrı bugüne getirilerek toplanır. Buda bize, n yılına ait değerlerin toplam bugünkü değerini verecektir. Eğer gelecek yıllara ait değerler birbirine eşit ise, her yıl için ayrı ayrı işlem yapmak yerine, değerler tek bir formülle bugüne getirilebilir. Gelecekteki n yılı için, her yılın sonunda bir K değeri elde ediliyorsa, n yılına ait bütün yıllık değerler birbirine eşit olduğundan, K1 = K2 = K3 =... = Kn-1 = Kn şeklinde yazılabilir.

Dolayısıyla her yılın sonundaki birbirine eşit olan bu değerler, tek bir formülle bugüne biriktirilebilir.

Örneğin 3 yıl boyunca, her yılın sonunda K gibi bir değerin sözkonusu olduğunu varsayalım. Bunun için (2) nolu formülü kullanarak, f faiz oranına göre 3 yıl boyunca aynı miktardaki değerin, toplam bugünkü değeri aşağıdaki şekilde yazılabilir.

 



 

 



f K f

K f

K K

 

 

 

Her iki tarafı (1 +f) ile çarparsak,

  





 



K f

K K

 

 

Yukarıdaki (4) nolu eşitlikten (3) nolu eşitliği çıkartırsak,

 

 

0

0 1 1

f K K

K f

K     

eşitliği elde edilir.

Bu eşitlikte 3 yılı n ile ifade edersek,

     

 

n

f f K f

K 



 

1

1

5 ₀ 1 formülü elde edilir. Bu formülle, n yılına ait yıllık

eşit değerler bugüne biriktirilir. Buna yıllık eşit değerleri başa biriktirme formülü denilir.

Formül (1) (Kn K₀





     

f K f

K

n n

1

6 1 

 formülü elde edilir. Bu formülle, n yılına ait yıllık eşit değerler n yılın sonuna biriktirilir. Buna yıllık eşit değerleri sona biriktirme formülü denilir.

Formüllerde yer alan

 

 

n

f f

f





 1

1

1 ve

 

f f ⁿ 1

1 

‘in değişik faiz oranları ve yıllar için alacağı değerler hesaplanarak çizelge halinde verilmektedir. Buda (5) ve (6) nolu formüllerle yapılacak işlemlerde kolaylık sağlayacaktır.

Formül (5)’deki (

   

 

n

f f K f

K 



 

1 1 1

0 ), yıl sayısını gösteren n sayısı sonsuz olduğu zaman, yani sonsuza kadar her yıl yıllık eşit değerler sözkonusu ise formül,

 

 

 







 

f f K f

K 1

1 1

0 =

f

K.

   

 







 f f 1

1

1 şeklinde yazılabilir.

Formüldeki

 

 







 f f 1

1

1 = 1 olacağından, eşitlik

f

K₀  K şeklini almaktadır. Bu

şekilde sonsuz sayıda her yıl birbirine eşit değerin, f faiz oranına göre toplam bugünkü değeri,

  f

K

 K

7

Formül, sonsuza kadar yıllık eşit geliri olan araziye uygulandığında, f K  R

şeklinde ifade edilmektedir. Formülde K, arazinin toplam bugünkü değerini; R, net geliri (rant); f, kapitalizasyon oranı dır. Örneğin değerini belirleyeceğimiz bir tarla arazisi ise, bu durumda araziden elde edilecek yıllık net geliri, kapitalizasyon oranına böldüğümüzde arazinin değerini bulmuş oluruz.

Örnek 7.4:

Bir işletme 15 yıllığına bir ahır kiralıyor ve bunun içinde birinci yılın sonundan başlamak üzere, her yılın sonunda 3000 TL kira ödemeyi kabul ediyor. İşletme her yılın sonunda ödeme yapmak yerine, toplam kirayı birinci yılın başında ödemeyi kabul etse, yıllık %10 faize göre toplam ne kadar ödemesi gerekiyor.

Burada her yılın sonundaki eşit miktardaki 3000 TL’nin, birinci yılın başına biriktirilmesi sözkonusu olduğundan, (5) nolu formül (

   

 

n

f f K f

K 



 

1 1 1

0 )

uygulanacaktır. Buna göre;

 

 

 

15

0 0,11 0,1

1 1 , 0 3000 1





 

K =22818,2 TL olacaktır.

Örnek 7.5:

Bir işletme 15 yıllığına bir ahır kiralıyor ve bunun içinde birinci yıldan başlamak üzere, her yılın sonunda 3000 TL kira ödemeyi kabul ediyor. İşletme her yılın sonunda ödeme yapmak yerine, toplam kirayı onbeşinci yılın sonunda ödemeyi kabul etse, yıllık

%10 faize göre ne kadar ödemesi gerekiyor.

Burada her yılın sonunda eşit miktardaki 3000 TL’yi, onbeşinci yılın sonuna biriktirme sözkonusu olduğundan, (6) nolu formül (

   

f K f

K

n n

1

1 

 )

uygulanacaktır. Buna göre;

 





 0,1

1 1 , 0 3000 1

15

K15 95317,4 TL olacaktır.

7.2. Periyodik Eşit Değerler

Her n yılı sonunda, belli yıl aynı değerin tekrar etmesine periyodik değer denir.

Belirli bir n yılı sonunda bir değere ulaşıldığında periyot sayısı 1, n iki kez tekrar ettiğinde periyot sayısı 2 olacak şekilde devam edecektir. Burada, her n yılı sonundaki daima eşit periyodik değerler ele alınacaktır.

t adet periyot için, her periyodun sonunda bir p değeri elde ediliyorsa, t periyot sonunda bütün periyodik değerler,

     





1 8 1







 

n nt

nt f

P f

P formülü ile biriktirilir. Buna periyodik değerleri sona biriktirme formüle denilir.

Eşit periyodik değerler bugüne,

formülü ile getirilir. Buna da periyodik değerleri başa biriktirme formülü denilir.

Yukarıdaki (9) nolu formülde (

   

 



  

nt

f f

P f

P   



 

1 1 1

1 1

0 ), priyot sayısını

gösteren t sonsuz olduğu zaman, yani sonsuza kadar eşit periyodik değer sözkonusu ise formül,

 

 

 

  ^{ }











 

f f

P f

P _n

1 1 1

1 1

0 =

 





P

   

 







 f f 1

1

. 1 şeklinde yazılabilir.

Formüldeki

 

 







 f f 1

1

1 = 1 olacağından, eşitlik





P şeklini almaktadır.

Bu şekilde sonsuz sayıdaki periyodik eşit değerin, f faiz oranına göre toplam bugünkü değeri,





) 10 ( ₀



  _n f

P P formülü ile elde edilmektedir.

Bu formül, arazi değerinin belirlenmesinde, periyodik eşit gelirlerin kapitalizasyonu formülü olarak tanımlanmaktadır. Formülle, her n yılın sonundaki geliri p olan periyodik gelirli bir ağaçlık arazinin değeri belirlenir.

Örnek 7.6:

İşletmeye ait 100 TL’lik bir gelir, 5 yıl ara ile 8 kez tekrarlanıyor. Faiz oranı

%10 olduğunda, bu periyodik gelirin sekizinci periyodun sonuna biriktirilmesi isteniyor.

Burada periyodik değerlerin sona götürülmesi sözkonusu olduğundan, (8) nolu

(

   





1 1







 

n nt

nt f

P f

P ) formül kullanılır. Formülde değerler yerine konulursa,

 

 





5 8 . 5 8

.

5  



  P

   

 

1 , 100 1 ₅

40

40 



 

P TL elde edilecektir.

Örnek 7.7:

İşletmeye ait 100 TL’lik bir gelir, 5 yıl ara ile 10 kez tekrarlanıyor. Faiz oranı

%10 olduğunda, bu periyodik gelirin birinci periyodun başına (bugüne) biriktirilmesi isteniyor. Burada periyodik eşit değerlerin başa getirilmesi sözkonusu olduğundan, (9)

nolu (

 

 



  

nt

f f

P f

P   



 

1 1 1

1 1

0 ) formül kullanılacaktır. Formülde değerler yerine konulursa,