3-Boyutlu Öklġd Ve Mġnkowskġ Uzaylarında Bġharmonġk Eğrġler

MATEMATĠK ANABĠLĠM DALI 3-BOYUTLU ÖKLĠD VE MĠNKOWSKĠ UZAYLARINDA BĠHARMONĠK EĞRĠLER

YÜKSEK LĠSANS TEZĠ NAZLI ARIK TEMMUZ 2010

T.C.

UġAK ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ

MATEMATĠK ANABĠLĠM DALI

3-BOYUTLU ÖKLĠD VE MĠNKOWSKĠ UZAYLARINDA BĠHARMONĠK EĞRĠLER

YÜKSEK LĠSANS TEZĠ

NAZLI ARIK

TEZ BĠLDĠRĠMĠ

Tez içindeki bütün bilgilerin etik davranıĢ ve akademik kurallar çerçevesinde elde edilerek sunulduğunu, ayrıca tez yazım kurallarına uygun olarak hazırlanan bu çalıĢmada bana ait olmayan her türlü ifade ve bilginin kaynağına eksiksiz atıf yapıldığını bildiririm.

i

3-BOYUTLU ÖKLĠD VE MĠNKOWSKĠ UZAYLARINDA

BĠHARMONĠK EĞRĠLER

(Yüksek Lisans Tezi)

Nazlı ARIK

UġAK ÜNĠVERSĠTESĠ

FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ

Temmuz 2010

ÖZET

Bu tez altı bölümden oluĢmuĢtur. Ġlk bölüm giriĢ kısmına ayrılmıĢtır ve bu kısımda konu hakkında ön bilgiler verilmiĢtir.

Ġkinci bölümde, Öklid ve Minkowski Uzayına ve Bishop Çatısına ait genel tanımlar ve bilgiler sunulmuĢtur.

Üçüncü bölüm 3-boyutlu Öklid Uzayında biharmonik eğrileri içermektedir. Burada koĢullarını sağlayan eğriler ele alınıp bir Frenet eğrisi için bazı karakterizasyonlar ve sonuçlar verilmiĢtir.

Dördüncü bölümde 3-boyutlu Minkowski Uzayında biharmonik eğriler (timelike, spacelike ve null eğrileri) ve bu eğriler için bazı durumlar incelenmiĢtir.

BeĢinci bölümde 3- boyutlu Öklid Uzayında Bishop Çatısına göre biharmonik eğriler ele alınmıĢtır. Benzer koĢullar uygulanmıĢtır.

Son bölümde ise 3- boyutlu Minkowski Uzayında Bishop Çatısına göre biharmonik eğriler incelenmiĢtir. Bu eğriler ayrı ayrı ele alınmıĢtır.

Bilim kodu :

Anahtar Kelimeler : 3-boyutlu Öklid Uzayı, 3-boyutlu Minkowski Uzayı, Laplace Opareterü, Biharmonik Eğri, Frenet Eğrisi, Bishop Çatısı, Slant ve C-Slant Helisler.

Sayfa adedi : 66 Tez yöneticisi :

ii

BĠHARMONĠC CURVES IN EUCLĠDEAN SPACE AND MĠNKOWSKĠ

3-SPACE

(M. Sc. Thesis)

Nazlı ARIK

UġAK UNIVERSITY

INSTITUTE OF SCIENCE AND TECHNOLOGY

July 2010

ABSTRACT

This thesis consists of six chapters. The frist chapters has been seperated to the introduction part giving preliminaries abaut topic.

In the second chapter, some basic definition and informations have been presented concerning Euclied and Minkowski Space and Bishop Frame.

The third chapter is consisted of biharmonic curves in Euelied 3-space .Taking up curves suppiying here are same choracterzations and results have been given for curve.

In the fourth chapter, biharmonic curves in Minkowski 3-space ( timelike, spacelike and null curves ) and same canditians abaut these curves are studied.

In the fifth chapter, Biharmonic curves according to Bishop frame in euclied 3- space is examined appiying similier conditions.

Biharmonic curves according to Bishop Frame in Minkowski 3-Space is examined in the last chapter. In addition this curves is studied separetely.

Science Code :

Key Words :Euclied 3-Space, Minkowski 3-Space, Laplace Operator, Biharmonic Curve, Frenet Curve, Bishop Frame, Slant and C-Slant Helices

Page Number : 66 Adviser :

iii

TEġEKKÜR

Bu çalıĢmayı bana vererek çalıĢmamın her safhasında yardımlarını esirgemeyen sayın hocam Murat Kemal KARACAN’ a, maddi manevi destekleri için aileme ve arkadaĢlarıma teĢekkürlerimi sunmayı bir borç bilirim.

iv

ĠÇĠNDEKĠLER

sayfa

ÖZET………...i ABSTRACT………...ii TEġEKKÜR………..iii ĠÇĠNDEKĠLER………...iv SĠMGELER DĠZĠNĠ………...vii 1.GĠRĠġ……….. 1 2.TEMEL KAVRAMLAR………...2

3. 3-BOYUTLUÖKLĠD UZAYINDA BĠHARMONĠK EĞRĠLER……….8

3.1. 3-Boyutlu Öklid Uzayında IH 



IH Denklemini Sağlayan Eğriler……….8

3.2.

E

3 de 1.Tipten Harmonik Eğriler...10

3.3

E

3 de Bir Frenet Eğrisini Karakterize Eden Denklem ve Sonuçları………...12

3.4. E de Bir Frenet Eğrisini Normal Konneksiyona Göre Karakterize Eden 3 Denklem ve Sonuçları………...15

4. 3-BOYUTLU MĠNKOWSKĠ UZAYINDA BĠHARMONĠK EĞRĠLER……….18

v 4.1. 3-Boyutlu Minkowski UzayındaIH 



IH Denklemini Sağlayan

Eğriler………...18

4.2. 3-Boyutlu Minkowski Uzayında 1.Tipten Harmonik Eğriler………...29

5. 3-BOYUTLU ÖKLĠD UZAYINDA BĠSHOP ÇATISINA GÖRE BĠHARMONĠK EĞRĠLER………38

5.1.



IH





IH

Denklemini Sağlayan Eğriler………...38

5.2.

E

3 de Bishop Çatısına Göre 1. Tipten Harmonik Eğriler………..40

5.3. E de Bishop Çatısına Göre Bir Eğriyi Karakterize Eden Denklem ve 3 Sonuçları………...42

6. 3-BOYUTLU MĠNKOWSKĠ UZAYINDA BĠSHOP ÇATISINA GÖRE

BĠHARMONĠK EĞRĠLER………...45

6.1. 3-Boyutlu Minkowski Uzayında Bishop Çatısına Göre Timelike Biharmonik Eğriler………...45

6.1.1. IH 



IH denklemini sağlayan timelike eğriler………...45

6.1.2. 3-Boyutlu Minkowski Uzayında 1.tipten timelike harmonik

eğriler………...47

6.1.3. 3- Boyutlu Minkowski Uzayında bir timelike eğrisini karakterize eden denklem ve sonuçlar………48

vi 6.2. 3-Boyutlu Minkowski Uzayında Bishop Çatısına Göre Asli Normali Timelike

Olan Spacelike Biharmonik Eğriler……….51 6.2.1 IH 



IH denklemini sağlayan asli normali timelike olan spacelike

eğriler………...52 6.2.2. 3-boyutlu Minkowski Uzayında 1.tipten asli normali timelike olan

spacelike harmonik eğriler………52 6.2.3. 3-boyutlu Minkowski Uzayında asli normali timelike olan bir spacelike

eğrisini karakterize eden denklem ve sonuçları………54

6.3. 3-boyutlu Minkowski Uzayında Bishop Çatısına Göre Binormali Timelike Olan Spacelike Biharmonik Eğriler………...57

6.3.1. IH 



IH denklemini sağlayan binormali timelike olan spacelike eğriler………...57

6.3.2. 3-boyutlu Minkowski Uzayında 1.tipten binormali timelike olan spacelike harmonik eğriler………...58

6.3.3. 3-boyutlu Minkowski Uzayında asli normali timelike olan bir spacelike eğrisini karakterize eden denklem ve sonuçları……….59 KAYNAKLAR………...63 ÖZGEÇMĠġ………..66

vii

SİMGELER DİZİNİ

 Diferensiyellenebilir ve birim hızlı bir eğr T Eğrinin teğet vektör alanı

N Eğrinin asli normal vektör alanı B Eğrinin binormal vektör alanı

 Eğrinin eğriliği

 Eğrinin burulması

1

k Eğrinin Bishop Çatısına göre birinci eğriliği

2

k Eğrinin Bishop Çatısına göre ikinci eğriliği

n

E n -boyutlu Öklid Uzayı

3

E 3-boyutlu Öklid Uzayı n

E₁ n-boyutlu Minkowski Uzayı

3 1

E 3- boyutlu Minkowski Uzayı n

q

M n -boyutlu, q indeksli yarı-Riemann manifoldu

n

M₁ n -boyutlu Lorentz manifoldu



, Riemann metriği

D Riemann manifodlu üzerindeki konneksiyon

 Laplace operatörü )

(M

 M nin teğet vektör alanlarının uzayı



C Diferensiyellenebilme g Metrik tensör

v v nin normu

1

1.

GİRİŞ

Bu tez 3- boyutlu Öklid ve Minkowski manifoldlarındaki eğriler ve bu eğrilerin ortalama eğrilik vektör alanı belli diferensiyel operatörlerin çekirdeğinde yer alma durumları ile ilgilidir.

Ġlk olarak ortalama eğrilik vektör alanı Laplasiyenin çekirdeğinde (yani ortalama eğrilik vektör alanı harmonik) olan altmanifoldlar incelenecektir. IH ortalama eğrilik vektör alanı için harmoniklik (IH 0), n-boyutlu Öklid Uzayında

n m

E M x: 

immersiyonlu altmanifoldunun biharmonikliğine denktir. Yani xmIH için x0dır.

n

E M

x:  altmanifoldu, IH 0 ise biharmonik altmanifold olarak adlandırılır. Biharmonik olma koĢulu

IHIH,R (1.1) denkleminin özel bir durumu olarak görülebilir. Kısacası ortalama eğrilik vektör alanı Laplasiyenin öz vektör alanıdır.

(1.1) denklemini sağlayan Öklid manifold çalıĢmaları 1988 de Chen tarafından baĢlatıldı ve n

E de altmanifoldların (1.1) denklemini sağlayan biharmonik (0) ya da null 2-tipli altmanifoldlar olduğu gösterildi. Yine Chen tarafından 1994 ve 1995 te Minkowski Uzayında (1.1) denklemini sağlayan spacelike altmanifoldlar incelendi.1997 de de Defever tarafından (1.1) denkleminini sağlayan hiperyüzeylerin sabit ortalama eğrilikli yüzeyler olduğu gösterildi .

Bu tezin 3 ve 4. bölümleri, [26] da yapılan çalıĢma temel alınmıĢ olup, 3- boyutlu Öklid ve Minkowski Uzayında IHIH , IH IH denklemlerini sağlayan eğriler incelenip bazı özel eğriler için karakterizasyonlar ve bunlara ait sonuçlar ele alınmıĢtır. 3-boyutlu Minkowski Uzayında eğrinin timelike, spacelike ve null durumlarındaki koĢulları incelenmiĢtir. Ayrıca, 3- boyutlu Öklid ve Minkowski Uzayında IH IH , IHIH denklemlerini sağlayan eğriler, Bishop çatısına göre incelenip, bu çatıya göre bazı karakterizasyonlar verilmiĢtir.

2

2. TEMEL KAVRAMLAR

Tanım 2.1. (Öklid Uzayı): R reel sayılar cismini göstermek üzere,







x x x x R



Rn  _{n i} : ,..., , ₂ 1

vektör uzayında, x(x₁,x₂,...,x_n) ve y(y₁,y₂,...,y_n) olmak üzere,



    n i i iy x y x 1 , eĢitliği ile tanımlanan,

R R Rn n  (x,y)x,y

fonksiyonu R uzayında bir iç çarpımdır. Bu iç çarpıma Öklid iç çarpımı denir. Üzerinde n Öklid iç çarpımı tanımlı n

R topolojik uzayına Öklid uzayı denir ve kimi zaman E ile n gösterilir[29].

Tanım 2.2:I ,R nin bir açık aralığı olmak üzere,

n E R I  : 

biçiminde diferensiyellenebilir bir  dönüĢümüne, E uzayı içinde bir eğri denir. n Tanım 2.3: n

E uzayında, :I R En eğrisi için 1 ) ( , '   s I  s ise  eğrisine birim hızlı bir eğri denir[29].

Tanım 2.4: 3-boyutlu Öklid uzayında birim hızlı :IR E3 eğrisi için, )

( ) (s ' s T 

eĢitliği ile belirli T(s) vektörüne  eğrisinin (s) noktasında birim teğet vektörü denir. 

,

T eğrisi üzerinde bir vektör alanıdır. Bu vektör alanına birim teğet vektör alanı denir[29]. Tanım 2.5: 3-boyutlu Öklid Uzayında birim hızlı 3

:IR E  eğrisi için, ) ( ) ( : ' s T s s R I     

fonksiyonuna  eğrisinin eğrilik fonksiyonu denir. (s) sayısına eğrinin (s) noktasındaki eğriliği denir[29].

Tanım 2.6: 3-boyutlu Öklid Uzayında birim hızlı 3

:IR E  eğrisi için, ) ( ) ( 1 ) ( T' s s s N  

3 eĢitliği ile belirli N(s) vektörüne, eğrinin (s) noktasındaki asli normali denir.N, eğrisi üzerinde bir vektör alanıdır. Bu vektör alanına asli vektör alanı denir[29].

Tanım 2.7: 3-boyutlu Öklid Uzayında birim hızlı 3

:IR E  eğrisi için, ) ( ) ( ) (s T s N s B  

eĢitliği ile tanımlı B(s) vektörüne,  eğrisinin (s) noktasındaki binormal vektörü denir ve B vektör alanına da  eğrisinin binormal vektör alanı denir[29].

Tanım 2.8: 3

:I R E

 birim hızlı eğrisinin Frenet vektör alanları T,N,B olmak üzere,     , ( ) ( ), ( ) :I R  s B' s N s 

fonksiyonuna,  eğrisinin burulma fonksiyonu denir. (s) sayısına (s) noktasındaki burulması denir[29]. Tanım 2.9: x(x1,x2,...,xn) ve n n E y y y y( 1, 2,..., ) olmak üzere, n ny x y x y x y x y x g( , ) ,  _{1 1} _{2 2}... iç çarpımına Lorentz (Minkowski ) iç çarpımı denir[16].

Tanım 2.10: Minkowski iç çarpımı ile tanımlı Öklid uzayına Lorentz uzayı ya da Minkowski uzayı denir ve 3

1

E ile gösterilir.

Özel olarak n3 ise, E₁3 uzayına 3-boyutlu Minkowski uzayı denir. Bu durumda standart metrik, 3 1 3 2 1 3 2 1, , ), ( , , ) (x x x y y y y E x   olmak üzere, 3 3 2 2 1 1 , ) , (x y x y x y x y x y g     dir[16].

Tanım 2.11: Mn_qbir reimann manifoldu ve γ: I R→ Mn_q difernsiyellenebilir bir eğri olsun. γ eğrisinin teğet vektör alanı T olmak üzere;

(i) T,T0 ise , γ eğrisine time-like (zaman benzeri) eğri, (ii) T,T0 ise, γ eğrisine space-like (uzay benzeri) eğri, (iii) T,T0 ise, γ eğrisine null (ıĢık benzeri) eğrisi denir.

L

IE s) 3 ( 

 olmak üzere γ için üç durum söz konusudur[13]. I.Durum : γ (s) bir time-like eğri ise,

T time-like, N space-like, B space-like olsun.

1 , , 1 , , 1 ,         T T L N N L B B L

4 0 , , ,       T N _L N B _L T B _L ve D_TT N (2.1.1) DTN T B (2.1.2) D_TBN (2.1.3) dir[23].

II.Durum: γ (s) bir space-like eğri ise,

1) T spacelike, N spacelike, B timelike olsun.

1 , , 1 , , 1 ,         T T _L N N _L B B _L 0 , , ,       T N L N B L T B L ve DTT N (2.1.4) DTNTB (2.1.5) D_TBN (2.1.6) dir[24].

2) T space-like, N time-like, B space-like olsun.

1 , , 1 , , 1 ,         T T _L N N _L B B _L 0 , , ,       T N _L N B _L T B _L D_TT N (2.1.7) D_TNT B (2.1.8) DTBN (2.1.9) dir[24].

III.Durum: γ (s) bir null eğrisi ise,

1 , , 1 , , 0 ,         T T L N N L B B L 1 , , 0 , ,        T N _L N B _L T B _L ve DTT N (2.1.10) D_TN T B (2.1.11) DTBN (2.1.12) dir[23].

5 Tanım 2.12: M ve N, sırası ile n ve (n+d) boyutlu birer C manifoldlar olmak üzere x:M N diferensiyellenebilir bir dönüĢüm olsun. Her pM için

) ( ) ( :T M T _{( )} N dx_{p p}  _{x p}

türev dönüĢümü bire bir ise x fonksiyonuna bir immersiyon (daldırma) denir[26].

Tanım 2.13: Z, M yüzeyinin birim dik vektör alanı olmak üzere, M nin her bir p noktasında, Z D v S M T M T S_{p p p P p v} 0 ) ( , ) ( ) ( :   ,

biçiminde tanımlı S fonksiyonuna, M yüzeyinin, Z birim dik vektör alanına bağlı Ģekil operatörü (ve ya Weingarten dönüĢümü) denir[29].

Tanım 2.14: M nin bir ortonormal bazı



e1,e2,...em



olmak üzere; 1 ( ) 1 ( , ) 1 j j m j e e h m h İz m IH



  

Ģeklinde tanımlı IH fonksiyonuna M nin ortalama eğrilik vektör alanı denir[8], [27]. Tanım 2.15. M, n boyutlu bir C manifold ve M üzerindeki C M vektör alanlarının uzayı

) (M

 olsun. M üzerinde bir afin konneksiyon D olmak üzere ) ( ,Y M X   için,



X Y



X D X D Y X T Y X M M M T Y X , ) , ( ) , ( ) ( ) ( ) ( :        

Ģeklinde tanımlanan tensör alanına M nin torsiyon tensörü denir. Özel olarak T = 0 yani,



X,Y



D_XY D_YX

ise D ye M üzerinde sıfır torsiyonlu konneksiyon adı verilir.(M,g) bir Riemann manifoldu olsun. Sıfır torsiyonlu bir konneksiyon D için,

) ( , , ; ) , ( ) , ( )) , ( (g Y Z g D Y Z g Y D Z X Y Z M D_X  _X  _X  

ise D ye M nin Levi-Civita konneksiyonu denir[32].

Tanım 2.16: Riemann manifoldları için M nin bir ortanormal bazı



e1,e2,...,em



ve ortalama eğrilik vektör alanı IH olsun. M nin Laplace operatörü



    m j e e e D IH D D IH D IH j j j J E 1 ) (

ve normal Laplace operatörü



     _{ }  m j e e e D IH D D IH D IH ej j j j 1 ) ( biçiminde tanımlanır[7]. Tanım 2.17: n

6 n m E M x: 

immersiyonunu ele alalım.(M)En manifoldunun IH ortalama eğrilik vektör alanı için 0



IH denklemine harmonik denklemi denir. Ġmmersiyonun biharmonikliği de mIH

x

 olduğundan x0 dır. Yani IH nin biharmonikliği ile immersiyonun biharmonikliği denktir[8].

Tanım 2.18: M, n-boyutlu C manifold olmak üzere x:M End bir izometrik immersiyon olsun. 0 ) ( 2     x x

koĢulu sağlanıyorsa x izometrik immersiyonuna (ya da M manifolduna) biharmoniktir denir. Yani End nin bir M manifold olması için gerek ve yeter koĢul M nin ortalama eğrilik vektörünün harmonik (IH 0) olmasıdır[7].

Tanım 2.19: 3

: )

(s I IRE



 Öklid 3-uzayında regüler bir eğri olsun. γ eğrisinin Frenet çatı alanını{ T, N, B } ile gösterelim. γ nın Frenet-Serret Formülleri

                                 B N T B D N D T D T T T 0 0 0 0 0    

Ģeklindedir. Burada ve  fonksiyonları sırasıyla γ eğrisinin eğriliği ve burulmasıdır[29]. * Özel olarak  0 ise γ eğrisi geodeziktir.

*  sbt,  =0 ise çember (pseudo çemberi) dir. Dolayısıyla geodezikler sıfır eğrilikli Reimann çemberleridir.

* sbt

 

olan eğrilere genel helis denir.

*  sbt ,  sbt olan eğrilere dairesel helis denir.

* E te 3 T,T0 ise γ birim hızlı eğrisine bir Frenet eğrisi denir[8], [9], [15]. Tanım 2.20: Regüler bir 3

:I E

 eğrisi için  nın N₁(s) birim vektörü ile u sabit birim vektörü arsındaki  açısı sabit yani N₁(s),u cos ise  eğrisine Bishop Çatısına göre bir slant helis denir. Bir  slant helisi için sbt

k k

 1 2

tir. Eğer k ve 1 k doğal eğrilikleri 2

7

3.

3-BOYUTLU

ÖKLĠD

UZAYINDA

BĠHARMONĠK

EĞRĠLER

3.1. 3-Boyutlu Öklid Uzayında

IH 



IH

Denklemini Sağlayan Eğriler

D, E ün Levi-Civita konneksiyonu ve 3 IH da γ boyunca ortalama eğrilik vektör alanını göstersin. γ nın Frenet-Serret formüllernden IH ortalama eğrilik vektör alanı,

N T D D

IH _''  _T  Ģeklinde verilir, burada , γ nın eğriliğidir.

Laplasiyen operatörü ise

IH D IH IH M M T 2 ) ( ) ( :       _  _ ile tanımlanır[7], [15].

Teorem 3.1.1:  (s):I  IRE3, 3-boyutlu Öklid uzayında regüler bir eğri olsun. γ eğrisinin

IH IH 



eĢitliğini sağlaması için gerek ve yeter koĢul

' 0 ,23''  ,2' ' 0 (3.1.1) olmasıdır. Ġspat: B N T N B B T N N T N B B T N N T B D B N D N T D T B T N D B T N D N D N D N D IH D IH ) ( ) ( ) 3 ( ) ( 2 ) )( ( ) ( ) ( ) ( 2 ) ( ) ( 2 ) ( )) ( ( ) ( ) ( ' ' ' 2 '' 3 ' 2 ' ' ' '' 3 ' ' ' '' 2 ' ' ' '' 2 ' 2 ' ' ' 2 2                                                                                                     Burada IH IH   olduğundan 0 2 , , 0 3'  3'' 2  ' '  , 0 2 , , 0 3 '' 2 ' ' ' _  _ _ _  _ _ 

8 olur.

Teorem 3.1.2: :  (s):I  IRE3, 3-boyutlu Öklid uzayında regüler bir Frenet eğrisi olsun. γ eğrisinin

IH IH 



eĢitliğini sağlaması için gerek ve yeter koĢul γ nın bir dairesel helis olmasıdır. Burada

2 2 



 

dir.

Ġspat: () Teorem 3.1.1 den IH IH denklemini sağlanması 0 2 , , 0 3 '' 2 ' ' '         

denklemlerinin sağlanmasını gerektirir. γ Frenet eğrisi olduğundan k 0 dır. 0 0 ' '       sbt sbt                0 2.0. . 0 0 2 ' ' ' '           3 ''  2   30 2   ( 2 2)  2 2 dir.

() γ , dairesel helis olsun.

sbt sbt 

 

 , ve  2 2

olduğundan (3.1.1) denklemleri sağlanır. Dolayısıyla IH IH dır.

Lemma 3.1.1: IH nin harmonik ( yani IH 0 ) olması için gerek ve yeter koĢul 0

' '

'D D T  D_{  }

olmasıdır. 3-boyutlu Öklid uzayında γ nın harmonik (IH 0) olması için gerek ve yeter koĢul γ nın biharmonik (DTDTT 0) olmasıdır[7].

Teorem 3.1.3:  (s):I IRE3, 3-boyutlu Öklid uzayında regüler bir eğri olsun. γ eğrisi geodeziktir  γ boyunca IH 0 dır.

Ġspat: () γ eğrisi geodezik olsun.  0olduğundan IH 0 dır. () Tersine γ boyunca IH 0 olsun.

0 ) ( ) ( ) 3 ( ' T 3'' 2 N ' ' ' B dan, 0 2 , 0 , 0 3 '' 2 ' ' '         

denklemleri elde edilir. Bu denklemlerin sağlanması için  0olmalıdır. Aksi takdirde bu denklemler sağlanmaz. ġimdi gösterelim.

9 Kabul edelim ki  0 olsun. O zaman ' 0

denkleminden ' 0

ve  c₁ olur. Bu değerler 3''2 0 denkleminden ' 0 ve  c₂ yerine yazılırsa c₁2 c₂2 0 olur. Burada da c ve ₁ c sabitlerinin kompleks sayılar dıĢında, reel olmaları durumunda her ₂ ikisinin de sıfır olmasıyla mümkündür. Öyleyse kabulümüz yanlıĢ olup,  0 dır. Böylece γ eğrisi geodezik olmak zorundadır.

Genelleme yapılırsa E Öklid 3-uzayında birim hızlı biharmonik eğriler ancak ve 3 ancak geodeziklerdir.

3.2.

E de 1.Tipten Harmonik Eğriler

3

Tanım 3.2.1:Bir n d

E M

x:   izometrik immersiyonunun ortalama eğrilik vektör alanı için IH

IH 



koĢulu sağlanıyorsa x e (ya da M ye) 1. tipten harmoniktir denir[25].

3

: )

(s I IRE



 eğrisinin normal demetini (()) ile gösterelim. Burada



( ), ( )



)) (

(  Sp N s B s



Ģeklindedir. X (()) için D normal konneksiyon 

T T X D X D X D D T T T            , )) ( ( )) ( ( :    X D X

D_  _ nın normal bileĢeni ve  normal Laplace operatörü de

X D D X _T _T             : (( ))  (( )) olarak tanımlanır[7].

Teorem 3.2.1:  (s):I  IRE3, 3-boyutlu Öklid uzayında regüler bir eğri olsun. γ eğrisinin 1. tipten harmonik eğri olması için gerek ve yeter koĢul

2''  ,2' ' 0

(3.2.1) olmasıdır.

Ġspat: () γ eğrisi 1. tipten harmonik eğri olduğundan IH IH eĢitliğini sağlar. ġimdi IH   hesaplayalım. N T D D IH  _''  _T  olduğunu biliyoruz. Buradan

B N T IH

10 olup B N IH D_T   dır. Her iki tarafın da teğetsel yönde türevi alınırsa,

) ( 'N B D IH D D_{T T}  _T   ''N'D_TN()'BD_TB ''N'(TB)()'B(N) 'T (''2)N(2' ')B buradan B N IH D D_T _T ('' 2) (2' ') olduğundan B N IH IH D D IH _{T T} ) 2 ( ) (2 ''  ' '          (3.2.2) olur. IH IH denkleminden N B N       ) (2  )  ( 2 '' ' '

dir ve buradan da (3.2.1) denklemleri elde edilir.

() Tersine (3.2.1) denklemleri IH IH eĢitliğini sağlar.

Tanım 3.2.2: Bir n d

E M   :

 izometrik immersiyonunun ortalama eğrilik vektörü IH için 0   IH koĢulu sağlanıyorsa n d E M   :

 izometrik immersiyonuna (ya da M alt manifolduna) zayıf biharmoniktir denir[25].

Teorem 3.2.2:  (s):I  IRE3 , 3-boyutlu Öklid uzayında regüler bir eğri olsun. γ eğrisinin zayıf biharmonik eğri olması için gerek ve yeter koĢul

2 '' 0,2' ' 0 (3.2.3) olmasıdır.

Ġspat: () γ eğrisi zayıf biharmonik olduğundan tanım gereği IH 0 olup (3.2.3) denklemleri sağlanır.

() Tersine (3.2.3) denklemleri IH0 eĢitliğini sağlar. Bu da γ eğrisinin zayıf biharmonik eğri olduğunu gösterir.

Sonuç 3.2.1: 3

: )

(s I IRE



 , eğrisi 3-boyutlu Öklid uzayında regüler bir eğri olsun.γ eğrisinin zayıf biharmonik olması için gerek ve yeter koĢul 3

11 Ġspat: () γ eğrisinin zayıf biharmonik ise IH 0 dır. Teorem 3.2.1 den

0 2 , 0 ' ' '' 2      

denklemleri sağlanır. Bu diferensiyel denklemlerin aĢikar çözümü de 0 dır. Bu ise γ nın

3

E de bir geodezik olduğunu gösterir.

() Tersine γ geodezik ise  0 olup, bu değer denklemlerini sağlar. Bu 0 2 , 0 ' ' '' 2    

 denklemler de IH0 eĢitliğini sağlar. Bu da γ nın zayıf biharmonik olduğunu gösterir.

3.3

E de Bir Frenet Eğrisini Karakterize Eden Denklem ve Sonuçları

3

Teorem 3.3.1: γ eğrisi 3-boyutlu Öklid uzayında bir Frenet eğrisi olsun.  ve  , γ eğrisinin sırasıyla eğrilik ve burulması olmak üzere, γ eğrisini karakterize eden denklem aĢağıdaki gibidir. 0 2 2 ' 2 2 2 ' ' ' '' 2 ' ' 3                                             D T D T T T D_{T T T}                 (3.3.1)

Ġspat: 3-boyutlu Öklid uzayında γ birim hızlı Frenet eğrisinin Frenet formülleri, D_TT N (3.3.2) D_TNTB (3.3.3) D_TB N (3.3.4) dir. Burada (3.3.3) den

B D_TN T      1 (3.3.5) ve (3.3.2) den N D_TT  1  (3.3.6) eĢitliğini (3.3.5) te yerine yazarsak

T T D D B _{T T}       1 (1 ) T T D T D B T T _      _        2 2 ' 1 1 B D_TT D_T T T          2 2 ' 1 (3.3.7) dir. Burada (3.3.7) nin teğetsel türevi alınırsa,

12 T D T T D T D T D T D B D_{T T T T T T}           _                               ' 3 2 ' 2 2 ' ' 2 ' 1 1 (3.3.8) elde edilir. (3.3.6) değeri (3.3.4) değeri yerine yazılırsa

D_TB N D_TT       (3.3.9)

(3.3.8) ifadesi de (3.3.9) de yerine yazılırsa

D_TT D_TT D_T T D_T T D_T T T D_TT                                             ' 3 2 ' 2 2 ' ' 2 ' 1 1

bulunur. Bu son denklem düzenlendiğinde,

0 1 1 ' ' 2 2 2 ' ' 3                                           D T D T T T DT T T _            0 1 ' ' 2 ' 2 2 ' ' 3                                           D T D T T T DT T T _             

olur. Bu denklemdeki katsayılar sadeleĢtirilip düzenlenirse,                         2 ' 2 ' 2 ' ' ) ( ) ( 1          _          ' ₂ '₂ ) (             ' ' '                                     '₂ ' ' ' 2 1 2 2 ' 2 ' ' 2 '             _                           _{2 2} 2 2 ' 2 ' ' 2 '' ) ( ) 2 ( _{ }         _           k ₂ 2 2 2 ' ' ' '' ) ( 2 _{ }        _{ }           2 2 2 2 ' ' ' '' ' 2 ' ) ( 2 _{ }               _                            

13 dir. Bu değerler denklemde yerine yazılırsa (3.3.1) denklemi elde edilir.

Teorem 3.3.2: 3-boyutlu Öklid uzayında bir genel helisi karakterize eden diferensiyel denklem aĢağıdaki gibidir.

3 '' 3 2 2 0 2 ' 2 ' 3                      D T D T T DT T _   T      (3.3.10)

Ġspat: 3-boyutlu Öklid uzayında γ Frenet eğrisi bir genel helis ise,

        ' ' ' 0          sbt

dir. Bu değerler (3.3.1) denkleminde yerine yazılırsa, (3.3.10) denklemi elde edilir.

Sonuç 3.3.1: 3-boyutlu Öklid uzayında bir genel helisin diğer bir karakterizasyonu aĢağıdaki gibidir. 3 3 ( 2 2) 0 2 ' '' '                     IH D_TIH   IH       (3.3.11)

Ġspat: γ Frenet eğrisi 3-boyutlu Öklid uzayında bir genel helis ise,

       ' ' ' 0           k sbt , Laplace operatörü D_TD_T ds d _    2₂ ve ortalama eğrilik vektör alanı IH D_T' D_TT olup bu değerler (3.3.1) de yerine yazılırsa, (3.3.11) denklemi elde edilir.

Sonuç 3.3.2: 3-boyutlu Öklid uzayında bir dairesel helisi karakterize eden diferensiyel denklem aĢağıdaki gibidir.

D_T3T (22)T 0 (3.3.12) Ġspat: 3-boyutlu Öklid uzayında γ Frenet eğrisi dairesel helis ise,

0 , 0 , ,  '  '       sbt sbt

dir. Bu değerler (3.3.1) denkleminde yerine yazılırsa (3.3.12) denklemi elde edilir.

Sonuç 3.3.3: 3-boyutlu Öklid uzayında bir dairesel helisin diğer bir karakterizasyonu aĢğıdaki gibidir.

IH(2 2)IH0 (3.3.13) Ġspat: Laplace operatörü IH D_TD_TIH dir. Bu değerler (3.3.12) denkleminde yerine yazılırsa (3.3.13) denklemi elde edilir.

14

3.4.

3

E

de Bir Frenet Eğrisini Normal Konneksiyona Göre Karakterize

Eden Denklem ve Sonuçları

Teorem 3.4.1: γ eğrisi 3-boyutlu Öklid uzayında bir Frenet eğrisi olsun.  ve  , γ eğrisinin sırasıyla eğrilik ve burulması olmak üzere, γ eğrisini normal konneksiyona göre karakterize eden diferensiyel denklem aĢağıdaki gibidir.

2 2 2 0 2 ' ' ' '' ' '                                   T D T D D T D D D_{T T T T T}  _T            (3.4.1)

Ġspat: 3-boyutlu Öklid uzayında normal konneksiyona göre bir eğrinin Frenet formülleri, D_TT N (3.4.2) D_TN B (3.4.3) DT BN  (3.4.4) Ģeklindedir. (3.4.3) eĢitliğinden B D_TN  1 (3.4.5) ve (3.4.2) eĢitliğinden T D N  _T  1 eĢitliğini (3.4.5) eĢitliğinde yerine yazarsak

         T D D B _ T _ T 1 1             T D D T D B _{T T T}     1 1 2 ' olup buradan T D D T D B T T T    _      1 2 '

bulunur. Bulunan N ve B değerlerini (3.4.4) eĢitliğinde yerine yazarsak

                  T D T D D T D k DT _ T _ T T  _ T 1 1 2 ' 0 1 1 ' 2 ' ' 2 '                            T D T D D D T D D T D D T DT T T T T T T T _ T        (3.4.6) olur. Burada katsayılar sadeleĢtirilip düzenlenirse

15                 ' ' 2 _{2 4}' 2 '' 2 ' 2 ' ) ( 2           k               2 2 ' ' ' 1      

olur. Denklemde yerine yazılırsa (3.4.1)eĢitliği elde edilir.

Teorem 3.4.2: 3-boyutlu Öklid uzayında normal konneksiyona göre bir genel helisi karakterize eden diferensiyel denklem aĢğıdaki gibidir.

3 3 2 0 '' 2 ' '                                 T D T D D T D D D_{T T T T T}  _T       _(3.4.7)

Ġspat: 3-boyutlu Öklid uzayında γ Frenet eğrisi normal konneksiyona göre bir genel helis ise,

        ' ' ' 0          sbt

dir. Bu değerler (3.4.1) eĢitliğinde yerine yazılırsa (3.4.7) eĢitliği elde edilir.

Sonuç 3.4.1: 3-boyutlu Öklid uzayında normal konneksiyona göre bir genel helisin diğer bir karakterizasyonu aĢağıdaki gibidir.

_{3 3} 2 ₀ '' 2 ' '                             IH IH D IH T _       _(3.4.8)

Ġspat: 3-boyutlu Öklid uzayında γ Frenet eğrisi normal konneksiyona göre bir genel helis ise,

        ' ' ' 0           sbt ve  D_TD_T , IH  D_TT olup bu değerler (3.4.7) denkleminde yerine yazılırsa (3.4.8) denklemi elde edilir

Sonuç 3.4.2: 3-boyutlu Öklid uzayında normal konneksiyona göre bir dairesel helisi karakterize eden diferensiyel denklem aĢağıdaki gibidir.

DTDTDTIH2DTIH 0 (3.4.9) Ġspat: 3-boyutlu Öklid uzayında γ eğrisi bir dairesel helis olduğundan

0 , 0 ,   '  '       sbt sbt

dir. Bu değerler (3.4.1) denkleminde yerine yazılırsa (3.4.9) denklemi elde edilir.

Sonuç 3.4.2: 3-boyutlu Öklid uzayında normal konneksiyona göre bir dairesel helisin diğer bir karakterizasyonu aĢağıdaki gibidir.

  2  0 IH D IH  _T (3.4.10) Ġspat: _ _   T T D

D ve IH D_TT değerleri (3.4.9) eĢitliğinde yerine yazılırsa (3.4.10) denklemi elde edilmiĢ olur.

16

4.

3-BOYUTLU MĠNKOWSKĠ UZAYINDA BĠHARMONĠK

EĞRĠLER

4.1. 3-Boyutlu Minkowski Uzayında

IH 



IH

Denklemini Sağlayan

Eğriler

Bir  eğrisi üzerinde D_'' 0 ise birim hızlı  eğrisine bir geodezik eğri adı verilir. Burada D, L deki Levi-Civita konneksiyonudur.3 L de her Frenet 3  eğrisi için,



T,N,B



, '( ) s

T olacak Ģekilde  boyunca bir ortanormal çatı alanıdır. Riemann geometrisindeki durum gibi, bir  frenet eğrisinin geodezik olması için gerek ve yeter koĢul

0



 olmasıdır. Sabit eğrilik ve sıfır burulmalı bir Frenet eğrisine pseudo çember denir. Dairesel helis, eğriliği ve burulması sabit olan bir Frenet eğrisidir. Çember olmayan helisler de proper helislerdir[15], [21], [22].

Teorem 4. 1. 1: 3-boyutlu Minkowski uzayında bir Frenet eğrisi  (s):I RL3 olsun ve Laplasiyen operatörü  ile gösterilsin. eğrisinin IH IH eĢitliğinin sağlanması için gerek ve yeter koĢul  eğrisinin bir dairesel helis olmasıdır. Burada,

i )  eğrisi  2 2olacak Ģekilde bir timelike dairesel helistir.

ii )  eğrisi  2 2olacak Ģekilde asli normali time-like olan bir space-like dairesel helistir.

iii )  eğrisi  2 2 olacak Ģekilde binormali time-like olan bir space-like dairesel helistir

iv )  eğrisi 2 olacak Ģekilde null olan bir dairesel helistir. Ġspat: i) (2.1.1), (2.1.2), (2.1.3) eĢitliklerinden faydalanılarak

N T D IH  _T  ) ( ) ( ' ' B T N N D N N D IH DT T T              D_TIH 2T 'NB (4.1.1)

17 B N T N B B T N N T B D B N D N T D T B D B N D N T D T B N T D IH D D T T T T T T T T T ) 2 ( ) ( 3 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( ' ' 2 '' 3 ' 2 ' ' ' '' 3 ' ' ' '' 2 ' ' ' '' 2 ' ' 2                                                            IH D_TD_TIH 3'T(3'' 2)N(2' ')B (4.1.2) olduğunu söyleyebiliriz. IH IH   N B N T                3 ' ( 3 '' 2) ( 2 ' ') 0 2 , , 0 3 '' 2 ' ' '          

 eğrisi bir dairesel helis olduğundan

0 , 0 0 , 0 ,   '  '   ''  ''         sbt sbt dır.                             2 2 2 2 2 3 2 '' 3 ) ( dir. ii ) (2.1.4), (2.1.5), (2.1.6) eĢitliklerinden N T D IH  _T  ) ( ) ( ' ' B T N N D N N D IH DT T T              D_TIH 2T'NB (4.1.3) B N T N B B T N N T N B B T N N T B D B N D N T D T B N T D IH D D T T T T T T ) 2 ( ) ( 3 ) ( 2 ) ( ) ( ) ( ) ( 2 ) ( 2 ) ( ' ' 2 '' 3 ' 2 ' ' ' '' 3 ' ' ' '' 2 ' ' ' '' 2 ' ' 2                                                                 IH D_TD_TIH3'T(3'' 2)N(2' ')B (4.1.4) olduğunu söyleyebiliriz. IH IH   N B N T               3 ' ( 3 '' 2) ( 2 ' ')

18  eğrisi bir dairesel helis olduğundan

0 , 0 0 , 0 ,   '  '   ''  ''         sbt sbt dır.        ( 3 '' 2) 0 2 '  '                ( 3 '' 2) ( 3 2)         ( 2 2)        ( 2 2) dir.

iii ) (2.1.7), (2.1.8), (2.1.9) eĢitliklerinden benzer iĢlemler yapılırsa,

DTIH T  NB ' 2 (4.1.5) IH DTDTIH 3 T ( )N ( 2 )B ' ' 2 '' 3 '                 (4.1.6) dir. IH IH olduğundan 0 2 , ) ( , 0 3 '' 2 ' ' '          

eĢitlikleri elde edilir.  eğrisi bir dairesel helis olduğundan

0 , 0 0 , 0 ,   '  '   ''  ''         sbt sbt dır. Buradan da      3 ''  2  3 2  ) ( 2 2  dir.

iv ) (2.1.10), (2.1.11), (2.1.12) eĢitlikleri kullanılarak benzer iĢlemler null eğrisi için de

yapıldığında D_TIH T 'N2B (4.1.7) IH D_TD_TIH (2' ')T(22'')N3'B (4.1.8) bulunur. IH IH eĢitliğinden 0 , ) 2 ( , 0 2' '   2 ''  '  elde edilir.  eğrisi bir dairesel helis olduğundan

0 , 0 0 , 0 ,   '  '   ''  ''         sbt sbt

dır. Bu değerler denklemde yerine yazıldığında

         2 '' 2 2 ) 2 (

19





2 dir.

Sonuç 4.1.1: 3-boyutlu Minkowski uzayında  , null olmayan bir Frenet eğrisi olsun. eğrisinin geodezik olmayan biharmonik eğri olması için olması için gerek ve yeter koĢul aĢağıdakilerden birisinin geçerli olmasıdır.

i)  eğrisi   olacak Ģekilde timelike bir helis,

ii)  eğrisi   olacak Ģekilde binormali timelike olan bir spacelike helis, 3-boyutlu Minkowski uzayında asli normali timelike olan spacelike eğriler yoktur. Ġspat: ()  eğrisi biharmonik eğri olsun. IH 0 dır.

i)  eğrisi timelike eğri olsun. Teorem 4.1.1 i) de  sbt ' 0 '' 0 olmasından yine 2 2  değeri elde edilir. Burada  0 olduğundan 2 2   dır.

ii)  eğrisi binormali timelike olan spacelike bir helis olsun. Teorem 4.1.1 iii) de 0

0 ''

'    

  

 sbt olmasından yine 2 2  değeri elde edilir. Benzer Ģekilde  0 olduğundan 2 2   dir.

3-boyutlu Minkowski uzayında asli normali timelike olan spacelike eğriler için Teorem 4.1.1. ii) de  sbt ' 0 '' 0 olmasından 2 2  değeri elde edilir.  0 olduğundan 2 2 0olacak Ģekilde  ve  değerleri yoktur.

Sonuç 4.1.2: 3- boyutlu Minkowski uzayında bir Frenet null eğrisi  olsun.  eğrisinin biharmonik eğri olması için gerek ve yeter koĢul 0 olacak Ģekilde bir pseudo null çember olmasıdır.

Ġspat: ()  eğrisi biharmonik olduğundan IH 0 dır. Teorem 4.1.1 den 2 denkleminde  yı sıfır yapan değer,  0 ve ya  0 dır.  bir Frenet eğrisi olduğundan

0



 dır. Bu durumda  0 olmalıdır. )

( Tersine  null eğrisi bir pseudo null çember olsun.  0 dir ve  2 denklemini sıfır yapan değerdir. Buradan IH 0 olup eğrisi biharmonik null eğrisidir.

Teorem 4. 1. 2: 3-boyutlu Minkowski uzayında bir Frenet eğrisi  (s):I RL3 olsun.  Laplasiyen operatörü olmak üzere

IHD_TIHIH 0 (4.1.9) denklemi sağlanırsa,

20 i )  eğrisi   3 ' , _                 2 2 2 ' '' 3      

 , olacak Ģekilde bir time-like eğridir.

ii )  eğrisi    3 ' ,                   2 2 2 ' '' 3      

 , olacak Ģekilde asli normali time-like olan bir spacelike eğridir.

iii )  eğrisi    3 ' ,                   2 2 2 ' '' 3      

 , olacak Ģekilde binormali time-like olan bir spacelike eğridir.

iv )  eğrisi   3 ' , _                      3 2 2 ' ''

, olacak Ģekilde bir null eğrisidir. Ġspat:

i )  bir timelike eğrisi için (4.1.1) ve (4.1.2) eĢitlikleri (4.1.9) eĢitliğinde yerine yazılırsa 0 ) 2 ( ) ( ) 3 ( '2 T 3'' 2' N  ' '  B dir. Buradan 0 3 ' 2     0 ' 2 '' 3          0 2 '  '     

bulunur. Bu denklemlerden  ve  değerleri çekilirse

                   2 2 2 ' '' ' 3 , 3           elde edilir. ii ) (4.1.3) ve (4.1.4) eĢitliklerinden B N T IH D_T 2 '  B N T IH3' (3'' 2) (2' ') 

dir. Bu değerler (4.1.9) denkleminde yerine yazılırsa

0 ) 2 ( ) ( ) 3 ( '2 T 3'' 2 '  N  ' '  B denklemi bulunur ve burada

0 3 ' 2     0 ' 2 '' 3         

21 0 2 '  '      dir. Bu denklemlerden de                    2 2 2 ' '' ' 3 , 3          

değerleri elde edilir.

iii ) (4.1.5) ve (4.1.6) eĢitlikleri (4.1.9) denkleminde yerine yazılırsa

0 ) 2 ( ) ( ) 3 ( ' 2 T 3 ''2' N  ' '  B dir. Buradan da 0 3' 2  0 ' 2 '' 3     0 2 '  '      dir. Bu eĢitliklerden de                    2 2 2 ' '' ' 3 , 3          

değerleri elde edilir.

iv ) (4.1.7) ve (4.1.8) eĢitlikleri (4.1.9) denkleminde yerine yazılırsa

0 ) 3 ( ) 2 ( ) 2 ( ' ' T  2'''  N ' 2 B bulunur. Buradan 0 ) 2 ( ' '  0 ) 2 ( 2 '''   0 ) 3 ( '2  dir. Buradan da                            3 , 3 2 2 ' '' '

eĢitlikleri elde edilir.

Teorem 4.1.3: 3-boyutlu Minkowski uzayında bir Frenet eğrisi  (s):I RL3 olsun. eğrisini karakterize eden diferensiyel denklem aĢağıdaki gibidir.

0 3 2 2 1 3     D T D T T T DT  T  T  ve

22 i)  eğrisi ' 3 2 2 2 ' ' ' ' ' 2 ' ' 1 2 , 2 ,                                                 olacak

Ģekilde bir time-like eğridir.

ii)  eğrisi ' 3 2 2 2 ' ' ' ' ' 2 ' ' 1 2 , 2 ,                                                 olacak

Ģekilde asli normali time-like olan bir spacelike eğridir.

iii)  eğrisi ' 3 2 2 2 ' ' ' ' ' 2 ' ' 1 2 , 2 ,                                                 , olacak

Ģekilde binormali time-like olan bir spacelike eğridir.

iv)  eğrisi ' 2 3 2 ' ' ' 2 ' 1 , 3 2 ,                               

 olacak Ģekilde bir null

eğrisidir.

Ġspat: i )  eğrisi bir timelike eğri ise (2.1.1) ve (2.1.3) eĢitliklerinden

N _ DTT 1  (4.1.10)





                T T D D T N D B T T T      1 1 1 B D_TT D_T T T      _{ }   2 2 ' 1 (4.1.11) (4.1.11) in teğetsel yönde türevi alınırsa

T D T T D T D T D T D B D_{T T T T T T}                                          ' 3 2 ' 2 2 ' ' 2 ' 1 1

(4.1.1) eĢitliği (2.1.3) eĢitliğinde yerine yazılırsa

T D N B D_{T T}       dir. Denklemde yerine yazıldığında

T D T T D T D T D T D T DT T T T T _ T                                            ' 3 2 ' 2 2 ' ' 2 ' 1 1 0 1 1 ' ' 2 ' 2 2 ' ' 3                                                 T T D T D T D_{T T T}            

23 0 1 ' ' 2 ' 2 2 ' ' 3                                           D T D T T T D_{T T T}              

elde edilir. Katsayıları düzenlesek,

                                '₂ ' ' ' 2 1 2 2 2 2 ' ' ' '' ' 2 ' ) ( 2 _{ }               _                            0 2 2 ' 2 2 2 ' ' ' '' 2 ' ' 3 _                                    D T D T T T D_{T T T}                 (4.1.12)

bulunur. Buradan da ₁,₂,₃ değerleri elde edilir.

ii )  eğrisi asli normali timelike olan spacelike bir helis olsun. (2.1.4), (2.1.5) ve (2.1.6) eĢitlikleri kullanılarak i) ifadesine benzer Ģekilde iĢlemler yapıldığında

0 2 2 ' 2 2 2 ' ' ' '' 2 ' ' 3                                     D T D T T T DT T T _                (4.1.13)

denklemi elde edilir. genel helis olduğunda (4.1.13) denklemi düzenlenirse,

0 3 3 2 2 2 ' '' 2 ' 3 _                    D T D T T DT T _   T     

bulunur. Buradan da 1,2,3 değerleri elde edilir.

iii )  eğrisi binormali timelike olan spacelike bir helis olsun. (2.1.7), (2.1.8) ve (2.1.9) eĢitlikleri kullanılarak i ) ifadesine benzer Ģekilde iĢlemler yapıldığında

2 2 0 ' 2 2 2 ' ' ' '' 2 ' ' 3 _                                    D T D T T T D_{T T T}                 (4.1.14)

bulunur. Buradan da ₁,₂,₃ değerleri elde edilir.

iv)  eğrisi bir null genel helisi olsun. (2.1.10), (2.1.11) ve (2.1.12) eĢitlikleri kullanılarak benzer Ģekilde iĢlemler yapıldığında

3 2 0 ' 2 2 ' '' 2 ' 3 _                           D T D T T T D_{T T T}           (4.1.15)

24 Sonuç 4.1.3: 3-boyutlu Minkowski uzayında  eğrisinin diğer bir karakterizasyonu aĢağıdaki gibidir.

i )  bir timelike genel helis olduğunda

0 3 3 2 2 2 ' '' '                     IH D_TIH   IH      

ii )  eğrisi asli normali timelike olan spacelike bir genel helis olduğunda

0 3 3 2 2 2 ' '' '                     IH D_TIH   IH      

iii )  eğrisi binormali timelike olan spacelike bir genel helis olduğunda

0 3 3 2 2 2 ' '' '                     IH DTIH _   IH     

iv )  eğrisi null olan bir genel helis olduğunda

0 2 3 2 ' '' '                    IH D_TIH  IH       dir. Ġspat: IHD_T3T IH D T DT  T 2 değerleri kullanılırsa i ) 3 3 2 2 0 2 ' '' 2 ' 3 _                    D_T T D_T T   D_TT       0 3 3 2 2 2 ' '' '                     IH D_TIH   IH       ii) 3 3 2 2 0 2 ' '' 2 ' 3 _                    DT T DT T _   DTT      0 3 3 2 2 2 ' '' '                     IH D_TIH   IH       iii ) 3 3 2 2 0 2 ' '' 2 ' 3                     D_T T D_T T   D_TT      