Bazı önemli monoid genişlemeleri

T.C.

BALIKESİR ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI

BAZI ÖNEMLİ MONOİD GENİŞLEMELERİ

YÜKSEK LİSANS TEZİ

Ahmet EMİN

ii ÖZET

BAZI ÖNEMLİ MONOİD GENİŞLEMELERİ

Ahmet EMİN

Balıkesir Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı

(Yüksek Lisans Tezi / Tez Danışmanı : Doç. Dr. Fırat ATEŞ)

Balıkesir, 2011

Bu çalışmada bazı önemli monoidlerin genişlemeleri üzerinde durulmuş ve bu genişlemelerin sunuşlarının nasıl elde edileceği incelenmiştir. Bu tez beş bölümden oluşmaktadır.

Birinci bölümde serbest monoidler incelenmiş ve temel özellikleri ile ilgili hatırlatmalar yapılmıştır.

İkinci bölümde, monoidlerin yarı direkt çarpımının ve Wreath çarpım sunuşlarına yer verilmiştir.

Üçüncü bölümde, Bruck-Reilly genişlemesi, Schützenberger çarpım, monoid üzerinde Schützenberger çarpımının yeni versiyonu ve bu yeni versiyonun sunuşu tanımlanmıştır. Ayrıca bu yeni çarpımın regülerlik özelliği üzerinde durulmuştur. Ayrıca monoidlerin güçlü yarılatisleri ve Rees matris yarıgruplarının sunuşlarına yer verilmiştir.

Dördüncü bölümde, monoidlerin çift yönlü çarpımı tanımlanmış ve bu çarpımın sunuşu verilmiştir.

Beşinci bölümde, Bruck-Reilly genişlemeleri daha da genelleştirilerek Genelleştirilmiş Bruck-Reilly* genişlemesi kavramına ve bunların sonuçlarına değinilmiştir.

ANAHTAR SÖZCÜKLER: Monoid, Yarı Direkt Çarpım, Bruck-Reilly Genişlemesi, Schützenberger Çarpım, Monoidlerin Güçlü Yarılatisleri.

iii ABSTRACT

EXTENSIONS OF SOME IMPORTANT MONOIDS

Ahmet EMİN

Balıkesir University, Institute of Science Department of Mathematics

(M. Sc. Thesis / Supervisor : Assoc. Prof. Dr. Fırat ATEŞ)

Balıkesir - Turkey, 2011

This study, generally concerns about the extensions of some important monoids extensions and how to obtain these presentations for these extensions. The thesis consists of five main chapters.

In the first chapter we examine free monoids and recall their fundamental properties.

In the second chapter, we study on the presentations of the semidirect and wreath product of monoids.

In the third chapter, we give the presentations for the Bruck-Reilly Extension, the Schützenberger Product, the new version of schützenberger product of monoids and give the presentation of it. Also we examine the regularity property of this new product. Next, we give the presentations of Strong Semilattices of monoids and Rees Matrix Semigroups.

In the fourth chapter, we define the two-sided product of monoids and we give the presentation of it.

In the fifth chapter, Bruck-Reilly Extension has been developed and the concept of the Generalized Bruck-Reilly* Extension and its results have been mentioned.

KEY WORDS: Monoid, Semidirect Product, Bruck-Reilly Extension, Schützenberger Product, Strong Semilattice of Monoids, Rees Matrix Semigroup.

iv

İÇİNDEKİLER

Sayfa

ÖZET

ii

ABSTRACT, KEY WORDS

iii

İÇİNDEKİLER

iv

SEMBOL LİSTESİ

vi

ÖNSÖZ

viii

1. GİRİŞ

1 1.1 Serbest Monoidler 1 1.2 Monoid Sunuşu 2

2. YARI DİREKT ÇARPIM VE WREATH ÇARPIM

4

2.1 Monoidlerin Yarı Direkt Çarpımı 4

2.2 Monoidlerin Wreath Çarpımı 10

3. BAZI ÖNEMLİ MONOİD GENİŞLEMELERİ

17

3.1 Giriş 17

3.2 Schützenberger Çarpımı 17

3.3 Yarı Direkt Çarpım Altında Schützenberger Çarpımın Yeni Bir Versiyomu 20

3.4  nin Regülerliği 25

3.5 Bruck – Reilly Genişlemesi 28

3.6 Monoidlerin Güçlü Yarılatisleri 31

3.7 Rees Matris Yarıgrupları 33

4. MONOİDLER İÇİN ÇİFT YÖNLÜ YENİ BİR ÇARPIMIN

İNŞASI

38

4.1 Giriş 38

4.2 Monoidler İçin Çift Yönlü Yeni Bir Çarpım 38

5. GENELLEŞTİRİLMİŞ BRUCK – REİLLY* GENİŞLEMESİ

42

5.1 Giriş 42

v

5.3 Genelleştirilmiş Bruck – Reilly* Genişlemesi 49

6. SONUÇ VE DEĞERLENDİRMELER

55

vi SEMBOL LİSTESİ

Simge Adı

Kelime

( ) kelimseinin başlangıç harfi

( ) kelimseinin bitiş harfi

X kümesindeki pozitif kelimelerden oluşan küme

∗ _{X kümesindeki pozitif kelimeler ve birim elemanın}

birleşiminden oluşan küme

( ) X ile üretilen Serbest Monoid

  sunuşunun temsil ettiği monoid

 = [ ∶ ] M monoidinin sunuşu X üreteç kümesi R bağıntı kümesi : X R Yarıgrup Sunuşu X üreteç kümesi R bağıntı kümesi [ ] kelimseinin denklik sınıfı

[ ]_  sunuşuna bağlı olarak kelimseinin denklik sınıfı

Ç ( ) dönüşümünün çekirdeği

ℕ Doğal Sayılar Kümesi

0

 Sıfırı içeren doğal sayılar kümesi

1

S Birim elemanı içeren yarıgrup

ℤ Tamsayılar Kümesi

ℤ Pozitif Tamsayılar Kümesi

(ℤ ) Her bir bileşeni negatif olmayan tam sayılardan oluşan × tipindeki matrislerin kümesi

( ) monoidinin bütün endomorfizmalarının kümesi

θ K ile A monoidinin yarı direkt çarpımı

A× _{nın B nin mertebesi kadar kendisi ile kartezyen çarpımı}

vii

A nın B ile olan Wreath çarpımı

 A nın B ile olan Schützenberger Çarpımı

( × ) A× B nin tüm alt kümelerinin kümesi

(1 , ∅, 1 ) A nın B ile olan Schützenberger Çarpımının Birimi

 nın ile yarı direkt çarpımı altında Schützenberger çarpımının yeni bir versiyonu

( , ) Bruck-Reilly genişlemesi

Ayrık monoidlerin ailesi ; ,  _, Monoidlerin güçlü yarılatisleri [ ; , Ʌ; ] Rees matris yarıgrubu

ve nin çift yönlü yeni bir yarı direkt çarpımı

(1 , , 1 ) ve nin çift yönlü yeni bir yarı direkt çarpımının birimi = (1 , 1 )

∗_{( ; , , ) T nin u elemanı ve ,  homomorfizmaları ile oluşturulmuş}

genelleştirilmiş Bruck-Reilly Genişlemesi İspatların sonuna konur.

Bu çalışmada herhangi bir elemanının bir fonksiyonu altındaki görüntüsü soldan, yani formunda gösterilecektir. Ayrıca iki fonksiyonun bileşkesi

viii ÖNSÖZ

Çalışmalarımda zamanını bana ayırarak bilgi ve tecrübelerinden yararlandığım, daima tezimle ilgilenerek maddi ve manevi desteğini esirgemeyen sevgili hocam ve danışmanım sayın Doç. Dr. Fırat ATEŞ’ e sonsuz teşekkürlerimi sunarım.

Yüksek lisansımın her aşamasında bana sürekli destek veren ailem, mesai arkadaşlarım ve ev arkadaşlarım Ferhet Mesut GÖRÜR, Berkan DEMİREL ile Mehmet ARSLAN’a sevgilerimi ve şükranlarımı sunarım.

Bu tezi çok değerli; annem Fatma EMİN, babam Mahmut EMİN, abim Muhammed EMİN,

kardeşlerim Mustafa EMİN ve Sümeyye EMİN’e ithaf ederim.

1

1. GİRİŞ

Bu tez çalışmasının bu bölümünde tezin diğer bölümlerinde genel olarak kullanılacak bazı temel tanım ve teoremlere yer verilmiştir. Bu bölümde ilk önce serbest monoidler incelenmiş olup yapısına değinilmiştir. Daha sonra ise genel anlamda monoid sunuşlarının yapısı tanıtılmıştır. Bu konuyla ilgili daha ayrıntılı bilgiler [1], [2] ve [3] kaynaklarından elde edilebilir.

1.1 Serbest Monoidler

boştan farklı bir küme olsun. ’in her bir elemanına ℎ denir. Ayrıca ∈ ℕ, ∈ 1 ≤ ≤ olmak üzere

…

ifadesine üzerinde bir denir ve ile gösterilir. kelimesinin

ş ıç ℎ ( ) = ş ℎ ( ) = biçimindedir. Burada

= 0 ise ş elde edilir ve 1 ile gösterilir.

ω ve , kümesi üzerinde iki kelime olsun. ω ve kelimelerinin çarpımı, ω kelimesinin arkasına kelimesini yazarak elde edilir ve bu çarpım ω biçiminde gösterilir.

Boş olmayan bir kelime üzerinde aşağıdaki işlemler tanımlanabilir:

i) Herhangi bir kelime içindeki 1 boş kelimesi silinir. Yapılan bu işleme, kelime üzerindeki işlemi denir.

2

ii) Herhangi bir kelime içerisine 1 boş kelimesi eklenebilir. Yapılan bu işleme işlemi denir.

1.1.1 Tanım : bir monoid ve de bu monoidin üreteç kümesi olmak üzere kümesi ürteç kümesindeki elemanlarla oluşturulan en az bir uzunluklu kelimelerin kümesi olarak tanımlanır. ∗ _{ü ,} ∗ _{= ∪ {1} kümesi ile}

tanımlayalım. Buradaki “1” monoidinin birim elemanıdır.

, , … , , , , … , ∈ , ( , ∈ ℕ) olsun. Ayrıca ω , ω ∈ ∗ _için, 1 x x1 2...xn

  , ₂ y y_{1 2}...y_m kelimeleri arasındaki işlem

ω ω = ( … )( … ) = … …

biçiminde tanımlansın. Kelimeler arasında tanımlanan bu işleme göre ∗ bir monoid oluşturur ve oluşan bu monoide adı verilir ve ( ) ile gösterilir.

1.2 Monoid Sunuşu

boştan farklı bir küme (Üreteç Kümesi) ve  ∗× ∗ _{olacak şekilde alt}

kümesi (bağıntı kelimelerinin bir kümesi) olsun. Bu durumda

 = [ ∶ ]

ikilisine bir ş denir. Eğer ve kümelerinin her ikisi de sonlu ise

 sunuşu da sonludur.

Şimdi, aşağıda verilecek teoremde önemli bir yer oluşturan “kongruans” terimini açıklayalım:

bir monoid ve , üzerinde bir denklik bağıntısı olsun. Her , , ∈ için ( , ) ∈ ⇒ ( , ) ∈ oluyor ise bağıntısına bir ğ

3

bağıntısı denir. Eğer bağıntısı hem sağ hem de sol kongruans oluyor ise bu bağıntısına bağıntısı denir.

1.3.1 Teorem [4] : bir monoid, de için bir üreteç kümesi ve , ∗

kümesi üzerinde yi içeren en küçük kongruans olsun. Bu durumda

≅ ∗

dir.

İspat:  sunuşunun temsil ettiği monoidi ve üreteç kümesi için,

: → ,

↦ [ ]

dönüşümünü tanımlayalım. Bu dönüşüm

: ∗ _{→ ,}

[ ]↦ [ ]

şeklinde tek bir örten homomorfizmasına genişletilebilir. Ayrıca Ç ( ), yi içeren en küçük kongruans bağıntısı olduğundan, Ç ( ) = dir. Dolayısıyla 1.İzomorfizma Teoreminden

≅ ∗

4

2.YARI DİREKT ÇARPIM VE WREATH ÇARPIM

2.1 Monoidlerin Yarı Direkt Çarpımı

Verilen bir monoidin sunuşunu tanımlamak üzerinde çok çalışılan konulardan biridir. Özellikle de yarı direkt çarpım Combinatorial grup teoride çok önemli bir yere sahip olduğundan bu bölümde yarı direkt çarpımın sunuşu çalışılmıştır. Bu nedenle yarı direkt çarpımının sunuşunu vermeden önce, verilen bir sunuşun bir monoid cebirsel yapısını temsil edebilmesi için gerek ve yeter koşulları verilecektir. Buna göre bir monoid ve bir küme olsun. Ayrıca

: → , ↦

dönüşümünü göz önüne alalım. Burada kümesi üzerinde, boştan farklı bir

= … ( , , … , ∈ ) kelimesi için,

( ) ∗ _{= … (2.1)}

kuralı ile tanımlı ( )→ homomorfizmasının varlığını biliyoruz. Özel olarak boş kelime ise, ( ) ∗ = 1 dir. Şimdi (2.1) ile tanımlanan ∗ _{homomorfizması}

yardımıyla, bir monoidinin sunuşunun oluşturulmasında kullanılan aşağıdaki önermeyi verebiliriz.

2.1.1 Önerme [ ] :  = [ ∶ ] bir monoid sunuşu olsun. (2.1) de verilen

∗ _{homomorfizmasının}

5

şeklinde homomorfizmaya genişletilebilmesi için gerek ve yeter koşul, her ∈ için,

( ) = ( )

olmasıdır.

2.1.2 Örnek: (ℤ ) kümesi, her bir bileşeni negatif olmayan tam sayılardan oluşan × tipindeki matrislerin kümesi ve = [ , ∶ = ] bir monoid sunuşu olsun. Buna göre = 1 0

0 0 ve =

0 1

0 0 olmak üzere,

:{ , }→ ℤ+ , → ₁, → ₂,

fonksiyonunu düşünelim. Burada ( ) = ( ) olduğundan 2.1.1 Önermeden, dönüşümü

∗ = () → (ℤ ) öyle ki [ ] ↦ , [ ] ↦

homomorfizmasına genişletilir.

2.1.3 Tanım : bir monoid,

X

= { : ∈ } kümesi monoidi için bir üreteç kümesi ve = [ : ] olsun. Eğer

: → , ↦

dönüşümü,

∗ = () → , [ ] ↦ ,

6

Bu bölümün temel yapısını oluşturan “devirli (cyclic veya monogenic [16]) monoidler” ile ilgili detaylı bilgilere [12], [15] ve [16] gibi kaynaklardan ulaşılabilir.

2.1.4 Önerme : mertebesi > olan ve ile üretilen sonlu devirli monoid olsun. O zaman

X

= { } üreteç kümesi üzerinde nin sunuşu

 _, = [ : = ] (2.2)

biçimindedir.

İspat: (2.1) de verilen → dönüşümünü düşünelim. O zaman ( ) = ( ) olduğundan, 2.1.1 Önermeden

∗ =  , → , [ ] _, ↦

genişletilmiş homomorfizmasını elde ederiz. Burada ∈ ö _∗ olduğundan, _∗ örtendir.  _, sunuşundan elde edilecek olan birbirinden farklı elemanlar

1, , , … ,

biçiminde olup 2.1.3 Tanım yardımıyla,  _, nin farklı elemanları

[1], [ ], [ ], … , [ ]

olacaktır. Buradan  _, = elde edilir. Özel olarak, _∗ nin birebir olmamasının kabulü _∗ <  _, = eşitsizliğini vereceğinden, _∗ birebir olmak zorundadır. Bu ise ispatı bitirir.

2.1.5 Tanım: Bir monoidinin kendisinden, kendisi üstüne tanımlanan

7

endomorfizmalarının kümesi bileşke işlemi altında bir monoid oluşturur ve ( ) ile gösterilir. Burada birim eleman : → dir.

Endomorfizma örnekleri [29] da bulunabilir.

2.1.6 Tanım : ve herhangi iki monoid olmak üzere, her ∈ , ∈ için,

: → ( ), ↦ ( ∈ ), 1 ↦ ( )

şeklinde tanımlanan homomorfizması

( ) = ( ) (2.3)

şartını sağlasın. Buna göre nın ile olan yarı direkt çarpımı, her ( , ), ( ′_, ′₎

sıralı çifti için,

( , )( ′_, ′_{) =} ′_{, ( )}

′ ′ (2.4)

kuralını sağlayan bir kümedir.

2.1.7 Teorem : Tanımı sağlayan kümeye diyelim. kümesi (2.4) de verilen işleme göre bir monoid dir.

İspat: nin birleşme özelliğine sahip olduğunu gösterelim. Her ( , ), ( , ) ( , ) ∈ × için, [( , )( , )] ( , ) = , ( ) ( , ) = , ( ) = , ( ) ( ) ve ( , )[( , )( , )] = ( , ) , ( )

8

= , ( ) ( )

biçimindedir. Bu şekilde ispat tamamlanmış olur.

2.1.8 Tanım: (2.4) da verilen işlem ile tanımlanmış olan monoidine K nın

A ile olan yarı direkt çarpımı denir ve = θ ile gösterilir.

2.1.9 Teorem ([30],[31]): ve monoidlerinin sunuşları sırasıyla  = [ ∶ ]

ve  = [ ∶ ] olsun. Özel olarak simgesi ile

= ( ) ( ∈ , ∈ )

biçimindeki bir bağıntıyı gösterelim. Ayrıca kümesi, formundaki bütün bağıntıların kümesi olsun. O zaman yarı direkt çarpım monoidinin sunuşu

 = [ , ∶ , , ] (2.5)

biçimindedir.

İspat: = {( , 1 ): ∈ } ve = {(1 , ): ∈ } olsun ve = ∪ diyelim. ∗ _{ile kümesinden elde edilen kelimelerin kümesini gösterelim.}

: ∗ _→

θ

homomorfizmasını

( ) = ( , 1 ), ( ) = (1 , )

işlemleri ile tanımlayalım. ( , 1 ), ( , 1 ), (1 , ) ve (1 , ) ∈ _θ olmak üzere

9

( , 1 )( , 1 ) = ( , 1 ) (2.6)

(1 , )(1 , ) = (1 , ) (2.7)

( , 1 )(1 , ) = ( , ) (2.8)

eşitlikleri ile , θ için bir üreteç kümesidir. Şimdi θ nın (2.5) deki bağıntıları

sağladığını gösterelim. =1 olsun. ( ) = ( … ) = ( ) ( ) … ( ) = ( ,1 )( ,1 ) … ( ,1 ) = ( … ,1 ) = ( ,1 ) = (1 , 1 ) = (1 )

bulunur. Benzer olarak =1 için ( ) = (1 ) elde edilir. Şimdi = ( ) ( ∈ , ∈ ) olsun. ( ) = ( ) ( ) = (1 , )( , 1 ) = ( , ( ) ) = ( , 1 )(1 , ( ) ) = ( )

olur. O halde 2.1.1 Önerme den homomorfizması (2.5) ile tanımlanmış herhangi bir monoidinden olan homomorfizmasına genişletilebilir. Şimdi homomorfizmasının birebir ve örten olduğunu gösterelim.

∈ ∗ boş kümeden farklı bir kelime olsun. = ∈ olacak şekilde ∈ ∗ ve ∈ ∗ kelimeleri vardır. Böylece

10

dir. O halde , ∈ ∗ olmak üzere ( ) = ( ) olduğunu kabul edelim.

( ) = ω ω = (ω ) ω = (ω , 1 ) 1 , ω = ω , ω ve

( ′ ) = ω ω = (ω ) ω′ = (ω , 1 ) 1 , ω = ω′ , ω

bu iki eşitlikten ω , ω = ω′ , ω olur ve buradan da ω = ω′ , ω = ω çıkar. (2.5) deki bağıntılardan hareketle ω = ω′ , ω = ω bağıntılarının de sağlandığı görülür. Böylece isteneni elde etmiş oluruz.

Yarı direkt çarpımın bir genişlemesi olması nedeniyle şimdi de Monoidler üzerindeki Wreath Çarpım dan bahsedebiliriz.

2.2 Monoidlerin Wreath Çarpımı

ve monoid olsun. Bu durumda, nın | | kadar kendisi ile Kartezyen çarpımı A× ile direkt çarpımı ise A _{ile gösterelim. Ayrıca, başka bir ifadeyle,}

× _{kümesini B den A monoidine tanımlanan bütün fonksiyonların kümesi, A}

kümesini de bu şekildeki fonksiyonlarından sonlu desteğe (support) sahip olanların kümesi olarak belirtebiliriz. Burada bir : → fonksiyonunun sonlu desteğe sahip olma kavramını, ,  için ≠ iken = ( ∈ ) olduğunda = 1 olması olarak tanımlarız. Aslında bu durumu kısaca { ∈  ≠ 1 } kümesinin sonlu olması olarak da açıklayabiliriz.

nın ile kısıtlanmamış (unrestricted) ve kısıtlanmış (restricted) wreath çarpımları

( , )( , ) = ( , )

çarpma işlemi altında tanımlanmış, sırasıyla × × ve A _{×B kümeleridir ve}

11 : B → A

= ( ) (  B)

şeklinde tanımlanır. Kolayca görüleceği üzere A B ve AwrB, birim elemanı (1, 1 ) (Her ∈ için 1 = 1 ) olan monoiddir. Ayrıca [2] den = olması için gerek ve yeter koşul A = 1 veya B nin sonlu olmasıdır.

Burada {( , )  ∈ A _{ ve {(1, b)  ∈ } kümeleri sırasıyla A} _ve B ye izomorf olan nin alt monoidleridir. Buradan yukarıda verilen işlem altında,

( , 1 )(1, b) = ( , ) , ∈ A _{, ∈}

dir. Şimdi ∈ ve ∈ için,

: →

fonksiyonunu

c = , =

1 , ≠

şeklinde tanımlayalım. Ayrıca, eğer : → fonksiyonu sonlu desteğe sahipse bu durumda

=

b B



( )

biçimindedir. Ayrıca eğer A monoidi kümesi ile üretilmişse, bu durumda nın her elemanı ’in elemanlarının ( ) ( )_… ( ) _{şeklinde bir çarpımıyla ifade edilir. Bu}

durumda ( Her ∈ için)

12 şeklindedir.

2.2.1 Önerme [2] : A ve monoidleri sırasıyla ve kümeleri tarafından üretilsin ve = {( , 1 )  ∈ , ∈  = {(1 , )  ∈  olsun. Bu durumda; b b B X Y        



kümesi AwrB için bir üreteç kümesi olur. İspat: xX , b b b, ,_{1 2}B ve , , ∈ olsun



1



2

 

1 2



_

_

' ,1 ,1 ,1 ,1 b B b B b b B b B x x  x x  x , (x xb₁ b₂ = ' b x )



1,y1



1,y2

 

 1,y y1 2



,

 

1,y x_b,1





_

x_by,y

_

,



xb,1 1,

  

y  x yb,



.

olduğundan ispat tamamlanır.

Grupların Wreath çarpımının aksine yukarıdaki üreteç kümesi genellikle monoidler için mümkün olan en iyisidir. Yani yukarıdaki üreteç kümesinin dışında başka üreteç kümeleri de vardır, fakat en fazla kullanılan üreteç kümesi budur. Eğer

B bir ayrıştırılamaz (indecomposable) birime sahipse yani;

= 1 ⇒ = = 1 , ( Her , ∈ için)

13 {( , 1 )  ∈ A  ≅ A

alt monoidi için bazı üreteç kümesi ihtiva etmelidir ve genelde _b

b B

X





, böylesi kümelerin en küçüğüdür. A nın birimi ayrıştırılamaz olduğunda nin durumu içinde benzer sonucu söyleyebiliriz.

Herhangi , ∈ için

. = { ∈ | = }

olsun. Şimdi monoidlerin wreath çarpımının sunuşunu veren aşağıdaki teoremi verebiliriz.

2.2.2 Teorem [2] : A ve B monoidleri sırasıyla [ ; ] ve [ ; ] sunuşlarıyla temsil edilsin. ∈ için = { | ∈ } kümesi ′in bir imajı, _, kümesi de bağıntı kümesinde her ∈ için yazılarak elde edilen bağıntıların kümesi olsun. Bu durumda nin üreteç kümesi

b beB X Y       



ve bağıntı kümeleri R _, , ∈ ; R ; (2.9) = , , ∈ , , ∈ , ≠ ; (2.10) = 1 c c by x y         



 , ∈ , ∈ , ∈ ; (2.11) şeklinde dir.

14 İspat:  : b beB X Y       



∗ → dönüşümünü = ( , 1 ) , ∈ , ∈ , = (1 , ) , ∈ ,

şeklinde tanımlayalım. Bu dönüşümün 2.2.1 Önerme den örten olduğu görülür. Ayrıca monoidinin sunuşundaki bağıntıların B nin mertebesi kadar imajı olacağı ve

 _{den dolayı da nın elemanlarının imajlarının çarpımlarının değişmeli olacağı}

(2.9) ve (2.10) bağıntılarından kolayca görülür. Şimdi (2.11) bağıntısını elde etmeye çalışalım. Bunun için ilk olarak

(1 , )( , 1 ) = ( , ) = ( , 1 )(1 , )

olduğu dikkate alınmalıdır. Her bir ∈ için

= ( ) = , = 0 1 , ≠ 0 = , ∈ 1 ,  = 1 c c by d x  



= 1 c c by d x         



 dir. Böylece 1 y b c c by x x   

_

15 (1 , )( , 1 ) =





1 ,1 c _B c by x  



(1 , )

dir. Böylece,  fonksiyonu, (2.9), (2.10) ve (2.11) bağıntıları ile tanımlanmış monoidinden üzerine olan bir epimorfizma olur.

Son olarak,  nın bir monomorfizma olduğunu gösterelim. Bunun için kelimesi nin bir elemanını temsil etsin. Buradan

=

_

_{ }

_

' b B b w b w      





olacak şekilde ( ) ∈ ∗( ∈ ) ve ∈ ∗ _{elemanlarının var olduğu kolayca}

görülebilir. (Burada ∈ ∗ için z kelimesi, ∗ içindeki uygun bir kelimedir.) Şimdi her bir ∈ ∗ _{ve ∈ için}

= , =

1 , ≠

dir. Böylece bütün ∈ için

 





b



 



b B b B b c w b c w b cw         







(2.12)

elde edilir. Herhangi iki , ∈ _b

beB X Y     



 ∗ kelimesi için

 





'



 



' b b b B b B u v u b u  v b v           _{  } _{  }     



 







_{ }



 

'



_{ }



 

' b b b B b B u b  u v b  v         _{  } _{  }     



 





16



 



 

'



 



 

' ,1_B 1, ,1_B 1, b b b B b B u b u v b v       _{ } _{ } 



 







 



'



 



' , , b b b B b B u b u v b v       _{ }_{ } 



 





elde edilir. Birinci bileşenlerin eşitliğinden (2.12)’i kullanarak her ∈ için

( )= ( ) sonucuna ulaşılır. İkinci bileşenlerin eşitliğinden = eşitliği elde edilir. Buradan da (2.9) bağıntısı den alınan ve için = eşitliğini verir. Böylece  birebir ve örtendir.

17

3. BAZI ÖNEMLİ MONOİD GENİŞLEMERİ

3.1 Giriş

Bu kısımda monoidler üzerinde en çok çalışılan genişlemelere yer verilecektir. Özellikle Schützenberger çarpımına, Yarı direkt çarpım altında Schützenberger çarpımının yeni bir versiyonuna bu yeni versiyonun Regülerliğine, Bruck – Reilly genişlemesine, Monoidlerin güçlü yarılatislerine, Rees Matris yarıgruplarına değinilecektir. Burada anlatılacak olan konular, [5-11] de ayrıntılı olarak anlatılmıştır.

3.2 Schützenberger Çarpımı

24 Ekim 1920 tarihinde dünyaya gelen ve Tıp doktoru olan Marcel-Paul Schützenberger, 1953 yılında Paris Üniversitesinde ikinci doktorasını matematik alanından almış olup kendi adıyla anılan Schützenberger Çarpımını ortaya koymuştur. Özellikle Automata ve Language Teorisinde çok önemli rol oynayan bu çarpım, günümüz önemli matematikçilerinin çalışma alanlarında konusu olmuştur.

Bu çarpım ile ilgili kısa bir bilgi verdikten sonra şimdi de bu çarpımın inşasına geçebiliriz.

3.2.1 Tanım : ve birer monoid olsunlar. Ayrıca PA B ve aA,

bB için

= {( , )|( , ) ∈ } = {( , )|( , ) ∈ }

18

şeklinde bir çarpım tanımlansın. Buna göre ve nin Schützenberger çarpımı

( , , )( , , ) = ( , ∪ , )

işlemi altında tanımlı × ( × ) × kümesi olup  şeklinde gösterilir. Şimdi yukarıda verilen işlem altında  nın birim elemanı (1 , ∅, 1 ) olan bir monoid olduğunu gösterelim.

1, 2, 3 a a a A ve b b b1, ,2 3B olsun.









a P b1, ,1 1 a P b2, 2, 2





a P b3, 3, 3



=



a a Pb1 2, 1 2a P b b1 2, 1 2





a P b3, 3, 3



=



a a a1 2 3,



Pb1 2a P b1 2



3a a P b b b1 2 3, 1 2 3



=



a P b₁, ,_{1 1}





a a P b_{2 3}, _{2 3}a P b b_{2 3}, _{2 3}



=



a P b1, ,1 1







a P b2, 2, 2



a P b3, 3, 3





olduğundan  bir monoiddir.

3.2.2 Önerme [3] : ve monoidleri sırasıyla ve kümeleri tarafından üretilsin.Bu durumda  Schützenberger çarpımı

{( , ∅, 1 )| ∈ } ∪ {(1 , ∅, )| ∈ } ∪ {(1 , {( , )}, 1 )| ∈ , ∈ }

kümesi tarafından üretilir.

İspat: a a a₁, ₂, ₃A , b b b₁, ,_{2 3}B ve P P₁, ₂ A B olsun.

( , ∅, 1 )( , ∅, 1 ) = ( , ∅, 1 ) (3.1) (1 , ∅, )(1 , ∅, ) = (1 , ∅, ) (3.2) (1 , P , 1 )(1 , P , 1 ) = (1 , P ∪ P , 1 ) (3.3) (1 , ∅, )(1 , , 1 )( , ∅, 1 ) = ( , , ) (3.4)

19 olduğundan ispat kolayca görülür.

Genelde bu üreteç kümesi  için mümkün olan en iyi üreteç kümesidir. Aslında, Eğer ∪ {1 } ve ∪ {1 } kümelerinin tüm elemanları sırasıyla ve nin ayrıştırılamaz elemanları ise, bu durumda 3.2.1 Önerme den  için üreteçler  içinde ayrıştırılamazlar dır ve bu nedenle  nin tüm üreteç kümesine aittir.

Şimdi Schützenberger çarpımın sunuşunu veren aşağıdaki teoremi verebiliriz.

3.2.3 Teorem [3] : A ve B monoidleri sırasıyla



X R: _A



ve



Y R: _B



sunuşlarıyla temsil edilsinler. Bu durumda  Schützenberger çarpımının üreteç kümesi = ∪ ∪ , ∈ , ∈ ve bağıntı kümesi; , ; (3.5) Z _, = z _, , z _, z _, = z _, z _, , a, c ∈ , b, d ∈ ; (3.6) , = , , ∈ , ∈ , ∈ ; (3.7) z _, y = yz _, , y ∈ Y , a ∈ A, b ∈ B; (3.8) = , ∈ , ∈ . (3.9) biçimindedir.

İspat : İlk olarak  : ∗ _{→  homomorfizma dönüşümünü}

= ( , ∅, 1 ) , ∈ ,  = (1 , ∅, ), ∈ ,

, = (1 , {( , )}, 1 ).

biçiminde tanımlayalım. Bu dönüşümün 3.2.2 Önerme den örten olduğu kolaylıkla görülür. Şimdi (3.5) – (3.9) bağıntılarının  yi sağladığını kontrol edelim. (3.5) ve (3.6), (3.1),(3.2) ve (3.3) den gelir. (3.7),(3.8) ve (3.9) ise;

20

Her ∈ , ∈ , ∈ , ∈ için

( , ∅, 1 )(1 , {( , )}, 1 ) = ( , {( , )}, 1 ) = (1 , {( , )}, 1 )( , ∅, 1 ), (1 , {( , )}, 1 )(1 , ∅, ) = (1 , {( , )}, ) = (1 , ∅, )(1 , {( , )}, 1 ), ( , ∅, 1 )(1 , ∅, ) = ( , ∅, ) = (1 , ∅, )( , ∅, 1 ),

eşitliklerinden elde edilir. Böylece  dönüşümü (3.5) – (3.9) bağıntıları ile tanımlanan monoidinden  üzerine olan  epimorfizmasına indirgenir.

Şimdi  epimorfizmasının birebir olduğunu gösterelim. Bunun için ∈ ∗

boş kelimeden farklı herhangi bir kelimesini düşünelim. Burada (3.7),(3.8) ve (3.9) bağıntılarını kullanarak ( )∈ ∗ _{, ( ) ∈ {}

. | ∈ , ∈ }∗ ve ( )∈ ∗ için

içinde = ( ) ( ) ( ) olduğunu kolayca görebiliriz. Ayrıca (3.6) bağıntısını kullanarak da ( ) × için

 

    , , a b a b P w c w Z  

_

biçimindedir. Bu nedenle herhangi bir ∈ ∗ _{kelimesi için}

 = ( )  c(w)  ( ) 

= 1 , ∅, ( ) (1 , ( ), 1 )( ( ), ∅, 1 ) = ( ), ( ), ( ) .

eşitliği elde edilir.

Bazı ,w ∈ Z∗ _{için  =  eşitliğinin var olduğunu düşünelim. Bu}

durumda içinde ( ) = ( ) , içinde ( ) = ( ) ve ( ) = ( ) eşitlikleri de vardır. Buradan (3.5) de verilen bağıntıları kullanarak içinde

( ) = ( ) ve ( ) = ( ) eşitliklerinin sağlandığını görür ve böylece = eşitliği elde edilir. Bu da bize  nin birebir olduğunu verir.

21

3.3 Yarı Direkt Çarpım Altında Schützenberger Çarpımının Yeni Bir Versiyonu

Yarı direkt ve Shützenberger çarpım, önceki bölümlerdede söz edildiği üzere, grup, yarıgrup ve monoid cebrisel yapıları üzerinde çok çalışılan konulardandır. [13],[14],[17] ve [18] de verilen çalışmada yazarlar, acaba bu iki önemli çarpım kullanılarak yeni bir çarpım oluşturulabilir mi? sorusunu gündeme getirmiş ve aşağıda tanımını vereceğimiz yeni bir yapıyı ortaya koyup, bu yeni çarpımın bir takım özelliklerini de belirlemişlerdir.

3.3.1 Tanım : ve monoid olsunlar.  × ve ∈ için

= {( , ) ; ( , ) ∈ }

çarpımı tanımlansın. A nın B ile yarı direkt çarpımı altında Schützenberger çarpımının yeni bir versiyonu

( , , )( , , ) = ( ) , ∪ ,

işlemi altında tanımlı × ( × ) × kümesidir ve  şeklinde gösterilir. Şimdi  birim elemanı (1 , ∅, 1 ) olan bir monoid olduğunu gösterelim.

( , , ), ( , , ) ve ( , , )  nin elemanları olsunlar. Buna göre

( , , )( , , ) ( , , ) = ( ) , ∪ , ( , , )

= ( ) ( ) , ∪ ∪ ,

ve

22

= ( ) , ∪ ∪ ,

= ( ) ( ) , ∪ ∪ ,

den elde edilir. Buda bize  nın bir monoid olduğunu verir.

Şimdi, yukarıda tanımlanan  monoidinin sunuşunu oluşturalım. Bunun için ilk önce bu monoidin üreteç kümesini belirleyen aşaığdaki önermeyi verelim.

3.3.2 Önerme [18]: ve monoidleri sırasıyla ve kümeleri tarafından üretilsin. Bu durumda  , {( , ∅, 1 ); ∈ }, {(1 , ∅, ); ∈ } ve {(1 , {( , )}, 1 ); ∈ ∈ } kümelerinin birleşimi tarafından üretilir.

İspat : Tanımdan hareketle , , ∈ , , , ∈ , ,  × için

aşağıdaki eşitliklerden kolayca gösterebiliriz.



a1,,1B



a2,,1B

 

 a a1 2,,1B



(3.10)



1 ,A ,b1



1 ,A ,b2

 

 1 ,A ,b b1 2



(3.11)



1 , ,1A P1 B



1 ,A P2,1B

 

 1 ,A P1P2,1B



(3.12)



a,,1_B



1 , ,_A  b



1 , ,1_A P _B

 

 a P b, ,



.

Dolayısıyla yukarıda verilen eşitlikler bize  monoidinin

{( , ∅, 1 ); ∈ }{(1 , ∅, ); ∈ }{(1 , {( , )}, 1 ); ∈ ∈ }

ile üretildiğini söyler.

3.3.3 Teorem [18] : ve monoidleri sırasıyla

_

X R: _A

_

ve



Y R: _B



sunuşlarıyla temsil edilsin. Bu durumda  monoidinin

23 üreteç kümesi ve , , A B R R (3.13) = ( ) ( ∈ , ∈ ), (3.14) , = , , , , = , , ( , ∈ , , ∈ ), (3.15) , = , , , = , ( ∈ , ∈ , ∈ , ∈ ). (3.16) bağıntı kümesidir.

İspat : içindeki tüm kelimelerin kümesini ∗ ile gösterelim ayrıca

: ∗ _{→ }

dönüşümünü, ∈ , ∈ , ∈ ve ∈ için

= ( , ∅, 1 ), = (1 , ∅, )

, φ = (1 , {( , )}, 1 )

ile tanımlayalım. 3.3.2 Önerme den nın örten bir homomorfizma olduğu kolayca görülür. Şimdi (3.13)-(3.16) bağıntılarının  yi sağladığını kontrol edelim. Aslında (3.13) ve (3.15) bağıntıları (3.10),(3.11) ve (3.12) bağıntılarından elde edilir. (3.16) bağıntıları için

(1 , {( , )}, 1 )(1 , ∅, ) = (1 , {( , )}, )

= (1 , ∅, )(1 , {( , )}, 1 ), ( , ∅, 1 )(1 , {( , )}, 1 ) = ( , {( , )}, 1 )

= (1 , {( , )}, 1 )( , ∅, 1 )

eşitlikleri vardır. Şimdi (3.14) bağıntılarının sağlandığını gösterelim.

24

(1 , ∅, )( , ∅, 1 ) = ( ) , ∅, = ( ) , ∅, 1 (1 , ∅, )

dir. Bu nedenle dönüşümü, (3.13) – (3.16) bağıntıları ile tanımlanan monoidinden  üzerine olan epimorfizmasına indirgenir.

Şimdi epimorfizmasının birebir olduğunu gösterelim. Bunun için ∈ ∗ boş kelimeden farklı herhangi bir kelimesini düşünelim. Burada (3.14) ve (3.16) bağıntılarını kullanarak ∈ ∗_{, ω ∈} ∗ _{ve ω}

, ∈ , : ∈ , ∈

∗

için, M içinde = , olduğunu kolayca görebiliriz. Ayrıca (3.15) bağıntısını

kullanarak da ( ) × için     , , , a b a b a b P w w z  

_

biçimindedir. Bu nedenle

herhangi bir ∈ ∗ _{kelimesi için.}

= , = ( ) ,

= ( , ∅, 1 ) 1 , ∅, (1 , ( ), 1 ) = , ( ),

eşitliği elde edilir.

Bazı ω , ω ∈ ∗ _{ç ( )φ = ( )φ eşitliğinin var olduğunu düşünelim.}

Bu durumda bu bileşenlerin eşitliğini kullanarak içinde ω = ω , içinde ω = ω ve (ω ) = ( ) eşitlikleri de vardır. Buradan (3.13) de verilen bağıntıları kullanarak içinde ω = ω ve ω = ω sağlandığını görür ve böylece ω = ω eşitliği elde ederiz. Bu da bize nin birebir olduğunu verir.

3.3.3 Teoreminin bir uygulaması olarak ve sonlu devirli monoidler olmak üzere aşağıdaki sonucu verebiliriz.

3.3.4 Sonuç [18] : ve sonlu devirli monoidleri sırasıyla

25

sunuşlarıyla temsil edilsin. Ayrıca = (0 ≤ ≤ ) eşitliği verilsin. Bu durumda  , 0≤ , ≤ − 1, 0 ≤ , ≤ − 1 olmak üzere

 _ =  , , _, ∶ = , _, = _, ,

= , = , ,

_{, , , ,} ,

= , _, = _, 

sunuşuyla temsil edilir.

İspat : δ (0 ≤ ≤ ), nın bir endomorfizması olsun. Bu durumda

→ ( ), ↦ δ

dönüşümü [15] den

: → ( ), ↦ δ

homomorfizmasına indirgenmesi için gerek ve yeter koşul δ = δ olmasıdır. Buradan = eşitliğine kolayca ulaşılır. Buda bize = sonucunu verir. Geriye kalan bağıntıları ise (3.13),(3.15) ve (3.16) bağıntılarını kullanarak kolayca görmek mümkündür. Böylece ispat tamamlanır.

3.3.5 Not : Eğer (ya da ) sonsuz ise bu durumda  çarpımı sonsuz üreteç kümesine sahip olduğu kolayca görülebilir. Bu nedenle bazı cebirsel özellikleri sonlu üreteç kümeli yarı direkt çarpımından sonsuz (yada sonlu) üreteç kümeli bu yeni versiyona aktarılabilir.

3.4  nin Regülerliliği

Bu bölümde amacımız ve nin her ikiside keyfiyken  nin regüler olması için gerekli ve yeterli koşulları vermektir. Bu nedenle 3.3.5 Not da tarif

26

edildiği gibi sadece sonlu üreteçli kümelerde çalışmayacağız. Aslında  nin üreteç kümesi ve sonlu üreteç kümesine sahipken sonsuz olabilir.

Bir monoidinden alınan bir eleman için, nin elemanının terslerinin kümesinden elemanını alalım. Burada

= { ∈ ∶ = = }

dir. Buna göre monoidinin regüler olması için gerek ve yeter koşul, tüm ∈ için kümesinin boş kümeden farklı olmasıdır.

3.4.1 Teorem [18]: ve herhangi bir monoid olsunlar.  çarpımının regüler olması için gerek ve yeter şart:

( ) ve regülerdir,

( ) Tüm ∈ ve ∈ için, bir = ∈ için = idempotent ve (2.11) de verildiği gibi : → ( ) bir homomorfizma olmak üzere

 

e

aA a  biçimindedir,

( ) Her ( , , ) ∈  için,  × ve ∈ olmak üzere ya









 1 1 1 1 1 1 , , a b P P Pb a b b   



ya da









 1 1 1 1 1 1 , , a b P P Pbd a b bd   



olmasıdır.

İspat:  nin regüler olduğunu varsayalım. Böylece ( , ∅, 1 ) ∈  için ( , , ) vardır ve bu

( , ∅, 1 ) = ( , ∅, 1 )( , , )( , ∅, 1 ) = ( ( ) , , ), ( , , ) = ( , , )( , ∅, 1 )( , , ) = ( ( ) ( ) , , ).

27

dir. Bu nedenle = 1 dir. Bu = ve = olduğunu gösterir. Benzer iddayı kullanarak = ve = olduğunu gösterebiliriz. Bu durum bize

= = nin = ve ∈ ( ) yi sağladığını gösterir. Dolayısıyla ( ) ve ( ) sağlanmış olur.  nin regülerliliğinin varsayımından, ( , , ) ∈  için, ( , , ) ∈  elemanları vardır ve

( , , ) = ( , , )( , , )( , , ), ( , , ) = ( , , )( , , )( , , )

dir. Böylece = ∪ ∪ ve = ∪ ∪ dir. bbdb ve d dbd

olduğundan, tüm ( , , ) ∈  için  × ve ∈ olmak üzere ya = ya da = dir. Aksi takdirde tüm  × için P, PdbP b₂ P ye eşit olamazdı ki bu  nın regülerliliği için bir çelişki verirdi. Bundan dolayı ( ) sağlanmış olur.

Tersine ve nin ( ), ( ) ve ( ) koşullarını sağladığını varsayalım. ( , , ) ∈  , = olacak şekilde = ∈ ve ∈ ( ) olsun. Bu durumda bazı ∈ vardır ve = ( ) dir. Ayrıca = ve ∈ olacak şekilde bazı ∈ vardır. regüler olduğundan bazı ∈ için = ( ) alabiliriz.

( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( )

= ( ) ( ) ( ) = ( ) = ( ) = ,

( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( )

= ( ) ( ) ( ) = ( ) = ( ) = .

eşitlikleri vardır. Ayrıca ( ) koşulundan  × olmak üzere elimizde = vardır. Bu durumda

∪ ∪ = ∪ ∪ = ∪ ∪

= = ,

28

= = .

olacak şekilde =  × vardır. Sonuç olarak, tüm ( , , ) ∈  için,

( , , )( , , )( , , ) = ( ( ) ( ) , ∪ ∪ , )

= ( , , )

( , , )( , , )( , , ) = ( ( ) ( ) , ∪ ∪ , )

= ( , , ).

eşitliklerini sağlayan ( , , ) ∈  elemanı vardır. Bu da istediğimiz sonuçtur.

3.5 Bruck – Reilly Genişlemesi

Bruck – Reilly Genişlemesi Bruck, Reilly ve Munn tarafından oluşturulan yapıların genelleştirilmiş halidir ve tersinir yarıgrup teorisinde önemli rol oynamaktadır.

Bruck – Reilly genişlemelerinin inşa edilme süreci, Bruck’un 1958 de her yarıgrubunun bir monoid içerisine gömülebileceğini göstermesiyle başlamıştır.

Bruck, 0 1 0

S

 

  kümesi üzerinde in her elemanını in birim elemanına eşleyen homomorfizmi ile aşağıda tanımlanacak olan işlemini tanımlamış ve bu yapının ye izomorfik olan bir alt yarıgrubu içeren (bu alt yarıgrup {(0, , 0): ∈ } dir) bir monoid olduğunu göstermiştir. Elde edilen bu yapıya Bruck genişlemesi diyoruz.

1966 yılında Reilly aynı yapıyı bir G grubu üzerinde ve homomorfizminin G üzerinde herhangi bir endomorfizm alarak tekrar inşa etti. Bu yapıya ise Reilly genişlemesi diyoruz. 1970 de Munn bu genişlemeleri genelleştirerek Bruck – Reilly genişlemesi terimini ortaya koymuş ve bunu herhangi bir M monoidinin M den M nin

29

birimlerinin oluşturduğu gruba tanımlanan homomorfizmi olan genişlemesi olarak tanımlamıştır. Bu konuyla ilgili daha ayrıntılı bilgiler [20] den elde edilebilir.

Bu genişlemenin tarihsel gelişimi ile ilgili kısa bir bilgi verdikten sonra bu genişlemenin tanımına geçebiliriz.

3.5.1 Tanım : bir monoid ve ∶ → bir endomorfizm olsun. Buna

göre 0 0

A

 

  kümesi üzerinde,

( , , )( , , ) = ( − + , ( )( ), − + )

işlemi tanımlansın. Burada = ( , ) dir. 0 0

A

 

  kümesi yukarıda verilen işlemle birlikte birim elemanı (0, 1 , 0) olan bir monoid olur ve bu monoid ( , ) ile gösterilir.

Eğer her ∈ için = 1 ise ( , ) Bruck’un genişlemesine, nın bir grup olması durumunda ise Reilly’nin genişlemesine sahip oluruz, son olarak da eğer nın görüntüsü grubunun birimini içeriyorsa bu durumda genel Bruck – Reilly genişlemesini elde etmiş oluruz.

3.5.2 Önerme [2] : kümesi monoidi için bir üreteç kümesi olsun. Bu durumda

{(0, , 0)| ∈ } ∪ {(0, 1 , 1), (1, 1 , 0)}

kümesi de ( , ) monoidi için bir üreteç kümesi olur.

İspat: 3.5.1 Tanımda verilen işlem altında,

(0, , 0)(0, , 0) = (0, , 0), , ∈ , (3.17) ( , 1 , 0)( , 1 , 0) = ( + , 1 , 0), , ∈ , (3.18) (0, 1 , )(0, 1 , ) = (0, 1 , + ), , ∈ , (3.19) ( , 1 , 0)(0, , 0)(0, 1 , ) = ( , , ), ∈ , , ∈ (3.20)

30 eşitlikleri kolayca görülür.

Şimdi Bruck – Reilly genişlemesinin sunuşunu veren aşağıdaki teoremi verebiliriz.

3.5.3 Teorem [2] : monoidi [ : ] sunuşu ile temsil edilsin ve ∶ → bir endomorfizma olsun. Bu durumda ( , ) monoidi

[ , , ∶ , = 1, = ( ) , = ( ), ∈ ] (3.21)

şeklinde bir sunuşa sahiptir.

İspat: İlk olarak ∪ { , } kümesini ile gösterelim. Ayrıca : ∗→ ( , ) dönüşümü

= (0, , 0), ∈ , = (0, 1 , 1), = (1, 1 , 0),

biçiminde tanımlı monoid homomorfizması olsun. Bu durumda  dönüşümü, 3.5.1 Önermeden örten olduğu kolaylıkla görülür.

bağıntıları yı sağladığından (3.17) bağıntısı nedeniyle bu bağıntılar ayrıca ( , ) yı da sağlar. (3.21) deki diğer bağıntıların S A



,



tarafından sağlandığı da

(0, 1 , 1)(1, 1 , 0) = (0, 1 , 0),

(0, 1 , 1)(0, , 0) = (0, , 1) = (0, , 0)(0, 1 , 1), (0, , 0)(1, 1 , 0) = (1, , 0) = (1, 1 , 0)(0, , 0),

eşitliklerinden görülür. Bu nedenle  dönüşümü, (3.18) bağıntısı ile tanımlı M monoidinden ( , ) üzerine olan bir  epimorfizmasına indirgenir.

31

Şimdi  epimorfizmasının birebir olduğunu gösterelim. Bunun için boş kelimeden farklı herhangi bir ∈ ∗ _{kelimesinin , ∈ , ∈} ∗ _{olmak üzere}

içinde ( , , ) = formunda bir kelimeye eşit olduğunu gösterelim. Eğer | | = 1 ise, bu durumda = = (0, , 0) , ∈ veya = = (0, , 1) veya = = (1, , 0) dir. Burada ki boş kelimeyi gösterir. Tümevarım gereği uzunluğundaki her bir kelimenin ( , , ) formundaki bir kelimeye indirgenebileceğini varsayalım ve | | = olsun. Bu durumda kelimesi ya

( , , ) , ∈ ya ( , , ) ya da ( , , ) formun da yazılabilir.

( , , ) = = ( ) = ( , ( ), ),

( , , ) = = ( , , + 1),

( , , ) = = ( , , − 1), ≥ 1

( + 1, , 0), = 0 ,

buradaki eşitlikleden tümevarım adımı tamamlanmış olur.

Son olarak ( , , )  = ( , , )  eşitliğinin var olduğunu düşünelim. Bu durumda ( , , ) = ( , , ) olur ve böylece içinde w = w ve = , = elde edilir. (3.21) sunuşu yi içerdiğinden içinde = eşitliğinin sağlandığı sonucunu çıkarabiliriz ve bu nedenle içinde ( , , ) = ( , , ) eşitliği vardır. Böylece  birebirdir ve istenen elde edilmiş olur.

3.6 Monoidlerin Güçlü Yarılatisleri

bir yarılatis ve A , α ∈ Y, (ayrık) monoidlerin ile indekslenen bir ailesi olsun. A nın birim elemanı 1 ile gösterilir. Herhangi iki , ∈ , ≥ , için

(a)  _, , A üzerinde birim dönüşüm;

32

koşullarını sağlayan bir  _, ∶ A → A homomorfizması var olsun.

Y S A_  



kümesi ∈ ve ∈ A için, =  _,  _,

işlemi ile birlikte bir yarıgruba dönüştürülebilir. Biz bu yarıgrubu ; ,  _, ile göstereceğiz.

Şimdi, yukarıda tanımlanan S Y A



; _,_{ ,}



yarıgrubunun sunuşunu oluşturabilmemiz için aşağıda ki teoremi verebiliriz.

3.6.1 Teorem [2] : bir yarılatis, , ∈ , ayrık monoidlerin bir ailesi ve  _, ∶ A → A , ≥ yukarıda tanımda verilen (a) ve (b) koşullarını sağlayan homomorfizmaların bir ailesi olsun. monoidlerinin her biri , X_X_  

için X_:R_ şeklinde bir yarıgrup sunuşuna sahip olsun.

Y X X_  



, Y R R_  



ve

1 ∈ X , ∈ nın birimini temsil eden bir kelime olsun. Bu durumda





,





: ,1 1 1 , , ,1 1 ,

X R _{ }  _  Y  _xx _ x_{ } xX_   (3.22)

sunuşu, S Y A



; _,_{ ,}



yarıgrubunun sunuşunu temsil eder.

İspat : ; ,  _, yarıgrubunu ve ile gösterelim ve yarıgrup (3.22) den tanımlansın. Listelenen tüm bağıntılar içinde sağlanır ve böylece , nin bir homomorfik görüntüsü olur. Eğer X üreteç kümesi içerisindeki iki kelime yarı grubu içerisinde eşit ise bu durumda bu kelimeler A monoidi içerisinde eşittirler ve böylece A nın aynı elemanını temsil ederler. Tersine, eğer kelimeler A monoidinin aynı elemanını temsil ediyorlarsa bu durumda bunlar bağıntılarına göre denktirler

33

ve böylece bunlar kesinlikle içerisinde eşit olurlar. Böylece esasında monoidlerinin ayrık birleşimlerini içerir.

1 = 1  _, , ∈ bağıntıları genişletilerek nın tüm elemanlarını kapsadığı dikkat edilmelidir. Eğer = … . , içindeki elemanların bir çarpımı ise bu durumda tüm > için

1 = 1 1 … 1

=  _,  _, …  _,

=  _, ,

ve benzer olarak 1 =  _, .

Eğer ∈ ve ∈ ise bu durumda

= 1 1 = 1 =  _,  _, ∈

olduğu kolayca görülebilir. Böylece , monoidlerinin ayrık birleşimidir ve ye izomorftur.

3.7 Rees Matris Yarıgrupları

bir monoid, 0, ya ait olmayan bir eleman, ve ⋀ indeks kümeleri ve = ( _⋋ ) ⋋∈ ⋀, ∈ girdileri ∪ {0} kümesinden olan |⋀| × | | lık bir matris olsun. [ ; , ⋀; ] Rees matris yarıgrubu

( , ,⋋ )( , ,⋋ ) = ( , ⋋ ,⋋ ) ⋋ ≠ 0

0 _⋋ = 0 0( , ,⋋) = ( . .⋋)0 = 00 = 0

34 işlemi ile tanımlı ( × × ⋀) ∪ {0} kümesidir.

nin tüm girdileri 0 ise, bu durumda elde edilen yarıgrup | |× | | × |⋀| + 1 elemanlı ve sıfır çarpım yarıgrubudur ve bu yarıgrup için en basit sunuş onun çarpım tablosudur. Bu yüzden biz , sıfırdan farklı girdiler içerdiğinde sadece aşikar olmayan durumları göz önüne alacağız. Biz bunu daha da sınırlayarak dikkatimizi nin en azından nın bir birim elemanını içerdiği yerdeki durumlarla ilgileneceğiz. Bu aslında nin 1 ya eşit bir girişi olduğunu varsaymakla eşdeğerdir. Eğer terslenebilir bir girdiye sahipse biz bunu p ile gösterebiliriz, bu durumda

( , ,⋋) ↦ ( , ,⋋)

dönüşümü = ( _⋋ ) = ( _⋋ ) olmak üzere [ ; , ⋀; ] den [ ; , ⋀; ] üzerine bir izomorfizm olur ve açıkça = 1 olur.

Şimdi, yukarıda tanımlanan [ ; , ⋀; ] yarıgrubunun sunuşunu oluşturalım. Bunun için ilk önce bu yarıgrubun üreteç kümesini belirleyen aşağıdaki önermeyi verelim.

3.7.1 Önerme [2] : monoidi kümesi tarafından bir yarıgrup olarak üretilsin. Ayrıca P, girdileri ∪ {0} kümesinden olan |⋀| × | | lık bir matris ve

= 1 olsun. Bu durumda [ ; , ⋀; ] Rees matris yarıgrubu

{(1, , 1)| ∈ } ∪ ( , 1 , 1) ∈ − {1} ∪ (1, 1 ,⋋) ⋋∈ ⋀ − {1}

kümesi tarafından sıfır ile birlikte bir yarıgrup olarak üretilir.

İspat: {(1, , 1)| ∈ } kümesi = 1 olması nedeniyle {(1, , 1)| ∈ } ≅ altyarıgrubunu üretir. [ ; , ⋀; ] nın sıfırdan farklı herhangi ( , ,⋋) elemanı için ( , ,⋋) = ( , 1 , 1)(1, , 1)(1, 1 ,⋋) eşitliğinden dolayı ispat kolayca görülebilir.

35

Bu önerme ile [ ; , ⋀; ] yarıgrubunun üreteç kümesini elde ettiğimize göre şimdi [ ; , ⋀; ] nin sunuşunu veren aşağıdaki teoremi verebiliriz.

3.7.2 Teorem [2] : bir monoid, girdileri dan olan |⋀| × | | lık bir matris ve = 1 olmak üzere = [ ; , ⋀; ] bir Rees matris yarıgrubu olsun.

:

X R için bir yarıgrup sunuşu, ∈ ∗ nın 1 birim elemanını temsil eden boş olmayan bir kelime ve = ∪ ∈ − {1} ∪ _⋋ ⋋∈ ⋀ − {1} olsun. Bu durumda

 

 





1 : , _{i i}, _{i i}, , _{i i} 1 , 1 Y R y e y ey  p z e_ z z y_{ }  p_ i I    (3.23)

sunuşu yi sıfır ile birlikte bir yarıgrup olarak tanımlar.

İspat : kümesi (3.23) de tanımlandığı gibi sıfırlı bir yarıgrup olsun. : ∗ _{→ S dönüşümü} = (1, , 1), = ( , 1 , 1), ∈ − {1},  = (1, 1 ,⋋), ⋋∈ ⋀ − {1}, ile tanımlayalım. = (1, 1 , 1) ve _⋋  = (1, ⋋, 1) ⋋ ≠ 0 0 ⋋ = 0

olduğuna dikkat edelim. (3.23) deki tüm bağıntıların de sağladığını kontrol edelim.

(1, , 1)(1, , 1) = (1, , 1) = (1, , 1), ( , 1 , 1)(1, 1 , 1) = ( , 1 , 1),

(1, 1 , 1)( , 1 , 1) = (1, , 1) ≠ 0 0 = 0 ,

36 (1, 1 ,⋋)(1, 1 , 1) = (1, ⋋ , 1) ⋋ ≠ 0 , 0 _⋋ = 0 (1, 1 , 1)(1, 1 ,⋋) = (1, 1 ,⋋), (1, 1 ,⋋)( , 1 , 1) = (1, ⋋ , 1) ⋋ ≠ 0 0 _⋋ = 0 .

Bundan dolayı  dönüşümü bir  : → epimorfizmasına indirgenir.

Bir sonraki adım olarak nin sıfırdan farklı elemanlarının



, ,



_i

f i w  y wz, iI,    şeklinde bir kanonik forma sahip olduğunu

gösterelim. Şimdi y z₁, ₁X* boş kelime, wX* ise boştan farklı bir kelime olsun. nin sıfırdan farklı temsil edilen kelimelerinin uzunluğunu tümevarım yoluyla ispatlayacağız. Bu uzunluktaki kelimelerden biri ya x y xz_{1 1} f



1, ,1x



, xX ya





1 , ,1

i i

y  y ez  f i e , i ya da I z_  y ez_{1 }  f



1, ,e 



,    dir. nin sıfırdan

farklı bir elemanını temsil eden ve den daha küçük uzunluğa sahip tüm kelimelerin içinde bir kanonik forma eşit olduğunu varsayalım. uzunluğundaki bir kelime içinde ya ( , ,⋋) , ya ( , ,⋋) , yada ( , ,⋋) den birine eşittir. Ayrıca,

( , ,⋋) = _⋋ = _⋋ = _⋋ = ( , _⋋ , 1),

( , , 1) = = = = , , 1 ,

( , ,⋋) = _⋋ = _⋋ = , _⋋ , 1 , ⋋≠ 1 için,

( , ,⋋) = _⋋ = _⋋ = _⋋ = ( , _⋋ , ),

dir. Böylece tümevarım adımı tamamlanmış olur.

Bazı  , 'Y* için ( _⋋)= ( _⋋ ) eşitliğinin var olduğunu düşünelim. Bu durumda, ( , ,⋋) = ( ⋋ ) olması anlamına gelir. Buradan içinde = eşitliği vardır ve = ,⋋=⋋ . (3.23) deki bağıntılarının olması içinde = olduğunu gösterir ve sonuç olarak içinde _⋋ = _⋋ dir. Bu da bize  nin birebir olduğunu verir.

37

3.7.3 Sonuç : (3.23) sunuşu için , sonlu sunuşlu ve eğer ve ⋀ indeks kümelerinin her ikiside sonlu ise, bu durumda [ ; , ⋀; ] Rees matris yarıgrubu da sonlu sunuşludur.

38

4. MONOİDLER İÇİN ÇİFT YÖNLÜ YENİ BİR YARI DİREKT ÇARPIMIN

İNŞASI

4.1 Giriş

Bu kısımda 2. Bölümde tanımını verdiğimiz yarı direkt çarpımının çift yönlü incelenmesiyle elde edilecek yeni bir çarpımın inşası anlatılacaktır.

4.2 Monoidler İçin Çift Yönlü Yeni Bir Yarı Direkt Çarpımı

4.2.1 Tanım : ve herhangi iki monoid olsunlar. Ayrıca P₁



a b₁, ₁



,





2 2, 2

P  a b  A B için,

= ( , )

şeklinde bir işlem tanımlansın.

: → ( ) ve : → ( )

dönüşümleri, tüm , , ∈ A, , , ∈ B için

( ) = ( ) ve ( ) = ( ) (4.1)

koşullarını sağlayan monoid homomorfizması olsunlar. ve nin çift yönlü yeni bir yarı direkt çarpımı tüm ∈ ve ∈ için

39

işlemi altında tanımlı × ( × ) × kümesi olup şeklinde gösterilir. Şimdi yukarıda verilen işlem altında nın birim elemanı (1 , , 1 ) olan bir monoid olduğunu gösterelim. Burada P _e



1 ,1_{A B}



dir

P₁



a b₁, ₁



, P₂



a b₂, ₂



ve P₃



a b₃, ₃



için ( , , ), ( , , ) ve ( , , ) ∈ olsunlar. ( , , )( , , ) ( , , ) = ( ) , , ( ) ( , , ) = ( ) ( ) , , ( ) =



_{ }

_{ }

_{ }

_{ }



1 1 2 1 2 3 2 3 3 a c b e b b,PP P b, a a d a f ( , , ) ( , , )( , , ) = ( , , ) ( ) , , ( ) = ( ) , , ( ) ( ) =



_{ }

_{ }

_{ }

_{ }



1 1 2 1 2 3 2 3 3 a c _b e _{b b} ,PP P b, _{a a} d _a f

olduğundan bir monoiddir.

Şimdi aşağıda verilecek olan Önerme ve Teorem’den bu bölümün genel amacı olan bu çift yönlü yarı direkt çarpımının bir sunuşunu veren bir üreteç kümesini vereceğiz.

4.2.2 Önerme [18] : ve monoidleri sırasıyla ve kümeleri tarafından üretilsin. Bu durumda ,







x P1, e,1B :x1X



,











1 ,A x2,1B ,1B :x2X



,







1 ,A P ye, 1 :y1Y



,











1 , 1 ,A A y2 ,1B :y2Y



40 kümelerinin birleşimi tarafından üretilir.

İspat: , , , ∈ , , , , ∈ , , ∈ × için

( , , 1 )( , , 1 ) = ( , , 1 ), (4.3)

(1 , , )(1 , , ) = (1 , , ), (4.4)

(1 , , 1 )(1 , , 1 ) = (1 , , 1 ) (4.5) ( , , 1 )(1 , ( , 1 ), 1 )(1 , (1 , ), 1 )(1 , , ) = ( , ( . ), )

olduğundan, ispat kolayca görülür.

4.2.3 Teorem [18]: ve monoidlerinin sırasıyla



X R:



ve



Y S :



sunuşlarıyla temsil edilsin. Bu durumda nin üreteç kümesi

= ∪ ∪ { : ∈ ∈ }

ve bağıntı kümesi, , ∈ ve , ∈ olmak üzere

, , (4.6) = , (4.7) = = , (4.8) = , (4.9) = , (4.10) = ( ) , (4.11) = ( ) . (4.12)

biçimindedir. İspatı vermeden önce Z∗ kümesi ile kümesindeki tüm kelimelerin kümesini göstermiş olacağımızı belirtelim.

İspat: Şimdi, : Z∗_{→ homomorfizma dönüşümünü}

41 ( ) = ( , , 1 ),

( ) = (1 , , ),

= (1 , ( , 1 ), 1 ), = (1 , (1 , ), 1 ).

biçiminde tanımlayalım. Bu dönüşümün 4.2.2 Önerme den örten olduğu kolaylıkla görülür. Şimdi (4.6) – (4.12) bağıntılarını yi sağladığını kontrol edelim. Aslında (4.6) bağıntıları (4.3),(4.4) ve (4.5) den gelir. (4.7),(4.8),(4.9) ve (4.10) bağıntıları ise ( , , 1 )(1 , , ) = ( , , ) = (1 , , )( , , 1 ), (1 , ( , 1 ), 1 )(1 , (1 , ), 1 ) = (1 , ( , ), 1 ) = (1 , (1 , ), 1 )(1 , ( , 1 ), 1 ), (1 , ( , 1 ), 1 )( , , 1 ) = ( , ( , 1 ), 1 ) = ( , , 1 )(1 , ( , 1 ), 1 ), (1 , , )(1 , (1 , ), 1 ) = (1 , (1 , ), ) = (1 , (1 , ), 1 )(1 , , )

eşitliklerinden elde edilir. Şimdi (4.11) ve (4.12) bağıntılarının sağlandığını gösterelim. Bunun için tüm , ∈ ve , ∈ için

(1 , (1 , ), 1 )( , , 1 ) = ( ) , (1 , ), 1

= ( ) , , 1 (1 , (1 , ), 1 ), (1 , , )(1 , ( , 1 ), 1 ) = 1 , ( , 1 ), ( )

= (1 , ( , 1 ), 1 ) 1 , , ( )

eşitliklerinden kolayca görülebilir. Böylece dönüşümü, (4.6) – (4.12) ile tanımlanan bir monoidinden üzerine olan bir epimorfizmasına indirgenir.

Şimdi epimorfizmasının birebir olduğunu gösterelim. Bunun için ∈ Z∗ boş kelimeden farklı herhangi bir kelimesini düşünelim. Burada (4.7) – (4.12) bağıntılarını kullanarak

42 ∈ ∗, ∈ ∗,





1 1 * 1 : k zk k X    ve





2 2 * 2 : k zk k X    için M içinde 1 2 x k k y

    olduğunu kolayca görebiliriz. Ayrıca _, , … , ∈ ve

, ,… , ∈ olmak üzere = … ve = … olsun. Bu

durumda herhangi bir ∈ Z∗ _{için, ( )= ( … , … ) olmak üzere}

( ) = = ( )

= ( , ∅, 1 )(1 , ( … , … ), 1 ) 1 , ∅,

= , ( ),

eşitliği elde edilir.

Bazı , ∈ ∗ _{için ( ) = ( ) eşitliğinin var olduğunu düşünelim.}

Bu durumda içinde = ve B içinde = eşitlikleri vardır. Buradan ( ) = ( ) elde edilir. Ayrıca (8.6) bağıntıları kullanılarak, içinde = ve = eşitliklerinin sağlandığını görür ve böylece = eşitliği elde ederiz. Buda bize nin birebir olduğunu verir.

43

5. GENELLEŞTİRİLMİŞ BRUCK – REİLLY* GENİŞLEMESİ

5.1 Giriş

Bu bölümde 3. Bölümde bahsedilen Bruck-Reilly genişlemesinin daha genel halini vereceğiz. Fakat ilk önce bu bölümde kullanacağımız Green denklik bağıntıları ve denklik sınıflarını inceleyeceğiz.

5.2 Green Denklik Sınıfları

5.2.1 Tanım : bir yarıgrup ve , üzerinde

⇔ = ⇔ = ve = ( , ∈ , , ∈ )

biçiminde verilen bir bağıntı olsun. Böylece , ∈ elemanları nin aynı sol idealini üretir. Bu üreteç ve elemanlarına − ğ ı ı ı denir ve ile gösterilir.

Benzer olarak , ∈ elemanları

⇔ = ⇔ = ve = ( , ∈ )

şeklinde nin aynı sağ idealini üretiyorsa bu elemanlar − ğ ı ı ı denir ve ile gösterilir.

5.2.2 Not : Bir ∈ nin ye bağlı olarak oluşturulan denklik sınıfı − ı ı ı olarak ifade edilir ve genellikle biçiminde gösterilir. Benzer olarak nin denklik sınıfı biçiminde gösterilir.

44

5.2.3 Teorem : Tanım 5.2.1 de verilen bağıntısı bir sağ kongruans ve bağıntısı bir sol kongruanstır.

İspat : ve nin her ikiside denklik bağıntısıdır. O halde ( , ) ∈ alalım. nin tanımından = ve = ( , ∈ ) yazılır. Ayrıca ∈ için

= ( ) = ( ) ve = ( ) = ( ) olur. Böylece ( , ) ∈ elde edilir. Benzer İspat için yapılır.

5.2.4 Tanım : = ∩ ve bir yarıgrup olsun. Bu durumda , ∈ elemanları hem − ğ ı ı hem de − ğ ı ı olacağından bu , elemanlarına − ğ ı ı ı denir. Aslında bir denklik bağıntısıdır ve ∈ nin denklik sınıfları

= { : ∈ ∩ }

ile gösterilir. Ancak sağ ve sol kongruans değildir.

5.2.5 Tanım : = о olsun. ve bağıntılarının bileşkesiyle oluşan bu bağıntıya ğı ı ı denir.

nin bir denklik bağıntısı olduğunu söylemek diğerlerinde olduğu gibi kolay değildir. nin denklik bağıntısı olduğunu göstermek için aşağıdaki verilecek olan önermeye ihtiyaç vardır.

5.2.6 Önerme : ve bağıntıları değişmelidir.

İspat : ( , ) ∈ о elemanı için, ( , ) ∈ ve ( , ) ∈ olacak biçimde bir ∈ vardır. Buradan,

= , = , = , = ( , , , ∈ )